De praktische toepasbaarheid van RTTI voor het vak wiskunde

De praktische

toepasbaarheid van RTTI

voor het vak wiskunde

Onderzoeksrapport

Door:

Michiel Halewijn

Student Master Wiskunde

31 juli 2012

Begeleider:

Pauline Vos (HvA)

INHOUDSOPGAVE

1. Inleiding ... 1

2. De theorie ... 3

3. Samenvatting Analytisch Onderzoek ... 10

4. Ontwerponderzoek ... 13

5. Eindconclusies en aanbevelingen ... 31

Nawoord ... 33

Literatuur ... 34

Samenvatting ... 35

Bijlage 1: Eerste schets van RTTI voor Wiskunde ... 36

Bijlage 2: Zoektocht naar namen voor de categorieën van RTTI ... 37

Bijlage 3: Topic-lijsten ontwerponderzoek ... 38

Inleiding

Pagina 1 van 43

1. I

NLEIDING

Op het Jac. P. Thijsse College zijn we in 2011 gestart met een school-brede implementatie van de methode RTTI™. Een belangrijk aspect van deze methode is dat de lesstof wordt ingedeeld in de volgende vier cognitieve niveaus:

 Reproductie (R)

 Toepassen binnen een bekende context (T1)  Toepassen in een nieuwe context (T2)  Inzicht (I)

Wat RTTI precies is zal ik verder uitleggen in het hoofdstuk “Theorie”.

Een eerste reden voor het implementeren van deze methode is het verbeteren van de kwaliteit van de toetsen (proefwerken en schriftelijke overhoringen), zodat deze beter aansluiten op het uiteindelijke eindexamen. Een tweede reden is het verbeteren van de communicatie en dan vooral het beter kunnen geven van feedback. Het is eenvoudiger om feedback te geven als de docent en de leerling weten op welk cognitief niveau deze feedback wordt gegeven.

P

ROBLEEMSTELLING

Een aantal docenten heeft een masterclass RTTI gevolgd, waarna is gestart met het houden van een aantal implementatieworkshops voor het personeel van mijn school. Tijdens deze workshops bleek dat RTTI goed bruikbaar was voor de meeste schoolvakken, maar beperkt bruikbaar was voor het vak wiskunde. Terwijl de collega-secties RTTI goed herkenden en vonden aansluiten bij de huidige manier van toetsen, zorgde de cognitieve indeling van het raamwerk en de bijbehorende naamgeving bij de wiskundedocenten voor verwarring. Als wiskundedocenten hebben we bijvoorbeeld een heel ander beeld van het begrip reproductie dan de definitie die wordt gehanteerd bij RTTI. Het herhaald nadoen van bijvoorbeeld de abc-formule wordt door veel docenten gezien als reproductie, terwijl dit binnen RTTI niet als reproductie wordt gezien, maar als toepassen. Ook het begrip inzicht wordt vaak anders geïnterpreteerd. Bijvoorbeeld het uitleggen van de werking van een wiskundig concept wordt door veel wiskundedocenten getypeerd als inzicht, terwijl dit binnen RTTI een hoog niveau van toepassen is. In 2011 hebben we op mijn school een aantal eindexamens wiskunde geanalyseerd met de indeling van RTTI, waarbij we alle vragen hebben getypeerd volgens deze indeling. Er is gebleken dat er bij het vak wiskunde bijna geen reproductie- en inzichtvragen werden gesteld. Het merendeel van de vragen bestond uit toepassingsvragen. Binnen RTTI worden er twee soorten toepassingsvragen onderscheiden. Vragen binnen een bekende context en vragen in een nieuwe context. Dit verschil bleek voor het docententeam op mijn school moeilijk te herkennen. We merkten dat als twee docenten hetzelfde examen analyseerden, zij tot totaal verschillende resultaten kwamen. Het leek erop dat bijna alle vragen als toepassingsvragen werden getypeerd, waarbij het niet duidelijk was over welke soort van toepassen het ging. Deze onduidelijkheid heeft ervoor gezorgd dat ik me afvroeg of het cognitieve raamwerk van RTTI wel praktisch bruikbaar is voor het vak wiskunde en of RTTI misschien te verbeteren was.

Tijdens het uitvoeren van het ontwerponderzoek kwam ik in de WiskundE-brief, een elektronische nieuwsbrief voor wiskundedocenten, een oproep tegen waarin werd gevraagd om meer informatie over RTTI en toetsten (zie figuur 1). Dit geeft aan dat de problemen met RTTI niet alleen voorkomen op het Jac. P. Thijsse, maar ook op andere scholen.

Inleiding

Pagina 2 van 43

In wiskundE-brief 600 heb ik een oproep gedaan voor meer informatie over RTTI en toetsen. Tot nu toe heb ik al 13 reacties mogen ontvangen. De reacties zijn gevarieerd en helpen ons zeker verder op weg. Het blijkt dat veel meer secties met RTTI aan de slag zijn gegaan en worstelen met de invulling ervan.

Over het algemeen zijn de secties op dezelfde manier als wij begonnen. Zij hebben op grond van hun eerste ervaring een plan gemaakt voor de verdeling van de vragen in de vier RTTI categorieën door alle jaarlagen heen. Sommige secties vinden het moeilijk om die verdeling in de praktijk toe te passen. Andere secties concluderen dat wiskunde al determinerend genoeg is, zeker in de onderbouw. Er is ook een sectie die zich voornamelijk bezig heeft gehouden met het ontwerpen van goede inzichtopgaven voor de onderbouw.

Worsteling

Waar wij nog mee worstelen, is het feit dat sommige examenvragen taaltechnisch wel inzicht vereisen maar wiskundig gezien het R-niveau nauwelijks ontstijgen. We weten nog niet hoe we dergelijke vragen moeten indelen. Misschien heeft u een suggestie?

De koers die we uiteindelijk gaan varen, is nu nog niet helder. Maar wij zijn in ieder geval erg geholpen met uw reacties. Bedankt hiervoor!

FIGUUR 1: OPROEP IN WISKUNDE-BRIEF (DE KLEIJN, 2012)

D

OEL VAN HET ONDERZOEK

Met dit onderzoek heb ik de verwarring die we in de wiskundesectie ondervonden verder onderzocht om zodoende de goede en slechte punten van de cognitieve indeling van RTTI in kaart te kunnen brengen, specifiek voor het middelbare schoolvak wiskunde. Wat is praktisch goed bruikbaar en wat moet eventueel worden aangepast, toegevoegd of anders uitgelegd, zodat docenten de beschikking hebben over een voor het vak wiskunde geoptimaliseerd raamwerk?

Daarnaast hoopte ik met dit onderzoek meer inzicht te krijgen in mijn eigen toetsen, die van mijn directe collega’s en die van wiskundedocenten van andere scholen, zodat dit onderzoek uiteindelijk een bijdrage kon leveren aan het verbeteren van het onderwijs op mijn school en educatie in het algemeen.

De theorie

Pagina 3 van 43

2. DE THEORIE

T

OETSEN

Leerlingen op een middelbare school maken tijdens hun schooltijd veel toetsen. Als we uitgaan van gemiddeld acht proefwerken en acht schriftelijke overhoringen per jaar per vak dan komen we uit op meer dan 500 toetsen. De toetsen en natuurlijk het eindexamen bepalen het uiteindelijke succes van de leerling. Het systeem van toetsen zoals dit in Nederland wordt gebruikt, zorgt ervoor dat leerlingen, bewust of onbewust, worden opgeleid om een toets te maken. Het gaat er uiteindelijk om dat de leerling het eindexamen haalt.

Het ontwerpen van opgaven voor een wiskundetoets is een moeilijk proces. Zitten er geen constructie- of taalfouten in, is er afwisseling in de soort vragen, zijn er geen stapelvragen, begint de toets wel met een eenvoudige vraag, worden alle leerdoelen getoetst en vindt dit plaats op het gewenste niveau? Dit zijn voorbeelden van vragen die een ontwerper zichzelf stelt.

Naast het ontwerpen van toetsen is ook het nakijken en beoordelen van gemaakt werk een lastige taak. Wanneer verdient een leerling punten voor een vraag? Moet het helemaal goed zijn, hoe ga je om met rekenfouten of schrijffouten, heeft de leerling het begrepen of is het een weloverwogen gok? Hoeveel punten moet een leerling behalen voor een voldoende en tellen alle onderdelen even zwaar? Hier ook weer veel vragen die moeten worden beantwoord. Is dit gebaseerd op trial-and-error of zit er meer achter? Wordt dit geleerd op de lerarenopleiding?

In Nederland werken veel scholen bij het vak wiskunde met hoofdstuk-toetsen. Het rapportcijfer is het gemiddelde van deze toetsen. Een calculerende leerling weet dat de cijfers 4, 5, 5 en 8 precies het rapportcijfer 5,5 opleveren. Drie toetsen onvoldoende, maar toch een voldoende op het rapport. Als er wordt gewerkt met een gemiddeld cijfer kunnen er maar weinig eisen worden gesteld aan het leerproces van een leerling. De leerling heeft een voldoende voor het vak en dus voldaan aan de minimale eisen.

