H3: Binomiale verdelingen

Hoofdstuk 3: De binomiale verdeling.

V_1.

a. Van de 36 mogelijke uitkomsten zijn er 9 een

2; 9 1

36 4 ( 2)

P K    .

b.

c. Eén van de uitkomsten komt voor. De kans dat één van de uitkomsten optreedt is 1.

V_2. a. 1 1 1 1 1 2 2 2 2 16 ( ) P kkkk      b. 1 1 1 1 1 2 2 2 2 16 ( ) P kkkm      1 1 1 1 1 2 2 2 2 16 P(kkkm)      c. 4 mogelijke rijtjes: kkkm, kkmk, kmkk en mkkk. d. 1 4 1 16 16 4 ( ) 4 P drie keer k     V_3. 5 5 5 125 6 6 6 216 ( 0) ( ) P X  P aaa     5 15 1 1 6 6 6 216 1 1 1 1 6 6 6 216 ( 2) (44 ) 3 ( 3) (444) P X P a P X P              V_4. 4 4 4 10 10 10 ( 0) ( ) 0,064 P B P rrr     kansverdeling: 6 4 4 10 10 10 6 6 4 10 10 10 6 6 6 10 10 10 ( 1) 3 0, 288 ( 2) 3 0, 432 ( 3) 0, 216 P B P B P B                  V_5. a. 8 12 7 11 6 20 19 18 17 16 ( ) 0,0238 P wrwrw       b. 8 7 6 12 11 20 19 18 17 16 ( ) 0, 0238 P wwwrr      

c. Zie de gele tabel rechts van de opgave: er zijn 10 mogelijke rijtjes.

d. Uit 5 plaatsen moet je er twee kiezen om een r op te plaatsen. Op de overige komt een w te staan. Uit de 5 plaatsen kun je er ook drie kiezen om een w op te zetten.

V_6. a. P X( 2) 10 0, 0238 0, 2384   b. 12 11 10 8 7 20 19 18 17 16 5 ( 3) 0,3973 3 P X   _{ }        c. 8 7 6 5 4 20 19 18 17 16 ( 0) 0,0036 P X        K steen 2 1 2 3 4 5 6 st ee n 1 _{1 1 1 1 1 1 1} 2 1 2 2 2 2 2 3 1 2 3 3 3 3 4 1 2 3 4 4 4 5 1 2 3 4 5 5 6 1 2 3 4 5 6 k _{1 2 3 4 5 6} kans 11 36 369 367 365 363 361 B 0 1 2 3 kans 0,064 0,288 0,432 0,216 som=1

8 7 6 5 12 20 19 18 17 16 10 9 8 12 11 20 19 18 17 16 10 9 8 12 11 20 19 18 17 16 5 ( 1) 0,0542 1 5 ( 4) 0, 2554 4 ( 5) 0,0511 P X P X P X    _{ }           _{ }               V_7. a. E B( ) 0 0,064 1 0, 288 2 0, 432 3 0, 216 1,8         b. E X( ) 0 0, 0036 1 0, 0542 ... 5 0, 0511 3        V_8. a. 28 27 26 25 32 31 30 29 ( 0) 0,56938 P K      b. 4 28 27 26 32 31 30 29 ( 1) 4 0,36440 P K       3 28 27 4 32 31 30 29 3 28 4 2 32 31 30 29 3 4 2 1 32 31 30 29 ( 2) 6 0,06307 ( 3) 4 0, 00311 ( 4) 0,00003 ( ) 0 0,56938 1 0,36440 ... 4 0, 00003 0,5 P K P K P K E K                             x 0 1 2 3 4 5 kans 0,0036 0,0542 0,2384 0,3973 0,2554 0,0511 som=1

1.

a. Het aantal routes in een rooster van (0, 0) naar (2, 4) is 6 15 2        . b. 6-0 5-1 4-2 3-3 2-4 1-5 0-6 c. 6 1 0        , 6 6 1        , 6 15 2        , 6 20 3        , 6 15 4        , 6 6 5        en 6 1 6        . 2. a. b. Er zijn 4 6 2        routes naar (2, 2) en 4 4 1        routes naar (1, 3). c. Het aantal routes van (0, 0) naar (2, 3) is 6 4 10  .

