Blokplanning van scopieën bij het LUMC

Faculteit Economie en Bedrijfskunde, Amsterdam School of Economics Bachelorscriptie Operationele Research en Management

Blokplanning van scopieën bij het LUMC

Nino Foudraine (10633596)

Kevin Vuong (10730141)

juli - 2018

Abstract

In de Nederlandse ziekenhuizen is er toenemende behoefte naar zorg. Door deze toenemende behoefte is het niet geheel ondenkbaar, dat ziekenhuizen zijn genoodzaakt hun middelen op-timaal te benutten. Ze moeten de vraag accommoderen met de beperkte middelen. De juiste logistieke planning binnen de ziekenhuizen is daarom enorm belangrijk.

Op de maag-, darm- en leverafdeling (MDL) van het Leids Universitair Medische Cen-trum (LUMC) vinden er scopie-operaties plaats. Op dit moment, op de MDL-afdeling van het LUMC, wordt er gebruikt gemaakt van de veel voorkomende cyclische blokplanning. Bij aankomst van de patiënt krijgt deze een bed toegewezen, waarmee de patiënt vervolgens wordt vervoerd naar een van de operatiekamers. Na de operatie zal de patiënt voor enige tijd uitrusten in de zogenaamde âuitslaapkamerâ. Bij het verlaten van het ziekenhuis, wat gelijk na het uitrusten in de uitslaapkamer gebeurt, wordt het toegewezen bed van de patiënt vervolgens weer beschikbaar voor een volgende patiënt.

De volgende scriptie zet een onderzoek uiteen naar verschillende methoden die ervoor zorgen dat de logistieke planning van de operatiekamers en de bedden, in het Leids Universi-tair Medisch Centrum (LUMC), worden geoptimaliseerd. Dit wordt gedaan door het aantal te gebruiken bedden te minimaliseren en, in mindere mate, de overtijd te minimaliseren om zo de werkomstandigheden van de medewerkers te waarborgen.

Bij het maken van de juiste logistieke planning is er in dit onderzoek gebruik gemaakt van Integer Linear Programming (ILP). Bij het gebruik van ILP op de data van het LUMC is naar voren gekomen dat op een gemiddelde werkdag slechts drie operatiekamers en vijf bedden nodig zijn. Ook lijkt een week-planning beter dan een dag-planning te zijn. Door het stochastische karakter van de patiënten kunnen de planningen, gevonden met ILP, niet als uitgangspunten gezien worden. Deze worden hierom getest met behulp van een simulatiemo-del. In dit simulatiemodel wordt er rekening gehouden met onzekerheden van de operatie- en uitrusttijden, hier zijn bepaalde kansverdelingen voor aangenomen. Op deze manier wordt er een beter beeld van de werkelijkheid weergegeven. Het simulatiemodel laat dan ook zien dat er minimaal acht bedden nodig zijn.

Inhoudsopgave

3.2.1 Kortste taak eerst . . . 7

3.2.2 Langste taak eerst . . . 7

3.2.3 Prioritaire kamers . . . 7

3.2.4 Intuïtie, om-en-om . . . 8

3.2.5 Intuïtie, terugwaardse benadering . . . 8

4 Bepalen van een optimale planning 9 4.1 Assumpties . . . 9

4.2 Parameters en variabelen . . . 9

4.3 ILP-model minimalisatie aantal bedden . . . 10

4.3.1 Doelfunctie en restricties . . . 10

4.4 ILP-model minimalisatie overtijd . . . 11

4.4.1 Gemaakte mutaties . . . 11

4.4.2 Doelfunctie en restricties . . . 11

5 Invloed van stochastiek 12 5.1 Het model . . . 12

5.2 Testen deterministisch . . . 13

5.3 Testen capaciteit LUMC . . . 13

6 Resultaten 14 6.1 Resultaten ILP-modellen . . . 14 6.1.1 Dagplanning . . . 14 6.1.2 Weekplanning . . . 14 6.1.3 Capaciteit LUMC . . . 15 6.2 Resultaten Simulatiemodel . . . 16 6.2.1 Dagplanning . . . 16 6.2.2 Weekplanning . . . 17 6.2.3 Capaciteit LUMC . . . 17 7 Conclusie 20 8 Discussie 21

1

Introductie

In de Nederlandse ziekenhuizen is er toenemende behoefte naar zorg, dit ligt ten grondslag aan een de steeds groter groeiende economie en daarmee de welvaart, maar ook de vergrijzing speelt hierin een cruciale rol (van Essen et al. 2014). Hier komen verschillende problemen bij kijken. Hiervan zijn middelen als operatiekamers en bedden, die torenhoge kosten met zich meebrengen, en het dalende aantal verpleegkundigen in Nederland twee zeer verontrustende problemen (CBS, 2016). Minder middelen beschikbaar stellen is geen optie. Hierdoor zouden er mogelijk eerder complicaties optreden in de strakke planning en kan de kwaliteit van een ziekenhuis, die wordt geboden aan zowel patiënten als aan de medewerkers, verslechteren. Ziekenhuizen zullen noodgedwongen, in grotere mate, afspraken moeten afzeggen, door het feit dat er simpelweg geen bed beschikbaar is voor de patiënt op het geplande tijdstip. Hier-door is de patiënt weer genoodzaakt om een nieuwe afspraak in te plannen en het inplannen kost daarop weer veel tijd en energie voor de medewerkers. Ook betekent dit een hogere bezettingsgraad van de operatiekamers en bedden, overwerken zal frequenter voorkomen en de werkdruk zal toenemen.

In dit onderzoek is er gekeken naar de maag-, darm-, leverafdeling (MDL) van het Leids Universiteit Medisch Centrum (LUMC). Hier vinden er scopie-operaties plaats. Een scopie-operatie is een operatie waarbij de chirurg gebruikt maakt van een camera om zo het te behandelende operatiegebied in kaart te brengen. Zo hoeven chirurgen geen (grote) incisies te maken op de huid van de patiënt en worden (grote) littekens bijvoorbeeld vermeden.

