Hoofdstuk 5 Cirkels

Hoofdstuk 5:

Cirkels

V-1

a. met de x-as: met de y-as: 3 12 4 x x   4 12 3 y y   Dus (4, 0) en (0, 3) b. 3 4 12x12y 1 1 1 4x3y 1 c. 1

a is het snijpunt met de x-as en 1b het snijpunt met de y-as.

d. 4y  3x12 3 4 3 y   x V-2 a. 5y  6x15 b. 2 5x y 10 c. 71y  15x1 6x5y 15 1 1 25x10y 1 y  125x7 V-3 a. 20x28y 200 b. 20x16y 28 c. 4x2(2x 1) 7 20 15 15 43 215 5 3 x y y y x         20 15 30 2 2 3 x y y y x        1 2 4 4 2 7 2 7 2 3 x x geen oplossing y x        d. 8x12y 72 e. 2x3y 18 f. 1 3 2 4 1 x 4( x2) 10 12 17 16 17 17 80 4 1 y y x    samenvallend 1 2 1 2 1 3 8 10 4 18 4 1 x x x x en y        V-4 a. m: 2y 3x4 b. l: 4y 2x1 1 2 1 1 1 2 1 2 tan (4) tan (1 ) 20 y x          1 1 2 4 1 1 1 2 tan ( ) tan (3) 98 y x          c. 2 1 3 3 : 1 l y  x en 1 2 : 1 3

m y   x de hoek tussen de lijnen is 82°. het product van de richtingscoëfficiënten is -1 dus de lijnen staan loodrecht op elkaar. V-5 y  2x V-6 a. k: 2 1 5 15 y   x en 2 1 5 22 1

    dus ze staan loodrecht op elkaar

b. k: 1 4 1 5 y   x en l: 4 2 5 25 y  x 1 4 4 5 1 1

    , dus ook loodrecht c. l: 1 1

2 2

y  x en 1 2

V-7 a. 2 3 y   x b gaat door (3, -4) b. k: 3 1 8 18 y  x 2 3 2 3 4 3 2 2 b y x          2 3 2 2 3 3 2 8 2 2 2 y x b b         2 2 3 3 2 2 y   x c. 1 7 3 6 2 4 AB rico      en MAB(2, 4) 1 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 4 1 2 1 1 1 y x b b y x         V-8

a. de lijn door P loodrecht op l: y   x b 11 3 8 8 b y x         8 2 8 4 4 x x x x en y       2 2 ( 1) ( 15) 226 PS     b. 3 1 4 4 : 3 l y   x 1 1 3 3 3x4(1 x6 ) 13 12 2 16 2 4 25 25 5 ( ) ( ) PS    1 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 5 1 1 6 1 6 y x b b y x          1 1 3 3 1 1 3 3 9 12 25 25 3 5 25 13 8 12 1 4 x x x x en y         1 a. MQ x_P x_M  x 4 b. PQ y_P y_M  y 2 c. _MP2 _MQ2_PQ2 _(x4)2_(y2)2 d. de straal is 4, dus _MP2 _16 e. M’(1, 3) en straal 4: _(x1)2_(y3)2 _16

of: in _(x4)2_{(y 2)}2 _{16 de x vervangen door x3 en de y vervangen door} 1 y . 2 a. _{r AB 5}2_12 _{ 26 (x}₄₎2_(y ₂₎2 ₂₆ b. _{(3 4)} 2_{(3 2)} 2 _{26 klopt} c. _{DA 2}2_32 _{ 13, DB ( 3)} 2_22 _{ 13 en DC ( 2)} 2_{ ( 3)}2 _{ 13} d. _(x1)2 _y2 _13

3

a. M(3, 0) en r 3

b. Spiegelen in de y-as is hetzelfde als een vermenigvuldiging t.o.v. de y-as met factor -1: de x in de vergelijking vervangen door 1

1x x

   .

2 2

( x 3) y 9

c. de straal wordt 2 keer zo groot: _(x6)2_y2 _36

of 2 keer zo klein: 2 2 1 4 (x6) y 2

4

a. 65 8,06. De afstand van (7, 8) tot elk van de assen is kleiner dan de straal, dus er zijn vier cirkels mogelijk.

b. Stel: M(x, 0) Stel: M(0, y) 2 2 2 2 ( 7) ( 8) 65 14 113 65 14 48 ( 6)( 8) 0 6 8 MP x x x x x x x x x                  2 2 2 2 ( 7) ( 8) 65 16 113 65 16 48 ( 4)( 12) 0 4 12 MP y y y y y y y x x                  2 2 (x6) y 65 en _(x8)2_y2 _{65 x}2_(y4)2 _{65 en x}2_(y12)2 _65 5 a. M(4, -1) en r  26 b. _(x4)2_(y1)2 _x2_{8x16y}2_{2y 1 26} 2 2 _{8 2 9} x y  x y  6 a. _x2_{8x y} 2_{2y12 0 b. M(4, -1) en r  5} 2 2 2 2 8 16 2 1 12 16 1 0 ( 4) ( 1) 5 x x y y x y              7 a. _x2_y2 _{4y 9 b. x}2 _y2_{10x24y 0} 2 2 2 2 4 4 4 9 ( 2) 13 (0, 2) 13 x y y x y M en r           2 2 2 2 10 25 24 144 25 144 0 ( 5) ( 12) 169 (5, 12) 13 x x y y x y M en r              c. 2 2 1 2 3 0 x y  x y   d. _x2_y2_{2 3x4 2y 4 0} 2 1 2 1 1 1 1 4 4 2 4 4 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 3 2 2 0 ( 1 ) ( ) 2 (1 , ) 2 x x y y x y M en r               2 2 ( 3) ( 2 2) 7 ( 3, 2 2) 7 x y M en r      8

a. Vul (0, 0) in: het klopt.

b. P(1, 5): 1 25 2  a10b0 en Q(6, 4): 36 16 12  a8b0

uit 2a10b 26 volgt a 5b13

invullen in de tweede vergelijking: 12( 5 b13) 8 b 52

c. _x2_y2_{6x4y 0} 2 2 2 2 6 9 4 4 9 4 ( 3) ( 2) 13 (3, 2) 13 x x y y x y M en r             9 a. _x2_y2_{4x20y108 0} 2 2 2 2 4 4 20 100 4 100 108 ( 2) ( 10) 4 x x y y x y             

De som van twee kwadraten kan niet negatief zijn. b. _x2_y2_{px qy s  0} 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 4 4 4 4 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 4 4 ( ) ( ) x px p y qy q p q s x p y q p q s               2 2 1 1 4 4 2 2 1 1 4 4 2 2 0 4 p q s p q s p q s        10 a. _x2_{(3 )x} 2 _10 2 2 2 2 9 10 10 1 1 1 x x x x x x         b. (-1, -3) en (1, 3) 11 a. x2y 1 geeft x  2y 1 b. _{( 2 y1)}2_y2 _10 2 2 2 4 5 3 4 5 5 4 4 1 10 5 4 9 0 1 1 ( 2 ,1 ) (3, 1) ABC formule y y y y y y y en               12 a. _x2_(x2)2 _20 2 2 2 2 4 4 20 2 4 16 0 2( 2 8) 2( 4)( 2) 0 4 2 ( 4, 2) (2, 4) x x x x x x x x x x x en                     b. _{( 2 y5)}2_y2 _5 2 2 2 2 2 4 20 25 5 5 20 20 5( 4 4) 5( 2) 0 2 (1, 2) y y y y y y y y y             

c. _{( 3 y 14)}2_(y2)2 _80 2 2 2 2 9 84 196 4 4 80 10 80 120 10( 8 12) 10( 2)( 6) 0 2 6 (9, 2) ( 3, 6) y y y y y y y y y y y y en                    13 a. _(x5)2_(px)2 _x2 _{10x25p x}2 2 _(p2_1)x2_{10x25 9} 2 2 (p 1)x 10x16 0 b. _{D ( 10)}2_{ 4 (p}2_{ 1) 16 0} 2 2 36 64 3 3 4 4 100 64p 64 0 p p p         c. 9 16 10 1 5 2 1 3 x _  _en 3 1 2 4 35 25 y      1 2 5 5 (3 , 2 ) R  of 1 2 5 5 (3 , 2 ) R d. M(5, 0) 52 4 5 2 ₁ 3 1 1 MR rico   en 3 4 l

rico   product is -1, dus loodrecht

2 5 4 5 2 ₁ 3 1 1 MR rico     en 3 4 l

rico  product is -1, dus loodrecht 14 a. _x2_y2 _r2 2 2 2 2 2 2 2 y r x y r x y r x         b. _{u x( )r}2_x2 _{en f u( ) u} 2 2 1 2 '( ) 2 2 2 x f x x u r x       2 2 '( ) p p q r p f p      _{omdat f p( ) r}2_p2 _q 2 2 2 2 2 '( ) 1 2 x x g x r x r x        en '( ) p q g p  _

c. ricoOP  qp en het product van de richtingscoëfficiënten is gelijk aan -1: loodrecht.

15 a. 3 1 OP rico  _ b. 4 3 1 5 2 3 MP rico       c. 1 2 1 2 1 3 MP rico      1 3 1 1 3 3 1 1 3 3 3 1 3 3 y x b b y x          3 4 3 5 19 3 19 y x b b y x           3 1 3 2 5 3 5 y x b b y x          c. _x2_y2 _{2x4y  5 0} 2 2 2 2 2 1 4 4 5 1 4 ( 1) ( 2) 10 x x y y x y             16 a. _(x4)2_(y3)2 _5 b. 1 2 y   x b gaat door (4, 3)

1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 4 2 2 1 1 1 4 4 4 3 4 5 5 ( 4) ( 2) 5 8 16 2 4 5 1 10 15 1 ( 8 12) 1 ( 2)( 6) 0 2 6 (2, 4) (6, 2) b y x x x x x x x x x x x x x x x P en Q                               c. y 2x b d. y 2x b 4 2 2 0 2 b y x      2 2 62 10 10 b y x        17 _(x5)2_(mx1)2 _13 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 10 25 2 1 13 ( 1) (2 10) 13 0 (2 10) 4( 1) 13 4 40 100 52 52 0 48 40 48 (8 12)(6 4) 0 1 x x m x mx m x m x D m m m m m m m m m m m                                 De lijnen 1 2 1 y  x en 2 3

y   x raken aan de cirkel 18 a. _x2_(mx4)2 _{2x6(mx4) 15} 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 4 8 16 2 6 24 15 ( 1) ( 2 14 ) 25 0 ( 2 14 ) 4( 1) 25 4 56 196 100 100 0 96 56 96 (3 4)(32 24) 0 1 x m x mx x mx m x m x D m m m m m m m m m m m                                    b. 1 3 1 4 y   x en 3 4 4 y  x 19 a./b. _(x7)2_y2 _x2 _{14x49y}2 _{49 geeft x}2_{14x y} 2 _0 5 7 14 24 1 x x     c. 5 2 2 7 (1 ) y 24 2 3 49 3 3 49 49 21 21 21 y y y      A(1 ,75  21 )493 en B(1 , 21 )57 493 20 a. 4x 1 13 b. 6x18y 70 50 c. _x2_{2x 1 y}2_1 2 4 12 3 4 2 2 x x y y y        2 2 2 6 18 120 3 20 ( 3 20) 50 10( 12 35) 0 x y x y y y y y              2 2 1 3 8 16 2 2 8 14 6 14 2 x x y x x x x         (3, -2) en (3, 2) (y5)(y 7) 0 1 2 2 3 (1 ) y 1 5 7

y   y  geen oplossing en dus (5, 5) en (-1, 7) geen snijpunten.

21 a. 10 12 x4y30 2 2 2 2 2 2 2 4 12 40 3 10 ( 3 10) 9 60 100 10 10 60 90 10( 6 9) 10( 3) 0 3 y x y x x x x x x x x x x x x                        P(3, 1) b. 1 3 OP rico  3 1 3 3 10 y x b b        raaklijn: y  3x10 c. _x2_{12x36y}2_{4y  4 30 36 4 } 2 2 1 2 1 3 6 3 ( 6) ( 2) 10 MP x y rico         d. 2 1 6 3 OM rico   22 l M P1 en l M P2 , dus l M M1 2 23 a. inwendig: _(x2)2_y2 _{9 en uitwendig: (x8)}2_y2 _9

b. De straal moet dan op de lijn 3 4

y  x Als 3

4 ( , )

P x x het middelpunt is van de gevraagde cirkel dan moet 1 2 2 PR  2 2 3 2 1 4 4 2 9 2 1 1 16 2 4 2 2 9 1 3 9 9 16 2 4 16 16 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 2 4 ( 4) ( 3) 6 8 16 4 9 6 1 12 18 1 ( 8 12) 1 ( 2)( 6) 0 2 6 ( 2) ( 1 ) 6 ( 6) ( 4 ) 6 PR x x x x x x x x x x x x x x x y en x y                                24 a. OAPA en OBPB 2 2 2 _{25 4}2 ₉ 3 PA OP OA PA PB        b. _(x5)2_y2 _9 c. _x2_{10x25y}2 _9 1 5 16 10 16 10 32 3 x x x        2 6 25 2 19 25 2 2 5 5 10 16 5 2 2 B A y y y y        d. 25 1 5 2 0 ₁ 3 3 5 1 a _{ }  52 1 5 2 0 ₁ 3 3 5 1 a _{ }    1 2 3 3 1 2 3 3 0 1 5 6 1 6 b y x        1 2 3 3 1 2 3 3 0 1 5 6 1 6 b y x         

25 a. _{OP  ( 6)} 2 _22 _{ 40 en OA r  20} 2 2 2 2 2 2 2 40 20 20 ( 6) ( 2) 12 36 4 4 20 12 36 4 4 20 12 4 40 0 3 10 AP x y x x y y x y x y x y y x                         2 2 2 2 (3 10) 20 10 60 80 0 10( 6 8) 10( 2)( 4) 0 2 4 ( 2, 4) ( 4, 2) x x x x x x x x x x en                     raaklijnen: 1 2 5 y  x en y  2x10 b. _{c x:} 2 _y2_{2x6y  x}2_{2x 1 y}2_{6y 9 (x1)}2_(y3)2 _25 2 2 1 7 50 MP    en AM 5 dus _AP2 _x2_(y4)2 _25 2 _{2 1} 2 _{6 9} 2 2 _{8 16} 2 6 10 8 16 7 3 x x y y x y y x y y x y                  2 2 2 ( 7 3) ( 4) 25 50 50 25 25 50 ( 1) 0 y y y y y y           0 1 ( 3, 0) (4, 1) y y en       raaklijnen: 1 3 1 4 y   x en 3 4 4 y  x c. OA 65 en 12 2 1 2 4 6 13 211 OP    dus 2 1 2 2 1 2 4 ( 6 ) ( 13) 146 AP  x  y  2 1 2 1 2 2 4 4 13 42 26 169 146 65 13 26 65 65 2 10 x x y y x y x y x y                  2 2 2 ( 2 10) 65 5 40 35 0 5( 1)( 7) 0 y y y y y y           1 7 (8,1) ( 4, 7) y y en     raaklijnen: y  8x65 en 4 2 7 97 y  x 26 M(0, p) 2 2 2 2 2 2 1 4 2 1 2 9 4 16 ( , ) 5 5 (5 ) 5 ( 5) 25 (5 ) 10 25 25 25 10 1 ( 1 ) 1 r p d M N p p p p p p p p p x y                      27

a. _{(1 4)} 2_{(0 5)} 2 _{34, ja punt A ligt op de cirkel.}

b. _{( 1 4) } 2_{  ( 1 5)}2_{41 34}

c. _{(10 4)} 2_(y5)2 _34 2

(y 5)  2 heeft geen oplossingen: dus nul punten gemeenschappelijk d. _{(1 4)} 2_(d5)2 _34 2 ( 5) 25 5 5 5 10 0 d d d         

28

a. omdat de straal naar het raakpunt (en dus ook PA) loodrecht staat op de raaklijn. b. _{PM  (5 4)}2_{(3 3)}2 _{ 9}2_62 _{ 117 3 13}

c. AP MP MA 3 13 13 2 13

d. _{QM  (5 7)} 2_{(3 3)} 2 _{2 en dus is d Q c( , )QB MB MQ   13 2}

29

a. _{(7 5)} 2_{  ( 2 3)}2 _{169 25 : P ligt buiten de cirkel.}

2 2

( 5 7) (3 2) 13

PM        en dus d P c( , )PM r 13 5 8 

b. _{( 3 5) } 2_{(4 3)} 2 _{ 5 25: P ligt binnen de cirkel.}

2 2

( 5 3) (3 4) 5

PM        en dus d P c( , ) r PM  5 5

c. _{( 1 3) } 2_{  ( 6 3)}2 _{25 289 : P ligt binnen de cirkel.}

2 2 (3 1) ( 3 6) 5 PM         en dus d P c( , ) r PM 17 5 12  30 a. d c c( ,1 2)NP b. d c c( ,3 4)TV 31 a. M1(-2, 3) en M2(5, -3) 2 2 1 2 1 2 ( 1, 2) (3 3) ( 2 5) 3 2 2 2 85 5 2 d c c M M   r r         

b. In een plaatje is te zien dat de cirkels elkaar lijken te raken.

2 2 _{2 2 6} x y   x y en _x2 _y2 _{4x4y6} 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 4 4 6 6 6 12 2 (2 ) 2 2(2 ) 6 4 4 2 4 2 2 4 8 6 2( 2 1) 2( 1) 0 1 x y x y x y x y x x x x x x x x x x x x x x x                                 het raakpunt: (1, 1) 32 2 2 1: 24 119 c x y  y  

_x2_(y12)2 _{25 is een cirkel met middelpunt (0, 12) en straal 5.}

Cirkel c2 ligt buiten cirkel 1.

1 2 2 2 2 2 2 2 4 12 5 3 4 144 12 0 : 9 MN r r p p p c x y            

33 a. m: 5x4y  7 b. zie plaatje. c. 4 4 5 5 : 3 l y   x 4 4 1 1 5 5 5 5 1 1 5 5 2 2 5 4( 3 ) 5 3 15 7 8 8 1 (1, 3) ( , ) ( 3 1) ( 2 3) 5 41 5 x x x x x x P d l c                    34 a. m: 3x4y  13 b. m: 3x4y 0 3 1 4 4 3 1 1 3 4 4 4 4 2 2 4 3 13 3 4 3( 3 ) 9 6 18 0 3 ( 3, 1) ( , ) 4 3 6 5 6 y x y x x x x x P d l c                   3 4 3 1 4 4 2 2 4 3( ) 6 50 8 (8, 6) ( , ) 8 6 4 6 y x x x x x P d l c          c. De loodlijn door M(3, 5) is 1 3 5 55 y   x 3 1 5 5 3 1 5 5 5 1 13 13 5 5 5 5 1 5 x x x x en y       2 5 2 1 13 13 ( , ) (3 1 ) (5 5 ) 2 0,04 d l c       

De lijn snijdt de cirkel!

35 Deze lijnen moeten de cirkel met middelpunt (0, 0) en straal 3 raken! y ax b moet door (-5, 0) gaan: y ax5a

2 _{( 5 )}2 ₉

x  ax a  heeft slechts één oplossing

2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 4 2 2 2 9 16 3 3 4 4 10 25 9 (1 ) 10 (25 9) 0 100 4 (1 ) (25 9) 100 (100 64 36) 64 36 0 x a x a x a a x a x a D a a a a a a a a a a                              36 a. _{PA AM}2 _MP2 _{ BM}2_MP2 _{PB want AM} _BM

b. Er ontstaan twee rechthoekige driehoeken ARQ en BRQ waarvan de loodlijn QR gemeenschappelijk is en de schuine zijden AQ en BQ ook aan elkaar gelijk zijn. Met de stelling van Pythagoras volgt dan dat AR BR (R is het midden van AB). 37 a. b. 2 2 5 1 0 AB rc   

  . Middelloodlijn van AB: x 2

2 2

3 1 1

AC

rc  

  Middelloodlijn van AC: y   x b en gaat door (1, 0)

1

y   x Snijpunt M(2, -1)

c. M ligt op de middelloodlijn van AB: AM BM en M ligt op de middelloodlijn van AC: AM CM . Hieruit volgt dat BM AM CM , dus dat M op de middelloodlijn van BC moet liggen.

d. _{r AM  (2 1)}2_{   ( 1 2)}2 _{ 10}

2 2

(x2) (y 1) 10

38

a. middelloodlijn van AB: x2

middelloodlijn van BC: 3 1

1 5 1

BC

rc  

   , dus y  x b en gaat door (3, 1) y  x 2 M(2, 0) en straal _{AM  (2 1)}2 _{(0 1)}2 _{ 10: (x2)}2_y2 _10 b. 5 3 3 1 2 AB rc       . Richtingscoëfficiënt is 1 2 en gaat door (-1, 1): y  12x112 6 3 4 1 3 AC rc     . Richtingscoëfficiënt is 1 3  en gaat door 1 1 2 2 (2 , 1 ): 1 1 3 23 y   x 1 1 1 1 2 2 3 3 5 5 6 6 2 2 2 2 1 2 1 2 (1 1) (2 3) 5 ( 1) ( 2) 25 x x x x en y r AM x y                   39 M(a, b) 2 2 2 2 ( 2 ) ( 0) AM  a a  b  a b , _{BM  (a0)}2_{(b2 )b} 2 _{ a}2_b2 _en 2 2 OM  a b 40 a. 4 0 1 3 5 2 AD rc     , 4 0 3 5 2 BD rc      en 1 2 2 1 AD BD rc rc      , dus loodrecht. 3 0 4 5 3 AE rc      , 3 0 1 4 5 3 BE rc       en 1 3 3 1 AE BE rc rc     

b. omdat ADB90 ligt D op de cirkel met middellijn AB: _x2_y2 _25

c. _AEB_90_{, dus E ligt ook op de cirkel met middellijn AB.}

d. AD x: 2y  5 AE: 3x y  15 : 3 5 2 5 3 5 5 10 2 1 S S BE x y y y y y en x          : 2 10 2 (3 15) 10 5 5 1 12 C C BD x y x x x x en y          

e. omdat _SEC_{ }SDC _90 _{liggen E en D op de cirkel met middellijn SC.}

Het middelpunt is (-1, 7) en straal 5: _(x1)2_(y7)2 _25

41

a. sin( ) PQ AP

PAQ

  , dus PQAPsin(PAQ)

b. sin( ) PR AP

PAR

  , dus PR APsin(PAR) en omdat PAQ PAR is PQ PR

c. De overstaande zijden zijn gelijk en de schuine zijde is gemeenschappelijk. De sinus van de hoeken zijn gelijk, dus de hoeken zijn gelijk.

42

a. D ligt op de deellijn van A, dus d D AB( , )d D AC( , ) en D ligt op de deellijn van B

 , dus d D BA( , )d D BC( , ). Hieruit volgt dat d D AC( , )d D BC( , ) en dus ligt D op de deellijn van C.

b. de afstand van D tot de zijden is gelijk. 43

a. _{AC 3}2_42 _{5 en P(2, 0)}

b. VAPC is gelijkbenig. De loodlijn uit de tophoek is de bissectrice van de tophoek. c. De bissectrice van hoek C is x0.

midden van PC is N(1, 2) : 2 3 AN x y   ofwel 1 1 2 12 y  x M(0, 1 2 1 ) d. 1 2 1 r OM  2 1 2 1 2 4 ( 1 ) 2 x  y   44 a. 1 2 45 ABM Opp_V  AB r  r , 1 1 2 582 BCM Opp_V  BC r  r en 1 1 2 582 ACM Opp_V  AC r  r b. 1 2 2 2 90 117 45 4860 ABC Opp_V     

c. OppVABC OppVABM OppVBCM OppVACM

4860 162 30 r r  

d. OppVABC OppVABN OppVBCN OppVACN

1 1 1 2 2 2 1 3 4860 90 (60 ) 117 117 2700 162 162 2160 13 r r r r r r               45 _{MN  5}2_x2 _{ 25x}2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 5 25 5 8 25 10 25 25 64 10 25 14 25 1,96 23,04 4 AN x x x x x x x x x                  46 a. _{MA 4}2_42 _{4 2} (x1)2(y3)2 32

b. A’(-3, -1): _{( 3 1) } 2_{  ( 1 3)}2 _{20 32 dus A’ ligt binnen de cirkel.}

c. A” ligt op de cirkel want MA MA "

d. _{( 1 2 3 1)  } 2_{(3 2 5 3) } 2 _{(2 3)}2_{(2 5)}2 _{12 20 32  : op de cirkel.} e. rcAM. 3 1 1 3 1 1 3 4 4 AM rc y x b b y x               

47 a. 4x3y25 0 1 1 3 3 3 4 25 1 8 y x y x    

De richtingscoëfficiënten zijn gelijk, dus ze zijn evenwijdig. b. loodlijn door de oorsprong: 3

4 y   x 3 1 1 4 3 3 1 1 12 3 1 8 2 8 4 3 x x x x en y        

De afstand tussen k en l is de afstand tussen (0, 0) en (-4, 3). En die 5.

c. m met k: m met l: 1 3 1 3 7 1 25 0 8 25 3 4 x x x x en y        4(7 25) 3 25 0 25 75 3 4 y y y y en x        

d. de afstand tussen k en l is 5, dus de straal van de cirkel is 1 2 2 .

Het middelpunt ligt precies in het midden van (3, 4) en (-4, 3): 1 1

2 2 ( , 3 ) M  2 2 1 1 1 2 2 4 (x ) (y3 ) 6 48 a. k y: ax4 en _{c x: ( 2)}2_y2 _4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 ( 2) ( 4) 4 4 4 8 16 4 (1 ) (8 4) 16 0 (8 4) 4 (1 ) 16 64 64 16 64 64 64 48 0 x ax x x a x ax a x a x D a a a a a a a                                 3 4 3 4 1 3 4 0 4 5 S x x x      b. _(x2)2_(px)2 _4 2 2 2 2 2 2 16 16 9 (1 ) (1 ) p OA p p      2 2 2 2 2 2 4 4 4 ((1 ) 4) 0 4 4 1 1 A A x x p x x p x p x en y px p p             2 2 2 2 2 7 9 1 3 16(1 ) 9(1 ) 16 9(1 ) 7 p p p p p        49 a. ja

b. ja, omdat de vier bissectrices van de hoeken door één punt gaan. c. ja

d. omdat de vier middelloodlijnen van de zijden door één punt gaan.

e. De deellijnen van de hoeken gaan door één punt, dus elke ruit heeft een ingeschreven cirkel. De ruit heeft geen omgeschreven cirkel.

f. Zowel de parallellogram als de vlieger hebben geen omgeschreven en geen ingeschreven cirkel.

50

a. de diameter is: _{PR  (13 1)} 2_{(17 1)} 2 _20

de straal is 10 en het middelpunt is het midden van PR: (7, 9)

b. _{(1 7)} 2_{(y 9)}2 _100 17 1 1 13 1 13 PR rc     2 ( 9) 64 9 8 9 8 1 17 P S y y y y y            3 4 3 3 4 4 3 3 4 4 : 17 1 17 17 l y x b b y x           c. 3 3 1 1 4x 174 13x 3     1 1 12 12 6 17 25 25 2 18 8 11 x x en y    Van S(1, 17) naar 17 6 25 25 (8 , 11 )

M en dan evenveel naar 9 12

25 25 (16 , 5 ) Q 51 a. _x2_{ ( 2x 2 1)}2 _1 2 2 2 2 2 4 5 4 2 5 5 ( 2 1) 4 4 1 1 5 4 (5 4) 0 0 (0, 2) ( , ) x x x x x x x x x x x                b. middelloodlijn van AD is 5 6 x

middelloodlijn van AB staat loodrecht op m (dus 1 2 rc ) en gaat door 9 1 10 5 ( , ) 1 2 9 1 1 1 5 2 10 4 1 1 2 4 y x b b y x         

Het middelpunt van de cirkel zou dan M 5 1

6 6 ( , ) 2 2 1 1 1 6 6 6 ( ) ( ) 2 MD MB MA      en 7 2 1 2 1 1 30 30 18 6 ( ) ( ) 2 MC    

Test jezelf

T-1 a. _(x2)2_{(y 7)}2 _12 b. _x2_y2_{4y 10} 2 2 2 2 4 4 14 ( 2) 14 x y y x y       

Het middelpunt is (0, 2) en straal 14. T-2 a. _{(2y 5 4)}2_(y2)2 _{10 c. (x4)}2_(px2)2 _10 2 2 2 4 4 1 4 4 10 5 5 1 1 ( 1, 3) (1, 7) y y y y y y y             2 2 2 2 2 2 2 2 8 16 4 4 10 (1 ) ( 8 4 ) 10 0 ( 8 4 ) 4(1 ) 10 0 24 64 24 0 x x p x px p x p x D p p p p                       b. 5 2 3 4 3 MP rc      8(3p1)(p3) 0

De raaklijn heeft richtingscoëfficiënt 1

3 3 p   p 1 3 en gaat door P(3, 5) 1 3 1 3 1 3 5 3 4 4 y x b b y x         T-3 a. _(x3)2_{(y 2)}2 _{17 ( 2 y2)}2_y2 _{ 4( 2y2)} 2 _{6 9} 2 _{4 4 17} 4 6 4 4 2 4 4 2 2 x x y y x x y x y x y                2 2 2 1 5 4 8 4 8 8 0 5 16 12 0 (5 6)( 2) 0 1 2 y y y y y y y y y y                  2 1 5 5 ( , 1 ) (2, -2) b. MR RP 2 2 _{85 17 68} PR  MP MR   

De cirkels c2 en (x10)2(y8)2 68 snijden elkaar in R.

2 2 2 2 1 1 6 3 6 9 4 4 17 20 100 16 64 68 14 12 100 1 8 x x y y x x y y x y y x                   2 1 1 2 6 3 2 2 13 7 1 13 7 1 36 9 9 36 9 9 2 ( 3) ( 1 8 2) 17 9 1 14 40 17 2 20 32 0 85 748 1156 0 x x x x x x x x                 

Deze vergelijking oplossen met de ABC-formule geeft 4 5 2 6 x  x R(2, 6) en 4 2 5 5 (6 , ) R 8 6 1 10 2 4 1 1 4 2 1 1 4 2 6 2 5 5 y x b x b b y x             en 8 0,4 3 10 6,8 8 3 3 8 4 3 3 8 4 2 8 2 10 15 2 15 y x b x b b y x             

T-4 a. _x2_{4x y} 2_{6y 3 0} 2 2 2 2 4 4 6 9 16 ( 2) ( 3) 16 x x y y x y          

Het middelpunt is (2, -3) en straal 4.

b. _{d R c( , )RM r  (2 8)} 2_{  ( 3 1)}2 _{ 4 2 13 4} c. _{d S c( , ) r SM  4 (2 1)} 2_{   ( 3 1)}2 _{ 4 5} d. _x2_y2 _{6x2y  1 0} 2 2 2 2 6 9 2 1 9 ( 3) ( 1) 9 x x y y x y           2 2 ( , ) ( 3 2) ( 1 3) 29 d M N        

De cirkels snijden elkaar, dus de afstand is 0 T-5 a. _{AB (5 4)}2_{  ( 1 2)}2 _{3 10, BC  (4 5)} 2_{(6 1)}2 _{5 2 en} 2 2 (4 4) (6 2) 4 5 AC      b. 1 2 1 5 4 3 AB rc   

   . Middelloodlijn van AB heeft een richtingscoëfficiënt van 3 en gaat door 1 1 2 2 ( , ): y 3x1 6 2 1 4 4 2 AC rc  

  . Middelloodlijn van AC heeft een richtingscoëfficiënt van -2 en gaat door (0, 4): y  2x4 3 1 2 4 5 5 1 2 x x x x en y        De omgeschreven cirkel: _(x1)2 _{(y 2)}2 _25 T-6

a. de middelloodlijn van OA is x4 en die van OB is y 3: M(4, 3)

2 2

4 3 5

r OM    en dus omgeschreven cirkel: _(x4)2_(y3)2 _25

b. I heeft afstand 2 tot de zijden OA en OB.

3 4

AB

rc   . De lijn door I met richtingscoëfficiënt 1 3 1 wordt: 1 2 3 3 1 y  x . 3 1 2 3 3 4 1 2 12 3 3 1 5 5 1 6 2 6 3 3 x x x x en y        En ook 1 2 3 2 5 5 ( , ) (3 2) (3 2) 2 d I AB      c. ingeschreven cirkel: _(x2)2_{(y 2)}2 _4 T-7 a. 2 3 2 4 (x1)  ( x 5 2) 25 2 9 2 1 16 2 2 9 1 16 2 2 9 1 2 16 2 1 10 49 25 1 12 25 0 ( 12 ) 4 1 25 0 x x x x x x D               

b. 21 9 16 12 2 1 4 x _  en y 2

c. De lijn door M loodrecht op k snijdt m in het raakpunt

1 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 2 1 4 3 1 3 y x b b y x          2 1 1 2 3 3 2 7 2 5 7 9 9 9 2 5 7 2 9 9 9 ( 1) (1 3 2) 25 2 1 1 3 1 25 2 5 22 0 x x x x x x x x              

Met de ABC-formule volgt x   2 x 4

Het andere raakpunt is (-2, -6).

3 4 3 1 4 2 3 1 4 2 6 2 7 7 y x b b y x              T-8 _(x2)2_{(y 1)}2_{ 4 (x1)}2_(y2)2_10 2 _{4 4} 2 _{2 1 4} 2 _{2 1} 2 _{4 4 10} 6 6 6 1 x x y y x x y y x y y x                  2 2 2 2 2 ( 2) ( 1 1) 4 4 4 4 2 4 2 ( 2) 0 0 2 x x x x x x x x x x x                 De coördinaten van P(0, -1) en Q(2, 1) Het middelpunt ligt ook op de middelloodlijn van PQ: y   x 1

2( 1) 13 3 15 5 4 x x x x en y         De cirkel wordt: 2 2 (x5) (y4) 34 T-9 PM d P c( , ) r 8 MQPQ, dus is _{PQ 8}2_42 _{4 3} 4 3 8 sin(QMP) en dus is _QMP _60_. 4 3 4 16 3 MRPQ Opp    en 2 2 2 3 4 103 cirkelsegment Opp      2 3 16 3 10 61,2 Opp   

Extra oefening – Basis

B-1

a. _(x3)2_{(y 2)}2 _17

b. _x2_{2x y} 2_{6y  x}2_{2x 1 y}2_{6y   9 1 9 0}

2 2

(x1) (y 3) 10: cirkel met middelpunt (1, -3) en straal 10. c. _x2_{2x y} 2_{6y15x}2_{2x 1 y}2_{6y 9 15 1 9 0  }

2 2

(x1) (y 3)  5 en de som van twee kwadraten kan niet negatief zijn. B-2 a. 3x5y 18 2 2 2 3 ( 1 y  6 2) (y1) 17 2 3 3 5 18 1 6 x y x y       2 2 7 1 9 3 2 7 1 7 1 9 3 9 3 2 13 16 2 1 17 3 11 (3 11 ) 0 y y y y y y y y           0 3 y   y 

De snijpunten van c en l zijn: (6, 0) en (1, 3)

b. 2 1 1

2 2 4

MP

rc    

  . Dus richtingscoëfficiënt raaklijn is -4 en gaat door (-2, -2):

4 10 y   x B-3 a. _(x4)2_(y2)2_{ 4 (x2)}2_{(y 3)}2_1 2 _{8 16} 2 _{4 4 4} 2 _{4 4} 2 _{6 9 1} 4 2 4 2 2 x x y y x x y y x y y x                  2 2 2 2 2 4 5 3 4 5 5 ( 4) (2 2 2) 4 8 16 4 16 16 5 24 28 (5 14)( 2) 0 2 2 (2 , 3 ) (2, 2) x x x x x x x x x x x x                     b. _{PN  (2 3)} 2_{(3 5)} 2 _{ 5, dus PR 5r}2 _2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2) ( 3) 1 ( 3) ( 5) 4 4 4 6 9 1 6 9 10 25 4 2 4 18 2 9 x y x y x x y y x x y y x y x y                            2 2 2 2 2 4 5 ( 2 9 2) ( 3) 1 4 28 49 6 9 1 5 34 57 (5 19)( 3) 0 3 3 y y y y y y y y y y y y                      De raakpunten zijn: 2 4 5 5 (1 , 3 ) en (3, 3) en de raaklijnen: 3 3 4 24 y  x en y 3. B-4 a. 2 2 1 ( , ) 8 ( 6) 18 10 3 2 d P c PM r       b. _x2_y2_{16x8y 8 x}2_{16x64y}2_{8y 16 8 64 16 0   } 2 2 2 ( 8) ( 4) 72 ( , ) 6 2 6 x y d Q c r QN        

c. de lijn door M loodrecht op l: y   x 3 2 2 2 2 2 ( 4) ( 3 1) 18 8 16 8 16 18 2 16 14 2( 1)( 7) 0 1 7 A x x x x x x x x x x x x                      De loodlijn snijdt l in B(0, 3). 2 2 ( , 1) (0 1) (3 2) 2 d l c AB     d. 2 2 1 2 1 2 ( , ) ( 8 4) (4 1) 3 2 6 2 13 9 2 d c c MN r  r          B-5 0 6 1 12 0 2 AB rc      5 6 2 3 0 33 AC rc       2 y   x b gaat door (-6, 3) 3 11 y  x b gaat door 1 1 2 2 (1 , ) 3 2 6 9 2 9 b y x          3 1 1 1 2 11 2 11 3 1 11 11 1 b y x       3 1 11 11 3 1 11 11 2 9 2 9 4 1 x x x x en y          

Het middelpunt is (-4, -1) en de straal _{MA 4}2_72 _{ 65 : (x}₄₎2_(y ₁₎2 ₆₅

B-6

a. AB AC5. Driehoek ABC is gelijkbenig. De loodlijn uit de tophoek deelt de tophoek middendoor.

b. 4

2 2

BC

rc   . Lijn l heeft richtingscoëfficiënt 1 2  en gaat door (3, 0) 1 1 2 2 : 1 l y   x

De bissectrice van AOB is y  x

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 N N x x x x en y       c. _(x1)2_(y1)2 _1

Extra oefening – Gemengd

G-1 a. 3x4y27 0 _x2_{4x y} 2_{2y 4} 3 3 4 4 4 3 27 6 y x y x     2 2 2 2 4 4 2 1 9 ( 2) ( 1) 9 x x y y x y          

b. De lijn door M(2, 1) loodrecht op l is: 1 2

3 3 1 3 y   x 3 3 1 2 4 4 3 3 5 1 12 12 6 1 3 2 10 5 3 P P x x x x en y         2 2 ( , ) (2 5) (1 3) 3 5 3 2 d l c PM r          G-2 a. _x2_{4x16 16 0 } ( 4) 0 0 4 x x x x      b. A(2, 0), B(0, 4) en C(4, 4)

middelloodlijn van BC is x2 en die van AB is 1 2 y  x b en gaat door (1, 2): 1 1 2 12 y  x . Het middelpunt is 1 2 (2, 2 ) M en de straal 1 2 2 : 2 1 2 1 2 4 (x2) (y2 ) 6 G-3 a. 6x 4 2y4 2 2 2 2 2 3 4 (3 4) 6 4 9 24 16 6 4 10 30 20 10( 1)( 2) 0 1 2 (1, 1) (2, 2) y x x x x x x x x x x x x x x Q en P                       b. 2 2 2 2 1: 6 ( 3) 5 c x y  x x y  2 2 2 2 2: 2 ( 1) 5 c x y  y  x  y  M1(3, 0) en M2(0, 1) 1 2 0 2 3 2 M P rc      _en 2 2 1 1 2 0 2 M P rc  

  _{en hun product is -1, dus loodrecht op elkaar.}

G-4 a. de loodlijn op l door M(2, -3): y 2x7 1 1 2 2 1 1 2 2 5 2 7 2 12 5 3 x x x x en y        2 2 ( , ) (5 2) (3 3) 20 3 5 2 5 5 d l c MP r          b. _(x2)2_{(2x 7 3)}2 _20 2 2 2 4 4 4 16 16 20 5 20 5 ( 4) 0 x x x x x x x x           0 4 x  x  : snijpunten (0, -7) en (4, 1) Lijn k heeft richtingscoëfficiënt 1

2

 en gaat door (-1, -9): 1 1

2 92

G-5 a. b. d I OA( , ) 4 12 5 5 1 12 2 5 12 1 5 12 2 49 1 60 2 4 7 13 13 2 2 9 7 13 13 6 6 2 6 2 5 (3 ) ( 1 ) 4 OB rc y x x x x x en y IR               12 1 9 3 3 1 4 2 3 1 2 1 3 3 4 2 1 1 12 6 1 2 5 5 2 2 1 2 5 5 1 1 18 2 19 9 6 (3 ) (2 ) 4 AB rc y x x x x x en y IR                 c. _(x6)2_{(y 4)}2 _16 G-6 a. _(x10)2_y2 _45 2 2 2 2 20 100 45 20 100 25 20 100 45 20 80 4 x x y x y x x x x              2 2 16 25 9 3 3 (4, 3) (4, 3) y y y y A en B        

b. _( ,m NA) 90_  _{en ( ,l MA) 90} _{. Draai de figuur 90° rechtsom, dan valt de rode}

hoek op de groene hoek. c. Neem P(4, 0) 4 3 tan( ) MP AP MAP    dus _MAP_53,13 6 3 tan( ) NP 2 AP NAP     dus _NAP _63,43 (MA NA, ) 180 MAN 180 53,1 63,4 63        

Uitdagende opdrachten

U-1 a. BR x: 4 12 4 3 OB rc   . Vergelijking AQ: 1 1 3 33 y   x 1 1 3 4 33 2 H y      H(4, 2) b. middelloodlijn op OA: x5 middelloodlijn op OB: 1 3 y   x b en gaat door (2, 6): 1 2 3 63 y   x 1 2 3 5 63 5 M y      M(5, 5) c. 1 1 2 2 (4 , 3 )

G en de middens van de zijden zijn MOA(5, 0), MAB(7, 6) en MOB(2, 6)

2 2 1 1 1 2 ( 3 )2 22 2 OA GM     , ₁2 ₁2 ₁ 2 2 2 2 2 2 2 AB GM    en 2 2 1 1 1 2 2 2 ( 2 ) (2 ) 2 2 OB GM    

d. De straal van de omgeschreven cirkel is _{OM  5}2_52 _{5 2 en dus twee keer zo}

groot.

e. 1 2 1 2 1

2 2 2

OP: 1 2 y  x en AQ: 1 1 3 33 y   x 1 2 1 2 2 20 2 20 8 4 P P x x x x en y       1 1 3 3 1 1 3 3 3 3 3 3 1 3 Q Q x x x x en y       P: 1 2 1 2 1 2 2 2 (8 4 ) (4 3 ) 12 Q: 1 2 1 2 1 2 2 2 (1 4 ) (3 3 ) 12 R: 1 2 1 2 1 2 2 2 (4 4 ) (0 3 ) 12

f. M_OH(2,1), M_AH(7,1) en M_BH(4, 7) voldoen aan de middelpuntsvergelijking. U-2 a. _x2_y2_{12x16 ( x6)}2_y2_{20 0 ofwel: (x6)}2_y2 _20 2 2 _{4 16} 2 _{( 2)}2 _{20 0} x y  y x  y   ofwel _x2_{(y 2)}2 _20 2 2 2 2 2 4 16 12 16 3 8 (3 8) 12 16 9 48 64 12 16 10 60 80 10( 2)( 4) 0 2 4 y x y x x x x x x x x x x x x x x                        4 0 4 2 1 4 6 4 0 2 1 2 (4, 4) 2 2 1 MA NA A rc  en rc             b. raaklijn staat loodrecht op de straal.

c. _MN2 _MA2_NA2

d. onderzoek of de stelling van Pythagoras voldoet zoals in c.

e. (x2)2(y4)2  x24x 4 y2 8y 16 x2y24x8y20 10 2 2 2 2 4 8 30 10 2 5 ( 2 5) 5 20 25 10 5( 4 3) 5( 1)( 3) 0 1 3 x y x y y y y y y y y y y y                        Ze snijden elkaar in ( c1: middelpunt M(0, 0) en straal 10 c2: middelpunt N(2, 4) en straal 10 2 ₂2 ₄2 ₂₀ MN    en _MA2_NA2 _{10 10 20  : Ja, loodrecht!} U-3 a. 1 3 1 OA rc  

raaklijn in A heeft richtingscoëfficiënt 3

4 en gaat door A(-3, 4): y  34x641

3 1 4 4 3 1 4 4 1 3 6 0 6 8 P x x x       3 1 4 6 2 3 1 2 4 4 2 9 3 1 16 8 16 ( 3, 4) : 6 ( 6 ) 25 1 9 14 0 B PB y x x x x x             0 D dus er is één raakpunt b. De punten C en D liggen op de lijn x5.

1 1 1 3 3 2 : 13 : 5 2 :1 PCD PAB h_V h_V   De vergrotingsfactor is 1 2 2 p