H

V

W

In het handboek Vakdidactiek Wiskunde is een katern gericht op het ontwerpen van wiskunde-toetsen (Dekker, Vos, & Lagerwaard, 2012, pp. 10-11). Naast algemene informatie wordt hier kort ingegaan op het evalueren en bespreken van gemaakt werk. Bij het onderdeel evalueren worden de volgende vragen als belangrijk getypeerd: Voldeed de toets aan de verwachtingen? Worden de leerdoelen inderdaad in voldoende mate beheerst door de leerlingen om verder te gaan? Was de toets te lang of te kort voor de beschikbare tijd? Was de vraagstelling voldoende duidelijk? Komen er misconcepties voor in het leerlingenwerk? Is het taalgebruik helder?

Verder wordt er gesproken over het nabespreken van de toets en de mogelijke feedback. Hier concluderen de auteurs terecht dat veel docenten dit lastig vinden. De leerlingen hebben vaak weinig aandacht, de toets is tenslotte al gemaakt, en er is een grote verscheidenheid aan fouten. Als veel leerlingen dezelfde fouten hebben gemaakt worden deze uitgelicht, maar directe feedback ontbreekt vaak. De leerlingen hebben fouten gemaakt, maar er is meestal geen tijd om de correcte uitwerkingen te bestuderen. Dit is jammer, want goede feedback op gemaakt werk is aantoonbaar één van de invloeden met het grootste leereffect (Hattie, 2003, pp. 5-6).

Er is in dit handboek ook een hoofdstuk opgenomen over het gebruik van taxonomieën voor het ontwerpen van toetsen. Ik zal hier in het volgende hoofdstuk verder op in gaan.

De theorie

Pagina 4 van 43

T

AXONOMIEËN

In dit hoofdstuk zal ik eerst ingaan op de werking van RTTI en twee andere taxonomieën, te weten: de taxonomie van Bloom en de toets-piramide van De Lange. Daarna zal ik de verschillen en overeenkomsten tussen de verschillende taxonomieën uiteenzetten. Als laatste zal ik bespreken hoe een taxonomie kan worden gebruikt in het onderwijs.

RTTI

Het bedrijf Docentplus.nl heeft de methode RTTI ontwikkeld t.b.v. het verbeteren van het leerproces en de bijbehorende toetsen. Steeds meer scholen in Nederland maken gebruik van deze methode, zeker na het invoeren van nieuwe eisen die zijn gesteld aan de schoolexamens door de overheid1.

De ontwikkelaars van RTTI gebruiken een pragmatische aanpak. Er wordt gekeken naar wat werkt, ongeacht of hier een wetenschappelijke onderbouwing onder zit. Door veel te communiceren met de mensen in het veld komt informatie over de verschillende aanpakken in het onderwijs naar boven. Tijdens de trainingen komen veel onderwerpen aan bod, zoals neuro-linguïstisch programmeren, leerstijlen, zone van naaste ontwikkeling, hersenonderzoek, het puberbrein, omdenken met ja-maar en plannen. De achterliggende gedachte is om bij zoveel mogelijk leeractiviteiten het cognitieve niveau te benoemen. In lesplannen en studiewijzers wordt onderscheid gemaakt tussen deze niveaus. In de studiewijzer staan bijvoorbeeld de opgaven gegroepeerd per cognitief niveau. In tabel 1 staat een overzicht van de cognitieve niveaus binnen RTTI.

Type Omschrijving

Reproductie Vragen die kunnen worden opgelost op basis van herkenning of reproductie. Je hoeft zelf niets wezenlijks toe te voegen aan het geleerde. Dit type vragen wordt gebruikt om doelstellingen te toetsen waarbij het gaat om het kunnen weergeven of herkennen van wat letterlijk is geleerd. Toepassing 1 Vragen die gericht zijn op het toepassen van de leerstof in reeds geleerde situaties (T1-vraag). Met toepassingsvragen wordt nagegaan of de leerling in staat is om het geleerde zelfstandig toe te passen in een bekende context.

Toepassing 2 Vragen die gericht zijn op het toepassen van de leerstof in nieuwe situaties (T2-vraag). Met toepassingsvragen wordt nagegaan of de leerling in staat is om het geleerde te koppelen aan andere situaties. De leerling moet tevens in staat zijn om in een gegeven situatie zelf te bepalen welke methode het meest geschikt is om te gebruiken.

Inzicht Bij vraagstukken op dit niveau wordt een actievere inbreng van de leerling verwacht. Hij moet zelf iets aan het geleerde toevoegen. Zo moet bijvoorbeeld een verband worden gelegd dat in het boek of in de les niet klassikaal is besproken. Leerlingen kiezen zelf de methode en de toepassing om de vraag op te lossen. Met inzichtvraagstukken wordt nagegaan of de leerling in staat is zelfstandig en systematisch een nieuw vraagstuk vanuit verschillende perspectieven te doorgronden en op te lossen.

TABEL 1: COGNITIEVE INDELING VAN RTTI (DROST & VERRA, 2010, PP. 7-8)

Tijdens de reguliere lessen werkt een docent vaak naar de toetsen toe. De leerlingen worden op een bepaalde manier voorbereid op het maken van een toets. Voor een optimaal resultaat moet de manier van werken aansluiten bij de manier van toetsen. Het aanbieden van uitgebalanceerde toetsen lijkt ook te zorgen voor beter uitgebalanceerde lessen (Webb & Dekker, 2009).

1

De strengere eisen houden onder meer in dat de resultaten van het schoolexamen en het centraal eindexamen niet meer dan 0,5 cijferpunten uit elkaar mogen liggen.

De theorie

Pagina 5 van 43

D

De methode RTTI is nog niet wetenschappelijk onderbouwd, maar wordt wel genoemd in de publicatie “De zes talen in het onderwijs” van Hamer en van Rossum (2010). Hierin wordt gesproken over onderwijsconcepties en leerconcepties, die ervoor zorgen dat verschillende mensen op een uiteenlopende manier betekenis geven aan hetzelfde begrip. Zij hebben een model ontwikkeld waarbinnen zes verschillende onderwijstalen zijn te onderscheiden. Een docent die bijvoorbeeld onderwijstaal 2 spreekt ziet begrijpen en toepassen als redelijk gelijkwaardig, terwijl een docent die onderwijstaal 4 of hoger spreekt hier heel anders over denkt. “Heb je het begrepen?” betekent bijvoorbeeld in taal 2 vaak: “Weet je hoe je het moet doen?”, terwijl dit in taal 4 meestal betekent: “Heb je doorgrond hoe dit concept in elkaar zit?”

Voorbeelden van begrippen die in verschillende talen iets anders betekenen zijn: vaardigheden, begrijpen, toepassen, uitvoeren, leren, context, reproductie, inzicht, weten, kennen. De vraag is nu of deze begrippen binnen een taxonomie door de gebruiker wel op dezelfde manier worden geïnterpreteerd.

D

B

De eerste versie van de taxonomie van Bloom is ontwikkeld door een groep uiteenlopende specialisten in de jaren 50 van de vorige eeuw en was bedoeld om de verschillende educatieve doelstellingen te categoriseren en te structureren. In 2000 is het cognitieve domein van deze taxonomie gereviseerd2 (Anderson, et al., 2001). De belangrijkste wijziging was het opsplitsen van het eendimensionale model in een kennis-dimensie (zie tabel 2) en een cognitieve verwerkings-dimensie (zie tabel 3). Hiermee was een tweedimensionaal model ontstaan (zie tabel 4).

Kennis-dimensie Kennis over Voorbeelden

Feitenkennis Terminologieën Discriminant, de afgeleide, oplossen Specifieke details en elementen Eigenschappen van een vlieger Conceptuele kennis Classificaties en categorieën Vermenigvuldigen is herhaald optellen

Principes en generalisaties Bij gelijkvormige figuren zijn de verhoudingen gelijk

Theorieën en modellen Stelling van Pythagoras Procedurele kennis Vaardigheden en algoritmes voor een

specifiek onderwerp

Stappen voor het invullen van de abc-formule Technieken en methoden voor een

specifieke onderwerp

Het bepalen van de afgeleide van een polynoom

Criteria voor het bepalen wanneer een procedure wordt gebruikt

Voor het bepalen van een minimum of maximum gebruik je de afgeleide Metacognitieve

kennis

Strategieën Schets de situatie en benoem de onbekenden Cognitieve taken, inclusief contextuele

en voorwaardelijke kennis

Hoe wordt dit vaak getoetst

Zelfkennis Waar ligt mijn kracht

TABEL 2: KENNISDIMENSIE IN DE GEREVISEERDE TAXONOMIE (ANDERSON, ET AL., 2001)

2

Als in dit document de naam Bloom wordt gebruikt, wordt gerefereerd aan de gereviseerde tweedimensionale taxonomie.

