Stelling van Jordan

Stelling van Jordan

Ayla Stam

14 juli 2017

Bachelorscriptie

Begeleiding: dhr. prof. dr. L.D.J. (Lenny) Taelman

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde

Samenvatting

Deze bachelorscriptie gaat over een stelling van Jordan. De stelling uit 1872 die in deze scriptie besproken wordt, is een resultaat in de eindige groepentheorie. Het laat zien dat onder een groepswerking, die voldoet aan bepaalde voorwaarden, er tenminste ´e´en groepselement is zonder vaste punten. Bovendien is er een andere stelling, met dezelfde voorwaarden, die een ondergrens geeft voor het aantal elementen zonder vaste punten.

Het resultaat van de stelling van Jordan heeft toepassingen in andere gebieden in de wiskunde. Een voorbeeld hiervan is in de topologie. Hier kan iets gezegd worden over het bestaan van een continue afbeelding van de cirkel naar een topologische ruimte, die niet gelift kan worden naar een overdekking. Maar ook kan de stelling van Jordan worden toegepast in de getaltheorie. Namelijk bij een stelling die een ondergrens geeft voor de dichtheid van een verzameling priemgetallen met een bepaalde eigenschap. In deze scriptie wordt als leidraad het artikel van Jean-Pierre Serre gebruikt; On a theorem of Jordan.

Titel: Stelling van Jordan

Auteur: Ayla Stam, aylastam@gmail.com, 10608990 Begeleiding: dhr. prof. dr. L.D.J. (Lenny) Taelman Tweede beoordelaar: dhr. dr. A.L. (Arno) Kret Einddatum: 14 juli 2017

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam

Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.science.uva.nl/math

Inhoudsopgave

Inleiding 4

1. Stelling van Jordan en uitbreiding 5 1.1. Stelling van Jordan . . . 5 1.2. Uitbreiding van de stelling van Jordan . . . 6 1.3. Voorbeelden . . . 11

2. Topologie 13

2.1. Stelling van Jordan toegepast in topologie . . . 13 2.2. Voorbeeld . . . 14

3. Getaltheorie 16

3.1. Stelling van Jordan toegepast in getaltheorie . . . 16 3.2. Voorbeelden . . . 20

Conclusie 22

Populaire samenvatting 23

Bibliografie 25

Inleiding

De Franse wiskundige Camille Jordan (1838) heeft in zijn carri`ere verschillende belangrijke stellingen bewezen [7]. Deze stellingen komen onder andere uit de eindige groepentheorie, lineaire algebra (bijvoorbeeld de Jordan normaalvorm), topologie (bijvoorbeeld de Jor-dankromme) en Galoistheorie. De stelling die in deze scriptie besproken wordt, is een stelling uit de eindige groepentheorie. Deze is gepubliceerd in een paper van Jordan in 1872 [2]. In het vervolg van dit verslag zal deze stelling benoemd worden als de stelling van Jordan.

Het wordt al snel duidelijk bij het volgen van algebra colleges dat groepswerkingen een belangrijke rol spelen in de groepentheorie. Er zijn verschillende eigenschappen die bij een groepswerking horen. Een voorbeeld hiervan is het aantal elementen die een groepselement vasthoudt onder de groepswerking. De stelling van Jordan gaat hier over. Deze stelling geeft als een groep transitief werkt op een verzameling met minstens twee elementen, dat er dan ´e´en groepselement is zonder vaste punten.

Jean-Pierre Serre heeft over de stelling van Jordan en verschillende toepassingen hiervan in 2003 het artikel “On an theorem of Jordan” geschreven [8]. Dit artikel wordt als leidraad gebruikt in deze scriptie. Het doel van deze scriptie is om de stelling van Jordan en een uitbreiding hiervan te bewijzen. In deze uitbreiding wordt een ondergrens gegeven voor het aantal elementen in een groep zonder vaste punten. Daarnaast heeft de stelling van Jordan toepassingen in het bewijs van stellingen uit andere gebieden in de wiskunde. Een ander doel in dit verslag is dan ook het bewijzen van een stelling uit de topologie en een stelling uit de getaltheorie met gebruikmaking van de stelling van Jordan. De stelling uit de topologie geeft dat er een continue afbeelding bestaat van de cirkel naar de een topologische ruimte die niet gelift kan worden naar een overdekking van die topologische ruimte. De stelling uit de getaltheorie zegt iets over het bestaan van de dichtheid van een bepaalde verzameling priemgetallen. Daarnaast geeft de uitbreiding van de stelling van Jordan een ondergrens voor deze dichtheid. Bij een groot deel van de bovenstaande stellingen zullen ook voorbeelden gegeven worden.

Ten slotte wil ik mijn begeleider Lenny Taelman bedanken voor al zijn hulp, kennis en geduld tijdens het schrijven van deze bachelorscriptie.

1. Stelling van Jordan en uitbreiding

1.1. Stelling van Jordan

Allereerst een aantal definities en een stelling voordat de stelling van Jordan ge¨ıntroduceerd en bewezen wordt. Deze komen uit de syllabus algebra I hoofdstuk 8 [4].

Definitie 1.1. Een (links)werking van groep een G op een verzameling X is een afbeel-ding G × X → X gegeven door (g, x) 7→ gx met de volgende eigenschappen:

(i) ex = x voor alle x ∈ X

(ii) (gh)x = g(hx) voor alle g, h ∈ G en x ∈ X.

In sommige situaties is het natuurlijker om een groep G ‘van rechts’ op een verzameling X te laten werken. Een rechtswerking is dan een afbeelding X × G → X, die we noteren als (x, g) 7→ xg waarvoor geldt xe = x en x(gh) = (xg)h voor alle g, h ∈ G en x ∈ X. Opmerking. Een alternatieve definitie voor een werking van een groep G op een verza-meling X is een groepshomomorfisme ϕ : G → Sym(X) door g 7→ (x 7→ gx). Hierbij is Sym(X) de symmetrische groep bestaande uit alle bijecties van X naar X, ook wel genoteerd als Sn.

Definitie 1.2. Zij X een eindige verzameling, G een eindige groep die werkt op X, x ∈ X en g ∈ G.

(i) De baan van x onder G is de verzameling Gx = {gx | g ∈ G}.

(ii) De stabilisator van x in G is de ondergroep Gx = {g ∈ G | gx = x} van G.

(iii) De vaste punten van g zijn de elementen x ∈ X die door g op zichzelf afgebeeld worden, genoteerd als de verzameling Xg _{= {x ∈ X | gx = x}.}

(iv) De werking van G op X heet transitief als er een x ∈ X bestaat zodat Gx = X, Stelling 1.3 (Baan-stabilisatorstelling). Zij G een eindige groep die werkt op een eindige verzameling X en x ∈ X. Dan is de afbeelding f : G/Gx → Gx gegeven door f (aGx) = ax

een bijectie. Als gevolg hiervan geldt:

|Gx| = |G| |G_x|. Bewijs. Zie [4] stelling 8.12.

Stelling 1.4 (Stelling van Jordan). Zij G een groep die transitief werkt op een eindige verzameling X met |X| ≥ 2. Dan is er een g ∈ G waarvoor geldt Xg = ∅.

Elementen g ∈ G waarvoor geldt Xg _{= ∅ noemen we ook wel elementen zonder vaste}

Bewijs van stelling 1.4. We mogen aannemen dat G eindig is, anders zouden we G kunnen vervangen door zijn beeld in Sym(X). Omdat G transitief werkt op X, betekent dit dat er precies ´e´en baan is van X onder G. De baan-stabilisatorstelling geeft nu dat |X| = _|G|G|

x|.

