Handleiding bij het programma GEOPRO
Citation for published version (APA):
Erp, van, G. M. (1987). Handleiding bij het programma GEOPRO. (DCT rapporten; Vol. 1987.067). Technische Universiteit Eindhoven.
Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1987
Document Version:
Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record
Please check the document version of this publication:
• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.
• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.
• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.
Link to publication
General rights
Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain
• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.
If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:
www.tue.nl/taverne
Take down policy
If you believe that this document breaches copyright please contact us at:
openaccess@tue.nl
providing details and we will investigate your claim.
(versie 1.0 juni 1987)
Rapportnr. WFW 87.067
Programma en handleiding zijn samengesteld door: Ir. G.M. van Erp
AANSPRAKELIJKHEID
Bij het samenstellen van de programma's GEOPRO en DRAW en de handleiding is een zo groot mogelijke nauwkeurigheid betracht. Nochtans moet niet worden uitgesloten de mogelijkheid dat zich toch fouten in de programma's en/of de handleiding zouden bevinden. Degene die van de programma's en de handleiding gebruik maakt, aanvaardt daarvoor het risico. De ontwerper van de programma's en de handleiding sluit iedere aansprakelijkheid uit voer schade die mocht voortvloeien uit het gebruik van de programma's en de handleiding.
VOORWOORD
Bij het schrijven van deze handleiding is ervan uitgegaan dat de lezer/gebruiker reeds eerder kennis heeft gemaakt met de eindige elementen methode.
Oak het werken met MS-DOS of PC-DOS wordt tot op zekere hoogte bekend verondersteld.
INHOUDSOPGAVE
AANSPRAKELIJKHEID VOOF:WOORD
INHOUDSOPGAVE
WAT U MOET HEBBEN ONTVANGEN WAT U NODIG HEEFT
1: INLEIDING
2: ENIGE ALGEMENE OPMERKINGEN 3: DE INVOERFILE
3.1 Algemeen
3.2 Algemene parameters
3.3 De elementen-beschrijving 3.4 De caordinaten van de knopen 3.5 De vastgelegde knopen
3.6 De materiaal parameters 3.7 Voorbeelden
- voorbeeld 1: rechthoekige daorsnede
- voorbeeld 2: I-profiel bestaande uit 2 materialen voorbeeld 3: open gesneden pijp
- voorbeeld 4: gedeeltelijk open en gesloten profiel 3.8 Dwarsdoorsneden met gaten
- voorbeeld 5: I-profiel met sparingen
- voorbeeld 6: twee gekoppelde kanaalprofielen
4: DE PF:OGRAMMA' S
4.1 Het programma DRAW 4.2 Het programma GEOPFm 5: HET RUNNEN VAN DE PROGRAMMA'S
5.1 Algemeen
5.2 Computer met 1 di skette dr-ive 5.3 Computer- met ..:..
..,
diskette dr-ives5.4 Computer met een har-d disk
6: DE NAUWKEURIGHEID VAN DE BEREKENINGEN 7: FOUTMELDINGEN AppendL: A AppendiN B Appendi:-: C AppendL: D PAGINA 2 3 4 5 5 6 9 10 10 11 11 12 13 13 14 14 16 17 18 19 21 22 24 24 26 27 27 27 29 29 30 ... .. j •.j 34 36 43 45
WAT U HOET HEBBEN ONTVANGEN
- Een 360KB Prolok-diskette met daarop de files DRAW.EXE~ GEOPRO.EXE.
COMF.D~ ERROR.MSG~ 8X8.FON~ 14X9.FON en 4X6.FON.
- Een handleiding getiteld 'HANDLEIDING BIJ HET PROGRAMMA GEOPRO'.
WAr U NODIG HEEFT
Voor het programma GEOPRO:
- Een computer die draait onder MS-DOS of PC-DOS~ versie 2.0 of hoger.
- Minimaal 256 KB werkgeheugen.
- Minimaal ~~n 360 KB diskette drive.
Het programma GEOPRO wordt geleverd in 2 versies.
- Versie 1.0: Maakt geen gebruik van een mathematische co-processor. - Versie 1.1: Heeft een mathematische co-processor nedig.
De snelheid waarmee de berekeningen bij versie 1.1 worden uitgevoerd
is engeveer drie maal 20 groot als bij versie 1.0.
Veor het programma DRAW:
Hetgeen hierboven is genoemd voor het programma GEOPRO.
Met dienverstande dat DRAW op zich slechts 128 KB werkgeheugen nodig heeft.
- Een computer met een color/graphics ~Hercules of Ega kaart.
- Een Epson-achtige printer (niet noodzakelijk~ weI aanbevolen)
DRAW wordt eveneens geleverd in twee versies.
- Versie 1.0: bestemd voor beeldschermen met een eGA of EGA kaart. - Versie 1.1: bestemd voor beeldschermen met een Hercules kaart. De versies zijn onderling niet uitwisselbaar. Indien U het programma DRAW opstart~ verschijnt er een tekst waarin staat over welke versie U beschikt.
Versie 1.1 wordt geleverd met het programma HCGGRAPH.EXE, waarmee een afdruk van het grafische beeldscherm op een Epson-achtige printer gemaakt kan worden.
Bij versie 1.0 kan dit met het MS-DOS/PC-DOS commando GRAPHICS.
DRAW kan ook gedraaid worden op een computer zonder grafische mogelijk-heden. De visuele controle van de invoer in de vorm van een plaatje is dan niet mogelijk.
1: INLEIDING
Met behulp van het programma GEOPRO kunnen van een dwarsdoorsnede aIle geometrische grootheden, voortkomend uit zowel de lineaire- als de geometrische niet-lineaire balkentheorie, worden berekend.
Aan de vorm van de dwarsdoorsnede zijn geen beperkingen opgelegd. Het programma kan gebruikt worden voor dunwandige-, massieve-, open-en geslotopen-en doorsnedopen-en of combinaties daarvan. Ook doorsnedopen-en met gaten en/of sparingen kunnen worden doorgerekend.
GEOPRO is een eindige elementen programma, dat gebruik maakt van acht-knoops isoparametrische elementen. Doordat per element verschillende elasticiteits- en glijdingsmoduli kunnen worden ingevoerd, is het programma ook in staat om de geometrische groot-heden te bepalen van doorsneden die bestaan uit verschillende materialen.
Om de invoer zoveel mogelijk te vereenvoudigen en te beperken, is gebruik gemaakt van zgn. free-format invoer en wordt een groot deel van de coordinaten door het programma zelf berekend. In het geval van een doorsnede met een symmetrie-as kan worden volstaan met de invoer van de helft van de doorsnede. Bij twee symmetrie-assen hoeft slechts een kwart van de doorsnede ingevoerd te worden.
Voordat met de berekening wordt begonnen controleert GEOPRO de invoer. Als er fouten worden geconstateerd stopt het programma na het geven van duidelijke foutmeldingen.
GEOPRO kan aIleen controleren of bepaalde waarden zijn ingevoerd en hoe zij zijn ingevoerd en of zij bepaalde grenzen niet overschrijden. Fouten in de grootte van de coordinaten of de knoopvolgorde van de elementen kunnen niet opgespoord worden omdat de doorsnede een willekeurige vorm mag hebben.
Omdat deze laatste soort fouten er toe kan lei den dat er een andere doorsnede wordt uitgerekend dan de gebruiker bedoelt, wordt GEOPRO geleverd samen met het programma DRAW.
DRAW is een interaktief programma waarmee een invoerfile gemaakt, gelezen, veranderd en getekend han worden.
Door het tekenen van de ingevoerde dwarsdoorsnede kan de gebruiker controleren of dat wat hij ingevoerd heeft ook datgene is wat hij bedoelt.
Het zal duidelijk zijn dat voor een optimaal gebruik van DRAW een computer met grafische mogelijkheden noodzakelijk is.
DRAW kan ook ged~aaid wo~den ap een compute~ zonde~ grafische
mogelijkheden. Men kan dan een invoe~file maken~ lezen~ Yerande~en
en kont~oleren op invoe~fouten. Visuele controle in de vorm van een plaatje is dan niet mogelijk.
GEOPRO werkt geheel onafhankelijk van DRAW
Door GEOPRO wordt een uitvoerfile aangemaakt waarin de invoergegevens en diverse berekeningsresultaten worden weggeschreven.
Als de doorsnede bestaat uit 1 soort materiaal worden de volgende doorsnede grootheden door GEOPRO berekend.
Algemene qrootheden:
- De oppervlakte van de dwarsdoorsnede
- Het manteloppervlak per eenheid van lengte - De coordinaten van het zwaartepunt
- De hoek tussen de oorspronkelijke y-as en de hoofd v-as Buigings grootheden:
- Het traagheidsmoment tOY. de hoofd y-as - Het traagheidsmoment tOY. de hoofd z-as - De traagheidsstraal tOY. de hoofd y-as - De traagheidsstraal tOY. de hoofd z-as
- Het max. weerstandsmoment tOY. de hoofd y-as Het min. weerstandsmoment tOY. de hoofd v-as - Het max. weerstandsmoment tOY. de hoofd z-as
Het min. wee~standsmoment tOY. de hoofd z-as
Lineaire-torsie g~ootheden:
- De coordinaten van het dwarskrachtencentrum tOY. de hoofdassen - Het polaire traagheidsmoment tOY. het zwaartepunt
- Het polaire traagheidsmoment tOY. het dwarskrachtencentrum - Het traagheidsmoment voor torsie
- Het traagheidsmoment yoor welving
Oppervlakte integralen Yoortkomend uit de asymmetrie van de doorsnede
- ICi - IC2 - IC3
Niet lineaire-torsie grootheid:
- H
Voor doorsneden bestaande uit meerdere materialen worden onderstaande grootheden berekend.
