Signaalverwerking, aandrijvingen en meetsystemen bij numeriek bestuurde gereedschapsmachines

Signaalverwerking, aandrijvingen en meetsystemen bij

numeriek bestuurde gereedschapsmachines

Citation for published version (APA):

Mulders, P. C., & Schoot, van der, H. W. P. (1983). Signaalverwerking, aandrijvingen en meetsystemen bij numeriek bestuurde gereedschapsmachines. (TH Eindhoven. Afd. Werktuigbouwkunde, Vakgroep

Produktietechnologie : WPB; Vol. WPB0002). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1983

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

SIGNAALVERWERKING, AANDRIJVINGEN EN MEETSYSTEMEN BIJ NUMERIEK BESTUURDE GEREEDSCHAPSMACHINES

Auteurs: ir. P.C. Mulders H.W.P. van der Schoot

WPB-Rapport nr. 0002

Overdruk ten dienste van het college VE-60:

IIMeet- en aandrijfsystemen van gereedschapswerktuigen en geavanceerde meettechniekl l

•

~ Niets van deze inhoud mag worden vermenigvuldigd, openbaar gemaakt of in de handel gebracht, zonder toestemming van de auteurs. Oorspronke-lijk bestemd voor de Post-Academische Cursus 'INUMERIEKE BESTURINGII, Vakgroep WPT-THE. December 1981 - januari 1982 en Vakgroep WPB, janu-ari 1983.

VOORWOORD.

Dit collegedictaat: "Signaalverwerking, aandrijvingen en meetsystemen bij numerieke bestuurde gereedschapsmachines" vormt de leidraad van het eerste deel van het college (4.265.0): "Meet- en aandrijfsystemen van gereedschapswerktuigen en geavanceerde meettechniek" uit het hoofdblok VERVAARDIGINGSKUNDE 60.

Het omvat de volgende onderdelen: - Signaalverwerking

- Aandr i jv i ngen - Appendices

A: De sturing van gel ijkstroommotoren B: Elektrische stappenmotoren

- Meetsystemen

(Mulders) (Mulders) (Mu Iders)

(Van der Schoot)

Het genoemde dictaat komt voort uit een dictaat "Numerieke Besturing" en uit de syllabi van twee PATO-cursussen Numerieke Besturing, janu-a r i 1982 en j janu-anujanu-a r i 1983.

De auteurs willen op deze plaats hun dank betuigen aan Ineke Borg voor het uitstekende typewerk.

Januari 1983, De auteurs.

INHOUDSOPGAVE

HOOFDSTUK 6. SIGNAALVERWERKING

6. 1. In lei ding en samenva t t i ng 6. 1

6 . 2 . Informa tie bewe r kin9 .•..•...•..•••....•...•...•.. 6. 3

6.2.1. Overzicht 6.3

6.2.2. De Digitale Analoge behandeling van de contourinformatie .. 6.7

6.2.3. Het bemonsteringstheorema van Shannon 6.9

6 . 3. Int e r po Ia tie 6. 15

6.4. Reconstructie met houdcircuits 6.23

6.5. Laplace en Fourier transformatie ....•... 6.29

HOOFDSTUK

8.

AANDRIJVINGEN

8.1. Inleiding en samenvatting 8.1

8.2. Systeemanalyse van de aandrijvingen ...•... 8.3

8.2.1. Open en gesloten besturingen 8.3

8.2.2. Regeltechnische begrippen 8.9

8.2.3. Stabiliteit van regelkringen ...•... 8.17 8.2.4. De sledeaandrijving als positieregelkring 8.24

8.3. Kwaliteitscriteria van de aandrijving 8.33

8.4. Aandrijfmotoren voor slede en hoofdas 8.39

8.5. Regelbare versterkers voor aandrijvingen 8.44

Literatuur 8.46

APPENDIX A. DE STURING VAN GELIJKSTROOMMOTOREN

1. Ankerstroomsturing A.2

APPENDIX B. ELEKTRISCHE STAPPENMOTOREN

1. In 1e i ding ...•... B. 1

2. Principe van de werking van de stappenmotor B.2

3. Berekeningen aan de stappenmotor B.9

4. De responsie op de eerste stap B.15

5. Stabiltteit ...•... B.17

6. De werking van de hydraul ische koppelversterker B.18

MEETSYSTEMEN

1. Open en ges loten bes tur i ngen 1

2. Assenstelsels 2

3. Meetsys temen ...•... 3 4. Indelingvan meetsystemen ...•...•... 5

4.1. Analoge en digitale meetsystemen 5

4.2. Absolute en inkrementele meetsystemen 5

4.3. Meetsystemen voor roterende en lineaire bewegingen 6

4.4. Dynamische en statische meetsystemen 7

5. Praktische principes 7 5.1. Analoge meetsystemen ...•... 8 5.1.1. Potentiometrische systemen 8 5.1.2. Fotonic sensor ...•... 10 5.1.3. Geluidsimpuls meetsysteem 11 5.1.4. De inductieve hoekmeter 13 5.1.5. De inductosyn 20

5.2. Absolute digitale meetsystemen 23

5.3. Incrementele digitale meetsystemen 27

5.3.1. Meetsystemen met statische bemonstering van de

merk-tekendrager 27

5.3.2. Interpolatie bij systemen met statische bemonstering . 31

5.3.3. Signaalbehandel ing 33

5.3.4. Dynamische bemonstering van de merktekendrager 36

5.3.5. Het Ferranti meetsysteem 37

5.3.6. Het Philips translatie meetsysteem met polygoon 39 5.3.7. Het Philips translatie meetsysteem met optoscanner 42

6. Beoordeling van meetsystemen, eisen verwachtingen 48

HOOFOSTUK 6.

6.1

-51GNAALVERWERKI NG.

PATO NUMERIEKE BESTURING Vakgroep WPT - THE

6.1. Inleiding en samenvatting.

In de laatste decennia en vooral tegenwoordig is bij de besturing en automatisering van gereedschapsmachines sprake van een sterke evolutie. De nieuwe ontwikkel ingen zijn voornamelijk mogelijk geworden door de vooruitgang in de halfgeleider technologie en daardoor de ioepassing van de moderne procescomputers en microprocessors. Beziet men de his-torie van deze ontwikkel ing dan wordt duidel ijk dat de taak van de besturing in de loop der tijden steeds omvangrijker is geworden. Een chronologische onderverdeling zou kunnen zijn:

- hardware control, - programmable control, - numerical control (NC),

- computer numerical control (CNC), - di rect numerical control (ONC).

In de beginfase was de sturing beperkt tot een beheersing van logische funkties. Aan de hand van de toestand van een aantal mechinefunkties

("toestandsvariabelen") werd een aan/uit conditie van een stuursignaai gecreeerd. Gebruik werd gemaakt van logische netwerken en logische ele-menten uit de schakeltechniek zoals relais, nokken, schakelcontacten halfgeleiderelementen. Van toepassing waren Bpole-algebra en Karnaugh-diagrammen. Oit type besturing zou men dan ook Illogische besturing" kunnen noemen, ze was opgebouwd uit hardware-logica elementen. Als een gevolg op deze hardware besturingen (die niet flexibel zijn) zijn door het verbeteren van de halfgeleider electronica vervolgens programmeer-bare besturingen ontwikkeld, die tot de software besturingen behoren. (E: P.C. = progr~mabl-=-Contro~e.!:1. Hierbij is vooraf in een geheugen een bepaald programma gezet - dat eventueel gemakkelijk kan worden ge-wijzigd - en dat programma wordt stap voor stap afgelopen. Oaarnaast oefent de besturing controle uit op de logische funkties van de machine.

Bij de geheugen geprogrammeerde besturingen wordt de ene aanwijzing na de andere uitgevoerd in meestal enige cyclustijden, hier is dus in prin-cipe sprake van IIser ieprocessingl l• Bij de hardware besturingen kunnen

o

NUMERIEKE BESTURING

groep WPT - THE

6.2

-tegelijkertijd meerdere signaaltoestanden worden verwerkt d.i. "parallel processingl/. Daar de cyclustijd tegenwoordig I igt in de orde van frac-ties van microseconden kan inmiddels van quasi parallel processing wor-den gesproken. Bij de programmeerbare besturingen worwor-den overigens geen berekeningen uitgevoerd. Een grotere flexibiliteit heeft men bereikt met numerieke besturingen (E: N.C. = Numerical Control). Hierbij worden naast het besturen van de logica, ook rekenkundige bewerkingen uitgevoerd, om-dat ook aIle informatie voor de bewerking van het werkstuk aanwezig is

in een werkstukprogramma, dat de benodigde besturingsinformatie in alpha-numeriek vorm bevat. Numerieke besturingen zijn uitsluitend mogelijk door toepassing van moderne halfgeleider-electronica. Aangezien in de numerieke besturing naastlogische bewerkingen ook rekenoperaties worden uitgevoerd, vinden hierbij complexe geheugens, arithmetische units en ook procescomputers toepassing. Van de gebruikelijke getalsystemen kun-nen genoemd worden: het duale (twee-tallig), het oktale (acht-tallig), het hexadecimale (zestien-tallig) stelsel. Onder de rekenkundige bewer-kingen bij numerieke besturing vallen o.a. die welke vereist zijn voor eenvoudige interpolaties. Voor hogere orde funkties en interpolaties is men overgegaan tot nog uitgebreidere computersystemen; men spreekt dan van C.N.C.-besturingen (E: Computer Numerical Control). Wanneer meerdere met elkaar samenwerkende of elkaar opvolgende machines gestuurd worden door een centrale computer spreekt men van D.N.C.-besturingen (E: Direct Numerical Control).

