Opgaven + uitwerkingen Constructieleer

Uitwerkingen voor online lesgeven.

Ra = 90 kN en Rb = 90 kN

Hoek tussen stang 1 en 6 is → tan hoek = 3/2 → hoek is 56,31 graden. Kooppunt A

Stang 6 verticaal is 90 kN→ stang 6 = 90 kN / sin(56,31) → stang 6 = 108,17 kN Stang 6 is een duwstang.

Stang 1 = 108,17 * cos(56,31) → Stang 1 = 60 kN Snede door stangen 1 , 7 en 4.

∑ momenten t.o.v. knooppunt 2 = 0 → 90 kN * 4m -60 kN * 2 m – stang4 * 3m = 0 → Stang 4 = 80 kN en draait linksom dus een duwstang.

Stang 7 bereken je met knooppunt 5

Knooppunt 5: De ∑ van de verticale krachten = 0 → Stang 6 verticaal is 90 kN ↑ (duwstang) – de externe kracht van 60 kN geeft: Stang 7 verticaal = 30 kN ↓

De hoek tussen stang 7 en stang 1 is 56,31 graden. Dan geldt voor stang 7: Stang 7 = 30 kN / sin(56,31) → Stang 7 = 36,1 kN en is een trekstang.

Verder…

Reactiekrachten uitrekenen:

∑ momenten t.o.v. A = 0 ➔ 25 kN * 0m + 50 kN * 2m + 40 kN * 4m + 60 kN * 6 m + 40 kN *8m + 50 kN * 10m – 30 kN * 3 m ± Rb * 12 m = 0 → Rb = 1350 / 12m → Rb = 112,5 kN

Dus Rb verticaal = 112,5 kN.

Rb is een rolpunt dus Rb horizontaal = 0 kN.

Ra verticaal = 265 kN – 112,5 kN = 152,5 kN. Ra horizontaal = 30 kN.

Nu de stangkrachten: Begin met knooppunt 8 Knooppunt 8:

Knooppunt methode: ∑ van de verticale krachten = 0 → Stang 13 = 25 kN ↑ en is een duwstang en stang 7 is een nulstang. Kun je ook controleren via de snede door 1, 14 en 7 !! Dus Stang 7 = 0 kN Knooppunt 1

Knooppunt methode: ∑ van de verticale krachten = 0 → Ra = 152,5 kN ↑ en

stang 13 = 25 kN ↓(duwstang) → Stang 14 verticaal = 127,5 kN. Ra De hoek tussen stang 1 en stang 14 is 56,31 graden. 13 Stang 14 = 127,5 / sin(56,31) = 153,2 kN. Stang 14 is een duwstang.

Dus Stang 14 = 153,2 kN 14

Knooppunt 1

∑ van de horizontale krachten = 0

Stang 1 = Stang 14 horizontaal – 30 kN → Stang 14h = 153,2 kN * cos(56,31) = 85 kN en een

duwstang.

Stang 1 = 85 – 30 kN →

Dus stang 1 = 55 kN en is een trekstang.

Stang 1 kan ook via de snede methode !! → uitproberen en vergeet Rah niet !!

Knooppunt 2

Uit knooppunt 2 volgt:

Stang 15 is een nulstang → Stang 15 = 0 kN.

Stang 1 = Stang 2 → Stang 2 = 55 kN. En is een trekstang. Knooppunt 9

∑ van de verticale = 0 → Stang 14 verticaal = 127,5 kN ↑ en de externe kracht is 50 kN ↓ Dus stang 16 verticaal = 127,5 kN – 50 kN = 77,5 KN ↓

De hoek tussen stang 16 en stang 2 is 56,31 graden.

Er geldt: Stang 16 is : 77,5/sin(56,31) = 93,14 kN. Dus stang 16 = 93,14 kN. En is een trekstang.

Stang 8 berekenen: Kan via knooppunt 9 of een snede maken door de stangen 8,16 en 2 Snede methode → ∑ van de momenten t.o.v. knooppunt 3 = 0 → 152,5 kN * 4m – 25 kN * 4m – 50kN *2m ± Stang 8 * 3m = 0 → Stang 8 = 136,67 kN en is een duwstang.

