H7: Periodieke functies

(1)

Hoofdstuk 7:

Periodieke functies.

V-1. _AD_ ₆2__{( 20)}2 _{ en}₄ _BC _ ₇2__{( 20)}2 _ ₆₉ V-2. 8 9 cos Q  17 1,5 tan D  sin65o  MN₁₅ 15 cos65o SN 2 2 27 9 8 17 Q PR      o 70 D   o _MN __13,59 _SN __6,34 V-3. a. Ongeveer 18o_C.

b. Het bereik: verschil tussen de hoogste en laagste temperatuur. c. De gemiddelde jaartemperatuur is ongeveer 10o_C.

d. ongeveer 14o_C. V-4.

a. maximum is 4,6 en het minimum -3,9

De evenwichtsstand: 0,34 en de amplitude: 4,25

De preiode (van minimum tot minimum) is ongeveer 13 uur.

b. Alleen de evenwichtsstand daalt met 75 cm. Amplitude en periode blijven gelijk. c. Vermenigvuldigen met 1,2

d. De periode en de evenwichtsstand blijven gelijk. De amplitude wordt 5,1

1.

a. Omtrek2 1 2   meter. b. 2 seconden.

c. Ongeveer wel. De stip zit dan helemaal links. d. Na een kwart omwenteling: 1 1

42  2 seconden.

2.

a. Helemaal rond is 360o_{. De stip heeft dan een afstand afgelegd van}₂_{ .} Als de afstand 1

4 is, dan is de hoek 18360 45

o o

b. 5 5

12  242 , dus ook 245 360 75

o o

c. Werk met een verhoudingstabel: : 180 2 : 360 x x         o o d. _x__1: _180 __57,30o (rad) 180   o

(2)

3.

4. 5.

a. Het eerste tijdstip is na  seconden en het tweede tijdstip na 2 seconden.

b. Na 1 2

1  seconden bevindt P zich op het laagste punt. c. De periode is 2 seconden. 6. a. 1 6    b. 1 1 6 1 2 sin( ) h h OP h      c. 1 3 sin( ) 0,87 h   7. a.

b. Er zijn nu twee perioden getekend.

c. 1

2

sin( ) 1 en sin() 0

8.

a. zie hierboven bij opgave 7.

b. 1 1 1 1

2 2 2 2

( 1 ,1), ( , 1), ( ,1) en (1 , 1) c. De grafiek is puntsymmetrisch in (0, 0) d. bijvoorbeeld van 0 tot 3 .

9.

a. domein: ¡

b. De symmetrieassen zijn de lijnen door de toppen: 1 2 2 x  en 1 2 101 x   . c. Punten van symmetrie zijn de nulpunten: (3 , 0), (34 , 0)  en ( 53 , 0)  d. Eén periode is 2 . Er passen dus 1000

2 500 perioden in het interval



0 , 1000 en



1000

2 159 perioden in het interval



0 , 1000



.

e. 1 2 (1 ) 1 f    f( 2 ) 0   f(5 ) 0  1 2 (9 ) 1 f    1 2 ( 6 ) 1 f     f(18 ) 0  10. a. _CD_ ₂2_₁2 _ ₃ b. 1 3 1 3 2 2 sin( ) CD 3 AC     c. 1 1 6 2 sin( ) AD AC    11. a. 1 4 tan( ) QR 1 PQ QR     b. _PR _ ₁2_₁2 _ ₂ c. 1 1 1 2 2 1 4 ₂ ₂ ₂ 2 2 sin( )     2 hoek in graden 0 30 45 60 90 180

hoek in radialen (exact) 0 1

6 14 31 12  hoek in graden 6 15 57 60 115 107 172 hoek in radialen 0,1 0,26 1 1,05 2 1,87 3 x y  2 0,5 1 -0,5 -1 x y  2 - -2 0,5 1 -0,5 -1

2 a

a a a 2a

3 a

(3)

12. a. 1 1 1 6 6 2 sin(2 ) sin( ) b. 1 1 1 6 6 2

sin( ) sin( )  (symmetrisch in (0, 0))

5 5 1

6 6 2

sin(7 ) sin(1 )  (periode is 2 )