Zoals in het bovenstaande is uiteengezet is de taak van de besturing steeds omvangrijker geworden. Ze bestaat uit een:

a) rekentaak. De gegevens over de contour of het materiaal van het werk-stuk moeten verwerkt worden tot o.a. stuurgrootheden voor de sledeaan-drijving, hoofdassnelheid teneinde een optimale verspaning te krijgen. b) regeltaak. Het resultaat van de uitgegeven stuursignalen meet continu

door terugkoppelsystemen worden gecontroleerd en bijgesteld, zoals o.a. de terugmelding van de snelheids- en positiesturingen.

c) logische taak. Van een aantal machinefunkties behoeft slechts de toe-standsgrootheid (aan of uit) te worden bewaakt en/of geschakeld.

In dit hoofdstuk zal voornamelijk worden ingegaan op de reken- en regel-taak, deze vormen het kenmerkende onderscheid van de numerieke besturing.

6.3

-PATO NUMERIEKE BESTURING Vakgroep WPT - THE

De besturing van een NuBe-machine dient er voor te zorgen, dat de con-tourinformatie van het werkstuk - zoals deze in alpha-numerieke vorm in de informatiedrager (papierband, magneetband) is vastgelegd - inderdaad ook zo berekend en bewerkt wordt, dat hieruit corresponderende signalen voor o.a. de slede- en hoofdasaandrijving worden gecreeerd. Aan de orde zullen komen begrippen zoals datatransport, contourinformatie, signaal-spectrum, bandbreedte en bemonstering. (Zie 6.2. Informatiebewerking). Een curve - in een parametervoorstelling - is opgedeeld in een aantal waarden op de diverse tijdstippen, daartussen wordt het signaal gein-terpoleerd. (Zie 6.3. Interpolatie). Vervolgens wordt ingegaan op de reconstructie van het ingangssignaal d.m.v. houdcircuits, d.w.z. het bemonsterende signaal wordt geschikt gemaakt voor de sturing van de servosystemen (Zie 6.4. Reconstructie). Tenslotte voIgt een appendix met de gebruikte mathematischeformuleringen. (Zie 6.5. Fourier- en La-place transformatie).

6.2. Informatiebewerking.

6.2.1.0verzicht.

---De informatie over een te bewerken werkstuk - vooraf in alpha-numerieke vorm vastgelegd in papierband, magneetband etc. - wordt na inlezing op-geslagen in het geheugen van de besturing. De gewenste sledeposities, die in de informatiedrager zijn vastgelegd, moeten - onder beheer van de besturing - ook inderdaad gerealiseerd worden op een bepaald tijd-stipe De nodige berekeningen en bewerkingen hiertoe worden bij de nume-rieke besturing uitgevoerd door een computer. Schematisch is deze opge-bouwd volgens Fig. 6.1.

Zo'n computer bestaat uit een processor (E: C.P.U. = Central Processor Unit), die bestaat uit een rekenorgaan (accumulator), een intern bestu-ringsorgaan en een geheugen. Daarnaast heeft deze in- en uitvoereenheden. Een interpolator, gebaseerd op berekeningen, bevindt zich in het reken-orgaan (software-interpolator). In Fig. 6.1. onderscheiden we de data-paden en de interne besturingsdata-paden.

) NUMERIEKE BESTURING }roep WPT - THE

6.4

-c:=~>

Data

~

ng

)~

I Besturi Geheugen , I v

I

... _~

l~

I

I

<::: ~ "'i 7

'"

I

_I

_~

~

Inname _Rekenorgaan Uitgave

I v "-:>- .11III ~

,

.11III ~ , I

'7

I

" \ "i

-

' -,

I

I

Besturing

I

I

Inname Verwerking Uitgave

Fig.6.1 Schematische opbouw van een computer

De besturing (computer) zal aan de hand van de gegeven contourinformatie van het werkstuk - begin, eindpunt en contour van de baan- signaalwaarden berekenen op achtereenvolgende tijdstippen. Het signaal is dan nog niet continu, maar bestaat slechts op de genoemde tijdstippen. Dit komt over-een met het begrip bemonsteren van over-een signaal: X -(t). Tussen de

genoem-- genoem-- 9

de tijdstippen kan geinterpoleerd worden. Met eenvoudige funkties wordt dan de signaalwaarde tussen twee tijdstippen met behulp van een inter-polator benaderd. Met een houdcircuit (reconstructiefilter) wordt het gevormde discrete signaal tenslotte gereconstrueerd tot- een continu sig-naal

X

(t). Dit is een benadering van het oorspronkelijke signaal, maar

9

wordt beschouwd als het gewenste stuursignaal voor de servo·s.

Deze dataverwerking en de informatiestroom tot het gevormde stuursig-naal voor de servoaandrijfsystemen van de slede is weergegeven in Fig.

6.2.

Vanaf hier wordt - door het servosysteem - het gereedschap continu en met instandhouding van een constante baansnelheid langs de gewenste contour gevoerd.

Bemonstering Rekenmachine

- 6.5 -

_{Vakgroep WPT - THE}PATO NUMERIEKE BESTURING

Verplaatsing OJ c:

....

>

.

...,

....

*

-X X

-9

~O

Servo

-X ~ (j) ...., ~ ...; ., c: 0 ...., •.-1 ro ....,

*

'.-1 c;... c: ro ro y :::l (j)

-.

o ,'~ (j) OJ ...; (,) '.-1 Y

-9 Servo

.

...

N ~ 0 ~ ....,

~

~'>/ ~ 0 0-

...

(..J r0-o , ...; _c: ~ (,) _{:::l Y} c: (j) (j) u ~ 1-1 ~ ...., :::l ...., (j) c: 0 l/l c::

--

::I: C 0 (,)

*

(j)

-Z c:: Z -9

:0

Servo r--Z

x

w y w

z

_w

Fig.6.2 Informatieoverdracht en reconstructiekanaal

In Fig. 6.3. is een schematische tekening van een servosturing weerge-geven.

Op de verschillende aspecten uit de bovengenoemde dataverwerking aange-haa 1din Fig. 6.2. zoa 1s :

- de D-A behandeling van de contourinformatie (6.2.2) - het bemonsteringstheorema van Shannon (6.2.3)

- de interpolatie (6.3)

- de reconstructie met houdcircuits (6.4)

gcwen~te waarde

-

- -

...

..

Positie-regelkring Vorming van de Positieregelaar Servomotor d S del Weg-meetsysteem . h ~

.,

o z (1) c: - 0 3 : rn ~::o ."

--Irn ;><: I rn -Ito :I:rn rnVl -I c: ::0 Z C) papier band

0

Hl=

0

R}-" /--

0

.---- ~.:-

:-r-=--I

.

_r

-.-x w _{Tacho Motor} ro

\

+J _{Reqclaar Vermogensversterker} ro -0

~~

_~

L.,.

[>

:....-

[>

Spindel y-richting c:

-ro > Q.)

.

.,...j x x CJ) +J W 9 c: ro .,...j _..--i

...

0 Q.) a--0

...

0 Q.) () +J

Y

w \' Q.) c: -0 H

~-*~

I

[>

1---+

[>

Spindel x-richting Q.)

/

E

Y

r-to' ro a c:

-4-c:

.

_Regelaar Vermogens-H

Yw

versterker L-rJ\ ,

.ITt-FI1=

0

0

f=il-

.\.~

F-"'-= . - . -

0

~ ; 0' 0'

Tacho Motor Spindel y-richting

6.7

-PATO NUMERIEKE BESTURING Vakgroep WPT - THE

Het rekengedeelte in de besturing ontvangt achtereenvolgens uit de pons-band numerieke informatie over de vorm, alsmede over begin- en eindpunt van de baan. Deze baanvorm - contourinformatie - wordt zelfs in alpha-numerieke vorm aangeboden en vervolgens opgeslagen in het geheugen. Na decodering is een impliciete relatie bekend tussen de verschillende coordinaten van de geometrie van het werkstuk.

Algemeen drie-dimensionaal

Rotatiesymmetrisch: twee-dimensionaal

z

=

g1(x,y)

y

=

g2(x) (6.1)

De besturing ontleedt deze impliciete contourfunktie (6,1) in een para-metervoorstell ing met de tijd als parameter. 20 ontstaat uit (6.1) als voorbeeld in het drie-dimensionale geval:

x = f1 (t*)

z

=

g1 (x,y) Y f

2(t*) (6.2)

z

=

f

3

(tll)

De IImachinetijdll t* moet daarbij zodanig aangepast worden aan de werke-lijke tijd t, dat de bandbreedte van het reconstructiekanaal(o.a. het servosysteem)voldoende groot is. Deze eis komt ook tot uiting in de maximale snelheid'waarmee een contour kan worden afgelegd. In Fig. 6.4.

is zoln impliciete contourfunktie met begin, eindpunt en een aantal tussenpunten afgebeeld. In Fig. 6.5. is in parametervoorstelling het bijbehorende tijdssignaal van een coordinaat weergegeven, - x

=

f(t) uit (6.2) - zowel in continu als in bemonsterde vorm.

De besturing berekent tussen begin- en eindpunt een aantal op de contour gelegen tussenpunten. Na een interpolatie zijn de coordinaten van deze punten in de vorm van digitale grootheden de ingangssignalen van het servosysteeM.Het servosysteem moet het gereedschap continu langs de contour voeren. Daartoe is nog een aanpassing tussen dit rekengedeelte en het servosysteem nodig in de vorm van een houdcircuit (reconstructie-filter), dat soms overigens een geheel vormt met de interpolator. Eerst zal nu worden ingegaan op een aantal begrippen uit bovenstaande signaverwerking zoals signaalspectrum, bemonstering (Shannon) interpolatie al-vorens de reconstructie aan de orde komt.

punten P1 •••• P n

ro

NUMERIEKE BESTURING (!Jroep WPT - THE z

6.8

-P,.

