Nik Goedemans
ABSTRACT – Het Getallenspel is een rekenspel waar nog weinig onderzoek naar is gedaan. De uit de theorie afgeleide oplosstrategieën voor dergelijke spellen zijn te herleiden tot twee vormen van redeneren: voorwaartse en achterwaartse redenatie. In het Getallenspel lijkt er een onderscheid in moeilijkheid gemaakt te kunnen worden tussen voorwaarts en
achterwaarts oplosbare opgaven (Van der Maas & Nyamsuren, 2015). Naar aanleiding van dit onderzoek onder basisschoolkinderen (Rekentuin) is in deze studie in eerste instantie getracht dit verschil te repliceren onder volwassenen. Vervolgens is onderzocht of er door middel van oplosstrategie gerichte training invloed kon worden uitgeoefend op dit verschil. Het verschil tussen voorwaarts en achterwaarts oplosbare items werd ook in deze studie gevonden. Het verschil verdween na de trainingen, echter niet volledig op de verwachte manier. Hiervoor is waarschijnlijk uitgebreidere training nodig.
Scriptie Bachelor Psychologische Methodenleer
Nik Goedemans, 10000449
Juni 2015
Docent: prof. dr. H.L.J. van der Maas
2
Inhoudsopgave
Inhoudsopgave 2
Een Introductie in het Getallenspel 3
Is er een Onderscheid tussen Voorwaarts en Achterwaarts Redeneren in het
Getallenspel? 10 Deelnemers 10 Materialen 11 Procedure 11 Resultaten 13 Conclusies en Discussie 17 Literatuur 21
3
Een Introductie in het Getallenspel
Elke dag staan we tegenover problemen. Veel van deze problemen zien we niet eens als een probleem, omdat deze al ontelbaar veel vaker zijn voorgekomen en opgelost in het dagelijks leven. Neem bijvoorbeeld het reizen van werk naar huis, een situatie die zich al dusdanig vaak heeft voorgedaan, dat deze door onszelf niet geclassificeerd wordt als het oplossen van een complex probleem. Zelfs als de daarvoor bestemde trein bijvoorbeeld vertraging heeft, een situatie die zich mogelijk ook al vaker heeft voorgedaan, zien we het veranderen van reisplan niet als een ingewikkelde kwestie. Toch doen dergelijke situaties een beroep op ons vermogen tot het oplossen van problemen.
Het cognitief vermogen doorloopt verschillende fases tijdens het oplossen van problemen (Ash & Wiley, 2006). Een fase waarin het probleem wordt gerepresenteerd, een fase waarin het probleem wordt geprobeerd op te lossen en een fase waarin het probleem wordt geherstructureerd indien geen direct oplossing is gevonden. Gedurende deze fases wordt een probleem stapsgewijs opgelost, beginnende bij de representatie van het eigenlijke probleem tot aan de uiteindelijke oplossing.Willingham (2001) beschrijft een aantal
strategieën binnen het vermogen problemen op te lossen. Allereerst benoemt Willingham de zogeheten brute kracht methode. Hierin wordt bij het oplossen van een probleem simpelweg elke optie uitgeprobeerd. Wanneer een optie niet direct tot de oplossing leidt, wordt er in de herstructureringsfase naar een volgende optie gekeken om het probleem op te lossen. Een proces dat voortduurt totdat de oplossing gevonden is. Ten tweede beschrijft Willingham een methode waarin men vanuit de beginstaat een situatie probeert de creëren die dichter bij de oplossing van het probleem ligt, de zogeheten hill-climbing methode. Elke keer wordt er een poging gedaan om iets dichterbij de oplossing te komen, het probleem wordt
geherstructureerd tot een kleiner probleem. Zo wordt stapsgewijs doorgewerkt totdat de oplossing uiteindelijk bereikt is. Deze methode wordt beschouwd als de voorwaartse
4 In deze methode ligt de focus op het doel van het probleem, om zo terug te redeneren hoe dit doel bereikt kan worden. In zekere zin wordt het probleem hier al geherstructureerd voordat de eerste oplossingsfase is aangebroken. In deze methode wordt er gebruik gemaakt van andersom redeneren.
De toepassing op redeneerpuzzels is een interessante manier om dergelijke methoden te onderzoeken. De door Willingham beschreven methoden lijken van toepassing te zijn op een bekende rekenpuzzel: The Number Game, ook wel Getallenspel genoemd. In het
Getallenspel dient met een set gegeven getallen, door verschillende operatoren te gebruiken, een eindantwoord gevormd te worden. De operatoren die gebruikt mogen worden om tot het eindantwoord te komen zijn plus (‘+’), min (‘-’), keer (‘×’) en gedeeld door (‘÷’). Elk getal uit de gegeven set dient exact één keer gebruikt te worden. De getallen hoeven niet in dezelfde volgorde te blijven staan als aangeboden. Gebruik van haakjes in de oplossing is toegestaan. Dergelijke vraagstukken zien er dan als volgt uit:
1 5 100 | 400
De gegeven begingetallen (1, 5 en 100) bevinden zich links van de streep en het doelgetal (400) rechts van de streep. De oplossing van deze som is: (5 – 1) × 100 = 400.