De stabilisator Gx van een element x ∈ X heeft dus |G|_|X| elementen. Alle deelgroepen Gx

bevatten tenminste ´e´en element gemeenschappelijk, namelijk e ∈ G. Hierdoor heeft de vereniging van alle Gx op zijn hoogst

   [ x∈X Gx   ≤ X x∈X (|Gx| − 1) + 1 = |X|(|Gx| − 1) + 1 = |G| − (|X| − 1)

elementen. Bij het laatste gelijkteken wordt de baan-stabilisatorstelling gebruikt. We kunnen nu zien dat er ten minste |X| − 1 elementen van G zijn die in geen Gx zitten. Dat

wil zeggen voor ten minste |X| − 1 elementen geldt dat Xg = ∅, ofwel hebben geen vaste punten.

Er is te zien in het bewijs van de stelling van Jordan dat deze stelling eigenlijk iets sterker bewijst, namelijk:

Stelling 1.5. Zij G een groep die transitief werkt op een eindige verzameling X. Dan zijn er ten minste |X| − 1 elementen g ∈ G waarvoor geldt Xg = ∅.

Opmerking. In het bewijs van de stelling van Jordan is te zien dat er precies |X| − 1 elementen g ∈ G zonder vaste punten zijn dan en slechts dan als Gx ∩ Gy = {e} voor alle x, y ∈ X met x 6= y.

1.2. Uitbreiding van de stelling van Jordan

In de vorige paragraaf hebben we gezien als een groep G transitief werkt op een eindige verzameling X met |X| ≥ 2 dat er dan minstens ´e´en g ∈ G bestaat zonder vaste punten. De volgende stelling geeft een ondergrens voor het aantal elementen in G zonder vaste punten.

Stelling 1.6. Zij G een eindige groep die transitief werkt op een eindige verzameling X. Zij G0 de verzameling van g ∈ G zonder vaste punten, ofwel Xg = ∅. Dan geldt

|G₀| ≥ |G| |X|.

Voor het bewijs van deze stelling hebben we twee lemma’s nodig (uit [9] hoofdstuk 1). Verder defini¨eren we χ(g) voor g ∈ G als het aantal vaste punten van g op X, ofwel χ(g) = |Xg_|.

Lemma 1.7 (Lemma van Burnside). Het aantal banen van G in X is gelijk aan 1

|G| X

g∈G

χ(g).

Bewijs. De verzameling van banen vormt een partitie van X. Het is dus voldoende om de stelling aan te tonen voor X 6= ∅ en het geval dat er ´e´en baan is, ofwel G transitief werkt

op X. Dan geldt 1 |G| X g∈G χ(g) = 1 |G| X g∈G X x∈X gx=x 1 = 1 |G| X x∈X X g∈G gx=x 1 = 1 |G| X x∈X |G_x| = 1 |G||Gx||X| = 1 |G||G| = 1

waarbij de Baan-stabilisatorstelling wordt toegepast in de laatste regel. Dit bewijst het lemma.

Lemma 1.8. Er geldt _|G|1 P

g∈Gχ2(g) ≥ 2.

Bewijs. Zoals χ(g) het aantal vaste punten is van g op X, is χ2(g) het aantal vaste punten van g op X × X. Lemma 1.7 geeft dat _|G|1 P

g∈Gχ2(g) het aantal banen is van G op X × X.

Definieer 4 = {(x, x) | x ∈ X} als de diagonaal van X × X. Dan is het complement van 4 gegeven door (X × X)\4 = {(x, y) | x 6= y}. Dit laat zien dat er minstens twee banen zijn van G op X × X.

Bewijs van stelling 1.6. Als g /∈ G0 dan geldt 1 ≤ χ(g) ≤ |X|. Dit kunnen we omschrijven

tot χ(g) − 1 ≥ 0 en χ(g) − |X| ≤ 0, ofwel

(χ(g) − 1)(χ(g) − |X|) ≤ 0. Vervolgens geeft dit

1 |G|

X

g∈G\G0

(χ(g) − 1)(χ(g) − |X|) ≤ 0.

Dit wil zeggen 1 |G| X g∈G (χ(g) − 1)(χ(g) − |X|) ≤ 1 |G| X g∈G0 (χ(g) − 1)(χ(g) − |X|).

Waarbij de rechterkant herschreven kan worden tot 1 |G| X g∈G0 (χ(g) − 1)(χ(g) − |X|) = 1 |G| X g∈G0 (−1)(−|X|) = |X| |G| X g∈G0 1 = |X||G0| |G| , en de linkerkant tot 1 |G| X g∈G (χ(g) − 1)(χ(g) − |X|) = 1 |G| X g∈G (χ2(g) − (|X| + 1)χ(g) + |X|) = 1 |G| X g∈G0 χ2(g) − 1 |G| X g∈G (|X| + 1)χ(g) + 1 |G| X g∈G |X| = 1 |G| X g∈G0 χ2(g) − |X| + 1 |G| X g∈G χ(g) +|X| |G||G|.

Nu kunnen we lemma 1.8 gebruiken en het feit dat we aangenomen hebben dat G transitief werkt op X, ofwel _|G|1 P

g∈Gχ(g) = 1 (Lemma van Burnside). Dit geeft

1 |G|

X

g∈G

(χ(g) − 1)(χ(g) − |X|) ≥ 2 − (|X| + 1) + |X| = 1.

We kunnen nu concluderen dat 1 ≤ |X||G0|

|G| en vandaar |G0| ≥ |G| |X|.

De ongelijkheid in stelling 1.6 is in sommige gevallen een strikte ongelijkheid. Voordat hier een stelling over geformuleerd wordt, eerst een aantal definities, lemma’s en stellingen. Deze komen uit hoofdstuk 7 van [11], hoofdstuk 1 en 6 van [9]. Deze worden gegeven in de volgorde waarin ze ook worden gebruikt in het bewijs van de stelling.

Definitie 1.9. Een werking van G op X heet 2-transitief als er voor elke twee paren van verschillende elementen x, y ∈ X en x0, y0 ∈ X geldt dat er een g ∈ G bestaat zodat gx = x0 en gy = y0.

Lemma 1.10. De werking van G op X is 2-transitief dan en slechts dan als de werking transitief is en 1 |G| X g∈G χ2(g) = 2.

Bewijs. Stel dat G 2-transitief werkt op X. Dan bestaat er een g ∈ G zodat gx = x0 en gy = y0 voor elke twee paren x, y ∈ X en x0, y0 ∈ X met x 6= y en x0 6= y0. Dan werkt G ook transitief op X want voor elk paar x, x0∈ X is er een g ∈ G zodat gx = x0. Definieer nu 4 = {(x, x) | x ∈ X} als de diagonaal van X × X. Deze verzameling is precies ´e´en baan want G werkt transitief op X dus er is een g ∈ G zodat g(x, x) = (g(x), g(x)) = (y, y) voor alle x, y ∈ X. Kijk nu naar (X × X)\4 = {(x, y) | x 6= y}, het complement van 4. Dit is ook precies ´e´en baan want door de 2-transitiviteit is er een g ∈ G zodat g(x, y) = (x0, y0) voor alle paren met verschillende elementen x, y ∈ X en x0, y0∈ X. Dus er zijn twee banen van G op X × X, ofwel _|G|1 P

g∈Gχ2(g) = 2.

Neem nu aan dat _|G|1 P

g∈Gχ2(g) = 2 en dat de werking van G op X transitief is. Dit

betekent dat 4 en het complement (X × X)\4 de twee banen zijn van X × X onder G. Dat (X × X)\4 = {(x, y) | x 6= y} een baan is betekent dat er een g ∈ G is zodat g(x, y) = (x0, y0) voor alle paren met verschillende elementen x, y ∈ X en x0, y0 ∈ X. Dit is precies de definitief van 2-transitief.