3.

a. Om vanuit A in D te komen kun je alleen maar 3 keer naar rechts gaan.

b. I kun je alleen bereiken vanuit H of C. Het aantal routes van A naar I is gelijk aan het aantal routes van A naar H plus het aantal routes van A naar C.

c. Het aantal routes van A naar K is 4 1 5  .

d. F(1) L(6) O(6) P(10) Q(15) R(21) S(1) T(4) U(10) V(20) W(35) en X(56)

4.

a. Om daar te komen heb je vanuit de top 5 stappen naar links en 3 stappen naar rechts gemaakt. b. 7 21 2        . c. Bij de stand 4 - 4. d. 6 – 3: 9 84 6        en 2 – 7: 9 36 2        . e. 4 4 4 4 4 1 4 6 4 1 16 0 1 2 3 4                                        

f. Je moet rijtjes maken van 4 met op elke plaats de keuze voor of tegen. Bijvoorbeeld: vvvv, vttv, vvtt, …. Op elke plaats 2 keuzes, dus aantal mogelijke rijtjes: _{2 2 2 2 2   } 4 _16.

5.

a. Dan moet het balletje alleen maar naar links vallen: 1 route.

b. Om in B te komen moet het balletje 4 keer links en 1 keer naar rechts vallen: 5 5 1        routes. c. C: 5 10 2        D: 5 10 3        E: 5 5 4        en F: 5 1 5        route. d. ze zijn hetzelfde t/m de 5e _rij.

e. 5 keer links en 2 keer naar rechts: 7 21 2  

  

6. a. _{P ABABAB( ) 0,5} 6 _0,0156 b. _{P ABABAB( )P ABBBAA( ) 0, 6 0, 4} 3_ 3 _{0, 0138} c. De eindstand (3, 3) kan op 6 20 3     

  manieren bereikt worden. d. P(3 3) 20 0,0138 0, 2765   

7.

a. Zet bijvoorbeeld langs de horizontale as ‘zes’ en langs de verticale as ‘geen zes’.

b. 5 10 2        verschillende uitkomsten. c. 1 1 5 5 5 6 6 6 6 6 (66 ) 0,0161 P nnn       d. P twee keer( 6) 10 0,0161 0,1608   8. a. P succes( ) 0, 25 en P mislukking( ) 0,75

b. X is het aantal goede antwoorden; X is Bin(8, 0.25)- verdeeld.

4 4 8 (4 ) 0, 25 0, 75 0,0865 4 P keer succes  _{ }    

c. X is het aantal foute antwoorden. X is Bin(5, 0.75)- verdeeld.

1 4 5 (1 ) 0, 75 0, 25 0,0146 1 P fout  _{ }    

d. X is het aantal goede antwoorden; X is 1 3 (5, ) Bin - verdeeld. 3 2 1 2 3 3 5 (3 ) 0,1646 3 P keer succes  _{ }     e. -9.

a. Het is een trekking zonder terugleggen. Daarmee veranderen de kansen.

b. 20 19 230

250 249 248

(2 ) 3 0, 0170

P defect     

Bij een trekking met terugleggen is het aantal defecten 20 250 (3, ) Bin - verdeeld. 2 20 230 250 250 3 (2 ) ( ) 0,0177 1 P defect  _{ }    

c. De steekproef (3) is klein ten opzichte van het totale aantal lampjes (250). De kansen veranderen wel, maar dat is maar een klein beetje.

d. 230 3 250 ( 0) ( ) 0, 7787 P X    2 20 230 250 250 2 20 230 250 250 3 20 250 3 ( 1) ( ) 0, 2031 1 3 ( 2) ( ) 0,0177 2 ( 3) ( ) 0,0005 P X P X P X    _{ }        _{ }       

10.

a. Binomiaal experiment. Een succes is het gooien van munt; n5 en 1 2 p q  . b. Binomiaal experiment. Een succes is een goed beantwoordde vraag; n20 en 1

4 p . c. Geen binomiaal experiment. De kans op een jongen is niet hetzelfde bij elke keus.