Stang 3 berekenen : Kan via knooppunt 3 maar snede methode is gemakkelijker ! Stang 3 → Snede door stang 3,18 en 9 → ∑ van de momenten t.o.v. knooppunt 11 = 0 Let op dat je Rah = 30 kN meetelt bij de momenten !!

Uitwerking: 152,5 kN * 6m – 30 kN *3m – 25 kN *6m – 50 kN * 4m – 40 kN * 2m ± Stang 3 * 3m = 0 395 – Stang 3 * 3m = 0 → Stang 3 = 131,67 kN is een trekstang.

Knooppunt 4

Stang 4 = Stang 3 = 131,67 en is ook een trekstang. En Stang 19 = 60 kN.

Knooppunt 10

Stang 9 = Stang 8 = 136,67 kN en is een duwstang En Stang 17 = 40 kN ↑ is een duwstang.

Stang 10 berekenen:

Waarom is stang 10 niet gelijk aan stang 9 ?

Maak voor stang 10 een snede door de stangen 10, 20 en 4 en bereken ∑ van de momenten t.o.v. knooppunt 5 = 0

Je kunt ook met het rechter deel rekenen!! →

50 kN * 2m – 30 kN *3m – 90 kN *4m ± Stang 10 * 3m = 0 → Stang 10 = 146,67 kN en is een duwstang.

Stang 4 berekenen:

We nemen weer de snede door de stangen 10, 20 en 4 en bereken ∑ van de momenten t.o.v. knooppunt 11 = 0

Stang 4 = 131, 67 kN.

We wisten al dat Stang 4 = Stang 3 Stang 20 bereken:

Neem knooppunt 11 → ∑ van de verticale = 0 maar ik heb nog teveel onbekenden ! We hebben stang 18 nodig.

Neem knooppunt 3 en bereken eerst stang 18 !

In knooppunt 3 geldt: → ∑ van de verticale = 0 → Stang 16verticaal = 77,5 kN ↓ en Stang 17 = 40 kN↑

dus moet Stang 18vertikaal = 37,5 kN ↑

De hoek is weer 56,31 graden → Stang 18 = 37,5 / sin(56,31) → Stang 18 = 45,1 kN en is een duwstang.

Nu kun je Stang 20 berekenen: Neem knooppunt 11 → ∑ van de verticale = 0 Stang 18vertikaal = 37,5 kN ↑ en Stang 19 = 60 kN en is een trekstang ↓

Stang 20verticaal = 22,5 kN en de hoek is 56,31 graden.

Dus stang 20 = 22,5 kN / sin(56,31) → Stang 20 = 27 kN is een duwstang (afgerond)

Knooppunt 5

∑ van de verticale = 0 → Stang 20verticaal = 22,5 kN ↓ en Stang 21 = 40 kN ↓

Dus Stang 22verticaal = 22,5 + 40 = 62,5 kN ↑

Stang 22 = 62,5 / sin(56,31) = 75,1 kN en is een trekstang. Dus stang 22 = 75,1 kN.

In de tekening is steunpunt B een rolpunt, dat wil zeggen dat Rbverticaal = 0 kN

In steunpunt A werkt een verticale en een horizontale reactiekracht.

Reactiekrachten berekenen: ∑ van de momenten t.o.v. A = 0 → 10 kN * 4 m – Rbh * 3 m = 0

→ Rbh = 131/3 kN

∑ van de verticale krachten = 0 → Raverticaal =10 kN ↑

∑ van de horizontale krachten = 0 Rahorizontaal = 131/3 kN

Knooppunt 3

10 kN stang 2

stang 3

De hoek tussen stang 3 en stang 2 is 36,87 graden. oftewel de tan(hoek) = 3_/

4 → stang 3 = 10 / 3/4 → stang 3 = 131/3 kN. Is een duwstang

Stang 2 = 10 / sin(36,87) → 162_/ 3 kN.

Dus stang 2 = 162_/

3 kN. Is een trekstang.

Stang 1 = 10 kN en is een duwstang.

Nu verder..

In de tekening is steunpunt B een rolpunt, dat wil zeggen dat Rbverticaal = 0 kN

In steunpunt A werkt een verticale en een horizontale reactiekracht.