Bij het Getallenspel lijken alle methoden, die door Willingham zijn beschreven, van toepassing. Daarnaast is het Getallenspel een effectieve manier gebleken van het verbeteren van wiskundige vaardigheden (Eley, 2009). Het regelmatig oefenen met het Getallenspel lijkt de rekenvaardigheid onder kinderen sneller te doen verbeteren. In Nederland maken meer dan 1500 scholen gebruik van het Getallenspel (Klinkenberg, Straatemeier, & Van der Maas, 2011). Dit gaat via het online rekenprogramma Rekentuin uit 2009, waar het
Getallenspel een onderdeel van is. Door de opzet van het programma is zeer veel data van Nederlandse kinderen op verschillende rekenprestaties beschikbaar, zo ook van het
5 weinig onderzoek naar het Getallenspel; enkele interessante vraagstukken zijn nog
onbeantwoord. Mede hierom zijn Van der Maas & Nyamsuren een nieuw onderzoek gestart naar het Getallenspel, waar het huidige onderzoek een onderdeel van is.
Eén van deze vragen bevat een meer wiskundige achtergrond; het betreft hier de vraag of het Getallenspel, evenals het Partitie Probleem, de zogeheten np complete status bevat. Het Partitie Probleem is tevens een wiskundige puzzel waarbij een speler een groep getallen dient op te delen in twee subgroepen, dusdanig dat de som van deze twee
subgroepen gelijk is. Deze puzzel wordt in de informatica bestempeld als np complete (Hayes, 2002). Garey & Johnson (1979) kenmerkten np completeness aan de hand van twee regels. Ten eerste zal de oplostijd van een vraagstuk exponentieel toenemen bij het toevoegen van getallen aan de beginset. Ten tweede zal, wanneer de oplossing van een vraagstuk gegeven is, deze oplossing in aanzienlijk kortere tijd (lineair) gecontroleerd kunnen worden. Het Partitie Probleem voldoet aan deze regels. Nu kan het Partitie Probleem gezien worden als een vorm van het Getallenspel, waar met de operatoren plus ‘+’ en min ‘–’ het eindgetal 0 gevormd moet worden (Kurzen, 2011, aangehaald in Van der Maas & Nyamsuren, 2015). Indien np competeness ook geldt voor Partitie problemen met de operatoren keer ‘×’ en gedeeld door ‘÷’, doet dit vermoeden dat ook het Getallenspel np complete is. Een ander kenmerk van np complete problemen is dat deze een faseovergang in moeilijkheid bevatten (Cheeseman, 1991, aangehaald in Hayes, 2002). Deze faseovergang deelt de problemen op in twee categorieën: problemen die eenvoudig op te lossen zijn en problemen die moeilijk op te lossen zijn. In het Getallenspel vonden Van der Maas & Nyamsuren (2015) een discrepantie in moeilijkheidsgraad, hetgeen lijkt op de fasetransitie van een np complete probleem.
6 De illustratie geeft het gevonden verschil in moeilijkheid weer. Het betreft hier opgaven van het Getallenspel waarin de set begingetallen constant was, namelijk de getallen 1, 10 en 100. Het doelgetal was voor elke opgave anders; zo was er een opgave waar 91 gemaakt moest worden (100 – 10 + 1 = 91), maar ook een opgave waar 900 gemaakt moest worden ((10 – 1) × 100 = 900). Voor elk mogelijk doelgetal is de moeilijkheid geschat, hetgeen bovenstaande grafiek opleverde. Zoals gezegd is er een opvallende overgang van relatief makkelijke sommen, naar moeilijkere sommen. Deze overgang beslaat een significant verschil in moeilijkheid (Van der Maas & Nyamsuren, 2015). Deze overgang is echter nog geen direct bewijs voor np completeness; het levert echter wel nieuwe inzichten in het Getallenspel.