Algemene grootheden:
- Oppervlakte van de dwarsdoorsnede - Manteloppervlak per eenheid van lengte
- E-gewogen oppervlak van de doorsnede. CintegraalCEdA)] - De coordinaten van het E-gewogen zwaartepunt
- Hoek tussen oorspr. v-as en hoofd v-as van de inhomogene doorsnede Buigings qrootheden tov. de hoofdassen vd. inhomogene doorsnede:
-
Integraal (EzzdA)-
IntegraalCEyydA)-
Ma>:. afstand E-gewogen zwaartepunt tot uiterste y-vezel-
Min. afstand E-gewogen z w.aartepunt tot uiterste y-vezel-
Ma:·:. afstand E-gewogen zwa<3.rtepunt tot uiterste z-vezel-
Min. afstand E-gewogen z wa.artepunt tot uiterste z-vezelLineaire-torsie grootheden
- De coordinaten van het dwarskrachtencentrum van de inhomogene drsn. - Torsie-stijfheid van de inhomogene doorsnede
- Welvings-stijfheid van de inhomogene doorsnede
E-gewogen opp. integralen voortkomend uit de asym. van de doorsnede: - IEel
- IEC2 - IEC3
Niet lineaire-torsie grootheid - HE
2: ENIGE ALGEMENE OPMERKINGEN
Voor het berekenen van diverse doorsnede grootheden is het noodzakelijk dat de welvingsfunctie* in elk punt van de doorsnede bekend is.
Het bepalen van deze functie is een van de belangrijkste onderdelen van het programma GEOPRO
Voor een eenduidige oplossing van de welvingsfunctie is het nood-zakelijk dat een zgn. starre verplaatsing uit de algemene oplossing
wordt ge~limineerd. In GEOPRO gebeurt dit door de vrijheidsgraad van
bepaalde knopen te onderdrukken.
In het geval van een doorsnede met een of meerdere symmetrie-assen is het zonder meer duidelijk welke knopen vastgelegd moeten worden. Ter plaatse van een symmetrie-as is de welvingsfunctie namelijk
altijd gelijk aan nul. Dit betekent dat aIle knopen die op een
symmetrie-as liggen in de invoerfile opgegeven moeten worden als zgn. vastgelegde knopen.
Bij een doorsnede zonder symmetrie-assen is er van te voren meestal
niets bekend over de grootte van de welving. Om te voorkomen dat er een singulier stelsel vergelijkingen ontstaat bij de berekening van de welvingsfunctie is het nodig dat er 1 knoop wordt vastgelegd. Dit betekent echter niet dat de welvingsverplaatsing in die Knoop nul wordt, want GEOPRO past de welvingsverplaatsingen zodanig aan dat de gemiddelde welving van de dwarsdoorsnede gelijk is aan nul. Daarom maakt het ook niet uit welke Knoop er wordt vastgelegd.
Samenvattend: Als de doorsnede een of meerdere symmetrie-assen heeft moeten aIle knopen op een symmetrie-as worden vastgelegd, terwijl
bij een doorsnede zonder symmetrie-assen ~~n willekeurige knoop moet
worden vastgelegd.
Indien de doorsnede bestaat uit meerdere materialen, moet per element de elasticiteits- en glijdingsmodulus warden ingevoerd. Als de
gli jdi ngs.madulLIS van bepaal de el ementen nul of bijna nul gemaakt
wordt, kunnen deze geen schuifspanningen meer overdragen.
Hierdaor kunnen bepaalde delen van het prafiel tOY. elkaar verplaatsen. zonder dat dit energie kast. Het stelsel vergelijkingen voar de bepaling van de welvingsfunctie wordt dan singulier.
Om dit te vaorkomen mag de glijdingsmodulus een bepaald mInImum niet overschrijden. Voor meer informatie over dit onderwerp wordt verwezen naar hoofdstuk 3.8 'Dwarsdoarsneden met gaten'.
*
De welvingsfunctie beschrijft de grootte van de welvingsverplaatsing3: DE INVOERFILE
3.1 Algemeen:
De
opzet van de invoerfile is zodanig dat per regel een afgerondgeheel aan informatie wordt aangeboden.
Zo wordt regel 1 gebruikt voor de invoer van 5 algemene parameters, regel 2 voor de beschrijving van element 1, regel 3 voor de
beschrijving van element 2 etc.
Ais aIle elementen beschreven zijn wordt de volgende regel gebruikt voor de invoer van de caordinaten van een knoop, de regel daarna voor de coordinaten van de volgende knoop etc.
Na het invoeren van de caordinaten moeten de vastgelegde knopen worden ingevoerd, hierbij wordt voor elk knoopnummer een nieuwe regel gebruikt. Als Iaatste worden de materiaal parameters ingevoerd. Bij doorsneden met 1 soort materiaal vervalt dit laatste invoerblok.
Zoals reeds vermeid in de inieiding is gekozen voar zgn. free-format invoer. Dit betekent dat de gegevens slechts gescheiden hoeven te worden door een spatie en dat de invoer van de coordinaten als voIgt mag worden vereenvoudigd.
0.000 0.000 0 0
0.152 5.000 0.152 5 12.00 7.321 1.2E1 7.321
Het scheiden van de invoergegevens dmv. komma's is niet toegestaan. De lengte-eenheid die gebruikt wordt bij het invoeren van de coordinaten is vrij, maar moet natuurlijk voor aIle coordinaten hetzelfde zijn. De berekende geometrische grootheden hebben dezelfde lengte-eenheid als de coordinaten als basis.
GEOPRO
gaat er vanuit dat de dwarsdoorsnede is gelegen in het y-z vlak.Indien bij. de invoer gebruik gemaakt wordt van de symmetrie van de dwarsdoorsnede, dan moet de y- of z-as (of beiden) samenvallen met de resp. symmetrie-as(sen). Bij afwezigheid van symmetrie worden de coordi-naten ingevoerd tOY. een willekeurig gekozen y-z assensteisel (fig. 1).
z
FIG.1
3.2 Algemene parameters
De eerste regel van de invoerfile wordt gebruikt voor de invoer van - de symmetrie parameter
- het aantal knopen - het aantal elementen
- het aantal vastgelegde knopen. - het aantal soorten materialen
In het geval van een doorsnede met een symmetrie-as hebben
boven-staande waarden betrekking op het ingevoerde deel van de doorsnede. De symmetrie parameter heeft een van de Yolgende waarden:
0 geen symmetrie-as
1 v-as is een symmetrie-as
2 z-as is een symmetrie-as
3 v-as en z-as zijn beide een symmetrie-as
3.3 De elementen-beschrijving
Het programma GEOPRO maakt gebruik van acht-knoops isoparametrische
elementen. Dit elementtype heeft de volgende voordelen:
- Met relatief weinig elementen wordt reeds een nauwkeurig resultaat verkregen.
Een gekromde geometrie kan met weinig elementen zeer nauwkeurig beschreven worden.
Elk element heeft acht knopen, vier hoekknopen en vier middenknopen. Aan het element worden de volgende eisen gesteld:
- AIle interne hoeken moeten tussen de 00 en 1800 liggen.
- Als een zijde in drie gelijke stukken wordt verdeeld, dan moet de middenknoop van die betreffende zijde in het middelste stuk liggen.
Bij de invoer van de knopen worden eerst de vier hoekknopen ingevoerd en daarna de vier middenknopen.
Er mag in een willekeurig hoekpunt worden begonnen, maar na de eerste knoop moeten de overige hoekknopen tegen de wijzers van de klok in worden ingevoerd.
De eerste middenknoop die wordt ingevoerd is de knoop die ligt op de zijde behorend bij de hoekknopen die als eerste en tweede zijn
ingevoerd. De overige hoekknopen worden weer tegen de wijzers van de klok in ingevoerd.
In figuur 2 is de volgorde van de in te voeren knopen aangegeven, ervan uitgaande dat links onder in de hoek wordt begonnen.
4
FIG.2
6
De elementen moeten in de volgorde 1,2,3 ••••. ,n worden ingevoerd. Indien de doorsnede bestaat uit meerdere materialen moet per element worden aangegeven van welk materiaal het is gemaakt.
Binnen een element mag het materiaal niet veranderen.
De materiaalsoorten worden genummerd van 1 tim n. Het
materiaal-nummer van een element wordt ingevoerd op dezelfde regel als de knoopnummers en weI na het laatste knoopnummer.