Lemma 1.11. Zij |X| ≥ 3 en de werking van G op X 2-transitief. Dan geldt Gx 6= {e}

voor alle x ∈ X.

Bewijs. De werking van G op X is 2-transitief dus voor elke twee paren van verschillende elementen x, y ∈ X en x0, y0 ∈ X geldt dat er een g ∈ G bestaat zodat gx = x0 _{en gy = y}0_.

Neem nu de paren x, y ∈ X en x, y0 ∈ X met x 6= y 6= y0. Dan is er een g ∈ G zodat gx = x en gy = y0. Dus er is een g 6= e ∈ G waarvoor geldt gx = x, ofwel Gx 6= {e}.

Hiermee hebben we het lemma bewezen omdat x ∈ X willekeurig was.

Definitie 1.12. Een werking van G op X heet trouw als er geen element g ∈ G\{e} is zodat gx = x voor alle x ∈ X. Anders gezegd, Ker(ϕ : G → Sym(X)) = {e}.

In het vervolg van dit hoofdstuk mogen we aannemen dat de werking van G op X trouw is. Namelijk, stel dat de werking niet trouw is. Definieer dan nu K als volgt: K = {g ∈ G | gx = x voor alle x ∈ X}. Dan is K een normaaldeler van G want het is

de kern van de afbeelding ϕ : G → Sym(X) en de kern van een groepshomomorfisme is een normaaldeler. De werking van G/K op X geven door gx = (gK)x = g(Kx) = gx is vervolgens trouw omdat Ker(ϕ : G/K → Sym(X)) = {e}. Nu geldt

c0= |G0| |G| = {g ∈ G | Xg_{= ∅}} |G| = {g ∈ G/K | Xg_{= ∅}|K|} |G| = {g ∈ G/K | Xg_{= ∅}} |G/K| . Dus als de werking van G op X niet trouw is, kunnen we het quoti¨ent G/K beschouwen die trouw werkt op X en dit heeft geen invloed op de ratio c0.

Lemma 1.13. Als (χ(g) − 1)(χ(g) − |X|) = 0 voor alle g ∈ G\G0, dan is er geen element

g ∈ G\{e} met χ(g) ≥ 2.

Bewijs. Als (χ(g) − 1)(χ(g) − |X|) = 0 voor alle g ∈ G\G0 impliceert dit χ(g) = |X| of

χ(g) = 1 of χ(g) = 0 voor alle g ∈ G. Stel er is een g ∈ G met χ(g) ≥ 2 dan heeft dit element |X| vaste punten. Dit betekent dat gx = x voor alle x ∈ X. Omdat we aan mogen nemen dat de werking van G op X trouw is geeft dit g = e. Dus er is geen element g ∈ G\{e} met χ(g) ≥ 2.

Definitie 1.14. Zij G een eindige groep die trouw werkt op X. Dan heet de groep G een Frobeniusgroep op X als

(i) G transitief werkt op X (ii) Gx 6= {e} voor alle x ∈ X

(iii) Gx∩ Gy = {e} voor alle x, y ∈ X met x 6= y.

Stelling 1.15. [Stelling van Frobenius] Zij G een Frobeniusgroep. Dan is de verzameling N = G0∪ {e} een normaaldeler van G.

Bewijs. Zie [9] stelling 6.7 en stelling 8.54.

Definitie 1.16. Zij G een groep met ondergroepen H en N . Dan heet G het semidirect product van H met N als

(i) N E G (N normaaldeler van G) (ii) N ∩ H = {e}

(iii) G = N H.

Als G het semidirect product is van H met N dan wordt dit ook wel genoteerd als G = N o H.

Lemma 1.17. Zij G een eindige groep met ondergroepen H en N die voldoen aan de volgende voorwaarden

(i) N E G (ii) N ∩ H = {e} (iii) |G| = |N ||H|. Dan geldt G = N o H.

Bewijs. Definieer ϕ : N × H → G door (n, h) 7→ nh. Het beeld van ϕ is N H. Als we laten zien dat G = N H dan is G het semidirect product van H met N ofwel G = N o H. Eerst laten we zien dat ϕ injectief is. Stel dat n1h1 = n2h2 dan n−12 n1= h2h−11 = g voor

n1, n2∈ N , h1, h2 ∈ H en g ∈ G. Dit geeft g ∈ N en g ∈ H. Maar N ∩ H = {e} dus volgt

dat g = e. Ofwel n1= n2 en h1 = h2. Hiermee is ϕ injectief. We hebben aangenomen dat

|G| = |N ||H| = |N × H| dus nu volgt dat ϕ ook surjectief is. Dit geeft G = N H waarmee het lemma bewezen is.

Het volgende gevolg geeft dat een Frobeniusgroep G het semidirect product is van Gx

met N = G0∪ {e}.

Gevolg 1.18. Zij G een Frobeniusgroep met N = G0∪ {e} een normaaldeler van G en

x ∈ X. Dan geldt G = N o Gx.

Bewijs. We gaan de voorwaarden van lemma 1.17 na. Aan (i) wordt voldaan omdat Gxeen

ondergroep en N een normaaldeler is van G (stelling 1.15). Verder geldt dat N ∩ Gx= {e}

omdat Gx = {g ∈ G | gx = x} en N = G0 ∪ {e} = {g ∈ G | gx 6= x} ∪ {e}. Dit geeft

dus (ii). Vervolgens willen we dat |G| = |N ||Gx|. Omdat G een Frobeniusgroep is geldt

dat Gx∩ Gy = {e} voor alle x, y ∈ X met x 6= y. In opmerking van paragraaf 1.1 hebben

we gezien dat de stelling van Jordan nu impliceert dat |G0| = |X| − 1. Dus dan volgt

|N ||G_x| = (|G₀| + 1)|G_x| = |X||G_x| = |G|. De laatste gelijkheid omdat G transitief werkt op X. Er is nu ook aan voorwaarde (iii) voldaan dus geeft dit G = N o Gx.

Definitie 1.19. Een werking van G op X heet vrij als gx = x impliceert g = e voor alle x ∈ X. Anders gezegd, Gx= {e} voor alle x ∈ X.

Er geldt bovendien als een werking van G op X vrij is, dat deze dan ook trouw is. Dit is omdat {e} het enige element is van G waarvoor geldt gx = x voor alle x ∈ X.

Lemma 1.20. Zij G een groep die werkt op een verzameling X. Dan geldt voor elke g ∈ G gGxg−1= Ggx.

Bewijs. Neem a ∈ gGxg−1, dan is er een h ∈ Gx zodat a = ghg−1. Nu volgt dat a ∈ Ggx

uit a(gx) = (ghg−1)(gx) = ghx = gx.

Neem nu a ∈ Ggx. Dan geldt agx = gx, ofwel g−1agx = x. Dit geeft dat g−1ag ∈ Gx.

Dan is er een h ∈ Gx zodat g−1ag = h, ofwel a = ghg−1. Dus a ∈ gGxg−1.

Lemma 1.21. Zij G een eindige groep met |G| ≥ 2. Als voor alle x, y ∈ G\{e} er een σ ∈ Aut(G) is zodat σx = y, dan is |G| een macht van een priemgetal p.

