Het regelen van een systeem met drie vrijheidsgraden en twee in- en uitgangen

Het regelen van een systeem met drie vrijheidsgraden en

twee in- en uitgangen

Citation for published version (APA):

Tijdink, M. W. W. J. (1989). Het regelen van een systeem met drie vrijheidsgraden en twee in- en uitgangen. (DCT rapporten; Vol. 1989.039). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1989 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

en twee in- en uitgangen. STAGEVERSLAG NO.: 89.039 student id.nr. dat urn begeleider afdeling M.W.W.J. Tijdink 221163 03-07-8 9 T. Heeren W.F.W

HOOFDSTUK : pagina : 1 Inleiding 2 Systeem en regelwetten 2.1 Het model 2.2 De bewegingsvergeli jkingen 2.3 De regelwetten 2.3.1 Freund

2.3.2 Model Compensation Control

3 Resultaten van de regelwetten

3.1 Modelparameters en gewenste trajectorie 3.2 Begincondities

3.3 Uitvoer simulatie

3.3.1 Freund zonder controlparameters 3.3.2 Freund met controlparameters

3.3.3 M.C.C.

4 Conclusies

BIJLAGE :

Bepaling bewegingsvergelijkingen via Lagrange

1.1 Kinetische energie S k i n

1.2 Potentiële energie V

1.3 Gegeneraliseerde krachten Q*

Bepaling verband tussen y en q,

a,i.

(gy en E,)

Bepaling verband tussen

4

en

4

en q,,,;. (92,s; en

E2

E3)

Bepaling gewenste trajectorie l/d = [xd yd]

Uitvoer simulaties "Freund zonder parameters"

. . . .

5.1 X,Xd y,yd X,Xd y,yd F1 F2 Voor At 1 1 Sec

5.2 k 1 cp

k

1

@voor At = 1 sec

a .

. .

5.3 X,Xd y,yd X,Xd y,yd F1 €72 Voor At = 3 Sec

5.4

Uitvoer simulaties "Freund met parameters"

6.1 - 6.4 idem 5.1 - 5.4

Uitvoer simulaties "Model Compensation Concept

7.1 - 7.4 idem 5.1 - 5.4 k 1 cp

k

1

@voor At = 3 sec 1 2 - 7 2 - 3 4 4 - 7 5 6 - 7 8 - 13 8 - 9 9 10 - 13 10 - 11 11 12 - 13 14 ,

Gevraagd wordt een regelwet te construeren voor een niet-lineair systeem met

meer vrijheidsgraden dan in-

of

uitgangen.

Hierbij worden de volgende twee regelconcepten gebruikt :

1. Regelconcept van Freund

2. Model Compensation Concept (M.C.C)

Voorts moet er worden aangetoond dat het M.C.C. voor een stabiele regeling zorgt waar "Freund" instabiliteit van de vrijheidsgraden veroorzaakt.

Eerst wordt een model gekozen (fig. 1 pag. 2) van een manipulator die met twee staven aan de vaste wereld is verbonden waardoor het systeem twee in-/uitgangen

[F, F,] en

[x

y] en drie vrijheidsgraden [k 1 p] bezit.

Van dit model worden de bewegingsvergelijkingen bepaald en vervolgens (in formulevorm) de regelwetten volgens Freund en het M.C.C..

Deze gegevens worden via subroutines in een computersimulatieprogramma ingevoerd.

Er wordt een gewenste trajectorie van de uitgangen

[x

y] gekozen, vervolgens worden

er van de trajectorie afwijkende begincondities aangeboden waardoor er een volgfout

in [x y] wordt geschapen.

De volgfout proberen we met het Freund concept weg te regelen door het kiezen van de juiste controlparameters. Uit computersimulaties blijkt dat hierbij de

volgfouten in de uitgangen weliswaar worden weggeregeld, maar dat de vrijheidsgraden

instabiel zijn en gaan oscilleren.

Ook het ingangssignaal is instabiel en onbegrensd.

in de simulaties een uitgang die weliswaar niet direkt de gewenste trajectorie volgt maar die na verloop van tijd de gewenste eindpositie bereikt en tot rust komt. Hierbij zijn de vrijheidsgraden echter stabiel en komen in de eindpositie tot rust (geen oscillatie). Het ingangssignaal is bij deze regeling stabiel en begrensd.

Met behulp van deze simulaties is daarbij aangetoond dat het M.C.C. een stabielere regeling levert voor het onderzochte systeem.

1

INLEIDING :

In dit verslag worden de verrichtingen van mijn stage in de vakgroep WFW-regeltechniek beschreven.

De stageopdracht was een regelwet te construeren voor een niet-lineair dynamisch systeem met meer vrijheidsgraden dan in/uit-gangen.

Daarvoor werden twee regelconcepten gebruikt :

1. de methode van Freund

2. een op 'Freund' gebaseerd uitgebreider concept :

het Model Compensation Concept (zie Heeren 119891)

Het doel van deze stage is tweeledig :

1. Het vertrouwd raken met het toepassen van een regelconcept op een niet-lineair systeem.

2. Het aantonen dat het Model Compensation Concept (afgekort A4.C.C) een betere

regeling is voor een systeem met meer vrijheidsgraden dan in/uit-gangen, dan het Freund regelconcept waarbij de vrijheidsgraden instabiel kunnen worden.