Figuur 1: Werkwijze LUMC

In figuur 1 hierboven wordt weergegeven hoe het LUMC te werk gaat. Een patiënt arriveert bij het LUMC op het aangeven tijdstip in de planning. Deze patiënt krijgt een bed toegewezen en wordt daarmee een beschikbare operatiekamer (OK) ingereden. Hier wordt de patiënt geopereerd, en na afloop van de operatie gaat de patiënt naar de zogenaamde âuitslaapkamerâ. De patiënt kan hier enige tijd uitrusten voor vertrek. Tot slot verlaat de patiënt het ziekenhuis en dus het bed, waarna deze weer beschikbaar wordt gesteld voor de volgende patiënt.

1.1

Probleemformulering

Zoals eerder benoemd, wordt een afspraak afgezegd als er geen bed beschikbaar is. Dit kan gebeuren door het stochastische karakter van de patiënten en de werknemers, wat kan leiden tot verschillende complicaties in de planning. Hierdoor kan het voorkomen dat er meer bedden tegelijkertijd in gebruik zijn dan vooraf was verwacht. Ook moet er rekening worden gehouden met de mogelijkheid van een spoedoperatie, die ten koste kan gaan van een patiënt

die al ingepland stond met een minder urgente operatie. Het LUMC probeert het aantal afspraken, die afgezegd kunnen worden zo laag mogelijk te houden. Daarbij houden ze ook rekening met het aantal overuren die gedraaid worden. Het doel van deze thesis is dan ook om de planning te vinden met het absoluut minimaal aantal benodigde bedden. Er rijzen hierbij twee vragen naar boven:

• Hoe bepaal ik een optimale planning?

• Wat is het effect van stochastiek op een planning?

Deze scriptie is als volgt opgedeeld. In sectie 2 wordt de theoretisch achtergrond besproken gericht op OK-planning. Daarna wordt in sectie 3 het concept van deze scriptie besproken. Vervolgens wordt de data verkregen van het LUMC geanalyseerd. Uit de data wordt bepaald hoe een gemiddelde werkdag uit zou zien. Tot slot wordt in deze sectie naar handmatige planningen gekeken om een beter beeld te krijgen van het probleem. We maken gebruik van ’Integer Linear Programming’ (ILP) bij het vinden van een optimale planning. De gemaakte ILP-modellen worden besproken in sectie 4. De planning die hieruit komt, zal gebaseerd zijn op deterministische gronden. Dit komt niet overeen met de realiteit, waarbij het systeem een stochastische karakter heeft. Om de robuustheid van de planningen te testen wordt in sectie 5 het gebruik van simulaties hierop besproken. Dit dient te gebeuren om het verloren stochastische karakter aan de planning toe te voegen. Daarna geeft sectie 6 de gevonden planning weer, met de analyse van de uitgevoerde simulaties. De conclusies worden getrokken in sectie 7. Tot slot is er nog ruimte voor discussie in sectie 8.

2

Theoretisch achtergrond

Zorgkosten zijn de afgelopen jaren gestegen (Anjomshoaa et al. 2018). Operatie- en her-stelkamers zijn de grootste kosten- en opbrengstenpost van een ziekenhuis. Het optimaal benutten van deze middelen is dan ook cruciaal geworden. De optimale planning van opera-tiekamers is in de afgelopen 60 jaar vaak bestudeerd. Er zijn dan ook verschillende soorten literatuuronderzoek op dit gebied gedaan.

Van Houdenhoven et al. (2008) hebben aangetoond dat het gebruik van cyclische blokplanning de bezettingsgraad van operatiekamers doet stijgen. Daarnaast daalt het aan-tal gecancelde afspraken. Ook is te zien dat een langere cyclus gunstiger is dan een korte cyclus. Het is dan ook verstandig dat bij situaties waar patiënten normaliter op lange termijn ingepland kunnen worden gebruik te maken van een zo lang mogelijke durende cyclus.

Van Essen et al. (2014) bespreken meerdere artikelen die over dit onderwerp gaan. De problemen die in deze artikelen worden besproken, kunnen in twee groepen worden verdeeld. De eerste groep beschouwt planning op tactisch niveau en de tweede groep bekijkt OR-planning op operationeel niveau. Het tactische niveau betreft het toewijzen van beschikbare middelen aan groepen patiënten met dezelfde kenmerken vanuit medisch en logistiek oogpunt in een tijdshorizon van enkele weken tot enkele maanden. Het operationele niveau houdt zich bezig met het plannen van een gegeven vraag van electieve patiënten binnen een tijdshori-zon van enkele dagen tot enkele weken, waarbij rekening wordt gehouden met verschillende

onzekerheden zoals aankomende noodpatiënten en stochastische operatieduur.

Persson en Persson (2010) tonen het nut van het gebruik van simulatie aan. Hierbij hebben ze een nieuw managementbeleid gecreëerd en deze tegenover het oude systeem dat op dat moment door het bekeken ziekenhuis geïmplementeerd wordt gezet. Uit de resultaten van de simulaties is te zien dat het aantal gecancelde afspraken en de totale overtijd aanzienlijk zijn gedaald.

In het werk van Beliën en Demeulemeester (2007) plannen ze blokken electieve ope-raties van hetzelfde type door ze toe te wijzen aan een dag in de planningshorizon, terwijl het aantal vereiste bedden wordt geminimaliseerd. Ze nemen aan dat de verblijfsduur wordt gegeven door een multinomiale verdeling die per type operatie verschilt. Het aantal vereiste bedden dat resulteert uit een OR-planning wordt op verschillende manieren benaderd, maar er wordt geen exacte formulering gebruikt. Beliën et al. (2009) breid deze benadering uit door meerdere afdelingen op te nemen in plaats van één, waardoor verschillende bloklengtes mogelijk zijn en door individuele chirurgen in plaats van operatiegroepen in te delen.