d. Binomiaal experiment. Een succes is een trekking van een rode knikker; n6 en 5 1 20 4 p  11. a. _{P X( 6) 0, 75} 6 _{0,1780 b. P X( 0) 0, 25} 6 _0,00024 c. _{P wwnnnn( ) 0,75 0, 25} 2_ 4 _{0, 0022} d. 6 15 2        e. 2 4 6 ( 2) 0,75 0, 25 0,0330 2 P X   _{ }     12. a. n20 en 1 2 p _{( 10)} 20 _{0,5 0,5}10 10 _0,1762 10 P X  _ _     b. ( 12) 20 0,5 0,512 8 0,1201 12 P X  _ _    

c. Ook dan is de kans op 12 keer winst ongeveer 0,1201

13. a. n5 en 1 6 p b. 14 5 6 6 5 ( 4) 0,0032 4 P X   _{ }     b. 1 6 ( 4) (5, , 4) 0,0032 P X  binompdf  c. 1 6 ( 2) (5, , 2) 0,1608 P X  binompdf  1 6 ( 3) (5, , 3) 0,0322 P X  binompdf 

d. P X( 7) 0 . Het is niet mogelijk 7 keer een 2 te gooien als je maar vijf keer gooit.

14. a./b. ( 5) 13 0,65 0,355 8 (13, 0.65, 5) 0,0336 5 P X   _{ }  binompdf    b. ( 13) 13 0,65 0,3513 0 0,6513 (13, 0.65,13) 0,0037 13 P X   _{ }   binompdf    15.

a. X is het aantal goed beantwoorde vragen. X is Bin(5, 0.25) verdeeld. b. P X( 3)binompdf(5, 0.25, 3) 0, 0879

c./d. Voer in: y1binompdf(5, 0.25, )x en kijk in de tabel:

X 0 1 2 3 4 5

16.

a. X: aantal schuiven dat weigert. X is Bin(62, 0.01)-verdeeld. b. _{P X( 0) 0,99} 62 _0,5363 c. _{P X( 0) 0,9999} 62 _0,9938 d. ( 2) 62 0,0001 0,99992 62 (62, 0.0001, 2) 0,000019 2 P X  _ _  binompdf   

e. Ja, de kans dat een schuif weigert moet voor elke schuif gelijk zijn.

17.

a. P hoogstens( 2keer 6)P(0, 1of 2 keer 6)P X(  0) P X(  1) P X( 2) 0,9645 b. P hoogstens( 4keer 6)P X( 0)P X(   1) ... P X( 4) 0,9999 c. 5 5 6 (min 6) 1 ( 0) 1 ( ) P stens één  P X    18. a. P X( 0)binompdf(10, 0.25, 0) 0,0563 ( 1) (10, 0.25, 1) 0,1877 ( 2) (10, 0.25, 2) 0, 2816 ( 3) (10, 0.25, 3) 0, 2503 P X binompdf P X binompdf P X binompdf          b. P X( 3)P X( 0)P X(  1) P X( 2)P X( 3) 0,0563 ... 0, 2503 0, 7759    c. P X( 5) 0,9803 en P X( 4) 0,9219 d. P X(  5) P X( 4) 0,9803 0,9219 0,0584   P X( 5) e. P X( 3)P X(   3) ... P X( 10) 1 ( (  P X   0) ... P X( 2)) 1 P X( 2) 0, 4744    

f. P X( 8) 0,999970 en P X( 9) 0,999999 . De kansen verschillen pas in de vijfde decimaal.

( 10) 1

P X   want dat de uitkomst één van de mogelijke uitkomsten 0 t/m 10 is, is 100% zeker. 19. a. P X( 5)binomcdf(18, 0.35, 5) 0,3550 ( 10) (18, 0.35, 10) 0,9788 ( 7) (18, 0.35, 7) 0, 7283 ( 14) 1 ( 13) 1 (18, 0.35, 13) 0,00026 P X binomcdf P X binomcdf P X P X binomcdf              

b. Voer in: y1 binomcdf(8, 0.85, )x en kijk in de tabel.

