Het energie kriterium voor de stabiliteit van een conservatief elastisch systeem

elastisch systeem

Citation for published version (APA):

Alblas, J. B. (1981). Het energie kriterium voor de stabiliteit van een conservatief elastisch systeem. (Eindhoven University of Technology : Dept of Mathematics : memorandum; Vol. 8115). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1981

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Memorandum 1981-15 november 1981

Het energie kriterium voor de stabiliteit van een conservatief e1astisch systeem

door

J.B. Alblas

Technische Hogeschool Eindhoven

Onderafdeling der Wiskunde en Informatica PO Box 513, Eindhoven

I. Inleiding

door

J.B. Alblas

Het is weI bekend dat een conservatief systeem met een eindig aantal graden van vrijheid stabiel is volgens Lyapounov, indien de potentif!le energie een geisoleerd minimum bezit. Het ligt daarom voor de hand om te veronderstellen dat een conservatief elastisch systeem eenzelfde eigenschap vertoont. In de technische mechanica wordt deze eigenschap veelal

a

priori aangenomen en toe-gepast. Het blijkt echter, dat deze algemene eigenschap zeker niet zonder meer juist is voor het continue systeem. In deze notitie zal een en ander na-der worden uitgewerkt.

2. Definitie Lyapounov stabiliteit en Lyapounov functie

De oplossing of oplossingen van een willekeurig elastisch of thermo-elastisch probleem wordt of worden bepaald door de bewegingsvergelijkingen, de randcon-dities en de initiale voorwaarden op bijv. t = to. In de stabiliteitstheorie onderzoeken we de eigenschappen van oplossingen van .de bewegingsvergelijkingen en de randvoorwaarden, onder veranderlijke begincondities. Stel we willen de stabiliteit van een exacte oplossing x(t) onderzoeken, die behoort bij bepaalde beginvoorwaarden. We vergelijken dan x(t) met een andere exacte oplossing yet), onder andere "naburigefl _{beginvoorwaarden.}

We voeren in een afstandsfunctie Po door

(2.1)

Daarnaast voeren we in de afstandsfunctie P

t op t

(2.2) P

t :: Pt (x(t) , y(t» •

Tenslotte definieren we p(x,y) door

(2.3) p :: sup P_t (x(t) , y(t» • t€T

waarin T het tijdsinterval T

=

(to'~) is.

De pIS zijn positief maar behoeven niet altijd symmetrisch te zijn in de ar-gumenten en ook niet steeds aan de driehoeksongelijkheid te voldoen. Verder mag _{Pt ' Po zijn, maar wel moet steeds}

o

(2.4)

De pts zijn verder continu in de argumenten. We zullen vaak nemen

(2.5)

waarin II • II 0 en II • II t normen zijn in een of andere (Banach) ruimte, welke niet equivalent behoeven te zijn.

De oplossing x(t) is nu Lyapounov stabiel als geldt

(2.6) PO(x(t

O) , y(tO

»

< 0 ... P = sup pt(x(t) , y(t» < e •

t T

Lyapounov instabiel is x(t) als

Nodig en voldoende opdat x(t) stabiel is volgens Lyapounov, is de existentie van de Lyapounov functie Vt(x(t) ,y(t», t > to •

Deze heeft de volgende eigenschappen

(2.8) a 1

of equivalent

(2.9) a 2

waarin ~ een functie uit de klasse K is: ~ ~ K, met K de klasse van

+ +

continue functies R + R , strict toenemend met ~(o) •

o.

b V t (x(t) , y(t» neemt niet toe met t voor t > to '

(2.10) c Vt(x(t) , yet}) > 0 ,

.

of equivalent

(2. 12) Vt(x(t) ,y(t» ~ A(p(x,y)}, met A € K •

Samenvat t end

(2.13)

(2.14) p < e: •

Opmerking: c is een consequentie van

~2,

dus hoeft niet afzonderlijk te wor-den vermeld. Verder kunnen we b vervangen door een stelling over het supremum van V_t : V (2. 15) V

=

sup Vt(x(t) ,y(t» , t>to (2.16 ) d3 V < 03 ... p(x,y) < e:_{3 '} of (2.17) d4 V ~ A(p(X,y»

.

Voor instabiliteit is de existentie van een positief definite functie Vt(x(t) ,y(t» noodzakelijk, welke voldoet aan

(2.18) a

We bewijzen dit als volgt. De conditie is voldoende, want

(2.20) Po < ~1 .. _{sup Vt} = V > £1 .. P > E2 ' .t>t

_o

en ook noodzakelijk. Want neem V_t

=

p_t" Dan

(2.21) Po < ~1 .. V

=

sup V_t - p > El • t>t

_o

Ben andere formulering voor de instabiliteit is: Er bestaat een functionaal V(u) in II u II ~ E • Deze functionaal behoeft niet positief definiet te zijn.