Van Oostrum et al. (2008) plannen chirurgische procedures in plaats van OR-blokken door de procedures toe te wijzen aan een OK en aan een dag in de planningshorizon. De verblijfsduur van de patiënten wordt deterministisch verondersteld en door deze determinis-tische verblijfsduur te gebruiken, wordt het aantal vereiste bedden geminimaliseerd. Adan et al. (2009, 2011) plannen chirurgische procedures door ze toe te wijzen aan een dag in de planningshorizon zoals gedaan door van Houdenhoven et al. (2008) en van Oostrum et al. (2008). Maar in tegenstelling tot van Houdenhoven et al. (2008) en van Oostrum et al. (2008), veronderstellen ze dat een vast aantal bedden, die is gebaseerd op een target, beschik-baar is in het ziekenhuis en minimaliseren de over- en onderbenutting van deze bedden. Het aantal vereiste bedden wordt dus niet geminimaliseerd, maar hun gebruik is geoptimaliseerd. Chow et al. (2011) ontwikkelen een ’Integer Linear Programming’-model (ILP-model) om verbeterde OR-planning te genereren in termen van de maximale verwachte bedbezetting. Deze verwachte bedbezetting wordt berekend met behulp van de verwachte verblijfsduur van operatietypen en hierna wordt de gemiddelde bedbezetting per dag bepaald door middel van simulatie. Dit lijkt erg op het onderzoek dat in deze scriptie is gedaan.

3

Concept

Bij het inplannen van operaties wordt vaak gebruik gemaakt van cyclische blokplanning dat om de τ werkdagen herhaald wordt (van Essen et al. 2014). Zoals besproken in sectie 2 komt dit ten goede bij het gebruik van de middelen. Op een werkdag is in iedere operatiekamer een vast blok van een bepaald tijdsduur waarin meerdere afspraken ingepland kunnen wor-den. Hierbij wordt voor patiënten van tevoren de verwachte operatieduur bepaald, waaruit vervolgens de planning wordt gecreëerd. Typisch gezien bestaat een werkdag uit acht uren waarin ingepland kan worden. Bij het LUMC is er nog mogelijkheid voor speling, waarbij een afspraak aanvaardbaar is zolang het binnen de acht uur tijdsblok van start gaat (figuur

2 ). Goed te zien is dat bij het klassieke geval de zesde patiënt niet in te plannen is in de operatiekamer; degene moet gepland worden in een ander operatiekamer en als dat niet mo-gelijk is, op een ander werkdag. Bij het LUMC is dit wel nog momo-gelijk, sinds de afspraak precies begint op het einde van het blok.

Na de operatie worden patiënten in de rustkamer geplaatst. In het geval van het LUMC verblijft een patiënt typisch gezien nog een anderhalf uur in de rustkamer. Vervolgens komt het bed weer vrij voor een nieuw patiënt. Gebaseerd op de planning van het voorbeeld in figuur 2 zullen er totaal drie bedden nodig zijn om de planning te kunnen accommoderen, wat te zien valt in figuur 3. Daarbij valt ook te zien dat er sprake is van een overtijd van negen tijdstukken, wat een overtijd betekent van ₁₆9 = 56, 25%. Het LUMC streeft naar een overtijd van maximaal 30%, waaruit we kunnen concluderen dat dit voorbeeld niet aan de eisen voldoet.

Figuur 2: Voorbeeld planning van patiënten in een operatiekamer met blok bestaand uit zestien stukken

Figuur 3: Bedbezetting van de planning in figuur 1

3.1

Data-analyse

De data verkregen van de scopie afdeling van het LUMC bevat de planning van de maanden januari 2017 tot en met mei 2018. Deze afspraken bevatten informatie over het patiënten-nummer, de afspraakdata en tijden, de operatiekamer, het soort onderzoek, de arts code en de geplande duur van de operatie. Er zijn in deze tijdsspanne 8168 operaties gepland. Er is geen data over de daadwerkelijke operatie en aankomsttijden opgenomen, wat feitelijk onderzoek belemmerd.

Er zijn voor dit onderzoek enkele aannames genomen en daarmee opschoning van de data gedaan. Allereerst is geconstateerd dat er in de kolom van de operatiekamer de categorie ’Spoedscopie’ voorkomt. Aangezien dit geen geplande scopie is, wordt deze niet meegenomen het onderzoek naar de geplande data. Ook wordt in deze kolom de categorie ’Verpl.Spreekuur’ gevonden. Dit zijn ook geen operaties, en worden dus niet voor het ILP- en simulatiemodel gebruikt in dit onderzoek.

Er zijn 39 verschillende soorten operaties geconstateerd, met verschillende geplande tij-den. Ook zijn er verschillende geplande tijden voor een en hetzelfde onderzoek geconstateerd. Er wordt aangenomen dat dit wordt veroorzaakt door vooronderzoek en/of gevoeligheid voor complicaties door de huidige gezondheid (ouderdom, zwakte, etc.). Voor dit onderzoek wordt aangenomen dat het geen invloed heeft welke operatie plaatsvindt, maar de tijden die daar-voor gepland zijn. Verschillende operaties met dezelfde geplande tijd worden als homogeen gezien.

Ook is er onderzoek gedaan naar de frequenties op de geplande weekdagen. Er is op-gemerkt dat er een enkele operatie is gepland op de zaterdag. Deze is ook verwijderd voor de data-analyse. Er zijn in de geplande (niet spoed-) operaties 27 verschillende tijdswaar-nemingen gedaan in de verkregen data. Verschillend van 15 minuten tot een duur van 420 minuten. Er is geconstateerd dat de 30 minuten, 45 minuten en 60 minuten geplande afspra-ken aanzienlijk veel voorkomen en deze afspraafspra-ken voldoen aan 96% van de data. De overige 266 afspraken worden voor dit onderzoek buiten beschouwing gelaten gezien de complexiteit van het ILP- en het simulatiemodel.

Er zijn op 345 unieke dagen operaties gepland. Er zijn in totaal 2352 operaties van 30 minuten, 1292 van 45 minuten en 2848 van 60 minuten gepland. De gemiddeld aantallen van deze operaties zijn dus 6,8173 operaties van 30 minuten, 3,7449 operaties van 45 minuten en 8,2551 operaties van 60 minuten. Voor het onderzoek naar een gemiddelde dag zijn deze getallen naar boven afgerond, dus 7, 4 en 9 operaties die respectievelijk 30, 45 en 60 minuten duren(figuur 4 ).

Gebaseerd op de gevonden getallen, zou op een gemiddelde dag de operatiekamers voor 15,5 uur in gebruik moeten zijn. Het LUMC streeft naar een bezettingsgraad van 70%, wat ons reden geeft om slechts drie(15.5_3·8 = 64.5%) van de vier beschikbare operatiekamers te gebrui-ken. De vierde operatiekamer zou, als alles ingepland kan worden in drie operatiekamers, prima kunnen fungeren voor spoedgevallen. Dit idee leeft ook in het LUMC.

