Euclides, jaargang 25 // 1949-1950, nummer 3

U C -L -I D, S

TIJ D S C H RI F T V O O R D E DI D A C TI E K D E R E X A C T E V A K K E N O N D E R L EI DI N G V A N Dr H. S T R E E F K E R K, P. WIJ D E N E S, Dr H. A. G RI B N A U V O O R WI M E C O S E N J. WI L L E M S E V O O R LI W E N A G E L 1' • M E T M E D E W E R K I N G V A N D n. H. J. E. B E T H, A n s I o o R T P a o. D R E. W. B E T H, A M S T E R D A M D L R. B A L LI E U, L E U V E N Di t. G. B O S T E E L S, H A S S E L T P a o y. Dit. 0. B O T T E M A, RI J 5 w J J K - D L L. N. H. B U N T, U T R E C R T • Dit. E. J. DI J K S T E R H UI S, Oj S T E R WI J K - P R O F. D R. J. C. H. G E R R E T S E N, G R o Niit G E N D L H. . A. G RI B N A U, R O O S E N D A A L - Dit. B. P. H A Â L M EI J E R, B A R N E V E L D

Dit. R. MI N N E, L ui & - Pit o r. D R. J. P O P K E N, U c i r r

D R. 0. V A N D E P U T T E, R O N S E - P R O F. Dit. D. J. V A N R O O Y, P 0 T C H S Tsra o o M D R. H. S T E F F E N S, M E ci ui. - I R. J. J. T E K E L E N B U R G, R O T T E R D A M D L W. P. T HI J S E N, HI L V E R S U M - Dit. P. G. J. V R E D E N D UI N, A ~ E m 2 5e J A A R G A N G 1 9 4 9/ 5 0 -• Nr 3 / P. N O O R D H O F F N. V. G R Ö N I N G E N

E u cli d e s, Tij d s c h rif t v o o r d e Di d a c ti e k d e r E x a c t e V a k k e n v er s c hij nt i n z e s t w e e m a a n d elij k s e afl e v eri n g e n. Prij s p er j a ar g a n g / 8. 0 0 . Zij di e t e v è n s o p h et Ni e u w Tij d s c hrift v o or Wi s k u n d e (t 8. 0 0 ) zij n i n g et e k e n d, b et al e n / 6. 7 5.

D e l e d e n v a n L i w e n a g el ( L er ar e n i n wi s k u n d e e n n at u ur w et e n-s c h a p p e n a a n g y m n a n-si a e n l y c e a) e n v a n Wi m e c o n-s ( V er e ni gi n g v a n L er ar e n ii > d e wi s k u n d e, d e m e c h a ni c a e n d e c o s m o gr afi e a a n H o g er e B ur g er s c h ol e n e n L y c e a) krij g e n E u cli d e s t o e g e z o n d e n al s Offi ci e el O r g a a n v a n h u n V e r e ni gi n g e n; d e l e d e n v a n Li w e n a g el st o rt e n d e a b o n n e m e nt s k o st e n t e n b e dr a g e v a n / 2, 5 0 o p d e p o st gir or e k e ni n g n o. 5 9 1 7 2 v a n D r. H. P h. B a u d et t e ' s- G r a v e n h a g e. D e l e d e n v a n Wi m e c o s st ort e n h u n c o ntri b uti e v o or h et v er e ni gi n g sj a ar v a n 1 S e p-t e m b er 1 9 4 9 p-t / m 3 1 A u g u sp-t u s 1 9 5 0 ( w a ari n d e a b o n n e m e np-t s k o sp-t e n o p. E u cli d e s b e gr e p e n zij n) t e n b e dr a g e v a n / 4, 5 0 o p d e p o st gir or e k e ni n g n o. 1 4 3 9 1 7 . t e n n a m e v a n d e V er e ni gi n g v a n Wi s k u n d el ar ar e n t e A m-st er d a m. V o or 1 S e pt e m b er 1 9 5 0- 1 S e pt e m b er 1 9 5 1 i s d e c o ntri b uti e v a st e g st el d o p / 5, 5 0. D e a b o n n e m e nt s k o st e n o p h et Ni e u w Tij d s c hrift v o or. Wi s k u n d e m o et e n o p p o st gir or e k e ni n g n o. 6 5 9 3 v a n d e fir m a N o or d h off t e Gr o ni n g e n v ol d a a n w or d e n o n d er bij v o e gi n g, d at m e n li d i s v a n Li w e n a g el of Wi m e c o s. D e z e b e dr a g e n / 6, 7 5 p er j a ar fr a n c o p er p ort.

Arti k el e nt er o p n e mi n g t e z e n d e n a a n Dr H. Str e ef k er k, Hil v er s u m, V a n L e n n e pl a a n 1 6, T el. K 2 9 5 0; 5 5 5 8.

A a n d e s c hrij v er s v a n arti k el e n w or d e n o p h u h v erz o e k 2 5 af dr u k k e n v er str e kt, •i n h et v el g e dr u kt. B o e k e n t e r b e s p r e ki n g e n t e r a a n k o n di gi n g t e z e n d e n a a n P. Wij d e n e s, A m st er d a m- Z ui d, J a c. O br e c ht str. 8 8; T el. K 2 9 0 0; 2 7 1 1 9. I N H O U D . Bl z. Offi ci ël e M e d e d eli n g e n v a n Wi m e c o s . . . 1 2 9 Dr. J O H. A. W A N SI N K. D e r e g el v a n Si m p s o n . . . 1 3 2 P r of. D r. 0. B O T T E M A. V e r s c h ei d e n h e d e n - D ê i n o m e nt e n st elli n g . . . . 1 4 2 H et v r a a g st u k v a n M alf att.i . . . 1 4 4 B o e k b e s pr e ki n g e n . . . 1 5 0 K o r r el X C VI e e n 7r i n v e el d e ci m al e n . . . 1 5 9 I n g e k o m e n b o e k e n . . . . . . . .. 1 5 9 Si xi è m e c o n g r è s i nt e r n ati o n al d' hi st oi r e d e s s ci e n ç e s . . . 1 6 1 G. K R O O S H O F. D e e e r st e al g e b r al e s s e n . . . 1 6 4 D r D. J. E. S C H R E K. D e c o n st r u cti e v a n T h o m a s St r o d e . . . 1 6 9 T w e e d e c o nf e r e nti e W. V. 0 . . . 1 7 2 A a n m el di n g v o o r e x a m e n s . . . . bl a d z. 3 o m sl a g

O F FI CI E L E M E D E D E LI N G E N V A N WI M E C O S.

K o rt v e r si a g v a n d e Al g e m e n e V e r g â d e ri n g v a n 4 J a n u a ri 1 9 5 0 t e A mst er d a m.

O p d e z e v er g a d eri n g w er d e n d e N ot ul e n e n d e J a ar v er sl a g e n v a n S e cr et ari s, L e e s p ort ef e uill e c o m mi s si e e n P e n ni n g m e e st er g o e d g e k e ur d. D e c o ntri b uti e w er d o p / 5. 5 0 v a st g e st el d v o or h et v er e ni-gi n g sj a ar, d at i n g a at o p 1 S e pt e m b er 1 9 5 0.

D e aftr e d e n d e I n s p e ct e ur v a n h et Mi d d el b a ar Q n d er wij s, d e H e er J. v a n A n d e], w er d w e g e n s zij n gr ot e v er di e n st e n t. a. v. h et Wi s-k u n d e- o n d er wij s o p d e Mi d d el b ar e S c h o ol e n d e wij z e, w a ar o p hij Wi m e c o s st e e d s r a a d pl e e g d e o v er e v e nt u el e v er a n d eri n g e n v a n dit o n d er wij s e n r e k e ni n g hi el d m et o n z e w e n s e n, t ot Er eli d d er V er-e ni gi n g b er-e n o er-e m d.

D e H e er B u z e m a n w er d al s B e st u ur sli d h er k o z e n. I n d e K a s-c o m mi s si e w e r d e n d e H. H. T r u y e n s e n B o o st g e k o z e n.

B e sl ot e n w er d, d at i e d er j a ar t w e e B e st u ur sl e d e n z o u d e n aftr e d e n m et di e n v e r st a n d e, d at V o o r zitt e r e n S e c r et a ri s n o oit t e g elij k z o u d e n m o g e n aftr e d e n.

Pr of. Dr D. E. v a n L e n n e p hi el d zij n a a n g e k o n di g e v o or dr a c ht o v er: ,, K a n e e n p s y c h ot e ci mi s c h O n d er z o e k h et T o el ati n g s e x a m e n v er v a n g e n ?" Uit d e z e v o or dr a c ht bl e e k d ui d elij k, d at m e n er m et e e n p s y c h ot e c h ni s c h o n d er z o e k n o g l a n g ni et k o mt e n d at, i n t e g e n-st elli n g m et w at m e n o n s w el wil d o e n g el o v e n, m e n z e er v o or zi c hti g m o et w e z e n m et c o n cl u si e s t e tr e k k e n. V a n v er s c h ei d e n e k a nt e n i s h et B e st u ur g e vr a a g d d e z e l e zi n g i n . E u cli d e s t e p u bli c er e n. D e s pr e k er h e eft dit t o e g e z e g d, m a ar hi er v o or tij d g e vr a a g d.

D e di s c u s si e s o v er h et a a n d e V er e ni gi n g e n V eli n e s e n Wi m e c o s uit g e br a c ht e r a p p ort b etr eff e n d e h et ni e u w e pr o gr a m m a v o or h et v a k M e c h a ni c a n a m ë n z e e r v e el tij d i n b e sl a g. D e v e r g a d e ri n g v o el d e w el v o o r a a n v a a r di n g v a n h et ni e u w e p r o g r a m m a, al i s d o o r é é n d e r r a p p o rt e u r s, d e H e e r St a ri n g, t o e g e z e g d, d at d e C o m mi s si e d e v er s c hill e n d e p u nt e n hi er v a n n o g e e n s z al tr a c ht e n t e s plit s e n i n g e w e n st e e n n o o d z a k elij k e. M e n w a s n.i. b a n g, d at h et pr o gr a m m a t e uit g e br ei d w a s. D e gr ot e m o eilij k h ei d w a s e c ht er d e d o or d e C o m mi s si e v o or g e st el d e r e g eli n g v a n h et ei n d e x a m e n. A a n d e C o m mi s si e w a s n.l. all e e n h et o p st ell e n v a n e e n ni e u w l e er-

130

pr o gr a m m a g e vr a a g d, m a ar zij b es c h o u w d e d e d o or h a ar v o

or-g est el d e r e or-g eli n or-g v a n h et ei n d e x a m e n als e e n ess e nti ë el p u nt v a n

h a ar r a p p ort. D e b e z w ar e n t e g e n d e v o or g est el d e ei n d e x a m e

n-re geli n g betr offe n i n h o of d zaa k de v ol ge n de p u nte n:

de Co m missie wil i n het ver v ol g allee n Wis k u n de m o n deli n g

e xa mi n er e n v o or z o v er h et Al g e bra e n St er e o m etri e b etr eft e n dit

ni et l a n g er d a n e e n h alf u ur.

ee n sc hriftelij k ei n de xa me n Mec ha nica w or dt niet af ge n o me n,

m a ar d a ar v o or k o mt e e n h alf u ur m o n d eli n g i n d e pl a ats.