Bewijs. We weten dat voor alle x, y ∈ G\{e} er een σ ∈ Aut(G) is zodat σx = y. Stel |G| is deelbaar door priemgetallen p en q met p 6= q. Kies dan x, y ∈ G met ord(x) = p en ord(y) = q. Dit geeft een tegenspraak omdat een automorfisme elementen naar elkaar stuurt met dezelfde orde. Dus |G| een macht van een priemgetal p.

Hieronder dan de stelling waarbij de ongelijkheid van stelling 1.6 een strikte ongelijkheid wordt.

Stelling 1.22. Zij G een eindige groep die transitief werkt op een verzameling X. Neem aan dat |X| geen macht is van een priemgetal. Dan geldt

|G0| >

|G| |X|.

Bewijs. Deze stelling gaan we bewijzen door middel van contrapositie. Stel nu dat |G0| = |G|

|X|, dan geeft het bewijs van stelling 1.6 dat deze gelijkheid geldt dan en slecht dan als 1

|G|

P

g∈Gχ2(g) = 2 en (χ(g) − 1)(χ(g) − |X|) = 0 voor alle g ∈ G\G0. Lemma 1.10 geeft

als _|G|1 P

g∈Gχ2(g) = 2 dan is de werking van G op X 2-transitief. En als de werking van

G op X 2-transitief is, geeft lemma 1.11 dat Gx 6= {e} voor alle x ∈ X. Verder krijgen we

met lemma 1.13: als (χ(g) − 1)(χ(g) − |X|) = 0 voor alle g ∈ G\G0, dan is er geen element

g ∈ G\{e} met χ(g) ≥ 2. Dit laatste geeft Gx∩ Gy = e voor alle x, y ∈ X met x 6= y.

Er volgt nu dat G een Frobeniusgroep is op X. De stelling van Frobenius geeft dat N = G0 ∪ {e} een normaaldeler is van G. Met gevolg 1.18 weten we nu dat G het

semidirect product is van Gx is met N . Omdat G transitief werkt op X krijgen we met

de baan-stabilisatorstelling dat |X| = _|G|G| x|. Hieruit volgt |N | = |X| en |X| − 1 |G| = |G0| |G| = 1 |X|. Dus |G| = |X|(|X| − 1) en |Gx| = |X| − 1.

We kunnen nu een werking van Gx op N \{e} defini¨eren door (g, a) 7→ gag−1 voor

a ∈ N \{e} en g ∈ Gx. We gaan laten zien dat deze werking vrij is. Er geldt voor alle

g ∈ G dat gGxg−1 = Ggx (lemma 1.20). Dit betekent dat gag−1 = a impliceert dat

a ∈ Gx∩ Ggx. Dit kan niet omdat a ∈ N \{e} = G0 dus ax 6= x voor alle x ∈ X. Hieruit

volgt g = e en is de werking dus vrij, ofwel Gxa = {e} voor alle a ∈ N \{e}. Met de

baan-stabilisatorstelling geeft dit |Gxa| = |Gx| voor alle a ∈ N \{e}, maar N \{e} en Gx

bevatten evenveel elementen dus |Gxa| = |N \{e}|. Dit betekent dat de werking van Gx

op N \{e} transitief is. Nu kunnen we een automorfisme maken σg: N → N gegeven door

x 7→ gxg−1 met g ∈ Gx. En we weten door transitiviteit dat voor alle x, y ∈ N \{e} is er

een σg ∈ Aut(N ) zodat σgx = gxg−1 = y. Dan geeft lemma 1.21 dat |N | = |X| een macht

is van een priemgetal p. We hebben nu aangetoond als |G0| = _|X||G|, dan is |X| een macht

van een priemgetal. Ofwel, als |X| geen macht is van een priemgetal dan |G0| > _|X||G|.

1.3. Voorbeelden

Hieronder een aantal voorbeelden van stelling 1.6.

Voorbeeld 1.23. Voor de groep G = Sn geeft stelling 1.6 een sterkere ondergrens voor

het aantal elementen in G dat geen vaste punten heeft dan de stelling 1.5. Stelling 1.5 geeft namelijk dat |G0| ≥ |X| − 1, ofwel |G0| ≥ n − 1. Terwijl stelling 1.6 geeft dat

|G₀| ≥ |G| |X| =

n!

n = (n − 1)!.

Voorbeeld 1.24. Zij q een macht van een priemgetal. Definieer vervolgens de groep G = GA(1, q) = {ϕ : Fq → Fq gegeven door x 7→ ax + b | a ∈ F∗q, b ∈ Fq}. Deze groep

werkt transitief op X = Fq. Verder heeft de groep |Fq||F∗q| = q(q − 1) elementen. Dan

gaan we nu kijken hoeveel elementen uit G geen vaste punten hebben.

Claim. Er zijn q − 1 elementen zonder vaste punten. Dit is omdat ax + b heeft een vast punt dan en slechts dan als er een x ∈ Fq is zodat ax + b = x. Anders gezegd: er is een

x ∈ Fq zodat (a − 1)x = b. Dit geeft ax + b heeft een vast punt dan en slecht dan als

a = 1, b = 0 of a 6= 1, b alles. Dus ax + b heeft geen vaste punten als a = 1 en b 6= 0. Hieruit volgt dat er precies q − 1 elementen zijn zonder vaste punten.

We kunnen nu zien dat deze groepswerking gelijkheid geeft in stelling 1.6:

|G₀| = q − 1 = |G| |X|.

Verder geven we voor |X| = 2, 3, 4, 5, 6 (waar mogelijk) zowel een voorbeeld met gelijk-heid als een voorbeeld met strikte ongelijkgelijk-heid in stelling 1.6.

|X| = _|X|1 > _|X|1 2 GA(1, 2) ∼= Z/2Z 3 GA(1, 3) ∼= S3 A3 4 GA(1, 4) ∼= A4 S4 5 GA(1, 5) S5 6 S6

Tabel 1.1.: Gelijkheid en strikte ongelijkheid van stelling 1.6

Opmerking. Uit stelling 1.22 volgt dat er geen groep is die werkt op zes elementen waarbij er een gelijkheid optreedt in stelling 1.6.

2. Topologie

2.1. Stelling van Jordan toegepast in topologie

In dit hoofdstuk wordt de stelling van Jordan toegepast in de topologie. Voordat de stelling komt waarbij de stelling van Jordan wordt gebruikt, eerst een paar definities en lemma’s (uit [6] hoofdstukken 24, 52, 53).

Definitie 2.1. (i) Zij f : T → S een continue afbeelding van een topologische ruimte T naar een topologische ruimte S. De afbeelding f heet een overdekkingsafbeelding als elk punt s ∈ S een open omgeving U in S heeft zodat U gelijkmatig overdekt wordt. Dit betekent dat f−1(U ) geschreven kan worden als disjuncte vereniging van open verzamelingen in T , die elk homeomorf afgebeeld worden door f op U .

(ii) Zij S een topologische ruimte en x, y, s punten in S. Een pad in S van x naar y is een continue afbeelding α : [0, 1] → S met α(0) = x en α(1) = y. Een pad waarvoor geldt α(0) = α(1) = s heet een lus met basispunt s.

(iii) De verzameling van homotopieklassen van lussen met basispunt s en uitgerust met de groepsvermenigvuldiging gedefinieerd door

(f ∗ g)(t) = (

f (2t) 0 ≤ t ≤ 1₂ g(2t − 1) 1₂ ≤ t ≤ 1

heet de fundamentaalgroep van S met basispunt s. Deze groep wordt genoteerd als π1(S, s).