P~

~,

',' _/: : Contour met PV~

:

:.-A

y : ,~:: : :,..-: ' : :~:

i

. '

, !----\---~--j.~ Projectie in x

het x-y vlak

Fig.6.4 Contour met beginpunt, eindpunt en een aantal tussenpunten. x 9 __-- Continue contourverloop t

*

x 9

I

I

Digitale contourinformatie t

Fig.6.S Digitale informatie verkregen uit een continu contourverloop.

- 6.9 -

PATOVakgroep WPT - THE

NUMERIEKE BESTURING

§~~~~~_~~~_e~~QQ~~~rl~g~!Q~Qr~~~_Y~~_~b~~QQQ'

Van een tijdssignaal x(t) is het mogelijk m.b.v. Fourierintegralen een frequentiespectrum - signaalspectrum X(jw) - te bepalen. Zie appendix 6.5 "Laplace en Fouriertransformatie" . Dan wordt namelijk vastgesteld uit welke frequenties (van harmonische funkties - sinus en cosinus) en in welke mate (amplitude) een bepaald tijdssignaal blijkt te zijn opgebouwd. AIleen voor periodieke signalen is dit een verzame-ling van discrete frequenties, voor andere tijdssignalen is dit een continue verzameling: een frequentiespectrum. Voor praktis0h voorkomen-de signalen bestaat er in zoln spectrum een hoogste frequentie: voorkomen-de grens freguentie w . Dit hangt samen met het feit dat reele signalen een

be-g

perkt vermogen hebben. Het frequentiespectrum van zoln continu signaal (bijv.: een parametervoorstelling van een contour) is weergegeven in Fig. 6.6.A. Tijdfunctie Frequentiefunctie A x t IX{jw)! w 4 2 w/w b o

*

IX{jw)/

*

I

X(jw)

I

t t

*

x

c

B

Fig.6.6 Relatie tussen x(t) resp. .qetransformeerden.

w/w_b

Fourier-~ NUMERIEKE BESTURING

groep WPT - THE 6.10

-Als nu zo'n continu signaal x(t) wordt bemonsterd - bij numerieke bestu-ring, door de computer op bepaalde tijdstippen wordt berekend - dan luidt het "theorema van Shannonl l

:

I~anneer het frequentiespectrum van een signaal x(t) begrensd is tot een gebied 0 - W , dan wordt dit signaal voldoende vaak

bemon-9

sterd met een bemonsteringsfrequentie waarvoor geldt:

- d.w.z. op equidistante tijdstippen lit - met:

2lr W = 2itf = -b b IIt lit::; it (jj 9 (6.4)

wil men uit het aldus verkregen bemonsterde signaal x~(t) zonder informatie verlies het oorspronkelijke signaal kunnen reconstruerenl l

•

M.a.w. om een volledige reconstructie mogelijk te maken moeten per peri-ode van de hoogst voorkomende frequentie minimaal twee bemonsteringen worden gedaan. In Fig. 6.6. zijn tevens weergegeven de

frequentiespec-tra van een voldoende vaak (B) en een onvoldoende vaak (C) bemonsterd signaal. Vergelijken we de drie spectra uit Fig. 6.6. met elkaar, dan zien we dat het spectrum B identiek is aan het spectrum A met dien ver-stande dat het zich periodiek herhaalt met periode w

b. Bij spectrum

C

vindt een overlapping plaats van de hoofdlobbe door de eerste zijlobbe

(z.g. aliasing) en kan geen goede reconstructie meer plaats vinden. Reconstructie - bezien door de bril van het frequentiedomein - betekent dat een spectrum B door een laag doorlaat reconstructiefilter (houd-circuit + servosysteem) wordt gestuurd, waarbij aIleen de hoofdlobbe behoort te worden doorgelaten. Bij spectrum

C

is dit niet meer mogel ijk daar delen van de zijlobben ook worden doorgelaten. Het bemonsterde sig-naal moet bij de reconstructie gestuurd worden door een filter met

band-wb breedte:

2

Het servosysteem is een onderdeel van het reconstructiekanaal. Bepaald door de massatraagheden, wrijvingen kan het servosysteem slechts sig-nalen beneden eenbepaalde grensfrequentie doorlaten:

IIHet servosysteem heeft een bandbreedte: W II

6.11

-PATO NUMERIEKE BESTURING Vakgroep WPT - THE

Positioneringssignalen met een hogere frequentie dan w worden door g5

het aandrijf5y5teem niet gerecon5trueerd. Voor uit5luitend een overdracht van de hoofdlobbe wordt gekozen:

w = 2w

b g5

(6.5)

Het bemonstering5theorema van Shannon heeft gevolgen voor de programme-rin9 • Contour-snelheid '+ 10 3 10 2 10 1 10 5 2

/

V //

' /

I/~

V

_~

_~

'/

/

,,-"'"

\:f

~

V

V

"-

/

V

i'lv"l

'1'/

V

""

V V

~

':1\:),/

/'

~ \:) ,,'1 /

/

X

~

V

\:)1;;) :-"

/

1/

//

rx

_V

~

V

~

~

V

~

w

_gs ~

1/

/'

;1/

_V'

_V

~

V

//

://

V

~

~

V

V

/'

, I a a 10 1 10 6s

i

(mm)

Fig.6.7 Kleinste zinvolle programmeerbare afstand 6s als functie van V

K met Wgs als parameter.

Aannemende dat we met een constante contoursnelheid V

k willen verspanen, dan geldt voor de afstand ~s tussen twee punten op de contour:

ro

NUMERIEKE BESTURING <.g roep WPT - THE 6.12 -(6.7) (Llt = bemonsteringsinterval) voIgt: w gs w gs 21t j[ = = -w b VkTI: Lls

=

-met Llt

Dit wordt genoemd "de kleinste zinvolle programmeerbare afstand " . In Fig. 6.7 is Lls uitgezet als funktie van de contoursnelheid, met als pa-rameter de bandbreedte van het servosysteem. Deze Lls is dus de kleinste contourafstand waar binnen ingrijpen niet mogelijk is.

In de appendix

(6.5)

wordt uiteengezet dat bij een tijdfunktie x(t) een frequentiespectrum X(jw) kan worden bepaald m.b.v. de Fouriertransforma-tie. Dan geldt:

F{x(t)}

=

X(jw)

=

J x(t) e-jwt dt

(6.8)

-00 00 x (t) =

2~

J -00

x

(jw) e j wt dw

Dit geeft dan van een signaal het spectrum zoals we gezien hebben in Fig. 6.6.A.

Voor uitsluitend periodieke signalen (periode

T,

W

o

=

2;)

bestaat zoln spectrum uit een oneindig aantal discrete frequenties, zoln periodiek signaal is dan te schrijven als een Fourier-reeks:

00

x(t)

=

L

k=-oo

Akejkw t0

=

00

L akcos kwot + bksin kwot

k=o (6.10) 1 T ( ) -jkw t Ak

=

f

J x t e O dt o (6.11)

In het volgende komen deze twee begrippen signaalspectrum en Fourier-reeks van pas.

Bij "bemonstering" wordt gebruik gemaakt van het begrip "

o

-funktiel ' =

6.13

-PATO NUMERIEKE BESTURING Vakgreep WPT - THE

Dit is de limiet van een puIs, die eneindig smal en eneindig haeg is met eppervlak een. Eigenschappen van een 6-funktie zijn:

6(t) = 0 veer t ~ 0 6(t-a) = 0 veer t f:. a

6(t) = 00 veer t = 0 6(t-a) = 00 veer t = a (6.12)

co 00 f 6(t) dt = f 6(t-a) dt = -00 -00 co f f(t) 6(t-a) dt = f(a) -00

Bij de impulssampling werdt het signaal x(t) bemansterd ep vaste tijd-stippen (bemensteringsintervallen) , aangegeven in Fig.

6.8.

t

x (t ) Ingangssignaal t

*

x ( t ) j

"

T It- t~

i

t

..

.

l

Fig.6.8 Impuls bemonstering

t

o-functie reeks

Bemensterd

o

NUMERIEKE BESTURING

groep WPT - THE 6.14

-Het is alsof het signaal x(t) Ilvermenigvuldigdll wordt met een reeks van 6-funkties 6

T(t). Het aldus onstane bemonsterde signaal is:

x'Jt. (t) _(6.13)

De reeks van 6-funkties (periodieke funktiet periode T) kan geschreven

worden als een Fourier-reeks. Dan is:

met (6.14)

Met (6.15)

(integraal eigenschap van de 6-funktie). AIle frequenties met een veelvoud van w

b komen voor met een amplitude: a_k =

t.

Daarmee wordt de uitdrukking voor de 6_T-reeks:

Voor het spectrum van het oorspronkelijke signaal x(t) was bekend: co

X(jw) = f x(t) e-jwt dt -co

Daarmee wordt het spectrum van het bemonsterde signaal x'Jt.(t):

co co f x (t)

(J..

_T L: e j kW bt) e- jwtdt = k=-co -co co co e-j(w-kwb)t dt 1 L: f x (t)

T

_{k=-co -co} = co 1 L: X(jw - kWb)

T

_k=-co (6.16) (6.8) (6.17)

-6.15-PATD NUMERIEKE BESTURING

Vakgroep

WPT - THE

Hiermee is dus aangetoond, dat het spectrum van een bemonsterd signaal:

X~(jw) een periodieke herhaling van het oorsprongkelijke signaal X(jw) is met een amplitudefactor

+,

die ontstaat omdat het bemonsterde signaal

slechts op de bemonsteringstijdstippen voorkomt. Zie Fig. 6.6. Voor de hoofdlobbe (hoofdband) geldt:

X~(jw)

=

+

X(jw).

6.3.lnterpolatie.

Onderverdeeld naar de bewegingen, die tussen begin- en ein~punt van een contour mogelijk zijn, onderscheidt men enkele besturingen:

- puntbesturing,

- lijnbesturing (eenvoudig), - lijnbesturing (uitgebreid), - baanbesturing.

Deze onderverdeling is weergegeven in Fig. 6.9.

Type besturing Puntbesturing Probleem

y21---~--'\

/

~ Y1 .- -

.L

~

~

Interpolator niet vereist

Toepassing Boren Puntlassen Yl j

1

Y2 . -Lijnbesturing (eenvoudig) Ix

x

_'

_'"

.J. L J In terpola tor niet vereist

Y2

~

Lijnbesturing Yl (uitgebreid) x, x_ .L L. Lineaire interpolator Y

/

2 Baanbesturing Yl x .... Baaninterpolator(Z e -orde}

.

Fig. 6.9. Diverse typen besturingen.

Draaien (cylindrisch) Frezen (asparallel) Draaien (conisch) Frezen (schuine lijn) Draaien Frezen Snijbranden (contouren)

I NUMER IEKE BESTUR ING

Iroep WPT - THE _6.16

-Puntbesturingen worden gebruikt voor eenvoudige positioneringssystemen zoals boren en puntlassen. Bij deze puntbesturingen mag gedurende de beweging het werkstuk niet in contact zijn met het gereedschap, daar het eindpunt op een niet gecontroleerde manier bereikt wordt.

Bij lijnbesturingen wordt het eindpunt van een contour via een rechte weg bereikt, zodat een gereedschap gedurende debeweaing in contact kan zijn met het werkstuk. Met eenvoudige lijnbesturingen kunnen slechts as-para 11 ell e-, met u i tgebrei dere 1i jnbestu ri ngen kunnen oak wi 11 ekeuri ge

rechte lijnen doorlopen worden. Lijnbesturingen zijn daard~?r speciaal geschikt voor eenvoudige draai- en freesbewerkingen.

Met baanbesturingen zlJn gereedschap en/of sledebewegingen volgens wil-lekeurige contouren mogel ijk. De bewegingen van de afzonderlijk coordi-naten moeten gecoordineerd plaats vinden, daar deze geheel functioneel afhankelijk van elkaar zijn. Baanbesturingen worden in de produktietech-niek gebruikt voor allerlei gereedschapsmachines, zoals bij draaien, frezen, ponsen, snijbranden en bewerkingscentra. In de regel kunnen met baanbesturingen slechts cirkelboaen of uit cirkelsegmenten samengestel-de contouren gerealiseerd worsamengestel-den. Bij samengestel-de uitgebreisamengestel-de lijnbesturingen en bij baan besturingen zijn zogenaamde interpolatoren vereist.

Bij de uitgebreide lijnbesturing en bij baanbesturing worden zogenaamde interpolatoren toegepast. Dit zijn dan meestal een lineaire respectie-velijk een circulaire interpolator. De interpolator berekent voor een betreffend stukje contour de gecoordineerde bewegingsactiviteit van de respectievelijke bewegingsrichtingen, zodat op deze wijze de gewens-te contour zo goed mogelijk gerealiseerd wordt. Een ingewens-terpolator moet vo 1doen aan de vo Igende e i sen:

- De door de interpolator "berekende" krommen moeten zo goed mogel ijk de contour van het werkstuk benaderen. Aangezien in de praktijk vele werkstukcontouren samengesteld zijn uit rechten en cirkelbogen, moe-ten in het bijzonder deze contouren eenvoudig en precies interpoleer-baar zijn.

De resulterende contoursnelheid moet binnen ruime grenzen verstelbaar en onafhankel ijk van de contour zijn.

-6.17- _{Vakgroep WPT - THE}PATD NUMERIEKE BESTURING

gegevens - begin-cirkelmiddelpunt, - Het aantal van de vooraf noodzakelijke toegevoerde

punt, eindpunt, interpolatie parameters zoals o.a. contour snelheid - moeten zo klein mogelijk zijn.

- Het numeriek aangegeven eindpunt moet exact bereikt worden, opdat er namelijk geen sommatie van wegfouten plaatsvindt.

Interpolatoren werken in het algemeen digitaal. De digitale interpola-tor bezit in principe een constante nauwkeurigheid, onafhankelijk van de lengte van het te interpoleren stukje contour. De nauwkeurigheid hangt in de eerste plaats af van de kleinste wegeenheid (increment), waarop de berekeningen worden gebaseerd.

De meest gebruikelijke methode is de numerieke integratie van snelheids-componenten, de z.g. Digital Differential Analyzer (D.D.A.) methode. De

interpolator berekent hierbij voor elke as een aantal pulsen, waarvan het aantal per tijdseenheidovereenkomt met de betreffende as-snelheid. De sledeaandrijving integreert de afzonderlijke snelheidscomponenten tot een weg. Kiest men de wegincrementen voldoende klein (bijv. 10 ~m)

dan wordt deze integratie teruggebracht tot een sommatie van sne'lheids-componenten.

Voor de sturing van gereedschapsmachines is de I ineaire en circulaire interpolatie het meest gebruikelijk. Andere interpolatiesoorten zoals de parabolische worden slechts in bijzondere gevallen toegepast.

In Fig. 6.10 is een funktie y

=

f(x) als rechte lijn tussen de punten P A en PE getekend. Als een gereedschap zich over deze rechte lijn met con-stante snelheid moet bewegen, dan moeten de wegcomponenten (xE-x

A) en (YE-YA) inde interpolatietijd T gelijkmatig doorlopen worden.

Dan geldt: t t x E - x x (t) = x_A + J

x

dt = x A+ J T A dt 0 0 t _{t YE - Y} Y(t) = _YA+ J

_Y

dt _YA + f A dt T 0 0 (6.18) (6.19)

) NUMERIEKE BESTURING ~roep WPT - THE 6.18 -P (X ,Y ) n n n 6 7 Stappen X 5 4

geinterpo1eerde rechte 1ijn

3 2 n xE-x A x =x_A+2: n 1 N P -

J----

6y YE~YA n YE-YA

~

Y =YA+2:

/

n 1 N 6x=(x_E-x_A)/N (1<n<N) x A xE x A

\

...-:::: _{geprogrammeerde} / "

Y" rechte 1ijn

1 c:: 3 Q) 0. 2 0. ~ 1 tj) Y 5 4 Y YE - - - -

-N=10; 6x=---yu=0,7; 6Y=---yu=0,5;7-0 5-0 65=1; 6x;6y<6s

c:: _{Overdracht Optelrest Stap- Afgelegde}

0. Increment <1 uitgave in weg I1J berekening +.> tj) X _Y X _Y X _Y X _Y

.

1

°

°

0,7 0,5 0 0 2 1 1 0,4

°

*

*

1 1 3 1 () _{0,1 0,5}

_*

2 1 4

°

_~}

0,8 0

*"

2

1

5 1 0,5 0,5 _-

_*

_*

3 2 6 1 1 0,2 (:

"'-*

4 3 7 0 0 0,9 0,5 4 3 8 1 1 0,6 0

_*

_*

·5 4 9 1 0 0,3 0,5

_*

6 4 10 1 1

°

°

*

*

7 5

Fig.6.10 Interpolatie van een rechte lijn volgens de D.D.A. methode.

-6.19-PATO NUMERIEKE BESTURING Vakgroep WPT - THE

Wanneer de interpolatietijd T wordt verdeeld in N gelijke tijdstapjes ter grootte ~t, dan wordt voor ~t + 0 de integratie teruggebracht tot

een sommatie en geldt:

T

₌

N~t en t

₌

n~t (6.20) n x_E - x_A x (t)

₌

x(n~t)

₌

x A + L: N (6.21) Y(t)

=

y(nM)

₌

y + nL:

YE

- YA (6.22) A 1 N

Met iedere iedere sommatie wordt de positiewaarde per as met een bedrag ~x respectievelijk ~y verhoogd. In Fig. 6.11 is de principiele opbouw van een 2-assige l'ineaire interpolator weergegeven.

We gen gverschil E-xA I _!::,x '----II 1 _{L Accu x} r -r

'IT

~ I--Opteller overdracht x

....

--1L

rekenfrequentie f O naar de aandrijvin

..

overdracht _Y Opteller gverschil

-E-yAI I...to 1 !::'Y L Accu

r--N

Y ~ We Ix

Fig.6.ll Blokdiagram van een interpolator volgens de lineaire D.D.A methode.

) NUMERIEKE BESTURING

~roep WPT - THE

6.20

-De startgrootheden zlJn de respectievelijke wegverschillen (x

E - xA) en (YE - Y

A)· Deze worden door N gedeeld en naar een sommatietrap gevoerd. Bij het begin van de interpolatie staan deze sommatietrappen op nul. Bij elke slag (elementair tijdsinterval) wordt een elementaire stap bij de reeds onstane waarde geteld volgens

(6.21)

en

6.22).

De cyclus-frequentie wordt bepaald volgens:

1 N

f=t;t=r

(6.23)

Voor circulaire interpolatie is de genoemde D.D.A. methode (Differential Digital Analyzer) ook toepasbaar. Hierbij worden de snelheidscomponenten van de afzonderlijke assen in de richting van de raaklijn bepaald.

Beschouwt men een cirkel in een gegeven coordinatensysteem (zie Fig.

