Over sterkte en stijfheid van rechthoekige kokers

Over sterkte en stijfheid van rechthoekige kokers

Citation for published version (APA):

Janssen, J. D., & Veldpaus, F. E. (1970). Over sterkte en stijfheid van rechthoekige kokers. (DCT rapporten; Vol. 1970.014). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1970

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

T.K.

-

Report

J . D . Janssem BPI F.E. Veldpaus

i. Inleiding

2. Definities, notcrtks, 6

4 . Theorie voor kokers met vervormbare profiellijn

5. Vergelijking van de in 3. en 4 . ~~~~~e~ $: o r i e b aan de

van een conereet voorbee

i 4 . 7 19 19 20 22 22 23 23 23 7. Conclusies 25

Translations, Jerusalem (1961)

2. Janssen, J.D., Over d e torsietheorie van VLasov voor dunwandige rechthoekige kokers, D i s s e ~ t é t t k , Teehnksche EogesehosL Eindhoven (1947)

i. inleiding

Het mechanisch gedrag van (dunwandige) rechthoekige kokers is in een aantal gevallen n i e t voldoende nauwkeurig te beschrijven met behulp van Be elementaire bwfgings- en torcaeeheorieën, gebaseerd op hypothesen van Bem0uiiS.i en Brede. De in figuur

1 , %

schena- tiach weergegeven problemen zijn voorhel en van si.tiuatie5 die

andere theorieën n ~ o ~ ~ maken. ~ k e l ~ ~ ~

Het is noodzakelijk uit te gaan van h e t feit dat oorspronkelijk vlakke dwarsdoorsneden na deformatie niet neer vlak blijven.

B i j torsieproblemen tKeedt dit verschijnsel direct aan het licht'.

(fig.

1 . 1

b), maar ook b i j psroblemen zoals geschetst in fig.

1 . 1

ia,

Bovendien is het noodzakelijk te veronderstellen dat ten gevolge van bepaalde belastingssituaties de vorm van de dwarsdoorsnede ver- andert.

De onvolmaaktheid van de theorieën, volgens BernouiP1P en Bredt, brengt met zich mee d a t de belastingcsituatie in een eindvlak niet gekarakteriseerd kan worden door alleen maar de normaalkracht, de dwarskracht en het buigend- en wringend mment.

Belastingssystemen zoals in fig. 1.2 getekend, spelen eveneens een POI

Tig. 1 . 2

Er bestaan een aantal. één-dimensionale theorieën

kers, waarin de zogenaamde welving van de dwarsdoorsnede in rekening wordt gebracht. Vaak worden echter de effecten die het gevolg zijn van het vervormen van de dwarsdoorsnede (scheeftrekken) buiten be- schouwing gelaten. Door middel van experimenten kan aangetoond worden d a t d i t meestal ten onrechte gs5e~rt

[z].

Door het aanbrengen van een voldoend aantal dwarsschotten in een ko-

ker is het uiteraard wel mogelijk de invloed van scheeftrekken voldoen- d e klein te maken.

IR dit artikel zal voor een aantal specifieke belastingssituaties wor-

voor dunwandige ko-

den nagegaan welke verschillen optreden tussen enerzijds de theorie

V O Q ~ de onvervombare dwarsdoorsnede en anderzijds de theorie VQOT de

Savendien zal getracht worden de belangrijkste resultaten in een voor de prakticus bruikbare vorm te brengen.

Wij zullen ons beperken tot cylindrische kokers waarvan de dwars- doorsnede rechthoekig is en twee symmetrie-assen heeft.

Ofschoon deze beperking niet essentieel is, Is hij wei min of meer noodzakelijk on een hanteerbare theorie te verkrijgen. Bij een w i l - lekeurige dwarsdoorsnede as het veel zinniger een numerieke weg te bewandelen, bijvoorbee~d met behulp van de "methode der eindige ele- menten".