Deze transitie kan mogelijk verklaard worden door de verschillen in methoden van probleem oplossen, zoals beschreven door Willingham. De beschreven methoden zijn namelijk goed toepasbaar op het oplossen van het Getallenspel. Zo is de brute kracht methode gemakkelijk toe te passen op elke som. Elk getal kan op elke positie worden uitgeprobeerd en tussen deze getallen kan elke operator worden geprobeerd, net zo lang totdat de opgave is opgelost. Dit levert echter veel pogingen op, waardoor dit een zeer onpraktische methode is. Wanneer er gekeken wordt naar het eerder genoemde voorbeeld,
7 waar met 1, 5 en 100 het getal 400 gemaakt moet worden, zou bijvoorbeeld begonnen
worden met 1 + 5 + 100. Dat levert geen 400 op. Wanneer vervolgens elk getal op elke plek geprobeerd zou worden en elke operator op elke plek zouden er voor deze som al 96
mogelijke antwoorden zijn; gebruik van haakjes nog daargelaten. De brute kracht methode zou alleen in computersimulaties bruikbaar zijn voor het oplossen van het Getallenspel. De andere twee methoden, voorwaartse en achterwaartse redenatie, zijn interessanter. De voorwaartse methode houdt in dat met een deel van de begingetallen steeds geprobeerd wordt om zo dicht mogelijk bij het doelgetal te komen. Vervolgens wordt gekeken of met het restant van de begingetallen het benodigde verschil tussen het verkregen getal en het doelgetal overbrugd kan worden. In deze methode blijft men steeds begingetallen
combineren totdat de juiste eerste stap gevonden is. Voor sommige opgaven werkt deze methode zeer goed. Zo ook voor de volgende opgave uit de ‘1, 10, 100 serie’:
1 10 100 | 999
In de voorwaartse methode zou met een deel van de begingetallen zo dichtbij mogelijk het doelgetal (999) gekomen moeten worden. Dit kan door 10 en 100 te vermenigvuldigen: 100 × 10 = 1000. Vervolgens dient gekeken te worden of met het restant van de begingetallen (1 dus) van 1000 tot doelgetal 999 gekomen kan worden. Dit blijkt te kunnen door deze 1 van 1000 af te halen. De oplossing is dus: 10 × 100 – 1 = 999. Zoals gezegd werkt dit voor een aantal opgaven zeer goed; deze opgaven kunnen gezien worden als typische voorwaartse opgaven.
Er zijn ook opgaven waarbij juist de achterwaartse methode beter werkt. Wanneer opgaven van het Getallenspel volgens de achterwaartse methode worden opgelost, wordt er altijd vanuit het doelgetal gekeken welke relatie deze heeft met één van de begingetallen. Hierin zijn er eigenlijk twee stappen die uitgevoerd worden om deze mogelijke relatie tussen doel- en begingetal te onderzoeken. De eerste stap is het controleren of het doelgetal
8 deelbaar is door één van de begingetallen. Indien dit het geval is, betekent dit dat in de oplossing de laatste stap mogelijk een vermenigvuldiging is. Met de overgebleven begingetallen dient dan het verkregen quotiënt gevormd te worden. Ook dit kan geïllustreerd worden met één van de ‘1, 10, 100’ opgaven:
1 10 100 | 900
Het doelgetal (900) is deelbaar door alle begingetallen. Hieruit volgt respectievelijk 900, 90 en 9. Met de overgebleven begingetallen dienen deze getallen dus gevormd te worden. In dit voorbeeld lopen de eerste twee gevallen stuk; met de overgebleven getallen 10 en 100 kan geen 900 gevormd worden en met de overgebleven getallen 1 en 100 geen 90. Wanneer gekeken wordt naar het quotiënt van 900 en 100 volgt: 900 ÷ 100 = 9. Met de resterende begingetallen (1 en 10) dient dus 9 gevormd te worden, want 9 × 100 = 900. Uit de resterende begingetallen volgt: 10 – 1 = 9. De oplossing is dan dus: (10 – 1) × 100 = 900. Mocht deze eerste stap niet werken; het doelgetal is niet deelbaar door één van de
begingetallen, dan kan er onderzocht worden of één van de begingetallen deelbaar is door het doelgetal. Dit wijst op een deling in de oplossing. Als dit het geval is, dan dient met de overgebleven getallen wederom het restant gevormd te worden. Dergelijke sommen komen in de ‘1, 10, 100 serie’ niet voor. Een voorbeeld van dergelijke opgave is:
3 5 8 | 4
In dit voorbeeld werkt de eerste stap van de achterwaartse methode niet. De tweede stap kan daarentegen wel worden toegepast. Het begingetal 8 is deelbaar door het doelgetal, hieruit volgt: 8 ÷ 4 = 2. Dit betekent dat met de overige getallen, 3 en 5, het getal 2 gevormd moet worden. Dit kan door 3 van 5 af te halen: 5 – 3 = 2. De oplossing is dus: 8 ÷ (5 – 3) = 4. Ook deze achterwaartse methode werkt voor een aantal opgaven zeer goed.