6.12)

dan geldt: x = x M+ R cos ~ y = YM + R sin ~

(6.24)

(6.25)

Voor de interpolatie zijn wederom de punten op de cirkelbaan als funktie van de tijd te bepalen. Bij een voorgeschreven baansnelheid VB voIgt:

V = 211:R _{q> = 211:-}t _{- = -}dq>

21t

B T T dt T

Door differentiatie van

(6.24)

en

(6.25)

voIgt: V =

x

= -dx =

-

R sin q>

~

=

-

y(t)

-

YM 211: x dt dt T

(6.26)

(6.27)

V = y

=~

= R cos q> -dq> = x(t)

-

XM

.

21t

(6.28)

Y dt dt T

De integratie van de snelheidscomponenten geeft:

t t Y(t) x(t) =x_A+ J

x

dt = x -

21t

r

-

Yt1

(6.29)

dt A J T 0 0 t t Y(t) "'=yA +

.

r

y

dt _YA +

21t

J x(t} - xM dt

(6.30)

T

.

0 0

y

6.21

-PATO NUMERIEKE BESTURING

Vakgroep

WPT - THE

)(m )(

Fig. 6.12 De circu1aire DDA-Interpolatiemethode.

Eindpunt (geprogrammeerd) I II To1erantieband

!

3 E .../_{, r--..} I I / IJ/ / v Beqinpunt /.02 ( 9 e pro 9 ram me e r d) ; / ! /. / /

J_.-,

~--,..:::0 y x, - -- 1

Verde1ing van de contour in

1,2,3 Steunpunten van de grofinterpo1atie Verde1ing van de rechte stukken in wegeenheden rechte stukken

Fig. 6.13 Circu1aire interpo1atie door steunpuntberekening.

y

,

R 1 Grofinterpo1atie (Software) Fijninterpo1atie (Hardware) E=To1erantieband 1=segment1engte )(

Fig. 6.14 Geometrische betrekkingen voor de steunpunt

D NUMERIEKE BESTURING

groep WPT - THE

6.22

-Vervangt men de integratie door een sommatie dan volgt met 6t + 0:

n x(t)

=

x (n6t)

=

x - 2~ E A 1 n y(t)

=

y (n6t)

=

YA + 2n E 1 met de nevenvoorwaarde: y(nM) -

YM

N x(nM) - xM N (6.31)

(6.32)

(6.33)

In tegenstelling tot de lineaire interpolatie is de elementaire toename per as in de tijd niet constant, maar een funktie van de andere as.

De boven besproken methode van de circulaire interpolatie vereist rela-tief veel hardware. In de moderne besturingssystemen met geintegreerde microprocessoren wordt derhalve de circulaire interpolatie teruggevoerd tot een lineaire interpolatie (benadering van een cirkel door een veel-hoek). In dit geval worden slechts hardware interpolators gebruikt. Kiest men het afgesneden cirkelsegment voldoende klein, dan kan de cirkelcon-tour binnen een vereiste tolerantie s doorlopen worden.

De lengte I van het segment kan uit de vereiste tolerantie s worden af-geleid. Volgens Fig.

6.14

gelden de volgende betrekkingen.

~

= (R

+~)

sin a

2 2

. 2 2 1 I

met sIn a + cos a = vo gt:

=

laRs

i

(6.34)

(6.35)

(6.36)

Bij een van te voren opgegeven tolerantie s kan de lengte van het seg-ment niet groter zijn dan: I = 18Rs

(6.36).

6.23

-PATO NUMERIEKE BESTURING Vakgroep WPT - THE

Hier voIgt direkt uit dat het aantal steunpunten toeneemt naarmate de tolerantie en/of de straal van de cirkel kleiner is.

Voorbeeld:

---Voor een cirkel met straal

R

=

10 cm en een tolerantie

E=

10~m verkrijgt men 1

=

2,83 mm. Indien de interpolator in staat is om bijvoorbeeld 50 steunpunten per seconde te berekenen, dan kunnen per seconde 50 segmen-ten ter lengte 1 worden uitgegeven. Uit deze berekende getallen voIgt dan tevens een maximale contoursnelheid:

v

_{k =} 50 _{. ,}2 83 _secmm

=

8,5 m/min (6.37)

6.4. Reconstructie met houdcircuits.

Een goed bemonsterd signaal waarvan het tijdsbeeld en het frequentie-beeld zijn weergegeven in Fig. 6.6. is nog niet geschikt - omdat het uitsluitend op de bemonsteringstijdstippen voorkomt - voor sturing van het servosysteem. Daar heeft men een continu signaal voor nodig. Dit vereist dus een aanpassing - in de vorm van een houdcircuit, reconstruc-tiefilter, laagdoorlaatfilter - tussen het rekengedeelte en het servo-systeem. Het bemonsterde signaal X*(t) 'wordt met deze aanpassing omge-zet in een zo goed mogelijke benadering van het oorspronkel ijke signaal. Schematisch is deze informatiebehandeling weergegeven in Fig. 6.2.

Enkele bekende reconstructiefilters zijn:

-

het Ode orde houdcircuit.

-

het 1de orde houdcircuit.

-

het 2de orde houdcircuit. - het polygonale houdcircuit. - het ideale reconstructiefilter.

In Fig. 6.15. zijn in het tijddomein onder elkaar getekend de reconstruc-ties van een bemonsterd signaal met respectievelijk een nulde orde, een eerste orde en een polygonaal houdcircuit.

De reconstructie in het tijddomein is weergegeven in Fig. 6.15. en deze is zodanig dat na elke bemonstering het signaal constant wordt gehouden, tot een verandering optreedt t.g.v. de volgende bemonstering.

NUMERIEKE BESTURING roep WPT- THE

6.24

-x(t)

--lJ

~ t

~

~ t k t k+1 t t Oe orde impuisresponsie Ie orde

,

,

,

t t

x(

t ) polygonaal impuisresponsie

/\

t t impuisresponsie

Fig.6.I5 Reconstructies met een nuide orde, een eerste orde en een polygonaal houdcircuit.

- 6.25 - _{Vakgroep WPT - THE}PATO NUMERIEKE BESTURING

Door een analyse te maken van de responsie op een elementaire puIs (zie Fig. 6.15) is het mogelijk de overdrachtsfunktie in het frequentiedomein te berekenen. De impulsresponsie in het tijddomein is:

h (t)

=

l[t] - l[t-T] o

Daarmee is de overdrachtsfunktie:

Voor harmonische signalen is de overdracht (5

=

jw):

(6.38)

H (jw)

=

T o

Hier zien we:

sin wT/2 -jwT/2 wT/2 . e (6.40)

T

-jwT/2 e sinwT/2 wT/2

de versterkingsfaktor, die bij bemonstering verI oren was ge-gaan, zie (6.17).

bij verbinding van de reconstructielijntjes, zien we dat het gereconstrueerde signaal (gemiddeld) een half

bemonsterings-interval is verschoven d.w.z. T/2 is vertraagd.

tezamen met de factor T wordt de amplitude van het filter hier-door bepaald.

In Fig. 6.16. is tezamen weergegeven het spectrum van het bemonsterde signaal X·(jw), de overdracht van het Oe orde houdcircuit H (jw) en

~ 0

het spectrum van het gereconstrueerde signaal X(jw). Er geldt nl.:

(6.41)

Zowel in het frequentiespectrum van X(jw) zien we dat de reconstructie niet perfect is, deze bevat namelijk ook componenten uit de zijbanden, effect van hogere frequenties hetgeen ook in het tijdsbeeld te zien is.

o

NUMERIEKE BESTURING groep WPT - THE 6.26

-liT

-

_X(jw) 1 w

Fig.6.16 Spectra van de reconstructie met een nulde orde houdcircuit.

Voor de reconstructie, weergegeven in Fig. 6.15. wordt voor het tijds-interval tussen t

k en tk+1 rekening gehouden met de waarde op tk als steunvector, maar ook met de helling tussen t_k-₁ en t_k (eerste orde be-nadering) als beste benadering tussen t

k en tk+1. Voor de impulsrespon-sie in het tijddomein kan worden afgeleid:

h

1(t) = 1[t] +

~[t]

- 2[t-T] - 2

~[t-T]+

1[t-2T] +

~[t-2T]

Daaruit volgt voor de overdrachtsfunktie in het frequentiedomein:

-sT 2

= (1+sT) (1-e )

T s

(6.42)

- 6.27 -

Vakgroep WPT - THEPATD NUMERIEKE BESTURING

We zien hieruit:

- Parallelschakeling van een proportionele en een differentierende actie in serie met een

- dubbele serieschakeling van een nulde orde circuit.

Hierbij wordt de reconstructie van de waarde tussen t

k en tk+1 bepaald door een rechte verbindingslijn. De impulsresponsie op een elementaire puls bestaat uit een driehoekje. Zie Fig.

6.15.

De impulsr~~ponsie luidt:

~[tJ

+ .yet-TJ (6.44)

Hieruit volgt de overdrachtsfunktie in het frequentiedomein:

-sT 2 H (s) = ~ esT (l-e )

p T s (6.45)

en is op te vatten als een serieschakeling van twee nulde orde systeem.

Tevens merken we op de term esT, hetgeen betekent dat de reconstructie van een signaal al een bemonsteringsinterval vroeger dan zijn optreden zou moeten beginnen. Hier is dan sprake van " predictie". Dit is theore-tisch onmogelijk, maar kan bij numerieke besturing toch worden gereali-seerd door het bemonsterde signaal een bemonsteringsinterval op te hou-den. Alleen de vormgetrouwe reproduktie is van belang niet de tijdge-trouwe reproduktie.

Bezien we het frequentiespectrum van het bemonsterde signaal met de hoofdband en de zijbanden, dan moet het gereconstrueerde signaal een-zelfde spectrum hebben als de hoofdband. Dit zou theoretisch kunnen worden gerealiseerd met een laagdoorlaatfilter met een scherpe afsnij-ding (grensfrequentie W). Zie Fig.