Lemma 2.2 (Padliftlemma). Zij f : T → S een overdekkingsafbeelding en neem ˜s ∈ T zodat f (˜s) = s. Dan is er voor elk pad α : [0, 1] → S met α(0) = s een uniek pad ˜

α : [0, 1] → T met ˜α(0) = ˜s en α = f ◦ ˜α. We noemen ˜α ook wel een lift van α. Bewijs van lemma 2.2. Zie [6] lemma 54.1.

Zij f : T → S een overdekkingsafbeelding en s ∈ S. Definieer de volgende afbeelding, φ : f−1(s) × π1(S, s) → f−1(s) gegeven door (˜s, [γ]) 7→ ˜s[γ] := ˜γ(1).

Hierbij is ˜γ de unieke lift van γ met beginpunt ˜s.

Lemma 2.3. De bovenstaande afbeelding φ is een rechtswerking van π1(S, s) op de vezel

f−1(s).

Bewijs. Zie [10] stelling 17.1.

Lemma 2.4. Zij T samenhangend. Dan is de groepswerking φ, gedefineerd boven stelling 2.3, transitief.

Bewijs. Laat ˜s0 en ˜s1 twee punten in de vezel f−1(s) en ˜γ een pad in T van ˜s0 naar ˜s1.

Het pad γ = f ◦ ˜γ is een lus in S met basispunt s en representeert dus een element van π1(S, s). Ook is ˜γ een lift van γ die begint in ˜s0. We zien nu dat

˜

s0[γ] = ˜γ(1) = ˜s1.

Dus de werking is transitief.

Hieronder de stelling waarbij de stelling van Jordan wordt toegepast in het bewijs van deze stelling.

Stelling 2.5. Zij f : T → S een eindige overdekking van de topologische ruimte S , s ∈ S en S1 de cirkel. Neem aan dat:

(i) |f−1(s)| ≥ 2,

(ii) T is samenhangend.

Dan bestaat er een continue afbeelding ϕ : S1 → S die niet gelift kan worden naar de overdekking T . Dat wil zeggen: Er bestaat geen continue afbeelding ψ : S1 → T zodat ϕ = f ◦ ψ. T S1 _S f ψ ϕ

Bewijs. Kies een punt s ∈ S. Zij X = f−1(s) de vezel van s en G = π1(S, s) de

fundamen-taalgroep van S in het punt s. Uit lemma 2.3 volgt dat er een natuurlijke werking is van G op X. Verder omdat T samenhangend is, geeft lemma 2.4 dat deze werking transitief is. Omdat |X| ≥ 2, volgt met de stelling van Jordan dat er een g ∈ G is zonder vaste punten. Als we g representeren als een lus ϕ : (S1, s0) → (S, s) waarbij s0 een gekozen punt is in

S1, dan kan ϕ niet gelift worden naar T . Anders als ψ : S1 → T een lift van ϕ was, dan was het punt x = ψ(s0) een vast punt van g.

2.2. Voorbeeld

Dit is een voorbeeld van stelling 2.5.

Voorbeeld 2.6. Zij S = T = S1, ϕ = IdS1 en f : {|z| = 1} → {|z| = 1} gegeven door

z 7→ z2. Dan bestaat er geen continue afbeelding ψ : S1→ T zodat ϕ = f ◦ ψ. Bewijs van voorbeeld. We geven twee bewijzen.

1. Kies een punt s = eiθ ∈ S met θ ∈ [0, 2π). Laat X = f−1(s) = ±eiθ2 en G = π₁(S1, s)

de fundamentaalgroep van S in het punt s. Dus G ∼= Z. Er is een g ∈ G zonder vast punt op X. Namelijk een element g die correspondeert met 1 ∈ Z heeft geen vast punt want ±eiθ2 ◦ 1 = ∓ei

θ

2. Er volgt dat ϕ niet gelift worden naar T . Anders als

ψ : S1 → T een lift van ϕ was, dan was het punt x = ψ(s0) met ϕ(s0) = s een vast

2. Zij s ∈ S, s0∈ S1 en t ∈ T met f (t) = s, ϕ(s0) = s en ψ(s0) = t. T S1 S f ψ ϕ

Deze afbeeldingen induceren groepshomomorfismen tussen fundamentaalgroepen. π1(T, t)

π1(S1, s0) π1(S, s) f∗

ψ∗

ϕ∗

Dit geeft het volgende diagram.

Z

Z Z

n7→2n ψ∗

Id

Er is nu te zien dat er geen afbeelding ψ∗ bestaat zodat het diagram commuteert.

3. Getaltheorie

3.1. Stelling van Jordan toegepast in getaltheorie

Allereerst twee definities voordat de stelling wordt gegeven waarbij de stelling van Jordan wordt toegepast.

Definitie 3.1. Zij f =Pn

m=0amXm een monisch polynoom met co¨effici¨enten in Z. Als

p een priemgetal is, dan wordt het aantal nulpunten van f in Fp = Z/pZ genoteerd als

Np(f ).

Definitie 3.2. Een deelverzameling P van de verzameling van priemgetallen heeft dicht-heid c als

lim

x→∞

aantal p ∈ P met p ≤ x π(x) = c, met π(x) het aantal priemgetallen ≤ x.

In het bewijs van de volgende stelling wordt de stelling van Jordan gebruikt. Stelling 3.3. Zij f = Pn

m=0amXm een monisch polynoom van graad n ≥ 2 met co¨

ef-fici¨enten in Z. Als f irreducibel is in Q[X], dan heeft de verzameling P0(f ) = {p | Np(f ) =

0} een dichtheid c0(f ) > 0.

Bovendien kan de ondergrens van c0(f ) in de bovenstaande stelling versterkt worden.

Hierbij wordt de uitbreiding van de stelling van Jordan gebruikt (stelling 1.6 en stelling 1.22).

Stelling 3.4. Zij f = Pn

m=0amXm een monisch polynoom van graad n ≥ 2 met co¨

ef-fici¨enten in Z. Als f irreducibel is in Q[X], dan heeft de verzameling P0(f ) = {p |

Np(f ) = 0} een dichtheid c0(f ) ≥ _n1. Bovendien geldt c0(f ) > _n1 als n geen macht is van

een priemgetal.

Voor het bewijs van deze twee stellingen zijn er definities, stellingen en lemma’s nodig. Een aantal komen uit [1] hoofdstuk 3 en 4 en [5] hoofdstuk 8 en 12.

Lemma 3.5. Zij L een eindige algebra¨ısche uitbreiding van het lichaam K (genoteerd als L/K). Dan is equivalent:

(i) L/K is normaal

(ii) L is het ontbindingslichaam van een monisch polynoom f over K. Bewijs. Zie [1] stelling 4.3.

Definitie 3.6. Een element α ∈ L heet separabel als α algebra¨ısch is over K en als het minimumpolynoom van α separabel is. Een eindige lichaamsuitbreiding L/K heet separabel als L = K(α1, . . . , αr) waarbij α1, . . . , αr separabele elementen zijn van L.

(i) L/K is een Galoisuitbreiding (ii) L/K is normaal en separabel. Bewijs. Zie [1] stelling 4.10.

Lemma 3.8. Zij K een lichaam, f ∈ K[X] monisch, irreducibel, separabel en van graad n ≥ 2 en X = {x1, . . . , xn} ⊆ K de nulpunten van f . Dan

(i) L = K(x1, . . . , xn) ⊆ K is een Galoisuitbreiding van K

(ii) Gal(L/K) bewaart X ⊆ L (iii) Gal(L/K) werkt transitief op X.

Bewijs. (i) Uit lemma 3.7 volgt dat we moeten laten zien dat L/K normaal en separabel is. Normaal volgt met lemma 3.5 omdat L het ontbindingslichaam van f is. Verder is L/K separabel want x1, . . . , xn zijn separabel. Dit geldt omdat f het minimumpolynoom

is van x1, . . . , xn want dit polynoom is monisch, irreducibel en er geldt f (xi) = 0 voor alle

i ∈ {1, . . . , n}.