De theorie

Pagina 6 van 43

Cognitie-dimensie Verwerking door

Onthouden Herkennen, oproepen

Begrijpen Interpreteren, een voorbeeld geven of illustreren, classificeren, samenvatten, concluderen of voorspellen, vergelijken, uitleggen

Toepassen Uitvoeren, gebruiken

Analyseren Onderscheid maken, structureren, deconstrueren Evalueren Controleren, oordelen

Creëren Genereren, ontwerpen, ontwikkelen

TABEL 3: COGNITIEVE VERWERKINGS-DIMENSIE IN DE GEREVISEERDE TAXONOMIE (ANDERSON, ET AL., 2001)

In de Nederlandse wiskundedidactiek worden de kennis-categorieën (zie tabel 2) ook wel samengevat als ‘weten dat’, ‘weten hoe’, ‘weten waarom’ en ‘weten over weten’ (Van Streun, 2001, pp. 13-14). Deze kennis moet, tijdens het maken van een toets, door de leerlingen cognitief worden toegepast om zichtbaar te maken in welke mate de stof wordt beheerst. Dit kan op de zes manieren, zoals beschreven in de cognitieve verwerkingsdimensie (zie tabel 3). Feitenkennis kan bijvoorbeeld worden getoetst door de leerling de naam van een wiskundig figuur te laten noemen. Dit “noemen” is een voorbeeld van onthouden. De leerling herkent de vorm en haalt de naam op uit het langetermijngeheugen. Procedurele kennis kan bijvoorbeeld worden getoetst door de leerlingen een procedure te laten uitvoeren. Dit uitvoeren hoort thuis in de categorie toepassen.

De zes cognitieve verwerkingen worden ook gebruikt om de verschillende soorten kennis te creëren. Door bijvoorbeeld het analyseren en evalueren van een wiskundige stelling kan procedurele en conceptuele kennis worden opgedaan.

De auteurs van de gereviseerde taxonomie hebben het verschil tussen de dimensies duidelijk gemaakt door het gebruik van taal. De kennis dimensie gaat over het taalkundige onderwerp van het leerdoel, terwijl de cognitieve verwerkings-dimensie wordt weergegeven door het taalkundige werkwoord van het leerdoel. Dit maakt het eenvoudiger om leerdoelen te analyseren en eenduidig te definiëren. Als het leerdoel bijvoorbeeld luidt: “De leerling moet een kwadratische vergelijking kunnen oplossen”, dan is de kwadratische vergelijking het onderwerp en oplossen het werkwoord. In dit voorbeeld bestaat de kennisdimensie uit procedurele kennis over een kwadratische vergelijking en de cognitieve verwerkings-dimensie uit het uitvoeren van een getrainde procedure. De kennis is de bron waarop een cognitieve verwerking wordt toegepast. Op deze manier is ieder leerdoel te plaatsen in één of meerdere cellen in het tweedimensionale model in tabel 4.

Kennis Cognitieve verwerking

Onthouden Begrijpen Toepassen Analyseren Evalueren Creëren Feiten

Concepten Procedures Metacognitief

De theorie

Pagina 7 van 43

De taxonomie van Bloom wordt in de Verenigde Staten veel gebruikt. Het is een krachtig middel om de leerdoelen, de leeractiviteiten en de toetsen op elkaar te laten aansluiten (Raths, 2002, pp. 234-235). Als eerste worden de leerdoelen geanalyseerd en geplaatst in de tabel, vervolgens wordt gekeken of de leeractiviteiten de leerdoelen dekken door deze ook in de tabel te plaatsen. Als laatste wordt gekeken of de leerdoelen op hetzelfde niveau worden getoetst als dat ze in de leeractiviteiten zijn opgenomen. Hiervoor is het noodzakelijk om goed te onderzoeken of er geen verborgen leerdoelen bestaan, die niet expliciet zijn benoemd. Ook het hierboven genoemde verschil tussen het leerdoel en de daarbij horende cognitieve verwerking moet helder zijn.

In de originele taxonomie gingen de auteurs ervan uit dat het leerproces lineair verloopt vanaf het laagste cognitieve niveau naar het hoogste cognitieve niveau. Recenter onderzoek toont aan dat deze aanname niet klopt (Van Streun, 2012, pp. 20-21). Kennis blijkt te zijn verknoopt, waarbij de verschillende cognitieve niveaus tegelijk kunnen worden aangesproken tijdens de verwerking.

D

-

In het “Framework for classroom assessment in mathematics” (De Lange, 1999, pp. 14-17) wordt gewerkt met een indeling in drie cognitieve niveaus (zie tabel 5). Samen vormen deze de toets-piramide die bestaat uit drie dimensies: de wiskundige domeinen, de cognitieve niveaus en de moeilijkheidsgraad.

Cognitief niveau Inhoud

1 Reproductie, procedures, concepten en definities

Feitenkennis, voorstellingen, herkennen van equivalente relaties, kennis van wiskundige objecten en de eigenschappen, het uitvoeren van standaard procedures, het toepassen van standaard algoritmes en het ontwikkelen van technische vaardigheden

2 Verbindingen en integratie voor probleem oplossend werken

Verbindingen leggen tussen kennisgebieden, strategie kiezen, relaties tussen symbolen en formeel taalgebruik en de relaties met de werkelijkheid, werken in een context

3 Mathematiseren, wiskundig denken, generaliseren en inzicht

Omzetten van een werkelijke situatie naar een wiskundig model, analyseren, interpreteren, eigen modellen en strategieën ontwikkelen, wiskundig argumenteren inclusief bewijzen en generalisaties

TABEL 5: DE TOETS-PIRAMIDE VAN DE LANGE (DE LANGE, 1999)

Het begrip mathematiseren, zoals genoemd in niveau drie is het organiseren van de werkelijkheid door gebruik te maken van wiskundige ideeën en concepten. Dit bestaat uit horizontaal mathematiseren, waarin de brug wordt geslagen tussen de werkelijkheid en de wiskunde en verticaal mathematiseren, het toepassen van wiskundige technieken om het vraagstuk op te lossen (De Lange, 1999, pp. 17-18). Dit mathematiseren kan plaats vinden in vier verschillende soorten contexten. Een gecamoufleerde of fake context geeft een wiskunde probleem de gedaante van een probleem uit de werkelijkheid. Deze contexten moeten zoveel mogelijk worden vermeden. Een context van de eerste orde is een context die relevant is en nodig is om het probleem op te lossen en om een conclusie te verbinden aan het gevonden antwoord. De leerling moet hier vooral verticaal mathematiseren. Er is sprake van een context van de tweede orde als de leerling horizontaal moet mathematiseren. Een derde orde context dient als omgeving waarin leerlingen een wiskundige concepten opnieuw kunnen uitvinden. Contexten kunnen ook virtueel zijn, bijvoorbeeld als er onderzoek wordt gedaan naar een plan dat nog niet is uitgevoerd of als de toetsvraag gericht is op doelen waar eventuele voorkennis van de feiten niet wenselijk is.

De theorie

Pagina 8 van 43

V

De in dit hoofdstuk besproken taxonomieën hebben duidelijke gelijkenissen, maar ook duidelijke verschillen. Hieronder volgt een overzicht van de cognitieve niveaus en hoe deze worden gebruikt binnen de benoemde raamwerken. Als uitgangspunt heb ik de indeling van RTTI gebruikt en hier de overige taxonomieën mee vergeleken.

Reproductie - Memoriseren

Alle raamwerken definiëren een categorie vergelijkbaar met de RTTI-categorie reproductie als het laagste cognitieve niveau. In de taxonomie van Bloom wordt in de hoofdgroep memoriseren een onderscheid gemaakt tussen herkennen, zoals bijvoorbeeld bij een meerkeuze vraag en ophalen van kennis bij een open vraag. Ook wordt in de taxonomie van Bloom een benoemd onderscheid gemaakt tussen de verschillende kennisgebieden in feitenkennis, conceptuele kennis, procedurele kennis en metacognitieve kennis. In de andere taxonomie worden deze kennisgebieden wel herkend, maar niet als aparte categorie opgenomen.

Veel onderwijsdeskundigen zijn het erover eens dat leren betekenisvol moet zijn, het leerdoel moet worden begrepen (Sousa, 2008, pp. 54-58). Puur het memoriseren van feiten is gericht op het verleden, terwijl betekenisvol leren op de toekomst is gericht. Als het leerdoel wordt begrepen dan kunnen verbindingen worden gelegd tussen verleden en toekomst (Mayer, 2002, pp. 227-228).

Toepassen 1 – Leerstof toepassen in reeds geleerde situaties

In de taxonomie van Bloom komt de RTTI-categorie toepassen 1 het meest overeen met de cognitieve verwerking uitvoeren uit de hoofdgroep toepassen. Wat opvalt is dat in de toets-piramide van De Lange memoriseren van kennis en het uitvoeren van geautomatiseerde toepassingen in dezelfde categorie reproductie zitten. Dit lijkt logisch te zijn, omdat dit raamwerk is ontwikkeld voor het wiskundeonderwijs, waarin haast geen losstaande kennis wordt getoetst.

In de laatste 30 jaar van de vorige eeuw is er een stortvloed aan realistische reken- en wiskundemethodes over ons land heen gekomen. In deze methodes is veel aandacht voor het toepassen van wiskundevaardigheden in een realistische context en minder voor het inoefenen van wiskundige basisvaardigheden. Dit lijkt te zijn gekomen door een vaak verkeerde interpretatie van het originele model waarop de realistische methodes zijn gebaseerd, waarin hiervoor juist wel veel ruimte was. Verticaal en horizontaal mathematiseren moesten naast elkaar worden geoefend. Het verticaal mathematiseren, wat is te vergelijken met de RTTI-categorie toepassen 1, heeft in de loop der jaren steeds minder aandacht gekregen (Koninklijke Nederlandse Akademie van de Wetenschappen, 2009, pp. 25-26).

