Wringspanning theorie

WRINGING

VOORBEELDEN VAN OP WRINGING BELASTE CONSTRUCTIES:

op wringing belaste kokerligger 100 100 wringend moment a b

EVENWICHTSWRINGING:

• Het wringdraagvermogen van het constructiedeel is noodzakelijk voor het evenwicht van de krachtsverdeling.

• Door middel van een berekening moet worden aangetoond dat het wringdraagvermogen van het constructiedeel voldoende is.

• Bij onvoldoende wringdraagvermogen is de constructie labiel.

COMPATIBILITEITSWRINGING:

• Voor het evenwicht is het optreden van wringende momenten niet noodzakelijk.

(compatibiliteit: 'gelijkheid van vervorming' )

• Evenwicht is ook mogelijk als de wringstijfheid van desbetreffend constructiedeel wordt verwaarloosd.

• De constructie wel zodanig ontwerpen dat compatibiliteitswringing kan ontstaan.

EVENWICHTSWRINGING COMPATIBILITEITSWRINGING l2 Fd Fd F ld 1 Fd F ld 2 Md - lijn V_d - lijn T_d - lijn l₁ A A A A B B B B a c b 45° b a wringslappe randbalk

VERLOOP VAN DE WRINGSPANNINGEN b h roerri chtin g

rond vat met water

dT2

dT1

SCHUIFSPANNINGEN T.G.V. WRINGING:

t d dT

W

T

=

τ

τdT = rekenwaarde van de schuifspanning t.g.v. wringing.

Td = rekenwaarde van het wringende moment.

Wt = weerstandsmoment tegen wringing van een rechthoekige

doorsnede. ( T is van Torsie)

h

b

6

,

0

1

h

b

W

2 31 t

⋅

+

⋅

⋅

=

b is de kleinste dwarsafmeting van de doorsnede h is de grootste dwarsafmeting van de doorsnede

Een rechthoekige doorsnede kent meer dan één weerstandsmoment tegen wringing, omdat de schuifspanningen aan de boven- en onderzijde verschillen van die aan de zijkanten.

Het maatgevende weerstandsmoment (kleinste) heeft betrekking op de zijkanten, omdat daar de grootste schuifspanning optreedt..

GRENSWAARDEN VAN DE SCHUIFSPANNINGEN

TOETSINGSCRITERIUM:

ττττ

dT

≤

ττττ

uT

• τuT = τ1T is de opneembare schuifspanning indien geen

wringwapening wordt toegepast.

• τuT = τsT > τ2 is de opneembare schuifspanning indien wel

wringwapening wordt toegepast.

• τ1T is de grenswaarde van de opneembare schuifspanning zonder

wringwapening.

• τsT is de opneembare schuifspanning door wringwapening.

• τ2T is de grenswaarde van de opneembare schuifspanning met

wringwapening.

De wringstijfheid van de ligger in de gescheurde fase is meestal aanzienlijk lager dan in de ongescheurde fase (slechts 1/5 à 1/8):

Grenswaarde

_ττττ

_1T

:

• Bij zuivere wringing ontstaat geen drukzone; wel ontstaan hoofdspanningen onder 45°, waarbij de hoofdtrek- en hoofddrukspanningen loodrecht op elkaar staan.

Er ontstaat dus geen drukboog en trekband als bij buiging.

ττττ

1T

= 0,3 f

b

Hoofdspanningen als gevolg van wringing.

druk

tre

_k

tr

ek

dru

k

45°

Grenswaarde

_ττττ

_2T

:

• Evenals bij dwarskracht worden ook bij wringing drukdiagonalen gevormd als onderdeel van een ruimtelijk vakwerk.

Om te voorkomen dat deze drukdiagonalen bezwijken, geldt hier dezelfde grens als bij dwarskracht:

ττττ

2T

= 0,2 f '

b

Als _τ2 wordt overschreden, rest alleen het versterken of vergroten

van de drukdiagonaal.

Dit kan door de betonsterkteklasse te verhogen en/of de betonafmeting te verhogen.

WRINGWAPENING:

• De scheurvorming verloopt spiraalsgewijs.

• De meest geschikte wringwapening zou daarom een spiraalwapening zijn.

In verband met de moeilijke uitvoering daarvan worden meestal beugels en langswapening toegepast.

• De ligger is te beschouwen als een kokervormig ruimtelijk vakwerk • De beugels en de langswapening vormen samen de horizontale en

verticale trekstaven van het ruimtelijk vakwerk.

De beton tussen de scheuren vormt de drukdiagonalen.