(ii) We kunnen f schrijven als f (X) = Pn

m=0amXm met alle am ∈ K. Neem nu

een willekeurig xi uit X. Aan beide kanten xi invullen geeft 0 = Pnm=0amxmi . Als we

vervolgens een element σ ∈ Gal(L/K) gaan toepassen krijgen we

σ(0) = n X m=0 σ(amxmi ) = n X m=0 σ(am)σ(xmi ) = n X m=0 σ(am)σ(xi)m

omdat σ een lichaamsautomorfisme is. Verder volgt omdat σ ∈ Gal(L/K) dat σ(am) = am

voor alle m ∈ {0, . . . , n}. Dus krijgen we 0 =Pn

m=0amσ(xi)m ofwel 0 = f (σ(xi)). Dus

Gal(L/K) bewaart X.

(iii) Door (ii) zien we dat Gal(L/K) werkt op de verzameling X. Stel nu dat de werking niet transitief is. Dit betekent dat er tenminste twee banen zijn. Neem nu {x1, . . . , xk}

voor k < n als baan van X onder Gal(L/K). Dan krijgen we dat g = Qk

i=1(X − xi) =

b0+ b1X + · · · + bk−1Xk−1+ Xk ∈ L[X] het polynoom f deelt. Als we nu laten zien dat

g ∈ K[X] dan geeft dit een tegenspraak aangezien we aangenomen hebben dat f irreducibel is. We willen dus dat bi ∈ K zit voor alle i ∈ {0, . . . , k − 1}. Omdat Gal(L/K) een

Galoisgroep is, volstaat het om te laten zien dat voor alle σ ∈ Gal(L/K) geldt σ(bi) = bi.

Neem σ ∈ Gal(L/K) dan volgt

σ(g) = k Y i=1 (X − σ(xi)) = k Y i=1 (X − xi) = g

omdat voor alle i ∈ {1, . . . , k} geldt σ(xi) ∈ {x1, . . . , xk} vanwege dat deze elementen in

dezelfde baan zitten. Dus σ(bi) = bivoor alle σ ∈ Gal(L/K). Hiermee is (iii) bewezen.

Definitie 3.9. Zij K een lichaam. Zij f een monisch, irreducibel polynoom van graad n met co¨effici¨enten in K en x1. . . , xn nulpunten van f in een algebra¨ısche afsluiting K van

K. Dan defini¨eren we G = Gal(K(x1, . . . , xn)/K) als de Galoisgroep G van f .

Lemma 3.10. Zij f = Pn

m=0amXm een monisch polynoom van graad n ≥ 2 met

co¨effici¨enten in Z. Als een priemgetal p de discriminant van f deelt, dan heeft f mo-dulo p een meervoudig nulpunt.

Bewijs. De discriminant van f is gegeven door Disc(f ) =Q

1≤i<j≤n(xi− xj) met x1, . . . xn

nulpunten van f in een algebra¨ısche afsluiting Q van Q. Verder is ϕ : Z → Fp een

homomorfisme van commutatieve ringen. Omdat de discriminant invariant is onder ring-homomorfismen volgt nu Disc(fp) = Disc(f ) modulo p waarbij fp de reductie f modulo p

is in Fp[X]. We hebben aangenomen dat p deelt Disc(f ), dus krijgen we Disc(fp) = 0.

Aan de definitie van de discriminant is te zien dat Disc(fp) = 0 impliceert dat fp een

meervoudig nulpunt heeft.

Definitie 3.11. Zij Fp de algebra¨ısche afsluiting van Fp. Het Frobenius automorfisme

is de afbeelding: πp: Fp → Fp geven door πp(x) = xp.

Lemma 3.12. Zij x ∈ Fp. Dan geldt x ∈ Fp dan en slechts dan als xp = x.

Bewijs. Als x ∈ Fpdan geeft de kleine stelling van Fermat direct xp= x. Als we aannemen

dat x ∈ Fp en xp = x, dan geldt dit in ieder geval voor alle x ∈ Fp. Ook geldt er dat x

een nulpunt is van het polynoom Xp− X. Omdat dit polynoom van graad p is, heeft het op zijn hoogst p nulpunten. Hieruit volgt x ∈ Fp.

Lemma 3.13. Zij f een polynoom met co¨effici¨enten in Fp. Dan werkt πp op de

verzame-ling nulpunten van f .

Bewijs. Er geldt met lemma 3.12 dat πp in de Galoisgroep zit van f . Het lemma volgt nu

uit lemma 3.8 (ii).

Lemma 3.14. Zij f een monisch polynoom van graad n ≥ 2 met co¨effici¨enten in Z en irreducibel in Q[X]. Zij p een priemgetal dat de discriminant van f niet deelt. Zij X = {x1, . . . , xn} de nulpunten van f in een algebra¨ısche afsluiting Q van Q en G de

Galoisgroep van f . Dan

(i) bestaat er een ringhomomorfisme ϕ : Z[x1, . . . xn] → Fp en een ander

ringhomomor-fisme is van de vorm ϕ ◦ σ met σ ∈ G.

(ii) is ϕp = ϕ|X : X → Xp een bijectie waarbij Xp de verzameling nulpunten is van f

modulo p.

(iii) geeft het identificeren van Xp met X via ϕp een permutatie σp van X (hangt af van

de keuze van ϕ).

(iv) zit σp ∈ G en is op conjugatie na goed gedefinieerd.

Bewijs. Zie [8] pagina 432 en [12] pagina 13-14.

Voorbeeld 3.15. Zij f = X2− 2. Dit polynoom is irreducibel in Q[X] want f heeft geen nulpunten in Q. De nulpunten van f in een algebra¨ısche afsluiting Q van Q zijn√2 en −√2. Verder is Disc(f ) = 8. Neem nu een priemgetal p 6= 2, dan fp = X2− 2 ∈ Fp[X]. Voor

dit voorbeeld nemen we p = 3. Dan zijn i en −i de nulpunten van f3 in een algebra¨ısche

afsluiting F3 van F3. Definieer nu de afbeelding ϕ : Z[

√

2] → F3 door a + b

√

2 7→ a + bi. Dit is een ringhomomorfisme. Verder is te zien dat de nulpunten van f naar de nulpunten van f3 gestuurd. Dus de afbeelding ϕ3: {

√

2, −√2} → {i, −i} is een bijectie.

Lemma 3.16. Zij G een eindige groep die werkt op een eindige verzameling X. Zij G0

de verzameling van g ∈ G zonder vaste punten. Dan is G0 een vereniging van

Bewijs. We weten dat G een ondergroep is van Sn. Dus kan elk element van G geschreven

worden als product van disjuncte cycles (inclusief de cycles van lengte 1). Cycle typen die geen cycle van lengte 1 hebben, permuteren alle elementen. Dus het bijbehorende element in G zit dan in G0. Omdat geconjugeerde permutaties dezelfde cycle typen hebben is G0

een vereniging van conjugatieklassen.

Stelling 3.17 (De dichtheidstelling van Chebotarev). Zij f =Pn

m=0amXm een monisch

polynoom met co¨effici¨enten in Z. Zij C een vereniging van conjugatieklassen van de Ga-loisgroep G van f . Zij S de verzameling van priemgetallen die de discriminant van f delen. Dan heeft de verzameling van priemgetallen p met p 6∈ S waarvoor σp in C zit een

dichtheid. Deze dichtheid is gelijk aan |C|_|G|. Bewijs. Zie [12] pagina 15.