Nu wil het feit dat het onderscheid tussen deze voorwaarts oplosbare en achterwaarts oplosbare opgaven terug te zien is in het eerder beschreven verschil in moeilijkheid. In de
9 Rekentuin zijn verscheidene opgaven aangeboden met de begingetallen 1, 10 en 100. De opgaven die behoorden tot de significant moeilijkere opgaven waren opgaven waar de achterwaartse oplosmethode van toepassing was. (Enige uitzondering waren opgaven met een negatief doelgetal.) De makkelijkere opgaven waren de opgaven die behoorden tot de voorwaarts oplosbare opgaven. Een mogelijke verklaring is dat mensen bij voorbaat geneigd zijn om voorwaarts te redeneren in plaats van achterwaarts (Ginat, 2005). Een andere
mogelijke verklaring is dat het gevonden verschil tussen voorwaarts oplosbare en
achterwaarts oplosbare opgaven aan de Rekentuin zelf ligt. De Rekentuin, ontwikkeld voor basisschoolkinderen, werkt met de volgende lay-out:
Kinderen krijgen het doelgetal bovenaan te zien, de begingetallen staan onderaan. In het midden bevindt zich een invul vak. De kinderen dienen in een beperkte tijd de begingetallen op de juiste plaats in het vak te zetten. De getallen moeten naar de vakjes gesleept worden en een operator dient ertussen geplaatst te worden. Echter worden bij het plaatsen van getallen de uitkomsten van de tussenstappen berekend. Wanneer er bijvoorbeeld met 1, 5 en 6 tot 2 gekomen moet worden, zoals in de illustratie, wordt het antwoord van de eerste stap al berekend. Dus als er op de eerste regel 1 + 5 wordt ingevuld, komt daar automatisch 1 + 5 = 6 te staan. Dit zou mogelijk een voorwaartse redenatie kunnen stimuleren. Het is namelijk mogelijk om onbeperkt begingetallen in te blijven vullen, waarvoor telkens het
10 antwoord van elke stap berekend wordt. Het is meteen mogelijk om tussen- en
eindantwoorden te zien.
In de huidige studie zal daarom worden onderzocht of er onder een andere lay-out ook een onderscheid gemaakt kan worden tussen voorwaartse en achterwaartse redenatie in het Getallenspel. Hiertoe zal een pen en papier studie worden afgenomen onder een andere populatie om zo een oriënterend beeld te krijgen naar redenatie in het Getallenspel. Tevens zal er onderzocht worden of de omschreven methoden te trainen zijn. Zo zal zowel de voorwaartse als de achterwaartse methode geïntroduceerd en aangeleerd worden. Wanneer, zoals eerdere literatuur laat zien, de voorwaarts oplosbare opgaven makkelijker zijn, is de verwachting dat het verschil in moeilijkheid tussen voorwaarts en achterwaarts oplosbare opgaven zal verdwijnen bij mensen die de achterwaartse methode aangeleerd krijgen. Voor mensen die de voorwaartse methode aangeleerd krijgen, wordt verwacht dat het verschil niet zal verdwijnen, maar eerder zal vergroten. Dit stuk bevat verder een verslag van deze studie, waarna in de uiteindelijke conclusie teruggekoppeld zal worden naar eerder
beschreven bevindingen in het Getallenspel. Dit zal hopelijk leiden tot meer inzicht in het Getallenspel om zo een basis te bieden voor verder onderzoek.
Is er een Onderscheid tussen Voorwaarts en Achterwaarts
Redeneren in het Getallenspel?
Deelnemers
Er waren 56 deelnemers aan deze studie, waaronder 28 mannen. De gemiddelde leeftijd was 22 jaar (M = 21.91, SD = 3.45). Deelnemers zijn voornamelijk studenten aan de Universiteit van Amsterdam.
11 Materialen
In deze studie is door de deelnemers gebruik gemaakt van pen en papier om de opgaven op te lossen. Gebruik van een rekenmachine was niet toegestaan. Verder werd er op een computer een trainingsfilmpje getoond. De reactietijden werden gemeten met een
stopwatch. Tests werden afgenomen in het test lab aan de Universiteit van Amsterdam.