Indien het element van fig. 3 is gemaakt van materiaalsoort 4, dan ziet de invoer voor dat element eruit als:
15 17 34 32 16 22 33 21 4
22
17
16
15
Als de doorsnede uit 1 soort materiaal bestaat hoeft er geen
materiaal-nummer te worden ingevoerd. De invoer voor het element van fig. 3 wordt dan:
15 17 34 32 16 22 33 21
3.4 De coordinaten van de knopen
Ais bij de invoer gebruik gemaakt wordt van de symmetrie van de dwars-doorsnede, dan moet de y- of z-as (of beiden) samenvallen met de resp. symmetrie-as(sen). Bij afwezigheid van symmetrie worden de coordinaten ingevoerd tOY. een willekeurig gekozen y-z assenstelsel.
GEOPRO
beschikt over een routine die in het geval van een rechteelementzijde zelf de coordinaten van de middenknoop kan bepalen. Hierdoor reduceert het aantal coordinaten dat door de gebruiker moet worden ingevoerd aanzienlijk.
De werking van de routine komt er np neer dat in eerste instantie de coordinaten van aIle knopen geliJk gemaakt worden aan nul. Nadat de coordinaten uit de invoerfile zijn ingelezen wordt nagegaan welke middenknopen nog steeds een y- en z-coordinaat hebben geliJk aan nul. Van deze knopen worden dan de coordinaten bepaald dmv. lineaire interpol ati e.
Omdat niet aIle coordinaten worden ingevoerd en de volgorde van
invoeren willekeurig is, moeten de coordinaten vergezeld gaan van het knoopnummer. De invoer per regel bestaat dus uit:
knoopnummer y-coordinaat z-coordinaat
Om het programma te laten wet en dat aIle coordinaten ingelezen zijn moet het coordinaten blok altijd beeindigd worden met de
coordinaten van het hoogste knoopnummer ongeacht of dit een hoekknoop of een middenknoop is die op een rechte elementziJde ligt.
Indien een middenknoop 0D een gekromde elementrand ligt moeten de coordinaten altijd ingevoerd worden.
De werkwijze die hierboven is beschreven geeft aanleiding tot een kleine complicatie indien een bepaalde middenknoop op een gekromde rand ligt en een y- en z-coordinaat heeft gelijk aan nul. In dat
geval moeten hele Kleine waarden voor de coordinaten ingevoerd worden.
3.5 De vastgelegde knopen
Na de coordinaten moeten de vastgelegde knopen worden ingevoerd. Hierbij wordt per regel een knoopnummer ingevoerd.
Zoals reeds vermeld in hoofdstuk 2 moeten in het geval van een doorsnede met een of meerdere symmetrie-assen aIle knopen op een symmetrie-as worden vastgelegd.
Bij een doorsnede zonder een symmetrie-as moet een willekeurige Knoop worden vastgelegd.
3.6 De materiaal parameters
Per materiaalsoort moeten de elasticiteits- en glijdingsmodulu5 worden ingevoerd. Per regel worden de gegevens van 1 materiaal apgegeven. De invoervolgorde van de materialen bedraagt 1,2,3, •• ,n.
De dimensie waarin de parameters warden ingevaerd is vrij. Om echter te zorgen dat de lengte-eenheid van de geometrische grootheden
eenduidig is, moet de lengte-eenheid die gebruikt wordt bij de coordinaten en de materiaal parameters hetzelfde zijn.
3.7 Voorbeelden
1: Invoerfile tbv. een rechthoekige dwarsdoorsnede met een breedte
van 400 en een hoogte van 800, bestaande uit 1 soort materiaal.
Omdat de dwarsdoorsnede dubbelsymmetrisch is hoeft slechts een kwart van de doorsnede te worden ingevoerd.
De elementen-verdeling en knoopnummering is weergegeven in fig. 4.
8 16 13 18 19 20 21 15 10 11 12 7 !. .! .! 4 z
J
r -FIG.4 15~YI-De vastgelegde knopen zijn onderstreept.
De symmetrie parameter
=
3Het aantal knopen
=
21Het aantal elementen
=
4Het aantal vastgelegde knopen
=
9Het aantal soorten materialen
=
1De eerste invoerregel ziet er dus als voIgt uit. 3 21 4 9 1
Ais de elementen ingevoerd worden zoals beschreven in paragraaf 3.2 dan ziet het 'elementen-blok' er uit aIs:
1 3 11 9 2 7 10 6
3 5 13 11 4 8 12 7 9 11 19 17 10 15 18 14
11 13 21 19 12 16 20 15
Omdat aIle elementzijden recht zijn hoeven aIleen de coordinaten van de hoekknopen te worden ingevoerd.
Er wordt hier nogmaais op gewezen dat de knopen in een willekeurige volgorde mogen worden ingevoerd, maar dat altijd geeindigd moet worden met de coordinaten van het hoogste knoopnummer ongeacht of dit een hoekknoop is of een middenknoop die op een rechte rand ligt.
1 0 0 ""!' 100 0 '-' 5 200 (I 9 0 200 11 100 200 13 200 200 17 I) 400 19 100 400 21 200 400
De knopen die op een symmetrie-as liggen moeten worden vastgelegd. Per regel wordt 1 vastgelegde knoop ingevoerd. De volgorde is wi 11 ekeuri g. 1 2 3 4 5 6 9 14 17
hieronder wordt de invoerfile in zijn geheel nog eens weergegeven. 3 21 4 9 1 1 3 11 9 2 7 10 6 3 5 13 11 4 8 12 7 9 11 19 17 10 15 18 14 11 13 21 19 12 16 20 15 1 0 (J 3 100 0 5 200 0 9 0 200 11 100 200 13 200 200 17 0 400 19 100 400 21 200 400 1 2 3 4 5 6 9 14 17
Voorbeeld 2: I-profiel bestaande uit 2 materialen h=400 flens: l ijf: b=180 t-flens=80 E=10000 5=500 E=5000 5=400 t-l ijf=20
- De doorsnede is dubbelsymmetrisch, zodat slechts een kwart hoeft te worden ingevoerd.
- De elementen-verdeling en knoopnummering zijn weergegeven is fig. 5. - De middenknopen liggen op rechte elementenzijden en hoeven dus niet
te worden ingevoerd.
- De knopen 1 8 12 19 23 30 32 33 34 liggen op een symmetrie-as en moeten worden vastgelegd.
De invoerfile wordt nu: 3 34 7 9 2
12 14 3 1 13 9 2 8 1
14 16 5 3 15 10 4 9 1
16 18 7 5 17 11 6 10 1 (de elementen-beschrijving is nu uitgebreid
23 25 14 12 24 20 13 19 2 met de materiaal nummers)
25 27 16 14 26 21 15 20 1 27 29 18 16 28 22 17 21 1 32 34 25 23 33 31 24 30 2 y
z
AP. 1 23 4 5 6 7 8 9 10 11 2 14 16 18 1~ 15 17 9 20 21 22 .4 2526 27 28 29 0 31...
2 34 .... 1 1 3 3 3323
FIG.5 1 0 200 3 10 200 5 50 200 7 90 200 12 0 160 14 10 160 16 50 160 18 90 160 23 0 120 25 10 120 27 50 120 29 90 120 32 0 0 34 10 (I 1 8 12 19 ,..,.... ~...) 30 '?? ...."t_ 34 10000 500 5000 400 (materiaalsoort 1) (materiaalsoort 2)Voorbeeld 3: De opengesneden pijp:
- De doorsnede is symmetrisch tOY. de y-as zodat slechts de helft hoeft te worden ingevoerd
De elementen-verdeling en de knoopnummering zijn weergegeven in fig. 6. - AIleen de middenknopen 2 7 12 17 22 en 27 liggen op een rechte element-- zijde en hoeven dus niet te worden ingevoerd.
- De knopen 26 27 28 liggen op de symmetrie-as en moeten worden vastgelegd - De doorsnede is gemaakt van 1 soort materiaal.
De invoerfile wordt nu:
12 9 15 17 14 20 22 19 25 27 24 1 28 5 3 1 138 6 2 5 7 4 6 8 13 11 7 10 11 13 18 16 12 16 18 23 21 17 21 23 28 26 22 1 100 0.001 3 110 0.001 4 99.875 4.998 5 109.863 5.498 6 99.5 9.983 8 109.45 10.982 9 88.69 46.196 10 97.559 50.815 11 65.214 75.81 13 71. 735 83.391 14 32.423 94.598 15 35.665 104.058 16 -4.998 99.875 18 -5.498 109.863 19 -41. 705 90.888 20 -45.876 99.977 21 -72.456 68.921 23 -79.702 75.813 24 -92.859 37.11 25 -102.145 40.821 26 -100 0 28 -110 0 26 27 28
~
1
""2"
3
\
\
J
I
\
\
1/
,',
/ /
"-
...
.-'" " ,' -
---FIG.6Voorbeeld 4: Gedeeltelijk open en gesloten profiel
6.....,:,=6E3
materialen.
E_=15E5
.:.>
- Omdat de doorsnede geen symmetrie-assen heeft moet er een wiIIekeurige Knoop worden vastgeIegd. Hier is gekozen voor knoopnummer 1.
- AIle elementzijden zijn recht dus de coordinaten van de middenknopen hoeven niet te worden ingevoerd.