20.

a. X: aantal mensen dat stopt met roken. 50 n en p0,30 b. P X( 25) 1 P X( 24) 1 binomcdf(50, 0.30, 24) 0,0024 c. P(11X 18)P X( 17)P X( 11) 0,6432

Binomiale verdeling:

n: aantal herhalingen, p: succeskans

P(X  k) binompdf(n, p, k)

P(X  k) _{binomcdf(n, p, k)}

binompdf: 2nd _{vars (distr) optie 0}

21. a. P X( 10)binomcdf(30, 0.7, 10) 0,00004 b. P X( 23) 1 P X( 22) 1 binomcdf(30, 0.7, 22) 0, 2814 c. P(17X 25)P X( 24)P X( 17)binomcdf(30, 0.7, 24)binomcdf(30, 0.7, 17) 0,8389  d. P(9X 12)P X( 12)P X(  8) binomcdf(30, 0.7, 12)binomcdf(30, 0.7, 8) 0,0006 e. P X( 28) 1 P X( 28) 1 binomcdf(30, 0.7, 28) 0, 0003 f. P(7X 15)P X( 14)P X( 6)binomcdf(30, 0.7, 14)binomcdf(30, 0.7, 6) 0,0064 g. P X( 16)P X( 15)binomcdf(30, 0.7, 15) 0,0169 22.

a. X: aantal jongens dat geboren wordt.

20 0,50 ( 10) 1 ( 10) 1 (20, 0.5, 10) 0, 4119 n en p P X P X binomcdf         

b. P(minstens14 jongens)P X( 14) 1 P X( 13) 1 binomcdf(20, 0.5, 13) 0,0577 c. De kans dat het elfde kind een jongen is , is gewoon weer 0,5.

23.

a. Het is een trekking zonder terugleggen; de kansen veranderen.

b. De trekking van 10 sinaasappels is klein ten opzichte van de hele partij (1000). De kansen veranderen wel, maar niet zo heel erg veel. X is Bin(10, 0.20) -verdeeld.

c. P(minder dan2)P X( 2)P X(  1) binomcdf(10, 0.2, 1) 0,3758 d. P(meer dan 3)P X( 3) 1 P X( 3) 1 binomcdf(10, 0.2, 3) 0,1209

24.

a. 5

( 5) 0, 2 0, 00032

P X   

b. Voer in: y1binompdf(5, 0.2, )x en kijk in de tabel:

c. E X( ) 1 0, 4096 2 0, 2048 3 0,0512 4 0,0064 5 0, 0003 1           d. 5 0, 20 1  parkeerbon te verwachten.

e. 250 0, 20 50  parkeerbonnen te verwachten.

25.

a. Je kunt bij de eerste trekking een harten trekken (X11) of een andere kaart (X1 0)

b. 3 1 1

1 4 4 4

( ) 0 1

E X     

c. Bij iedere trekking kun je een harten trekken (Xi 1) of niet (Xi 0). Omdat het gaat om een trekking met teruglegging geldt bij iedere trekking 3

4 ( i 0) P X   en 1 4 ( i 1) P X   . Dus zijn de verwachtingswaarden ook gelijk.

d. 1 1 1 1 1 2 6 4 4 4 2 ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... 1 E X E X E X  E X      x 0 1 2 3 4 5 P(X=x) 0,3277 0,4096 0,2048 0,0512 0,0064 0,0003 x 0 1 1 ( ) P X  x 1 1 P(X  x ) 3 4 14 som= 1

26.

a. X is het aantal studenten die het eerste jaar haalt: n50 en p0,15 9 41 50 ( 9) 0,15 0,85 0,1230 9 P X   _{ }    

b. Y is het aantal gezakten: n50 en p0,85 ( ) 50 0,85 42,5

E Y    P Y( 42,5)P Y( 42)binomcdf(50, 0.85, 42) 0, 4812

27.

a. X is het aantal fietsen met handremmen; n20 en p0,60. ( ) 20 0,60 12

E X    . Het te verwachten aantal fietsen met terugtraprem is dus 8. b. P X( 10) 1 P X( 10) 1 binomcdf(20, 0.60, 10) 0, 7553

28.

a. Bij 90% van de gestelde vragen geeft de leugendetector het juiste aan. Dus p0,90. b. In 10% van de vragen geeft de leugendetector het verkeerd aan.

X is het aantal reacties van de leugendetector; X is Bin(12, 0.10)-verdeeld. ( 1) 1 ( 0) 1 (12, 0.10, 0) 0, 7176

P X   P X   binomcdf  c. E X( ) 12 0,10 1, 2  

d. Voor een schuldige: E X( ) 12 0,90 10,8  

29.

a. _{P geen te licht pak( ) 0,995} 50 _{0, 7783} b. E50 0,005 0, 25  te lichte pakken.

c. X is het aantal te lichte pakken. X is Bin(50, 0.005) -verdeeld.