Procedure
Deelnemers werden aselect ingedeeld in drie condities: een voorwaartse conditie, een achterwaartse conditie en een controle conditie. De start van het onderzoek was echter voor elke conditie gelijk. Alvorens deelnemers daadwerkelijk begonnen met het Getallenspel werd allereerst een ‘één-minuut-rekentest’ afgenomen. Het betrof een Tempo Test Rekenen waarvan alleen de laatste kolom, optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen door elkaar, werd afgenomen. Deelnemers dienden in één minuut zo veel mogelijk sommen juist te beantwoorden. Elk juist antwoord levert één punt op; in totaal waren er 40 punten te behalen. Volgens het testformulier is een score van minder dan 20% correct zeer laag. Deelnemers scoorden allen boven deze grens (M = 28.41, SD = 5.37, Min = 16, Max = 40). Na voltooiing van de rekentest werd het Getallenspel uitgelegd. Deelnemers kregen hiervoor een formulier met de uitleg van het spel, ook was er de gelegenheid tot het stellen van vragen. Nadat de proefleider bevestigd had gekregen van de deelnemer dat het spel duidelijk was, volgde een serie van tien oefenopgaven. Deze oefenopgaven waren elk vrij gemakkelijk (bijvoorbeeld: 2 3 | 5; 2 + 3 = 5), om zo de deelnemer vooral te laten wennen aan de manier waarop de opgaven gepresenteerd zouden worden en de manier van noteren. De oefenopgaven werden zonder tijdsdruk gemaakt en er was ook de gelegenheid tot het stellen van vragen. Na afronding van de oefenfase werd de eerste test afgenomen. De test bestond uit tien opgaven, welke op dezelfde manier werden aangeboden als bij de oefentest. Deelnemers kregen nu echter één minuut per opgave. Na het startsein van de proefleider mocht de deelnemer beginnen. Wist de deelnemer binnen één minuut de
12 oplossing op te schrijven, dan mocht de deelnemer, na het geven van een seintje aan de proefleider, door naar de volgende opgave en startte direct een nieuwe minuut. De oplostijd voor de opgave werd genoteerd. Als de deelnemer er niet uitkwam, moest de deelnemer blijven proberen de desbetreffende opgave op te lossen tot de minuut voorbij was. Na het verstrijken van de minuut, gaf de proefleider vervolgens een seintje dat de deelnemer door moest gaan met de volgende opgave en startte daarvoor een nieuwe minuut. De onopgeloste opgave werd als fout worden behandeld. De test bestond uit vijf opgaven welke
geclassificeerd kunnen worden als voorwaarts oplosbaar en vijf opgaven welke
geclassificeerd kunnen worden als achterwaarts oplosbaar. Opgaven waren geselecteerd uit de data van de Rekentuin op basis van moeilijkheid. De ideale moeilijkheid voor de test was vastgesteld met behulp van verscheidene pilot studies. Na deze tien opgaven was de pre-test voorbij. Hierna kregen de deelnemers uit de verschillende condities een instructiefilmpje te zien. De eerste conditie, de zogeheten voorwaartse conditie, kreeg een filmpje te zien waarin de voorwaartse oplosmethode van het Getallenspel werd uitgelegd. Na afloop van het filmpje, waarin de methode uitgebreid aan de hand van voorbeelden was uitgelegd, werd de deelnemers gevraagd of de methode begrepen was. De deelnemers kregen vervolgens drie oefenopgaven van het Getallenspel waarin desbetreffende methode uiterst toepasbaar was. Tijdens het maken van deze opgaven werd verzocht de aangeleerde methode te gebruiken. Er was geen tijdsdruk bij het maken van deze opgaven en wederom mochten deelnemers vragen stellen aan de onderzoeker over de aangeleerde methode. Na het juist oplossen van de oefenopgaven met behulp van de aangeleerde methode volgde de post-test. Alvorens de post-test van start ging, werd benadrukt dat de deelnemer niet verplicht was om de aangeleerde methode te gebruiken. Ook de post-test bestond namelijk uit vijf voorwaarts oplosbare en vijf achterwaarts oplosbare items. De post-test werd op dezelfde wijze
afgenomen als de pre-test. Voor de andere condities was het verloop identiek. Het verschil tussen de condities zat in het instructiefilmpje. Deelnemers in de tweede, achterwaartse,
13 conditie kregen een filmpje waarin de achterwaartse oplosmethode werd aangeleerd. De oefenopgaven waren ook hier aangepast op de methode; de drie oefenitems dienden volgens de achterwaartse oplosmethode te worden opgelost. In de derde conditie, de controle conditie, kregen de deelnemers een instructiefilmpje te zien over het rekenen met de tafel van elf. Er werd aangeleerd hoe grote producten van elf (zoals 48 × 11) zonder
rekenmachine kunnen worden uitgerekend. In de daarop volgende oefenopgaven zat elke keer een product van elf. Deze kwamen echter niet terug op de post-test. Na afloop van de post-test werden tot slot nog enkele vragen omtrent het filmpje en het onderzoek.
Resultaten
Bij het analyseren van de antwoorden spelen twee belangrijke zaken een rol: het correct oplossen van de opgave en de reactietijd. Het correct oplossen van een item en de reactietijd zijn gecombineerd tot één score, de zogeheten correct item summed residual time (CISRT) score (Van der Maas & Wagenmakers, 2005). Deze score houdt in dat alle items die niet opgelost zijn binnen de tijd als fout worden beoordeeld, deze krijgen een score van nul. De items die wel binnen de gestelde tijd correct zijn opgelost, in dit geval 60 seconden, worden gescoord met het verschil tussen de deadline en de oplostijd. Wanneer een deelnemer dus 22 seconden over een item heeft gedaan om deze correct te beantwoorden, krijgt deze deelnemer een score van 60 – 22 = 38. Deze methode is het meest bruikbaar voor het combineren van reactietijd en proportie correct. Daarnaast blijkt de methode ook nuttig voor het eventueel schatten van de latente trek van deelnemers (Maris & Van der Maas, 2012). Allereerst is er gekeken naar of er op de pre-test, net als bij de Rekentuin data, een significant verschil in score was voor alle deelnemers tussen voorwaarts en achterwaarts oplosbare items. De gemiddelde score op de pre-test voor de voorwaarts oplosbare items is 43.23, voor de achterwaarts oplosbare items is de gemiddelde score op de pre-test 17.28. Deelnemers maakten voorwaarts oplosbare items significant beter dan achterwaarts oplosbare items (t (466) = 18.55, P < 0.0001).