13. a. 5 1 6 2 sin( 1 ) d. 1 2 sin(4 ) 1 g. 3 1 4 2 sin(2 ) 2 b. 1 1 4 2 sin(1 )  2 e. 1 1 3 2 sin(2 ) 3 h. 1 1 4 2 sin( 1 ) 2 c. 2 1 3 2 sin( )  3 f. sin( 3 ) 0   i. 1 1 6 2 sin( 7 ) 14. a. 1 1 3 1 2 cos( ) a a OP a      b. Dan is de uitwijking 1 2  . c. 1 6 cos( ) 0,87 en 5 6 cos( ) 0,87 d. 15.

a. Bart heeft gelijk.

b. 1

2

1  naar rechts verschuiven. c. 1

2 naar rechts of 212 naar rechts; 112 naar links.

16.

a. Door de grafiek van f 1 omhoog te verschuiven.

b. Door een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met factor 2.

c. Spiegelen in de x-as komt overeen met een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met factor -1: y   1 cosx

17. 18. a. symmetrisch in de lijn x0. b. 2 1 3 2 cos( )  (puntsymmetrisch in 1 2 ( , 0)) c. 1 1 2 1 3 3 3 2

cos(3 ) cos(1 ) cos( ) 

19. a. 5 1 6 2 cos( 1 ) 3 d. 1 2 cos(3 ) 0 g. 3 1 4 2 cos( 1 ) 2 b. 1 1 4 2 cos(1 )  2 e. 1 1 3 2 cos( 2 ) h. 3 1 4 2 cos(2 )  2 c. 2 1 3 2 cos( )  f. 2 1 3 2 cos(3 ) i. 1 1 6 2 cos(5 )  3 x 0 1 2 23  161 12 113 216 cos(x ) 1 0 21 -1 12 3 0 1 2  1 2 3 radiale n 0 16 14 31 12 sinus 0 1 2 21 2 21 3 1 cosinus 1 1 2 3 21 2 1 2 0

(4)

20. a. 1 2 cos( )x   2 2 1 3 2 3 13 x   x     b. 1 2 cos( )x  2 1 1 3 4 2 4 14 x   x       c. cos( ) 1x  x0  x2 d. 1 2 cos( )x   3 5 5 1 6 2 6 16 x   x       e. cos( ) 0x  1 1 1 2 2 2 12 x   x     f. 1 2 sin( )x  2 1 1 3 4 4 4 x   x     g. sin( ) 0x  x0  x  x 2 h. 1 2 sin( )x   3 1 1 1 3 3 13 x    x       1 2 3 3 1 1 x   x   i. sin( ) 1x  1 2 x  21. a.

b. De nulpunten, (0,0), ( , 0) en (2 , 0) , veranderen niet. c. _{f x}_{( ) sin( )} _x Vx as , 3 _y _{3 sin( )}_x  2omlaag _y _{3sin( ) 2}_x 

d. _{f x}_{( ) sin( )} _x  2omlaag _y _{sin( ) 2}_x  Vx as , 3 _y _{3(sin( ) 2) 3 sin( ) 6}_x   _x  22.

a. alleen de evenwichtsstand verandert en ligt 3 lager: y   4 cos( )x .

b. de amplitude verandert en wordt 4 keer zo groot en de evenwichtsstand komt bij 12

y  : y    4( 3 2sin( )) 12 8 sin( )x   x

23.

evenwichtsstand amplitude bereik

a. f x( ) 2 3 sin( )  x y 2 3



1, 5



b. f x( )  3 8cos( )x y  3 8



11, 5



c. f x( ) 10 3 sin( )  x y 10 3



7 , 13



d. f x( ) 17 20cos( ) x y  17 20



37 , 3



e. f x( ) 0,3 0,7cos( )  x y 0,3 0,7



0.4 ,1



f. f x( ) 24 cos( )  x y 24 1



23 , 25



24.

a. f x( ) 5 6 sin( )  x of f x( ) 5 6cos( )  x of f x( ) 5 6 sin( )  x b. _{f x}_{( ) sin( )} _x Vx as , 1   _y _{sin( )}_x   3omlaag _y _{sin( ) 3}_x 

c. 2 omhoog: minimum is 1 en maximum is 3

gespiegeld in de lijn y  1: maximum is -3 en minimum is -5

25. a. 2 rechts verschoven. b. (-1, 0) c. 1 6 ( ,1) d. 1 3 c   

(5)

26.

a. De periode van de grafiek verandert.