Figuur 4: Verdeling operaties op een gemiddeld werkdag

3.2

Handmatige oplossingen

Aanvankelijk wordt het probleem volgens intuïtieve planningen opgelost. De drie operatieka-mers worden als drie mogelijke ruimtes gezien waarin de blokken kunnen worden geplaatst. Hierna komen de patiënten in de uitrust bedden, waar ze anderhalf uur liggen. In de voor-beeldoplossingen verder in deze sectie behandeld, zijn de patiënten genummerd. Ze beginnen in de OKs (operatiekamers) en komen dan in de volgende tijdruimte van de bedden. Hierbij wordt altijd de bovenste vrije OK of het bovenste vrije bed als eerste gekozen.

De technieken die voor de handmatige oplossingen zijn gebruikgemaakt zijn basis wacht-rij methodes zoals; Kortste taak eerst en Langste taak eerst, en ook Voorkeurkamers. Ook zijn er twee intuïtieve oplossingen bekeken. De handmatige oplossingen dienen als basis voor het begrip van het probleem en de later besproken ILP-modellen. In figuur 5 hieronder staat eerst de legenda. Er wordt in blokken van een kwartier gepland.

3.2.1 Kortste taak eerst

In deze oplossing worden de kortste operaties als eerst in de operatiekamers geplaatst. Als al deze operaties zijn gepland zijn, zijn de volgende kortste durende operaties aan de beurt. Ten slotte de langst durende operaties.

Figuur 6: Planning bij kortste taak eerst

Bij deze planning zijn op het drukste punt 12 bedden in gebruik. De overtijd is 0%. De operaties zijn zelfs al om 13:30 klaar en de laatste patiënt is een uur klaar voor tijd. Toch is dit geen wenselijke planning, aangezien het LUMC op dit moment 10 bedden tot haar beschikking heeft, en deze erg kostbaar zijn.

3.2.2 Langste taak eerst

Nu is de planning in de OK’ exact omgekeerd. De operaties van een uur worden eerst gepland, hierna de operaties van drie kwartier en ten slotte de blokken van een half uur. De oplossing wordt weergegeven in de figuur hieronder.

Figuur 7: Planning bij langste taak eerst

Het maximaal aantal bedden in gebruik is nu 11 bedden. De overtijd is nog steeds 0%. Bij deze planning zijn zowel de operaties als de uitslaapkamers een kwartier eerder klaar, maar nog steeds is er een bed meer gebruikt dan het LUMC beschikt.

3.2.3 Prioritaire kamers

Hier wordt bekeken of profijt heeft is om van iedere kamer een voorkeurskamer te maken voor de verschillende tijdsblokken. Dit betekent de half uur operaties in kamer 1, de drie kwartier operaties in kamer 2 en de uur operaties in kamer 3.

Figuur 8: Planning bij Prioritaire kamers

Bij deze planning zijn er 10 bedden gebruikt op het drukste tijdstip. Het maximum van de middelen die het LUMC beschikbaar heeft wordt dus niet overschreven. De laatste patiënt komt wel pas 18:30 uit de uitslaapzaal, waarmee de overtijd 31% wordt. Dit ligt boven het maximaal wenselijke overtijd van 30%.

3.2.4 Intuïtie, om-en-om

Naar intuïtie verwachten we dat om-en-om planning eventueel verbetering zou moeten geven. Hierbij denken we dat het slimmer is om met een korte operatie te beginnen, zodat deze eerder in de uitslaapkamer terecht komen, waar is verondersteld iedere patiënt even lang over doet.

Figuur 9: Planning bij intuïtie, om-en-om

Bij deze planning zijn op het drukste punt 9 bedden gebruikt en is de overtijd 0%. Tot nu toe is dit de beste planning.

3.2.5 Intuïtie, terugwaardse benadering

In deze oplossing is instinctief bedacht om de planning van de uitslaapkamer vol te boeken, en hieraan de operaties te koppelen. De uitslaapkamer is namelijk uit de vorige oplossingen de bottleneck gebleken.

Hier zijn op het drukste moment slechts 7 bedden in gebruik. De overtijd is ook maar 9.4%, wat ruim onder de 30% ligt. Ook is er meer ruimte tussen de operaties, waardoor er ruimte overblijft voor het stochastische karakter van operaties die een rol kan gaan spelen in extra benodigde bedden.

4

Bepalen van een optimale planning

De hierboven gemaakte planningen zijn handmatig gemaakt en op inzicht beargumenteerd. In de praktijk kan het aantal operaties dagelijks verschillen. Bovendien is het niet duidelijk in hoeverre geen betere oplossing(en) gevonden kunnen worden. Het is dus wenselijk om tot een automatisch werkend mathematisch model te komen dat in principe een optimale planning genereert. Dit model zal dan de eerste vraagstuk moeten beantwoorden; ’Hoe bepaal ik een optimale planning?’. Om dit model te verkrijgen, maken we gebruik van ILP. Als software is gebruik gemaakt van AIMMS.

4.1

Assumpties

Door het stochastische karakter van patiënten en werknemers moeten er paar assumpties worden gemaakt voordat het model überhaupt opgesteld mag worden. ILP mag immers alleen gebruikt worden op deterministische gronden. Een operatie gebeurt niet altijd binnen de afgesproken tijd; men kan te laat komen of zelfs helemaal niet komen opdagen of de operatie kan langer duren dan gepland door complicaties. Daarnaast bestaat er de kans waarbij niet geplande spoedoperaties moeten gebeuren, die natuurlijk voorrang krijgen op ingeplande operatie. Ook bij het uitrusten speelt er een rol van onzekerheid. Niet elk patiënt heeft de benodigde verwachte tijd nodig om uit te rusten. Ook zijn er patiënten die langer dan verwacht uit moeten rusten.