14 Vervolgens is gekeken of dit verschil in gemiddelde score voor elke conditie naar voren kwam op de pre-test:
Pre-test: V. Items A. Items (df) t P
Conditie1 40.66 20.01 (29) 5.81 < 0.0001 Conditie2 44.16 15.56 (26) 8.94 < 0.0001 Conditie3 44.95 16.23 (23) 8.94 < 0.0001
De condities zijn respectievelijk voorwaarts, achterwaarts en controle. Binnen elke conditie wordt het significante verschil op de pre-test tussen voor- en achterwaartse items gevonden.
Aan de hand van een ANOVA voor herhaalde metingen kan vervolgens getoetst worden of de condities na het instructiefilmpje verbeteren ten opzichte van zichzelf en ten opzichte van elkaar. Op de post-test werden de volgende gemiddelde scores gevonden:
Pre Post
V. Items A. Items V. Items A. Items
Conditie1 40.66 20.01 43.01 22.62
Conditie2 44.16 15.56 31.30 24.27 Conditie3 44.95 16.23 40.19 25.71
15 Op de voorwaarts oplosbare items is er een significant verschil binnen de condities tussen de pre- en post-test (F(1, 53) = 15.12, P < 0.001). Ook tussen de condities treden op de
meetmomenten significante verschillen op (F(2, 53) = 11.43, P < 0.0001); er is dus een interactie effect tussen tijd en conditie. Met post-hoc t-testen is vervolgens gecontroleerd waar de verschillen vandaan komen. In de pre-test scoorde de controle conditite beter dan de voorwaartse conditie (t (160) = 2.38, P < 0.05). Dit verschil werd niet teruggevonden op de post-test. Uit een t-toets voor gepaarde waarnemingen bleek namelijk dat de controle conditie de voorwaartse items op de post-test slechter maakte dan op de pre-test (t (17) = 2.28, P < 0.05), terwijl de voorwaartse conditie verbeterd noch verslechterd was. Op de post-test scoorde de achterwaartse conditie echter wel slechter dan zowel de voorwaartse conditie (t (157) = 4.97, P < 0.0001), als de controle conditie (t (180) = 3.37, P < 0.001). Hier bleek ook de achterwaartse conditie significant slechter te presteren op de post-test dan op de pre-test (t (18) = 4.81, P < 0.001). Ook voor de achterwaarts oplosbare items zijn deze analyses uitgevoerd.
16 Voor de achterwaarts oplosbare items werden met behulp van een ANOVA geen veschillen tussen de condities gevonden (F(2, 53) = 3.04, P = 0.056). Er was wel een verschil tussen pre- en post-test (F(1, 53) = 30.46, P < 0.0001). Uit de post-hoc t-test voor gepaarde waarnemingen bleek dat zowel de achterwaartse conditie (t (18) = 4.19, P < 0.001), als de controle conditie (t (17) = 3.89, P < 0.01) verbeterd waren op de post-test.
Wanneer er opnieuw gekeken wordt naar het verschil tussen voorwaarts oplosbare en achterwaarts oplosbare items, blijkt dat het gevonden verschil van de pre-test niet verdwenen is na de training. Op de post-test scoorden deelnemers op voorwaarts oplosbare items gemiddeld een score van 38.12 en op achterwaarts oplosbare items gemiddeld een score van 24.17. Er blijft een significant verschil bestaan tussen voorwaarts en achterwaarts oplosbare items (t (539) = 8.76, P < 0.0001). Ook hier is het verschil opgesplitst voor elke conditie:
17 Post-test: V. Items A. Items (df) t P
Conditie1 43.01 22.62 (24) 6.65 < 0.0001
Conditie2 31.30 24.27 (36) 1.86 0.07
Conditie3 40.19 25.71 (30) 4.10 < 0.001
Voor de voorwaartse conditie en de controle conditie blijft het verschil tussen de items bestaan. Op de achterwaartse conditie is het verschil wel verdwenen.