( ) ( 1) 1 ( 0) 1 (50, 0.005, 0) 0, 2217

P doos afgekeurd P X   P X   binompdf  20 0, 2217 4, 4

E   dozen worden afgekeurd.

30.

a. De kans is voor elke wiskunde docent even groot. b. E50 0,15 7,5  tegenstanders (ofwel 7 á 8)

c. P T( 8) 1 P T( 7) 1 binomcdf(50, 0.15, 7) 0, 4812

d. Ja, acht tegenstanders is het aantal wat je volgens de verwachtingswaarde mag verwachten. e. P X( a) 1 P X(   a 1) 0,10. Voer in: y1 1 binomcdf(50, 0.15,x1) en kijk in de

tabel wanneer y1 kleiner wordt dan 0,10: Bij 12 of meer tegenstanders.

31.

a. Er zijn 100 loten en drie prijzen: 3 100

( )

P prijs  b. E w( ) 48 0, 01 13 0,02 2 0,97       1, 2

Ze mag € 1,20 verlies verwachten.

c. X: aantal keer prijs, n5 en p0,03 P X( 2)binompdf(5, 0.03, 2) 0,0082

winst 48 13 -2

d. Janneke heeft winst als ze tenminste één keer prijs heeft. Ze moet namelijk voor die 5 loten €10,- betalen en krijgt bij een prijs minstens €15,-.

( 1) 1 ( 0) 1 (5, 0.03, 0) 0,1413 P X   P X   binompdf 

32.

a. X: aantal linkshandigen, n20 en p0,10 P X( 3) 1 P X( 2) 0,3231 b. P(minstens met verkeerde handschoen1 ) 1 P niemand met verkeerde handschoen( )

 1 P X( 2) 0,7148 c. n8 P(minstens met verkeerde handschoen1 ) 0,7148

8 0,7148 5,7

E   Dus in ongeveer 6 klassen heeft hij een tekort aan een bepaalde soort handschoen.

d. Wanneer er meer dan 2 linkshandigen in die klas zitten heeft iemand een verkeerde handschoen. P X( 2) 1 P X( 2) 1 binomcdf(18, 0.10, 2) 0, 2662 33. a. 6 5 4 3 2 1 45 44 43 42 41 40 ( int ) 0, 00000012 P Tim w jackpot        b. P Tim w( intniet) 1 0,00000012 0,99999988  

3000000

( ) 0,99999988 0,6977

( ) 1 0,6977 0,3023 P jackpot valt niet

P jackpot valt

 

  

c. X is het aantal keer dat de jackpot valt: n20 en p0,30. ( 12) 1 ( 11) 1 (20, 0.30,11) 0,0051

P X   P X   binomcdf 

d. 12

( 12 ) 0, 70 0,014

P jackpot valt keer niet  

e. Tim heeft geen gelijk. De kans dat de jackpot valt is iedere week weer 0,30.

34.

a. Je hebt minstens vijf waardebonnen nodig voor de cadeaubon. De kans op minstens vijf waardebonnen wordt beschreven met P X( 5). En die moet groter zijn dan 0,95. b. P X( 5) 1 P X( 4) 0,95 ( 4) 0,05 ( 4) 0,05 P X P X      

c. Voer in: y1binomcdf x( , 0.50, 4) en kijk in de tabel: x16.

d. Je hebt dus minstens 16 enveloppen nodig: een besteding van minstens

€320,-35.

a. Je kunt in de bovenste tabel zien dat 34 mensen de drie vragen met A beantwoord hebben. De kans dat iemand op alle onderdelen de voorkeur geeft aan wasmiddel A is 0,34

b. Er zijn 60 mensen die vraag 3 met een A beantwoord hebben. (zie onderste tabel) Daarvan hebben 34 16 50  mensen de 2e _{vraag ook met A beantwoordt (zie bovenste} tabel).