De volgende assumpties worden in deze sectie gemaakt:

• Ieder patiënt is aanwezig voor het begin van zijn afspraak

• De duur van de afspraak duurt precies even lang als de verwachte geplande duur • De duur van uitrusten is voor ieder patiënt gelijk en dus bekend

• Er zijn altijd genoeg medewerkers beschikbaar om de patiënten te kunnen accommo-deren

4.2

Parameters en variabelen

Sets en parameters:

P : Set bestaande uit alle patiënten

T : Set bestaande uit tijdstippen waar een patiënt aanwezig kan zijn in het systeem O : Set bestaande uit tijdstippen waar een patiënt geen operatie in mag starten

inOKjt : Set bestaande uit tijdstippen waarop patiënt j zich bevindt in het OK als operatie

begint op tijdstip t j ∈ P , t ∈ T − O

inBedjt : Set bestaande uit tijdstippen waarop patiënt j in bed ligt als operatie begint op

tijdstip t j ∈ P , t ∈ T − O

K : Aantal operatiekamers Beslissingsvariabelen:

B : Totaal aantal gebruikte bedden over de gehele planning xjt :

(

1 als patiënt j begint met operatie op tijdstip t 0 anders

4.3

ILP-model minimalisatie aantal bedden

In deze sectie bespreken we het opgestelde model voor de OK-planning met betrekking tot het minimaliseren van het aantal bedden. Sinds we hier te maken hebben met blokplanning, zijn afspraken verdeeld in discrete tijdsperioden. Door de lineaire aard van de variabelen hebben we hier dus te maken met een ILP-model.

4.3.1 Doelfunctie en restricties min B X t ∈ T −O xjt = 1 ∀j (1) X j ∈ P X k ∈ inOKjt xjk ≤ K ∀t (2) X j ∈ P X k ∈ inBedjt xjk ≤ B ∀t (3) xjt ∈ T − O (4)

Ieder patiënt dient ingepland te worden. Dit gebeurt door middel van restrictie 1. Op geen moment kunnen er meer patiënten in een operatiekamer aanwezig zijn dan het totaal aantal operatiekamers. Hiervoor dient restrictie 2. Verder is er een beperkt aanbod van bedden. Er kunnen dus niet meer patiënten in het systeem aanwezig zijn dan dat er bedden beschikbaar gesteld zijn. Dit staat beschreven in restrictie 3. Merk op dat de doelfunctie het aanbod van bedden wil minimaliseren. Ten slotte zorgt restrictie 4 voor dat een operatie niet in overtijd van start kan gaan.

4.4

ILP-model minimalisatie overtijd

Het model in de vorige sectie zal een planning vinden met het minimaal aantal benodigde bedden. Daarbij is alleen geen rekening mee gehouden met overtijd. Deze sectie zal een ILP-model besproken worden die het aantal benodigde bedden parametriseert en hieruit een optimale planning probeert te vinden die rekening houdt met de overtijd.

4.4.1 Gemaakte mutaties

Zoals hiervoor benoemd, is van de beslissingsvariabele B een parameter gemaakt. Om voor elk patiënt bij te kunnen houden of de patiënt in overtijd kan komen, is de volgende parameter gecreëerd:

Gj : De laatste tijdstip waarop patiënt j de operatie kan starten, waarbij de patiënt op niet

in overtijd het systeem verlaat j ∈ P

4.4.2 Doelfunctie en restricties min X j ∈ P [ X t ∈ T −O t · xjt] − Gj (1) − (4)

Om zo min mogelijk in overtijd te zitten, zal de doelfunctie ieder operatie zo vroeg mogelijk willen laten starten. Voor ieder tijdstip dat een operatie later van start gaat, wordt er een strafpunt bij gerekend. Dit is een heuristiek. In verband met de lineariteit van het model zijn we genoodzaakt een heuristiek toe te passen.

5

Invloed van stochastiek

In deze sectie wordt het tweede vraagstuk uit de probleemformulering behandeld; ’Wat is het effect van stochastiek op een planning?’ Hiervoor wordt een simulatiemodel opgesteld. De planningen worden hier met vooraf bepaalde onzekerheden gesimuleerd. Hieruit wordt bekeken hoe robuust deze planningen blijken te zijn. In sectie 5.1 wordt besproken hoe het simulatiemodel te werk gaat. In sectie 5.2 wordt gekeken hoe de planningen uit het deterministische model getest gaan worden. In sectie 5.3 wordt geen planning gebruikt, maar getest hoeveel patiënten het LUMC aan kan. Voor de simulatie is de software Simio gebruikt.

5.1

Het model

Hieronder in figuur 11 wordt het simulatiemodel weergegeven.

Figuur 11: Simulatiemodel

1. Bij 1 (de bron) betreden de patiënten (de entiteiten A, B en C) het model. Patiënt A, B en C zijn respectievelijk de patiënten met de 30, 45 en 60 minuten geplande afspraken. 2. De patiënten komen direct in 2 (de operatiekamer) terecht. Bij aanvang claimt iedere patiënt een bed. De patiënt A, B en C wordt hier respectievelijk volgens verdeling Lognormaal(30,10), Lognormaal(45,10) en Lognormaal(60,10) vertraagd.

3. Hierna komen de entiteiten in 3, de uitslaapkamer. Hier wordt iedere patiënt volgens de verdeling Lognormaal(90,10) vertraagd.

4. Bij aanvang van 4 wordt het geclaimde bed losgelaten en hierna worden de entiteiten vernietigd.

Het maximum benodigd aantal bedden en de overtijd wordt opgeslagen. Voor beide cijfers wordt een 95% betrouwbaarheidsinterval gevonden.

Deze simulatie werkt volgens een algoritme en moet om een betrouwbare uitkomst te krijgen een aantal keer worden afgespeeld. Van deze reeks wordt dan een gemiddelde genomen. In dit onderzoek is voor ieder scenario een reeks van 500 simulaties genomen.

De aannames over de kansverdelingen van de operatie- en uitrusttijden zijn gedaan in overleg met het LUMC.

5.2

Testen deterministisch

In deze sectie wordt de robuustheid van de vooraf bepaalde planningen getest. Belangrijke uitkomsten zijn de daadwerkelijk benodigde bedden, en wordt het maximum van de overtijd van 30% niet overschreven.

De patiënten betreden het model exact volgens de planning en krijgen vervolgens te maken met de onzekerheden van de operatie- en uitslaaptijden.

In deze sectie is geen limiet gesteld op het aantal beschikbare bedden. Verder gelden dezelfde genomen assumpties als bij het ILP-model.