Tot slot is er nog gekeken naar de slotvragen. Zo is er gekeken naar het aantal deelnemers dat al bekendheid had met het Getallenspel. Dit waren 19 deelnemers, welke gelijk verdeeld waren over de condities (zes in voorwaartse en achterwaartse conditie, zeven in de controle conditie). Ook is gekeken in welke mate deelnemers aangaven de methode te hebben toegepast. Deelnemers hadden dit op een vijfpunts Likertschaal aangegeven. Hierin werd in de voorwaarts en achterwaartse conditie een verschil van respectievelijk 3.0 en 2.9 gevonden. In de controle conditie was dit gemiddelde 2.4. Deze gemiddelden verschilden niet significant van elkaar. Zowel niet tussen de achterwaartse en de controle conditie (t (25) = 1.38, P = 0.17), als tussen de voorwaartse en de controle conditie (t (28) = 1.51, P = 0.14).
Conclusies en Discussie
Uit de resultaten is gebleken dat er, net zoals beschreven door Van der Maas (2015), een significant verschil in moeilijkheid tussen voorwaarts oplosbare en achterwaarts
oplosbare items is. Dit bleek uit de pen-en-papier studie, die onder volwassenen is
afgenomen, waar de achterwaarts oplosbare items voor de training slechter gemaakt werden dan de vorwaarts oplosbare items. Het is dus niet waarschijnlijk dat dit gevonden verschil in de Rekentuin aan de presentatie van de opgaven lag die de Rekentuin hanteert. Het heeft vermoedelijk toch te maken met het door Ginat (2005) beschreven fenomeen, dat mensen van nature geneigd zijn een voorwaartse oplosstrategie te hanteren.
18 Deze oplosstrategieën bleken vooralsnog niet goed trainbaar. Het gevonden verschil tussen voorwaarts en achterwaarts oplosbare items verdween wel na de training voor de achterwaartse conditie, zoals verwacht. Dit had echter niet alleen te maken met de significante verbetering op de achterwaarts oplosbare items; deelnemers in deze conditie presteerden na de training significant slechter op de voorwaarts oplosbare items. Een mogelijke verklaring is dat de deelnemers door de korte training, waarin verplicht de achterwaartse strategie gebruikt moest worden, vervolgens op de post-test op alle opgaven probeerden deze strategie te gebruiken. Dit leverde voor de voorwaarts oplosbare items een significante verslechtering op. Bovendien is de achterwaartse oplosmethode volgens de theorie niet natuurlijk, wat dus de nodige verwarring zou kunnen scheppen. Voor de voorwaartse conditie bleef het verschil tussen voorwaarts oplosbare en achterwaarts oplosbare items wel bestaan. De training had de deelnemers in deze conditie echter niet beter gemaakt op de voorwaarts oplosbare items, wat wel was verwacht. Deelnemers die de voorwaartse oplosstrategie hadden geleerd werden beter op de voorwaarts oplosbare noch de achterwaarts oplosbare items. Het verschil tussen voorwaarts oplosbare en achterwaarts oplosbare items bleef dus bestaan, het werd alleen niet groter. Ook in de controle conditie bleef het verschil tussen voorwaarts en achterwaarts oplosbare items bestaan, zoals verwacht. De training in de controle conditie had hetzelfde effect als de training in de achterwaartse conditie; de voorwaarts oplosbare items werden slechter gemaakt en de achterwaarts oplosbare items beter. Het uiteindelijke verschil tussen voorwaarts en
achterwaarts oplosbare items bleef in deze conditie echter wel bestaan, omdat deelnemers in de controle conditie de voorwaarts oplosbare items beter deden dan deelnemers in de
achterwaartse conditie. De trainingen in de controle en achterwaartse condities, die beiden een andere strategie bevatten dan de (natuurlijke) voorwaartse manier, lijken dus wel het gewenste effect te hebben op de moeilijkere, achterwaarts oplosbare items. De trainingen lijken daarentegen verwarring te scheppen op de makkelijkere, voorwaarts oplosbare items.
19 Een eerste punt van discussie is dan ook dat de trainingen niet uitgebreid genoeg waren. Deelnemers kregen nu slechts een instructiefilmpje en drie oefenopgaven waarin de aangeleerde methode diende te worden toegepast. Als het goed is, zouden zowel deelnemers in de voorwaartse, als in de achterwaartse conditie, op in ieder geval vijf van de tien opgaven van de post-test de methode moeten kunnen toepassen. Deelnemers in de controle conditie zouden de methode op de post-test helemaal niet moeten kunnen toepassen. Eén van de slotvragen na het onderzoek was dan ook of de aangeleerde methode kon worden toegepast. Wanneer de antwoorden op deze vraag van de voorwaartse, achterwaartse en controle conditie worden vergeleken, blijkt dat de (voorwaartse en achterwaartse) condities, die een bruikbare training gehad hadden, deze methode naar eigen zeggen niet vaker hadden kunnen toepassen dan de conditie die een niet-bruikbare training had gehad (controle conditie). Een oplossing zou kunnen zijn dat de trainingen uitgebreider worden, doordat er meer tijd is om deze methode aan te leren en toe te passen. Dit zou kunnen door deelnemers meerdere trainingen en meerdere oefenopgaven te geven. Daarnaast is het van belang dat begrepen wordt dat de aangeleerde methode niet de enige methode is om het Getallenspel op te lossen. Op die manier is het mogelijk om sneller te schakelen naar een andere strategie indien de aangeleerde strategie niet werkt. Als de trainingen uitgebreider worden, is er mogelijk ook voldoende trainingstijd om een conditie toe te voegen die zowel de
voorwaartse als de achterwaartse strategie aangeleerd krijgt. Deze conditie zou dan op beide soorten opgaven moeten verbeteren en beter moeten kunnen schakelen tussen strategieën, waardoor deze conditie op alle opgaven beter zou kunnen presteren dan de andere condities.