Om het analytische gedeelte niet te onoverzichtelijk te maken beperken we het

systeem tot een model met 3 vrijheidsgraden en 2 in- en uitgangen (§ 2.1).

Dit model wordt met behulp van de methode van Lagrange geanalyseerd, waarna de

toestandsvergelijkingen

(i

= f(z,u,t)) kunnen worden opgesteld

(5

2.2).

Vervolgens worden de regelwetten volgens Freund en M.C.C. opgesteld

(5

2.3) en in het

computer simulatieprogramma A.S.P toegepast op het systeem.

Als laatste worden de uit de simulatie verkregen resultaten besproken (hoofdst. 3) en kunnen de conclusies getrokken worden (hoofdst. 4)-

2 SYSTEEM EN REGELWETTEN :

2.1 Het model :

Als (denkbeeldig) model voor de toepassing van de regelwetten viel de keuze op een systeem met 2 starre staven, twee "puntmassa's" en een torsieveer (fig. i).

Staaf (1) kan via een starre rechtgeleiding loodrecht op staaf (2) transleren.

Aan het uiteinde van staaf (2) bevindt zich een manipulator (bijv. een grijper) met een last die wordt voorgesteld door een massa

De afstand (k) tussen de manipulator

kracht (F1) die wordt veroorzaakt door een motor (m2) aan het uiteinde van staaf (2).

Als reactiekracht werkt er een tegengesteld gerichte kracht (Fl) op staaf (2).

Een andere motor (F2) die op de vaste wereld is gemonteerd zorgt voor de verplaatsing (1)

met de hoek (b van staaf (2) ten opzichte van de vertikale.

en de rechtgeleiding wordt geregeld door de

mz) ten opzicht van het draaipunt van staaf (2) om die vaste wereld.

S) zorgt voor een moment op staaf (2), waarbij dat koppel recht evenredig is

Het uitgangspunt is nu om de positie van de manipulator (mi) in het x-y vlak te T

regelen, dat wil zeggen dat we de uitgang 9 = [x y] = positie van (mi) volgens een

T

gewenste trajectorie yd = [Xd yd]

Verder definieren we de volgende vectoren :

willen laten lopen.

vri jheidsgraden uitgangen

gewenste trajectorie ingangen

2.2 De bewegingsvergeliikine: :

Het systeem in

5

2.1 heeft niet-lineaire bewegingsvergelijkingen die in de volgende

vorm kunnen worden geschreven :

M.'Q

+

h(4,Q)

+

H - U

= O _12.61

In bijlage 1 worden met behulp van de methode van Lagrange de matrices M, H en de

kolom h bepaald.

Uit deze bewegingsvergelijkingen kunnen de toestandsvergelijkingen

k

= f (

x,

u,t)

eenvoudig bepaald worden.

Omdat onze interesse vooral uitgaat naar de uitgangen y = [x yIT van de

manipulator (m,) die we volgens een bepaald traject yd willen laten lopen, zoeken we een

relatie tussen y en 4 die volgt uit de geometrie :

y = g ( 4 ) = [k-cos+l.sin$ k . s i n $ + l . ~ o s $ ] ~ ~ . 7 1

Voor uitwerking van de regelwetten hebben we straks een relatie tussen resulteert na differentiatie van [2.7] en substitutie van de eïnverteerde

bewegingsvergelijking [2.8] hetgeen leidt tot de relatie r2.97 waarvan de kolom g" en de

matrix E, in bijlage 2 zijn uitgewerkt.

en q nodig, deze

2.3 De regelwetten :

De gewenste trajectorie proberen we te realiseren door het ingangssignaal u te

2.3.1 Freund :

In deze paragraaf wordt kort ingegaan op het maken van de regelwet [2.10] met de

methode van Freund (zie ook : [Heeren 19891).

Bij 'Freund' gaan we uit van een kolom

xi

[2.12] welke de volgfouten van de uitgang bevat :

= 9 - 1/ = [x-xd Y-Yd] = Iel

T

[2.12]

d

Voor ieder van de komponenten van deze kolom zoeken we naar een proportioneel verband

met de ingangen u. Dit gebeurt door differentiatie van de afzonderlijke elementen naar de

tijd en vervolgens door substitutie van [2.9] en [2.8] zodat er een kolom $ ontstaat (zie

[2.13] en [2.14]) :

Om eventuele volgfouten

3

te minimaliseren introduceren we een kolom ZTd E2.151 die we

van

q

aftrekken.

De parameters aij zijn 'controlparameters' die er voor zorgen {mits passend gekozen} dat de volgfout ei exponentieel naar nul gaat volgens [2.16] (zie Heeren [1989]).

1

ali.è,

+

alo.el

a2,.è2

+

a20.e2

G d

[2.15]

ëi

+

ail.ei

+

aio.ei = O [2.16]

Defeniëren we nu een kolom d, = -

ztd

dan volgt voor dl [2.17]

De meest optimale regeling is wanneer dl = O waardoor volgens [2.16] de volgfouten [e, e2]

ook naar nul gaan.