- De doorsnede bestaat uit drie verschiIIende
E1=2.1E5 6 1=80769 E2=1.5E5 62=5.77E4
Invoerfi le: 0 50 10 1 3 1 3 17 15 2 11 16 10 3 ":!" 5 19 17 4 12 18 11 3 '.' 5 7 21 19 6 13 20 12
,
'.' 7 9 23 21 8 14 22 13 3 17 19 30 28 18 25 29 24 2 21 23 34 32 22 27 33 26 2 28 30 44 42 29 38 43 37 1 30 32 46 44 31 39 45 38 1 32 34 48 46 ":!'~ 40 47 39 1 '-".' 34 36 50 48 35 41 49 40 1 1 I) 0 3 8 0 5 10 0 7 18 0 9 20 0 15 0 2 50 41 6 49 789 464748 6 45 FIG.7 345 42 43 44 / / / / / / / / / / J"-"""",,,
2 37 38 39 40I
28 29 30 31 32 33 34 35 3 24 25 26 27 5 16 17 18 19 20 21 22 23i
11 12 13 14 10 1 <vastgelegde Knoop) 17 8 2 19 10 2 21 18 2 23 20 2 28 8 24 30 10 24 32 18 24 34 20 24 36 28 24 42 8 26 44 10 26 46 18 26 48 20 26 50 28 26 1 2.1E580769 1.5E5 5. 77E4 15E5 6E33.8 Dwarsdoorsneden met gaten
Naast normale profielen worden in konstrukties ook regelmatig profielen toegepast met gaten en/of sparingen (fig. 8). Voor het dimensioneren van deze profielen heeft men vaak de geometrische grootheden nodig van de verzwakte doorsnede.
Indien men de Saint-Venantse welvingsfunctie tpv. een doorsnede met gaten probeert te bepalen met een standaard komputerprogramma, ontstaan er meestal problemen.
Omdat uit de ingevoerde dwarsdoorsnede niet blijkt dat er een
een koppeling bestaat tussen de diverse delen, zal het komputerprogramma de invoer interpreteren als een doorsnede die bestaat uit losse delen die onafhankelijk van elkaar kunnen bewegen. Het berekenen van de welvingsfunctie voor zo'n doorsnede als geheel is dan theoretisch niet mogelijk, men kan hooguit de welvingsfunctie van de aparte delen
bepalen.
Omdat bij het programma GEOPRO per element verschillende elasticiteits-en glijdingsmoduli kunnelasticiteits-en wordelasticiteits-en ingevoerd, is dit programma weI in staat om de geometrische grootheden tpv. een doorsnede met gaten te bepalen. Door de gaten in de dwarsdoorsnede op te vullen met een element dat een erg lage elasticiteits- en glijdingsmodulus heeft, worden de delen gekoppeld zonder dat er een noemenswaardige verhoging van de doorsnede grootheden optreedt. Via deze koppeling kunnen de schuif-spanningen die ontstaan bij welving worden overgedragen van het ene deel van de doorsnede naar het andere.
De grote van de elasticiteitsmodulus van een element speelt bij het bepalen van de welvingsfunctie geen rol en kan (moet) daarom voor een opvulelement gelijk gemaakt worden aan nul.
Indien de elasticiteits-modulus van een element gelijk is aan nul, wordt dit element door GEOPRO gefdentificeerd als een opvulelement. Bij de berekening van de oppervlakte en het manteloppervlak van de d"larsdoorsnede wordt dit element dan als een opening in rekening gebr.:acht.
De waarde van de G-modulus mag echter niet kleiner gemaakt worden dan een bepaald minimum, omdat er anders weer een ontkoppeling optreedt. Dit minimum is probleem afhankelijk, zodat een vaste waarde hiervoor niet is aan te geven.
In de praktijk blijkt dit echter zelden problemen te geven, omdat er
bij een verlaging van de glijdingsmodulus met een factor lE-3
a
lE-4nauwelijks verschil te merken is met een echt gat, terwijl er meestal nog lang geen numerieke problemen optreden.
Er is echter 1 type probleem waarbij een veri aging met een factor lE-5 soms niet genoeg is.
Als de gaten van de doorsnede in fig. 9 opgevuld worden met elementen verandert de slappe open doorsnede in een koker. De torsie-stijfheid van een koker is echter vele malen groter dan van een open doorsnede. Door het toevoegen van opvulelementen is er dus een ander type doorsnede ontstaan.
FIG.9
De verlaging van de glijdingsmodulus moet er nu voor zorgen dat dit effect weer teniet wordt gedaan. In zo'n geval kan het voorkomen dat de glijdingsmodulus een factor lE-7 tot lE-8 verlaagd moet worden. Boms is deze veri aging te veel en geeft de komputer de foutmelding dat de matrix instabiel is geworden.
Indien deze foutmelding optreedt moet men zich afvragen of bij de betreffende doorsnede nog weI over de welving van het profiel als geheel gesproken kan worden.
Indien men een bepaald type profiel met gaten voor het eerst doorrekent is het aan te bevelen om het profiel 2 A 3 maal door te rekenen met een steeds lagere glijdingsmodulus. Men zal dan zien dat bij een bepaalde waarde van de G-modulus een verdere verlaging geen invloed meer heeft op de eindresultaten. Deze G-modulus kan men dan in het vervolg bij dit type profielen gebruiken.
Voorbeeld 5: I-profiel met sparingen
(hartlijn): h=200 b=100 t=2 E=2.1E5 6=80769
- De doorsnede is dubbel-symmetrisch, zodat slechts een kwart hoeft te worden ingevoerd.
De elementen-verdeling en knoopnummering zijn weergegeven in fig. 10 - De knopen 1 2 3 4 6 9 11 14 16 liggen op een symmetrie-as en moeten
worden vastgelegd.
- De doorsnede bestaat uit twee seerten materialen, het echte materiaal en het materiaal van het epvulelement.
- De deersnede is 4 keer deergerekend, steeds met een lagere G-modulu5 veer het epvulelement.
De invoerfile behorend bij de berekening met E-epvulelement=O en G-opvulelement=0.8 is hieronder weergegeven.
26 31 33 28 29 32 30 3 33 6 9 2
I
T
-14 2 15 2- -+-
-
-22 1 ,":1'7 2
1
..:.;-
,
-7 4 1 10 12 9..,
..:. 12 15 17 19 22 20 24 27 "'c:-"::'...J 99 99t
101 101 99I
1611718 20 23 25 28 30 33 101 14 15 f22t
27t
32 99 11 1 13 19 21 24 26 29 31 101 99 101 9 10 16 0 18 1 21 15 23 15 26 7C:-.•.:I...J 28 35 31 50 33 50 1 2 ... ooJ 13 1 1 I) 0 310 6 0 30 8 1 30 11 (I 1 386 2 5 6 8 13 11 7 11 13 18 16 13 21 23 18 21 26 28 23 4 6 9 11 14 16o
0.8 2.1E580769 FIG. 10 4 5 11- 3 _ ~ - - - ~y 2Als de doorsnede bestaat uit meer dan 1 soort materiaal, berekent GEOPRO de grootheden die behoren bij een zgn. E-zware doorsnede.
In het geval van een homogene doorsnede met gaten kunnen de traagheids-grootheden hieruit verkregen worden door de berekeningsresultaten te delen door de E- en G-modulus van het echte materiaal.
Iyy
=
Integraal(Ezzda)/2.1E5Izz
=
Integraal (Eyyda)/2.1E5It
=
torsiestijfheid/80769Iw
=
welvingsstijfheid/2.1E5De berekenings-resultaten zijn weergegeven in onderstaande tabel.
Berekening nr. 1 2 3 4 an,3l yti sch
E-opvulelement 0 0 0 0 0
G-opvLll el ement 80.769 8.0769 0.8 0.08 0
Iyy 3. 6578E06 3. 6578E06 3. 6578E06 3. 6578E06 3. 6578E06
Izz 2. 2809E05 2. 2809E05 2. 2809E05 2. 2809E05 2. 2809E05
It 679.8 679.5 679.4 679.4 679.4
Iw 2. 2804E09 2. 2804E09 2. 2804E09 2. 2804E09 2. 280E09
Voorbeeld 6: twee gekoppelde kanaalprofielen
(hartlijn): h=198 b=118 t=2 E=2.1E5 G=80769
- De doorsnede is dubbel-symmetrisch, zodat slechts een kwart hoeft te worden ingevoerd.
- De elementen-verdeling en knoopnummering zijn weergegeven in fig. 11
- De knopen 1 2 3 21 22 23 liggen op een symmetrie-as en moeten
worden vastgelegd.
- De doorsnede bestaat uit twee soorten materialen, het echte materiaal en het materiaal van het opvulelement.
- De doorsnede is 4 keer doorgerekend, steeds met een lagere G-modulus voor het opvulelement.
De invoerfile behorend bij de berekening met E-opvulelement=O en G-opvulelement=0.008 is hieronder weergegeven.
3 23 4 6 2
1 386 257 4 1
6 8 13 11 7 10 12 9 1 16 6 11 18 14 9 15 17 1 21 16 18 23 19 17 20 22 2
Zj
23 20 18 ·x, 1 58 0 22f 17t .... 60 0 21 1 19 16 .) 6 58 98I
8 60 98 11 58 100I
13 60 100 16 20 98I
18 20 100 21 (I 98I
?"< 0 100-
-+
-
-_
...' 1I
I
2 3I
21I
22I
2""I
0_' 2.1E5 80769o
0.008I
FIG.11 +-15 11 12 13 9 10 14 6 7 8 4 5 - - - - ... -~y 1 2 3De berekenings resultaten zijn weergegeven in onderstaande tabel.