Reactiekrachten berekenen: ∑ van de momenten t.o.v. A = 0 → 10 kN * 4m – Rb*3m = 0 Rbh = 131/3 kN. 

∑ van de verticale krachten = 0 → Rav = 10 kN ↑

∑ van de horizontale krachten = 0 → Rah = 131/3 kN. →

Knooppunt 3:

De hoek tussen de stangen 3 en 5 → tan(hoek) = 3_/

4 → hoek = 36,87 graden.

stang 5

10 kN stang 3

Tan (hoek) = 10 kN /stang 5 → stang 5 = 10 / 3_/

4 → stang 5 = 131/3 kN.

Stang 3 → kan met Pythagoras → Stang 3 = 16 2_/ 3 kN

Knooppunt A:

Rav = 10 kN ↑ en Rah = 131/3 kN. →

Je kunt nu met Pythagoras Ra berekenen: Ra = 16 2_/

3 kN

Wat opvalt is dat Ra = Stang 3 = Stang 2 = 16 2_/ 3 kN.

Dit klopt ook want als je kijkt naar kooppunt 4 dan geldt: stang 2 = stang 3 want liggen in elkaars verlengde en is stang 4 een nulstang.

Dus stang 4 = 0 kN.

Omdat B een rolpunt is mogen in knooppunt B geen verticale krachten werken. Omdat stang 4 een nulstang is moet stang 1 ook een nulstang zijn.

Nu weer verder…

Voor knooppunt A geldt een bijzondere situatie!

Als je voor knooppunt A het krachtenschema tekent dan krijg je :

Stang 2 Rav

Rah

Stang 2 maakt evenwicht met Rav en Rah → Stang 1 is een nulstang.

Je kunt ook de Snede-methode gebruiken: Stang 4 berekenen:

Snede door stang 2,4 en 5 en neem knooppunt 3.

∑ van de momenten t.o.v. knooppunt 3 = 0 → Raverticaal * 4m – Rahorizontaal * 3m ± Stang 4

* arm = 0

→ 10 kN * 4m - 131_/

3 kN * 3m ± Stang 4 *

arm = 0

→ Stang 4 = 0 want de momenten “heffen elkaar op”

Stang 5 berekenen: Neem knooppunt 4

∑ van de momenten t.o.v. knooppunt 4 = 0  2m

De arm van stang 5 t.o.v. knooppunt 4 = 1,5 m tan(hoek) =3_/ 4

 ③ Knooppunt 4

→ Raverticaal * 2m - Rahorizontaal * 1,5m + Rb * 1,5 m ± Stang 5 * 1,5 m = 0

→ 10 kN * 2m - 131_/

3 kN * 1,5m + 131/3 kN * 1,5m ± Stang 5 * 1,5 m = 0

→ Stang 5 = 131_/ 3 kN

Nu weer verder…

Reactiekrachten berekenen: ∑ van de momenten t.o.v. A = 0 → constructie is symmetrisch. Dus Ra = Rb = 15 kN.

De hoek tussen stang 1 en 3 → tan(hoek) = 2_/

3 → hoek is 33,7 graden.

Stang 1

Knooppunt 1 15 kN

Stang 3

Knooppunt 1

∑ van de verticale krachten = 0 →Stang 3verticaal = 15 kN

→ Stang 3 berekenen door: 15 kN / sin(33,7) → Stang 3 = 27 kN (afgerond) en is een trekstang. → Stang 3horizontaal = 22,5 kN

Knooppunt 4 Stang 4

Stang 6 Stang 3

∑ van de verticale krachten = 0 →Stang 6verticaal = Stang 3verticaal → Stang 6verticaal = 15 kN

De hoek van stang 6 berekenen: → tan(hoek) = 2_/

1 → hoek = 63,43 graden

Stang 6 berekenen: → Stang 6 = 15 kN / sin(63,43) → Stang 6 = 16,8 kN.

∑ van de horizontale krachten = 0 → Stang 4 = Stang 3horizontaal + Stang6horizontaal → 22,5 + 7,56

Stang 4 = 30 kN (afgerond) Nu weer verder….