Er bestaan uiteraard een aantal varianten van de hier ter sprake ko- mende theorieën. Vergelijking van al deze theorieen behoort niet tot het doel van dit artikel. Door middel van een aantal nauwkeurige ex- perimenten is aangetoond d a t de enigszins gemodificeerde Vh35V-theO- rie fl) de realiteit voldoende goed b e s c h r i j f t 121. Ook door middel van theoretische beschouwingen i s in [2] de waarde van de VLasov-theo- rie aangetoond.

De aandacht zal louter gericht worden op belastingssystemen die an- timetrisch z i j n ten opzichte van

doorsnede. Voorbeelden hiervan zijn: wringend moment en de in fig.

1.2 getekende krachtsystemen. Wanneer de belasting symmetrisch is ten opzichte vân tenninste één van de spetrle-assen, kan de klassieke buiglngstheorie gebruikt worden. Deze problemen behoeven hier uiteraard geen nadere uitwerking.

2 . Definities, notaties, symbolen.

Orthogonaal coördinatensysteem. x, y, z (zie fig. 2.1)

booglengte profhellijn

x-as : axiale richting door

zwaartepunt

einddoorsneden koker

x = o

x = R

fig. 2 . 1 Dwarsdoorsnede van de koker; coördinatensysteem.

Geometrische karakteristieken.

b q 9 t 1 9 t2 : afmetingen dwarsdoorsnede (zie fig. 2.1)

t ( s ) : wanddikte ter plaatse s

R : lengte koker F = 4(b1t1 + b t ):oppervlakte dwarsdoorsnede 2 2 a l = - E 4 b 1 2 b22 ( b l t l + b2t2) 3 a a = 4 G b b (-bltS + b2ti) = 4 G b l b2 (blt2 + b2t1) 2 3 1 2 a 2- a 16 G b12b22

-

-

2 3 -

-

b2 ‘1 ‘2

-

+ -

2

a4 a (specifieke torsiestijfheid B-rredt

-

4 E

.

PTerpfaa~sln%c%rootheden voor het middenvlak.

u (x, s) : verplaatsing in a x i a l e richting v (x, s) : Verplaatsing in orntrekcrbchthg (fig. 2.2) (fig. 2.2) . Spanningsgrootheden

(fig. 2.2) (fig. 2 . 2 )

mx(x, s): buigend mment per lengte-eenheid in een dwarsdoorsnede m s ( x s s > : buigend nonent per lengtx~-eenheld in een langcvlak

van de piaten (fig. 2.2)

( f i g , 2 . 2 )

3 . Theorie VOOK kokers net onvervormbare proTiell%jn.

Analoog met de werkwijze in 12

I

wordt de theorie gebaseerd op het principe van minimale potentiële energie. Op deze wijze ontstaat een overzichtelijke en goed gefundeerde benaderingswijze.

Teneinde zowel kinematische ais dynamische randcondities isi de beschouwing t e betrekken, richten w i j onze aandacht op een koker, die b i j a = O star Is ingeklemd en b i j x = R

maalspanningen a(&, s ) = a(s) en ~ ~ h

~ ( a ,

s> = ~ r(s), ~ ~ ~ p ~ ~ ~ i ~ ~ ~ ~

die gelijkmatig verdeeld zijn over de wanddikte. Uiteraard moeten CT

en T aan een aantal eisea voldoen

v

de beperking ten aanzien van de besc

belast wordc door nor-

-

-

-

-

de in de inleiding verrnel-

e belastbngssltuaties.

G-a een één-dimensionale theorie te verkrijgen, wordt h e t verpllaatsings- patroon in de dwarsdoorsnede bekend verondersteld. Voor de verplaatsin- gen in $-richting wordt uitgegaan van de hypothese dat de profiellijn

star i s ; het verplaatsingspatroon in axiale richting is gebaseerd op de axiale verplaatsingen, die optreden in de torsietheorie volgens Bredt.