Opmerking. In lemma 3.14 (iv) is te zien dat σp niet uniek gedefinieerd is. Maar in de

dichtheidstelling van Chebotarev zit σ ∈ C waarbij C een vereniging van conjugatieklassen is. Dus σ ∈ C is wel goed gedefinieerd.

Bewijs van stelling 3.3 en 3.4. We gaan deze stellingen bewijzen met behulp van de stel-ling van Jordan (stelstel-ling 1.4), stelstel-ling 1.6 en stelstel-ling 1.22. Laat x1, . . . , xn de nulpunten

van f in een algebra¨ısche afsluiting Q van Q. Definieer nu E = Q(x1, . . . , xn) als een

ontbindingslichaam van f over Q en G = Gal(E/Q). Dan geeft lemma 3.8 (iii) dat G transitief werkt op de verzameling X = {x1, . . . , xn}. Definieer dan G0 als de verzameling

van elementen van G zonder vaste punten. Nu geeft de stelling van Jordan |G0| > 0 en

hieruit volgt |G0|

|G| > 0. Stelling 1.6 en stelling 1.22 geven bovendien

|G0| |G| ≥ 1 |X| = 1 n

met strikte ongelijkheid als n geen macht is van een priemgetal.

We noteren fp als de reductie f modulo p in Fp[X]. We willen nu priemgetallen p

waarvoor geldt dat fp in een algebra¨ısche afsluiting Fp van Fp precies n verschillende

nulpunten heeft. Er wordt hier niet aan voldaan als p de determinant van f deelt (lemma 3.10). Definieer dan de eindige verzameling S van priemgetallen die de discriminant van f delen. Neem nu p 6∈ S en definieer Xp als de verzameling nulpunten van fp in Fp. Dan

geeft lemma 3.13 dat het Frobenius automorfisme πp werkt op Xp. Samen met lemma

3.12 geeft dit: fp heeft een nulpunt in Fp dan en slechts dan als πp heeft een vast punt in

Xp.

We willen nu X en Xp met elkaar identificeren. Alleen E heeft karakteristiek 0 en Fp

karakteristiek p. Dus er bestaat geen ringhomomorfisme tussen E en Fp. We gaan nu E

vervangen door de ring R = Z[x1, . . . , xn] voortgebracht door de xi’s. Dan R ⊆ E en er

is een ringhomomorfisme ϕ : R → Fp (lemma 3.14 (i)). Verder geeft lemma 3.14 (ii) dat

er een bijectie is tussen X en Xp. We hebben gezien dat πp werkt op Xp en G werkt op

X. Als we Xp gaan identificeren met X via ϕp dan krijgen we een permutatie σp van X

(lemma 3.14 (iii)). Dus σp ∈ Sn. Maar uit lemma 3.14 (iv) volgt er zelfs σp ∈ G en is op

conjugatie na goed gedefinieerd.

Omdat we hebben gezien: fp heeft een nulpunt in Fp dan en slechts dan als πp heeft

een vast punt in Xp, geldt nu: fp heeft een nulpunt in Fp dan en slechts dan als σp heeft

een vast punt in X. Ofwel voor p 6∈ S geldt Np = 0 dan en slecht dan als σp ∈ G0. Nu

kunnen we de dichtheidstelling van Chebotarev toepassen (stelling 3.17). Neem voor C de verzameling G0 (dit is een namelijk vereniging van conjugatieklassen volgens lemma

3.16). Dan volgt dat verzameling P0(f ) een dichtheid heeft en deze dichtheid is gelijk aan

c0= |G_|G|0|. En we hebben gezien dat |G_|G|0| > 0 en |G_|G|0| ≥ _n1 en met een stikte ongelijkheid als

n geen macht is van een priemgetal. Hiermee is stelling 3.3 en stelling 3.4 bewezen.

3.2. Voorbeelden

In deze paragraaf worden voorbeelden gegeven van monische polynomen met co¨effici¨enten in Z en irreducibel in Q[X]. We geven voorbeelden waarbij stelling 3.4 gelijkheid en strikte ongelijkheid geeft. We zullen ons beperken tot n = 2, 3, 4, 5, 6. Voor het nagaan of een polynoom irreducibel is in Q[X], is gebruik gemaakt van Wolfram Mathematica. Allereerst wordt de dichtheid c0(f ) van de polynomen numeriek benaderd. Hierbij is gekeken naar

de eerste 10000 priemgetallen. De Mathematica-code hiervan is te vinden in Appendix A. Er kan opgemerkt worden dat de priemgetallen die de discriminant delen ook meegenomen zijn in het bepalen van de dichtheid. Dit effect is immers verwaarloosbaar klein. Hieronder de tabel met de numerieke benadering van de dichtheid van stelling 3.4 voor een aantal polynomen.

n polynoom benaderde dichtheid polynoom benaderde dichtheid 2 X2_{+ 1 0.500492}

3 X3+ X + 1 0.333938 X3− 3X2_{+ 1 0.66653}

4 X4+ 8X + 12 0.250704 X4+ 2X + 7 0.3764 5 X5_{− 3 0.199926 X}5_{+ X}3_{+ 1 0.365706}

6 X6+ 2X2+ 3X + 8 0.369286 Tabel 3.1.: Polynomen met hun benaderde dichtheid van stelling 3.4

Er is te zien dat voor de polynomen in de linker kolom gelijkheid geldt in stelling 3.4 en voor de polynomen in de rechter kolom strikte ongelijkheid.

De dichtheid van de voorbeelden in tabel 3.1 kunnen theoretisch verklaard worden. We kunnen namelijk kijken naar de Galoisgroep van de polynomen. Als de Galoisgroep van een polynoom f gelijk is aan een groep in tabel 1.1, dan volgt hier direct uit wat de dichtheid c0(f ) is (omdat c0 = |G_|G|0|, te zien in het bewijs van stelling 3.4). Om te bepalen

wat de Galoisgroep van een polynoom is worden de volgende lemma’s en definitie uit [1] gebruikt.

Lemma 3.18 (Stelling 5.2 uit [1]). De Galoisgroep van een derdegraads irreducibel poly-noom f in Q[X] is gelijk aan A3 als de discriminant van f een kwadraat is en gelijk aan

S3 als de discriminant geen kwadraat is.

Definitie 3.19 (Pagina 31-31 uit [1]). Zij f = X4+ aX3+ bX2+ cX + d een polynoom. Dan kunnen we door transformatie van x 7→ x − a/4 een polynoom krijgen in het volgende gedaante f = X4_{+ pX}2 _{+ qX + r. De cubische resolvent van f is g = X}3_{− pX}2 ₋

4rX + 4pr − q2.

Lemma 3.20 (Lemma op pagina 32 uit [1]). De Galoisgroep van een vierdegraads irredu-cibel polynoom f in Q[X] is gelijk aan A4 als de discriminant van f een kwadraat is en g

irreducibel en gelijk aan S4 als de discriminant geen kwadraat is en g irreducibel.

Hieronder de toelichting van de dichtheid van de voorbeelden in tabel 3.1.

• (n = 2). Er is maar ´e´en groep van twee elementen. Hieruit volgt dat de Galoisgroep van X2+ 1 gelijk is aan Z/2Z en dus c0(X2+ 1) = 1₂.

• (n = 3). Het polynoom X3_{+ X + 1 heeft discriminant -31 en dit is geen kwadraat.}

Lemma 3.18 geeft nu dat de Galoisgroep van het polynoom S3 is en hieruit volgt

c0(X3+ X + 1) = 1₃. Daarentegen heeft het polynoom X3− 3X2+ 1 discriminant

81. Dit is kwadraat van 9 dus hierdoor is de Galoisgroep A3 en wordt de dichtheid

c0(X3− 3X2+ 1) > 1₃.