Reactiekrachten berekenen: ∑ van de momenten t.o.v. A = 0 → constructie is symmetrisch. Dus Ra = Rb = 20 kN.

In het kort: Knooppunt A

∑ van de verticale krachten = 0 →Stang 4verticaal = 20 kN, de hoek is 45 graden,

→ stang 4 = 20 /sin(45) → Stang 4 = 28,3 kN en is een trekstang Stang 1 = 20 kN omdat de hoek 45 graden is en is een duwstang.

Knooppunt 2

Stang 2 = Stang 1 = 20 kN en is ook een duwstang. Stang 7 = 20 kN ↑ en is ook een duwstang. Knooppunt 5  





∑ van de verticale krachten = 0 → Stang 4verticaal = 20 kN ↓ en Stang 7 = 20 kN ↑ dus conclusie:

Stang 8 = 0 kN.

Stang 8 is een nulstang.

∑ van de horizontale krachten = 0 → Stang 5 = Stang 4horizontaal

Stang 5 = 20 kN.

Knooppunt 3

Stang 8 is een nulstang → stang 3 = stang 2 = 20 kN en is een duwstang. Stang 9 = 20 kN ↑

Ontbindt de kracht van 30√2 in ↓30 kN en 30 kN → Rahorizontaal 

Steunpunt B is weer een rolpunt. → Rahorizontaal = -30 kN.

∑ van de momenten t.o.v. A = 0 → Rbverticaal = 85 kN ↑

∑ van de verticale krachten = 0 → Raverticaal = 25 kN ↓ 

Nu de stangen berekenen: Knooppunt 1

Stang 5verticaal = 25 kN → Stang 5 = 35,36 kN → Stang 5 horizontaal = 25 kN

Stang 3 = 5 kN. → trekstang

Knooppunt 4

∑ van de verticale krachten = 0 →Stang 6 = Stang 5verticaal = 25 kN ↓ + 10 kN ↓ →

Stang 6 = 35 kN ↑ is een duwstang

Knooppunt 2

Snede methode: Snede door stangen 1,7 en 4 → Stang 1 = 25 kN → trekstang. Stang 1 = Stang 5horizontaal = 25 kN.

Stang 4 → ∑ van de momenten t.o.v. knooppunt 5 = 0 → -25kN * 6m + 30kN*3m -10kN*3m ± Stang 4 * 3m = 0 → Stang 4 = 30 kN  duwstang.

Knooppunt 6

Stang 9verticaal = 30 kN ↑ → Stang 9 = 42,42 kN. Is een duwstang.

Stang 2 = Stang 9horizontaal + 30 kN → Stang 2 = 60 kN.

Knooppunt 3

Ra = Rb = 20 kN

Knooppunt 1 ③

De hoek tussen stang Ra = 20 kN

1 en 3 is 33,7o _{① Stang 3}

verticaal = 20 kN → Stang 3 = 36,1 kN

Stang 3 is een duwstang. Stang 1 = Stang 3horizontaal = 30 kN en is een trekstang.

Knooppunt 1 en 3 zijn gelijk wat betreft de grootte van de krachten → Stang 6 = -36,1 kN en Stang 2 = 30 kN

Knooppunt 2 evenwicht → Stang  en Stang  zijn ① ② nulstangen.

Stang 4verticaal = 5 kN ↑ en de hoek is 45o → Stang 4horizontaal = 5 kN →

Knooppunt 4:

Stang 4verticaal = 5 kN ↓ + 15 kN = Stang 3verticaal = 20 kN → Stang 7 is een nulstang.

Stang 9 = Stang 3horizontaal = 30 kN - Stang 4horizontaal = 5 kN → Stang 9 25 kN en is een duwstang.

De hoek bij de steunpunten zijn 45 graden ! Zelf uitwerken:

Nu wat theorie: Een driescharniersspant:

3x een driescharnierspant

Een driescharnierspant is een draagconstructie waar twee elementen met elkaar zijn

verbonden door middel van een scharnier, en waarvan ook de opleggingen scharnierend zijn

uitgevoerd.