D at n a h et s c hrift elij k e x a m e n Wis k u n d e G o ni o m etri e e n B

e-s c hrij v e n d e M e et k u n d e ni et m e er e v e nt u e el o p h et m o n d eli n g

e xa me n ter s pra ke z o u de n k o me n, wer d zeer o n ge we nst geac ht. O o k

d e H e er P e k el h ari n g, li d d er C o m missi e, er k e n d e dit b e z w a ar,

m a ar w e es er o p, d at m e n a n d ers e e n vi er d e g e c o m mitt e er d e

n o di g ha d.

Wat h et t w e e d e b e z waar aa n gaat, was m e n va n o or d e el, dat h et

z e er g e vaarlij k is v o or h et p eil va n o ns o n d er wijs el k e s c h o ol z elf

dit peil mi n of meer te late n be pale n. Me n vrees de; dat bij'Ie h ui di ge

t e n d e ns, di e er b est a at e n di e ni et b e p a al d g u nsti g is v o or d e

Wis k u n d e v a k k e n, dit w el e e ns h et b e gi n v a n h et ei n d e v a n h et

Mec ha nica- o n der wijs k o n bete ke ne n. Ee n ste m mi n g wer d niet

ge-h o u d e n i n v er b a n d m et ge-h et v er g e v dr d er d u ur. D e H e er v a n

A n d el z ei, d at m e n z.i. d e z a a k ni et b e h o' ef d e t e o v er h a ast e n e n

hij g af d e r a a d, d at h et B est u ur n o g e e ns m et d e I ns p e cti e z o u

s pr e k e n, h et g e e n g e b e ur e n zal. D e b e z war e n t e g e n d e c o ör di nati e

v a n h et Wis k u n d e- o n d er wijs e n h et M e c h a ni c a o n d er wijs, di e t e

ber de wer de n ge brac ht, le ke n t oc h wel te o ver k o me n. Het res ultaat

v a n d e b es pr e ki n g e n is d us, d at ër n o g g e e n d efi niti ef b esl uit g

e-n o me e-n is. O o k met Veli e-nes zal uit de aar d der zaa k c o e-ntact w or de e-n

g e z o c ht bij d e o pst elli n g va n h et ei n dra p p ort. Na dr u k k elij k w er d

v a n all e k a nt e n d e gr ot e w a ar d eri n g t ot uiti n g g e br a c ht, di e m e n

v o or h et w er k d er C o m missi e h a d, w a ar d o or n u ei n d elij k h et

Mec ha nica- o n der wijs zic h. meer o p. de. Nat u ur k u n de z o u k u n ne n

i nstelle n.

A D R E S WIJ ZI GI N G E N V A N D E L E D E N.

Daar bij het ver ze n de n va n de c o n v ocaties v o or de laatste Al

ge-m e n e V er ga d eri n g w e er g e bl e k e n is, dat v ers c hill e n d e a dr es wij

zi-gi n g e n ni et a a n h et S e cr et ari a at o p g e g e v e n zij n e n o o k d e Fir m a

N o o r d h o f f bij het verze n de n va n E ucli des meer male n e xe m plare n

t er u g krij gt, w or dt aa n d e l e d e n va n E u cli d es v er z o c ht h u n e v e

n-t u el e a dr es wij zi gi n g e n n-tij di g a a n h en-t S e cr en-t ari a an-t o p n-t e g e v e n.

1 3 1 C O N T RI B U TI E WI M E C O S. D e a a n d a c ht v a n d e l e d e n w o r dt e r o p g e v e sti g d, d at d e C o n-tri b uti e v o or Wi m e c o s v o or h et V er e ni gi n g sj a ar v a n 1 S e pt e m b er 1 9 4 9 - 1 S e pt e m b er 1 9 5 0 / 4. 5 0 b e dr a a gt e n v o or h et V er e ni gi n g sj a ar v a n 1 S e pt e m b er 1 9 5 0 - 1 S e pt e m b er 1 9 5 1 t 5. 5 0. D e l e d e n m o et e n d e z e b e d r a g e n st o rt e n o p p o st gi r o r e k e ni n g n o. 1 4 3 9 1 7 v a n d e V er e ni gi n g v a n Wi s k u n d el er ar e n t e A m st er d a m. D e a b o n n e m e nt s-k o st e n v o or E u cli d e s zij n hi er bij b e gr e p e n.

D e S e cr et ari s

Ir.

IJ.

J. T E K E L E N B U R G.

B er g s e l a a n 1 3 a, R ott er d a m.

D E R E G E L V A N SI M P S O N

I N H E T S T E R E O M E T RI E O N D E R Wfl S. -

D O O R

Dr J O H. H. W A N SI N K

M e er mal e n zij n er i n o n z e kri n g e n st e m m e n o p g e gaa n o m

d e pris m oi d e uit o ns o n d er wijs w e g t e l at e n 1), t er b e p er ki n g va n

h et aa ntal i n h o u ds b er e k e ni n g e n.

N u d e b e gi ns el e n d er diff er e ntiaal- e n i nt e graalr e k e ni n g t ot h et

l e er pla n va n d e H. B. S. B b e h or e n, lij kt h et m e st e]li g ni et g e w e nst

t ot d e g e n o e m d e v er e e n v o u di gi n g o v er t e gaa n. I nt e g e n d e el, er is

all e r e d e n o m d e i n h o u dsf or m ul e v o or d e pris m oi d e, di e v o or e e n

v e el r ui m er e klass e va n li c ha m e n g el dt da n waar v o or w e z e t ha ns

bij o ns o n d er wijs pl e g e n t o e t e pass e n, als

,,re gel v a n Si m p s o n" 2)

bij d e i n h o u ds b er e k e ni n g e e n bij z o n d er r el ef t e g e v e n

3 ).

Ge geve n.

D( x)

— a + b x + c x 2 + d x3 . . .

(1)

T e b e wijz e n:

j h D d = _{h { D( h) + 4 D( h) + D( o)}}

_{. . ( 2 )}

B e wijs.

E e n v o u di g e i nt e grati e g e eft:

f

D( x) d x

=

a h + _{bh 2 + *}3 -1-- l d h4c h

.

. . . (

3)

V o ort s i s: D ( h

=

a + b h + ch2 + d h3

,

D( 4 h)

=

a + b h + ch2 + d h3

,

D( o) = a,

w a ar uit v ol gt:

.. h{ D( h) + 4 D( h) + D( o) }

=

_{a h + bh 2 + ch3}

₊

d h 4 . .

(

4)

Uit ( 3) e n ( 4) v ol gt h et t e b e wij z e n e.

Als we de i nte graal d o or T e n D( h), D( h), D( o) o p v ol ge n d d o or

G, M e n B v o orst ell e n, krij g e n w e:

I =. h( G + 4 M + B)

. . .

(5)

( F or m ule v a n Si m p s o n). ') Zi e o. a.: E u cti d e s, j g. 1 4, bl z. 8 2. 2) _{T h o m a s Si m p s o n ( 1 7 1 0 - 1 7 6 1), W o ol wi c h, E n g el a n d, ni et t e v e r w a r r e n} m et R o b e rt Si m s o n ( 1 6 8 7- 1 7 6 8), Gl a s g o w, di e bij o n s b e k e n d i s d o o r d e r ec ht e v a n. Si m s o n ( b et e r: r e c ht e v a n W all a c e).

S) _{Zi e D r. E. V o eli m y, Z u r P ri s m at oï df o r m el, i n: El e m e nt e d e r M at h e m ati k,}

1 3 3

O p m er ki n g. D e f o r m ul e v a n Si m p s o n g el dt ni et, i n di e n D( x) e e n r ati o n al e f u n cti e i s v a n e e n a n d e r e g r a a d d a n d e e e r st e, d e t w e e d e of d e d er d e. O m dit t e b e wij z e n, b er e k e n e n w e d e bij dr a g e n, di e d e t e r m x' i n D( x) t ot d e b ei d e l e d e n v a n ( 2) g e eft. W e vi n d e n: r h 1

x' d x =

n. + 1 e n I h { D( h)

₊

4 D( J 4) + D( o)} ={ +

_{* ( }}

h 1,

w el k e bij d r a g e n v o o r will e k e u ri g e h sl e c ht s d a n g elij k zij n, al s

d.i. al s 2 n_ 2

+

1 . . ( 6 )

H et li n k erli d v a n d e z e v gl. i s d efi ni et- p o siti ef, h et r e c ht erli d i s p o siti ef v o o r - 1 <

(

ii) < 5. Will n w e d e r z o e k e n, w el k e g e h el e

ii

v ol d o e n, d a n h e b b e n w e sl e c ht s t e s u b stit u er e n: n. = 0, 1, 2, 3 e n 4, 2- 2 i s o p v. 1, 2 e n 4, n . + 1 i s o p v. - , , 1, 2, 5, 5 - ; j z o d at all e e n

ii

_{= 1 1 2 e n 3 v ol d o e n. G e b r o k e n w a a r d e n v a n}

n

v ol d o e n ni et: i m m er s • v o or g e br o k e n

n is

h et li n k e rli d v a n ( 6) irr ati o n a al, h et r e c ht erli d r ati o n a al 1).

3.

f 2

D( x)d x

i s d e i n h o u d v a n e e n li c h a a m g el e g e n t u s s e n d e vl a k k e n x = x 1 e n x = x 2, i n di e n D ( x) d e o p p er vl a kt e v o or st elt v a n d e d o or s n e d e e v e n wij di g m et h et vl a k x = x 1 v o or xl W e b e s c h o u w e n n u e e n kl a s s e v a n li c h a m é n, di e v ol d o e n a a n d e v ol g e n d e v o or w a ar d e n: v o or el k d e z er li c h a m e n b e st a a n er t w e e e v e n wij di g e vl a k k e n = e n =fl,- = w a art u s s e n h etii c h a ar n g el e g e n i s; - d e o p p e r vl a kt e n v a n d e d o o r s n e d e n v a n h et li c h a a m m et = = vl a k k e n e v e n wij di g a a n c' e n j 9 zij n r ati o n al e f u n cti e s v a n h o o g st e n s d e d er d e gr a a d i n d e af st a n d v a n d e d o or s n e d e t ot é é n d er vl a k-k e n o c e nfl.