• (n = 4). Het polynoom X4 _{+ 8X + 12 heeft als discriminant 331776 en dit is}

het kwadraat van 576. Verder is g irreducibel dus uit lemma 3.20 volgt dat de Galoisgroep A4 is. Dit geeft de dichtheid c0(X4 + 8X + 12) = 1₄. De discriminant

van X4+ 2X + 7 is 87376. Dit is geen kwadraat en g is irreducibel. Hierdoor is de Galoisgroep S4 en volgt c0(X4+ 2X + 7) > 1₄.

• (n = 5). Paragraaf 12.4 uit [3] geeft dat de Galoisgroep van X5 _{− 3 gelijk is aan}

GA(1, 5). Dus hieruit volgt c0(X5 − 3) = 1₅.Voorbeeld 5.13 in [1] geeft dat de

Galoisgroep van het polynoom X5_{+ X}3 _{+ 1 gelijk is aan S}

5. Hierdoor krijgen we

c0(X5+ X3+ 1) > 1₅.

• (n = 6). In de opmerking in paragraaf 1.3 hebben we gezien dat er geen groep is met zes elementen waarbij er gelijkheid gaat optreden in stelling 1.6. Hierdoor is er geen polynoom van graad zes waarbij de dichtheid een gelijkheid is in stelling 3.4. Verder geldt dan voor elke ander monisch irreducibel polynoom f dat c0(f ) > 1₆.

Conclusie

In deze scriptie is de stelling van Jordan uit de groepentheorie bewezen en twee stellingen waarbij deze stelling is toegepast. Deze stellingen komen uit de topologie en de getalthe-orie. Daarnaast zijn er bij elk van de bovengenoemde stellingen voorbeelden gegeven. Als leidraad van deze scriptie is het artikel “On a theorem of Jordan” van Jean-Pierre Serre gebruikt. Het artikel bevat, naast wat behandeld is in deze scriptie, nog andere interes-sante voorbeelden en opmerkingen die bestudeerd kunnen worden. Een voorbeeld hiervan is het relateren van de getallen Np(f ) van een polynoom f met de co¨effici¨enten van een

geschikte machtreeks. Een andere suggestie voor vervolgonderzoek is het verdiepen in het bewijs van lemma 3.14.

Populaire samenvatting

De Franse wiskundige Camille Jordan (1838) heeft in zijn carri`ere verschillende belangrijke stellingen bewezen. Deze stellingen komen uit verschillende gebieden in de wiskunde. De stelling die in deze scriptie besproken wordt, is een stelling uit de eindige groepentheorie. Deze is gepubliceerd in een paper van Jordan in 1872. In het vervolg noemen we deze stelling de stelling van Jordan. Voordat de stelling van Jordan geformuleerd wordt, geven we eerst een voorbeeld van deze stelling.

Stel we kijken naar een driehoek met een rood (genoteerd als R), een groen (G) en een blauw (B) hoekpunt. Dan kunnen deze hoekpunten op een andere plek komen door het driehoek te draaien of te spiegelen. Dit is weergegeven in het figuur hieronder.

Hierbij is e het eenheidselement. Hiermee wordt bedoeld dat er nog geen draaiing of spiegeling heeft plaatsgevonden, ofwel de beginstand. De andere twee driehoeken op de bovenste rij zijn het resultaat van een draaiing. De middelste op de bovenste rij is een draaiing van 120 graden van de beginstand en de rechter van 240 graden. Zo noteren we het groepselement dat bijvoorbeeld resulteert in de middelste driehoek op de bovenste rij als (RGB). Dit betekent dat rood naar groen gestuurd wordt, groen naar blauw en blauw vervolgens naar rood. De driehoeken op de onderste rij zijn het resultaat van spiegelingen. Als we bijvoorbeeld de beginstand gaan spiegelen door een as van het linker hoekpunt naar de rechterzijde, dan krijgen we de linker driehoek op de onderste rij. Op dezelfde manier kunnen we de beginstand ook spiegelen in een as door het rechter hoekpunt en in een as door het bovenste hoekpunt. Hierbij krijgen we de middelste respectievelijk de rechter driehoek op de onderste rij. De notatie van het groepselement dat bijvoorbeeld resulteert in de rechter driehoek op de onderste rij is (GB), want groen wordt naar blauw gestuurd en blauw naar groen. Met rood gebeurt er hier niks.

De zes groepselementen die te zien zijn in het bovenstaande figuur vormen samen een groep. We zeggen dat deze groep werkt op de drie hoekpunten (deze hoekpunten samen is een voorbeeld van een verzameling). Er is te zien dat elk hoekpunt van de beginstand naar elk ander hoekpunt gestuurd kan worden door een bepaald groepselement. We noe-men deze werking dan transitief. De stelling van Jordan geeft dat er een groepselenoe-ment

is dat alle hoekpunten (rood, groen en blauw) niet op zijn plaats laat. Dit is bijvoorbeeld het groepselement (RBG).

Meer algemeen zegt de stelling van Jordan het volgende: Als we een groep hebben die transitief werkt op een verzameling met minstens twee elementen, dan is er een groepsele-ment dat alle elegroepsele-menten in de verzameling niet op zijn plaats laat.

Jean-Pierre Serre heeft over de stelling van Jordan en verschillende toepassingen hiervan in 2003 het artikel “On an theorem of Jordan” geschreven. Dit artikel wordt als leidraad gebruikt in deze scriptie. Het doel van deze scriptie is om de stelling van Jordan en een uitbreiding hiervan te bewijzen. Daarnaast heeft de stelling van Jordan toepassingen in twee stellingen uit andere gebieden in de wiskunde. Een ander doel in dit verslag is dan ook het bewijzen van deze stellingen.

Bibliografie

[1] Geer, G. van der. (2016). Syllabus Galoistheorie. Korteweg-de Vries Instituut.

[2] Jordan, C. (1872). Recherches sur les substitutions. Journal de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees, 17, 351-367.

[3] Koch, R. (2015). Galois Theory. Geraadpleegd op 10 juli 2017, van http://pages.uoregon.edu/koch/Galois.pdf.

[4] Lenstra, H. W. Jr., & Oort, F. (2014). Syllabus Algebra I. [5] Lenstra, H. W. Jr., & Oort, F. (2015). Ringen en lichamen. [6] Munkres, J. R. (2000). Topology. Prentice Hall.

[7] O’Connor, J. J., & Robertson, E. F. (z.d.). Marie Ennemond Camille Jordan. Geraad-pleegd op 14 juni 2017, van

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Jordan.html.

[8] Serre, J. P. (2003). On a theorem of Jordan. Bulletin of the American Mathematical Society, 40(4), 429-440.

[9] Serre, J. P. (2016). Finite Groups: An Intoduction. International Press

[10] Srinivasan, G.K. (z.d.). Lecture XVII - Action of π1(X, x0) on the fibers p−1(x0).

Geraadpleegd op 20 maart 2017, van

http://nptel.ac.in/courses/111101002/downloads/lecture17.pdf.

[11] Steinberg, B. (2011). Representation theory of finite groups: an introductory approach. Springer Science & Business Media.

[12] Stevenhagen, P., & Lenstra, H. W. (1996). Chebotar¨ev and his density theorem. The Mathematical Intelligencer, 18(2), 26-37.

A. Mathematica-code

Hieronder de Mathematica-code voor het numeriek benaderen van de dichtheid c0(f ) van