In dat geval volgt de optimale ingang u rechtstreeks door invertatie van [2.17] voor dl = U,

B k =

2.3.2 M.C.C. :

BK. (k-kmax)2 0

.

BK

-

(

k-kmin)2

Bij een systeem met evenveel vrijheidsgraden als in/uit-gangen blijkt het concept van Freund goed t e werken mits de controlparameters aij goed zijn gekozen.

Eventuele volgfouten (zoals verkeerde begincondities) worden dan snel weggeregeld. 'Freund' schenkt hierbij echter geen aandacht aan de regelinspanning die geleverd moet worden.Bovendien blijkt dat bij systemen met meer vrijheidsgraden dan

in/uit-gangen, de uitgangen weliswaar de vereiste trajectorie volgen maar dat de

vrijheidsgraden instabiel kunnen worden en dan in de tijd kunnen aangroeien.

Om deze faktoren toch mee te laten tellen wordt in Heeren[1989] een uitgebreider

regelconcept (M.C.C) geïntroduceerd.

Hierbij worden

overschrijdingen/toenames

van de : vrijheidsgraden, afgeleiden van de

vrijheidsgraden en ingangsgrootheden, met behulp van boetefuncties in de regelwet opgenomem en aldus beperkt.

Daartoe wordt een kolom z wordt gedefiniëerd als in [2.18] :

[2.18]

Hierbij is

xi

de kolom volgfouten volgens [2.12] en zijn

x2

en z, kolommen zoals in [2.19] en

[2.20] zijn gedeclareerd.

22 = [Bk Bl BPIT

z3 = [BDk BD, BDPlT

[2.19] c2.201

De elementen B, t / m BD, zijn boetefuncties die de toename van de vrijheidsgraden [k,l,q5]

en de afgeleides [dk,dl,d$] in een getal omzetten bijv. :

als k>kmaX elders als k<kmin

De grootte van de boetefuncties wordt mede bepaald door de boeteparameters

BK, BL,

....,.

BDP die later (evenals de controlparameters van Freund) passend gekozen

dienen te worden.

Ook nu wordt er weer een proportioneel verband gezocht tussen de kolom

x

en de ingang u

door differentiatie van de volgfouten =

2,

zie [2.13], en van de boetefuncties

4

en

3.

2 - 2 - - gX(I,Q) +E2.4 [2.21]

3

= i 3 = gA(q,Q) +E304 [2.22]

Analoog aan 'Freund' wordt ook nu een kolom

x$

gedefiniëerd [2.23] die we van

x*

aft rekken. Pil * Bk -pi0 * Bk

I

&l. Bp -P30 Bp P21 * Bl -P20 * Bl

qd

= [2.15] %d=

Er ontstaat dan een restvektor d = 2"" -

xJ

[2.23] die we zoveel mogelijk naar nul willen

sturen.

[2.24]

Omdat de dimensie van de restvektor d groter is als de ingangen u kunnen we [2.24] niet

inverteren voor d = U, maar zetten we d kwadratisch in een functionaal

2

[2.25] die we

vervolgens naar u minimaliseren.

Verder introduceren we een matrix :

R = r:[:

]

De coëfficiënten r, en r2 in deze matrix zorgen ervoor dat de ingangen F, en F2 worden

beperkt door ze in de functionaal

2

[2.25] mee te laten wegen.

{Overigens bevat ri een boetefunctie zodat

Fi

extra wordt beperkt zodra deze F,,,

overschrijdt (zie

5

3.3.3).}

&=

d * I * d + u.R.u [2.25]

Minimalisatie van de functionaal

2

naar u levert de een uitdrukking op voor u,

3 RESULTATEN VAN DE REGELWETTEN :

Nu we de beschikking hebben over de toestandsvergelijkigen van het systeem

(i

= $(x,u,t)) en over de ingangen u ([2.10] en [2.11]) kunnen we met behulp van een

simulatieprogramma de twee regelconcepten toepassen om een bepaalde gewenst e trajectorie te realiseren.

Hiervoor werd het programma ASP (Ren6 van de Molengraft) gebruikt waarbij de toestandsvergelijkingen en regelwet ten in subroutines kunnen worden aangeleverd.

ASP berekent vervolgens alle gewenste grootheden (in/uit-gangen, vrijheidsgraden) over

het te volgen traject.

3.1 Modelparameters en gewenste trajectorie :

T

De keuze van een gewenste trajectorie L/d = [Xd yd]

Als enige voorawaarde kan worden gesteld dat tijdens het volgen van deze uitgangen we graag een oscillatie van de vrijheidsgraden met de methode van Freund willen, die we met M.C.C. weer willen wegregelen.

en eindtoestanden van de beweging gekozen :

is vrij arbritrair.

Daarom werden na enige testruns de volgende waarden voor de (gewenste) begin-

t = O sec. : k = 0.1 m 1 = 0.4 m

#

= 0.1 rad

k

= O ms-1

i

= O ms-1

4

= O rads-1 t = 1 sec. : k = l m 1 = 0.5 m # = O rad

k

= O ms-1

i

= O ms-1

6

= O rads-1

Bovenstaande betekend fysisch gezien dat we de manipulator vanuit een bepaalde

beginpositie (waarin zijn snelheid nul is) in 1 seconde naar een bepaalde eindtoestand

willen brengen waaarin deze dan blijft staan.