• De helling van de drukdiagonalen verloopt onder 45° met de balk-as.

Ruimtelijk vakwerk bij zuivere wringing.

s 45° 45° + + + + + -b₁ b₁ h₁ T_d T_d T_d h1 _h b dT dT dT dT 2 2 N_s = _ 1 2 N_s = _ 1 2 N'_b N'_b N'_b a c b d

• De kracht in de drukdiagonaal van het maatgevende zijvlak noemen we N 'b

• De grootte van de trekkracht in de langswapening wordt:

N

s;langs

= ½ N '

b

* √2

• De grootte van de trekkracht in de beugels wordt:

N

s;beugel

= ½ N '

b

* √2

• De krachtswerking, vereenvoudigd weergegeven, wordt nu:

T

d

= N

sb

* b

1

+ N

sh

* h

1

b1 h.o.h. afstand van de verticale beugelbenen. b2 h.o.h. afstand van de horizontale beugelbenen.

Nsh optredende kracht (in de beugel) in het onder- en bovenvlak. Nsb optredende kracht (in de beugel) in de beide zijvlakken.

2 2 N_sb = _ 1 2 N_sb = _ 1 2 N_sb b₁ h1 b h N_sb N_sh T_d N'_b N_sh N_sh N_sh N'_b N'_b N'_b a _b

De schuifstroom is constant:

N

sb

* b

1

= N

sh

* h

1 Invullen in: Td = Nsb * b1 + Nsh * h1:

T

d

= N

sb

* b

1

+ N

sb

* b

1

= 2 N

sb

* b

1 of: 1 d sb

b

2

T

N

₌

1 d sh

h

2

T

N

₌

De op te nemen langskracht in beide zijvlakken:

1 d 1 d sb

b

T

b

2

T

2

N

2

₌

_⋅

₌

De op te nemen langskracht in onder- en bovenvlak:

1 d 1 d sh

h

T

h

2

T

2

N

2

₌

_⋅

₌

De totale op te nemen kracht door langswapening, Ns;langs, in de vier vlakken:

N

s;langs

= 2N

sb

+ 2N

sh 1 1 1 1 d 1 1 1 d 1 1 1 d 1 d 1 d langs ; s

h

b

)

h

b

(

T

h

b

h

T

h

b

b

T

b

T

h

T

N

₌

₊

₌

₊

₌

⋅

+

De benodigde doorsnede van de langswapening:

s d 1 1 1 1 s langs ; s langs ; s

f

T

h

b

h

b

f

N

A

₌

₌

+

_⋅

Deze wapening moet regelmatig worden verdeeld over de breedte en hoogte van de ligger.

Per lengte, dus delen door de omtrek 2(b1 + h1) wordt:

s 1 1 d langs ; s

f

h

b

2

T

A

₌

De horizontaal op te nemen kracht is gelijk aan de verticaal op te nemen kracht:

A

s;langs

= A

s;beugels Per lengte: s 1 1 d beugels ; s

f

h

b

2

T

A

₌

Bij een beugelafstand s :

s 1 1 d beugels ; s

f

h

b

2

T

s

A

₌

⋅

De maximaal aan te houden beugelafstand smax bij een aangenomen

kenmiddellijn: d s 1 1 beugels ; s max

T

f

h

b

A

2

s

₌

REKENVOORBEELD 1

Balkafmeting b*h = 400 * 400 mm2 Rekenwaarde kolombelasting N 'b = 400 kN Beton B25 Staal FeB500 Milieuklasse 2 200 a c b d N'_d = 400 kN T_d -lijn T_d T_d T_d T_d T_d = 40 kNm b h x = 400 x 400 mm2 _ 1 2 _ 12 _ 1 2 _ 1 2 40 kNm 80 k N m

COMBINATIE WRINGING EN DWARSKRACHT

Als een ligger wordt belast op wringing, is meestal ook een dwarskracht aanwezig, waardoor de ligger wordt belast op een combinatie van

wringing en dwarskracht. F_d B A T_d = F_{d 2}l l2 F_d l₁ A B

• In één zijvlak van de ligger valt de richting van beide schuifspanningen samen.

In dit vlak moeten de schuifspanningen worden opgeteld.

Voor de opgetelde schuifspanningen gelden de grenswaarden

τ

1 en

τ

2.

• In het andere zijvlak, waar de beide schuifspanningen niet

samenvallen, moeten deze afzonderlijk getoetst worden op

τ

1 en

τ

2.