Berekening nr. 1 2 3 4 a.nalytisch
E-opvulelement 0 0 0 0
G-opvulelement 0.8 0.08 0.008 0.0008
Iyy 5. 6462E06 5. 6462E06 5. 6462E06 5. 6462E06
Izz 3. 2840E06 3. 2840E06 3. 2840E06 3. 2840E06
It 2008.6 1522.0 1473.3 1468.5
Iw
2.8229EI0 2.8234E10 2.8234E10 2.8234EI0o
o
5. 6462E06 3. 2840E06 1468.4 2.823EI0Uit voorbeeld 5 en 6 blijkt het valgende:
- De bUig-traagheidsmamenten zijn ongevoelig voar de grootte van de G-modulus van het opvulelement.
Het welvings-traagheidsmoment is slechts in geringe mate gevoelig voor de groatte van de G-modulus van het opvulelement.
Het torsie-traagheidsmoment is het gevoeligst vmor de grootte van de G-modulus van het opvulelement.
Bij voorbeeld 6 verandert de open doorsnede door het opvulelement in een koker. Om dit effect te compenseren is een lagere G-modulus van het opvulelement nodig dan bij voorbeeld 5, waar de doorsnede met en zander opvulelement een open doarsnede is.
Als laatste wordt hier opgemerkt dat diegene die een profiel met
gaten daarrekent er zich van maet avertuigen dat de kappeling die tussen de delen van het werkelijke prafiel aanwezig is, voldoende stijf en sterk is am er voor te zargen dat het profiel zich gedraagt als een geheel.
4: DE PROGRAMMA'S 4.1 Het programma DRAW
Met DRAW kan op een interaktieve manier een invoerfile worden gemaakt,
gelezen~ veranderd en getekend. Voor informatie over deze programma-onderdelen wordt verwezen naar het programma DRAW waar deze informatie kan worden opgevraagd. Dit hoofdstuk beperkt zich tot de
teken-nauwkeurigheid en enkele teken-voorbeelden.
Zoals reeds vermeld maakt GEOPRO gebruik van S-knoops isoparametrische elementen. Dit elementtype heeft het voordeel dat de elementzijden
gekromd mogen zijn. Indien een middenknoop niet op de rechte lijn tussen de twee hoekknopen ligt wordt er een tweede graads kromme door de drie knopen gelegd. Hierdoor kan een gekromde geometrie met weinig elementen nauwkeurig beschreven worden.
Het programma DRAW is zodanig opgebouwd dat de tweede graads kromme die in de elementen berekening door de drie knopen van een elementzijde wordt gelegd oek daadwerkelijk wordt getekend. Dit houdt in dat de tekening die door DRAW gemaakt wordt een exacte weer gave is van het model dat door GEOPRO wordt doorgerekend.
Dit is zeer uitzonderlijk omdat in bijna aIle tekenprogramma's van eindige elementen-pakketten de knopen van S-knoops isoparametrische elementen met rechte lijnen worden verbonden.
Met behulp van DRAW kan dus nagegaan worden in hoeverre een gekromde geometrie voldoende nauwkeurig is gemodelleerd. Ais voorbeeld zijn in
figuur 12 en 13 de tekeningen weergegeven (verkleind)~ die door DRAW
gemaakt zijn van een epengesneden cirkelvermige pijp. Vanwege de symmetrie is maar de helft van de doorsnede gemodelleerd. In het ene geval zijn er drie elementen gebruikt en in het andere 5.
Uit de tekeningen blijkt dat de geometrie mbv. 5 elementen aanzienlijk beter wordt beschreven dan met 3 elementen.
De reden veor het gebruik van een klein element naast de spleet wordt in hoofdstuk 6 besproken.
Dat gekromde en schuine lijnen er op het beeldscherm wat hoekig uit zien heeft te maken met de geringe resolutie (aantal lichtpuntjes) van de grafische monitor.
Ais men beschikt over een Epson-achtige printer~ dan kan een afdruk van
het beeldscherm op de printer worden gemaakt. Veor verdere informatie over deze mogelijkheid wordt verwezen naar de help-tekst bij het programma onderdeel TEKENEN van DRAW.
De plaatjes van dit hoofdstuk zijn gemaakt op een STAR S6 10 dot matrix printer.
In figuur 14 zijn de tekeningen afgedrukt (verkleind), die door DRAW gemaakt zijn van de invoervoorbeelden 1,2 en 4 uit hoofdstuk 3.
I
FIG.14
4.2 Het programma GEOPRO
Door
GEOPRO
wordt een uitvoerfile aangemaakt, deze file bevat devolgende informatie;
- De naam van de berekehing - De algemene parameters - De elementen-beschrijving
- De coordinaten van aIle knopen tOY. het Dorspronkelijke assenstelsel - De vastgelegde knopen
- De coordinaten van aIle knopen tOY. de hoofdassen De waarden van de welvingsfunktie in de knopen - De geometrische grootheden (zie inleiding)
Als voorbeeld zijn de uitvoerfiles behorende bij invoervoorbeeld 1 en 2 weergegeven in appendix B.
5: HEr RUNNEN VAN DE PROGRAMMA'S
5.1 AlgemeenOm illegaal copi~ren van de programma's te voorkomen, worden ze
geleverd op een Prolok-diskette.
Deze diskette kan worden beschouwd als de sleutel die toegang geeft tot de programma's. Als de programma's worden opgestart moet deze diskette in een van de diskette drives aanwezig ZlJn.
Van de Prolok diskette kan weI een zgn. 'back-up copy' gemaakt worden op een gewone diskette, maar als men de programma's wil draaien vanaf deze gewone diskette dan moet tijdens het opstarten de Prolok-diskette in een van de diskette drives aanwezig zijn.
De Prolok-diskette mag niet 'write protected' gemaakt worden dmv. het afplakken van de inkeping. Voor verdere informatie over het werken met een Prolok-diskette wordt verwezen naar appendix C.
De handelingen tijdens het runnen van de programma's zijn afhankelijk van het soort computer waarmee men werkt.
In de onderstaande beschrijving wordt er vanuit Qeoaan dat het operating systeem reeds gel aden is en dat de diskette met de programma's de Prolok-diskette is.
5.2 Computer met 1 diskette drive
Het runnen van het programma DRAW.
- Stop de diskette met de programma's in de diskette drive. - Type de naam DRAW en druk op ENTER.
Het programma is nu opgestart. Door het typen van een ? en het drukken
op ENTER kan verdere informatie over het programma worden verkregen. A: Invoerfiles lezen en schrijven op de programma-diskette.
Het voordeel van deze werkwijze is dat men tijdens het runnen van de programma's geen diskettes hoeft te verwisselen. Als nadeel zou kunnen
worden aangevoerd dat men regelmatig de invoerfiles moet kopi~ren
op een andere diskette om te zorgen dat op de programma-diskette voldoende ruimte aanwezig blijft. Indien men de naam van een invoer-of uitvoerfile opgeeft zonder extra aanduiding gaat het operating systeem er van uit dat de files op de diskette die in de drive zit geschreven moeten worden.
Ais op de programma-diskette wordt gelezen en/of geschreven mag deze niet 'write-protected' gemaakt worden.
B: Invoerfiles lezen en schrijven op een andere diskette.
Bij deze werkwijze kan men een speciale diskette gebruiken voor het
opslaan van invoerfiles en uitvoerfiles. Bij een computer met 1 diskette
drive houdt deze werkwijze in dat men regelmatig diskettes moet var
-wisselen.
Men moet het operating systeem bij deze werkwijze weI duidelijk maken dat de files moeten worden geschreven en/of gelezen op een andere diskette. Dit doet men door voor de naam van de invoer- en/of uitvoerfile B: te
typen. Dus in het geval van een invoerfile met de naam invoerl~ moet
op de vraag 'GEEF EEN NAAM VAN DE INVOERFILE' geantwoord worden; B:invoerl (zander spatie ertussen). Hetzelfde geldt voor de naam van een uitvoerfile. Indien de diskettes verwisseld moeten worden zal het operating systeem U hier am vragen.
Ais er geen fouten in de invoerfile ZlJn geconstateerd en het plaatje
komt overeen met hetgeen men bedoelt ~ dan kan worden overgegaan tot
het runnen van het programma GEOPRO.
Door GEOPRO wordt een uitvoerfile aangemaakt. Tijdens het lezen van de invoerfile wordt bepaalde informatie direct weggeschreven naar de uitvoerfile. Dit betekent dat de uitvoerfile geschreven wordt op de diskette waarop de invoerfile staat.
Het runnen van het programma GEOPRO
Stop de diskette met de programma's in de diskette drive. - Type de naam GEOPRO en druk op ENTER.
- Het programma antwoordt dan met: GEEF DE NAAM VAN DE BEREKENING
- Type de naam van de berekening (max. 68 letters) en druk op ENTER. - Het programma antwoordt dan met:
GEEF DE NAAM VAN DE INVOERFILE
Men kan nu wederom kiezen tussen lezen en schrijven op de programma-diskette of een andere programma-diskette. Wat hierover is gezegd bij het programma DRAW geldt oak voor GEOPRO.