Om de oscillatie van de vrijheidsgraden te verkrijgen wordt de verplaatsing

(1) (= 0.4 4 0.5 m) klein gehouden. Dit is als volgt te verklaren, wanneer we staaf (1) en

staaf (2) ontkoppeld zouden denken is staaf (2) een slinger met veerstijfheid (S)

,

massa

(m2) en lengte (1) (E 0.45 m) en hoekverdraaiing

#

.

De eigenfrequentie van deze slinger is : fe = 1/2a

.A

S/ (m,

-

1 2 ) .

Wanneer we de modelparameters de volgende (fysisch interpreteerbare) waarde geven :

---

10 kg

-

m2 = massa motor op staaf (2)

S = veerstijfheid torsieveer

fe = 1/27r ~ 1 00 0 0 /( 1 0 ~ 0 .4 5 2 ) N 11 Hz.

dan volgt voor de eigenfrequentie :

10 kg 10000 Nmrad-1 - - - -

Zoals zal blijken is deze frequentie terug te vinden in de oscillatie van hoek q5 en de lengte 1.

De verplaatsing k heeft slechts in geringe mate invloed op de amplitude van de

oscillatie, daarom werd gekozen voor een verplaatsing van 0.1 naar 1 m.

De invloed van de begin/eind-hoek q5 op de oscillatie is gering vandaar dat begin en

eindwaarden van (p willekeurig gekozen zijn.

Voor de tijdspanne van de beweging werd 1 seconde genomen omdat tijdens dit

tijdsinterval de oscillatie van de vrijheidsgraden (f = 10 Hz) in de plotjes van het

simulatieprogramma goed waarneembaar is.

Zoals al eerder is opgemerkt willen we de uitgangen g = [x y] een gewenste

trajectorie te laten volgen, en dit terwijl we voor het systeem de gewenste begin- en

eindtoestanden [k 1 q5

k

i

41

kennen.

Daarom is in bijlage 4 een derde orde polynoom bepaald die het L/d tijdens het interval

t E [OJ] sec. bepaald.

Hieruit zijn

y

en y door differentiatie te bepalen.

Ná

t = i seconde blijft L/d constant en zijn yd en

id

gelijk aan O.

T

3.2 Begincondities - :

Indien het systeem dezelfde begincondities als de gewenste begintoestand (zie

5

3.1)

heeft, dan zal de uitgang exact de ewenste trajectorie volgen omdat er verder geen

volgfouten meer kunnen optreden

P

het simulat ieprogramma bevat geen modelfouten of

storingen), en het ingangsignaal volgens [2.10] dus het nominale stuursignaal is.

Het wordt echter pas interessant wanneer het systeem andere begincondities heeft als die, die we in Ij 3.1 hadden gewenst.

Te grote afwijkingen tussen de gewenste en werkelijke begincondities zorgen voor

impulsachtige krachten in het begin van de beweging om de volgfouten te onderdrukken.

Vandaar dat we de werkelijke begincondities niet al te zeer van de werkelijke laten

afwijken, we kiezen deze als volgt :

gewenste begincondities werkelijke begincondi t ies

k0 = 0.2 m 10 = 0.35 m 40 = 1.2 rad (0.1 m) (0.4 m) (0.1 rad)

ko

= 0.5 ms-1 (0 ms-1) 10 = -0.1 ms-1 (O ms-1) 4 0 = 0.5 rads-1 (O rads-1)

3.3 Uitvoer simulatie :

Met behulp van het programma ASP kunnen we nu een simulatie uit voeren, hierbij

kunnen we het verloop van alle grootheden door middel van plaatjes volgen. In bijlage 5,6 en 7 zijn deze plotjes voor een drietal simulaties afgebeeld.

Achtereenvolgens wordt per simulatie geplot :

At = 1 seconde :

Het verloop van de uitgangen x en y ten opzichte van de (gestippelde)

gewenste uitgangen Xd en y.

Het verloop van de werkelijke snelheden

(gestippelde) gewenste snelheden x d en yd.

Het verloop van de ingangssignalen F1 en F2.

At = 1 seconde :

Het verloop van de vrijheidsgraden [k 1

$1.

Het verloop van de snelheden

[k

i

$1.

At = 3 seconde ; rest idem aan 1)

At = 3 seconde ; rest idem aan 2)

1)

en

y

ten opzichte van de

2)

3) 4)

Deze gegevens worden afgebeeld voor de tijdsspanne t = O tot 1 seconde en bovendien nog

eens over een tijdsinterval van 3 seconden om te bekijken of de vrijheidsgraden/ingangen

ná het eindtijdstip (t = 1 sec) ook wel snel tot rust komen.

Het drietal simulaties werd uitgevoerd met achtereenvolgens *

Regelwet volgens M.C.C. (§ 3.3.3) en bijlage 7.

Regelwet volgens Freund met controlparameters nul gesteld 3.3.1) en bijlage 5.