In iedere omgeving van u

=

°

is er een element uO, zodat V(uO) > 0, dus

(2.22) a

°

< PO(u )

°

< ~l - V(u )

°

> 0 •

Voorts is

I

V

I

begrensd in II u II S E, dus

(2.23) b IV(u)1 s yp(u) , y > 0 •

°

°

is

c Als lIu{u )11 < £ en V(u(u

»

>

° ,

(2.24) 0 dV(u(u

»

dt > 0 • Want 0

°

> 0 , . "dV(u(uO»

PO(u ) <

°

_{1 ..} V{u ) _dt > 0 , dus

(2.25)

V(u) > £}

en

3. Het algemeen thermo-elastisch niet-lineaire systeem

We be schouwen een lichaam, volume V, oppervlak S. De Lagrange coordinaten

zijn Xa ' de Eulerse coordinaten ~. We definieren

(3.1) F.

~a

als de deformatiegradient. We hebben natuurlijk

(3.2) _{det 1~/al > 0 •}

We bestuderen de stabiliteit van deze toestand door hem te vergelijken met die,

welke verkregen wordt door op t

=

to·. andere beginvoorwaarden te stellen. De nieuwe toestand wordt beschreven door de coordinaten y~, met

(3.3)

De eindige verplaatsing van de x-toestand naar de y-toestand is Uk' bepaald door

(3.4)

op willekeurige tijd t ~ to' Het is duidelijk dat we de y-toestand uit de x-toestand ook kunnen verkrijgen door op t

=

to een extra verplaatsing ~(tO)

en een extra snelheid uk(t

O) te superponeren.

Omdat we de x-en de y-toestand moeten vergelijken, herleiden we de vergelij-kingen tot de X-toestand, m.a.w. we formuleren alles in Lagrange-coordinaten.

o

Dan is hetvolume

Vo

en hetoppervlak SO' Met de dichtheid p in deze X-toestand, is de energiebalans voor de x-toestand

(3.5)

~ [ f

_dt pO UdV + K}

=

A

+

~

,

Vo

waarin U de potentiele energie is per Massa eenheid, K de kinetische energie,

A

de arbeid per seconde door de uitwendige warmte verricht en ~ de warmte per seconde toegevoerd. We hebben

(3.6) (3.7) (3.8) K

=

t

I

pO

~~

dV ,

Vo

1 =

I

pO

bk~

dV +

f

Tk~

dS ,

Vo

So

J

pO r dV

-J

H N ex. ex. dS waarin b

k de volumekracht per Massa eenheid, Tk de Piola-Kirchhoff spannings-vector, gemeten per eenheid oorspr. oppervlak, r de warmte per sec. en per eenheid van Massa toegevoerd, H de uitgaande warmtestroom per eenheid oorspr.

ex.

oppervlak en N de normaal van het oorspronkelijk oppervlak. De grootheden ex.

b_k, T_k, r en Hex. zijn de grootheden welke werken in x-toestand, ze zijn even-tueel tijd- en plaatsafhankelijk.

We voeren in de entropie ongelijkheid in de x-toestand door

(3.9) d dt

waarin S de entropie is en T de absolute temperatuur. Locaal wordt (3.9)

(3.10)

waaruit voIgt dat

(3.11)

f

p 0 • TS dV - dV • In feite geldt, (3.12)

J

0 •

, =

p TS dV •

Va

We kunnen nl. (3.9) schrijven als

(3.13)

_J

pOs dV

=

I

p~r

dV -

J

H N ~ a. dS +

Vo Vo So Vo

waarin C1 de entropie productie is, die voldoet aan

(3.14) a <!: 0 .

Indien er aIleen warmtegeleiding is, geldt

(3.15) C1

= -

,

waardoor de locale vgl. wordt

(3.16) S - -• r _T + -1 ₀ p H et,a. "" 0 T •

J

C1 dV ,

Uit (3.16) voIgt direct (3.12). We voeren nu (3.12) en (3.5) in. Er ontstaat

(3. 17)

f

p O· U dV -

J

pO

TS

dV + i-A

=

0 •

Met de vrije energie F, gedefinieerd door

(3.18) F

=

U - TS ,

word t (3. 1 7)

(3.19)

1

p F dV 0- +

1

P 0 • T S dV + K -• • A '" 0 •

Vo Vo

Deze vergeIijking geldt voor de x-toestand. Voor de y-toestand geldt dezelf-de vergelijking, waarbij we aIle betreffendezelf-de groothedezelf-den van een ster voorzien.

(3.20)

f

pO t* dV +

I

0 T*S* dV + i* - A*

=

0 •

We trekken nu (3.19) van (3.20) af en vinden

(3.21 )

J

p (F - F)dV 0 -* - +

J

pOd*s* - TS)dV + (K - K) -* . (A - A)

-*.

'"

o • Vo Vo Hierbij is bijv. (3.22) K* _'"

-

1

_f

P o •• _{YkYk dV} 2 Vo en (3.23) • *

I

o

* .

f

* • A

_'"

p bkYk dV + _{TkYk dS} Vo So

We hebbennatuurlijk

(3.24)

*

*

F

=

F(Y~/a,T ) .•

We voeten in de functie

F

door

(3.25)

dus de vrije energie in de y-toestand, bij de temperatuur T van de x-toestand. We hebben met de middelwaarde stelling

(3.26)

.

""'

.

". waar1n T l1gt tussen T en T • We hebben nu: (3.27) en (3.28)

o ,

....

waarin

a

de S.w. is, gemetenbij de temperatuur T. Wevoeren (3.26), (3.27) en (3.28) in (3.2]) in. Er ontstaat

J

pO

(i* -

F)dV +

f

pO (T - r*)8* dV +

f

pO

(T -

T*)S* dV Vo Vo Vo (3.29) Dit wordt (T - T*)2 •

~

dV + T

-*

.

.* . +K - K - A +A==O.

J

pO (T*S* - TS}dV (T* - T)2

!

_...

dV T (3.30) +

f

pO (T - T*)8* dV +

J

pO T(S* - S)dV

Vo

Va

.* . .* . +K - K - A +A=O.

Voor de beschouwing is nu fundamenteel noodzakelijk dat T in de x-toestand constant is. Daarmee valt de derde integraal in (3.30) weg. Verder hebben we voor de vierde integraal

f

p 0 _{{._* - I}T S dV} T *0*

=

f

p 0 ( -T

-

1) (r* - -1 H + )dV

=

* o <l,<l Vo T Vo T p (3.31)

f

T - T * 0 * + = (p r - H )dV * <l,<l Vo T

We stellen nu ook r *

₌

o en schrijven (3.31) als

J

T - T * * H dV

=

f

(T* : T H) dV

*

<l,<l Vo T V ₀ T <l

,a

(3.32)

f

(T* : T) H dV

J

T* - T H N dS

=

<l _* <l <l Vo T ,a So T

omdat de warmte van hogere naar lagere temperatuur stroomt. Samengevat wordt dus (3.33) + K* - K - (A* - A) ]

= - [

J

T*

:...!

H N dS T* <l <l So

dvl

~

J

o .

.

Letop dat A geentotale differentiaal is, zodat (3.33) in dit opzicht cor-recht moet worden geinterpreteerd.

We onderzoeken in de praktijk de stabiliteit van een evenwichtstoestand x. Dan geldt dus

(3.34) K

=

A

=

0 ddt

f

pO F dV

=

0 • Vo

Verder onderzoeken we aIleen potentiaalproblemen. Dan zijn zowel b

k

als T; af te leiden van een potentiaaldichtheid. Stel deze resp. ~1 en ~2 met

(3.35)

f

0

J

<1>2 dS , Xl

=

P ~I dV X2

=

Vo So dan geldt (3.36) .,If.

J

o

*-

f

+- dX1 dX2 A

=

+ _{P bkuk dV} + _{Tkuk dS ... - dt -} dt . Vo So

Voor het bijzonder gewichtig geval van het "dead" load geldt

x

f

o

*

...

-

_p bk~ dV , 1 (3.37) Vo

I

+ X2

...

-

Tkuk dS • So We hebben voor (3.38)

terwijl tevens geldt op

(3.39) t '" to T = T •

*

Op t - t~ wordt een verplaatsingsveid uk en/of een snelheidsveld uk gesuper-poneerd. Dus geldt

(3.40)

maar wel

(3.41 ) _{T - T •}

*

We voeren nu in de Lyapounov functie V_t in als

(3.42)

Dan geldt dus voor t > to

(3.43)

We voeren verder in de potentiele energie op tijd t

J

0

-*

(3.44). V t

=

p (F - F)dV + Xl + X2 •

Vo

We hebben dus (3.45)

Omdat we

een

toestand van minimale potentiele energie onderzoeken geldt (3.46) dus ook (3.47) Als Po nemen we nu (3.48)

We hebben dus voor t ~ to

(3.49) _{Po = Vto}

-

_{+ K (to)}

*

+ _{= Vto ~ Vt ~ V}

t •

Als we nu kunnen bewijzen dat er een c en een p(u) bestaan zo dat

(3.50) V

t ~ cp(u) ,

is de te onderzoeken toestand stabiel.

. 4. De Taylor-'"ontwikkeling

We schrijven in dit hoofdstuk V(u) of V voor V

t• Volgens (3.44) ge£dt dan voor het geval van "dead" load

(4.1) _V

=

J

p 0 (F - F)dV -

-*

Vo Vo

Merk op dat So kan worden gesplitst

(4.2) Op S geldt steeds _u (4.3) u. = 0 t ].

J

0

f

p b.u. dV - T.u. dS ]. ]. ]. ]. So in

omdat zowel in de x-toestand als in de y-toestand aan de r.v.w. moet worden voldaan.

-*

We ontwikkelen nu F - F in een gewone Taylor reeks. Daarbij bedenken we dat T dezelfde constante waarde heeft in beide functies en dat zij ieder afhan-gen van de deformaties

*

2eaS = Yk/aYk/a - °a6 '

We hebben nu

(4.5)

*

Voor e

aS - eaS vinden we uit (4.4)

We vullen deze vormen in, in (4.1) en dan ontstaat de taylor reeks ontwikke-ling van de functionaal

(4.7) V(u)

=

V(O) +

IT

1 dV(O) +

2T

1 d V(O) 2 + 3! d V(O) 1 2 + •••

-We merken op dat

(4.8) V(O)

=

V(u.

=

0)

=

0 •

1.

Voorts is in de reeks (4.7) d~(O) van de graad n in uk/a. We berekenen eerst dV(O). Daarvoor vinden w~

(4.9)

J

pO b.u. dV -

f

T.u. dS ~ 1 L L

Vo

So

Dit is: (4.10)

waarbij is ingevoerd de Piola-Kirchoff tensor TkS door

(4.11)

De v:orm (4.10) wordt nu

(4.12)

J

Tk~

_dS

=

f

_{TkaNauk dS -}

_J

_{Tkuk dS}

So

So

So

en

(4.14)

We hebben dus

(4.15) V(O)

=

dV(O)

=

0 ,

waarmee de ontwikkeling (4.7) overgaat in

Met de ontwikkeling (4.5) bepalen we nu eerst d2V(O). We vinden

We schrijven nu (4.]7) nog om. We hebben

(4.18) u. =u :x

waarbij uk gedefinieerd is door sp

(4.19) _~,p

...

.~~

-ax

p

We voeren ook in de spanning

(4.20)

o

o aF

( P - )

t _{pq - P ae}- - - x x - - t aS pIa q/S - p pq • Daarmee wordt (4.17) (4.21) of met de a£korting (4.22) (4.23)

-f

t _pq uk uk _{,p ,q} dV +

Wemerkenop dat t niets anders is dan de Cauchysche voorspanning in de

pq x-toe stand. We hebben

Verder,-,kunnen we schrijven

(4.25)

welk voldoet san

(4.26) c_klmn

=

c_mnkl •

We hebben dus

(4.27)

_J

_{ckl mn uk ,~m,n} n ti dV.

Omdat

(4.28) V(u) > 0 ,

is het noodzakelijk dat

(4.29)

Wordt aan (4.29),.zel£s in de stricte vorm, niet voldaan, dan kan ook aan (4.28) niet worden voldaan,zoals nader zal worden uitgewerkt. Opgemerkt moet echter worden da.t (4.29) zeker niet voldoende is, voor stabiliteit. Ook dit blijkt uit de nadere analyse.

De stricte vorm van (4.29) is welvoldoende voor.het geval van een eindig aantal grad en van vrijheid.

Verder is

(4.30)

,!-5. Algemene opmerkingen over ontwikkelbaarheid, ruimten, existentieFrechet af-geleidenen infima

Voor het onderzoek van de stabiliteit is de existentie van Freehet of Gateau afgeleiden en de ontwikkelbaarheid in een Taylor reeks absoluut noodzakelijk. In de literatuur wordt de existentie van een Freehet afgeleide nog wel eens betwijfeld, waardoor het stabiliteitsonderzoek in feite onmogelijk wordt.

Freehet afgeleiden bestaan niet altijd, zelfs niet in zeer triviale gevallen, indien niet gewerkt wordt in de gesehikte ruimte. We geven een voorbeeld:

1

(5.1) _{I -}

_f

y 3 dx •

o

We ontwikkelen deze funetionaal

1 I 1 I + t.I '"

_f

(y + h)3dx '"

_f

y dx 3 + 3

J

lhdx (5.2) 0 0 0 1 I + 3

_f

yh dx 2 +

J

h3dx , 0 0 waarmee 1 I 1 (5.3) _{t.I - 3}

J

2 Y hdx + 3

J

2 yh dx +

f

h3dx • 0 0 0 In L

3, de passende ruimte voor (5.1), bestaan de Freehet afgeleiden. We heb-ben voor de eerste

(5.4)

1

I'(y)h=3

J

lhdx:

Deze a£geleide bestaat indien we voor de volgende term kunnen schrijven 1 1 (5.5)

_I

_f

yh2

dx!

_{'"' SlIh"L} (= rS(

J

Ih1

2dx)1/3) , 0 3 0 met (5.6)

e

-+ 0 als IIhllL -+ 0 , 3 Nu geldt 1 1

~

(f

lyI3dx)1/3 (

J

o

o

o

0 (5.7) 2 .. II y It • II h ilL = II y I~ "h It ." h It • 3 3 3 3 3

Omdat lIyl~ begrensd is, hebben we dus

3

(5.8)

I

II

yh2dxl

o

- - - + 0

Ook de tweede a£geleide

als 1 (5.9)

t

III(y)h2 = 3

J

Yh2

ax

o

bestaat omdat (5.10)

I

_hi 3 3 2 _{dx = "hli L}

="

_{h It • II h}

_{"L '}

3 3 3

o

en gaat dus naar nul met

II

h

''r, •

3·

De zaak wordt anders als we de functionaal in L2 bekijken.

V~~r de existentie van de eerste Frechet afge1eide in L2 moet gelden

(5. 11 )

₌

ell

h

I'r,

2

, met B -+ 0 als II h It -+ 0 •

2

Door combinatie met (5.7 ) vinden we

(5.12) Nu is (5.13) a s lIylt • 3

II

h

I'r,

3 " h It ₃

ifii1I .

n . . "L 2

dus het rechter lid van (5.12) wardt groter of gelijk aan

(5. 14) _{" y}

It II

_h

It .

3 3

Als IIhll -+ 0 behoeft IIhll niet naar nul te gaan. Dus de eehte Freehet

af-L₂ ' L3 ~===

geleide bestaat niet in L

2• Ret is niet noodzakelijk om dan de niet-existentie van de tweede Freehet afgeleide te bewijzen, maar we doen dat wel. Voor de existentie moet, (vgl. 5.10)

(5.15)

I

o

Nu geldt (vgl. 5.11)

I

£1 h3dxl (5.16)

a

== 0 ~ IIhl

t .

IIhl~

3 2

Als II h It + 0, gaat niet steeds

a

+ 0 • Dus ook de tweede Freehet afgeleide 2

bestaat niet in L 3•

Alles is echter in orde in L

3• Algemener kunnen we zeggen dat iedere

poly-noomaehtige funetionaal aIle Fr~ehet afgeleiden heeft in de daarbij passende ruimte, dat is de L als de graad van het polynoom n is.

n

De Taylor ontwikkeling van de functionaal is dan de direete ontwikkeling van het polynoom. Omdat we in de meehaniea iedere functie redelijk kunnen benaderen door polynomen, is het aeeeptabel te onderstellen dat de Taylor-reeks bestaat en dus aIle Freehet afgeleiden.

We zullen voor de vrije energie F een polynoom uitdrukking voorstellen in e

kt • Is het polynoom van de graad n, dan wordt F van de graad 2n. De aange-paste ruimte is dan W1,2n, een Sobolevruimte met de norm

(5.18) 11 u II 1 2

W,n

J

(u

,

)2n dV •

Met vector verplaatsing ~,2 wordt (5.]8) gegeneraliseerd tot

(5.19) _{II u II I 2} W,n =

I

f

k V

o

2n

f

Uk dV +

I

k,2

Vo

Om de algebra te beperken zullenwe ons.beperken tot het geval n = 2. De Sobolev ruimtewordt dan

w

1,4. Tenslotte merken we nog op, dat we de Sobolev normen voor onze problemen mogen vereenvoudigen tot

(5.20) _{lIull] 4} =

I

J

(~,R,)4dV,

W ' k,t

Vo

waarbij de integraal voor de verplaatsing zelf is weggelaten. De reden is, dat alle ~fS steeds aan de randwaarde (4.3) moeten voldoen, zodat ~,t

nooit nul kan zijn, afgezien van het triviale geval uk = O. De norm

(5.20) is dan geen semi-norm.

We geven nu nog enkele beschouwingen over mogelijke infima. Van grote bete-kenis is voor de stabiliteitstheorie dat

(5.21) inf lIuli 1 4 W ' =1 lIuIl 12 =0, W '

evenals overeenkomstige andere infima. Dat wil zeggen: Op de bol II u II 1 4

= )

W ' (of e:), benadert het positive getal lIull I 2 willekeurig de nul.

W '

Voor begrensde functies geldt, dat de ruimte een

W)'~

wordt met de norm

(5.22) _{lIuli ),~}

₌

_{ess. sup I~,tl}

.

W

Ook geldt voor willekeurige p

(5.23) inf II u II 1 = 0 •

W ,p lIu II 1

We bewijzen (5.21) en (5.23) met simpele voorbeelden. Neem u = c xn in x € (0,1) n (5.24) Daaruit (5.25) Nu is (5.26)

lIul~

c .. n 4 1

=

J

c x 4 4n d x n

o

~4n

+ 1 1 4 c n = 4n + 1 = 1 . 1 II u I't. ".

( f

u 2

dX)~

= _{cn (}

_J

x2n

dx)!

2 0

a

·c

~4n

_+ :1 _~ 1 n

..

n-l- oo - -l-

a

V2n+ 1

V2il:;-r-

..;n

=

Algemeen geldt voor r < s

1

(5.27) Inf·

J

ur dx ". 0 .

II u I't. = 1 0

s

Is lIuli_oo .. 1, dan geldt bijv. voor de klasse u ,. xn in (0,1)

(5.28) Inf IIu II = 1 0 00 1 Inf

J

xnp dx

=

Inf _1_ -l- 0 • np lIuli = 1

a

00

6. Een kwadratische vorm voor de vrije energie

De algebra wordt voor het algemene geval veel te ingewikkeld. Alle mechanica-aspecten zijn aanwezig bij het te bespreken geval van een vrije energie F, die geapproximeerd wordt door

(6.1)

waarin A en p voor infinitesimale deformaties de Lame parameters zijn, welke

voldoen aan

(6.2) A > -

3'

2 p, p > 0 •

Uit (6.1) leiden we af

(6.3)

Voor t_ktmn vinden we met (4.22)

(6.4)

waarin

De matrix Dk! is positief definiet, d.w.z.

We rekenen nu d3V(0) uit. We hebben

{

~

u x x u U x I KIa k,p pIS q/y !,q !,r r 0

+x. U. x U x U X +u X u.

x I ·

KIa

K,p pIa !,q

q/y

!,r

rIo

k,p pIa K,q q

a

= -81

J

(t

k pqr K,p R.,q .... ,r u. u Un + t p qr K,p .... ,q JI.,r k u. u/) U/)

Vo

+ t u. U U + t U U. U ) dV =

=.!..

₄

J

(t _{kpqr K,p 1,q 1,r} u. u u + t _{pq1r k,p K,q 1,r) dV} u u. u

₌

Va 1

J

(t ~ u u + t u u ~ ) dV = = -4 kpqr ,p 1,q 1,r pqkr 1,p 1'q ,r Va (6.7) 1

f

t ~ u u dV =

= -

_{2 kpqr ,p 1,q 1,r} Va 1

J

t. ·k1u . . u kU t dV • = -2 1J 1,J p, p, Va

Tenslotte rekenen we nog d4V(a) uit. We vinden

1

f

s u x ~ x u x u x dV

=

= -

_{8 aeyo k,p pIa ,q q/e 1,r r/Y 1,s s/o}

Va (6.8) I

J

t dV

=

= - u u u u 8 pqrs k,p k,q 1,r 1,s Va I

J

= - t .. k u .u .u kU • 8 1J 1 p,1 P,J q, q,1 Va

Samenvattend hebben we

(6.9)

+ -21

J

t··k~(u

. .

~

n + U • • U kU + -41 U .U .U kU

~)

dV •

l.) x. l.,]

K,...

1.,J p, p,! p,1. P,J q, q,x.

Vo

Opgemerkt wordt dat (6.9) direct ook was te verkrijgen indien in de algemene ui tdrukking (6. 1) de termen met u waren gerangschikt.

p,q

We kunnen voor de haken in (6.9) schrijven

(6.10) (u • . + -2 u 1 .U .)(~ + -2 u 1 u .) •

1.,J p,l. P,J K,! q,k q, ...

Door de symmetrie van t

ijkt wordt (6.9) V(u) = -I

_J

2 (6.11) Vo I

J

+ -8 t"k' {CU • . 1.J... 1., J + U . . J ,1. + U .U p, 1. P, J

.)(~

K, IV n + un x., k + U kU n)}, q, q, ... Vo

We badden dit sneller kunneq vinden door in (4.6) te schrijven

(6.12)

=

L X (~ + U + U U ) . KIa !/S K,! !,a p,k p,!

,..

We voeren in de pseudo-deformatie tensor ~1

zodat (6.11) overgaat in (6.14) V(u) ".

t

f

~1up,kUPt1

dV

Vo

+

t

f

tijk1eij~1

dV •

Vo

Als x

=

X wordt, wordt

(6.]5) e_k1

=

~1 • We hebben (6.16) met alleen (6. ] 7) Want .... ". 0 , als e .• 1.J ".0. 1 ,..,.. 1 -2 t··kne··e.._{1.J ... 1.J K...} n =-8 t··kn(u . . _{1.J... 1.,]} + U . • + _{J ,1.} u _p,1. .u . ) . _P,J (6.18)

De zes bij zes matrix t

ijk! is dus positief definiet en symmetrisch. Hij heeft dUB zes positieve eigenwaarden, die van plaats tot plaats kunnen ver-schillen (6.19) We voeren in min sl(X)

=

s (> 0) , X - m (6.20)

Dan geldt voor het hele lichaam

(6.21) _{smek!~! ~ tijk!eij~! ~ sM~!~t} '" "'" _•

De grootheden sl ••• s6,sm,sM hebben de dimensie van ~ en zijn van deze grootte-orde.

Samenvattend hebben we

(6.22)

_2'

I

We bekijken nu ook t

oaF

.

t := p - - x. x

=

Ae O'...x. x

kg, ae

a6 KIa t/~· pp at,:S KIa l/S

(6.23)

+ lJ x. x x x - lJx. x =

KIa

lIe

pIa pIe KIa t/a

Nu is

waardoor voor tkl kan worden geschreven

(6.25)

De uitwerking voor de potentiele energie (6.14) wordt nu

V(u) •

t

J

tijkteijekt dV +

i

f

tijppUs,iUs,j dV

(6 .. 26) Vo Vo

- i(3A

+ 2lJ)

f

Dkg,us,kus,g, dV • Vo

De vorm van (6.26) uoopt tot de splitsing

(6.27)

2e!' _/.(.!/, == u _{p,k p,J/, ,} u

waarmee (6.13) overgaat in

(6.28)

De vorm (6.26) wordt met deze notatie

V(u) 1

J

t. 'k!/, (e!. + eij) (ekJ/, + ~J/,) dV

= -

_{2 1J 1J} (6.29) Vo +1.

J

t •• e" dV - 3A + 21l

J

D II dV • 2 1JPP 1J

..

2 kJ/,ekR. Vo Vo

We hebben natuurlijk ook de volgende ongelijkheden

(6.30)

_J

_{tijkJ/,eijekJ/, dV ~} s

_f

_{ekR.~R. dV} m Vo Vo en (6.3I)

_J

t " " dV ~ s

J

" " dV

. 'kJ/,e, .ekR. _ek2ekR. •

1J 1J m

Vo Vo

Van grote betekenis zijn nu ook de eigenwaarden van t . • • We kunnen t" kn _{1JPP 1J} ;<,

in diagonaalvorm brengen, met de eigenwaarden T •••••

1J1J op de eigen hoofdassen

T 1111

o

T 13l3 "1: 2222

o

T3333 Nu is

t

~pp

in deze hoofdassen '1' 1111

0

1

'2

T2222

0

T3333

Evenals aIle eigenwaarden van tijk~ > 0 zijn, zijn aIle eigenwaarden van t .. 1JPP 1 > 0 en tevens > - s • 2 m Volgens (6.16) geldt t

ijkt eij ek~ ~ O. We bewijzen nu dezelfde ongelijk-heid voor willekeurige a

kt ,.. atk ' dus

(6.32)

(6.33)

Nu is

(6.34)

(Da) kj (Da) j k" tr (Da Da)

Evenzo geldt

(6.35)

zodat

(6.36)

2 (Da)tj (Da)jt" tr(Da) ,

We voeren in de matrix A door

(6.37) A .. Da •

2 .. tr(Da) •

We transformeren D op hoofdassen, met de eigenwaarden D_t, _{D2, D3, welke,} omdat D positief definiet is voldoen aan

(6.3S)

De matrix A wordt in deze representatie

D1 0 O~ all a_l2 a_I3 DIal1 DIaI2 DIal3 (6.39) A

=

0 _D2 0 a 21 a22 a23

•

D2a21 D

Z

a22 D

Z

a23 0

_o

_D3 a₃₁ a₃₂ a 33 D3a3I D3a32 D3a33 Nu is (6.40)

Dus met (6.36), (6.39) en (6.40) wordt

(6.41)

Deze vorm is positief definiet als

7. De differentiaalvergelijkingen voor de storing

We rekenen allereerst de constintutieve vergelijkingen uit. In de x-toestand "

hebben we voor de Piola-Kirchoff tensor T

kS' (zie vgl. (4.11»

(7. J)

De Cauchy spanning in de x-toestand Tkt is

(7.2)

'" waarin p de dichtheid is in de x-toestand. De Piola-Kirchoff-spanning TkS in de y-toestand (betrokken op een oppervlakte eenheid in de X-toestand), is

(7.3)

De Piola-Kirchoff spanning Tk! in de y-toestan~maar betrokken op een een-heid van oppervlak in de x-toestand is

(7.4)

...