b. Voor 0 b 1 wordt de periode groter dan 2 en voor b1 wordt de periode kleiner dan 2 . c. d. periode 2 b   of b 2 periode   27. 28. a. 2 2 3 3 p_  _ _ _a. _{(-3, 1)} b. 1 4 2 ₈ p_  _ _ b. 1 2 ( , 0) c. _p 2 ₂    c. ( 5 , 1)  d. p 0,12 20 d. (25, 0) 29. a. 3 8 2 1 3 5 b     b. 2 1 10 5 b_  _ _ 30.

a. amplitude: 3; evenwichtsstand: y 4; periode: 2 ; beginpunt: (2, 4) b. amplitude evenwichtsstand periode beginpunt

h(x): 1,5 y  1 2 2 3  3 (0, 0.5) k(x): 55 y 100 2 (20, 100) m(x): 0,75 y 0,25 2 0,2 10 (0, 1) n(x): 45 y 900 2 (100 , 945) 31. amplitude: 4 periode: 1 2 2 1 3 1 1    evenwichtsstand: y 2 beginpunt: (3, 6) 32. a. maximum: 1 4 ( , 3) en 1 4 (1 , 3) minimum: 3 4 ( , 3) en 3 4 (1 , 3) b. max: (0, 14), (2, 14), (4, 14) en (6, 14) min: (1, -2), (3, -2) en (5, -2) c. maximum: 1 2 (1 , 5) minimum: 1 2 ( , 9) d. maximum: ( , 4) minimum: 1 3 ( , 2) en 2 3 (1 , 2) 33.

a. maximum is 20 en het minimum -10 de evenwichtsstand is dan 20 10 2 5  _ b. de amplitude: 20 10 2 15  _

c. Van top tot top is 80 (periode): 2 1 80 40 b_  _ _ d. 1 40 ( ) 5 15cos( ) f x   x

e. De grafiek alleen 3_{periode naar rechts opschuiven:}_{f x}_{( ) 5 15 sin(}  1 ₍_x₆₀₎₎

x y 0,5  1,5 2 2,5 3 -0,5 1 -1 b 2  2 3 15 period e  2 3 10

(6)

34. a. maximum is 2 en minimum 0: 2 0 2 1 d _  _ _en 2 0 2 1 a_  _ periode is  : _b 2 ₂ 

  en een beginpunt voor de sinus is 1 3 ( , 1) 1 3 ( ) 1 sin(2( )) f x   x  b. maximum is 600 en minimum -100: 600 100 2 250 d _  _ _en 600 100 2 350 a_  _ de periode is 52: 2 1 52 26

b_  _ __{en een beginpunt voor de cosinus is (0, 600)} 1 26 ( ) 250 350cos( ) f x   x 35. a. 1,252 5 seconden.

b. Het minimum van h is 1,2 0,7 0,5  liter.

c. De ademfrequentie is 1,6 keer zo snel geworden. Dat wil zeggen dat de periode ook 1,6 keer zo klein is geworden; ofwel  , en daarmee wordt _b 2 ₂



  . De maximale longinhoud is 2,4. Bij een minimale longinhoud van 0,5 wordt de amplitude

2,4 0,5 max min

2 2 0,95



 _ _ _{en de evenwichtsstand} max min 2,4 0,5

2 2 1,45 y _  _  _ _. 1,45 0,95 sin(2 ) h  t 36. a. Er zijn 6 oplossingen. b.

c. De grafiek is symmetrisch in de lijn 1 2 x  : 1 1 1 1 1 2 2 (2 3 ) 2 6 3 b           d. c a 2 e. 1 1 2 3 , 23 13 x  x   en x   (oplossingen a, c en e) 2 2 1 3 , 23 13 x  x   en x    (oplossingen b, d en f) 37. a. 1 2 3 3 3x    3x   1 2 9 9 x   x  b. De periode is 2 2 3  3 c. 1 2 7 8 4 5 9 , 9 , 9 , 9 , 19 , 19 x  x   x  x   x  x 

