Calculus 2 jan 2015 sioen

Calculus 2 (Januari 2015) (Mark Sioen)

1) Los volgende differentiaalvergelijking op door scheiden van veranderlijken:

𝑦′ = 𝑡𝑒

𝑡2_{− 2}

2𝑦 − 4 , 𝑦(0) = 6 2) Los volgende 2e _{orde differentiaalvergelijking op:}

𝑦′′_{− 2𝑦}′_{+ 𝑦 = 𝑡𝑒}𝑡_{+ cos(𝑡) 𝑒}𝑡

3) Gebruik de kettingregel om 𝛿𝑤_𝛿𝑠 te bepalen in functie van s en t

𝑤 = cos(𝑥 − 𝑦) + 𝑦2− √𝑧 , 𝑥 = 𝑠2− 𝑡 , 𝑦 = 𝑒2𝑠 , 𝑧 = 𝑡2𝑝4 , 𝑝 = 6 − 𝑠 4) Lagrange: extrema berekenen

𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦2 _{𝑛𝑒𝑣𝑒𝑛𝑣𝑜𝑜𝑟𝑤𝑎𝑎𝑟𝑑𝑒: 𝑥}2_{+ 𝑦}2_{= 6}

5) Dubbele integraal berekenen:

∫ ∫ ln(𝑥2_{+ 𝑦}2_{+ 1) 𝑑𝑦𝑑𝑥} √1−𝑥2 0 1 −1 (𝑝𝑜𝑜𝑙𝑐𝑜ö𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡𝑒𝑛) 6) Bepaal: ∭ 𝑧𝑑𝑣 𝐸 (𝑔𝑟𝑒𝑛𝑧𝑒𝑛 𝑣𝑎𝑛 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑏𝑒𝑝𝑎𝑙𝑒𝑛) E is in eerste octant, tussen vlakken 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 𝑒𝑛 2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 12 E ligt voor de driehoek met hoekpunten (0,0,0), (1,0,1/2), (1,0,2).

7) Bepaal, indien bestaat, een potentiaal voor het vectorveld: 𝐹

⃗⃗⃗ (𝑥, 𝑦) = (8𝑦3_{− 2𝑥𝑦}2_{+ 16𝑥)𝑖 ⃗ − (9 + 2𝑦𝑥}2_{− 24𝑥𝑦}2_{)𝑗 ⃗⃗}

Bepaal de lijnintegraal ∫ 𝐹 𝑑𝑟 _𝐶 waar c het lijnstuk is van (2,1) naar (-1, -3). 8) bepaal de lijnintegraal ∫ (3𝑦 + sin(𝑥2))𝑑𝑥 + 𝑥𝑦2_𝑑𝑦

𝐶 door Greene. C gaat van (1,2) naar (1, -2)

via 𝑥 = 𝑦2− 3, vervolgens gaat C van (1,2) -> (4,-2) -> (4,2) -> (1,2) in rechte lijnstukken.

Bereken ∬ (∇_𝑆 ⃗⃗ 𝑥 𝐹 )𝑑𝑠 (Stokes)

Met 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑖 + (𝑦2− 𝑧3)𝑗 − 12𝑥𝑘⃗ georiënteerd volgens +Y-as S het oppervlak door paraboloïde 𝑦 = 2𝑥2+ 2𝑧2 _{binnen cilinder 𝑥}2_{+ 𝑧}2_{= 4}