1 3 4 O p gr o n d v a n § 2 g el dt n u v o or d e z e ,, Si m s o n' s e li c h a m e n " d e i n h o u d sf or m ul e: I - =. h ( G + 4 M + B ), w a ari n h d e af st a n d d er vl a k k e n ot e n

fi

is, G d e o p p er v] a kt e v a n d e d o or s n e e v a n h et li c h a a m m et a (,, g r o n d vl a k"), B d e o p p e r vl a kt e v a n d e d o or s n e e v a n h et li c h a a m m et

_fi

(,, b o v e n vl a k") e n M d e o p p er-vl a kt e v a n d e d o or s n e e v a n h et li c h a a m m et h et er-vl a k, d at e v e n v er v a n ot al s v a n

fi

li gt (,, mi d d e n d o or s n e d e"). A a n d e v o o r w a a r d e n v a n § 3 w o r dt o. a. v ol d a a n d o o r: h et p ri s m a, d e p y r a mi d e, d e c yli n d e r, d e k e g el, d e b ol;

d e af g e k n ott e p yr a mi d e e n k e g el, d e b ol s c hijf, h et b ol s e g m e nt e n d e b ol s c hil; d e pri s m oi d e;

h et af g e k n ott e dri e zij di g pri s m a, w a ar v a n é é n d er zij vi a k k e n al s gr o n d vl a k w or dt b e s c h o u w d,

d.i; d u s v o or z o g o e d al s all e i n o n s s c h o ol pr o gr a m v o or k o m e n d e li c h a m e n.

Zi e v o o r h et b e wij s: § 6.

Afl ei di n g v a n i n h o u ds/ or m ul es uit • d e F or m ul e v a n Si m ps o n. Pris m a e n c yli n d er (r e c ht e n s c h e ef).

I r r. h ( G + 4 M + B ) = . h( G + 4 G + G) = h G. P yr a mi d e e n . k e g el. I = h ( G + 4 M + B ) =. h ( G + 4 . G + O ) = * h G. M = G kr a c ht e n s d e st elli n g: d e o p p er vl a k k e n d er d o or s n e d e n e v e n wij di g a a n h et g r o n d vl a k v a n p y r a mi d e of k e g el v e r h o u d e n zi c h al s d e k w a d r at e n v a n d e af st a n d e n t ot d è t o p. B ol. I =.. h ( G + 4 M + B ) = . 2 R( O + 4j R 2 + 0) = 4 J R 3. A/ g e k n ott e p yr a mi d e. I = J i j G + 4 M + B) = h { G +( / G + \ / B) 2

+ B}

= h( G + B + V B G) .

Fi g. 2 Fi g. 3. 1 3 5 D at 2 V M = / G + - / B blij kt v o or d e p yr a mi d e a. v. ( zi e fi g. 1): G : M : B = g 2 : m2.: b2 ( ei g e n s c h a p v a n g elj k v. v e el- h o e k e n) G : M : \ / B = g : m : b _b Uit: 2 m = g + b ( ei g e n s c h a p M mi d d e n p ar all el) v ol gt n u: - - - - -- 2. / M = V G = V B. i n _{-- --- - G} V o o r d e k e g el v e rl o o pt h et - - b e wij s a n al o o g, al s w e d e zij d e n - - T g, m e n b d er dri e e v e n wij di g e g vl a k k e n d o or d e str al e n d er cir Fi g. 1. k el s v a n G,. M e n B v er v a n g e n. B ol s e g m e nt. Hi e r i s ( zi e fi g. . 2): M = = . h . ( 2 R - h) e n B = O , z o d at: 1 = j- h{ h( 2 R — h) + 2 h( 2 R — h} = h 2 ( 2 R — h). B ol sc hij /. Hi e r i s ( zi e fi g. 3): 712. + d 2 = R2 2 + ( d + h ) 2= R 2 e n 7 2 2 + ( d + h) 2 = R 2,

w a ar uit d o or eli mi n ati e v a n R e n - d v ol gt: = 1 7 2

₊

_{4r 2 2}

+

1 h 1, e e n f o r m ul e, di e v e el a n al o o g s h é èft m et d e z w â art èlj nf oti ü ul c i n e e n dri e h o e k. M e n vi n dt n u: T = — h{ r + ( 2r 2 + 2722 + h2) + 7 2 2 1 6 = . n h { 3 r j2 + 3722 + h 2}.

136 Pris m oi de.

W e l at e n d e f o r m ul e I

G

+ 4 M, + B) o n h erl ei d.

A/ g e k n ot dri ezij di g pris m a. Hi e r i s ( zi e fi g. 4): 0 3 Fi g. 4.

G

= k. a 1 + a2 ₂ M = k. ( a + a 3) + ( a 2 + a 3) 2 d u s T = h { k a 1 + a 2 + k ( a 1 + k ( a 2 ± a 3) } = k h ( a 1 + a2 + a3) = x ,,r e c ht e d o or s n e e" x ,, s o m e v e n w. ri b b e n" B olsc hil. Hi e r i s ( zi e fi g. 5):

M

=

(

r12 - r22) = r( r 1 ± r 2)(r1 - r2) = P D . P C = . P A. P B = v k 2. G = B = O

D us:

I =. h( o +. 1t k 2 + o) = /9

1

I k

Vi

k Fi g. 5.

Fi g. 7

1 3 7

6. B e r e k e ni n g v a n D( x)

v o or d e i n

§

5 g e n o e m d e li c ha m e n.

Pris m a's e n C yli n d ers:

D ( x) =

G,

d us va n de n ul de graa d i n x.

P yr a mi d e n e n K e g els:

N o e mt m e n d e afst a n d v a n e e n d o ors n e e e v e n wij di g a a n h et

gr o n d vi a k t ot d e t o p x, d a n is:

D (x) : G

= : h 2,

d us D ( x) =

G,

d.i. e e n f u n cti e v a n d e t w e e d e gr a a d i n x.

c) B ol e n b ol d el e n.

O n d erst él d at h et mi d d el p u nt v a n d e

b ol i n h et p u nt ( R i o, o) v alt. V o or e e n

d o ors n e e I x- as g el dt ( zi e fi g.

6): 7 E 2 2 _{2 R}

x

•

= x( 2 R — x),

d.i. e e n f u n cti e v a n d eti e e d e gr di n x

O o k ee n

b olse gi ne nt

v ol d oet bij ge v ol g

aa n d e v o or waar d e n va n

§

3.

Fi g. 6.

• Zij de afsta n d va n ee n d o ors nee t ot het

- 2 R x m o et zij n: 2 R — x.

b o v e n vla k va n e e n

b ols c kij/ x',

d a n k a n m e n x' =

x

- n e m e n,

als me n de pijl va n het b olse g me nt, dat aa n de a n dere zij de va n het

b o v e n vl a k v a n d e s c hijf li gt d a n d e z e s c hijf, d o or p v o orst elt.

D( x) = n x. ( 2 R — x) g a at n u o v er i n

D( x') =( x' + P)( 2 R — x' —),

d.i. w e er e e n f u n cti e v a n d e t w e e d e gr a a d i n x.

V o or d e o p p er vla kt e va n e e n d o or-

s n e e D( x) vi n d e n w e bij d e

b olsc hil

( zi e fi g. 7).

D( x)

= (

2 - 2 ) _/

=. P B. P A

-

x h — x = 7 r

c os

99

c os qi

di. e e n f u n cti e v a n d e t w e e d e gr a a d

m x.

-

Pris m oi d e.

O n d erst el d at d e o p p er vl a kt e n v a n

gr o n d- e n b o v e n vl a k G e n B zij n;

pr oj e ct e er e e n d o ors n e e, e v e n wij di g

138

a a n gr o n d- e n b o v e n vl a k o p h et gr o n d vi a k, e n h et b o v e n vi a k

e v e n e e ns ( zi e fi g. 8).

O n d erst el, d at d e afst a n d v a n d e d o ors n e e t ot h et b o v e n vi a k

v a n d e pris m oi d e x is e n d us t ot h et gr o n d vi a k

h

- x. N o e m

d e g e z a m e nlij k e o p p er vl a kt e n v a n d e pr oj e cti es d er zij vl a k k e n,

di e t w e e h o e k p u nt e n i n h et

gr o n d via k e n éé n i n het b o ve n-

vl a k h e b b e n ot, e n d e g e-

z a m e nlij k e o p p er vl a k k e n v a n

d e pr oj e cti es d er zij vl a k k e n,

-

di e t w e e h o e k p u nt e n i n h et

h o ve n via k e n ee n i n het gr o n d-

Ç

vla k h e b b e n 9 da n vi n d e n w e

Fi g.

s:

h 2

d-.i. e e n f u n cti e i n x va n h o o gst e ns d e t w e e d e graa d.

O p merki n ge n.

1. I s o c = j, d a n w or dt D( x) v a n d e e er st e

graa d i n x Dit is b v. h et g e val bij e e n pris ma, waar va n e e n o pstaa d

zij vl a k als gr o n d vi a k w or dt b es c h o u w d ( zi e fi g. 9).

M e n vi n dt: D( x) =

a' b'

si n

_q = a . j- b.

si n

q' =j -. G.

d us e e n f u n cti e v a n d e e erst e gr a a d i n x.

rol Fi g. 9.

2. I n fi g. 8 li gt d e pr oj e cti e v a n h et b o v e n vi a k g e h e el bi n n e n

h et gr o n d via k. D e fi g u ur ka n o o k mi n d er e e n v o u di g uit vall e n. D e

g e v o n d e n f or m ul e gaat d o or, als m e n n e e mt:

139

i n

= Ô. c o s 9 9, e n

= 6 . c o s ,

waari n b

i (i =

1, 2,

. . . ii)

d e o p p er vl a k k e n d er zij vi a k k e n v a n

d e e erst e, e n b

, (i

=. 1, 2,

. . . m)

di e v a n d e t w e e d e r e e ks zij n

e n q, d e h o e k e n

v a n

d e z e zij vi a k k e n m et h et gr o n d vi a k.

7.

a) B e h al v e d e i n

§

6 b es pr o k e n li c ha m e n, waari n D( x) e e n

rati o nale f u nctie i n x is va n de n ul de, de eerste of de t wee de graa d,

zij n er o k n o g

,, Si m pso n'se lic h a me n ",

waar bij D( x) va n d e d er d e

graa d is. I n o ns sc h o ol pr o gra m k o me n ze niet v o or, maar we k u n ne n

ge ma k kelij k c o nstr uctie v o orsc hrifte n v o or e n kele va n deze lic ha me n

ge ve n.

Voor beel d

1; zi e fi g. 1 0.