Regelwet volgens Freund met 'optimale' controlparameters

(

3.3.2) en bijlage 6.

3.3.1 Freund zonder controbarameters :

In deze eerste simulatie passen we de regelwet [2.10] volgens Freund op het systeem

toe waarbij we echter de controlparameters ( cllij zie [2.15]) gelijk aan nul stellen.

Gevolg hiervan is dat er alleen een nominaal ingangssignaal voor de gewenste trajectorie wordt gegeven dat zich niet bekommerd om eventuele volgfouten in de uitgang.

Dit is t e zien in bijlage 5.3 goed te zien :

Door het aanbrengen van begincondities anders dan de gewenste vrijheidsgraden ontstaat er

een volgfout in x en y, deze volgfout wordt in de tijd nog vergroot omdat ook de

beginsnelheden niet gelijk aan nul zijn en verder niet meer gecorrigeerd worden.

ewenste trajectorie (gestippelde lijnen), dit kan niet gezegd worden van de vrijheidsgraden

t

bijlage 5.4) die duidelijk instabiel blijken te zijn.

Vooral de lengte (1) blijkt in de tijd toe te nemen, maar ook in

k,$,k,i

en

$

is duidelijk een

oscillatie waar t e nemen met een frequentie van ca. 10 Hz hetgeen goed met de geschatte Behalve de (toenemende) volgfout lopen de uitgangen redelijk glad langs de

frequentie van staaf 2

(5

3.1 : fe = 11 Hz) overeenkomt.

op 'slinger' staaf (2) werkt, en vrijwel niet in kracht F, die staaf (i) uitschuift.

Deze oscillaties zijn ook duidelijk zichtbaar in de kracht F2 (bijlage 5.3) die immers

3.3.2 Freund met controlparameters :

Voor de tweede simulatie moeten we met de 'trial end error' methode zoeken welke de beste controlparameters aij (§ 2.3.1) zijn.

Het criterium voor het kiezen van de parameters is een snelle wegregeling van de

volgfouten (I/

-

pd

)

die optreden ten gevolge van afwijkende begincondities.

Er zijn 4 parameters te kiezen : a10,a20,a11 en a2,.

Om enigzins systematisch te werk te gaan, brengen we een verband tussen aio en ail aan.

At

Stel de volgfout ei = Re{êi.e i

}

waardoor de differentiaalvergelijking van de volgfout

[2.16] resulteert in :

Re{êi.ei . ( A 2

+

ai,.A

+

aio)} = O.

We kiezen oio en

ail

zodanig dat A slechts één oplossing A, heeft :

( A

+

A,), =

o

Hoewel we hier niet kunnen spreken van 'stabiele polen in het linkerhalfvlak (A,>O), blijkt

deze methode tot goede resultaten te leiden voor positieve A, 's.

Bovendien wordt het aantal te kiezen parameters gehalveerd.

A t

waarbij : oio = 2.A0 en ail = A8

Na vele simulaties met een verschillende waarden voor A,, en A,, ,werden de volgende

controlparameters als het beste bevonden :

a,,

= 1 O00

o

[

a1,=200

x,,=100 : X2,=8O : a2,=1600

a2,=8O Het resultaat van deze simulatie is weergegeven in bijlage 6.

Duidelijk is te zien (in bijlage 6.1) dat de volgfouten in x en y snel worden weggeregeld, de

uitgangen [x,y] volgen daarna exact de gewenste trajectorie.

Hier worden echter ook direkt de beperkingen van Freund zichtbaar, we kunnen de controlparameters nog meer opvoeren (waardoor de uitgangen nog beter worden) maar

daardoor wordt de regelinspanning F1 (bijlage 6.1) in het begin onevenredig groot.

Bovendien blijkt dat de vrijheidsgraden [k,l,$,k,~?$] (bijlage 6.2 en 6.4) en ingang F,

(bijlage 7.1 en 7.3) nog steeds oscilleren ondanks het feit dat het uitgangssignaal glad verloopt langs de gewenste trajectorie.

3.3.3 M.C.C. :

Om de oscillatie van de vrijheidsgraden en de grootte van de re elinspanningen te

beperken worden er met de M.C.C. methode nu boetefuncties [2.19]

+

72.201 ingevoerd.

Als gevolg daarvan hebben we nu naast de controlparameters nog 19 extra parameters te

kiezen om een goed verloop van de uitgangen en vrijheidsgraden te verkrijgen :

boet epar amet er

( s)

: controlparameter( s) :

grootheid : k 1

4

k

BK Pil Dl0

BL

P21 P20 BP 031 030 BDK 81

i

BDL 82

4

F1 F2 BDP 83 r l : R1 RlS r2 : R2 R2S

Allereerst werd getracht met behulp van de boetefuncties voor de vrijheidsgraden [k,l,$] en de bijbehorende controlparameters de oscillatie te beperken.

Zodra de een van de vrijheidsgraden boven een van te voren bepaalde grens [kmax71max7q5max] ging werd de bijbehorende boetefunctie in de regelwet van kracht.

Alle pogingen in deze richting faalden omdat deze boetefuncties in samenwerking met de controlparameters van Freund een tegenstrijdigheid opleverden waardoor er geen goede regeling mogelijk was.