Een tweede punt van discussie is dat er mogelijk observer effecten zijn opgetreden in de huidige studie. Doordat de studie met pen en papier werd afgenomen was het
noodzakelijk dat er een onderzoeker in de ruimte aanwezig was om de reactietijden op te meten. Dit kan mogelijk een effect hebben gehad op de prestaties van de deelnemers. Zeker aangezien het voor de onderzoeker van belang was te zien, wanneer een deelnemer een
20 opgave had opgelost. Dit kan opgelost worden door de items met de gestelde deadline aan te bieden op de computer, waardoor deelnemers de test zelf kunnen maken.
In de huidige studie is in ieder geval naar voren gekomen dat er een duidelijk
onderscheid is tussen voorwaarts en achterwaarts oplosbare items. De voorwaarts oplosbare items worden beter gemaakt dan de achterwaarts oplosbare items. Dit sluit aan op de vooraf beschreven literatuur. De trainingen hadden op de achterwaarts oplosbare items het
gewenste effect, op de voorwaarts oplosbare items echter niet. Hierdoor was de verhouding tussen voorwaarts en achterwaarts oplosbare items op de post-test niet zoals verwacht. Het verbeteren van de trainingen zou dit mogelijk kunnen verhelpen. De studie biedt wel meer inzicht in het Getallenspel en de bruikbare oplosstrategieën. Een vervolgstudie onder meer deelnemers, met betere trainingen zou een fasetransitie in moeilijkheid mogelijk beter
kunnen weergeven. Dit biedt mogelijk ook meer inzicht in wat er gebeurt met het verschil in moeilijkheid van items na het geven van trainingen. Het verschil wordt naar alle
waarschijnlijkheid niet veroorzaakt door de lay-out van de Rekentuin, waardoor ook deze data bruikbaar is voor verder onderzoek naar verschillen in oplosstrategieën. Om aan te tonen dat het Getallen spel de np complete status bevat is echter verder onderzoek nodig. Dit kan mogelijk door in navolging van het Partitie Probleem te bewijzen dat ook voor
vermenigvuldigen en delen geldt dat de problemen np complete zijn. Voor nu is in ieder geval duidelijk dat ook voor het Getallenspel voorwaarts en achterwaarts redeneren mogelijk is, voorwaarts blijkt echter voorlopig makkelijker en natuurlijker dan achterwaarts.
21
Literatuur
Ash, I. K., & Wiley, J. (2006). The nature of restructuring in insight: An individual-differences approach. Psychonomic Bulletin & Review, 13(1), 66-73.
Eley, J. (2009). How much does the 24-game increase the recall of arithmetic facts?
http://eric.ed.gov/PDFS/ED508367.pdf
Garey, M. R., & Johnson, D. S. (1979). Computers and intractability: A guide to the theory of NP-completeness. San Francisco, LA: Freeman.
Ginat, D. (2005). The suitable way is backwards, but they work forward. Journal of
Computers in Mathematics and Science Teaching, 24(1), 73-88.
Hayes, B. (2002). Computing science: The easiest hard problem. American Scientist, 113-117. Klinkenberg, S., Straatemeier, M., Van der Maas, H.L.J. (2011). On the fly Item calibration
using a new CAT procedure for computerized student practice and monitoring of maths ability. Computers & Education, 57, 1813-1824.
Maris, G., & Van der Maas, H.L.J. (2012). Speed-accuracy response models: Scoring rules based on response time and accuracy. Psychometrika, 77(4), 615-633.
Van der Maas, H.L.J. (2015). Games and psychology.
https://dl.dropboxusercontent.com/u/607841/Games%20and%20Cognition.pdf Van der Maas, H., Klinkenberg, S., & Straatemeier, M. (2010). Rekentuin. nl: Combinatie van
oefenen en toetsen. Examens, (4), 10-14.
Van der Maas, H.L.J., Nyamsuren, E. (2015). The number game: an educational game and challenge for cognitive modelling. Universiteit van Amsterdam.
Van der Maas, H.L., & Wagenmakers, E.J. (2005). A psychometric analysis of chess expertise. The American Journal of Psychology, 118(1), 29–60.
22 Willingham, D. T. (2001). Cognition: The thinking animal (3rd ed.). New Jersey: Pearson