Toepassen 2 - Leerstof toepassen in nieuwe situaties

Het horizontaal mathematiseren uit de toets-piramide is een goed voorbeeld van de RTTI-categorie toepassen 2. Een belangrijke rol is weggelegd voor de context waarin een vraagstuk wordt geformuleerd. Een context moet relevant en nodig zijn voor het oplossen van het probleem. Dit komt overeen met een context van orde twee zoals beschreven door De Lange. In de taxonomie van Bloom komt deze categorie het meest overeen met de cognitieve verwerking gebruiken uit de hoofdgroep toepassen.

De theorie

Pagina 9 van 43

Inzicht - Complex toepassen

In deze categorie valt duidelijk het verschil op tussen de taxonomie van Bloom en de andere raamwerken. Terwijl de andere raamwerken eenduidig zijn is in de taxonomie van Bloom deze categorie veel verder opgesplitst in de manier van toepassen met de verschillende cognitieve verwerkingen, zoals analyseren, evalueren en creëren. In de toets-piramide wordt dit niveau het meest benaderd door mathematiseren in een context van orde drie. De ontwikkelaars van RTTI geven een belangrijk verschil aan tussen de categorieën toepassen 2 en inzicht. Bij inzicht moet de leerling zelf iets aan het vraagstuk toevoegen om tot een oplossing te komen, terwijl dit bij toepassing 2 niet noodzakelijk is.

In hoofdlijnen is wel te stellen dat niveau drie uit de toets-piramide, de categorie inzicht van RTTI en de samenvoeging van de cognitieve verwerkingen analyseren, evalueren en creëren redelijk overeen komen.

S

De taxonomieën lijken qua indeling veel op elkaar. Voor de RTTI-categorieën reproductie en inzicht is in de taxonomie van Bloom een veel fijnere indeling te maken, terwijl de RTTI-categorieën toepassen 1 en toepassen 2 in de taxonomie van Bloom in dezelfde hoofdgroep zitten. In de toets-piramide zitten reproductie en toepassen 1 samen in niveau één en de RTTI-categorieën toepassen 2 en inzicht komen redelijk overeen met niveau twee en niveau drie.

E

Op het eerste gezicht lijkt het handig om een raamwerk zo simpel mogelijk te houden. De ontwikkelaars van de methode RTTI zijn hier zeker in geslaagd. Het model biedt veel mogelijkheden om duidelijk te communiceren met collega’s, leerlingen en ouders en maakt het laagdrempelig om het te implementeren. De keerzijde van de medaille lijkt echter dat het voor wiskundesecties niet eenvoudig is om leerdoelen en toetsen in te delen volgens deze methode. Bij wiskunde lijkt het moeilijk om te bepalen in welke RTTI-categorie een leerdoel of een toetsvraag behoort, terwijl de taxonomie van Bloom en de piramide van De Lange voor wiskunde goed werkbaar lijken te zijn. Daarom lijkt het noodzakelijk te zijn om te onderzoeken in hoeverre RTTI praktisch bruikbaar kan zijn en wat eventueel zou moeten worden aangepast of toegevoegd, zodat docenten de beschikking kunnen hebben over een voor het vak wiskunde geoptimaliseerd raamwerk.

Samenvatting Analytisch Onderzoek

Pagina 10 van 43

3. SAMENVATTING ANALYTISCH ONDERZOEK

Het doel van mijn Analytisch Onderzoek was om de ervaren verwarring in de wiskundesectie rondom RTTI op mijn school te onderzoeken en goede en slechte punten van de cognitieve indeling van RTTI in kaart te brengen, specifiek voor het schoolvak wiskunde. De hoofdvraag luidde: “In hoeverre is de cognitieve indeling van RTTI praktisch bruikbaar voor wiskundedocenten?” De deelvragen waren gericht op het typeren van opgaven, het gebruik van de termen reproductie, toepassen en inzicht en de onderliggende interpretaties.

Ik heb vervolgens semi-gestructureerde interviews gehouden met vijf wiskundedocenten (die al bekend waren met RTTI), de ontwikkelaars van RTTI, een wiskunde-didactica en twee leerlingen. De interviews vielen in twee delen uiteen. Het eerste deel van het instrument bestond uit enkele geselecteerde opgaven voor 4 VWO wiskunde B overgenomen uit een proefwerkbundel. Deze opgaven moesten de deelnemers typeren volgens de RTTI-indeling (Reproductie, Toepassen 1, Toepassen 2 en Inzicht). Daarna volgden een aantal vragen, waarbij de deelnemers hun interpretatie van de cognitieve indeling moesten verhelderen, moesten aangeven hoe zij tegen RTTI aankeken en hoe zij dit in de praktijk gebruikten. Ik heb de deelnemers ook gevraagd naar alternatieve indelingen. Aan de ontwikkelaars van RTTI heb ik de resultaten van de docenteninterviews voorgelegd om hierop te reageren.

Het conceptueel model voor het Analytisch Onderzoek staat hieronder in figuur 2.

FIGUUR 2: CONCEPTUEEL MODEL VOOR HET ANALYTISCH ONDERZOEK

RTTI RTTI geoptimaliseerd

voor wiskunde Bevindingen van leerlingen Andere raamwerken Bevindingen van wiskundedocenten

Bevindingen van RTTI-specialisten

Bevindingen van Onderwijsspecialisten

Analyse van wiskundeopgaven

Samenvatting Analytisch Onderzoek

Pagina 11 van 43

De interviews werden auditief opgenomen. De typering van de wiskundeopgaven heb ik verwerkt in een spreadsheet, waarbij ik heb gekeken naar verschillen en overeenkomsten. De uitspraken van de deelnemers in het tweede deel van het interview heb ik kwalitatief geanalyseerd aan de hand van een topiclijst:

 Meningen over RTTI.

 Interpretaties van de termen reproductie, toepassen en inzicht.  Interpretaties van de term begrijpen.

 Meningen over het construeren van toetsen.  Meningen over les- en leerdoelen.

 Meningen over meta-cognitieve vaardigheden.  Meningen over het typeren van opgaven.

De resultaten met betrekking tot het typeren van opgaven uit de proefwerkbundel in de categorieën R, T1, T2 en I laten zien, dat de categorie R bijna volledig leeg blijft en de categorie I ook weinig wordt gebruikt voor het typeren. De docenten typeren de opgaven veelal als T1 of T2 en soms als I, maar er is weinig overeenstemming hierover. Over slechts vijf van de 23 vragen is men het eens. Dit bevestigt dus het beeld van verwarring binnen de wiskundesectie, wat de aanleiding was voor dit onderzoek.

De resultaten van het kwantitatieve deel van de interviews laten zien, dat de deelnemers allerlei verschillende interpretaties hanteren van de gebruikte termen:

 Reproductie wordt door de docenten gezien als “voordoen-nadoen” en niet als leerbare kennis van eigenschappen van wiskundige objecten en formules. Pure reproductievragen, zoals gedefinieerd in RTTI, komen volgens alle docenten en de onderwijsspecialist bij wiskunde zo goed als niet voor, omdat wiskunde altijd wordt getoetst aan de hand van toepassingen en dat de feitenkennis daarin zit verwerkt. De RTTI-ontwikkelaars geven aan dat het expliciet opnemen van reproductie in de toetsen en tijdens de lessen een grote kwaliteitsverbetering binnen het wiskundeonderwijs kan opleveren. Dit maakt het vak wiskunde leerbaar en zorgt voor directe feedback. De docenten en de onderwijsspecialist zien hier de voordelen niet van in. Nader onderzoek lijkt hier noodzakelijk.  De categorie toepassen 1 wordt door alle docenten en leerlingen in verband gebracht met

wiskundige basisvaardigheden en toepassen 2 wordt veelal gezien als het verlengde van toepassen 1 maar dan in een nieuwe (realistische) context. De ontwikkelaars van RTTI geven aan dat dit een groot misverstand is. Een nieuwe context hoeft helemaal niet realistisch te zijn, maar moet wel nieuwe elementen bevatten voor de leerling. Bij deze categorie speelt mee, dat veel wiskundigen de term toepassen associëren met Toegepaste Wiskunde (als tegenhanger van Zuivere Wiskunde). Volgens de ontwikkelaars van RTTI staat de term toepassen voor het cognitief toepassen (het toepassen van kennis). Een “leg uit waarom”-vraag, waarmee meestal wordt getoetst of een leerling het heeft begrepen, wordt bijvoorbeeld maar door één docent in verband gebracht met toepassen. De overige docenten zien een “leg uit waarom”-vraag als reproductie, als inzicht of als een combinatie van de twee. Voor bijna alle respondenten hoort uitleggen en het tonen van begrip niet bij toepassen, terwijl dit volgens het RTTI model wel degelijk een hoog niveau van toepassen is.  Ook de interpretaties van de categorie inzicht wijken vaak af van de definitie binnen RTTI. De

docenten koppelen inzicht aan talent of aan het volledig begrijpen van de stof, terwijl in RTTI de categorie inzicht meer in verband wordt gebracht met complex toepassen of het opdoen van nieuwe inzichten.