Gesteld wordt (zie fig. 2 . 2 ) :

h(s) = b V Q O ~ y = z b 2 h(s) = '& voor z = 2 b j

2 2

z

h =

d"

h=

h-k,

fig. 3.1 Grafische voorstelling 0 ( s ) en h(s)

Aangezien louter m e ~ r ~ ~ s p ~ n ~ n ~ e n optreden, is de potentiële energie, V, voor de beschouwde koker:

De uitdrukkingen 'VY>OK de potentiële energie van de uitwendige be- lasting

(ze

en

Je

t e m in ( 3 , s ) ) leverens tesamen niet het gekozen verpiaatsingsveld (zie (3.1) en ( 3 . 2 ) ) de volgende relevante spanaingr resultanten in het eindvbak x = R;

substitutie

v = i

r

R X=0

-

@ ( a )

van (3.1) en (3.2) in ( 3 . 5 ) levert: (3.8) en a 3 z i j n in hoofdstuk 2 gedefinieerd. a l s a2

üit 6V = 5 voor a l l e kinematiseh-toePaaébase variaties van 6 en û

volgen de bepalende $EfferentkaaPvt'PgePi~~i~g@n en de dynamische rand- condities.

(3.10)

(3.12)

m _ .Le&.- r , . r n n

ue poLae"aagbLLLsen (3.1!) PC (3.12) zijn uiteraard generaliseerbaar

near een willekeurige dwarsdoorsnede.

Volgens ( 3 .

io),

(3.12) geldt:

dB

mt behulp van de definitie Q =

-

dx v o l g t uit (3.9) en (3.11)

( 3 . 1 4 )

De algemene oplossingen voor B, 5, B en M zijn lineaire combinaties van de ftmeties 1, x , e

,

e

.

De vier integratieconstanten worden bepaald uit de randcondities bij

Ax -Ax

‘Etfanaeer de snedegrootheden M(x) en BQx) bekend z i j n , m o e ~ e n de b i j - behorende spanningen berekend worden. De a x i a l e nomaalspanning (s(x,s) wordt met behulp van de é6n-dinencionaPe wet van Eooke uit

( 3 . 3 ) en (3.41) bepaald. De schuifspanningen wijze worden berekend.

kmnen op een analoge

(3.15)

De in het vorige hoofdstuk beschreven theorie is onder andere geba-

seerd op de veronderstelling dat de profiellijn niet V ~ P V Q ~ ~ .

Uit de schuifspafiningsverdeiing((3.~~~~ ( 3 . 1 7 ) ) volgt dat b i j het op- treden van een axiaal bimoment in een dwarsdoorsnede extra schuif- spanningen optreden ten opzichte van de spanningsverdeling in de Bredt- theorie. In fig. 4.I(a) zijn deze extra schuifspanningen weergegeven in de ~ w a ~ s d o o r ~ ~ ~ ~ e ¶ ter plaatse x en ter plaatse 31 + dx,

n

B

/

- e

(Raamwerk met dikte

ax)

fig. 4.1 Extra schuifspanningen.

Wanneer het plakje d x van de koker opgevat wordt als een r a m e r k , dan wordt dit raamwerk ten gevolge van de extra schuifspanningen, belast, zoals in fig. 4.1 (b) is weergegeven. Als in de betreffende dwarsdoorsnede een dwarsschot aanwezig i s d a t in z i j s i vlak relatief

van de p r o f i e l l i j n optreden.

Het ligt voor de hand om, als deformatiepatroon, b i j het in reke- ning brengen van profielvervoming uit te gaan van de vom die het

in fig. 4.1 (b) geschetste raamwerk ten gevolge van de geschetste b e l a s t i n g aanneemt. Indien bij dit raamerk alleen de buigingsener- gie in rekening wordt gebracht, ontstaat het in fig. 4.2 gegeven de-

formatiepatroon, dat door de hoek K gekarakteriseerd kan worden.