6.17.

Dit reconstructiefilter heeft een overdrachtsfunktie F(s), die rechthoekig is met hoogte T. Er volgt dan: X(s) = Xll(s) F(s).

a

NUMERIEKE BESTURING

groep WPT - THE

*

Ix

(jw)/ IF(jw)!

-w

T

+W

6.28

-w w t w 'sincfunctie' f(t)- sinWt - Wt met W=

w

_b/2

Fig.6.17 Reconstructie met het ideale filter.

De bijbehorende impulsresponsie van filter F(s} zou luiden:

W

=

T .

sin Wt_WT

(6.46)

Deze impulsresponsie staat bekend onder de naam "sine funktie" en zoals in Fig. 6.17 is aangegeven heeft deze waarde in het gehele tijdgebied van -00 < t < 00 voor een puIs die komt op t = o. Dit zou betekenen dat

het ingangssignaal oneindig lang moet worden opgehouden, hetgeen niet mogelijk is. Door het ingangssignaal een aantal bemonsterintervallen op

6.29

-6.5.

Laplace- en Fourier transformatie.

PATO NUMERIEKE BESTURING Vakgroep WPT - THE

Een tijdssignaal dat periodiek optreedt in de tijd, kan worden opge-bouwd uit een sommatie van discrete harmonische funkties (sinussen en cosinussen). De grondharmonische wordt dan bepaald door de periode van het periodiek tijdssignaal. Het betreft dan een sommatie van dis-crete frequenties.

Een willekeurig tijdssignaal kan worden opgebouwd uit een spectrum van harmonische funkties. De sommatie is dan geworden tot een integraal van een frequentiespectrum. Voor toe- en afnemende signalen in de tijd zijn de frequenties complex, d.w.z. met een toenemende of uitstervende bijdrage. Dit wordt weergegeven door de Laplace transformatie van een signaal x(t): IIHeentransformatie" X(s) = L{x(t)} = j x(t) e-st dt 0 "Terugtransformat i ell c+joo -1 1 st x(t) = L {X(s)} = - . ! X(5) e ds 2JtJ _c-joo (6.47) (6.48 )

- 5 is een complexe grootheid, bestaande uit een reeel en een imaginair

deel 5

=

cr + jill.

- Voor signalen x(t)

=

0 voor t < 0, kan de integraal lopen van -00 tot +00.

- De keuze van 5 is zodanig dat de waarde van de integraal voor de

boven-grens gelijk is aan nul. Deze eis, gesteld aan 5, is van belang bij de

terugtransformatie m.b.t. het "convergentiegebiedll. - Vol gens de regel van Euler is:

jwt

e coswt + j sinwt (6.49)

met gevolg dat: coswt

=

I

(ejwt+ e-jwt) sl'nwt

₌

_2j1 (jwt_{e - e}-jwt)

(6.50)

(6.51)

o

NUMERIEKE BESTURING

groep WPT - THE

6.30

-Op deze wijze zijn sinus- en cosinusfunkties te schrijven als een deel van een complexe funktie. Nemen we als voorbeeld een toenemende cosinus-funktie, dan volgt:

CJt st

e coswt

=

Re{e } met s

=

CJ + jw

(6.52)

X(s) is te beschouwen als een complexe funktie, die als een hoogte-kaart op dit s-vlak is gedefinieerd. In dit s-vlak is X(s) dus aan te geven met modulus (= hoogte boven het vlak) en fase, zodat lijnen van gelijke hoogte en fase zijn aan te geven.

Indien X(s) =

~~:~

, dan zijn:

polen, die punten in het s-vlak waarbij N(s)

=

0, aanduiding CxJ nulpunten, die punten in het s-vlak waarbij T(s) = 0, aanduiding [OJ - We zullen ons beperken tot de eenzijdige Laplace transformatie en

er-van uitgaan dat deze is toegestaan.

- Beperken we ons totstationaireharmonische signalen, dan beperken we ons tot de imaginaire as van het s-vlak en gaat deze Laplace transfor-matie over in de Fourier transfortransfor-matie van een signaal x(t) en geschre-yen als X(jw) en deze geeft de frequentieinhoud van een signaal weer. - Del ing van de Laplace getransformeerde respectievelijk Fourier

getrans-formeerde van uitgangs- en ingangssignaal levert de overdrachtsfunktie van een systeem op, voor toe- en afnemende signalen respectievelijk harmonische signalen (deze laatse geeft het Nyquist diagram).

H(s) =

~

X~sJ Voorbeelden:

( . ) Y~jw)

en H JW = X jw)

(6.53)

1. Impulsfunktie of 6-funktie of Dirac-funktie

00

x(s) L{6(t)}

=

f 6(t) e- st dt

=

o

x (jw) =

(6.54)

6.31

-PATO NUMERIEKE BESTURING Vakgroep WPT - THE 2. Eenheidsstapfunktie. x(t) = 1(t) s

(6.55)

X(s) = L{1(t)} = f l ( t ) e00 -stdt o = _

l e-

st

I

= -

l(o-l)

5 0 S = -5

Convergentie eis Re(s) > o. Bijdrage van de bovengrens gelijk nul. Eenpool in de oorsprong van het s-vlak. geen nulpunten.

xUw) - -

_{- jw} = -w f

90

0. , ase

=

-Voor s = a + jw volgt X(s) = - : - -1 a+jw IX(5) I

Met 0= reele as van het s-vlak

jw = imaginaire as van het s-vlak

Hoogtelijnen zijn concentrische cirkels rond de oorsprong met een onein-dig hoge piek in de oorsprong

=

pool. Arg X(s)

=-

arctg ~ . Onderstaande

(J

figuur geeft de weergave van hoogte- en faselijnen in het s-vlak.

s-v1ak o -90 1m-as -135 oRe-as s-v1ak jw 1m-as o 0

---IL---I'---...

-.:1;..,:8....;0_H-Hf+,AIf~++-+-....-

_ _....;°4 Re-as Y(s)= 1 s o -225 o -270 o -315

Fig.6.18 Hoogtekaart en faselijnen van een stapfunctie

N.B. Een beperking tot s

=

jw, geeft de hoogtekaartdoorsnijding voor zuiver harmonische funkties, met een fase van

-90

0 in dit geval.

TO NUMERIEKE BESTURING kgroep WPT - THE

3.

Eenheidsrampfunktie.

6.32

-x(t)

=

t _~2"1 s

(6.56)

00 -st 1 -st 00 00 e-st_dtJ X(s) = L{t} = f t e dt = - -.:-Et e

_I

-

f 0 s _{0 0} 1 00 -st 1 = -- f e dt _{= 2} s 0 _s

Waarde bovengrens is nul: convergentie-eis Re(s) > O. Een dubbele pool in de oorsprong, geen nulpunten

X{jw) = _1_ (jw) 2

4.

Afnemende e-macht. -at

=

e ) 1 !X{jw)

I

=

2"

w (s+a) fase - 1800

(6.57)

X(s) = L{e- at } = 00 fe-at e-stdt o =

J

e- (s+a) t d t o = - 1 - (s+a)t 00 (s+a) e

l

=

-1 1 (s+a) (0+1) == s+a

Waarde bovengrens is nul: convergentie-eis Re(s) > -a. Een pool op de

negatief reele as voor s

=

-a. Geen nulpunten.

X{jw) _ _1_

- jw+a IX(jw)

I

==

--=;~2

Iw

+a fase:

~

== - arctg

~

0 - tot - 900

a

5.

Afnemende cosinus. x(t)

=

e-at cos w t o

..

(s+a) 2 2 (s+a) + w o

(6.58)

6.33

-co

X(s) = L{x(t)} = fe-at cos w t estdt =

0 0

co

f -at 1 (ejwo t -jw t e-stdt

= e

2"

+ e o ) =

°

Waarde bovengrens is nul: convergentie-eis Re(s) > -a.

Polen: 2 toegevoeg complex: 5

1,2

=

-a

t

jwo Nulpunten: een nulpunt: 5

=

-a.

) J. w+a X{jw = --:::-~--:----2 2 2 2. a -w +w + Jwa

°

2 2 I ( ) I ..J w + a X jw =V 2 2 2 2 2 2 (a -w +w ) + 4w a o w 2wa

. Fase: <p

=

arctg -a - arctg --;::----=--~

(a2_w2+w 2)

o

Verloop: van 00 naar positief naar - 90°.

PATO NUMERIEKE BESTURING Vakgroep WPT - THE

lFunctie tijdsbeeld yes) p-n beeld Y(jw) IY(jw)1 arg Y(jw)

.

oCt)

L

1 1

=t

J

•

10gw 0 _10gw 10glYI ,

t

₊

\f

l (t)

_-

1 1

"'-

log w s jw 'logw -90 I,g ' \

'f

L

₊

log w t 1 -1 , 52 ~-

\

-1 B 0 10gw 1 pg IYI ,

h

_--+

\f

log w -at

~

- 90

~~

e 1 1

,

(s +a ) (jw+a) logw

~'''''--

. r--t"

IOg~

'f log w -a t (s +a ) (jw+a)

.

-e

_y-

---~

.

_{a2_w2+w2+2ajw}

,

....

(s+at+w%

_*---

_{log w} - 90 coswot 0 (fj U -, o z (I) C -O:X fTl ~;Al 0 --IfTl A I fTl -ICIl :I: fTl fTl til - I C ;Al Z G')

- 6.35 -

_{Vakgroep WPT - THE}PATO NUMERIEKE BESTURING

Onderstaand wordt een overzicht gegeven van de signaaltra~sformaties: 2Tt

*

E2~ri~r:r~~~~~~ (Slechts voor periodieke signalen, periode T, W_{o =}

lr '

onder de Dirichlet voorwaarden).

00 00

x(t) = L: ejkwot = L: a cos kw t + b

k sin kw t

k=-oo k=oo k 0 0

Geeft een aantal discrete frequenties. Gemiddelde waarde is a .

o

*

E2~ri~riQ~~gr~1~Q' (Ook voor niet periodieke signalen).

(6.59)

F{x(t)} = X{jw) 00 -jwt = f x(t) e dt -00

(6.60)

00 = x(t) =

2~

f -00 X{jw) ejwt dw

Geeft een continu frequentiespectrum.

00 L{x(t)} = X(s) = f x(t) e-st dt -00

(6.61)

L-1{X(s)} = () 1 x t = 2nj c+joo ! X(s) est ds c-joo

Enkelzijdige transformatie: 0 < t < 0 0 ; dubbelzijdige -00 < t < 00,

N.B. De Fourierintegraal is een bijzonder geval van de dubbelzijdige Laplace-transformatie met s = jw.

TO NUMERIEKE BESTURING

kgroep WPT - THE

-i

Q~_Y22~~~rQ~ri_Y~~_Qlrl~bl~~:

6.36

-- x(t) is periodiek met peri ode T

- x(t) bezit een eindig aantal discontinuiteiten per periode

T

- ! Ix(t) !dt bestaat o

Voor het vermogen van een fourierreeks geldt:

- 2 - 00 IAkl2 00 2 2 2 a k + bk P = x (t) = L = L + a k=-oo k=l 2 0

Het totale vermogen is dus een sommatie over frequenties, daar het ver-mogen eindig moet zijn moet ~~

IAkl

= 0,

A

_k naar nul convergeren.

Hieruit voIgt dat signalen een begrensde bandbreedte bezitten. In analo-gie voIgt voor het vermogen van een niet periodiek signaal:

00

P = ! IX(jw) 1

2 dw

-00

dit is een integratie over aIle frequenties.

6(t) = 0 voor t ~ 0 6(t) ₌ 00 voor t = ₀ 00 ! 6(t) _{dt =} -00 00 ! 6(t) _{6 (t-a) dt = f(a)} -00 6(t-a) = 0 voor t ~ a 6(t-a) = 00 voor t = a

In Fig. 6.20 zijn van een aantal tijdfunkties de bijbehorende spectra afgebeeld.

6.37

-PATO NUMERIEKE BESTURING

Vakgroep WPT - THE

functie tijdsbeeld frequentiespectrum

<5 (t ) 1 <5 (t ) 0 t w " 1

t

<5(w) 27T 1

-6 t w 6 (w+w.> <5 (w-~)

(

"

•

\ I COS wt V _{V t} 7T - w" 0 .. w

..

_w TsinwT/2 f ( t ) 1 _{wT!2 T} =l It

I

<f

",(

_\

=0 ItI

>f

r \ .

.

T T

..,

V

•

V

-'2

_'2

t w 1 \V sin Wt ~

(

\~

"

--

_Wt 7T ., V

V

'" 0 t

-w

+W

w "sincfunctie" -ajtl

~.

A

e ~

..

t w

o

NUMERIEKE BESTURING 9 roep \JPT - THE LITERATUUR.

6.38

-1. M. Week, Werkzaugmaschinen Band

3.

Automatisierung und Steuerungstechnik. V.D.I. Verlag G.m.b.H., DUsseldorf,

1978.

2. D. Schmid,

Numerische Bahnsteuerung, Springer Verlag

1972.

3.

H.B. Verbruggen,

Digitale Regelsystemen Delftse Universitaire Pers.

HOOFDSTUK

8.

AANORIJVINGEN.

- 8.1 - PATO NUMERIEKE BESTURING

Vakgroep WPT - THE

8.1. Inleiding en samenvatting.

Bij de moderne produktiemachines worden op diverse plaatsen aandrij-vingen toegepast. Dit kunnen eenvoudige aandrijfmotoren zijn, maar soms bestaan ze uit complexe aandrijfsystemen. Beschouwen we als voor-beeld een numeriek bestuurde draaibank, dan herkennen we een aantal van deze aandrijvingen, zoals o.a. de aandrijving van:

- de hoofdas,

de pompen voor koeling en smering,

- de pomp voor de hydraulica van de klauwplaat, - de gereedschapsslede in meerdere richtingen.

De belangrijkste component van zoln aandrijving - in ruime zin - is meestal een motor met zijn voedingseenheid. De keuze van de motor wordt bepaald door de specifieke eisen, die aan elke aandrijving gesteld worden, zoals o.a.:

- nauwkeurige bestuurbaarheid, - hoge snelheid of versnelling, - eenvoud van construct ie,

- eenvoudige of goed regelbare voedingseenheid.

Uit het grote scala van mogelijkheden kunnen we enkele grove onderver-del ingen maken.

Met betrekking tot het gebruikte medium voor de energie-omzetting kan men deze aandrijvingen verdelen in:

- electrische,

- (electro-) hydraulische, - pneumatische.

Beschouwen we hiervan uitsluitend de aandrijvingen met electrische motoren, dan kan deze groep weer worden onderverdeeld in:

- wisselstroom motoren (A-C), synchroon en asynchroon, een- en meer-fasig,

- gelijkstroom motoren (O-C), - lineaire motoren,

NUEMRIEKE BESTURING

roep WPT - THE 8.2

-In het bovenstaande is geschetst, dat het gebied van de aandrijvingen zeer uitgebreid is en dat menig boekwerk geschreven kan worden om aIle aspecten van dit gebied te behandelen. We zullen ons in dit hoofdstuk dan ook beperken tot "aandrijvingen in engere zin", n.l. die aandrij-vingen die het meest kenmerkend zijn voor Numeriek Bestuuurde machines.

Het belangrijkste onderscheid van deze NuBe machines t.o.v. andere produktiemachines vormt hierbij de automatisch bestuurde sledebeweging de gecoordineerde aandrijving van de slede in meerdere richtingen -soms tevens in coordinatie met de hoofdaspositie en -toerental.

(E: Feeddrives; D: Vorschubantriebe). In dit hoofdstuk zullen dan ook hoofdzakelijk aspecten worden behandeld, die van belang zijn voor deze sledeaandrijving. Met als achtergrond de twee mogelijke besturingsvormen - open en gesloten besturing, met de daarbij meestal toegepaste stappen-motor respectievelijk D.C. stappen-motor - wordt van zoln aandrijving een sy-steemanalyse met overdrachtsfunkties en diagrammen gemaakt.

(8.2. Systeemanalyse van de aandrijving).

De kwaliteit van het sledeaandrijfsysteem, zoals die tenslotte in de ge-realiseerde werkstukcontour tot uiting kan kamen, kan hierdoor worden bepaald in termen zoals: stabiliteit, regelbaarheid en nauwkeurigheid en tevens wordt het verband met de kenmerkende eigenschappen van de desbetreffende aandrijving gelegd.

(8.3.

Kwaliteitscriteria van de aandrijving).

In een volgende paragraaf worden de meest voorkomende aandrijfmotoren wat explicieter toegelicht, mede met betrekking tot de uitvoeringsvorm, die vaak opzettelijk zo is gekozen om een bepaald karakteristiek ge-drag te verkrijgen.

(8.4.

Aandrijfmotoren voor slede en hoofdas).

Tenslotte wordt aandacht besteed aan de voeding voor deze aandrijfmoto-ren, die door de moderne ontwikkelingen in de halfgeleider techniek nieuwe perspectieven hebben gekregen. (8.5. Regelbare versterkers voor aandrijvingen) .

8.3

-8.2. Systeemanalyse van de aandrijvingen.

PATO NUMERIEKE BESTURING Vakgroep WPT - THE

De besturing van een NuBe machine dient er voor te zorgen, dat de ge-wenste sledeposities, die in de informatiedrager - zoals papierband, magneetband - zijn vastgelegd, inderdaad ook gerealiseerd worden op een bepaald tijdstip. Daartoe geeft deze besturing - vooraf berekende en via een interpolator verlopende - signalen af aan de aandrijfmotoren van de slede. De aandrijfmotor voert daarop met de gewenste snelheid een hoekverdraaiing van de as uit, die tegelijkertijd door de mechani-sche overdrachtselelementen in een verplaatsing met gewenste snelheid van de slede resulteert. Bij de besturing met aandrijving moet onder-scheid gemaakt worden in twee typen:

a) de open besturing (Fig. 8.l.A.) (Stuurketen, D: Steuerkette).

De aandrijfmotor is zo gebouwd, dat iedere stuurpuls die de besturing via de impulsversterker aan de motor afgeeft een bepaalde verplaatsing van de slede tot gevolg heeft. Bij dit systeem vindt geen controle plaats of de stappen werkelijk uitgevoerd worden omdat een terugkop-kelsysteem ontbreekt. De hoeksnelheid wordt gestuurd met de frequentie van de stuurpulsen. Het aandrijfelement is meestal een nauwkeurige stappenmotor. Deze bepaalt dan ook de nauwkeurigheid.

b) ~e gesloten besturing (Fig. 8.1.B.) (Regelkring, D: Regelkreis).

Aan de slede is een meetelement gebouwd, dat de werkelijke sledeposi-tie meet en de waarde daarvan d.m.v. een signaal a(t) aan een verge-lijkorgaan - verschilversterker - aanbiedt. Dit signaal wordt in dit orgaan vergeleken met de gewenste waarde u(t) uit de besturing. Afhankelijk van het verschil tussen beide waarden wordt de aandrijf-motor bekrachtigd. Om het dynamisch gedrag van de aandrijf-motor te

verbete-ren wordt vaak tevens het signaal b(t) van een tachogenerator terug-gekoppeld. De nauwkeurigheid waarmee de gewenste positie bereikt kan worden, hangt voor een belangrijk deel af van het gebruikte

meetsy-steem.

N.B. In ons taalgebied kennen we het onderscheid La.v. Iisturing" en

\

"regeling" dit in tegenstelling tot het Engels waar men aIleen he t beg rip " con t ro 1" geb ru i kL

NUMERIEKE BESTURING roep WRT - THE 8.4 -u(t) Stappen-

\f (

t) Impuls-

-versterker ~ motor Ingang: u (t )

1

Fig. 8.IA Uitgang: "f(t)

1

t

Open besturing. Stuurketen met stappenmotor. t u ( b ( t ) Tacho-Generator

4

"f(

t ) Verschil-versterker Hotor

...,

a ( t ) Wegmeet-Element t ) Ingang: Uitgang:

.,

t Fiq.S.lB Gesloten hestlJrinq.Reqelkring met d-c motor.

- 8.5 -

_{Vakgroep WPT - THE}PATO NUMERIEKE BESTURING

De door de sturing vastgestelde snelheids- en positiewaarde moet door de aandrijving met de grootst mogelijke nauwkeurigheid en zonder ver-traging omgezet worden in de relatieve beweging tussen werkstuk en ge-reedschap. Deze eis geldt in het bijzonder voor meerassige baangestuur-de gereedschapsmachines, waarbij elke as met zijn eigen aandrijving is uitgerust. Hierbij is dan niet alleen nodig een coordinatie tussen de asbewegingen maar ook een gelijkvormig dynamisch gedrag van de afzon-derlijke as-aandrijvingen. De eisen die we aan een sledeaandrijving

stel-l en zijn:

*

Goed dynamisch gedrag.

Veranderingen in het stuursignaal moeten met de geringste vertraging door de sledeaandrijving worden uitgevoerd.

*

Vervormingsvrije signaaloverdracht.

De overgang van de ene positie naar de andere mag niet tot slingeringen van de aandrijving lei den.

*

Elimineren van storingen.

Schommelingen in wrijvings- en snijkrachten vereisen een hoge statische en dynamische stijfheid van de aandrijving en de gehele regelkring.

*

De aanpassing bij meer-assige besturing.

De overdracht van de verschillende assen moet gelijk zijn, d.w.z. de snellere aandrijvingen moeten aan de langzamere worden aangepast.

Bij de open besturing is men zeer afhankelijk van de kwaliteit van de componenten. (Bijv. van de stapgrootte, nauwkeurigheid en stabiliteit van de electro- (hydraulische) stappenmotor). Er bestaat geen controle op gemaakte stappen ten gevolge van storingen. Vanuit regeltechnisch oog-punt is de gesloten besturing veel interessanter, daar hierbij een nuttig gebruik gemaakt wordt van het phenomeen "terugkoppeling". Zo kan de

dynamische stijfheid door terugkoppeling van een tachogeneratorsignaal worden verbeterd. Ook heeft men hiermee een gereedschap beschikbaar om

invloeden ten gevolge van storingen terug te regelen.

Zoals aangegeven in Fig. 8.2. bestaat de gesloten besturing regelkring -uit de volgende componenten:

- de regelinrichting, - de aandrijving, - het meetsysteem.

o

NUMERIEKE BESTURING

groep WPT - THE

8.6

-gewenste positie energie stoorkrachten

Positie-terugkoppelin( Meetsysteem I I

I

x

I

w - - I

-

-Mechanisch overdrachts systeem koppeling spindel kogelomloop moer

I

I

I

I

I

1

---,

I

I

I

I

Aandrijving ... Motor IVersterker

~[>

_I

-

r--

-

-

-I I I I Regelaar afhankelijk van

I

het optimalise-ringscriterium I uitgerust met I

P,I

of

PIO

I eigenschappen I - - - - 1 _ -Regelinrichting regelafwijking x a x w

r

-I

I

I

I

I

I

I

~-­

I

I

I

I

I

I

werkelijke positie

Fig. 8.2 Componenten van de regelkring.

In de regelinrichting wordt de werkelijke positie X

w vergeleken met de gewenste positie X . Het resultaat is de regelafwijking X_{g a g}= X - X_w en deze wordt toegevoegd aan de regelaar met een P, I of PID karakter.

(p = proportioneel, I = integrerend, D= differentierend). De regelaar-karakteristiek is zodanig gekozen dat het systeem een optimaal gedrag heeft. Overeenkomstig dit optimal iseringskriterium wordt in de regelaar uit X_a een tijdsafhankelijk signaal voor de aandrijfmotor gevormd. In-dien de regelafwijking X

a nul wordt, dan heeft de slede zijn gewenste positie bereikt.

- 8.7 -

PATO NUMERIEKE BESTURING_{Vakgroep WPT - THE}

Het aandrijfsysteem bestaat uit de vermogensversterker, de servomotor en de mechanische overdrachtselementen. De vermogensversterker levert de benodigde energie voor de aandrijving. De gebruikelijke aandrijfmo-toren zijn gelijkstroom- en hydraulische moaandrijfmo-toren. De rotatiebeweging van de as van de motor wordt meestal via een spindel-kogelomloopmoer omgezet in een translatiebeweging van de slede.

Het meetsysteem levert de terugkoppeling van de regelkring. De werke-lijke positie X van de slede wordt met behulp van een hoek- of

weg-w

meetsysteem gemeten en samen met het ingangssignaal X naar de

rege-9

laar gestuurd, ter vorming van een stuursignaal van de aandrijfmotor. In Fig.

8.3

zijn bij een ramp-funktie verloop (N: talud-funktie) van de gewenste positie X , de sledepositie X , de sledesnelheid

X

_w en de

9 w regelafwijking X = X - X voorgesteld. a 9 w Gewenste waarde :="""'~---oX - t - t 1"0 X ''''; ~

.

...,

'''';

:=

"-1"0 ...; C) en 'l.) - - - - t c::

Fig. 8.3 Gedrag van de sledeaandrijving bij de

NUMERIEKE BESTURING

roep WPT - THE

8.8

-Door de regelkring en vooral het integrerende karakter daarvan, wordt de werkelijke positie X in overeenstemming gebracht met de gewenste

w

positie X en de invloed van stoorkrachten geelimineerd. De eis dat de 9

werkelijke sledepositie X zo goed mogelijk en foutvrij de gewenste w

positie X voIgt kan gerealiseerd worden door: 9

1. Geringe spel ing bij de mechanische overdrachtselementen.

2. Hoge stijfheid van die mechanische elementen waarop grote krachten komen.

3.

Kleine massa traagheidsmomenten van de roterende delen. 4. Hoge mechanische eigenfrequentie.

5.

Geringe tijdconstante van de aandrijving.

6. Een verhouding van minstens een factor 2 tussen de eigenfrequentie van het mechanische overdrachtssysteem en de regelkring:

w (mechanisch) o

w (regelkring) o

> 2.

7.

Hoge rondgaande versterking van de regelkring.

8.

Hoge demping om instabiliteiten en opsl ingeringen te voorkomen. Voor een analyse van de regelkring is het nodig de signaalstroom en de overdracht van de afzonderlijke elementen te kennen. Vereenvoudigd kun-nen we de regelkring voorstellen met een blokdiagram, zoals Fig.

8.4

aangeeft.

Aandriifsystee~

Positie-regelaar (hier P-karakter)

Motor mechanische overdracht

- - 0 - -

C

---.

~

~

-Wegmeet-systeem .,

C

- 8.9 -

_{Vakgroep WPT - THE}PATO NUMERIEKE BESTURING

De regelaar, die uit de positieafwijking X de gewenste waarde voor de a

snelheid vormt, heeft in dit geval een zuiver proportionele werking. Het aandrijfsysteem, bestaande uit een vermogensversterker met servomotor

is in eerste benadering op te vatten als een proportioneel systeem met een eerste orde vertraging (le orde systeem). Ter verbetering van het dynamisch gedrag, bevat het aandrijfsysteem in de meeste gevallen een snelheidsregelkring via het tachogenerator signaal (E: underloop). De mechanische overdrachtselementen zijn theoretisch op te vatten als een integrator, waarbij de hoeksnelheid van de motor omgezet wordt in een as-verdraaiing en via de spindel-kogelomloopmoer in een verplaatsing van de slede. Een dergelijke beschouwing van het dynamisch gedrag van de regelkring vereist enige regeltechnische basiskennis, hetgeen dan ook in het vervolg aan de orde komt.

N.B. De aanduidingen in de blokken van het blokdiagram Fig.

8.4

zlJn in zwang in de I'mechanische wereldl l _{en zijn niet gelijkvormig aan die van}

de IIrege ltechnische wereldl l• In de IImec hanische wereldl l gebruikt men

voor lineaire systemen in een blokdiagram als tijddomeinfunktie de stapresponsie, terwijl men in de 'Iregeltechnische wereldl l _als

tijddo-meinfunktie de impulsresponsie gebruikt. Als frequentiedotijddo-meinfunktie gebruiken beide de Laplacegetransformeerde van de impulsresponsie ge-naamd de overdrachtsfunktie.

Een mathematische beschrijving (= model) van een systeem kan geschieden in: - het tijddomein

- het frequentiedomein.

- Het tijddomein.

Ter verenvoudiging beschouwen we het systeem als een blackbox (zie Fig.

8.5)

met: - een ingangssignaal x(t) - een uitgangssignaal y(t).

x(t) I h(t) y(t)

--...;.;~.;;;...:.----... -lr---...;.;"-l....:::..L-~..~

\