Verder laten de interviews zien, dat er wel behoefte is aan een toetsraamwerk en dat men geen alternatieve raamwerken gebruikt of kent. Indien de RTTI-categorieën beter zouden kunnen worden

Samenvatting Analytisch Onderzoek

Pagina 12 van 43

uitgelegd en toegespitst op wiskunde, dan kan dit zeker bruikbaar blijken voor het analyseren van toetsen en voor het geven van feedback aan leerlingen. Hiermee is de onderzoeksvraag dus slechts ten dele beantwoord, want uit het Analytisch Onderzoek blijkt, dat RTTI praktisch bruikbaar zou kunnen zijn, maar dan moet eerst achterhaald worden of RTTI beter uit te leggen is. Pas als de gebruikers duidelijk hebben hoe RTTI precies werkt, kan worden bepaald of RTTI praktisch toepasbaar is voor wiskunde en of het moet worden geoptimaliseerd. Het is hierdoor ook niet mogelijk geweest om alle onderzoeksvragen volledig te beantwoorden.

In het vervolgonderzoek ga ik me richten op een beschrijving van de werking van RTTI, specifiek voor wiskunde en de nieuwe beschrijving toetsen in professionaliseringsworkshops voor wiskundedocenten. Mijn Analytisch Onderzoek heeft echter ook andere zaken opgeleverd, bijvoorbeeld de vraag of het opnemen van meer reproductievragen in wiskundetoetsen voor een versteviging zorgt van de kennisbasis, en of er meer echte inzichtvragen moeten worden opgenomen in de toetsen.

Ontwerponderzoek

Pagina 13 van 43

4. ONTWERPONDERZOEK

Uit het Analytisch Onderzoek kwam naar voren dat er veel verwarring bestaat rondom de werking van RTTI. Dit was vooral toe te schrijven aan het feit dat de gebruikers van RTTI het raamwerk op een verschillende manier interpreteren. Een voorwaarde voor het optimaal gebruiken van een raamwerk, is dat de uitgangspunten en definities binnen het raamwerk eenduidig zijn en ook zo eenduidig mogelijk worden geïnterpreteerd. Alleen dan is het mogelijk om te werken aan een verbetering van dit raamwerk. RTTI moest dus duidelijker en eenduidiger beschreven en uitgelegd worden. Hiervoor heb ik gebruik gemaakt van de in het hoofdstuk “Theorie” beschreven taxonomieën. Door de taxonomieën met elkaar te vergelijken heb ik gezocht naar mogelijke oplossingen voor onduidelijkheden in RTTI.

D

OEL VAN HET ONDERZOEK

Met dit ontwerponderzoek wilde ik achterhalen hoe de cognitieve indeling van RTTI op een duidelijkere en eenduidigere manier kan worden beschreven en uitgelegd, specifiek voor het middelbare schoolvak wiskunde, zodat het beter kan worden begrepen en daardoor beter kan worden gebruikt op mijn school en in het wiskundeonderwijs in het algemeen. Dit onderzoek heeft hiermee geleid tot een vernieuwde beschrijving van RTTI, specifiek voor wiskunde, hierna “RTTI voor Wiskunde” genoemd en afgekort tot RTTI+W.

O

NDERZOEKSVRAGEN EN ONDERZOEKSMODEL

H

In hoeverre is de cognitieve indeling van RTTI duidelijker en eenduidiger te beschrijven, zodat het beter aansluit bij het wiskundeonderwijs en daardoor beter kan worden begrepen door wiskundedocenten?

D

De volgende onderzoeksvragen moesten met behulp van de literatuur aanwijzingen opleveren om te komen tot een verbeterde beschrijving en uitleg van RTTI specifiek voor het vak wiskunde (RTTI+W).  Wat moet worden veranderd aan de naamgeving van RTTI om het voor wiskundedocenten

eenduidiger te maken?

 Op welke manier moet RTTI worden beschreven, zodat het beter aansluit bij het wiskundeonderwijs?

Ontwerponderzoek

Pagina 14 van 43

BEGRIPPEN EN VARIABELEN

RTTI Educatief raamwerk voor het voortgezet onderwijs met de volgende cognitieve indeling: Reproductie, toepassen in een bekende context, toepassen in een nieuwe context en Inzicht

Taxonomie De wetenschap van het indelen. Een taxonomie is een gecategoriseerd systeem met een hiërarchische indeling.

Cognitieve niveau

Cognitie is het vermogen om iets te leren. Hoe complexer de leertaak, des te hoger het cognitieve niveau.

Toetsen Schriftelijke overhoringen, (uniforme) proefwerken, praktische opdrachten, schoolexamens, centraal schriftelijk examens in het voortgezet onderwijs. Opgave Wiskundeopgaven uit lesmethodes en toetsen.

Typeren Het toekennen van een onderwijsactiviteit aan een cognitief niveau. Context Het kader waarbinnen een opgave zich afspeelt.

Conceptie De bril waardoor naar iets wordt gekeken. Bijvoorbeeld: Onderwijsconceptie.

TABEL 6: KERNBEGRIPPEN EN VARIABELEN

C

ONCEPTUEEL MODEL

De uitkomst van het Analytisch Onderzoek heb ik gebruikt als input voor mijn ontwerponderzoek. De uitkomst was dat er een vernieuwde beschrijving van RTTI voor wiskunde moest worden gegeven. Ik wilde deze vernieuwde uitleg uitproberen in een professionaliseringsworkshop voor docenten die al kennis hebben gemaakt met RTTI en geconfronteerd werden met de ‘oude’ uitleg. Op deze manier kon ik zien of mijn vernieuwde uitleg aan zou slaan. Daarnaast wilde ik ook controleren of de vernieuwde uitleg overeenkwam met het algemene model van RTTI. Daarvoor heb dit model voorgelegd aan de ontwikkelaars van RTTI. Het conceptueel model voor het ontwerponderzoek staat in Figuur 3.

FIGUUR 3: CONCEPTUEEL MODEL VOOR HET ONTWERPONDERZOEK

Analytisch Onderzoek over RTTI

RTTI beschreven voor wiskunde (RTTI+W)

Andere raamwerken Bevindingen van

wiskundedocenten

Bevindingen van RTTI-specialisten Professionaliserings-workshop voor docenten Procesbeschrijving verwerking wiskundeopgave

Ontwerponderzoek

Pagina 15 van 43

O

NDERZOEKSOPZET

Uit het Analytisch Onderzoek blijkt dat er verwarring bestaat rondom de gebruikte begrippen binnen RTTI. Een belangrijke reden hiervoor lijkt te zijn dat de verschillen in leerconcepties van de gebruikers een grote invloed hebben op de manier waarop RTTI wordt gebruikt. Een belangrijk gegeven in de theorie van de leerconcepties uit De zes talen in het onderwijs, zoals besproken in het hoofdstuk “Theorie”, is dat mensen die verschillende onderwijstalen spreken begrippen op verschillende manieren interpreteren. Tijdens dit ontwerponderzoek hoopte ik een manier te vinden om rekening te houden met deze verschillende leerconcepties. Het leek mij voor de hand te liggen om een beschrijving van RTTI te ontwerpen die vooral gericht was op het proces.

Dit ontwerponderzoek was dan ook voor het grootste gedeelte gericht op het ontwikkelen van RTTI+W op microniveau, waarin ik de aanpassingen telkens opnieuw heb getoetst met “formatieve evaluatie” (Plomp, 2007). De onderstaande uitgangspunten voor het ontwikkelen van RTTI+W kwamen voort uit het Analytisch Onderzoek:

 De verwarring rondom de naamgeving en de beschrijvingen moet worden geminimaliseerd.

 Een verandering van de naamgeving van de RTTI-categorieën reproductie en inzicht moet worden overwogen.

 Misverstanden rondom het verschil tussen toepassen 1 en toepassen 2 moeten worden verholpen.

 De beschrijving moet in eerste instantie gericht zijn op het begrijpen van de werking van RTTI en nog niet zozeer op de manier waarop dit kan worden gebruikt.

 Een goede manier om de werking van RTTI te begrijpen is door het te beschrijven vanuit de toetspraktijk. Hierin is het dan de vraag hoe een leerling een wiskundeopgave aanpakt.  De overeenkomsten van RTTI met andere taxonomieën kan worden gebruikt om de werking van

RTTI te doorgronden.

 De uitleg van RTTI moet worden gedidactiseerd. Hiervoor moet een beschrijving worden gegeven vanuit verschillende invalshoeken, voorzien van duidelijke voorbeelden.

 Er moet rekening worden gehouden met de tradities in het wiskundeonderwijs. Een aantal begrippen heeft in de wiskundewereld in de loop der tijd een afwijkende betekenis gekregen.

 Voorbeelden hiervan zijn: reproductie, vaardigheden, begrijpen en toepassen.