D e d o ors n e d e n e v e n wij di g m et h et vla k x

=

0 zij n rec ht h oe ke n

EIM

Fi g. 1 0.

m et zij d e n 2 x e n

z o dat D( x)

=

x 3. D e mi d d elst e p u nt e n d er

d o ors n e d e n li g g e n o p d e x as. H et li c h a a m is g et e k e n d v o or

2

~

( x) : 5: 6.

Het is begre ns d d o or gr o n d via k A B C D ( o p p.

=

7 2), d o or b o ve n via k

E F G H ( o p p. = 2), d o or 2 vla k k e e n d o or 2 g e b o g e n o pstaa n d e

zij-vl a k k e n. 1

=

106*.

Voor beel d

II; zi e fi g. 1 1.

O o k hi er zij n d e d o ors n e d e n e v e n wij di g m et h et vl a k x

=

0

rec ht h oe ke n. De zij de n zij n x e n x( 6

-

x), z o dat D( x)

=

6x 2

-

x 3.

I n d e gr e ns vl a k k e n x

=

0 e n x

=

6 li g g e n o p v ol g e n d h et p u nt T

e n h et lij nst u k A B v a n h et li c h a a m. D e h o o gt e is 6.

140

H et li c haa m is b e gr e ns d d o or

2

platte vla k dele n e n éé n ge b o ge n

vla k d e el. I n fi g. 1 0 is sl e c hts d e h elft g et e k e n d; d e t w e e d e h elft is

s y m m etris c h m et d e g et e k e n d e t. o. v. vl a k T A B.

D e mi d d e n d o ors n e e is e e n r e c ht h o e k va n 3 bij 9.

D e i n h o u d v a n h et li c h a a m is 1 0 8.

b)

E e n e e n v o u di g Si m ps o n's li c h a a m, d at ni et o p h et s c h o

ol-pr o gra m v o or k o mt, is d e

o m w e nt eli n g s p ar a b öl oï d e

di e m e n krij gt

Fi g. 1 1.

d o or de kr o m me

y 2

=

x

v a n h et vl a k

z

= 0 o m d e x- as t e l at e n

we ntele n.

M e n vi n dt:

D( x) = r y 2 0

= x, z o d at

1j2 .

Hi er is: G

= n h,

M =

r h, B = 0,

d us v ol ge ns de f or m ule va n

Si m ps o n vi n d e n w e e v e n e e ns:

T = .- h( h + 2 h + 0) = h 2.

W e nt eli n g o m d e y- as g e eft: D( y) =

= :77;y 4, h

z o dat

5

D( y) d y =-- h 5.

1 4 1 Hi e r i s: G

=

7rh 4, M h 4 e n B = 0, z o d at d e f o r m ul e v a n Si m p s o n z o u g e v e n: T = h( h 4

+ Ijr A4

+ 0) = h 4. D e z e f or m ul e. g el dt e c ht er ni et v o or h et li c h a a m, o m d at D( y) v a n d e vi e r d e g r a a d i n y i s. H et a nt w o o r d k a n al s ,, e e n b e n a d e ri n g" v a n h et j ui st e a nt w o or d w or d e n b e s c h o u w d. c) B e st a at e e n li c h a a m uit e ni g e Si m p s o n' s e li c h a m e n, d a n z al i. h. a. d e i n h o u d ni et m et d e f or m ul e v a n Si m p s o n t e b e p al e n zij n- V o or b e el d. B e s c h o u w t w e e el k a ar r a k e n d e h al v e b oll e n m et d e pl att e gr e n s vl a k k e n e v e n wij di g, e n z 6 d at d e v er bi n di n g slij n d er mi d d el p u nt e n l o o dr e c ht o p di e gr e n s vi a k k e n st a at. D e af st a n d d er pl att e gr e n s vl a k k e n i s 2 7. Si m p s o n z o u. g e v e n: 1 = -. 2 r( r 2 + 0 + x r2) = 2,ir2 i. p. v. _ r r2. Er b e st a a n e c ht er o o k li c h a m e n, di e ni et a a n d e v o or w a ar d e n v a n -§ 3 v ol d o e n e n w a ar v a n d e i n h o u d t ô c h m et . d e. f or m ul e y a n Si m p s o n i s t e b e p al e n. N e e mt m e n d ri e h al v e b oll e n ,, r e c ht b o v e n el k a a r", z o d at d e af st a n d t u s s e n t w e e o p e e n v ol g e n d e pl att e gr e n s vi a k k e n t el k e n s r i s, d a n g el dt v o or h et g e h e el: - . G = nr 2, M = . 7 2 B = 0. .• Si m p s o n g e eft: 1 = -.. 3r(rr 2 + 3 2 + 0) = 2 r 3

,

h et j ui st e a nt w o or d. Pl a at st m e n o p e e n k u b u s m et ri b b e a e e n r e g el m ati g e vi er zij di g é p yr a mi d e m et h o o gt e h = a( 3 + . / 1 7), z o d at h et gr o n d vl a k v a n d e p y r a mi d e m et h et b o v e n vl a k v a n d e k u b u s s a m e n v alt, d a n v ol d o et h et g e h el e li c h a a m ni et a a n d e v o o r w a a r d e n v a n. § 3, t er wijl h et a nt w o or d, d at m e n m et d e f or m ul e v a n Si m p s o n v o or d e i n h o u d vi n dt, i n dit s p e ci al e g e v al t o c h j ui st i s.

V E R S C H EI D E N H E D E N

d o or

Pr of. Dr. 0. B O T T E M A

X X V. D E M O M E N T E N S T E L LI N G.

Bij h et b e wijs d er st elli n g:

h et m o m e nt v a n d e r es ult a nt e v a n e e n st els el i n e e n vl a k g el e g e n kr a c ht e n t e n o pzi c ht e v a n e e n p u nt is g elij k a a n d e s o m v a n d e m o m e nt e n v a n di e kr a c ht e n t e n o pzi c ht e v a n d at p u nt,

is n a ar i k m e e n d e v ol g e n d e g a n g v a n z a k e n vrij al g e m e e n

g e br ui k elij k. H et b e wijs w or dt e erst g e g e v e n v o or t w e e kra c ht e n

m et s nij d e n d e w er klij n e n, daar na v o or t w e e kra c ht e n m et e v e

n-wij di g e w er klij n e n e n t e n sl ott e v o or e e n will e k e uri g st els el.

Het wil mij v o or k o me n dat het al d us gele ver de be wijs ee n o

ver-b o di g el e m e nt ver-b e vat e n a n d er zij ds o n v oll e di g is.

Als h et e erst e g e d e elt e b e ha n d el d is (aa n d e ha n d Va n. d e fi g u ur

v a n h et p ar all el o gr a m v a n kr a c ht e n) lij kt h et mij ni et n o di g d e

st elli n g v o or t w e e e v e n wij di g e kra c ht e n af z o n d erlij k t e b e wij z e n,

alt ha ns niet wa n neer de re gel v o or het sa me nstelle n ya n e ve n wij di ge

kra c ht e n af g el ei d is o p d e wij z e waar o p dit v e elal g es c hi e dt. I n dit

ge val is i m mers d o or het i n v oere n va n t wee te ge n gestel de krac hte n

h et b e p al e n v a n d e r es ult a nt e g e h e el h erl ei d t ot p âr all ell o gr a

m-c o nstr um-cties e n is d us de gel di g hei d va n de m o me nte nstelli n g ree ds

ge waar b or g d d o or het eerste deel va n de be wijs v oeri n g. Nat u urlij k

is er w ei ni g b e z waar t e g e n o m v o or t w e e e v e n wij di g e kra c ht e n d e

m o m e nt e nst elli n g n o g e e ns r e c htstr e e ks t e v erifi ër e n, maar pri

n-ci pi ë el n o o d z a k elij k is h et ni et.

E e n t w e e d e o p m er ki n g b etr eft h et l a atst e d e el v a n h et b e wijs.

Me n o nt m oet daar veelal de v ol ge n de re de neri n g. Kies de

n

ge ge ve n

kr a c ht e n i n d e e e n of a n d er e v ol g or d e: K 1, K2, K3 . . . K,. St el

e n K 2 sa me n t ot R1, R1 e n K. t ot R2 e nz. e n pas daar bij tel ke ns

d e m o m e nt e nst elli n g v o or t w e e kr a c ht e n t o e. Af g e zi e n v a n d e

vr a a g of h et g e e n a a n b e v eli n g v er di e nt h et b e wijs m et v oll e di g e

i n d u cti e t e r e di g er e n, zal m e n t o c h d e m o g elij k h ei d ni et o v er h et

h o of d m o g e n zi e n, dat e e n d er r es ulta nt es R, ni et b estaat d o or dat

d e kr a c ht e n K 1, K2, . . . Km +i g elij k waar di g zij n m et e e n k o p p el.

Blij k b a ar z al m e n g o e d d o e n d e v ol g e n d e st elli n g uit t e s pr e k e n

143

( of i n de re dactie der m o me nte nstelli n g o p te ne me n): Als ee n aa ntal

kr a c ht e n g elij k w a ar di g zij n m et e e n k o p p el, d a n is d e s o m d er

m o m e nt e n v a n d e z e kr a c ht e n g elij k a a n h et m o m e nt v a n d at

k o p pel.

Het is mij wel be ke n d, dat i n versc hille n de leer b oe ke n de m o me

n-te nsn-telli n g e n de sn-telli n ge n die zic h daar o m hee n gr oe pere n be ha n del d

w or d e n o p e e n wij z e, di e v ol k o m e n c orr e ct is, m a ar h et b o v e n

aa n g e g e v e n b et o o g w or dt blij k e ns mij n er vari n g o p v el e s c h ol e n

ge v ol g d.

Het ge hele c o m ple x va n stelli n ge n betreffe n de het sa me nstelle n

v a n kr a c ht e n i n h et pl att e vl a k e n i n d e r ui mt e, k a n o p z e er v er

-sc hille n de ma niere n w or de n o p ge b o u w d ( v gl. b. v. o o k de o p mer ki n g

i n

V er s c h ei d e n h e d e n X VIII).

E e n kritis c h e b es pr e ki n g v a n d e z e

m et h o d es e n v a n h u n di d a ctis c h e v o or- e n n a d el e n z o u alt h a ns

d o or s c hrij v er d e z es z e er w or d e n g e waar d e er d.

X X VI. H E T V R A A G S T U K V A N M A L F A T TI.

- Bij d e z e w el b e k e n d e o p g a v e w or dt d e c o n str u cti e g e vr a a g d v a n d ri e ci r k el s C, C e n C, di e el k a a r t w e e a a n t w e e r a k e n e n w a a r bij C r a a kt a a n d e zij d e n A 1A 2 e n A1A 3 v a n e e n g e g e v e n dri e h o e k A 1A 2A 3, t e r wijl C2 r a a kt a a n A 2A 3 e n A2A 1 e n C a a n A 3A 1 e n A3A 2. H et v r a a g st u k w e r d g e st el d d o o r M alf atti i n 1 8 0 3 e n d o or h e m o p g el o st m et b e h ul p v a n e e n al g e br ai s c h e a n al y s e. Z e er b e k e n d i s d e b uit e n g e w o o n el e g a nt e m e et k u n di g e o pl o s si n g, di e St ei n e r i n 1 8 2 6 z o n d er b e wij s m e d e d e el d e e n di e m e n, v e el al m et d e d o o r H a rt i n 1 8 5 7 g e g e v e n b e wij s v o eri n g i n v er s c hill e n d e l e er b o e k e n vi n dt. St ei n er h e eft o o k uit br ei di n g e n v a n d e o p g a v e a a n g e g e v e n e n d e o pl o s si n g er v a n m e d e g e d e el d; d e e er st e i s di e w a ar bij d e g e g e v e n r e c ht e n A 2A 3, A3A 1 e n A1A 2 v er v a n g e n w or d e n d o o r ci r k el s; v e r d e r e g e n e r ali s ati e s b et r eff e n d e fi g u u r v a n d ri e ci r k el s o p e e n b ol e n v a n d ri e k e g el s n e d e n o p e e n k w a d r ati s c h o p p er vl a k. I n d e n e g e nti e n d e e e u w h e b b e n ë e n gr o ot a a nt al wi s.. k u n di g e n zi c h m et h et p r o bl e e m b e zi g g e h o u d e n, o. a. C a yl e y ( 1 8 5 2), S c h eil b a c h ( di e i n 1 8 5 3 e e n z e er fr a ai e g o ni o m etri s c h e o pl o s si n g b e k e n d m a a kt e) e n Cl e b s c h ( di e i n 1 8 5 7 d e o pl o s si n g v a n S c h eli b a c h uit b r ei d d e t ot d ri e k e g ei s n e d e n o p e e n k w a-d r ati s c h o p p e r vl a k e n a-d a a r bij g e b r ui k m a a kt e v a n elli pti s c h e f u n cti e s). L a at m e n bij h et o o r s p r o n k elij k e v r a a g st u k v a n M al-f a t t i o o k a a n g e s c hr e v e n e n el k a ar i n w e n di g r a k e n d e cir k el s t o e, d a n zij n e r i n 't g e h e el 3 2 (r e ël e) o pl o s si n g e n, di e m e n b. v. all e vi n dt a a n g e g e v e n bij P a m p u c h ( 1 9 0 4). D e g e n o e m d e g e n e r ali-s ati e ali-s h e b b e n z elf ali-s, z o al ali-s uit h et o n d er z o e k v a n Cl e b ali-s c h blij kt, 6 4 o pl o s si n g e n. D e lit e r at u u r o v e r h et p r o bl e e m i s d u s d a ni g o m v a n g rij k e n b o v e n di e n z o v er s pr ei d, d at h et vrij w el o n d o e nlij k i s h a ar g e h e el t e r a a d pl e g e n. V o or z o v er wij h e b b e n k u n n e n n a g a a n, h e eft e c ht er h et hi er v ol g e n d e s p e ci al e g e v al v a n d e g e n er ali s ati e v a n St ei n er ni et d e a a n d a c ht g etr o k k e n. H et i s a a ntr e k k elij k d o or d e e e n v o u d d er uit k o m st e n d o or d e m o g elij k h ei d v a n e e n b e p a al d e st er e o m e-tri s c h e i nt er pr et ati e. H et v r a a g st u k v a n M al f a t t i - St ei n e r l ui dt d u s al s v ol gt: g e g e v e n zij n dri e cir k el s C l, C2 e n C3. G e vr a a g d w or d e n dri e cir k el s

1 4 5

a a n C 3, Cl, C, C e n C a a n C 1, C2, C e n C, Wij ki e z e n n u h et bij z o n d er e g e v al, w a ar bij o o k d e g e g e v e n cir k els C, C 2, C3 el k a ar t w e e a a n t w e e r a k e n.

N at u urlij k k a n d e z e o p g a v e v ol g e n s d e al g e m e n e m et h o d e v a n St ei n er o p g el o st w or d e n. Wij ki e z e n e e n a n d er e w e g, w a ar bij d e e e n v o u d v a n h et pr o bl e e m o n mi d d ellij k blij kt: V o ert m e n nl. e e n i n v ersi e uit m et h et r a a k p u nt v a n C2 e n C3 t ot c e ntr u m, d a n g a a n d e z e cir k el s o v er i n t w e e e v e n wij di g e r e c ht e n 12 e n 73 e n C1 i n e e n cir k el K, di e a a n b ei d e r a a kt (fi g. 1). V o or d e z e fi g u ur i s d e c o n-str u cti e d er g e vr a a g d e cir k el s K. uit er st e e n v o u di g. I s 4r d e af st a n d v a n 12 e n 13 d a n zij n d e str al e n v a n K 2 e n K3 g elij k a a n r, di e v a n K 1 g elij k a a n 2r, t e r wijl d e af st a n d v a n d e mi d d el p u nt e n v a n K e n K 1 g elij k i s a a n 4 r V 2. E n blij k b a ar h e eft h et vr a a g st u k st e e d s t wee (r e ël e) o pl o s si n g e n.

O ns d o el is d e b er e k e ni n g v a n d e str al e n R, R e n R v a n C e n C al s d e st r al e n R 1, R2 e n R3 v a n d e g e g e v e n ci r k el s Cl,

CD

e n C 3 ( e n d a a r m e d e d u s d e fi g u u r v a n d e z e ci r k el s) g e g e v e n zij n. D a a rt o e o n d e r w e r p e n wij d e fi g u u r 1 a a n e e n will e k e u ri g e i n v er si e. Zij 0 h et c e ntr u m e n ki e z e n, wij e e n r e c ht h o e ki g a s s e n-st el s el m et 0 t ot o o r s p r o n g e n z o d at d e X- a s e v e n wij di g i s m et 12 e n 13 ; v o or d e m a c ht v a n i n v er si e k u n n e n wij z o n d er b e z w a ar d e e e n h ei d n e m e n. D e i n v er si e w or dt d a n v o or g e st el d d o or x _y x ' = 2 z Y ' 2 2

e n hi e r uit blij kt z o n d e r m o eit e, d at d e ci r k el m et mi d d el p u nt ( x0, Yo) e n d e str a al 9 o v er g a at i n e e n cir k el, w a ar v a n d e str a al

Lo g elij k i s a a n . H e eft h et mi d d el p u nt v a n K d e c o ör- x 02 + y 02

- 2

. di n at e n a, b, d a n zij n di e v a n d at v a n K 1

= (

a + 4 r V 2), b. Hi er-uit v ol gt 2r 2r R 1 = a 2 + b2 - 4r 2 R 1 = ( a + 4r V 2 )2 + b2 - 4r 2

1 4 6

D e

rec hte n 12 e n 13 gaa n d o or de i n versie o ver i n cir kels, waar va n

d e str al e n zij n.

1

1

R 2 = R 3 =

2 _{1 b - 2}

r1

2 1 b + 2 r 1

Wij z ull e n n u e erst v er o n d erst ell e n, dat 0 t uss e n 1 1 e n 12 ge k oze n

w or dt e n b uit e n K. D e cir k els C l, C2 e n C3 r a k e n el k a ar d a n t w e e

aa n t wee

uit w è n di g.

Me n heeft

b - 2 r < 0, b ± 2 r > 0, a 2

_{+ b2}

> 4 r 2

d us

1

2r R 2 2( 2r — b)' R 3 = 2( 2 r + b)' R 1 = a 2

_{+ b2}

- 4 r 2

w a ar uit v ol gt

a

1

b ( k 2 R R 3

- - ),

2 2 3 2'

z o dat m e n v o or é é n d er o pl ossi n g e n h e eft:

1

1

2 2 1 1 1 )

i

E v ë n z o h e eft m e n

1

2 1 2 1 1 1 \ = - + + + 2 / 2 / R _{+ R 3 R 1}

+

_{R 1 R )}

1

2

2

1

/ 1

1

₊

1

R 3 R 1 1 2 1 \. 3 1 12 3 _V R R 3 1 " 1 " 2

ter wijl de t wee de o pl ossi n g w or dt ge v o n de n d o or i n de rc hterle de n

d e w ort el v or m d o or h et t e g e n g est el d e t e v er va n g e n e n daar na d e

m o d ul us va n h et r e c ht erli d t e n e m e n. T er wijl d e e erst e o pl ossi n g

b estaat uit dri e cir k els, di e el kaar t w e e aa n t w e e uit w e n di g ra k e n,

zij n v o or de t wee de versc hille n de o msta n di g he de n m o gelij k: zij

be-st a at uit dri e el k a ar uit w e n di g r a k e n d e cir k els of uit dri e cir k els,

waar va n er t w e e el kaar uit w e n di g ra k e n, t er wijl d e d er d e d e b ei d e

a n dere i n we n di g raa kt. Va n de j uist hei d va n de ze o p mer ki n g o

ver-t ui gver-t m e n zi c h h ever-t b esver-t e d o or h ever-t p u nver-t 0 r es p. ver-t e ki e z e n b uiver-t e n

el k d er cir k els K 1, K2 e n K3, da n wel bi n ne n ee n va n de ze. Nee mt

me n 0 o p de o mtre k va n ee n de zer cir kels, da n wel i n het raa k p u nt

va n t w e e d e z er cir k els, da n k o m e n i n d e o pl ossi n g é é n, r es p. t w e e

r e c ht e lij n e n v o or.

Nee mt me n te nsl otte 0 b uite n de d o or 12 e n 13 be gre ns de str o o k,

da n w el bi n n e n K, da n o ntstaat h et g e val waar bij i n d e fi g u ur d er

ge ge ve ncir kels t wee i n we n di ge e n éé n uit we n di ge ra ki n g v o or k o me n.