Door de toepassing van drie scharnieren ontstaat een statisch bepaalde constructie (de drie

evenwichtsvoorwaarden worden aangevuld met de voorwaarde dat ter hoogte van het

scharnier geen moment werkt). Bij een driescharnierspant zullen horizontale spatkrachten

ontstaan welke door de opleggingen op de fundering moeten worden overgebracht.

Driescharnierspanten worden toegepast bij de hallenbouw (stallen, koelhuizen, opslagruimtes

en dergelijke) en komen voor in hout-, staal- en beton-constructies.

Raverticaal = 51 kN Rbverticaal = 63 kN

Opgave 1.8 is een 3-scharniers-spant.

Zowel in steunpunt A als in steunpunt B zijn verticale en horizontale reactiekrachten.

∑ van de momenten t.o.v. A = 0 → Rbverticaal = 63 kN ↑ toelichting: de horizontale krachten maken

geen moment.

∑ van de verticale krachten = 0 → Ravericaal = 51 kN (114 kN – 63 kN)

Nu de horizontale reactiekrachten !!

Bij een 3-scharniersspant functioneert knooppunt 3 als een soort steunpunt maar wel scharnierend. T.o.v. dit scharnierpunt moet evenwicht zijn.

We zagen het spant doormidden en het linkerdeel moet in evenwicht blijven:

∑ van de momenten t.o.v. knooppunt 3 = 0 →Rav * 4m ± Rah * 3m – 24 kN *2m = 0

→ 51 kN * 4m ± Rah * 3m – 24 kN *2m = 0 → 204 kNm – 48 kNm - Rah * 3m = 0

Rah = 52 kN → is een trekstang.

Dan is Rbh ook 52 kN  een duwstang.

Je zult ook zien dat in knooppunt 3 stang 8horizontaal en stang 3horizontaal samen 52 kN zijn.

Rah= 52 kN Rbh= 52 kN

Knooppunt 1

Stang 2h = 52 kN en de hoek onder stang 2 = 36,87o → Stang 2 = -65 kN

Stang 2v = 39 kN↓

Stang 1 = 51 kN – 39 kN = 12 kN ↓ Knooppunt 4

Stang 11v = Stang 1 = 12 kN en de hoek onder stang 11 = 36,87o

Stang 11 = 20 kN en is een trekstang.

Stang 7 = Stang 11h = -16 kN is een drukstang.

Knooppunt 5

Stang 8 – Stang 7 = -16 kN Drukstang en stang 12 is een nulstang. Knooppunt 2

Stang 3v = Stang 2v + Stang 11v – 24 kN → Stang 3v = 39 kN +12 kN -24 kN = 27 kN

Stang 3 = 27 kN / sin(36,87o) _{→ Stang 3 = 45 kN en is een drukstang.}

Knooppunt 3

Stang 4v = 42 kN - Stang 3v → Stang 4v = 42 kN – 27 kN = 15 kN → Stang 4 = 15 kN /sin(36,87o) →

Stang 4 = -25 kN en is een drukstang. In knooppunt 3 zitten 4 duwstangen.

Stang 9 = Stang 3h + Stang 8 – Stang 4h → Stang 9 = 36 kN + 16 kN – 20 → Stang 9 = 32 kN is een

Knooppunt 8

Stang 10 = Stang 9 = - 32 kN Stang 13 = -48 kN ↑

Knooppunt 7

Stang 5h = 52 kN → Stang 5 = 52 kn / cos(36,87o) → Stang 5 = 65 kN en is een duwstang.

Stang 5v = 39 kN

Stang 6 = -24 kN ↓ Knooppunt 9

Oefentoets-opdracht: 1

• Bereken de

reactiekrachten:

→ Rb ↑27,5 kN en

Ra = 32,5 ↑kN .

• Bereken alle

stangkrachten:

S1 = -26 kN ;

S2 = -25 kN ;

S6 = +17,3 kN en

S5= +13 kN en

Stang 7 = -17,3 kN

Oefentoets-opdracht 2

• Bereken de reactiekrachten: F

= 650 N ↓F

= 650 N ↑ F

= 900N 

Oefentoets-opdracht 3

• Bereken de reactiekrachten:

• Bereken alle stangkrachten:

Oefentoets-opdracht 4

3-scharniers-spant

Bereken de reactiekrachten in de steunpunten:

Verder: