Hoofdstuk 7:
De afgeleide.
V_1. a. richtingscoëfficiënt 1 2 1 en het ‘startgetal’ is 5. b. 1 2 : 1 5 l y x c. 1 2 : 4 k y x d. 1 2 : 1 11 m y x V_2.a. Voer in: y10,5x2 en kijk in de tabel.
b.
c. De x-coördinaten verschillen 6. c. De y-coördinaten verschillen dan 3. d. Het verschil tussen de x-coördinaten is 4. e. Dat kun je zien aan de richtingscoëfficiënt.
Als de x 1 groter wordt, neemt de y met 0,5 toe. V_3. a. b. 2(0,6x 3) x 5 d. y 0, 4x b 1, 2 6 5 2, 2 11 5 0 x x x x en y 14 0, 4 22 8,8 22,8 0, 4 22,8 b b b y x c. l y: 1, 2x12 V_4.
a. Als de x 4 groter wordt, wordt de y 3 groter. Dus als de x-coördinaat met 1 toeneemt, wordt de y-coördinaat 3
4 groter.
b.
c. m y: 0, 75x6 V_5.
a. Voor beide fietsers is de gemiddelde snelheid over het hele traject 45
3 15km/u.
b. Fietser A heeft de hele rit met een constante snelheid gereden.
c. Fietser B is in het begin sneller gegaan en aan het eind minder snel dan A. d. Fietser A ging toen harder, omdat de grafiek van A steiler is.
e. De grafieken zijn dan even steil.
Verschuif de grafiek van A evenwijdig op naar de grafiek van B. Op tijdstip 1,5 fietsen ze beiden met dezelfde snelheid.
V_6.
a. f(1) 15 1 10 25 en 1
(1) 20 1, 25 25
g
b. De grafiek van f stijgt sneller. c. De grafiek van g gaat sneller stijgen.
x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 x 0 1 4 8 10 y 6 6,75 9 12 13,5
d. Voer in: y115x10 en 2 20 1, 25 x
V_7. a.
b. Voor 0 x 4 is p x( )q x( )
c. De grafiek van p(x) daalt constant en de grafiek van q(x) daalt steeds langzamer.
d. q(1) 1 1 en 1 1
2 2
(1) 1 1
r e.
f. De grafiek van q(x) daalt daar sneller.
g. De grafieken van p(x) en r(x) dalen even snel, maar op het interval 1, wel sneller dan q(x).
V_8. a. 1 2 2x 2x 2 2x4 2 2 1 1 1 2 4 6 2( 8 12) 2( 2)( 6) 0 2 6 (2, 0) (6, 8) x x x x x x x x en b. 1 2 1 2 2 (4) (4 2) 4 2 f c. 1 2 2(x2) 2x6 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 6 4 8 ( 8 16) ( 4) 0 4 x x x x x x x x x Er is maar één oplossing. x 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 p(x) q(x) r(x)
1.
a. De grafiek is het steilst in het 6e uur: van t5 tot t6 uur.
b. Van 5 tot 6 uur is de temperatuur met 2,5o toegenomen.
c. Dan is er sprake van een afname.
d. Om 7 uur is de temperatuur 2oC. (linker grafiek). In de volgende uren neemt de temperatuur
toe met 2oC en 1oC. De temperatuur om 8 uur is 4oC en om 9 uur 5oC.
2. a. b.
c. Phil was op z’n 9e verjaardag 126 3 6 144 cm.
3. Voer in: y2 y x1( )y x1( 1) en kijk in de tabel.
a. b. c.
4. f(x) is een steeds sneller (exponentieel) stijgende (g1) functie: toenamediagram C. g(x) is een steeds langzamer stijgende functie: toenamediagram B.
h(x) is een lineaire functie. De afname is constant: toenamediagram A.
k(x) is een kwadratische functie. De toename wordt gelijkmatig steeds groter: diagram D. 5.
a. Titia is 15 13 10 9 8 55 cm gegroeid.
b. We weten nog niet hoe lang Titia was toen ze werd geboren. c. De staafjes worden steeds kleiner.
d. 112 55 57 cm.
e. De staafjes worden steeds 1 cm kleiner: 7, 6, 5, 4 en 3 cm. Ze groeit in die vijf jaar 25 cm. Toen ze 10 was, was ze 137 cm lang.
6.
a. De grafiek loopt tussen de 30e en de 40e minuut steiler.
b. Dan legt hij in elke minuut dezelfde afstand af. De grafiek is een rechte lijn. c. s(15) 3,95 . Na 15 minuten heeft de wielrenner ongeveer 3949 m afgelegd.
d. s(30)s(15) 10,631 . Van de 15e tot de 30e minuut legt de wielrenner ongeveer 10631 m
af. e. (30) (15) 10,631 30 15 15 0,71 s s km/minuut. f. 0,71 60 42,5 km/uur. g. (40)40 35(35) 60 55,6 s s km/uur leeftijd in jaren 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 toename in cm 21 16 8 9 8 7 x 0 1 2 3 4 5 6 toename R 2 2 2 2 2 2 x 0 1 2 3 4 5 6 toename K -2 -1,6 -1,3 -1,0 -0,8 -0,7 x 0 1 2 3 4 5 6 toename h 5 3 1 -1 -3 -5
7. a. f(9) f(1) 6 2 4 b. gemiddelde toename is 4 8 0,5 c. 6 2 4 9 1 8 0,5 a
d. gemiddelde toename over het interval
(4) (1) 24 1 3
1, 4 : f f
e. Je deelt dan ook de toename van y door de toename van x. 8. a. f(1) 6, 25 en f(4) 1 b. Vy f(4) f(1) 1 6, 25 5, 25 c.
1, 4 5,253 1,75 y x 9. a.
(45) (30) 28,25 14,58 13,67 45 30 15 15 30, 45 s s 0,91 f x b. Je deelt de afgelegde afstand in het derde kwartier door 15 minuten. 10.
a. De lijn door de punten (1, -3) en respectievelijk (2, 0), (3, 1) en (4, 0) loopt steeds minder steil.
b. De lijn tussen de punten 1 3 2 4
(3 , ) en (4, 0) loopt steiler naar beneden. Het differentiequotiënt op het interval
1
2
3 , 4 is dus kleiner.
c. Vanwege de symmetrie in de lijn x3 is het differentiequotiënt over het interval
3, 4 gelijk aan -1. 11. a.
0 2 (2) (0) 0, 2 0 2 0 y f f x b. Als het differentiequotiënt over een interval 0 is dan is de functiewaarde gemiddeld genomen over dat interval niets toegenomen of afgenomen. Hier geldt dus f(2) f(0) c. Bijvoorbeeld:
2, 4
of
3,5
.12.
a. De grafiek gaat dan als een rechte lijn verder. b. Hij komt na ongeveer 58 minuten aan.
c. (30,001)0,001 (30) 0,864
f f
v
km/min. 13.
a. Na t6 verloopt de grafiek van de auto als een rechte lijn.
b. De grafiek gaat door de punten (7, 60) en (9, 90). Dus in 2 seconden wordt een afstand van 20 meter afgelegd. De snelheid is 10 m/s.
c. Er is geen periode aan te wijzen waarin de bromfiets 0 meter aflegt.
d. De bromfiets legt in 8 seconden 80 meter af. De snelheid van de bromfiets is 10 m/s. e.
0,3 12 0 4 3 0 s t m/s.14.
a. De lijn gaat door de punten (2, -1) en (4, 3). De richtingscoëfficiënt is 3 1
4 2 2 a . b.
2,25 1 4,5 2, 25 f x
1,0625 0,5 4, 4.5 2,125 f x
0,2025 0,1 4, 4.1 2, 025 f x
0,020025 0,01 4, 4.01 2,0025 f x c. Ja. Het differentiequotiënt komt steeds dichter in de buurt van 2. 15. a. 150 54 96 10 2 8 12 AB a
b. Dat is de richtingscoëfficiënt van de lijn AD.
c. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is ongeveer 24. d.
2, 2.001
(2,001)0,001(2) 23,09985 s s s t e. De helling op t2 is waarschijnlijk 24. 16. a. h
2;2, 000001
9,999995 t b. Die conclusie is juist. c. h
1,1.001
19,995 t de snelheid na één seconde is 20 m/s. d. h
5,5.001
20,005 t de snelheid na 5 seconden nis -20 m/s. e. De snelheid is negatief, dus de pijl gaat naar beneden.
17.
a. Na 10 minuten is de afstand ongeveer 3,5 km en na 30 minuten ongeveer 8 km. Haar gemiddelde snelheid was 30 108 3,5 0, 225
km/min (ongeveer 13,5 km/u).
b. Na 60 minuten heeft Ineke 15 km afgelegd. Haar gemiddelde snelheid was in die periode gemiddelde snelheid 15 8
60 30 0, 233km/min (ongeveer 14 km/u).
c. Omdat de grafiek tussen t30 en t60 vrijwel lineair is haar snelheid vrijwel constant. d. Omdat in deze periode de grafiek geen rechte lijn is.
e. De lijn gaat ongeveer door de punten (15, 5) en (30, 10). De helling daarvan is 10 5
30 15 0,33.
Haar snelheid op tijdstip t15 was ongeveer 0,33 km/min, ofwel 20 km/u.
f. Teken zo nauwkeurig mogelijk de raaklijn aan de grafiek in het punt t80. De helling van die lijn (snelheid van Ineke op dat moment) is ongeveer 0,09 km/min (5,4 km/u)
18. a. f
1,1.1
6,62 x
1,1.01
6,0602 f x
1,1.001
6,006002 f x
1,1.0001
6,00060002 f x b. Het differentiequotiënt nadert 6. c. f
1,1.000001
6x
d. Ja.
19. a. f
9,9.01
0,3332 x
9,9.001
0,3333 f x
9,9.0001
0,33333 f x b. Het differentiequotiënt nadert bij x9 naar 13.
c. -20.
a. De grafiek is symmetrisch in de y-as. In punt (-1, 1) is de helling -2 en in punt (-3, 9) is de helling -6.
b. f
0;0,001
0,001 x
. Het differentiaalquotiënt in (0, 0) nadert 0; de helling in (0, 0) is 0. c. In het punt (-2, 4). 21. a. Top 1 3 2 8 (2 , 6 ) b. Voer in: 2 1 1,5 7,5 3 y x x en y0 nDeriv y x x( , , )1 en kijk in de tabel. c. d. Bij x8,5 is de helling 18. e. In de top is de helling gelijk aan 0. 22.
a. Voer in: 3 2
1 3
y x x en kijk in de tabel bij y0. De helling in (1, -2) is -3.
b. In de punten (-4, -112) en (6, 108) is de helling gelijk aan 72. c. In (0, 0) en (2, -4) is de helling 0.
d. De grafiek van B heeft bij x0 en x2 een uiterste waarde (een top). 23. a. Op de grafiek van f: f(1) 3 1 2 12 9 en op de lijn:y 6 1 15 9 b. f
1;1,001
6,003 6 x c. f
1,001; 1
6 x 6 9 6 1 6 15 6 15 y x b b b b y x 24. a. f
2;2,001
14,994 x . De helling van de grafiek van f in (2, -46) is -15.
46 15 2 30 16 15 16 b b b y x b. f
3;3,001
0,009 x . De helling in (3, -54) is 0.c. De lijn loopt horizontaal (helling is 0) en gaat door (3, -54).
x f(x) hellin g -2 24 -13,5 -1 12 -10,5 0 3 -7,5 1 -3 -4,5 2 -6 -1,5 3 -6 1,5 4 -3 4,5
d. In (-3, 54) loopt de raaklijn ook evenwijdig met de x-as. e. In (-2, 46) is de helling van de raaklijn ook -15.
25.
a. De hellingen zijn steeds 2 keer zo groot als de x-waarden. b. De helling in het punt waarbij x5 is 2 5 10 .
c. De helling is 2 10 20.
c. De helling in het punt ( ,x x2) is 2x.
d. 2x7 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 4 3 (3 , (3 ) ) (3 ,12 ) x 26. a. De exacte helling in (-5, 25) is 2 5 10. b. f '(7) 2 7 14 . c. df (2,9) 2 2,9 5,8 dx d. 2x9 1 2 4 x In 1 1 2 4
(4 , 20 ) is de helling gelijk aan 9. 27.
a. De richtingscoëfficiënt van deze lijn is 1.
b. f '( 2) f '(3) 1 De helling in elk punt is gelijk aan 1. c. f x'( ) 1
28. a./b.
De waarden van g(x) zijn 3 keer zo klein als die van de hellingen. c. f x'( ) 3 x2 d. f '(10) 3 10 2 300 e. f x'( ) 75 2 2 3 75 25 5 5 ( 5, 125) (5, 125) x x x x en 29.
a. Voer in: y1 x4, y0 nDeriv y x x( , , )1 en
3
2 4
y x en ga na dat de kolommen onder y2 en y0
gelijk zijn. b. g x'( ) 10 x9 x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=x3 27 -8 -1 0 1 8 27 f’(x) 27 12 3 1E-6 3 12 27 g(x)=x2 9 4 1 0 1 4 9
30. a. f x'( ) 4 x3 en de helling in (1, 1) is f '(1) 4 . b. g x'( ) 20 x19 en de helling in (-1, 1) is g'( 1) 20. c. f x'( ) 108 3 3 4 108 27 3 x x x
In (3, 81) is de helling gelijk aan 108.
31.
a. 4
'( ) 5
f x x en f '(2) 80
b. y80x b gaat door het punt (2, 32) 32 80 2 160 128 80 128 b b b y x
c. f x'( ) 0 voor alle waarden van x dus f is stijgend. 32.
a. f x'( ) 3 x2 en g x'( ) 6 x5.
In (1, 1) is de helling van f gelijk aan 3 en die van g is 6.
b. 1 3 2 4 '( ) f en 1 3 2 16 '( ) g . c. 3x2 6x5 Voer in: 2 1 3 y x en 5 2 6 y x intersect: x0,79 33. a.
80 20 4 2 2, 4 30 s t ; de steen valt dan met een gemiddelde snelheid van 30 m/s. b. s'(3) 10 3 30 . Op tijdstip t3 valt de steen met een snelheid van 30 m/s. 34.
a.
b. Door een vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor 3.
c. Voer in: y1 x2 en y0 nDeriv y x x( , , )1 voor de
hellingen.
d. Die is drie keer zo groot: g'(1) 3 e./f. g x'( ) 3 f x'( ) 3 2 x6x 35.
a. Door de grafiek van f 7 omhoog te verschuiven. b. Door de verschuiving verandert de helling niet. c. h x'( ) f x'( ) 2 x. 36. a./b. s'( 2) f '( 2) j'( 2) 4 12 8 en s'(1) f '(1) j'(1) 2 3 5 c. s x'( ) f x'( ) j x'( ) d. v x'( ) f x'( ) j x'( ) x y 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 g(x) f(x)
37. a. f x'( ) 20 3 x2 60x2 d. h p'( ) 2,5 4 p3 10p3 b. f x'( ) 3 x2 e. s t'( ) 10 4 t3 40t3 c. g t'( ) 2,5 2 t 5t f. s t'( ) 5 7 t6 4 4t3 35t616t3 38.
a. De grafiek van f is een rechte lijn met helling -4. In elk punt van de grafiek van f is de helling dus -4.
b. df 4
dx
c. De grafiek van g is een horizontale lijn op hoogte 5. De helling van g in elk punt is 0. d. g x'( ) 0 39. a. f x'( ) 5 c. k x'( ) 1 b. g x'( ) 0 d. m x'( ) 8 40. a. f x'( ) 12x5 f '(1) 7 b. g x'( ) 15x416x g'(1) 31 c. h x( ) (2 x6)(5x 1) 10x228x6 h x'( ) 20 x28 h'(1) 8 d. k x( )x2(5x3) 5 x2x5 k x'( ) 10 x5x4 k'(1) 5 e. l x( ) (7 x2)2 49x228x4 l x'( ) 98 x28 l'(1) 70 f. m x( ) ( x21)(5x 8) 5x38x25x8 m x'( ) 15 x216x5 m'(1) 4 41. a. 4 0,5x 3 6,75x
Voer in: y10,5x43 en y2 6,75x intersect: x0, 45 x2, 21
b. f x'( ) 6,75 c. f x'( ) 16 1 3 3 3 2 6,75 3,375 3,375 1,5 (1,5; 5,53) x x x 3 3 2 16 8 2 (2,11) x x x 16 11 16 2 32 43 y x p p p p 42. a. L t'( ) 0,027t en B t'( ) 0, 05 '(0) 0
L en B'(0) 0,05, dus op tijdstip t0 krimpt het in de breedte sneller dan in de lengte. b. L t( )B t( ) 2 2 0,0135 60 60 0,05 0,0135 0,05 0,0135 ( 3,7) 0 0 3,7 t t t t t t t t
c. L t'( )B t'( ) 0,027 0,05 1,85 t t
Na ongeveer 1,9 maanden krimpt de plaat in de lengte en de breedte even snel. 43. a. 2 '( ) 2 0 f x x b. 2x2 32 0 x 2 16 4 4 x x x c. 1 1 2 2 '( 1 ) 4 f 44. a. f x'( ) 3 b. f x'( ) 2x 4 c. f x( )x2(x3x)x5x3 f x'( ) 5 x43x2 d. f x( ) ( x2)(2x13) 2 x29x26 f x'( ) 4 x9 e. f x( ) (3 x1)(1 3 ) x 9x21 f x'( ) 18x f. f x( ) 3x42x 6x5 f x'( ) 30x4 g. g x( ) ( x2)217x24x13 g x'( ) 2 x4 h. f x( ) ( x24)(x2 3) x4x212 f x'( ) 4 x32x 45. a. b. 2 1 2 6 3 x x x 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 6 3 (2 1)( 3) 0 6 ( , 2 ) (6, 0) x x x x x x en c. f x( )g x( ) voor 1 2,6 x d. 1 2 2x 6 1 2 1 4 2 6 3 x x e. Voor 1 4 3
x stijgt de grafiek van f sneller dan de grafiek van g. 46. a. 2 2x3x 2 2 3 3 2 (3 2) 0 0 x x x x x x b. Voer in: 1 2 x
y en schakel deze functie uit.
Voer in: y2 2x en y0 nDeriv y x x( , , )1 intersect: x0, 485 x3, 212
47.
a. De helling is 1 2.
b. Teken de raaklijn aan de grafiek van f in (4, 0). De helling is ongeveer -3.
x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
c. De helling in (-1, 0) is ongeveer 1.
d. Schuif de raaklijn in (1, 2) evenwijdig op totdat deze weer de grafiek van f raakt. Dat gebeurt in punt (7, -1).
48.
a. f(0) 7 (0, -7)
b. De raaklijn gaat door (0, -7) en snijdt de y-as dus op hoogte -7. c. f x'( ) 14x32,5
'(0) 2,5 a f
Controle: Plot de grafiek van f. 2nd PRGM (DRAW) optie 5 (TANGENT) x0
49.
a. A(2) 40 km. b. A t'( ) 9 t220t28
'(0) 28
A Aan het begin van de tocht reed hij met een snelheid van 28 km/u. c. A'(2) 24 Aan het eind van de tocht reed hij met een snelheid van 24 km/u. d. Zijn gemiddelde snelheid over de hele tocht is 20 km/u
2 2 9 20 28 20 9 20 8 0 0,52 1,70 ABC formule t t t t x x
Na 31 minuten tot 1 uur en 42 minuten was zijn snelheid lager dan 20 km/u. 50. a. 5 1 5 1 : 1 AB 1 4 4 1 1 3 3 1 : 1 AC AD:3 12 1 2 1 4 2 1 1 1 : 4 AE
b. De helling wordt groter naarmate het tweede punt dichter bij A komt. c. f
1,1.01
20 x d. f
1,1.0001
200 x e. De raaklijn aan de grafiek van f in punt A loopt verticaal. f. De helling bestaat niet (oneindig groot).