1 4 7

Is C1 de cir kel, wel ke C2 e n Cl i n we n di g raa kt, da n m oet me n i n de

o pl ossi n g ( 1) d e gr o ot h ei d R 1 d o o r -

R 1

v er va n g e n e n h et z elf d e

g el dt v o or d e t w e e d e o pl ossi n g. B ei d e o pl ossi n g e n b estaa n n u uit

cir kels, die el kaar t wee aa n t wee uit we n di g ra ke n. Me n ka n o veri ge ns

( 1) e n d e o v ér e e n k o msti g e uit dr u k ki n g, w a ari n d e w ort el v or m

t e g e n g est el d is g e n o m e n, als d e al g e m e n e o pl ossi n g v o or el k g e val

o p v att e n, i n di e n m e n afs pr e e kt o o k n e g ati e v e w a ar d e n v o or e e n

str a al t o e t e l at e n e n af t e s pr e k e n, d at t w e e uit w e n di g r a k e n d e

cir k els str al e n v a n h et z elf d e t e k e n, i n w e n di g r a k e n d e z ul k e v a n

v ers ç hill e n d t e k e n b e zitt e n. Er zij n t w e e cir k els, w el k e d e dri e

ge ge ve n cir kels ra ke n. O o k dit blij kt o n mi d dellij k uit fi g. 1. I n de ze

fi g u ur zij n de strale n dezer cir kels bei de

2r,

de c o ör di nate n va n h u n

mi d del p u nte n

a ± 4 r.

Na i n versie vi n dt me n v o or de strale n de zer

,,i n g es c hr e v e n " cir k els v a n d e fi g u ur C l,

C 2,

_Cl:

1

1

1

( 1

1

+ +

R 1 R 2 R 3

R 2R 3 R 3R 1 R 1R 2

) . . ( 2)

uit dr u k ki n g e n, di e gr ot e a nal o gi e v ert o n e n m et ( 1); m e n vi n dt z e

r e e ds bij St ei n er ( W er k e T, p g. 6 1- 6 3, m et e e n v er h el d er e n d e

a a nt e k e ni n g v a n W ei erstr as z, p g.

5 2 4).

Ter wijl Q

,

altij d p ositi ef

is, k a n

gr ot er d a n, g elij k a a n, of kl ei n er d a n n ul zij n. E e n d et

cir k els r a a kt d e g e g e v e n cir k els all e uit w e n di g, d e a n d er e r a a kt

h e n all e uit w e n di g of all e i n w e n di g ( of is i n h et o v er g a n gs g e v al

e e n r e c ht e). O o k d e z e ei g e ns c h a p p e n l e est m e n g e m a k k elij k uit

fig. 1 af. S t e i n e r be wijst

( 2)

d o or ee n rec htstree kse bere ke ni n g met

be h ul p va n de h o o gtelij nf orr n ule v o or ee n drie h oe k. Uit

( 1)

e n

( 2)

ka n m e n e e n gr o ot aa ntal r elati es t uss e n d e stral e n R 2 der ge ge ve n

cir k els, d e str al e n R.' d er cir k els v a n M alf atti e n d e str al e n

ei

d er raa k cir k els afl ei d e n; wij n o e m e n sl e c hts

1

1

1

1

1

1

O ver de f or m ules ( 1) wille n wij n o g e n kele o p mer ki n ge n ma ke n.

Heeft me n bij de fi g u ur S der ge ge ve n cir kels C 1C 2C 3 ee n der bei de

stelle n S' va n cir kels C 1

',

C 2

',

C 3' v a n M alf atti g e v o n d e n, d a n k a n

m e n o p S' d e c o nstr u cti e h er hal e n; é é n va n d e b ei d e st ell e n cir k els

v a n M alf atti, di e bij S' b e h or e n, is blij k b a ar S. V o ort g a a n d e o

nt-st a at e e n zi c h i n t w e e ri c hti n g e n uitnt-str e k k e n d e

k et e n v a n ci r k el -t ri p el s

m et d e ei g e ns c h a p, d at v a n t w e e o p v ol g e n d e s c h a k els el k

e e n M alf atti-fi g u ur is v a n d e a n d er e.

1 4 8

d ri et al i n d r u k k e n i n d e st r al e n v a n d e ci r k el s, w a a r v a n m e n i s uit g e g a a n. P a st m e n ( 1) t o e o p _,, d a n k rij gt m e n, d e n e g ati e v e w o rt el ki e z e n d, - t e r u g. V o o r h et ni e u w e st el o nt st a at e r 1 1 7 1 6 1 6 1 1 1 ) e n R 1 _{R 1 R 2 R 3} ( R 2 R 3 R 3 R 1R 2 t e r wijl v o o r d e v ol g e n d e s c h a k el s g e v o n d e n w o r dt 1 1 6 1 1 6 2 1 6 2 ( R 2 R 3 1 1 1 — = — + — + — + 1 9 8 \ / 2 + ± R 1 3 R 1 R 2 R 3 _{R 3R R 1R 2} 1 1 6 0 1 1 6 0 0 1 6 0 0 / 1 1 1 = - - - - + + + 1 9 6 0 / 2 _{+ R 3 R 1 + R 1 R 2} St elt m e n 1 - aZ D + 1 a 2 a2 _{b 2 _ 1} 1 1 R 1 2

+ + +

2 v V' R 2 R 3 + R3 R1 + R 1 R 2 1 - a 22,+ 1

+ 1

a 2 + 1 + 2 a 2 +

1 +

2 R( 2 P + 1) _{1 1} + _{R 2 + R 3} ( R 2 R 3. + b 2 D +l / 2

₊

₊

_D L 3 I 1 L 1 Jt 2 d a n vi n dt m e n: a 2 + 1 = 1 0cz 2 — a 2, _1, a 2 = 1 0 a 2 D 1 2 P 2 + 1 6 1 b k =l O bk_ j— b k

_2

uit w el k e r e c urr e nt e b etr e k ki n g e n m e n d e str al e n d er tri p el s b e-r e k e n e n k a n.

D e fi g u ur v a n dri e el k a ar t w e e a a n t w e e r a k e n d e cir k el s C 1C 2C 3 v o r mt m et e e n st el M alf atti- ci r k el s C 1' C2' C3' e e n c o nfi g u r ati e v a n 6 cir k el s, w a ar v a n el k e vi er d er o v eri g e r a a kt. B e el dt m e n d e cir k el s v a n h et vl a k af o p d e p u nt e n v a n e e n dri e di m e n si o n al e pr oj e cti e v e r ui mt e, w a ar bij d e p u nt cir k el s m et d e p u nt e n v a n e e n k w a dr ati s c h o p p er vl a k Q c orr e s p o n d er e n, d a n k o mt m et d e c o n-fi g ur ati e e e n oct a e d er o v er e e n, w a ar v a n d e ri b b e n a a n Q r a k e n. D e c o n str u cti e, di e a a n d e or d e w a s, k o mt d u s n e er o p d e v ol g e n d e st er e o m etri s c h e o p g a v e: o m e e n k w a dr ati sc h o p p er vl a k Q ( b. v. o m e e n b ol) e e n o ct a e d er t e c o n str u er e n, w ei k s ri b b e n a a n Q r a k e n e n w a ar v a n d e h o e k nt e n v a n e e n zij vi a k g e g e v e n zij n. Dit pr o bl e e m blij kt d u s t w e e o pl o s si n g e n t e h e b b e n. E n m et d e b o v e n g e n o e m d e k et e n c orr e s p o n d e ert e e n k et e n v a n dri e h o e k e n, all e o m g e s c hr e v e n o m Q e n m et d e ei g e n s c h a p, d at t w e e o p v ol g e n d e dri e h o e k e n o v er-st a a n d e zij vl a k k e n zij n v a n e e n o m g e s c hr e v e n o ct a e d er.

1 4 9

Uit d e b o v e n af g el ei d e b etr e k ki n g e n t u s s e n d e str al e n d er cir k el s blij kt, d at d e z e al s m e n i n d e e n e ri c hti n g v a n d e k et e n g a at st e e d s kl ei n e r, e n d u s i n d e a n d e r e ri c hti n g st e e d s g r ot e r w o r d e n, e e n o m st a n di g h ei d, di e o o k uit d e fi g u u r blij kt. I n d e e n e ri c hti n g g a a n d è z al d u s h et cir k eltri p el v er s c hr o m p el e n t ot e e n e n k el p u nt. M et d e vr a a g h o e dit p u nt t e n o p zi c ht e v a n d e dri e o or s pr o n k elij k e cir k el s g el e g è n i s, m o g e d e z e b e s c h ei d e n bij dr a g e t ot d e k e n ni s v a n h et m er k w a ar di g e pr o bl e e m v a n M alf a t t i w or d e n b e sl ot e n.

B O E K B E S P R E KI N G E N.

P r of. D r C. H. v a n O s, V e ct o r a n al y s e. D elft s c h e Uit g e v e r s M a at s c h a p pij, D elft 1 9 4 9. 1 1 3 bl z. / 4, 5 0.

v e r s c h e n e n al s h a n dl ei di n g N o. 8 5 bij h et o n d e r wij s a a n d e T e c h ni s c h e H o g e-s c h o ol t e D elft, k a n t o c h o o k a n d er e n d a n e-st u d e nt e n dit d e g elij k e e n pr etti g l e e e-s b ar e w e r k v a n d e n D elft s e n h o o gl e r a a r v o o r e e n s n ell e i nl ei di n g t öt d e V e ct o r a n al y s e t e n z e e r st e w o r d e n a a n b e v ol e n. ,, N o o d g e d w o n g e n" g e eft s c h r. h et v e el g e b r ui kt e s y st e e m v a n Gi b b s, h o e w el h e m e e n o p b o u w, di e zi c h n a u w e r bij d e q u at e r ni o n e n v a n H a milt o n z o u a a n-sl uit e n; li e v e r w a r e g e w e e st. Uit e r a a r d zij n ni et d e h o o g st e ei s e n a a n d e st r e n g h ei d g e st el d; t o c h h a d h et mi. . a a n b e v eli n g v e r di e n d, t e b e wij z e n, d at d e i n § 4 af g el ei d e v o o r w a a r d e n b e h al v e n o o d z a k elij k o o k v ol d o e n d e zij n, al w a s h et all e e n o m d e v a a k v o o r k o m e n d e li c ht-v a a r di g h ei d t e n d e z e ni et i n d e h a n d t e w e r k e n.

V e r g el e k e n bij d e o u d e r e, v o o r al D uit s e lit e r at u u r o v e r d e V e ct o r a n al y s e, h e eft d e s c h rij v e r n a a r e e n p rij z e n s w a a r di g e b e k ri o pt h ei d g e st r e èf d. N a a r d e i n § 8 af-g el ei d e r e k e n r e af-g el s h a d e c ht e r bij d e t o e p a s si n af-g e n v a k e r k u n n e n zij n v e r w e z e n.

V o o r al bij d e afl ei di n g v a n d e f o r m ul e s v a n S e r r et e n F r e n et i n d e t h e o ri e d e r r ui mt e k r o m m e n h e eft h et o n s g et r off e n, h o e si e rlij k d e v e ct o r a n al yti s c h e b e wij z e n k u n n e n zij n; . mi n d e r g el u k ki g i s d a a r bij d e n ot ati e d e r e e n h ei d s v e ct o r e n, d a a r hi e r bij, v o o r t w e e v a n d e d ri e, G ri e k s e l ett e r s w o r d e n g e b r ui kt, w a a r bij n o g k o mt, d at o o k c o ëffi ci ë nt e n m et d e z e l ett e r s o o rt w o r d e n a a n g e g e v e n.