38. De grafiek is symmetrisch in de lijn 1 3 x  1 7 1 1 1 1 3 (12 3 ) 3 4 12 x            39. a. 1 2 sin(2 )x  b. 1 2 6cos( x) 3 2 5 1 6 6 5 1 12 12 5 11 7 1 12 12 12 12 2 2 ( : ) , , x x x x periode x x x x                       1 1 2 2 3 1 1 1 2 4 2 4 1 1 2 2 cos( ) 2 1 3 ( : 4 ) x x x x x periode             1 2 x   x y 0,5  1,5 2 0,5 1 1,5 -0,5 -1 -1,5

(7)

c. 1 2 3 sin(3 ) 1x  d. 1 1 3 2 1 sin( x ) 1 1 2 5 1 6 6 5 1 2 18 18 3 5 13 1 17 18 18 18 18 sin(3 ) 3 3 ( : ) , , x x x x x periode x                 _  _{ } _ 1 1 3 2 5 1 1 1 3 6 3 6 1 1 6 2 5 1 1 6 2 6 sin( ) ( : 2 ) , , 1 x x x x x periode x x x                           e. 1 4 1 2cos( x ) 0 f. 1 1 2 2 5 sin(x ) 2 3 1 4 1 1 4 2 1 1 1 2 4 3 4 3 5 1 12 12 5 1 1 12 12 12 2cos( ) 1 cos( ) 1 1 ( : 2 ) , 1 , 2 x x x x x x periode x x x                           



1 1 2 2 1 1 1 2 2 3 2 3 5 1 6 6 5 5 1 6 6 6 sin( ) 3 1 ( : 2 ) , 1 , 2 x x x x x periode x                        _  _{ } 40. a. sin( ) 0,75x  x0,85  x2,29 b. cos( ) 0,27x  x1,30  x 4,99 c. sin(2 ) 0,9x  x0,56  x1,01  x 3,70  x 4,15 d. sin(x1,2) 0,85 x14,78  x15,89 e. 3 5cos(0,7 ) 6 x  x 1,32  x 1,32  x 7,65  x 10,30 f. 4 3cos( x4) 5 x 2,09  x0,37 41.

a. Voer in: y1 1 2cos( )x en y2 1,6 intersect: x 1,88  x 4,41  x8,16 b. x 1.88 , 4.41  8.16 , 3



c. 4 sin(x) 2,3 x 3.75 , 5.67  10.04 ,11.95 6cos(2 )x  5 x 1.86 , 1.28  1.28 , 1.86 3 2sin(0,1 ) 1,3 x  x 41.58 , 52.67 42. a. 5 5 2 5 a_  _ 1 4

1 periode is 3 , dus één periode is 1 4 3 1 2,4  _ _ : 2 5 2,4 6 b     b. a5 en nu is 1

4 periode gelijk aan 3 . Eén periode is 12 : b 61 c. a 5 en 2 1 4 2 b     d. De periode is 2 5 en de amplitude 2. e. 1 3 2sin( x) 1



1 1 3 2 5 1 1 1 3 6 3 6 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 sin( ) 2 ( : 6) 0 , 2 , 6 x x x x x periode x              

(8)

43. a. 1 2 1 2cos( x) 2 b. sin(2x) 1 0  1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 3 2 3 2 1 3 3 2 1 2 3 3 3 2cos( ) 1 cos( ) 1 3 ( : 4 ) , 3 , 4 x x x x x x periode x x x                    1 2 1 2 1 4 3 3 1 1 4 4 4 4 sin(2 ) 1 2 1 2 2 1 ( : ) 1 , , , 1 x x x x periode x x x x                        44. a. maximum: 4 en minimum: -2 4 2 2 1 d _  _ _en 4 2 2 3 a_  _ De periode is  . ( ) 3 sin(2 ) 1 f x   x  b. 1 4 ( ) 3cos(2( )) 1 f x  x   c. Bijvoorbeeld: 1

4 naar rechts en 1 omlaag verschuiven

d. 1 4 ( ) 3sin(2( )) 3cos(2 ) g x   x   x e. , 2 61 1 6

( ) 3sin(2 ) 1 Vx as 6sin(2 ) 2 naar links 6sin(2( )) 2 f x   x     y x     y x   45. a. 1 4 cos( ) sin(x  x ) 0 1 4 1 1 1 1 1 2 2 4 4 4 3 3 1 4 4 4 cos( ) 0 sin( ) 0 1 0 2 1 x x x x x x x x x x                                  b. maxima: (0.39, 0.85) (3.53, 0,85) minima: (1.96, -0,15) (5.11, -0,15) 46.