Op basis van bovenstaande uitgangspunten ben ik gestart met het ontwikkelen van RTTI+W. Het kwam er in het kort op neer dat ik een beschrijving heb gemaakt van de manier waarop een leerling een wiskundeopgave kan aanpakken. Hiermee werd het fundament gelegd voor een procesbeschrijving van de verwerking van een wiskundeopgave. Dit concept heb ik besproken met een wiskunde-vakdidactica, die ik ook heb geïnterviewd tijdens het Analytisch Onderzoek. Op basis van dit gesprek ben ik tot een eerste versie van RTTI+W gekomen.

Voor het onderzoeken van RTTI+W heb ik gekozen voor een professionaliseringsworkshop voor wiskundedocenten. Deze workshop is opgezet rondom een Prezi-presentatie, waarin ik RTTI+W ga uitleggen. Een chronologisch overzicht van de ontwikkeling van RTTI+W staat beschreven in het hoofdstuk “Resultaten”. De laatste versie van “RTTI voor Wiskunde” is opgenomen in bijlage 4 en de Prezi-presentatie is te bekijken via: http://prezi.com/9ns4haz_gplm/rtti-voor-wiskunde/

Vervolgens heb ik een vragenlijst ontworpen om in kaart te brengen hoe de vernieuwde uitleg over komt op het publiek en om eventuele verbeterpunten te vinden. Deze vragenlijst bestaat uit open vragen, zodat de respondenten in eigen woorden kunnen beschrijven wat hun beeld is van de

Ontwerponderzoek

Pagina 16 van 43

vernieuwde uitleg. De specificaties van de vragenlijst zijn opgenomen in het volgende hoofdstuk “Instrumentatie”. De doelstellingen van de vragenlijst zijn:

 Achterhalen of RTTI+W beter aansluit bij het wiskundeonderwijs en daardoor voor een praktisch betere toepasbaarheid kan zorgen.

 Onderzoeken of de nieuwe namen en beschrijvingen van de RTTI-categorieën duidelijker en eenduidiger zijn.

 In kaart brengen in hoeverre het beeld wat de respondenten van RTTI hadden voor de presentatie was veranderd door de presentatie.

Deze eerste versie van RTTI+W en de vragenlijst heb ik getest tijdens een sectievergadering met de wiskundesectie van mijn school. Het doel van deze pilot was vooral het testen van de presentatie en het in kaart brengen van mogelijke onduidelijkheden in de uitleg. De bevindingen die hieruit zijn voort gekomen heb ik gebruikt om RTTI+W bij te stellen.

Een belangrijk uitgangspunt van RTTI+W was voor mij dat dit volledig moest aansluiten bij de bestaande definitie van RTTI. Het doel was namelijk niet het veranderen van RTTI, maar het duidelijker en eenduidiger beschrijven van RTTI, specifiek voor wiskunde. Om dit te achterhalen heb ik RTTI+W , in een interview, voorgelegd aan de ontwikkelaars van RTTI. Hieruit is een aantal kleine wijzigingen voortgekomen die ik heb verwerkt in de beschrijving en de presentatie, waarmee RTTI+W in overeenstemming was met de originele definitie van RTTI.

Om deze gevalideerde versie van RTTI+W te onderzoeken, heb ik de professionaliserings-workshop op twee verschillende scholen uitgevoerd. De bevindingen die zijn voortgekomen uit deze workshops heb ik gebruikt om tot een laatste versie van RTTI+W gekomen.

I

NSTRUMENTATIE

In dit hoofdstuk is de vragenlijst beschreven, waarmee ik heb onderzocht hoe de presentatie is overgekomen op het publiek. In het hoofdstuk “Resultaten” zal ik beschrijven hoe er is gereageerd op de presentatie door middel van een analyse van de ingevulde vragenlijsten en de audiovisuele registratie. Daarnaast zal ik ook beschrijven hoe RTTI+W hierdoor is bijgesteld.

V

De volgende vragenlijst is voorgelegd aan het publiek direct na afloop van de presentatie. 1. In welke mate sluit RTTI+W aan bij het beeld dat je had van RTTI voor de presentatie? 2. In hoeverre zijn de categorieën van RTTI op deze manier duidelijker uitgelegd?

3. In hoeverre zijn de nieuwe namen en toevoegingen voor de categorieën van RTTI eenduidiger? 4. Kun je voorbeelden noemen van hiervoor bestaande misvattingen die nu zijn verhelderd?

a. Wat was de misvatting? b. Wat is het beeld nu?

5. In hoeverre is het verschil tussen de twee toepassingscategorieën nu duidelijker? (Toepassen 1/Toepassen 2 t.o.v. Toepassen Standaard/Toepassen Aangepast)

6. Zijn er betere woorden om de categorieën van RTTI mee aan te duiden in dit model? Zo ja, welke? 7. Overige opmerkingen.

Ontwerponderzoek

Pagina 17 van 43

De antwoorden op deze vragen heb ik tijdens het analyseren geclusterd tot de volgende topiclijst. 1. In hoeverre sluit RTTI+W aan op RTTI?

2. In hoeverre zijn de categorieën van RTTI duidelijker uitgelegd?

3. In hoeverre zijn de nieuwe namen en de bijbehorende betekenissen eenduidiger? 4. In hoeverre is het verschil tussen Toepassen 1 en Toepassen 2 nu duidelijker? 5. Overige opmerkingen.

Om uiteindelijk te komen tot een uitspraak over de kwaliteit van RTTI+W, heb ik de volgende drie stellingen gedefinieerd.

1. RTTI+W sluit goed aan bij het beeld van RTTI voor aanvang van de presentatie (aansluiting). 2. RTTI+W maakt RTTI duidelijker (duidelijker).

3. De naamgeving in RTTI+W maakt RTTI eenduidiger (eenduidiger).

Voor de kwantitatieve analyse heb ik aangeven in hoeverre de respondenten het eens zijn met deze stellingen. Dit heb ik vertaald naar een schaal van 1 t/m 4 (1=volledig oneens, 2=grotendeels oneens, 3=grotendeels eens, 4=volledig eens, -=geen mening). De resultaten hiervan heb ik gegroepeerd per workshop. Op basis hiervan heb ik vastgesteld in hoeverre de respondenten vinden dat deze vernieuwde uitleg van RTTI, specifiek voor wiskunde een verbetering is. De uitwerking hiervan staat in bijlage 3.

Voor de kwalitatieve analyse heb ik gekeken naar het algemene beeld van de uitspraken van de respondenten. Deze bevindingen heb ik gebruikt om RTTI+W tijdens het Ontwerponderzoek bij te stellen.

D

ATAVERZAMELING

In dit onderzoek zijn twee datasets samengesteld.

 De eerste dataset bestaat uit een beoordeling van de kwaliteit van RTTI+W, vanuit de vragenlijst, die is ingevuld door wiskundedocenten na de presentatie. Dit deel van het onderzoek is kwantitatief.

 De tweede dataset is een verzameling uitspraken van wiskundedocenten en RTTI-specialisten over RTTI+W. Dit deel van het onderzoek is inventariseren en kwalitatief.

O

De onderzoekspopulatie bestaat uit twee RTTI-specialisten die gelijktijdig zijn geïnterviewd en 21 wiskundedocenten werkzaam op drie verschillende scholen die een professionaliserings-workshop hebben bijgewoond en waarvan er 18 de bijbehorende vragenlijst hebben ingevuld.

Ontwerponderzoek

Pagina 18 van 43

R

ESULTATEN

In dit hoofdstuk staat in chronologische volgorde beschreven hoe RTTI+W is ontwikkeld op basis van het Analytisch Onderzoek, de literatuur en de reacties van de respondenten op de presentatie.

1. E

RTTI+W

De eerste versie van RTTI+W startte op microniveau vanuit de beschrijving van de manier waarop een leerling een wiskundeopgave aanpakt. Een eerste schets van dit model heb ik opgenomen in bijlage 1. Als uitgangspunt hiervoor gebruikte ik de systematische probleemaanpak op basis van heuristieken door Van Streun (2001, pp. 13-15). Hierin wordt gestart met een heuristische probleemverkenning, gevolgd door een interne dialoog waarin vragen worden gesteld over de gekozen aanpak en wordt gereflecteerd op de resultaten.

Van Streun geeft daarnaast aan dat voor het oplossen van een probleem kennis nodig is. Deze kennis is onder te verdelen in “weten dat”, “weten hoe”, “weten waarom” en “weten over weten” (Van Streun, 2001, pp. 15-20). Deze kennisgebieden komen ook voor in de gereviseerde taxonomie van Bloom en zijn daarin verbonden met de verschillende cognitieve verwerkingen. Uit “De vergelijking der taxonomieën” (zie hoofdstuk “Theorie”) blijkt dat deze cognitieve verwerkingen goed zijn te koppelen aan de RTTI-categorieën. Welke koppelingen van kennis en verwerking kunnen voorkomen tijdens het beantwoorden van een wiskundeopgave is wel te identificeren met de taxonomie van Bloom en RTTI, maar het is nog niet duidelijk in welke volgorde dit plaats vinden en wat voor invloed deze koppelingen op elkaar hebben. Uit het Analytisch Onderzoek blijkt dat dit binnen RTTI, voor verschillende leerlingen, heel anders kan zijn.