N o e m e n wij n o g d e v o o rt r eff elij k e b e h a n d eli n g v a n d e c e nt r al e b e w e gi n g, v a n d e v el d e nt h e o ri e, v a n d e i nt e g r a al st elli n g e n v a n G a u s s e n St o k e s e n d e wij z e, w a a r o p d a a r uit a n d e r e st elli n g e n w o r d e n af g el ei d.

D e uit g a v e i s t y p o g r afi s c h. uit st e k e n d v e r z o r g d; all e e n h a d o.i. e e n v e r m el di n g d e r V rij. t al rij k e d r u kf o ut e n ni et m o g e n o nt b r e k e nf T H Y S E N. D r H. J. E. B et h, Ki n e m ati k a i n h et pl att e vl a k. N o o r -d u y n' s W et e n s c h a p p elij k e R e e k s n r. 3 2. G o ri n c h e m 1 9 4 9. 2 3 9 bl z. / 5, 6 0. M e n k a n o p g o e d e g r o n d o p h et hi e r b o v e n g e n o e m d e w e r k a a n m e r ki n g e n m a k e n; m e n k a n h et, e v e n e e n s t er e c ht, al s rij k a a n i n h o u d e n ori gi n e el prij z e n. E e n r ef er e nt, di e zij n t a a k e r n sti g o p v at, k a n n a l e zi n g e n b e st u d e ri n g a a n h et sl ot alli c ht c o n-st at e r e n, d at hij d a n k b a a r i s z o w el v o o r d e k e n ni s m a ki n g m et h et b o e k al s v o o r h et b e ei n di g e n v a n d e z e ni et g e m a k k elij k e o p d r a c ht.

D e k riti e k, b et r eft v o o r n a m elij k d e, o v e r w e g e n d m e et k u n di g g eti nt e, v o r m. V o o r wi e i s dit b o e kj e ei g e nlij k g e s c h r e v e n ? E n k el e d efi niti e s e n v e r kl a ri n g e n i n h et b e gi n d o e n e e n el e m e nt ai r e uit e e n z etti n g v e r w a c ht e n. D e p r oj e cti e v e t r a n sf o r m ati e w o r dt uit g el e g d; d e b r a n d p u nt e n, o o k v a n e e n k r o m m e v a n h o g e r e g r a a d d a n d e t w e e d e, w o r d e n g e d efi ni ë e r d. M a a r d e l e z e r, di e v e r d e r o p d e S c h rij v e r i n zij n

1 5 1

b et o o g wil v ol g e n e n zi c h v a n d e j ui st h ei d d e r, s o m s z e e r s u m mi e r b e w e z e n, s o m s vrij w el sl e c ht s a a n g e g e v e n, c o n cl u si e s wil o v ert ui g e n, h e eft d a ar bij e e n s oli d e k e n ni s ' v a n al g e b r aï s e- e n diff e r e nti a al m e et k u n d e n o di g; e n ni et, all e e n k e n ni s, m a a r o o k g e o ef e n d h ei d. Dit k o mt t ot uiti n g v o o r al v a n af h et p u nt; w a a r d e S c h rij v e r d e b e w e gi n g i n h et pl att e vl a k i n d e d ri e di m e n si o n al e r ui mt e g a at af b e el d e n v ol g e n s e e n m et h o d e, di e v a n St u d y af k o m sti g s c hij nt t e zij n, m a a r d a n w el d o o r h e m st e r k

n a a r ei g e n b e h o eft e e n s m a a k i s o nt wi k k el d.

L at e n wij d e i n h o u d i n h et k o rt . r e s u m e r e n. H et b e gi n g e eft, w at m e n k o n v e r-w a c ht e n: s n el h ei d s- e n v e r s n elli n g s di st ri b uti e s; c o n st r u cti e s v a n r a a klij n e n e n k r o mt e st r al e n; bij z o n d e r e fi g u r e n e n p u nt e n bij d e b e w e gi n g ( b ui g- e n k e e r ci r k el s, p u n t v a n B ali, p u n t e n v a n B u r m e s t e r); bij z o n d e r e b e w e gi n g e n ( ell p ti e s e, e a r di oï d al e, c o n c h oï d al e b e w e gi n g e n). Dit all e s w o r dt t o e g eli c ht m et e e n rij k d o m v a n v o o r b e el d e n e n g e k r ui d d o o r m e et k u n di g e o p m e r ki n g e n. -

O p p. 5 7 b e gi nt d e S c h rij v e r d a n zij n b e s c h o u wi n g e n o v e r d e al g e b r aï s e b w e gi n g e n, v o o rl o pi g v o o r al d e r ati o n al e; o p p. 1 1 1 i nt r o d u c e e rt hij d e r e e d s g e-n o e m d e af b e el di e-n g, di e h e m d a e-n e e e-n uit g a e-n g s p u e-nt i s v o o r e-ni e u w o e-n d e r z o e k, v o o r al o o k v o o r ni et r ati o n al e b e w e gi n g e n b. v. bij d e st a n g e n vi é r h o e k. E e n s u c c e s -n u m m e r hi e r bij i s d e m e et k u -n di g e afl ei di -n g v a -n d e ei g e -n s c h a p p e -n d e r k o p p el-k r o m m e, e e n c u ri o s u m d e g e h e el v e r s c hill e n d e b e w e gi n g e n, di e af g e b e el d w o r d e n d o o r b e el d k r o m m e n, di e el k a a r s s pi e g el b e el d e n t e n o p zi c ht e v a n e e n v a st p u nt zij n. D e al g e m e n e b e s c h o u wi n g e n- h e b b e n t ot z o v e r e e n al g e b r aï s c h k a r a kt e r. Bij d c c y cli s c h e b e w e gi n g e n, p. 1 8 1, e n v er d er o p i s d at ni et m e er h et g e v al. E e n e n k el w o or d n o g o v e r d e b ei d e l a at st e h o of d st u k k e n, di e b et r e k ki n g h e b b e n o p d e b e w e gi n g, af h a n g e n d e v a n t w e e p a r a m et e r s; e e n o n d e r w e r p, w a a r o v e r d e S c h rij v e r r e e d s v r o e g e r e e n w a a r d e v oll e bij d r a g e h e eft g el e v e r d. I nt e r e s s a nt i s hi e r bij o. a. h et o n d er z o e k n a ar o nt bi n d b ar e st el s el s ( h e b b e n t w e e vl a k k e n e e n b e w e gi n g, af h a n g e n d e v a n t w e e p a r a n et e r s, t. o. v. el k a a r, d a n k e n e r e e n d e r d e vl a k zij n, d at t. o. v. b ei d e e e n é é n p a r a m et e ri g e b e w e gi n g h e eft). Zij n g e w o o nt e g et r o u w g e eft d e S c h rij v e r

a a r d i g e v o o r b e e l d e n . -

O p e e n ei g e n a a r di g h ei d m a g n o g g e w e z e n w o r d e n. W a n n e e r d e S c h rij v e r hi e r o v e r d e b e w e gi n g v a n e e n st el s el s p r e e kt, b e d o elt hij z o n d e r d e l e z e r t e w a a r -s c h u w e n - h et g e h e el v a n d e -st a n d e n, di e bij d e g e g e v e n v o o r w a a r d e n - m a a r o n af h a n k elij k v a n d e b e gi n st a n d -, m o g elij k zij n ( b v. b e s c h rijft e e n p u nt e e n h y p e r b o ol, d a n w o r d e n b ei d e t a k k e n d e z e r k r o m m e al s zij n b a a n b e s c h o u w d).

I n e e n b o e k m et z o v e el v o o r b e el d e n, m et z o v e el bij z o n d e r h e d e n uit g e w e r kt, zij n e e n p a a r v e r gi s si n g e n bij n a o n v e r mij d elij k.

D e uit d r u k ki n g ,, r oll e n d e r a a klijii" v o o r d e r a a klij n i n d e p o ol a a n d e P o ol- _ k r o m m e n i s o n g e w o o n e n lij kt mij o n g e w e n st.

p. 2 2. ,, Zij n o p el k v a n t w e e s nij d e n d e r e c ht e n t w e e p r oj e cti e v e p u nt r e e k s e n g e g e v e n, t e r wijl h et s nij p u nt 0 v a n d e b ei d e r e e k s e n d e k p u nt i s v o o r b ei d e"

V o o r b e r ei di n g v o o r d e st elli n g v a n B o billi e r; e v e n w el i s d e g e st el d e v o o r w a a r d e v o o r h et v e r v ol g t e z w a k, e r m o et st a a n: t e r wijl o p el k d e r b ei d e r e c ht e n i n h et s nij p u nt 0 d e b ei d e d e k p u nt e n s a m e n v all e n. - - _{- p. 5 0. ,, V o o r el k p u nt. w o r dt d e a a y m pt o ot g e v o n d e n d o o r d e l o o dlij n t e t r e k k e n} uit h et v a st e s pi e g el b e el d o p d e a s d e r v a st e p a r a b o ol". I n d e r d a a d st a at d e a s y m-, ' pt o ot l o o d r e c ht o p di e a s, m a a r zij g a at ni et d o o r d at s pi e g el p u nt. p. 1 3 3. I n d e c o n st r u cti e o p d e z e bl a d zij d e i s d o o r e e n t e k e nf o ut e e n v e r gi s si n g. E r i s, e n dit i s i nt e r e s s a nt e r e e n f o ut, di e d e r ef e r e nt v a k e r h e eft a a n -g et r off e n e n w a a r bij h et -g e v a a r, a a n e e n z o m e et k u n di -g e b e h a n d eli n -g v a n d e

1 5 2

diff e r e nti a al ei g e n s c h a p p e n v e r b o n d e n, d ui d elij k a a n h et li c ht t r e e dt. B e d o el d w o r dt e e n o p m e r ki n g o v e r d e o m h ull e n d e v a n d e b ui g ci r k el; al s e e n d e el d a a r v a n w o r dt d e k r o m m e v a n B all g e n o e m d. D a a r d e b ui g ci r k el a a n g e e n d e r b ei d e vl a k k é n v a st i s v e r b o n d e n, m o e st hi e r bij a a n g e g e v e n zij n i n w el k vl a k d e o m-h ull e n d e w e r d g e z o c m-ht. Uit m-h et v e r v ol g blij kt e c m-ht e r d ui d elij k d at d e S c m-h rij v e r b e d o elt: ,,i n h et v a st e vl a k r a a kt d e b ui g ci r k el a a n zij n o m h ull e n d e i n h et p u nt v a n B all e n d e m e et k u n di g e pl a at s v a n dit p u nt i s i n dit vl a k e e n d e el v a n d e o m h ufl e n d e v a n d e b ui g ci r k el." Dit n u i s o nj ui st; d e b e w e ri n g z o u j ui st zij n n a v e r v a n gi n g v a n h et v a st e d o o r h et b e w e e glij k e vl a k. M a a r o n s ei n d o o r d e el blij kt w el uit h et v o o r af g a a n d e. W. V A N D E R W O U D E. Vl a k k e M e et k u n d e v o o r h et V. H. e n M. O. d o o r M. Eil a n-d e r, Di r. 2 e C h r. H. B. S. A' n-d a m. D e el T, T h e o ri e / 3, 5 0. D e el II A. V r a a g st u k k e n / 1, 7 5. D e el II B. V r a a g st u k k e n, / 2. 9 0. P. N o o r d h off, G r o ni n g e n. E e n vr a a g st u k k e n v er z a m eli n g all e e n i s v o or s c h o ol g e br ui k mi n d er g e s c hi kt; z o n d er d e t h e o ri e k a n d e l e e rli n g h et ni et st ell e n e n h et di ct e r e n hi e r v a n i s t e tij d r o v e n d. Eil a n d e r h e eft, o p v e r z o e k, n u e e n p a s s e n d t h e o ri e b o e k g e s c h r e v e n bij d e b e k e n d e ,, M e et k u n di g e V r a a g st u k k e n" v a n Wij d e n e s, w el k e v e r z a m eli n g t e v e n s ,, z o r g v ul di g h e r zi e n" i s.