Z

fig, 4 . 2 Vormverandering van raamwerk (scheeftrekken)

Wanneer behalve de verdraaiing van de dwarsdoorsnede als star geheel, bovendien vervormingen van het in fig. 4 . 2 gegeven type in rekening worden gebracht, kan voor de verplaatsing in s-richting gesteld wor-

den : met m ( s > = b 2 m(s) = -b voor y =

4 b 2

V O O ~ z =

2

b l I

Overal waar Q ( s ) differentieerbaar I s , b l i j k t t e gelden:

m(s) =

-

ds ( 4 0 3 )

Wet in rekening brengen van de profielvervorming maakt het nood- zakelijk aan de i r b ( 3 . 8 ) voorkomende uitdrukking voor de vomveran-

deringsenergie de bijdrage toe t e voegen die afkomstig i s van de plaatbulging.

Daartoe bepalen w i j de buigingsenergie die opgehoopt Es in een ram- werk dat op de in fig. 4 . 2 gegeven manier deformeert. Integratie van de zo verkregen uitdrukking over de leegte van de balk levert de ex- tra t e m in (3.8)

In hoofdstuk 2 is de formule voor c gegeven, uitgaande van de veronddr- stelling dat de antfclastisehe buiging urn het raamwerk verhinderd wordt.

In

leidt.

121 is aangetoond dat deze veronderstelling tot de beste resultaten

Behalve de snedegrootheden &i en B treedt in deze theorie een derde groot- heid op: ket transversale bimoment

Q,

gedefinieerd als

Q

= J TmdF F

(Uit ( 4 . 1 2 ) blijkt dat de definitie uit ( 4 . 4 ) consistent is met die

uit (3.14)).

De uitdrukking voor de potentiële energie voor een bij x=O ingeklemde en b i j x=% door

E,

en

6

belaste koker luidt:

Wij merken op dat g e l d t :

q = o

dB dx

- -

(4.10) ( 4 . I i) ( 4 . ì 2 ) ( 4 . 1 3 ) ( 4 . 1 4 )

Voor de algemene oplossing voor bovenstaande vergelijkingen wordt verwezen naar

drukkingen lineaire combinaties zijn van de volgende functies van de

axiale coördinaat:

1 1

I

en 12

j .

Wij vermelden slechts dat de gezochte uit-

i , x, cosh ax sin yx, cosh ax cos yx, sinh ax cos yx, sinh ax sin yx (4.15)

De spanningsverdeling over een dwarsdoorsnede kan op de in 3 aangedui-

de manier bepaald worden. Er ontstaan weer de relaties (3.15),

....>

(Is

_i21

is aangetoond dat een betere verdeling van de schuifspanain- gen te verkrijgen is, wanneer uitgegaan wordt van het axiale even- wicht van een blokje u i t de koker; de in (3.16) en ( 3 . 1 7 ) gegeven schuifspanningen z i j n dan op te vatten als de gemiddelden over de be- treffende plaat).

5. vergelijking V ~ R de in 3 . en 4 . gegeven zheorieën aan de hand van

een concreet voorbeeld.

De in het voorgaande gepresenteerde theorieën zullen vergeleken wor- den aan de hznd van een concreet voorbeeld. Be daarbij aan het licht tredende interessante aspecten zullen vervolgens voor een willekeu- rige koker worden toegelicht.

Wanneer bepaalde grootheden berekend worden met behulp van de in 3 .

geformuleerde theorie, zullen z i j worden aangeduid nee de bovenindex. ';

grootheden, bepaald volgens de in 4 . geschetste weg worden voorzien van de bovenindex

len

-

zo nodig

-

voorzien worden v a

F

.

Het behulp van de Bredt-theorie verkregen gegevens zul- B

_.

In fig. 5.1 i s de koter getekend,waarop w i j onze aandacht zullen richten. Alle relevante gegevens

21911

ia de figuur venne'ld.

b l = 50 rn b2 = 200 m t = t 1 = t 2 = 5 m k = 6 m

4

4

2 E = 200

W/m

V = 8 , 2 8 P = 5> kN dwarsdoorsnede fig. 5.1 Voorbeeld

- ,

. . -

, ." - .. . , ...-. ..i

! ' ,

. .

i

In 51g. 5.2,

....,

fig. 5.5 zijn de meest iaferessaEte cpannings- en vervormingsgrootheden voor deze koker weergegeven.

Het valt onmiddellijk op dat beide theorieën op verschillende plaat- sen eenzelfde tendens vertonen; kwantitatief moet echter van een zeer slechte overeenstemming gesproken worden. Experimenten tonen aan dat de theorie, gebaseerd op de hypothese van de vervormbare profiellijn, de realiteit goed beschrijft, Nog ter sprake z a l komen dat door het aanbrengen van een aantal geschikt g e p l a a t s t e dwarsschotten een situa- tie gecreëerd kan wordea,waarin de theorEe

profiellijn, gevolgd wordt.

uitgaande van een starre

Tengevolge van de w e ~ ~ i ~ g s v e r h i ~ d ~ r i n ~ b i j x=Q ontstaan in beide theo- rieën stoorspanningen die ten opzichte van de schuifspanning volgens de Bredt-theorie ( T B =m/m$-J-groot genoemd kunnen worden. Voor de ma-

ximale ideële s ~ a n n i ~ ~ volgens het criterium van Mohr-Guest (aide max ) in de inklemming g e ì d t : F ‘id. m x S (” = 1,8Q id. m x B id. max 0 (J.

Geattendeerd wordt bovendien op het feit dat de buigspanningen die vol- gens de theorie met flexibele profiellijn maximaal zijn op een afstand van ongeveer 500 m van de inklemming, zeker niet verwaarloosbaar klein

zijn.

De storing ten opzichte van de Bredt-theorie vanwege de welvingsverhin- dering is op enige afstand van de inklemming verdwenen. In de theorie met vervormbare profiellijn i s deze afstand ( 2 , 3 m) veel groter dan in de theorie met starre dwarsdoorsnede (0,36 m).

vervormbaar zijn van de profieliijn tevens afwijkingen van de Bredt- theorie in de buurt van de plaats waar het wringend moment wordt in- geleid. De oorzaak hiervan is gelegen in het feit dat het inleiden van een wringend moment op de in fig. 5.1 geschetste manier een

transversaal bimoment tot gevolg heeft, dat

-

in absolute waarde

-

even groot is als het wringend moment. De daardoor gehtroderceerde buigspanningen in de platen zijn, tesamen met de schuifspanningsver- deling, verantwoordelijk voor een grote toename van de ideële span- ning bij x=Q ten opzichte van cr B

id.

F

id. max (a)

B = 2 , O O

a

( 5 . 3 )

ia

Op een afstand van ongeveer 500 mm van de belaste kokerrand treden

zeer grote axiale membraamspanningen op.

Ook met betrekking tot de verstoring bij de rand x=R

deerd worden dat hiervan geen merkbaar effect wordt geregistreerd op

een afstand van 2 , 3 m van de beschouwde rand.

kan geconclu-

In het volgende hoofdstuk zal nader worden ingegaan op de aan de hand van het gegeven voorbeeld geconstateerde verschijnselen. Behalve aar,

de vergelijking der theorieën zal hierbij aandacht besteed worden aan een praktisch hanteerbare vorm voor belangrijke resultaten van beide theor ie&.

6. A 3 .

(dwarscontractiecoëfficient v = 0,223)

6.11. Uitdemplengte.

De storing fen opzichte van de Brede-theorie heeft een uitdempend ka- rakter b l i j k e n s de ip? het vorige hoofdstuk gepresenteerde resultafen.

Ret uitdempen wordt In de fheorie voor kokers met starre prafiellijn globaal bepaald door de waarde van e

meert is e bepalend. De uitdemplengten worden

-

tamelijk arbitrair

-

gedefinieerd door:

-AX

; wanneer de profieálijn defor-

-ax S A R = 7T O 9 F E R = 7 i O 0 Y S T T ,q, = - 0

A

P a g I - o o, O -Tr

(e = 0,04). Geattendeerd wordt op het f e l t dat 01 in plaats van

01 gebruikt is in ( 6 . 2 ) . Omdat E <<

11

( z i e fig. 6.1) z i j n a en a

O

O

nagenoeg gelijk.

Volgens de formules uit

s

R = 1 , 4 5 1 o

Voor het speciale geval ‘t

₁

= t = t geldt:

2 S = 1 , 4 5 1 O = 3,308 O ( 6 . 3 ) S

Voor het voorbeeld uit hoofdstuk 5 geldt R o = 3g2 mm en :L! = 2310 m.

een koker met onvervormbare dwasscioorsnecie aanmerkelijk kleiner (namelijk een factor

doorsnede.

Gespecialiseerd voor t = t 2 :

) dan voor een koker met vervormbare dwars-

I I S R

0

= = 0,4386 ( 6 . 7 ) R R b2 % O bf

"Ibs

s F O 0

en E weergegeven als functie van -

bl

In fig. 6 . 1 zijn

-

-

bl' bl

waarbij steeds verondersteld is dat t l = t = t . Het t

-

_ _ 2

b s en

is uit deze grafieken duidelijk dat voor realistische afmetingen

van de koker.

Aan de hand van R kan beoordeeld worden o f een bepaalde koker als "oneindig 'bang" beschouwd kan worden, Hiermee wordt bedoeld dat de spannings- en deformatietoestand aan een rand van de koker niet 3e- invloed wordt door de condities aan de andere rand.

Een koker met be lengte R

benadering ais oneindig lang bestempeld worden.

O

(en zeker een met lengte 2R ) kan in goede

a O

6 e 2. Axiaal binonent bij welvingsverhbn&ering.

Wanneer een koker, die als oneindig lang beschouwd kan worden, belast wordt door een wringend moment

i"r,

dan zal in het algemeen welving van de dwarsdoorsnede optreden. Wordt de welving bijvoorbeeld bij x=O ge- heel verhinderd zoals in het: in hoofdstuk 5 geschetste probleem, dan

a a l bij x=O een axiaal bimoment B(o) optreden, Afgeleid kan worden dat in goede benadering geldt:

s B(o) =

-

-li A FLE

-

F B(o) =

-

4

-

_a M O (6.10)

Uit fig. 6.1. en (6.18) is duidelijk te zien, d a t er in veel gevallen grote verschillen te verwachten .zijn tussen h e t axiale bimoment, dat optreedt b i j WePvingsverhinaerEng, wanneer d e dwarsdoorsnede star is

en wanneer de dwarsdoorsnede kan scheeftrekllen.

Deze bewering is zeer duidelijk wanneer ( 6 . 8 ) ,

..*.,

(6.18) gespecia- liseerd worden voor t = t = t

1 2 s B(0) = 4- 0,4618 (bl - b2)

2

( 6 . 1 I )

-

F B(u) = + 0,4052 (bi - b2) M (6.12) (6.13)

Aangetoond kan worden dat

de onderzochte situatie. De maximale axiale normaalspanning in de hoek- punten van de koker, u

leken worden met de ~ ~ ~ ~ volgens de Bredt-theorie(? i ~ ~ p ~ ~ ) . n ~ ~ g Voor een koker met constante wanddikte geldt:

d e maximale waarde voor

die optreedt tengevolge van B(o), kan verge- B ax s ax U 2,7712 1.1 - = - B 'I F oax B 7,8383 1.1 - = - ? (6.14) (6.15)

6 . 3 - Transversaal Eimcment bij weivingsverhlnaerlng.

Wanneer in de dwarsdoorsnede x=Q de welving wordt verhinderd, treden ten opzichte van de Bredt-theorie eveneens extra schuifspanningen op, waarvan de grootte bepaald is door het transversaal bimoment Q ( o ) . Enig onderzoek resulteert in de volgende betrekkingen:

S Q í o ) = P

%

F Q ( 0 ) = 4PE

ii

( 6 . 1 6 ) ( 6 . 1 7 ) (6.18)

De schulfsp~~ningcverdelang is uit (3.16) en ( 3 . 1 7 ) eenvoudig t e

bepalen

6.4. De ideële spanning bij we%vingsverhindering.

Wij vermelden de resultaten voor de ideële spanning (a id ) volgens het criterium van Hohr-Guest voor een koker met constante wanddikte in de doorsnede waar de welving verhinderd wordt. Wij veronderstellen bovendien d a t b, 3 b, en dus

v

>/ O L I ( 6 . 1 9 ) o F 2 (6.20)

ia

= 4 [ : I + (Sri + 1 5 , 3 6 1 ~ ~ ) ~ + 1 6 ~ ~ ~ ~ 1 P I

6.5. Plaatbuiging b i j welvingsverhindering.

üit de grafiek En hoofdstuk 5 blijkt dat b i j welvingsverhindering voor kokers met vervormbare profiellijn op een afstand van x SY $i! vanaf de inkleming maximale buigspanningen in de platen optreden. Deze spanningen zijn zeker niet in alle gevallen te verwaarlozen, zoals volgt uit ( t = t = t; b > b 2 )

O O

1

2 I F

( 6 . 2 1 )

T e

6 . 6 . Effecten tengevolge van een transversaal bimoment.

üit het voorbeeld in 5. is duidelijk dat de belasting door een transversaal bimoment voor kokers met defomeerbare profiellijn aanleiding geeft tot een geheel andere spanningsverdeling dan door de Bredt-theorie wordt voorspeld. Wanneer de proffellijn star is, levert belasting door een transversaal bimoment geen extra spanningen. Bij een belastingsituatie zoals Pn 5. bij x=R optreedt, is het trans- versaal bimoment

a

gelijk aan het wringend moment

;.

Voor een koker met constante wanddikte geldt voor de maximale buigspanning in langs- vlakken bij x=R

vi

= 12 (6.22)

De bi3 X = R optredende maximale schuifspanningen zijn En absolute waar-

de tweemaal Z O groot als T B

.

De axiale membraamspanningen, die bij x = R nul zijn, bereiken de maxi- male waarde op een afstand van ongeveer x

Voor deze spanningen geldt:

= :ao vanaf de belaste rand.

O

F

6 . 7 . Torsiestiifheid.

( 6 . 2 3 )

gehanteerde theorie.

W i j bekijken daartoe een koker met de lengte R, groter dan R O , belast zoals in fig. 6.2 geschetst.

E i g . 6 . 2

Voor een koker met starre p r o f i e l l i j n geldt:

-AR

B

B R + p ( 1 - e

Is de dwarsdoorsnede vervormbaar dan geldt:

waarin gesteld is:

-CQR

$1

= e o si.n(a0R)

-O.GR

7

o Conclusies a

De hiervoor gegeven vergelijking van resultaten,verkregen met behulp van twee verschillende theorieën voor dunwandige kokers

lijk dat het al of niet deformeerbaar z i j n van de profiellijn zeer es- sentiële verschillen teweeg brengt. Ten onrechte wordt dan ook in een aantal gevallen uitgegaan van de theorie voor kokers met onvervombare dwarsdoorsnede.

'En de praktijk zal onvervombaarheid van de g r ~ f i e l i l j n alleen in goede benadering gerealiseerd kunnen worden door het aanbrengen van een vol- doend g r o o t aantal dwarsschotten.

Het voorgaande maakt duidelijk dat het aanbrengen van dergelijke schot- ten lang niet altijd een verbetering genoemd kan worden. De in 5. be- studeerde constructie toont bijvoorbeeld a m dat de situatie in de buurt van de plaats waar de welving verhinderd wordt b i j een koker met onver- vsmbare dwarsdoorsnede (dus veel dwarsschotten)l,7 maai gevaarlijker is dan b i j een koker inet vervormbare profPekéijn (dus geen schotten).

Hetzelfde voorbeeld maakt duidelijk dat een schot bij het inleiden van

h e t koppel een positief effect heeft.

maakt duide-

Op grond van de theorie voor kokers met vervormbare profiellijn kunnen uizspraken gedaam worden over het effect vain dwarsschotten op het span- nings- en vervormingsveld. in een andere pubiicatie wordt hier nader

~p inarauarin.