Het is nu de vraag of RTTI beter is te beschrijven en uit te leggen als dit wordt gedaan aan de hand van een heuristisch schema, waarin koppelingen worden gelegd met RTTI. Ik duid dit hier verder aan als ‘heuristisch model’ (zie figuur 4). De volledige beschrijving van de laatste versie van dit model is opgenomen in bijlage 4.

FIGUUR 4: HEURISTISCH MODEL

Verkennen Beslissen Uitvoeren Reflecteren Situatie Vraagstelling Resultaat Antwoord

Ontwerponderzoek

Pagina 19 van 43

A

Het eventueel veranderen van de namen van de gebruikte begrippen in RTTI is tijdens het Analytisch Onderzoek besproken met de respondenten. Het bedenken van nieuw namen die beginnen met de letters van “RTTI” is een onderdeel van het ontwerponderzoek. Tijdens de professionalisering-workshops heb ik het publiek gevraagd om te reageren op de nieuwe namen en beschrijvingen en eventueel te komen met een voorstel voor andere namen die passen bij de stappen die worden gezet in het heuristisch model. Hieronder staan de argumenten voor het kiezen van deze nieuwe namen.

R

Veel wiskundedocenten zien reproductie als voordoen-nadoen. Dit is alleen niet de betekenis van reproductie binnen RTTI. Als dit idee van reproductie niet wordt losgelaten is het onmogelijk om RTTI te begrijpen. Iedere keer als er wordt gesproken over reproductie, zal de ontvanger onbewust toch voordoen-nadoen horen. Het is dan ook noodzakelijk om het woord reproductie te vervangen. Ik heb gekozen voor raadplegen van het geheugen.

T

Doordat de twee toepassing categorieën, toepassen 1 en toepassen 2, dezelfde naam dragen met als enige verschil een “1” of een “2”, lijkt het erop alsof toepassen 2 bestaat uit dezelfde soort vragen als bij toepassen 1, maar dan moeilijker. Dit kan worden geïnterpreteerd als: niveau 1 en niveau 2. Aangezien het verschil tussen deze twee categorieën niet wordt bepaald door de moeilijkheidsgraad, lijkt het noodzakelijk om de cijfers in de naamgeving te vervangen door woorden. Ook moet er in worden aangegeven dat het hier gaat om het toepassen van kennis en niet om een wiskundige toepassing. T1

In de categorie toepassen 1 zitten operationele vaardigheden of routines. De leerling weet precies wat er moet worden uitgevoerd. Er moet bestaande kennis op een standaard manier worden toegepast. Vandaar de naam toepassen standaard.

T2

Als een vraagstuk uit de categorie toepassen 2 wordt voorgelegd, weet de leerling niet precies welke oplossingsmethode moet worden gebruikt. Er moet eerst kennis worden gekoppeld. Bestaande kennis wordt toegepast, aangepast aan de situatie. Of andersom: De situatie wordt aangepast om dit met een aantal standaard toepassingen op te kunnen lossen. Vandaar de naam toepassen aangepast.

I

Naast het veelal anders geïnterpreteerde begrip reproductie is ook het begrip inzicht veelvuldig anders beschreven tijdens het analyse onderzoek. Wat is inzicht? Is het talent of ervaring? Heeft het iets te maken met het opdoen van nieuwe inzichten of met inzichtelijk maken? Heb je inzicht als je de stof volledig begrijpt? Het woord inzicht is niet eenduidig, dus ook hier is het noodzakelijk om de naam te vervangen.

In deze categorie is vaak niet precies duidelijk hoe het vraagstuk moet worden opgelost. Alle eerdere associaties hebben niet tot een succesvolle oplossing geleid. Om toch tot een oplossing te komen moet hier worden geëxperimenteerd. Hiervoor is het meestal noodzakelijk om opnieuw het vraagstuk te verkennen. Vandaar de naam iteratief experimenteren.

Ontwerponderzoek

Pagina 20 van 43

In tabel 7 hieronder staan de nieuwe namen en beschrijvingen voor de RTTI-categorieën, zoals die in deze fase van het onderzoek zijn gehanteerd. De namen toepassen aangepast en iteratief experimenteren zijn later in het onderzoek weer vervangen.

RTTI RTTI voor Wiskunde

Reproductie RG Raadplegen Geheugen

(R)aadplegen van het geheugen. Kennis rechtstreeks uit het geheugen halen. Direct het antwoord weten.

Toepassen 1 TS Toepassen Standaard

Bestaande kennis direct kunnen (t)oepassen op een (s)tandaard manier. Procedure uitvoeren, (s)tappenplan uitvoeren Toepassen 2 TA Toepassen

Aangepast

Bestaande kennis kunnen (t)oepassen op een (a)angepaste, (a)ndere, (a)fwijkende of (a)lternatieve manier.

Verbinden of koppelen van kennis. Inzicht IE Iteratief

Experimenteren

Met alleen bestaande kennis een vraagstelling niet direct kunnen oplossen. Hiervoor is het noodzakelijk om (i)teratief te

(e)xperimenteren. De leerlingen moet opnieuw verkennen.

TABEL 7: NIEUWE NAMEN EN BESCHRIJVINGEN VOOR RTTI VOOR WISKUNDE

2. P

-

Op basis van het de eerste versie van RTTI+W heb ik een prezi-presentatie ontwikkeld, die ik heb getest in een pilot-workshop tijdens een sectievergadering op het Jac. P. Thijsse College in juni 2012. Vier van de tien aanwezige docenten hebben eerder al meegewerkt aan het Analytisch Onderzoek en waren dus op de hoogte van het onderzoek. Het voordeel hiervan was dat zij gericht feedback konden geven. Deze vernieuwde beschrijving van RTTI was ten slotte deels gebaseerd op hun bevindingen tijdens het Analytisch Onderzoek.

Hieronder volgt een beschrijving van de presentatie op basis van een samenvatting van de uitgeschreven tekst en screenshots van de Prezi-presentatie.

“Ik heb een model ontwikkeld, waarin ik RTTI zal proberen uit te leggen aan de hand van een heuristisch schema. Ik wil laten zien welke stappen een leerling zet en welke beslissingen een leerling neemt tijdens het beantwoorden van een wiskundevraagstuk. Tijdens het beschrijven van dit model zal ik laten zien welke stappen te koppelen zijn aan RTTI, om zo een beter inzicht te krijgen in de werking van RTTI.”

Verkennen

“Bij veel wiskundeopgaven wordt eerst een situatie geschetst, waarbinnen de leerling een vraagstuk moet oplossen. Deze leerling zal eerst de situatie gaan verkennen. Alle leerlingen doen dit; excellente leerlingen vaak heel goed en minder goede leerlingen vaak minder goed of bijna niet. Leerlingen wordt vaak geleerd om belangrijke woorden te onderstrepen of om even een schetsje te maken van de situatie. Om deze situatie te kunnen herkennen is kennis nodig. Deze kennis wordt opgehaald uit het geheugen.

Ontwerponderzoek

Pagina 21 van 43

Beslissen

“Nadat de leerling de situatie heeft verkend, komt de tweede stap, namelijk het beslissen. De leerling moet hier beslissen hoe de opgave moet worden opgelost. Er zijn drie mogelijkheden...”

Ik kan direct het antwoord geven

“De leerling denkt direct het antwoord te kunnen geven. Dit is in RTTI+W: Raadplegen van het Geheugen, aangegeven met de letters RG. Het is hierbij belangrijk om aan te merken dat de leerling hier echt niets voor hoeft te doen, ook al is het de simpelste berekening. Als de leerling namelijk nog wel iets moet uitrekenen dan valt het antwoord niet in deze categorie. Deze categorie wordt in de originele versie van RTTI ‘Reproductie’ genoemd.”

Ik weet precies wat ik moet doen

“Het kan ook zijn dat de leerling precies weet wat hij moet doen. Hij herkent de situatie en weet dit ook precies te plaatsen. Dit is al vaker geoefend. Ik dit geval haalt deze leerling procedurele kennis op uit zijn geheugen (RG). Dit kan bijvoorbeeld een stappenplan of een formule zijn. Daarna voert hij de procedure uit. Deze stap, het uitvoeren van de procedure, is in RTTI+W: Toepassen Standaard, aangegeven met TS. Dit wordt in de originele versie ‘Toepassen 1‘ genoemd.”

Ontwerponderzoek

Pagina 22 van 43

Ik moet bepalen wat ik moet doen

“Als de eerste twee mogelijkheden, ‘ik kan direct het antwoord geven’ en ‘ik weet precies wat ik moet doen’, niet tot een oplossing leiden, moet de leerling verder zoeken. Tijdens het verkennen heeft de leerling onderzocht waar de situatie en de vraag mee te maken hebben, maar er is meer kennis nodig. Hiervoor is meestal conceptuele kennis nodig. Dit is weer raadplegen van het geheugen (RG). De leerling moet deze kennis gaan koppelen en daarmee onderzoeken hoe dit vraagstuk precies moet worden opgelost. Dit koppelen is in RTTI+W: Toepassen Aangepast, aangegeven met TA. Dit wordt in de originele versie Toepassen 2 genoemd.”