D r u k, i n d eli n g, fi g u r e n e n v e r wij zi n g e n zij n uit st e k e n d. D e t h e o ri e i s v oll e di g i n d e el 1 o n d e r g e b r a c ht; i n d e r d a a d h e eft dit h et v o o r d e el d at d e l e e rli n g st e e d s d e m o g elij k h ei d h e eft v r o e g e r b e st u d e e r d e st elli n g e n e n z. n a t e k u n n e n sl a a n. D e l e r a a r z al v a n d e z e m o g elij k h ei d o o k e e n d a n k b a a r g e b r ui k m a k e n; h et bij g e v o e g d e k o rt e o v e r zi c ht k a n d a a r bij v a n g r o ot n ut zij n. H et v e r m el d e n al s e e n af z o n d e rlij k h o of d st u k v a n e ni g e b el a n g rij k e st elli n g e n, h et b e st e d e n v a n bij z o n d e r e a a n d a c ht a a n h et m a k e n d e r fi g u r e n, h et bij d e v r a a g st u k k e n pl a at s e n v a n m e d e d eli n g e n al s ,, T e k e n w e r k", , , R e k e n w e r k" e n z. v e r r a a dt d e p r a cti c u s, di e h et kl a p p e n v a n

d e z w e e p k e n t . -

' k T wijf el d a n o o k ni et of d e z e Vl a k k e M e et k u n d e v a n Eil a n d e r z al zij n w e g z e k e r. vi n d e n. P a s h et g e b r ui k l e e rt j e e e n s c h o ol b o e k k e n n e n, h et v e r a n d e r e n v a n l e e r b o e k b r e n gt d a n o o k st e e d s e ni g ri si c o m et zi c h; ' k g el o of e v e n w el, d at h et g e v a a r v a n zi c h v e r gi st t e h e b b e n i n dit g e v al z e e r kl ei n i s. Uit w a a r d e ri n g v o o r d e z o r g v ul di g e b e h a n d eli n g v a n h et b e g ri p M. P. zij e e n e n k el e o p m e r ki n g t e r o v e r w e gi n g a a n b e v ol e n.

V o o r n a m elij k uit di d a cti s c h e o v e r w e gi n g e n lij kt 't mij ni et g e w e n st bij h et d e-fi ni ë r e n v a n h et b e g ri p M. P. g e b r ui k t e m a k e n v a n d e uit d r u k ki n g ,, v e r z a m eli n g". Dit b e g ri p w o r dt ni et g e d efi ni ë e r d e n w e r kt d u s m a a r v e r w a r r e n d; e e n v e r z a m eli n g k a n l e e g zij n, uit é é n e n k el p u nt b e st a a n e n z. H o e w el i n w e z e n t e g e n d e g e b e zi g d e d efi niti e ni et s v alt i n t e b r e n g e n, g e ef i k v o o r k e u r a a n: ,, E e n M. P. i s e e n fi g u u r ... ; m et v e r mij di n g v a n h et w o o r d v e r z a m eli n g. N o g e e n p a a r kl ei ni g h e d e n. I n 't t h e o ri e-b o e k § 4 1 z o u i k li e v e r all e c o m e-bi n ati e- m o g elij k h e d e n n o e m e n, m a a r t e v e n s a a n d e ,, kl a s" h et a d vi e s g e v e n: p a s st e e d s a, b t o e. St. 3 3 b, c g el dt all e e n al s d e h o e k ni et 1 8 0° i s. St. 6 1 ( § 5 3) k a n ei g e nlij k ni et z o k o rt w o r d e n g ef o r m ul e e r d.

T e n sl ott e: h a rt elij k a a n b e v ol e n!

1 5 3

Bij d r a g e t ot d e G r o n d si a g e nl e e r d e r G e w o n e C o m pl e x e P r oj e cti e v e M e et k u n d e e n t ot d e z ui v e r S y nt h eti s c h e St u di e d e r C o m pl e x e G r o n dfi g u r e n v a n d e e e r st e S o o rt, 1 5 2 bl z.; 2 7 fi g. ( 1 9 4 9), d o o r D r J. Bil o, Uit g e g e v e n d o o r d e K o ni n klij k e Vl a a m s e A c a d e mi e v o o r W et e n s c h a p p e n, L ett e r e n e n S c h o n e K u n s t e n v a n B el gi ë, H e r t o g elij k e S t r. 1, B r u s s el. P rij s: 2 4 5 fr. + p o rt.

I n dit w e r k w ô r dt e e n v oll e di g a xi o m a st el s el v a n d e g e w o n e c o m pl e x e m e e kt u n d e g e g e v e n. T e v e n s w o r dt a a n g et o o n d, h o e uit di e a xi o m a' s l a n g s z ui v e r m e et k u n di g e w e g d e v o o r n a a m st e r e s ult at e n v a n d e c o m pl e x e p r oj e cti e v e m e et k u n d e k u n n e n af g el ei d w o r d e n. H et b e wij s v a n d e ni et- st rij di g h ei d, d e v oll e di g h ei d e n. d e o n-af h a n k elij k h ei d v a n d e a xi o m a' s w o r dt z e e r uit v o e ri g g e g e v e n.

H et w e r k i s t y p o g r afi s c h uit st e k e n d v e r z o r g d.

O n d e r z o e ki n g e n b et r eff e n d e d e m e et k u n di g e G r o n d sl a g e n v a n d e P r oj e cti e v e Q u at e r ni o n e n m e et k u n d e, 1 2 3 bl z. ( 1 9 4 9). d o o r D r J. Bil o. T e v e r k rij g e n bij d e B o e k h a n d el A. V a n d e r- li n d e n, St u d e nt e n st r a at 3 8, B r u s s el. P rij s: 7 5 f r. + p o rt.

I n dit w e r k w o r dt v o o r d e e e r st e m a al e e n z ui v e r m e et k u n di g e st u di e v a n d e p r oj e cti e v e q u at e r ni o n e n m e et k u n d e g e m a a kt. D e a x.i o m a' s v a n di e m e et k u n d e w o r d e n o p g e st el d e n hi e r uit w o r dt d e t h e o ri e v e r d e r o nt wi k k el d t ot e n m et d e cl a s sifi c ati e d e r i n v ol ut o n s c h e p r oj e cti vit eit e n e n a nti p r oj e cti vit eit e n.

D e z e m e e t k u n d e i s z e e r m e r k w a a r di g, o m d a t e e n p r oj e c ti vi t ei t ni e t o p o n d u b b el zi n ni g e wij z e d o o r d ri e p a r e n h o m ol o g e el e m e nt e n b e p a al d w o r dt. Z o w o r d e n b. v. o p g r o n di g e wij z e d e p r oj e cti vit eit e n m et o n ei n di g v e el c o m n ci d e nti e-el e m e nt e n o n d e r z o c ht, di e ni et d e i d e ntit eit zij n. V a n h et st a n d p u nt d e r a n al yti s c h e m e et k u n d e i s di e m e et k u n d e m er k w a ar di g, o m d at h et pr o d u ct v a n t w e e c o ör di n at e n o v e r h et al g e m e e n ni et c o m m ut ati ef i s. O o k d e cl a s sifi c ati e d e r p r oj e cti vit eit e n e n d e r a nti p r oj e cti vit eit e n v e r s c hilt g r o n di g v a n di e, w el k e i n d e g e w o n e p r oj e cti e v e m e et k u n d e g e g e v e n w o r dt.

( B ei d e w e r k e n b e vi n d e n zi c h i n d e B o e k e rj v a n h et Wi s k u n di g G e n o ot s c h a p p / a U ni v e r sit eit s bi bli ot h e e k A m st e r d a m).

G. E. Ki e r s, V a d e m e c u m d e r Wi s k u n d e v o o r d e h o o g st e d ri e kl a s s e n d e r H. B. S. - G. B. v a n G o o r z o n e n' s U. M. N. V. - D e n H a a g 1 9 4 9. P rij s / 1, 5 0, 6 4 bl z.

Dit b o e kj e ,,i s b e d o el d al s r e p etiti e m at e ri a al v o o r d e h o o g st e d ri e kl a s s e n v a n h et V. H. M. O." H et b e v at d e f o r m ul e s e n st elli n g e n uit d e Al g e b r a ( Diff.- e n I nt e g r. r e k, i n b e gr e p e n), d e G o ni o- e n Tri g o n o m etri e, d e Vl a k k e M e et k u n d e, d e St er e o m etri e e n d e B e s c h rij v e n d e M e et k u n d e (i n d e b u d e n ot ati e). H et i s w el z e e r v oll e di g: s e c a n s, n e g e n p u nt s ci r k el o nt b r e k e n ni et. V el e d ui d elij k e fi g u r e n v e rl e v e n di g e n d e t e k st. J a m m e r i s h et, d at g e e n e n k el e g r afi e k o p g e n o m e n i s. D e f o r m ul e s o p bl z. 1 7 zij n n u w el e r g d o r. V e r d e r mi s i k e e n k o rt e b e h a n d eli n g y = a' e n y = al o g ç a x 2 + b x + c t e r wijl d e f u n c ti e y = w èl o p g e n o m e n i s. S c h r. h e eft b hi k b a a r /i xt + q x + r