Oplossen vergelijkingen (overzicht)

Oplossen vergelijkingen (overzicht)

We geven een overzicht van de methodes om algemene vergelijkingen en vergelijkingen van een speciaal type op te lossen. In de documenten die de specifieke typen vergelijkingen behandelen kan men veel voorbeelden vinden.

A) Algemene regels

A ∙ B=0⟺ A=0 ∨ B=0 A ∙ B= A⟺ A=0 ∨ B=1

A2

=B2⟺ A=B ∨ A=−B A ∙ B= A ∙ C⟺ A=0 ∨ B=C

B) Lineaire vergelijkingen a ∙ x =b⟺ x=b a

( a ≠ 0¿ a ∙ x =0⟺ x =0 ( a ≠ 0¿ B) Tweedegraadsvergelijkingen 1) x2 =p a) p<0 : geen oplossing b) p=0 : x=0 c) p>0 : x=

√

p∨ x=−

√

p 2) a x2 +bx+c=0 (a ≠ 0) ; D=b2−4 ac a) D<0 : geen oplossing b) D=0 : x=−b 2 a

c) D>0 : x= −b ±

√

D 2 a C) Gebroken vergelijkingen A B ¿0 ⟺ A=0∧ B ≠ 0 A B ¿ A C⟺ (A=0∨B=C) ∧ B ,C ≠0 A B ¿C ⟺ A=B ∙ C∧ B≠ 0 A B ¿ C B⟺ A=C ∧ B ≠0 A B ¿ C D

⟺ A ∙ D=B ⋅C ∧ B , D ≠0 1 B ¿ 1 C⟺ B=C ∧ B ,C ≠0 a x ¿b ⟺ x= a b

( a , x ≠ 0¿ D) Hogeremachtsvergelijkingen

xn=p ( n is een positief geheel getal, p is een reëel getal) I) n is oneven: x=

√

n p (één oplossing)

II) n is even.

a) p<0 : geen oplossing b) p=0 : x=0 c) p>0 : x=

√

n p∨ x=−n

√

p 1

An=Bn ( n is een oneven positief geheel getal) ⟹ A=B

An

=Bn ( n is een even positief geheel getal) ⟹ A=B∨ A=−B

E) Exponentiële vergelijkingen

1) gA=p (op te lossen naar A , waarbij g>0 en g ≠1 )

a) p≤ 0 : geen oplossing b) p>0 : A=glog ⁡( p) 2) gA

=gB⟺ A=B

3) eA =p

a) p≤ 0 : geen oplossing b) p>0 : A=ln( p)

F) Logaritmische vergelijkingen ( g>0 en g ≠1 )

g

log ⁡(A )=B ⟺ A=gB _; g

log ⁡(A )=glog ⁡(B) ⟺ A=B

g_{log ⁡(A )+}g_{log ⁡(B)}

¿glog ⁡(C) ⟹ A ∙ B=C (en A , B , C>0¿

g

log ⁡(A )−glog ⁡(B)¿glog ⁡(C ) ⟹ A / B=C (en A , B , C>0¿

g

log ⁡(A )= p ∙glog ⁡(B) ⟹ A=Bp _{(en A , B>0¿} g

log ⁡(A )=0 ⟹ A=1

g

log ⁡(A )=m+n ∙glog ⁡(B) ⟹ A=gm∙ Bn ln (a )=b⟺ a=eb

G) Goniometrische vergelijkingen

sin(A)=sin(B) ⟺ A=B+k ∙ 2 π ∨ A=π−B+k ∙ 2 π cos ( A)=cos ⁡(B) ⟺ A=B+k ∙ 2 π ∨ A=−B+k ∙ 2 π

sin(A)=0⟺ A=k ∙ π cos ( A)=0⟺ A=1

2π +k ∙ π sin ( A )=1⟺ A=1

2π +k ∙ 2 π cos ( A)=1⟺ A=k ∙ 2 π sin ( A )=−1⟺ A=−1

2 π +k ∙ 2 π cos(A)=−1⟺ A=π +k ∙ 2 π H) Vergelijkingen met absolute waarde teken(s)

|A|=|B| ⟺ A=B ∨ A=−B |A|=B ⟺ ( A=B∨− A=B )∧ B ≥ 0 I) Wortelvergelijkingen

√

A=B⟺ A=B2_{∧B ≥ 0}

√

A=

√

B⟺ A=B∧ B ≥ 0

√

A=B+C ⟺ A=(B+C)2 ∧ B+C ≥ 0 2

J) Kwadrateren van een vergelijking

Als men beide leden van een vergelijking kwadrateert, dan moet gecontroleerd worden of de verkregen oplossingen voldoen aan de oorspronkelijke vergelijking.