- Type de naam van de invoerfile en druk op ENTER. - Het programma antwoordt dan met:
GEEF DE NAAM VAN DE UITVOERFILE
- Type de naam van de uitvoerfile en druk op ENTER.
Ais het programma klaar is verschijnt de DOS prompt op het scherm.
Men kan nu de uitvoerfile bekijken met DRAW~ een text-editor
(tekst-verwerkingsprogramma) of het MS-DOS/PC-DOS commando TYPE.
Ais er door GEOPRO fouten worden geconstateerd dan worden deze weg-geschreven naar de uitvoerfile en stopt het programma.
5.3: Computer met 2 diskette drives
Bij dit systeem heeft men het grote voordeel dat de invoer- en de
uitvaerfiles ap een andere diskette kunnen warden geschreven en gelezen zander dat de programma-diskette uit de drive haeft te worden verwijderd. Ais men by. de diskette met de programma's in drive A plaatst
en de diskette waarop de invoer- en de uitvoerfiles kunnen
worden geschreven in drive B, dan gaat alles zoals beschreven bij een computer met 1 diskette drive met dien verstande dat er niets op de programma-diskette wordt geschreven terwijl men geen
diskettes hoeft te verwisselen.
Ais men de programma's vanaf directory A: draait, dan moet men het
operating systeem weI duidelijk maken dat de files maeten worden gelezen en geschreven op drive B. Dit doet men door voor de naam van de inveer-en uitvoerfile B: te zettinveer-en. Dus in het geval van einveer-en invoerfile met de naam invoerl, maet op de vraag 'GEEF DE NAAM VAN DE INVOERFILE' geantwoard warden; B:invoerl (zonder spatie ertussen).
Hetzelfde geldt voor de naam van de uitvoerfile.
Veor het overige wordt verwezen naar de beschrijving voor een computer met 1 diskette drive.
5.4: Computer met een harddisk
Indien men beschikt aver een computer met een harddisk en een of twee diskette drives, dan kan men te werk gaan zoals beschreven in
paragraaf 5.2 of 5.3.
Men kan echter ook de programma's en de bijbehorende files op de harddisk zetten en dan alies vanaf de harddisk draaien. De programma's warden wederom opgestart deor het intikken van de programma naam. De invoer- en uitveerfiles kunnen nu worden gelezen en geschreven op de harddisk of een diskette in de diskette drive.
Ook nu maet tijdens het opstarten de Prelok-diskette (de sleutel) in een van de diskette drives aanwezig zijn (zie appendix C).
6: DE NAUWKEURIGHEID VAN DE BEREKENINGEN
Zoals bij elk ande~ eindige elementenp~ogrammais de nauwkeurigheid
van de geomet~ische grootheden die doo~ GEOPRO worden berekend
afhankelijk van de hoeveelheid elementen en de elementenverdeling. Uit testbe~ekeningenis het volgende gebleken:
De algemene g~ootheden en de buigings grootheden zijn ongevoelig
vaor de fijnheid van de elementenverdeling, mits de geometrie voldoende nauwkeurig is gemodelleerd.
- De positie van het dwarskrachten middelpunt en de welvingsverplaats-ing blijken slechts in gerwelvingsverplaats-inge mate afhankelijk van de
fijnheid van de elementenverdeling.
De torsie-grootheden blijken het meest gevoelig voor de fijnheid van de elementenverdeling.
Gekromde delen zijn gevoeliger voor de fijnheid van de elementen-verdeling dan rechte delen.
Het bovenstaande is grotendeels verklaarbaar als men zich realiseert
dat de welvingsve~plaatsingde grootheid is die mbv. de eindige
elementen methode wordt berekend. En dat bi] de berekening van de torsie-grootheden de afgeleiden van de welvingsverplaatsing naar y en z bepalend zijn voor het resultaat.
Bij vakgroep Technische Mechanica van de afd. Werktuigbouwkunde van de Technische Universiteit Eindhoven is onderzocht hoe met zo min mogelijk elementen zo nauwkeurig mogelijke resultaten kunnen worden verkregen. Dit heeft geleid tot de volgende aanbevelingen:
- Bij dunwandige rechte profieldelen kan in principe met 1 element worden volstaan.
- Bij gekromde profieldelen moet de ingesloten hoek per element Kleiner
zijn dan 30
a
35 graden (fig. 15a).- Bij korte, brede profiel (del)en moeten meerdere elementen in lengte en breedte richting worden toegepast (fig. 15b).
- De meest effectieve manier om de nauwkeurigheid te vergroten is het aanbrengen van extra min of meer vierkante elementen tpv. vrije uit-einden en vertakkingen (fig. 15c).
FIG.15 I I I I I / ".'" I / ./
¥'-=--~--A Bc
Ter illustratie zijn op de volgende pagina's een aantal berekenings-resultaten vergeleken met analytisch berekende waarden.
r
-profiel: !hartlijnl b=h=49 t=2 halve profiel ingevoerd met 3 elementenOpp Olltr Yc Iyy Izz It Iw Ys
anal yti sch 294 298 17.33 137420 78531 392 0.3363E8 -37.3
6EOPRO 294 298 17.33 137420 78531 390 0.3386E8 -37.3
afw X 0 0 0 0 0 0.5 0.68 0
[-profiel: !hartlijnl b=h=49 t=2 halve profiel ingevoerd lIet 5 elementen
Opp Omtr Yc Iyy Izz It III Ys
analytisch 294 298 17.33 137420 78531 392 0.3363E8 -37.3 6EOPRO 294 298 17.33 137420 78531 392.1 0.3384E8 -37.3 afw 1. 0 0 0 0 0 0 0.64 0
_.L
""
" 1....=
===_"':1
w
__ U _
" 'II "
I
L':.-:.. --- .:=
::J anal yti sch 6EOPRO afw 1. Koker: (hartlijn) b=250 h=350 t=2Opp Olltr Iyy
analytisch 2400 2400 44918E7
6EOPRO 2400 2400 44918E7
afw 1. 0 0 0
Koker: !hartlijnl b=250 h=350 t=2
Opp Omtr Iyy
2400 2400 44918E7
2400 2400 44918E7
o
0 0kwart vd drsn ingevoerd met 3elellenten
Izz It 11'1
2.7085E7 5.1042E7 1.0634E10
2.7085E7 5. 1356E7 1.0918E10
o
0.6 2.7kwart vd drsn ingevoerd let 5 elementen
Izz It 11'1
2.7085E7 5.1042E7 1.0634E10
2.7085E7 5. 1209E7 1.0784E10
o
0.3 1.4rr===1
II I 'I ' II _ II " " " I, ,L J • .... ---_--1~r----~1'
I'
:: -- ,1--' I . I I' :' " ,f a...'-_--=
==:..1
Open gesneden pijp: helft van de doorsnede ingevoerd met 3 elementen
.~
Opp Olltr Iyy Izz It Iw Ys
anal yti sch 6597.3 1339.5 3.645E7 3.645E7 2. 199E5 1.034E12 -210.0 1\ Ru ·110
n
6EOPRO 6518.9 1336.7 3. 476E7 3. 476E7 4. 775E5 0.983E12 -214.5 \ \
,"
"
/ /"afll 1. 1.2 0.21 4.6 4.6 117 5.2 2.1 ....
:::::
...Open gesneden pijp: helft van de doorsnede ingevoerd lIet 5 elementen
-A
Opp Olltr Iyy Izz It III Ys
analytisch 6597.3 1339.5 3. 645E7 3. 645E7 2. 199E5 1. 034E12 -210.0 \\ RU'110 I I
6EOPRO 6593.0 1339.3 3.639E7 3.639E7 2. 179E5 1.031E12 -209.7 \ \ / I
" ", afw 1. 0.07 0.01 0.17 0.17 0.9 0.3 0.14
"::. =-:-:. ....
analytisch 6EOPRO afw 1. rechth drsn: b=400 h=800 Opp Olltr 3.20E5 2400 3.20E5 2400o
0kwart vd drsn ingevoerd met 4 elementen
Iyy Izz It Iw
1.7067E10 4.2667E09 1.1725E10 0.8326E14
1.7067E10 4. 2667E09 1.1712E10 0.8324E14
o
0 0.1 0.02i-ill
I I,
,
I I I ~- - _ _IT-profi el met verstijvers: helft vd drsn ingevoerd met 5 ele.enten
::-c---'r
Opp Ollltr Ze Iyy Izz It Iw Zs
'exact' 260 184 25 31639 37975 957.0 162900 6.53
.
6EOPRO 260 184 25 31639 37975 966.4 164150 6.62
afw Z 0 0 0 0 0 1 0.8 1.4
T-profiel met verstijvers: helft vd drsn ingevoerd met 9elementen
"r
.. - - - IOpp Omtr Ze Iyy Izz It Iw Zs I
I 'exact ' 260 184 25 31639 37975 957.0 162900 6.53 I I 6EOPRO 260 184 25 31639 37975 959.5 162930 6.53 I afw 7- 0 0 0 0 0 0.3 0 0 Opmerkingen:
- Bij geval 1 tim 4 is het traagheidsmoment voor welving berekend mbv.
de Vlasov theorie. Bij deze theorle wordt het profiel geschematiseerd tot een aaneenschakeling van lijn-elementen. De welving in breedte richting wordt verwaarloosd. De optredende afwijking in het traagheids-moment voor welving moet daarom waarschijnlijk op het canto van de Vlasov theorie worden geschreven ipv. het programma GEOPRO.