a. periode: 6 0,5 3  ms. Dat zijn dan 1000 1

3 3333 trillingen per seconde. Amplitude is 4 1,5 6  V. b. 10 0,2 2  ms is er te zien. Het 2 3 deel van de golf is te zien. c. 3 10 ms per hokje. d.

e. Een frequentie van 1000 Hertz wil zeggen

1000 golven per seconde. Dat is 1 golf in 0,001 s: 2

0,001 2000 b_  _ _ 3 sin(2000 ) V  t 47. a. De periode is 1 100 seconde: b 0,012 200 b. periode is 2 1

250 125 seconde. Dat zijn 125 trillingen per seconde: f 125 Hz. c. h t( ) sin(1200 ) t

48.

a. sin( ) cos( ) 1x  x  b. _{(sin( ))}_x 2 _₁

geen oplossingen sin( )x   1 sin( ) 1x 

1 1 1 1 2 12 12 2 x     x    x    x   t V 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

(9)

T-1.

T-2.

a. 1 1

3 2

sin(3 )  3 d. sin(8 ) 0  g. sin( 3 ) 0  

b. 1 2 sin( 2 ) 1 e. 1 1 6 2 sin( 7 ) h. 1 2 sin(4 ) 1 c. 3 1 4 2 sin( ) 2 f. 3 1 4 2 sin(1 )  2 i. 5 1 6 2 sin( 3 ) T-3. a. 3 1 4 2 cos(2 )  2 c. 1 2 cos( ) 0 b. 2 1 3 2 cos( 1 ) d. 5 1 6 2 cos(4 )  3 T-4. a. 1 2 cos( )x   b. cos( ) 1x  c. 1 2 sin( )x  2 2 1 3 13 x   x   x 0  x 2 1 3 4 4 x   x  d. 1 2 sin( )x   3 1 2 3 3 1 1 x   x  T-5. a. periode: 2 3 2 ₃   en beginpunt: (1 , 1)12 b. 2 2 5 5 b     c. 2 5 ( ) 2sin( ( 3)) 4 f x  x  T-6. maximum: 1 en minimum: -5 1 5 2 2 d _  _{ } _en 1 5 2 3 a_  _ halve periode is 5, een hele periode 10: 2 1

10 5 b_  _ _ een beginpunt is (6, -2) 1 5 ( ) 3sin( ( 6)) 2 f x   x  T-7. a. 1 2 cos(2 )x  3 b. 1 1 1 2 3 2 1 2sin(x ) 2 5 1 6 6 1 11 12 12 1 11 1 11 12 12 12 12 2 2 1 ( : ) , , 1 , 1 x x x x periode x x x x                    1 3 1 1 3 2 5 1 1 1 3 6 3 6 2sin( ) 1 sin( ) x x x x                1 1 2 16 x    x   c. 2cos(x) 2 d. 1 3 5 3 sin( x ) 2





1 2 3 1 4 4 3 3 4 4 3 3 4 4 cos( ) 2 1 ( : 2 ) , , x x x x x periode x                            1 3 1 3 1 1 3 2 1 6 3 sin( ) 3 sin( ) 1 ( : 2 ) x x x x periode              Geen oplossingen  (in graden) 45 125 29,79 229,18 600 100,27  (in radialen) 1 4 2536 0,52 4 313 1,75

(10)

T-8. a. 2 2 1 3 3 2 ( ) sin( ) 3 1 f  a   a  1 2 1 2 2 3 3 3 3 a   b. 2 3 2 ₃ b     c. 312 112 2 1 d    en 312 112 1 2 22 a   1 2 ( ) 2 sin(2 ) 1 f x  x  T-9.

a. 20 trillingen per seconde: 1 trilling per 1

20 seconde. De amplitude is 5. b. u t( ) 5 sin(40 ) t

c. Voer in: y15sin(40x) en y2 4 x 0,00738  x0,01762 Ongeveer 0,01 seconde groter dan 4 mm.

T-10. maximum is ongeveer 51,5 cm en minimum ongeveer -77 cm

De periode is ongeveer 12 uur en 26 minuten 51,5 77 2 12,75 d _  _{ } _, 51,5 77 2 64,25 a_  _ _en 2 12,43 0,51 b_  _ 64,25 sin(0,51( 7,2)) 12,75 H  t 