5.3

Testen capaciteit LUMC

In deze paragraaf wordt gekeken naar de huidige capaciteit van het LUMC. De entiteiten worden onafhankelijk van elkaar bekeken om de verschillende hoekpunten van de capaciteit te vinden. Dat wil zeggen, er wordt gekeken naar een maximum voor patiënt A, patiënt B en patiënt C per dag. Een combinatie bekijken lijkt niet erg zinvol.

Enkele aannames bij het vorige model zijn veranderd. Er zijn op het LUMC 10 bedden, deze worden nu als vast aantal genomen. De aankomst van patiënten wordt hier volgens een poisson-verdeling genomen. Het verwachte aantal aankomsten wordt in een aantal scena-rio’s opgevoerd en vergeleken. Hieruit wordt een conclusie voor de capaciteit getrokken.De operatie- en uitslaaptijden zijn onveranderd. De aankomsten kunnen enkel tussen 08:00 en 16:00 plaatsvinden.

6

Resultaten

Deze sectie is gesplitst in twee delen. In sectie 6.1.1 en sectie 6.1.2 worden de planningen gecreëerd volgens de ILP-modellen. De optimale planningen zullen vervolgens in sectie 6.2.1 en sectie 6.2.2 getest worden op robuustheid door middel van een simulatie. We runnen ieder scenario 500 keer. Daarnaast worden ook de resultaten bekeken gericht op de capaciteit van het LUMC in respectievelijk sectie 6.1.3 en 6.2.3.

6.1

Resultaten ILP-modellen

Uit de data-analyse is naar voren gekomen dat er op een werkdag gemiddeld respectievelijk 7, 4 en 9 operaties plaatsvinden van 30, 45 en 60 minuten. Bij het vinden van een optimale planning hebben we een dagelijkse en een wekelijkse cyclus aangenomen.

Sinds de operaties de grootte hebben van hele kwartieren, hebben we genomen dat een tijdstuk de grootte heeft van een kwartier. Ter herhaling bevindt een werkdag op het LUMC vindt plaats van 8:00 tot 16:00. Dit houdt in dat een operatie uiterlijk tot en met 16:00 gestart mag worden. Gebaseerd op de tijdstuk van een kwartier, komt dit neer op een blok bestaande uit 33 tijdstukken.

6.1.1 Dagplanning

Uit het ILP-model van sectie 4.3.1 komt naar boven dat het minimaal benodigde aantal bedden 5 is. Gebaseerd op deze uitkomst is door middel van het ILP-model in sectie 4.4.2 een planning gecreëerd voor een cyclus van één dag, wat op neer komt dat er een restrictie is gecreëerd waarbij ieder werkdag identiek aan elkaar dient te zijn. Uit figuur 12 is te zien dat naar verwachting de werkdag voorbij is om 18:00(25% overtijd) met 27 tijdstukken die buiten de boot vallen. Een opvallende constatering is dat kortere operaties eerder ingepland worden dan langere operaties. Verder moet wel op geattendeerd worden dat bij het bepalen van de planning gebruik is gemaakt van een heuristiek. We kunnen dus niet garanderen dat de planning daadwerkelijk optimaal is met betrekking tot het overtijd.

Figuur 12: Optimale dagplanning

6.1.2 Weekplanning

Ook bij een weekplanning is het alleen mogelijk om in te plannen met minimaal 5 bedden. In figuur 13 is de optimale planning te zien. Zoals besproken in sectie 2 is het gebruik maken een langer durende cyclus lonend bij het inplannen. In tabel 1 is te zien dat op

twee van de vijf dagen men naar verwachting een kwartier eerder klaar zullen zijn vergeleken met de dagplanning. Tevens valt te zien dat het aantal tijdstukken bij overtijd met 5 tot 7 tijdstukken lager liggen. Dit houdt in dat de werkdruk voor de medewerkers lager zal liggen tijdens overtijd. Een weekplanning voldoet om deze redenen beter aan de gestelde eisen dan een dagplanning. Verder is hier ook het geval dat kortere operaties eerder ingepland worden. Tot slot moet er ook hier op geattendeerd worden dat er gebruik is gemaakt van een heuristiek.

Figuur 13: Optimale planning weekplanning

dag einde werkdag aantal tijdstukken in overtijd overtijd(%)

1 17:45 20 21.9

2 17:45 20 21.9

3 18:00 22 25

4 18:00 22 25

5 18:00 21 25

Tabel 1: Overtijd per dag van weekplanning

6.1.3 Capaciteit LUMC

Gebaseerd op sectie 5.4 waren we ook benieuwd wat de ILP-modellen te zeggen hadden over de capaciteit van het LUMC. Het moge duidelijk zijn dat alle werkdagen identiek zullen zijn. In figuur 14 tot 16 staan de planningen weergegeven met het aantal operaties. Naar

verwachting zullen dit overschattingen zijn door het stochastische karakter van het systeem. Dit wordt verder besproken in sectie 6.2.3.

Figuur 14: Maximale bezetting van 30 minuten operaties

Figuur 15: Maximale bezetting van 45 minuten operaties

Figuur 16: Maximale bezetting van 60 minuten operaties

6.2

Resultaten Simulatiemodel

De resultaten uit het ILP-model worden hier onder de loep genomen, aangezien hierbij geen rekening met onzekerheid is gehouden. In ieder tabel hieronder is het gemiddelde, minimum en maximum opgenomen. Ook is het 95% betrouwbaarheidsinterval opgenomen. BI start staat voor het begin en BI einde voor het einde van het interval.

6.2.1 Dagplanning

Zoals in sectie 5.3 beschreven wordt de planning uit sectie 6.1.1 gebruikt voor de aankomsten van de entiteiten. Dit wordt 500 keer herhaald en daaruit volgen de cijfers beschreven in tabel 2.

Gemiddelde Minimum Maximum BI Start BI Einde

Max. Bedden 6,962 6 8 6,911 7,013

Overtijd 0,260 0,210 0,337 0,258 0,262

6.2.2 Weekplanning

Hier wordt de weekplanning uit sectie 6.1.2 behandeld. Tabel 3 geeft het maximum beno-digde bedden per dag neer. Tabel 4 geeft de overtijd per dag neer. Merk op dat dag 1 en 2 hetzelfde zijn. Dit geldt ook voor dag 3 en 4.