- Uit geval 5 en 6 blijkt heel duidelijk hoe gevoelig gekromde profielen zijn voor de fijnheid van de elementenverdeling. Om betrouwbare
resultaten te krijgen moet men de ingesloten hoek per element beslist
niet groter dan 30
a
35 graden maken.Ook het representeren van de geometrie laat bij weinig elementen te
Wanneer door DRAW of GEOPRO fouten worden geconstateerd, geven beide programma's duidelijke foutmeldingen.
Indien men de door DRAW gemelde fouten niet direkt kan verklaren wordt aanbevolen om met de foute invoerfile een keer het programma GEOPRO te draaien. GEOPRO schrijft namelijk eerst de gelezen invoer naar de uitvoerfile alvorens de foutmeldingen worden gegeven en het programma stopt. Bestudering van de uitvoerfile maakt dan duidelijk hoe de invoer door GEOPRO wordt geinterpreteerd.
Naast de foutmeldingen die in DRAW en GEOPRO ZlJn ingebouwd, bevat appendix D een uitgebreide lijst met fouten en foutnummers die ook nog kunnen optreden.
Appendix A
Geometrische grootheden berekend door GEOPRO voor dwarsdoorsnedes bestaande uit 1 soort materiaal.
Dimensie
- De oppervlakte van de dwarsdoorsnede: (A)
- Het manteloppervlak per eenheid van lengte:
- De coordinaten van het zwaartepunt: Yc en Zc
- De hoek tussen de oorspr. v-as en de hoofd v-as:
z
radialen
z
y
- Het traagheidsmoment tov. de hoofd,y-as: A [Z"'JdA
J
? (Iy ). ?
(Iz)
- Het traagheidsmoment tOY. de hoofd z-as:
J
[y"'JdAA
- De traagheidsstraal tov. de hoofd v-as:
y(I/A)
- De traagheidsstraal tOY. de hoofd z-as:
y(I1
/A )~
L
L
- Het max. weerstandsmoment tOY. de hoofd v-as: Het min. weerstandsmoment tov. de hoofd V-as:
L dimensieloos - IC2: - IC3: - H: - IC1:
- Het max. weerstandsmoment tov. de hoofd z-as: Iz/eymin
Het min. weerstandsmoment tOY. de hoofd z-as: Iz/eymax
- De coordinaten van het dkc. tov. de hoofdassen: Ys en Zs
- Het polaire traagheidsmoment tov. het zwaartepunt: I y+ Iz
f
? ~- Het polaire traagheidsmoment tov het dkc:
A [(y-ys)-+(z-zs)kJdA
-
f
bifJ ? bifJ ~- Het traagheidsmoment voor torsie: [(--z+z )-+(-+Y-y )kJdA
A by s bZ s
- Het traagheidsmoment voor welving:
J[
ifJ2 JdA (Iw)A
t
y J[(y2+z2)zJdA - 2z s1
J
[(i+z 2 )yJdA - ?yIZ A ... s
1 . ? '")
fwd [(Y"'+Zk) ifJ JdA
1~[{(y-ys)2+(Z-Zs)2}2JdA
Appendix A (vervolg)
Geometrische grootheden berekend door GEOPRO voer dwarsdoorsnedes bestaande uit meerdere soorten materialen
dimensies
- De oppervlakte van de dwarsdoorsnede:
- Het manteloppervlak per eenheid van lengte: - E-gewogen oppervlak van de doorsnede:
- Coordinaten van het E-gewogen zwaartepunt:
JEdA A (A) (AE)
..,
L'/L F L- Hoek tussen oorspr. v-as en hoofd v-as (positief tegen de wijzers van de klok
- Integraal (Ezzda):
J
CEz 2 JdAA
- Integraal (Eyyda): JCEy2JdA
A vd inhomogene doorsnede: in) <IE)y (IE) ... L. radialen
..,
FL'- max afstand E-gewogen zwaartepunt tot uiterste y-vezel:
-
min afstand E-gewogen zwaartepunt tot uiterste y-vezel:- ma}: afstand E-gewogen zwaartepunt tot uiterste z-vezel:
-
min afstand E-gewogen zwaartepunt tot Lli terste z-vezel:L L L L - HE: - IEC3: - IEC2: - IEC1: L dimensieloos Ys en zs L <IG)t FL2 (IE)w FL4 L - Torsie-stijfheid:
- Coord. v/h dkc. v/d inhomogene drsn. tOY. de hoofdassen:
J
~l/J ? ~l/J 2A CG{(~y -z+zs)-+(bZ"+Y-Ys) }JdA JCEl/J2 JdA
A
<I~)
yAJ
CEz (y2+z2) JdA - 2z s_1_
J
CEy (y2+z2) JdA - "'y(IE)zA ""s 1
J
,I, 2 ?(IE)
CE y (y +z-)JdA w A 41
A S SJCE{(y-y )2+(z-z )2}2 JdA - Welvings-stijfheid: l/J(y~z) is de welvingsfunctieBij de dimensies staat de letter F voor krachteenheid (N~KN~etc.)
Appendix B
**************************************************************************
*
*
UITVOER BEHOREND BIJ INVOERVOORBEELD 1
*
*
*
*
*******************************l******************************************
*************************
*
*
*
ALGEMENE PARAMETERS
*
*
*
*************************
DE SYMMETRIE PARAMETER
=
HET AANTAL KNOPEN
=
HET AANTAL ELEMENTEN
=
HET AANTAL VASTGELEGDE KNOPEN
=
HET AANTAL SOORTEN MATERIALEN
=
.,.
~, 21 4 9 1ELEMENT-NR.
**************************
*
*
*
ELEMENT BESCHRIJVING
*
*
*
**************************
KNOPEN
1 1 .,.0_' 11 9 2 7 10 6 2 "'! 5 I"'! 11 4 8 12 7 -' ~. 3 9 11 19 17 10 15 18 14 4 11 13 21 19 12 16 20 15*******************************************
*
*
*
COORDINATEN TOV. OORSPR. ASSENSTELSEL
*
*
*
*******************************************
KNOOP
V-COORD
Z-COOF:D
1 .000 .000 2 50.000 .000
-
100.000 .000 ,) 4 150.000 .000 5 200.000 .000 6 .000 100.000 7 100.000 100.000 8 200.000 100.000 9 .000 200.000 10 50.000 200.000 11 100.000 200.000 12 150.000 200.000 13 200.000 200.000 14 .000 300.000 15 100.000 300.000 16 200.000 300.000 17 .000 400.000 18 50.000 400.000 19 100.000 400.000 20 150.000 400.000 21 200.000 400.000Appendix B (vervolg)
************************
*
*
*
VASTGELEGDE KNOPEN
*
*
*
************************
KNOOP-NR
1 2 3 4 5 6 9 14 17************************************
*
*
*
COORDINATEN TOV. DE HOOFDASSEN
*
*
*
************************************
KNOOP
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21V-COORD.
• 000 50.000 100.000 150.000 200.000 .000 100.000 200.000 .000 50.000 100.000 150.000 200.000 .000 100.000 200.000 .000 50.000 100.000 150.000 200.000Z-COORD •
.000 .000 .000 .000 .000 100.000 100.000 100.000 200.000 200.000 200.000 200.000 200.000 300.000 300.000 300.000 400.000 400.000 400.000 400.000 400.000KNOOP-NR.
1 2 3 4 5 6 7 8 9*****************************
*
*
*
WELVINGSFUNKTIE-WAARDEN
*
*
*
*****************************
FUNKTIE-WAARDE
.OOOOOE+OO .OOOOOE+OO .OOOOOE+OO .OOOOOE+OO .OOOOOE+OO .OOOOOE+OO . 78056E+04 • 16921E+05 .OOOOOE+OOAppendix B (vervolg) 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 • 69023E+04 .14236E+05 •22367E+05 •31288E+05 .OOOOOE+OO • 17003E+05 •41823E+05 .OOOOOE+OO •53728E+04 .12148E+05 .21713E+05 •36525E+05
*****************************
*
*
*
GEOMETRISCHE GROOTHEDEN*
*
*
*****************************
ALGEMENE GROOTHEDEN:OPPERVLAKTE VAN DE DOORSNEDE: •••••••.•••••••.•..••.••••••• MANTELOPPERVLAKTE PER EENHEID VAN LENGTE: .•••••••.•••..•.• HET ZWAARTEPUNT TOV. HET OORSPRONKELIJKE ASSENSTELSEL: ••.•
Y COORDINAAT: ..