T_1.
a. De temperatuur heeft een maximum als het toenamediagram van positief (een stijging) overgaat in negatief (een daling):
Dit gebeurt tussen 50 en 60 km hoogte. b.
De temperatuur op 30 km hoogte is -30oC.
c. T_2.
a. R(15)R(13) 320 duizend euro.
En als alle machines draaien: R(16)R(13) 423 duizend euro. b.
320 2 13,15 160 R Q duizend euro per
machine;
423 3 13,16 141 R Q duizend euro per machine. c. 1 bijplaatsen: R
16,17
R(17) R(16) 57Q
duizend euro per machine.
2 bijplaatsen:
16,18
(18) (16) 31 2R R R
Q
duizend euro per machine.
3 bijplaatsen:
16,19
(19) (16) 3 3 R R R Q duizend euro per machine.
d. De weekopbrengst bij 19 machines is lager dan die bij 18 machines. T_3. a.
1 2 0, 4 2 s t m/s. b. s
4, 4.0001
4, 0625 t m/sc. Dit is een benadering van de snelheid van Jur op tijdstip t4. d. Na 60 seconden: s
60,60.0001
6,6 t en na 100 seconden:
100,100.0001
6,64 s t e. Die liggen dicht bij elkaar. Hij reed op die tijdstippen vrijwel even hard. T_4.
a. f x'( ) x 3 en f '(2) 1 .
b. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn in (2, 4) is 1. c. df (3) 0
dx d. f '(5) 2
2
y x b gaat door het punt 1 2 (5, 2 ): 1 2 1 2 1 2 2 2 5 10 12 2 12 b b b y x h (in km) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 T (in oC) 0 -50 -60 -30 0 5 -15 -40 -70 -65 -35 -10 30 80 130 toename -50 -10 30 30 5 -20 -25 -30 5 30 25 40 50 50
T_5. a. k'(5) 4 5 3 500 b. k'( 2) 4 ( 2) 3 32 c. 4t3 108 3 27 3 t t
In (3, 81) is de helling gelijk aan 108.
d. In (2, 16) is de helling tegengesteld aan de helling in (-2, 16) omdat de grafiek symmetrisch is in de y-as. T_6. a. p x'( ) 8 x7 b. d p'( ) 40 p4 c. f x'( ) 2x19 d. s t( ) (4 ) t 2 4 16t24 s t'( ) 32 t e. h t( ) (2 3 ) t 2 t 4 12t9t2 t 9t211t4 h t'( ) 18 11 t f. N t( ) (3 t5)(3t 5) 9t225 N t'( ) 18 t g. A u'( ) 1 h. h r'( ) 2 r T_7. a. 2 0 45 4,9 0 h t b.
45 3,03 (3,03) (0) 0;3,03 14,85 3,03 h h h t m/s 2 4,9t 45 c. h t'( ) 9,8t 2 9,18 3,03 t t s '(1) 9,8 / '(2) 19,6 / '(3) 29, 4 / h m s h m s h m s d. h'(3, 03) 29, 7m/s e. h t'( ) 14,85 9,8 14,85 1,52 t t s T_8. a.b. Er gaan twee raaklijnen aan de grafiek van f die door (0, 0) gaan.
c. De functiewaarden moeten aan elkaar gelijk zijn (snijpunt) en de hellingen ook (raken).
d. f x'( ) x a 2 1 2 2 1 2 2 4 4 8 2 2 2 2 a a a a a a a x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 8 10 12 14 16 -2