Reflecteren

“De leerling heeft een oplossingsmethode voor de vraagstelling gevonden en deze uitgevoerd. Er is een antwoord gevonden. De vragen in deze fase zijn: ‘Klopt het antwoord wel?’ en ‘Past het antwoord wel bij de vraag?’. Als dit zo is, kan het antwoord worden opgeschreven.”

“Het kan ook gebeuren dat de leerling deze vraag nu nog helemaal niet kan beantwoorden. Wat er dan gebeurt, zien we in het volgende plaatje…”

Overzicht

“Als er door de leerling geen oplossing is gevonden, dan wordt dit vraagstuk een experiment. De leerling moet opnieuw verkennen en naar nieuwe ingangen zoeken. De leerling moet opnieuw een rondje draaien. Dit is in RTTI+W: Iteratief Experimenteren, aangegeven met IE. Dit wordt in de originele versie ‘Inzicht’ genoemd.”

Ontwerponderzoek

Pagina 23 van 43

E

-

Acht van de tien docenten hebben een vragenlijst ingevuld. De resultaten hiervan staan in bijlage 3. In figuur 5 is weergegeven in hoeverre de docenten het eens waren met de drie stellingen.

FIGUUR 5: RESULTATEN PILOT-WORKSHOP (N=8)

Na het analyseren van de resultaten, heb ik geconcludeerd dat de presentatie op bepaalde punten moest worden bijgesteld. Hieronder volgt een opsomming:

1. De naam iteratief experimenteren wordt door de respondenten niet als een verbetering gezien. Het woord iteratief wordt vaag gevonden en is niet bij iedereen bekend. Een beter alternatief kon ik op dat moment niet bedenken.

2. Aangezien maar drie van de acht docenten hebben aangegeven dat het verschil tussen toepassen 1 en toepassen 2 duidelijk is, heb ik gekeken naar de omschrijving en de namen van deze categorieën. De naam toepassen standaard heb ik zo gelaten, maar de naam toepassen aangepast heb ik veranderd in toepassen associatief. Als kennis moet worden gekoppeld, moeten er associaties worden gelegd tussen de verschillende kennisgebieden. Deze naam leek mij de beste keuze. 3. Tijdens de presentatie was er duidelijk een behoefte aan meer praktische voorbeelden van de

werking van RTTI+W. Daarom heb ik besloten dat er in de volgende versie van de presentatie betere voorbeelden van wiskundeopgaven moesten worden opgenomen. Deze zijn later toegevoegd en beschreven in “4. Toevoeging van voorbeelden”.

38% 13% 13% 50% 63% 38% 50% 38% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

Aansluiting Duidelijker Eenduidiger

Geen mening Volledig eens Grotendeels eens Grotendeels oneens Volledig oneens

Ontwerponderzoek

Pagina 24 van 43

3. E

RTTI+W

RTTI-

Eén van de uitgangspunten voor het ontwikkelen van RTTI+W was dat het zo goed mogelijk moest blijven aansluiten bij de originele definitie van RTTI. Om te onderzoeken of dit ook daadwerkelijk zo was, heb ik een afspraak gemaakt met de ontwikkelaars van RTTI, waarin ik hen RTTI+W heb voorgelegd. Vervolgens hebben we gediscussieerd over de precieze werking van RTTI en een aantal belangrijke details in de presentatie.

Ten eerste hebben we stilgestaan bij de relatie tussen verkennen en beslissen. Stappen die een leerling zet tijdens het verkennen, dienen als input voor de beslis-fase. Maar de stappen in de verken-fase kunnen ook al een deel van de uit te voeren oplossingsmethode zijn. Er wordt gesteld door de RTTI-ontwikkelaars dat excellente leerlingen waarschijnlijk stappen uit de beslis-fase overhevelen naar de verken-fase en dat als er weinig noodzaak is om te verkennen, de opgave waarschijnlijk van een lager cognitief niveau is.

Ten tweede werd er door de RTTI-ontwikkelaars aangegeven dat als er twee termen in de beschrijving iets anders worden geformuleerd, RTTI+W bruikbaar is voor alle vakken. Dit heeft geresulteerd in een zoektocht naar nieuwe termen, waarvan een lijst is opgenomen in bijlage 2. Dit heeft geleid tot de volgende aanpassingen in RTTI+W.

1. De naam iteratief experimenteren dekt volgens de ontwikkelaars van RTTI niet volledig de lading. Het is bij een vraag uit deze categorie niet altijd noodzakelijk dat een leerling opnieuw gaat verkennen en dus opnieuw een rondje draait. Het is volgens hen ook niet zo dat er bij vragen uit deze categorie altijd structuurmatig naar een oplossing wordt gezocht. Omdat er geen beter alternatief te bedenken viel besloot ik om toch weer het woord inzicht te gaan gebruiken. De nieuwe naam voor deze categorie werd hierbij: inzichtelijk experimenteren. Deze keuze leidde tot tevredenheid bij de ontwikkelaars van RTTI.

2. De naam toepassen associatief was volgens de ontwikkelaars ambigu, want ook bij vragen uit de hogere categorie inzicht moet veel worden geassocieerd. Verder werd aangegeven dat het in deze categorie vooral draait om het bepalen van een oplossingsrichting. Dit houdt in dat er in deze categorie vaak alternatieve oplossingsrichtingen zijn. Dit heeft me doen besluiten om de naam te veranderen in toepassen alternatief. Hierin staat alternatief voor anders, aangepast en met meerdere alternatieven.

Het vernieuwde model sluit in de ogen van de RTTI-ontwikkelaars zeer goed aan bij de originele definitie van RTTI. Het biedt ook nieuwe mogelijkheden, getuige de volgende opmerking:

“Dit model geeft op een prachtige manier weer hoe RTTI werkt op microniveau en biedt aanknopingspunten om beter te achterhalen waar het in het proces mis gaat.”

Ontwerponderzoek

Pagina 25 van 43

4. T

Op basis van eerdere bevindingen heb ik twee voorbeelden toegevoegd aan de presentatie (zie figuur 6 en 7). De koppeling met RTTI is dikgedrukte aangegeven met de volgende codes: RG=Raadplegen Geheugen, TS=Toepassen Standaard, TA=Toepassen Alternatief en IE=Inzichtelijk Experimenteren.

Vraag: Gegeven een rechthoekige driehoek met een rechthoekszijde met lengte 3 en een schuine zijde met lengte 5. Hoe lang is de andere rechthoekszijde?

Verkennen: Rechthoekige driehoek  Stelling van Pythagoras  (RG) Beslissen: Optie 1: Ik weet direct het antwoord, namelijk: 4 (RG)

“Mensen met veel ervaring, herkennen direct de standaard Pythagorische driehoek met verhoudingen 3:4:5”

Optie 2: Ik weet precies wat ik moet doen 1. (RG)

2.  √ (TS)

Optie 3: Ik weet niet precies wat ik moet doen

1. Ik moet eerst een schets maken, waarin in de gegevens invul die ik al weet. (RG)

2. Ik weet hoe ik het moet oplossen als ik de twee

rechthoekzijdes weet. Hoe moet ik het dan doen als ik er één niet weet, maar de schuine zijde wel weet. (TA) 3. Wat is de standaard formule  (RG)

4. Als ik daar de gegevens invul die ik al weet  (TS) 5. Oplossen    √ (TS) Reflectie: Past het antwoord bij de vraag: Ja

Controle:  klopt

“Als de leerling de stelling van Pythagoras niet kent, wordt dit een niet op te lossen vraag. De leerling zou wel een driehoek kunnen construeren en kunnen opmeten.” Antwoord: De lengte van de tweede rechthoekzijde is 4.

Ontwerponderzoek

Pagina 26 van 43

Vraag: _{Los op:}

Verkennen: Los op  ik moet de waarde(n) voor vinden (RG)

sin  sinus  goniometrie  Welke procedures horen hierbij (RG) goniometrische vergelijking  Antwoord in radialen (RG)

Beslissen: _{Optie 1: Ik weet direct het antwoord, namelijk:  (RG)}

“De sinus van de standaardhoeken (0,30,45,60 ,90) zijn uit het hoofd geleerd.” En ik weet ook dat er nog een tweede oplossing moet zijn. (RG)

Optie 2: Ik weet precies wat ik moet doen om de tweede hoek te vinden 1. (RG)

2.  (TS)

Optie 3: Ik weet niet precies wat ik moet doen 1. Misschien kan ik het oplossen met de

eenheidscirkel. (RG)

2. Misschien kan ik de tweede hoek vinden als ik de eerste hoek heb getekend (TA)

3. Hoe zit de eenheidscirkel ook alweer in elkaar? (RG)

4. Tekenen van de eenheidscirkel en daarin de eerste hoek (TS)

5. Zoeken van de tweede hoek  (TS) Reflectie: Klopt het antwoord bij de vraag: Ja

Maar wat als ik nog een rondje draai? (IE)

“Bij deze twee oplossingen kan een willekeurig aantal keer de periode worden opgeteld. De leerling heeft dit idee zelf gevonden. Hij moet opnieuw verkennen om te bepalen hoe dit precies in elkaar zit”

Antwoord: _{met domein [ ]}

met en domein .