Gemiddelde Minimum Maximum BI Start BI Einde

Dag 1 7,076 6 8 7,035 7,117

Dag 2 7,076 6 8 7,035 7,117

Dag 3 6,974 6 8 6,924 7,024

Dag 4 6,974 6 8 6,924 7,024

Dag 5 6,996 6 8 6,948 7,044

Tabel 3: Maximum bedden

Gemiddelde Minimum Maximum BI Start BI Einde

Dag 1 0,237 0,179 0,306 0,235 0,239 Dag 2 0,237 0,179 0,306 0,235 0,239 Dag 3 0,260 0,210 0,337 0,258 0,262 Dag 4 0,260 0,210 0,337 0,258 0,262 Dag 5 0,255 0,204 0,315 0,254 0,257 Tabel 4: Overtijd 6.2.3 Capaciteit LUMC

Hier is de capaciteit van het LUMC getest, zoals besproken in sectie 5.3. Het verwachte aantal aankomsten (E[x] ) wordt in de eerste kolom weergegeven. In tabel 5 en 6 is patiënt A gesimuleerd. De waarden uit tabel 5 zijn geplot in figuur 17. In tabel 7 en 8 is patiënt B gesimuleerd. De waarden uit tabel 7 zijn geplot in figuur 18. In tabel 9 en 10 is patiënt C gesimuleerd. De waarden uit tabel 9 zijn geplot in figuur 19.

E[x] Gemiddelde Minimum Maximum BI Start BI Einde

16 6,890 1 10 6,710 7,070

20 8,154 1 10 7,994 8,314

24 9,052 1 10 8,929 9,175

32 9,864 5 10 9,818 9,910

40 9,990 8 10 9,980 10,000

E[x] Gemiddelde Minimum Maximum BI Start BI Einde 16 0,086 -0,741 0,302 0,064 0,109 20 0,147 -0,744 0,333 0,129 0,164 24 0,196 -0,746 0,457 0,184 0,208 32 0,259 -0,335 0,499 0,252 0,265 40 0,360 0,148 0,818 0,349 0,370

Tabel 6: Overtijd Patiënt A

Figuur 17: Capaciteitsplot patiënt A

E[x] Gemiddelde Minimum Maximum BI Start BI Einde

16 7,362 1 10 7,189 7,535

20 8,504 1 10 8,359 8,649

24 9,430 2 10 9,340 9,520

32 9,956 7 10 9,933 9,979

40 9,996 9 10 9,990 10,002

Tabel 7: Maximum bedden Patiënt B

E[x] Gemiddelde Minimum Maximum BI Start BI Einde

16 0,157 -0,709 0,388 0,138 0,176

20 0,223 -0,712 0,483 0,210 0,237

24 0,274 -0,609 0,746 0,265 0,283

32 0,386 0,124 0,960 0,375 0,398

40 0,561 0,183 1,208 0,546 0,577

Figuur 18: Capaciteitsplot patiënt B

E[x] Gemiddelde Minimum Maximum BI Start BI Einde

16 7,798 1 10 7,629 7,967

20 9,054 2 10 8,934 9,174

24 9,692 5 10 9,626 9,758

32 9,986 7 10 9,972 10

40 10 10 10 10 10

Tabel 9: Maximum bedden Patiënt C

E[x] Gemiddelde Minimum Maximum BI Start BI Einde

16 0,250 -0,677 0,754 0,234 0,265

20 0,336 -0,566 0,804 0,324 0,348

24 0,428 0,108 1,040 0,416 0,441

32 0,670 0,153 1,372 0,650 0,689

40 0,967 0,330 1,930 0,945 0,989

Tabel 10: Overtijd Patiënt C

7

Conclusie

We hebben in deze scriptie gebruik gemaakt van Integer Linear Programming(ILP) bij het bepalen van een planning waarbij in rekening wordt gehouden met het aantal gebruikte bedden en in mindere mate de overtijd. We constateren dat het minimaliseren van het aantal gebruikte bedden extra overtijd levert. Het is aan het ziekenhuis te bepalen hoe het belang tussen deze twee graadmeters liggen. Van Houdenhoven et. al (2008) toonden al eerder aan dat het gebruik van een lange cyclus vergeleken met een korte cyclus positief werkt op de werkdruk. Dat zien we ook hier terug, waarbij de weekplanning te maken heeft met minder overtijd en minder werkdruk tijdens overtijd dan de dagplanning. Verder zien we dat bij deterministische aannames het LUMC een gemiddeld werkdag kan plannen met slechts drie operatiekamers en vijf bedden.

In sectie 6.2 worden de deterministische uitkomsten getest. Hier komt, zoals verwacht door het stochastische karakter van dit systeem, minder capaciteit uit. Allereerst is de dagplanning getest. Deze heeft een betrouwbaarheidsinterval voor het maximum benodigde bedden van net boven de 7, dus 8 bedden. In het ILP-model was verondersteld dat er 5 bedden nodig zijn. Er zijn dus 3 bedden meer nodig. Wel blijft de overtijd keurig onder de 30%.

In sectie 6.2.2 wordt de weekplanning gesimuleerd. Aangezien dit niet enorm veel afwijkt van de dagplanning, zien we hier geen onverwachte cijfers. Ook voor deze cyclus zijn 8 bedden minimaal een vereiste en blijft de overtijd ruim onder de norm.

In sectie 6.2.3 wordt het interessanter wat betreft het simulatie onderdeel. In het ILP-model was voor een dag vol gepland met respectievelijk patiënt A, B en C met 43, 33 en 27 operaties mogelijk.

In de simulatie komt naar voren dat bij het geval met patiënt A, het uiterste ergens tussen de 32 en de 40 patiënten moet liggen. Bij 40 patiënten wordt de overtijd overschreden en ligt het betrouwbaarheidsinterval van de benodigde bedden enorm dicht bij 10. Door onzekerheid kunnen er dus tussen de 3 en 11 patiënten minder geholpen worden.

Voor patiënt B geldt dat het uiterste ergens tussen de 24 en de 32 patiënten zal liggen, gezien de overschrijving van de overtijd en de BI van het maximum benodigde bedden. Dit is tussen de 1 en 9 patiënten minder dan het deterministische model had verondersteld.