Z COOF:D INAAT: • • • • .. •.•.• • • • .. • • • • • • .. • • • • • • . • .. • . • • .. • .. DE HOEK TUSSEN DE OORSPRONKELIJKE V-AS EN DE HOOFD V-AS: .. BUIGINGS GROOTHEDEN
TRAAGHEIDSMOMENT TOV. DE HOOFD V-AS: ••...•••.•••••••.••••• TRAAGHEIDSMOMENT TOV. DE HOOFD Z-AS: •••••••••.•.•.•...••.• TRAAGHEIDSSTRAAL TOV. DE HOOFD V-AS: ••..•••.•••.••••••••.• TRAAGHEIDSSTRAAL TOV. DE HOOFD Z-AS: •••••.•..••••••••••••. WEERSTANDSMOMENT TOV. DE HOOFD V-AS: .••••••••••••••.•••••• WEERSTANDSMOMENT TOV. DE HOOFD Z-AS: ••...•.•••••••••••.•.. LINEARE-TORSIE GROOTHEDEN
HET DWARSKRACHTENCENTRUM TOV. DE HOOFDASSEN: ••••.•.•••••••
Y-COORD INAAT: .
Z-COORD INAAT: .
POLAIR TRAAGHEIDSMOMENT TOV. HET ZWAARTEPUNT: .•.••••••.••• POLAIR TRAAGHEIDSMOMENT TOV. HET DWARSKRACHTENCENTRUM: ••.. HET TRAAGHEIDSMOMENT VOOR TORSIE: .•••••.•••.••••••.••••.•• HET TRAAGHEIDSMOMENT VOOR WELVING: ••••••..•.•••.••.•..••.. OPPERVLAKTE INTEGRALEN VOORKOMEND UIT DE ASVM. VAN DE DRSN.:
Ie 1 .
IC2 ..
I C3 ..
NIET LINEARE-TORSIE GROOTHEID:
H . •32000E+06 •24000E+04 .OOOOOE+OO .OOOOOE+OO .OOOOOE+OO • 17067E+11 . 42667E+l0 •23094E+03 • 11547E+03 •42667E+08 . 21333E+08 .OOOOOE+OO .OOOOOE+OO .21333E+ll .21333E+ll .11712E+ll •83240E+14 .OOOOOE+OO .OOOOOE+OO .OOOOOE+OO . 54822E+15
Appendix B (vervolg)
**************************************************************************
*
*
*
UITVOER BEHOREND BIJ I-PROFIEL BESTAANDE UIT 2 MATERIALEN(VB.2)*
*
t*************************************************************************
*
*************************
*
*
*
ALGEMENE PARAMETERS*
*
*
*************************
DE SYMMETRIE PARAMETER=
HET AANTAL KNOPEN
=
HET AANTAL ELEMENTEN=
HET AANTAL VASTGELEGDE KNOPEN
=
HET AANTAL SOORTEN MATERIALEN=
3 34 7 9 2 ELEMENT-NR
**************************
*
*
*
ELEMENT BESCHRIJVING*
*
*
**************************
KNOPEN MAT. NR 1 12 14 "':!0_' 1 13 9 2 8 1 2 14 16 5 3 15 10 4 9 1 "':! 16 18 7 5 17 11 6 10 1 '-' 4 23 25 14 12 24 20 13 19 2 5 25 27 16 14 26 21 15 20 1 6 27 29 18 16 28 22 17 21 1 7 32 34 25 23 33 31 24 30 2*******************************************
*
*
*
COORDINATEN TOV. OORSPR. ASSENSTELSEL*
*
*
*******************************************
KNOOP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ?"':! _ _ _1 Y-COOFm .000 5.000 10.000 30.000 50.000 70.000 90.000 .000 10.000 50.000 90.000 .000 5.000 10.000 30.000 50.000 70.000 90.000 .000 10.000 50.000 90.000 .000 Z-COORD 200.000 200.000 200.000 200.000 200.000 200.000 200.000 180.000 180.000 180.000 180.000 160.000 160.000 160.000 160.000 160.000 160.000 160.000 140.000 140.000 140.000 140.000 120.000Appendix B (vervolg) 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 KNOOP-NR 1 8 12 19 23 30 32 33 34 MAT. NR. 1 2 5.000 10.000 30.000 50.000 70.000 90.000 .000 10.000 .000 5.000 10.000 E-MOD. .10000E+05 .50000E+04 120.000 120.000 120.000 120.000 120.000 120.000 60.000 60.000 .000 .000 .000
************************
*
*
VASTGELEGDE KNOPEN*
*
*
************************
*
**************************
*
*
*
MATERIAAL CONSTANTEN*
*
*
**************************
G-MOD. .50000E+03 .40000E+03************************************
*
*
*
COORDINATEN TOV. DE HOOFDASSEN*
*
*
************************************
KNOOP V-COORD. Z-COORD.
1 .000 200.000 2 5.000 200.000 3 10.000 200.000 4 30.000 200.000 5 50.000 200.000 6 70.000 200.000 7 90.000 200.000 8 .000 180.000 9 10.000 180.000 10 50.000 180.000 11 90.000 180.000 12 .000 160.000 13 5.000 160.000 14 10.000 160.000 15 30.000 160.000 16 50.000 160.000 17 70.000 160.000 18 90.000 160.000 19 .000 140.000 20 10.000 140.000
Appendix B (vervolg) 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 50.000 90.000 .000 5.000 10.000 30.000 50.000 70.000 90.000 .000 10.000 .000 5.000 10.000 140.000 140.000 120.000 120.000 120.000 120.000 120.000 120.000 120.000 60.000 60.000 .000 .000 .000 I<NOOP-NR. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22'">.,. ,L.,,) 24 25 26 27 28 29 30 31 -:r,., ....'L 33 34
*****************************
*
*
*
WELVINGSFUNI<TIE-WAARDEN*
*
*
*****************************
FUNI<TIE-WAARDE .OOOOOE+OO • 61529E+03 • 12304E+04 • 37322E+04 •63350E+04 .91150E+04 • 12522E+05 .OOOOOE+OO . 14227E+04 .72167E+04 • 13711E+05 .OOOOOE+OO • 79560E+03 • 15934E+04 • 47653E+04 • 79959E+04 • 11180E+05 • 14368E+05 .OOOOOE+OO • 17821E+04 . 87177E+04 .15047E+05 .OOOOOE+OO . 83017E+03 • 16637E+04 • 57591E+04 •96357E+04 • 13241E+05 .16211E+05 .OOOOOE+OO • 49347E+03 .OOOOOE+OO .OOOOOE+OO .OOOOOE+OO*****************************
*
*
*
GEOMETRISCHE GROOTHEDEN*
*
*
*****************************
ALGEMENE GROOTHEDEN:OF'PERVLAt-~TE VAN DE DOORSNEDE: •.•....••••# # # • # # # • • • • • • • • • • •
MANTELOPPERVLAI<TE PER EENHEID VAN LENGTE: •..•...••...• E-GEWOGEN OPPERVLAI< VAN DE DRSN [INT(EdA)]: ••.••••••..•••
. 33600E+05 .14800E+04 .30400E+09
Appendix B (vervolg)
E-GEWOGEN ZWAARTEPUNT TOV. OORSPROKELIJK ASSENSTELSEL: ••..
Y COORD INAAT: .II II II II " II II II II II II IIII .. II II II II II II II .. II II II II .. II II II II .. II II II
Z COORDII'JAAT: II II II II II II II II II II II II II II II II II II .. IIII II II II II • II II II • II II It II II ..
HOEK TUSSEN OORSPR V-AS EN HOOFD V-AS VD INHOMOGENE DRSN:
BUIGINGS GROOTHEDEN TOV. DE HOOFDASSEN VD INHOMOGENE DRSN.
INTEGRAAL (EZZdA) :II II II II II II II II II II II II II .. II .. II II II II II II II II II II II II .. II II II II II II II II II II II II
INTEGf::AAL (EYYdA) :IIII II II II II II II II II II II II II IIII II II II II II II II II II II II II II II II II II II II a II II II II II
MAX. AFSTAND E-GEW. ZWAARTEPUNT TOT UITERSTE Y-VEZEL: ••••.
MIN. AFSTAND E-GEW. ZWAARTEPUNT TOT UITERSTE Y-VEZEL: ••••.
MAX. AFSTAND E-GEW. ZWAARTEPUNT TOT UITERSTE Z-VEZEL: ••.••
MIN. AFSTAND E-GEW. ZWAARTEPUNT TOT UITERSTE Z-VEZEL: •.••.
LINEARE-TORSIE GROOTHEDEN
DKC. YD. INHOMOGENE DRSN TOV. DE HOOFDASSEN: .••.••••••••••
V-COORD INAAT: II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II IIII II II IIII II II II II II II II
Z-COOF:D I f\JAAT: IIII II II II II II II .. II II II II II II II II II II II II II II II II IIII II IIII IIII II II II II
TORSIE-STIJFHEID VD INHOMOGENE DRSN.: •••...•••••••.•..•••.
WELVINGS-STIJFHEID VD INHOMOGENE DRSN.: •.•.••••••••..•••••
E-GEW. OPP. INTEGRALEN
VOOR~~OMENDUIT DE ASYM. VAN DE DRSN.:
I EC 1II II II II IIII II II II II II IIII II II II II II IIII II II II II II II II II II II II II II II II II IIII II II..II II II II
IEC2II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II IIII II II II II • II II II II II II II II
I EC3II II II II II II II II II II II IIII II II II II II II II II IIII II II II II II II II II II II II II II II II II IIII IIII II II
NIET LINEARE-TORSIE GROOTHEID:
HEII IIII II IIII IIII II II II II IIII II II II II ..IIII II IIII II II II II II II II II II II II II II II II • • • " • • •"