Schuifspanningen t.g.v. wringing en dwarskracht.

t.g.v. T_d

+ = of

TOETSINGSCRITERIUM

• Twee voorwaarden en aan beide voorwaarden moet worden voldaan indien geen wapening wordt toegepast:

a. De beide schuifspanningen vallen samen.

1

V 1 dV T 1 dT

_≤

τ

τ

+

τ

τ

(hierin is

τ

1T = 0,3 fb en

τ

1V = 0,4 fb)

b. De beide schuifspanningen vallen niet samen.

1

T 1 max dT

≤

τ

τ

In doorsneden waarbij de breedte groter is dan de hoogte, vinden we de maximale schuifspanning door wringing niet in de

zijvlakken, maar in het onder- en bovenvlak van de ligger.

Bij een kleine dwarskracht, bijvoorbeeld alleen het eigen gewicht van de ligger, kan voorwaarde b. maatgevend zijn.

In voorwaarde a. vallen de schuifspanningen t.g.v. de wringing en dwarskracht samen.

Bij het berekenen van de schuifspanning door wringing zijn we bij

voorwaarde a. geïnteresseerd in de schuifspanning in dat zijvlak en niet in de maximale schuifspanning die, indien b > h, niet in het zijvlak, maar in het onder- en bovenvlak aanwezig is.

Is h ≥ b, een 'hoge' balk, dan valt

τ

dT max in het zijvlak:

h

b

6

,

0

1

h

b

W

2 31 t

⋅

+

⋅

⋅

=

In dit geval is

τ

dT =

τ

dT max

Loopt de dwarskracht evenwijdig aan de kleinste zijde ('platte balk') dan geldt:

h

b

6

,

0

1

h

b

W

2 31 t

⋅

+

⋅

⋅

=

In dat geval geldt:

t d dT

W

T

=

τ

De schuifspanning in het zijvlak is dan niet gelijk aan de maximale schuifspanning. Deze is nu in het onder- en bovenvlak.

• Indien niet wordt voldaan aan voorwaarde a, moet de gekozen wringwapening en eventuele dwarskrachtwapening voldoen aan:

-

τ

dT ≤

τ

sT

-

τ

dV ≤

τ

1V +

τ

sV

-

τ

dT +

τ

dV ≤

τ

2

Bij de eerste twee voorwaarden heeft een afzonderlijke toetsing plaats van de schuifspanning t.g.v. wringing resp. dwarskracht.

Bij de derde toetsing moet de gezamelijke schuifspanning worden getoetst voor de controle van de drukdiagonaal.

• Indien niet wordt voldaan aan voorwaarde b, moet de gekozen wringwapening voldoen aan:

-

τ

dT max ≤

τ

sT

-

τ

dT max ≤

τ

2

Uit de eerste voorwaarde blijkt, dat niet gerekend mag worden op de bijdrage van de drukzone.

KOKERLIGGER BELAST OP WRINGING

• In de doorsnede van een kokerligger is, evenals bij een

rechthoekige doorsnede, sprake van een rondgaande schuifstroom. • Omdat de wanddikte van een koker relatief klein is, mag de

schuifspanning over de dikte constant worden verondersteld. • Het scheurpatroon komt overeen met een balk met rechthoekige

doorsnede. 2 1 1 2 a b T_d T_d T_d

MAXIMALE SCHUIFSPANNING BIJ KOKERVORMIG PROFIEL.

Schuifstroom

τ

* d = constant

Schuifstroom s (N/mm) = wanddikte (mm.) * schuifspanning (N/mm2)

Het wringend moment Td wordt in dit geval opgenomen door een aandeel

van de lange wanden en een aandeel van de korte wanden: • Lange wanden:

τ * d * s

1

* s

2

•

Korte wanden:

τ * d * s

₂

* s

₁

T

d

=

τ * d * s

1

* s

2

+

τ * d * s

2

* s

1
2 1 d

s

s

2

T

d

⋅

=

⋅

τ

_{(s1*s2 is het door de hartlijnen van de}

wanddelen ingesloten oppervlak) De maximale schuifspanning treedt nu op bij minimale wanddikte:

min 2 1 d max

d

s

s

2

T

⋅

⋅

=

τ

REKENVOORBEELD 2

Balkafmeting 400 * 400 mm2 Luifel h = 200 mm. Afwerking 1,45 kN/m2 Veranderlijke belasting 1,00 kN/m2 Veiligheidsklasse 3 Beton B35 Staal FeB500 l = 5000 1600 2000 400 20 0 40 0 400 1600 2000 1000 200 pd qd = 14,4 kN/m a b 36 50,75 36 50,75 T_d - lijn (kNm) V_d - lijn (kN) q_d q_d c d