Inleiding-groepentheorie-oefeningen-juni-2015-2016

Inleiding groepentheorie:

oefeningenexamen 2015-2016

professor: J. De Beule

20 juni 2016

1. Zij G een groep en G0 = hx−1y−1xy|x, y ∈ Gi. G0 wordt dus voortge-bracht door [x, y] := x−1y−1xy.

(a) Bewijs dat φ(G0) ⊆ G0 voor alle φ ∈ Aut(G). Bewijs aan de hand hiervan dat G0/ G.

(b) Bewijs dat G abels is als en slechts als G0 = {eG}.

(c) Zij N / G en G\N abels. Bewijs dan dat G0 ⊆ N .

(d) Zij D8 = ha, b|a4 = b2 = e, b−1ab = a3i de di¨edergroep van orde 8.

Beschrijf dan D₈0 en D8/D80.

2. G is een groep van orde p2 _{met p priem.}

(a) Bewijs dat Z(G) ∩ G 6= {e}. (Hint: gebruik stelling 11.2.6) (b) Bewijs dat, als G\Z(G) cyclisch is, G abels is.

(c) Bewijs dat voor iedere groep van orde p2 _{geldt dat de groep abels}

is.

3. H is een deelgroep van G met index k ([G : H]=k), X is een eindige verzameling. Men definieert een actie: p : G × X → X van G op X. Deze actie is transitief (d.w.z ∀x, y ∈ X : ∃Gx,y ∈ G : p(gx,y, x) = y).

(a) Bewijs dat er slechts ´e´en orbiet voor de actie van G op X bestaat. (b) Bewijs dat de volgende actie correct is: pH : H × X → X :

(h, x) 7→ p(h, x) een actie van H op X. 1

(c) Bewijs dat er hoogstens k orbieten zijn voor de actie ph van H op

X.

4. Een permutatie σ is even als en slechts als het aantal cycli (in de dis-juncte cycli ontbinding van σ) van even lengte even is.

5. De orde van de groep G is 12.

(a) Als G abels is, geef dan alle mogelijkheden van G op de isomor-fismen na.

(b) Stel vanaf nu dat G niet meer abels is.

i. Bewijs dat G een unieke Sylow 2-deelgroep of een unieke Sy-low 3-deelgroep heeft (en dus zijn ze normaal).

ii. Bewijs dat de Sylow 2-deelgroepen en Sylow 3-deelgroepen abels zijn.

iii. Als G een unieke Sylow 2-deelgroep en een unieke Sylow 3-deelgroep heeft, dan is G abels.

(c) Als de orde van G gelijk is aan p2_{q met p, q priem, dan heeft G}

een unieke Sylow p-deelgroep of een unieke Sylow q-deelgroep. 6. BONUSVRAAG

Zij k 6= 0 en _x1

1 + ... +

1

xk = 1 een vergelijking. Dan heeft deze een

natuurlijk aantal oplossingen (niet te bewijzen). Er bestaat dus een eindig aantal k-tallen (x1, ..., xk) met xi ∈ N de oplossingen van de

vergelijking. Definieer N (k) = max{xi|1 ≤ i ≤ k}. Het maximum loopt

over alle oplossingen (x1, ..., xk) met natuurlijke co¨ordinaten. Bewijs

dat, als G een eindige groep is met exact k conjugatieklassen, dan geldt dat |G|≤ N (k).