Vervolgens werd geprobeerd de snelheden van vrijheidsgraden

[&,i

,a]

boven een

bepaalde maximale waarde te beboeten en aldus een oscillatie in de kiem te smoren. Ook dit bleek geen succes omdat de snelheden vooral aan het eind van de beweging gedempt konden worden omdat dáár de maximale waarden werden overschreden.

Een verlaging van de maximale snelheden leidde er toe dat de vereiste snelheden voor het realiseren van de gewenste trajectorie in het begin van de beweging niet worden gehaald.

Als laatste werd geprobeerd (vooral) de kracht F, (grote oscillatie) in te dammen met een

boetefactor r2 = R2 in de weegmatrix R [zie 2.251.

Bovendien werd hier nog een extra boetefunktie R2S aan toegevoegd die er voor moet zorgen dat de krachten niet groter worden dan een gekozen F,,,.

Hierdoor wordt ri:

Voor F,,, werd een waarde van 400 N gekozen om aan te tonen dat boven deze waarde

geen doorschot meer optreedt.

Na een aantal pogingen werden de volgende waarden voor de boeteparameters als beste

als

I

‘i

1

<Fmax als

I

Fi

I

>‘,ax

bevonden :

R1

= 0.01 R 2 = 0.04

R1S

= 0.012 R2S = 0.05

De controlparameters zijn gelijk aan die in de Freundregeling in

5

3.3.2.

De resultaten van bovenstaande regeling zijn in bijlage 7 weergegeven.

Duidelijk is in bijlage 7.1 te zien dat de krachten bij 400 N inderdaad worden afgetopt. Belangrijker is echter dat de oscillatie van de vrijheidsgraden is tegengegaan.

Dit is weliswaar ten koste van het snel wegregelen van de volgfouten (in

5

3.3.2 met

Freund) gegaan, maar de vrijheidsgraden blijven nu stabiel, de krachten beperkt en het

4 CONCLUSIES :

1)

invoeren van een functionaal in plaats van het interpreteren van plotjes over uitgangen en vrijheidsgraden.

Deze functionaal (zie [2.25]) sommeert alle volgfouten en boetefuncties tot een getal dat aangeeft in hoeverre de regeling van de toegepaste simulatie beter of slechter is dan een andere simulatie met andere parameters.

Een minimale waarde van deze functionaal moet dan worden nagestreefd. 2)

misschien beter geweest een controlparameter ( E ) op de kinetische energie in t e

voeren.

Hierbij wordt van de werkelijke kinetische energie (Tkin) een waarde afgetrokken

die nodig is voor het volgen van de gewenste trajectorie (Td) :

Het vinden van de juiste parameters kan veel objectiever gebeuren door het

In plaats van het toepassen van boetefuncties op de snelheden was het

3

= i ' k i n -Td = y4

+

z,'

u

%d= -E' ( T k i n -'d)

Omdat de tijd dit niet toeliet zijn beide bovenstaande punten niet verder uitgewerkt.

3)

behulp van de trial and error methode gevonden moeten worden, is het moeilijk de

optimale parameters te vinden.

Het vinden van parameters die goed voldoen kost al erg veel tijd.

Omdat de control- en boeteparameters in het Freund en M.C.C. concept met

4)

het Freund regelconcept.

De M.C.C. methode zorgt hier in tegenstelling tot Freund voor stabiele vrijheidsgraden en een beperking van de ingangssignalen.

BIJLAGE 1.1 Kinetische energie S k i n :

l.l.A Massa m? :

Absolute positie r n 2 t.o.v. O :

Afgeleide naar de vrijheidsgraden q :

O -sin@ -l.cos@ -l.sin@ Massamat rix M2 =

I

(r2)(r2)'dm : m2

1

O 0 0 O m2 O O O m2.12

Absolute positie mi t.o.v. O :

ri = -l.sin#

+

kVcos4

3

[ ]

1

[

l.cos#

+

k.sin#

Afgeleide naar de vrijheidsgraden q :

sin#

4

cos

#

-1 sin#+k

-

cos#

Massamat rix

Ml=

J

(rl)(ri)Tdm :

m1

1

O O ml O M l =

i

-ml

O'

e 1 mi k ml. (12+k2)

M

=

Ml

+

M2 :

Zwaartekrachtpotentiaal van massa's ml en m2 : f

Potentiele energie torsieveer S :

Totale potentiële energie V :

Arbeid 6W

6Wi = arbeid van F, bij verplaatsing 8s

/

Bewegingsvergelijkingen via Lagrange :

=O =O =O

Y

= SdQ) -1. sin$+k. cos$

=

[

l.cos$+k.sin$

1

El =

[

-sin$ -1

-

cos$-k

-

sin$

x2

= kolom boetefuncties van verplaatsingen = [ B k

Bi

B p

1'

BK * (k-kmax)2 '>',ax elders Bk = : BK O

-

(k-kmin)2 _k<kmin O

1

O 2 * l w a t O O 2 * Pwat

k>km,,

k<-kma,

elders

Stel nu dkwat = BDK *

(k-kmax)