50 60

(2 | 3 )

P e vraag A e vraag A 

c. Hij verwacht 60% voorkeuren voor A; d.w.z. 60 van de 100. d. P X( 50) 1 P X( 50) 1 binomcdf(100, 0.60, 50) 0,9729

( 80) 1 ( 80) 1 (100, 0.60, 80) 0,00000588

T_1.

a. Gebruik een roosterdiagram: het aantal routes van (0, 0) naar (3, 3) is 6 20 3  

    

b. Het aantal routes van (3, 4) naar (6, 7) is gelijk aan het aantal routes van (0, 0) naar (3, 3), en dat is 20.

c. Het aantal routes van (0, 0) naar (6, 5) is 11 462 6

       d. Het aantal routes van (0, 0) naar (5, 5) is 10 252

5        T_2. a.

-b. Naar het punt (3, 3).

c. ( 3) 6 0,15 0,853 3 (6, 0.15, 3) 0,0415 3

P X   _{ }  binompdf   

d. 2 van de 6 wel een blessure: ( 2) 6 0,15 0,852 4 (6, 0.15, 2) 0,1762 2

P X   _{ }  binompdf   

2 van de 6 geen blessure: ( 2) 6 0,85 0,152 4 (6, 0.85, 2) 0,0055 2 P Y   _{ }  binompdf    Het verschil is 0,1707 T_3. a. P X( 3)binompdf(10, 0.10, 3) 0,0574

b. X : aantal beeldbuizen dat defect is. X is Bin(10, 0.10) -verdeeld. c. Voer in: y1binompdf(10, 0.10, )x

T_4. a. 1 3 ( 8) (25, , 8) 0,5376 P Y binomcdf  b. 1 3 ( 5) ( 4) (25, , 4) 0, 0462 P Y P Y  binomcdf  c. 1 3 ( 15) 1 ( 14) 1 (25, , 14) 0, 0056 P Y  P Y   binomcdf  d. 1 1 3 3 (5 14) ( 14) ( 5) (25, , 14) (25, , 5) 0,8824 P  Y P Y  P Y binomcdf binomcdf  e. 1 3 ( 10) 1 ( 10) 1 (25, , 10) 0,1780 P Y   P Y   binomcdf  f. 1 1 3 3 (9 11) ( 10) ( 8) (25, , 10) (25, , 8) 0, 2844 P  Y P Y  P Y  binomcdf binomcdf  T_5.

a. X is het aantal goed; n20 en 1 4

p 1

4

( ) 20 5

E X   

b. Om een 6 te halen moet hij 12 vragen goed gokken: 1

4

( 12) (20, ,12) 0,00075

P X  binompdf 

c. Om minstens een 6 te halen moet hij 12 vragen of meer goed gokken: 1

4

( 12) 1 ( 11) 1 (20, ,11) 0,00094

d. De kans op een 6 of hoger is 0,00094. Er zijn 24 leerlingen, dus naar verwachting halen 24 0,00094 0,023  (niemand) een 6 of hoger.

e. Er moeten dan nog 15 vragen gegokt worden. Daarvan verwacht je 1 4

15 3,75 goed te gokken.

Het te verwachten cijfer is 2,5 1,875 4,375 

f. 1

2

( 12) 1 ( 11) 1 (20, , 11) 0, 2517

P X   P X   binomcdf 

T_6.

a. T: aantal punten van Tom, n12 en p0,50

8 4 12 ( 8) 0,5 0,5 0,1208 8 P T   _{ }    

b. T : H = 2 : 1 Dus Tom krijgt dan 2

330 € 20,  en Harry: 1330 €10, 

c. Er moeten nog 13 potjes gespeeld worden. Tom wint als hij nog minstens 5 potjes wint. ( 5) 1 ( 4) 0,8666

P T   P T   .

Dus Tom krijgt dan 0,8666 30 € 26,   en Harry: 0,1334 30 € 4,  

d. De verdeling van opdracht b is eerlijker. In principe hebben ze evenveel kans om te winnen, en beide dus €15,- moeten krijgen.

T_7.

a. X: aantal mensen dat kan fietsen, n20 en p0,75 E n p  15 personen kunnen naar verwachting fietsen.

b. n20 en p0, 40 P(8X 14)P X( 13)P X( 8) 0,3979 c. n20 en p0,75 P X( 12)P X( 11) 0,0409

d. n20 en p0, 40 P X( 12) 1 P X( 11) 0,0565

T_8.

a. Wanneer het gaat om een trekking met terugleggen.

b. Als het aantal dat je trekt klein is ten opzichte van het aantal knikkers dat er in de vaas zit. De kansen veranderen dan niet zo heel erg veel.