Voor patiënt C zal het ergens tussen de 16 en de 20 patiënten, volgens dezelfde redeneringen als bij de vorige resultaten. Dit betekent dat tussen de 7 en 11 patiënten minder kunnen worden geholpen.

Er komt dus in dit onderzoek naar voren, dat het LUMC met haar vier operatiekamers en tien bedden, ruim genoeg zou moeten hebben voor de vraag naar scopie-operaties.

8

Discussie

Er zijn nog veel verbeterpunten op dit onderzoek mogelijk. Zo zijn er veel aannames gemaakt om het model niet enorm complex te maken.

• We zijn bijvoorbeeld vanuit gegaan dat iedere operatie van een half uur, drie kwartier, uur wordt als homogeen wordt gezien. Maar in de praktijk zullen verschillende soorten operaties andere risico’s met zich meedragen. Dit zou aan de hand van daadwerkelijke cijfers over operatieduur getest kunnen worden.

• Ook is aangenomen dat iedere operatie zomaar achter elkaar kan worden gepland. Het is aannemelijk dat voor verschillende operaties verschillende apparatuur nodig is. Aan-nemelijk is dan ook dat er enige tijd nodig is om de OK gereed te maken voor de nieuwe operatie.

• Een nog wel discutabele aanname is het altijd aanwezig zijn van genoeg dokters en zus-ters. In het dagelijks leven is geen dag hetzelfde en zullen er in de vakantieweken minder personeel aanwezig zijn. Het is aannemelijk dat er rustigere en drukkere planningen zouden worden gemaakt, naar de wetenschap hoeveel dokters aanwezig zijn.

• Een ook niet geheel onbelangrijk aspect is ook achterwegen gelaten; het kosten en opbrengsten plaatje. Een ziekenhuis is niet te vergeten een bedrijf met werknemers en zal niet langdurige verliezen kunnen draaien. Ook dit zou een rol kunnen spelen in welke operaties voorrang krijgen op andere in verband met een hogere marge.

• In de werkelijkheid zal ook de aankomsttijden van patiënten stochastisch zijn door reisvertraging of andere oorzaken. Patiënten kunnen ook niet op komen dagen waardoor je te maken krijgt met een zogeheten No-Show. Deze patiënten zou je kunnen beboeten, maar zullen altijd weer opnieuw moeten worden ingepland. Mocht hier data over bekend zijn kan dit worden verwerkt in het simulatiemodel met planningen.

• Er moet opgepast worden met de waarde van de resultaten uit de simulatie. Deze dienen enkel als hulpmiddel om beslissingen te maken, maar scheppen soms een soort werkelijkheid. Neem dit in overweging.

Verder vermoeden we dat het optimaliseren op overtijd ten koste gaat van de robuustheid van de planning. We forceren hierdoor immers dat operaties dichter bij elkaar moeten plaats-vinden, maar door onzekerheid zullen er extra bedden nodig zijn. Als vervolgonderzoek lijkt het ons interessant om een planning te vinden die volgens de simulatie het minste gemiddeld maximum benodigd aantal bedden heeft van alle mogelijke planningen.

Dankwoord

In dit dankwoord willen wij uiteraard iedereen bedanken die een bijdrage heeft geleverd aan de tot standkoming van deze scriptie.

Nicolaas van Dijk, we willen je graag voor de ondersteuning op de woensdagmiddag (of vaak zelfs avond) en het scherp houden van ons onderzoek. Dankzij jou hebben we de koers recht gehouden. Daarbij waren we zonder jou nooit in contact gekomen met Thomas, Rienk en Hayo.

Thomas Schneider, we willen jou enorm bedanken voor je tijd bij het LUMC. Zonder jou was er uberhaupt geen onderzoek geweest. Ook was het enorm fijn dat je een beter beeld bij ons hebt geschept wat precies het probleem is.

Systems Navigator, en in het bijzonder Hayo en Rienk. Rienk willen we enorm bedanken voor de gastvrijheid. En Hayo, bedankt voor je hulp bij de simulatie en voor de lekkere cake.

Bibliografie

1. F. Dexter, A. Macario, R. D. Traub, M. Hopwood, D. A. Lubarsky, An Operating Room Scheduling Strategy to Maximize the Use of Operating Room Block Time: Computer Simu-lation of Patiënt Scheduling and Survey of Patiënts’ Preferences for Surgical Waiting Time, Anesthesia & Analgesia, 89(1):7-20 (1999).

2. M. van Houdenhoven, J. M. van Oostrum, G. Wullink, E. Hans, J. L. Hurink, J. Bakker, G. Kazemier, Fewer intensive care unit refusals and a higher capacity utilization by using a cyclic surgical case schedule, Journal of Critical Care, Volume 23, Issue 2, 222-226 (2008). 3. J. van Essen, J. Bosch, E. Hans, M. van Houdenhoven, J. L. Hurink, Reducing the number of required beds by rearranging the OR-schedule, OR Spectrum, Volume 36, Issue 3, 585-605 (2014).

4. J. M. Nguyen, P. Six, D. Antonioli, P. Glemain, G. Potel, P. Lombrail, P. Le Beux, A simple method to optimize hospital beds capacity, International Journal of Medical Informa-tics, Volume 74, Issue 1, 39-49 (2005).

5. (2016, 14 maart), Minder geregistreerde verpleegkundigen. Verkregen op cbs.nl.

6. H. Anjomshoaa, I. Dumitrescua, I. Lustig, O.J. Smitha, An exact approach for tactical planning and Patiënt selection for elective surgeries, European Journal of Operational Re-search, Volume 268, 728-739 (2018).

7. B. Cardoen, E. Demeulemeester, J. Beliën, Operating room planning and scheduling: a lite-rature review., European Journal of Operational Research, Volume 201, 921-932 (2010).[5mm] 8. M. J. Persson, J. A. Persson, Analysing management policies for operating room planning using simulation, Health Care Management Science, Volume 13, Issue 2, 182-191 (2010). 9. J. Beliën, E. Demeulemeester, Building cyclic master surgery schedules with leveled resul-ting bed occupancy, European Journal of Operations Research, Volume 176, Issue 2, 1185-1204 (2007).