! O BDK * (k+kmax)2

Bdl en Bdp zijn opgebouwd zoals Bdk

dlwat en dpwat zoals dkwat.

k>kmax

elders

k<-kmax

Uit de 1 2 gegeven en gewenste begin- en eindcondities van de vrijheidsgraden ( 4)

en de afgeleiden

(

i)

(zie

3

3.1) kunnen we 8 begincondities voor de gewenste uitgangen

en de snelheden krijgen, door toepassen van de relaties uit bijlage 2 :

Op deze manier verkrijgen we de volgende 8 begincondities :

t = O : Xd(0) = xdO t=l : X d ( 1 ) = xdl

;,(o)

= dxdO ;,(i) = &di

yd(O) = ydo yd(l) = ydl

id(()) = dyd0 Yd(1) = dydl

Nu we 8 begincondities hebben, kunnen we twee derdegraads polynomen in t

(met ieder 4 onbekende coëffiënten) voor Xd en Yd definiëren :

Voor de onbekende coëffiënten volgt na gelijkstelling aan begincondities :

a, = -2~xdl+dxd1+dxd0+2~xdO C, = dxd0 d, = xdO b, = 3 .xdl-dxdi-2 dxd0-3 .xdO a Y = -2-ydl+dydl+dyd0+2.ydO cy = dyd0 d, = ydO

by = 3 ydl-dydl-2 * dyd0-3 * ydO

.

..

.

..

1. 0.8 0.6 O O1 02 03 04 05 0 6 07 O8 0 9 1 nm 0.46 0.4 0.42 i O O1 02 03 04 OS 0 6 07 0 8 0 9 1 m a 1 8

-

02 ..' YSYS3 1 ', YSYS4 1 o + : : : : : : : : : I 1 O O1 O 2 03 04 OS 0 6 07 O8 0 9 1 O O 1 0 2 03 04 0 5 0 6 07 OS 0 9 1 60. 50. 40. 30. m. 10. O. -10. -m. -30. 4. -50. -60. TIME -10 '. T TIME USYSZ 1 I O O 1 O 2 03 04 OS 06 07 O H 0 9 1 llh4E a 5 4 : : : : : : : : : I O O 1 O 2 03 04 05 0 6 07 0 8 0 9 1 TlM!3

1.2 1. 0.8 O - ! : : : : : : : : : , O O 1 O 2 0 3 0 4 0 5 a 6 07 O S 0 9 i TIME O 1 0 s O 4s o1 I a i 5 . I : : : : : : : : : , o 0 1 0 2 03 o4 a5 o6 o7 08 o9 1 1IME 15. 10. 5. O. -5. -10. -15. XSYS1 1 O 55 05 O 45 0 4 035 O O 1 O 2 03 0 4 05 0 6 07 O S 09 i TiME 5 4 3 2 1 O 1 -2 xms3 1 XSYS4 1

-

-3 4 I o 0 1 o2 o 3 o4 as o6 o7 o 8 o9 i TIME e XSYSS 1 8 6 4 2 O -2 4 4 -8 -10 o 0 1 0 2 o 3 a 4 05 o6 o7 os o9 I. TIME XSYS6 i

0.6 "

T

I O o5 1 15 2 25 3 nm 1.8 1.6 1.4 1 2 1. 0.8 0.6 0.4 0.2 O. A xd 055 o5 0.45 I 60. 50. 40. 30. 20. 10. O. -10. -20. -30. 40. -50. -MI. O. o 5 1. 15 2. 2 5 ?IME 3. -10 -z 18 16 14 12 10 8 6 E?-:-.-.- 4 YSYS3 1 2 O I O 05 1 15 2 25 3 TIME I 05 1 15 2 25 3 TrME 05 1. 15 TIME

6;

05 O. UsYS1 1 '10 3. 2 5 2. 15 1. 2.

1

25

II

3. USYSZ 1

1.6 1.4 1.2 1. 0.8 0.6 0.4 0.2 O.

J

XSYS1 1 O. 0.5 1. 15 2 25 3. IIME o O5 1 15 2 25 3 4 Trim 15. 10. 5. * O 5 -10

I

-15 4 O O5 1 15 2 25 3 f TIME: 0 6 O 5 04 XSYSZ 1 . I i ~ l l l l l l ' l ' l l l l l ' l 0 3 O. 0.5 1. 1.5 2 25 3. nm? 5 4 3 2 1 O 1 -2 XSYS3 1 XSYS4 1

-

-3 4 I TIMe a o5 1 15 2 25 3 nME

0.6 05 0.4 03 0.2 0.1

t----

J

0 4 : : : : : : : : : I O O 1 0 2 03 04 05 06 07 O 8 O D I TEm 15 1 05 O 5 5 1 -15 O M 0.42 0.4 I O 1 O 2 03 0 4 05 06 0 7 O8 O 9 1 TIME 1 O 1 0 2 03 04 0 5 0 6 07 O8 O 9 1 TLME *lO '10 O O 1 O 2 03 0 4 05 06 0 7 O8 0 9 1 TIME 2 15 1 05 0 USYS1 2 415 14

-

1 2 . 1 -. O8 -. 06 -. 0 4 -- O O 1 O 2 03 0 4 05 06 0 7 O S 0 9 1 TIME O O 1 O2 03 0 4 0 5 06 07 0 8 0 9 1 TEm

XSYS1 2 o ss os O 45 04 O 35 o ) : : : : : : : : : I O O 1 O 2 03 0 4 O S 06 07 O 8 O 9 1 TIME OL5 o1 om O -005 o1 0 1 s . . , ~ , r . , . . , O. O 1 0.2 03 0.4 05 a6 a7 a8 U9 1. TBE 15. 10. 5. o 0 1 02 o 3 a4 os o6 07 os 0 9 I TIME XSYS 2 2 0 3 I ?iME O O 1 a2 03 a4 OS 0 6 07 0 8 0 9 1 6 5 4 3 2 1 o 1 -2 3 4 XSYS3 2

-

-5 XSYS4 2 6 4 : : ; : : : : : : I o 01 az o 3 0 4 os o6 o7 o s o9 1 TIME ls'

T

10 5 O 5 -10 XSYSS 2 I XSYS6 2 -1s l o 0 1 0 2 o 3 a4 as o6 07 os o g 1 TIME

0.6 o5 0 4 0 3 0.2 0.1 O. .-..* 1. I o5 15 2 2 5 3 TIME

4 % -

. r . . . . -15 4 O o5 1 15 2 2 5 I 3 TIME '10 4 - 2 o . 2 . .. 4 . 6 - 8 .. 10 .. -12 .' -14 i O 0 5 1 1 5 2 25 3 I TIME 036 O. o5 1. 1 5 2 25 3. I T E a 1.4 1 2 1 0.8 0 6 0 4 . I . * . . , . 1 1 5 2 25 3. I O. 05 110 2. 1 5 1. I l l , i l l I u s Y S 1 2 O o5 1 15 2 25 3 I TIME USYS 2 2

0.8 0.7 0.6 o5 0.4 03 0.2 O. 1 O. 0.5 1. 1.5 T m 5 2 25 3. I. o15 4 O o5 1 15 2 25 3 1 -15 O o5 1 IS 2 25 3 1 TIM5 O 45 04 O 35 x s Y s 1 2 0 05 1. 15 2 25 3 1 TIME 0 as 1 15 2 25 3 1 Tn"5

I"'

XSYSS 2 -15 4 0 05 1 15 2 2 5 3 1 TIME XSYS 2 2 xsYs4 2 XSYS6 2

- 6 . .-.. . O J : : : ! : : : : : I O O 1 0 2 0 3 0 4 OS a6 07 0 8 O 9 1 TlMe 4 0 0 . -

ï/

1m. o. 4

4

. * . .... usYs13 llME I_

y&r

-.-

-,.. 1 1 : : : : : : : : : I o o: 0 2 o 3 a4 os o6 o7 os o9 i TIME m y 3 m _. m -- im -- o -- -lm .- -m -_ 3m -- : : : : : : : : I o o: 02 o3 o4 a5 o6 a7 os as I TIME umsz 3

0.7 0.6 0.5 0.4 0 3 0.2 o. 1 O. XSYS 1 3 O O 1 02 Cl3 0 4 0 5 0 6 07 O8 O 9 1 llME o. 1 O.% O. 0.05 0. 1 0.15 o a i 0 2 o3 o4 05 o6 o7 o8 as 1 xsys3 3 TIME XsYS5 3 - 1 5 4 : : : : : : : : : I O O 1 02 03 04 0 5 Cl6 Cl7 0 8 O 9 1 TIME 048 046 044 O 42 04 038 036 034 1 O O 1 O 2 0 3 a4 0 5 0 6 0 7 O8 O 9 1 TIME 5 4 : : : : : : : : : í a a i 0 2 o3 a4 05 o6 a7 o8 o9 1 ??ME 1 5 4 : : : : : : : : : I o 01 0 2 03 a4 a5 o6 o7 os 09 1 llME XSYS 2 3 xsYs4 3 X W S 6 3

û6 0.5 0.4 a3 0.2 0.1 0.46 0.44 0.42 0.4 a38 0.36 o 4 O I os 1 15 2 2 5 3 Tuv5 403. 300. m. 1m. O. -1m. -m. -3m. 433. O. 0.5 1. 1.5 2 3. TIME USYS 1 3 1 I O5 15 2 2 5 3 TIME r

.

. .

. .

.

1 0.5 1. 15 2 2 5 3. nw 1 3 0 05 1 15 2 25 IIME USYS 2 3

05 o48 o46 o44 042 04 038 -. 036 . a x .- .. .- .- .. .- I T _T XSYSI 3 _{XSYS 2 3} O o5 1 15 2 25 3 4 m a

T

c o1 OE O O o5 O 1 O 15 XSYS4 3 XSYS3 3 Q a5 1 15 2 25 3 I ?IME O. 0.5 1. 1.5 2 25 3. TIME 1.5 1. 05 O. O5 -1. -1.5 X W S 5 3 XSYS 6 3 -15 4 O o5 1 1 5 2 25 3 i TIME a o5 1. 1 5 2 25 3 I TIME