De incrementele spanning Tkt is gedefinieerd als het werkelijke krachtsver-schil per eenheid van oppervlak in de x-toestand. Er geldt dus

We hebben

(7.6) Yk/_{a •} ~/a + ~/a

=

~/a + xp/a~,p

..

en

(7.7)

( aF ) (aF)

+

\ae

Q

=

ae

Q

al-' Y al-' x

Invullen van (7.7) en (7.6) in (7.5) levert

(7.8)

*

(e ~ - e ~) • yu yu Met (7.9) wordt (7.8) (7.10) waarin (7.11) Met ,...

-T - T ~ + S L x x'

l

x' l kt pt K,p aByo KIa t/B 1 Y J 0

-

-+ S _al-'YU Q ~x _P I _a xnIQx·l,x'/~e .• ~ , h I-' 1 J J u 1J K,p

s

=...e...

aByo 0 p s _{aByo •} wordt (7.10) ,... e .. 1J

(7.13)

(*IV _ I"V _ t"oJ

Tk

=

T u + tko"e,', + t n •• e"uk

' JI. pJl. k, P h~J l.J Phl.J l.J ,p

De differentiaalvergelijkingen zijn nu, bij "dead load" belasting

(7.14 )

We kunnen (7.14) direct afleiden uit (4.14) voor het evenwichtsgeval

(7.15)

en de overeenkomstige vgl. voor de beweging

(7.16)

2

~ 0 0.. 0

a

~

Tkel a + p _bk

=

P ~

=

P - - 2 •

at

We t,rekken (7.15) van (7.16) af. Er ontstaat

(7. 17) Riermee (7. 18) Omdat (7.19) 2

o a

uk

=

p - - 2 . ~t 2

o a

~

=

p - - .

at

2

wordt (7.18)·

(7.20)

of

(7.21)

conform (7.14).

De randvoorwaarden bij (7.21) zijn

(7.22)

waarbij nR, de normaalvector is op het oppervlak in de x-toestand.

We kunnen (7.21) ook afleiden door variatie van V(u). Daartoe transformeren we eerst van de X-toestand naar de x-toestand. We hebben

-Vo + V; So + S; Po dV + p dV; tpq + _{Tpq; t ijk!} + _{t ijk}! waarmee (6.41) overgaat in (7.25) V(u)

=

t

f

V Tktu kU _{R. dV} p, p, +

i

f

tijkR,;ij~!

dV • V

We varieren

(7.26) _oV(U)

₌

_J

_{TktUp,koUp,t dV +}

J

_{tijkL;ijO;kL •}

V V

Na uitwerken ontstaat

(7.27) _oV(U)

₌

f

Tk~ntOuk

_-

_J

_{TkL,tOUk dV}

S V

Met Hamiltion's principe volgt uit (7.27) de vergelijking (7.21) en tevens de randvoorwaarden (7.22).

We schrijven de vergelijkingen (7.21) nog eens als

(7.28)

waarin Ll en L2 operatoren -zijn,. We vinden

(7.29)

met

(7.30)

Ltu

=

c. . ' _{k ... l.J l.,J'"} .u. '. ,

+ o'k t '.u +

t

'knu , )

1. pqJ'" p,q PJ ... l.,p

1 -

Voor L

2u vinden we

-

-(7.31) L

2\l = T p!,! k,p u + t. .. k~1J,! e.. 1J + t p!1J,t 1J K,p . • e.. u. •

Het probleem (7.28) is hyperbolisch en quasi-lineair d.w.z. de hoogste orde termen zijn lineair, maar bevatten coefficienten, welke van de plaats, en van de ~'s en uk,!'s afhangen.

Om een hyperbolisch stelsel op te lossen moeten we geven:

a de randwaarden (7.22) voor het ruimtelijk deel, b de begincondities op t • to' voor het tijdsdeel,

(7.32)

Voor een hyperbolisch stelsel is het vraagstuk nu Itgoed gesteldlt

• Opdat

(7.21) inderdaad hyperbolisch is moet de operator

(7.33)

elliptisch zijn. Voldoende conditie voor de ellipticiteit van L is

(7.34)

voor iedere tensor ~ ..• Wordt aan (7.34) niet voldaan, dan is het probleero 1J

De moeilijkheid komt nu in de toepassing van (7.34) door het feit dat c ijk1 van ~ en-uk,}, afhangt. We komen hierop terug.

Ret probleem heeft tevens min~ potentiele energie. We hebben gezien in hoofdstuk 3 dat een voldoende kriterium voor Lyapounov stabiliteit is

(7.35)

8. Norman en RUUnten, Ongelijkheden en Equivalenties

In het hier te behandelen voorbeeld ontstaan op eennatuurlijke manier afge-leiden v.an vectorfuncties, welke tot de vierde macht worden geintegreerd, bijv. V

f

ui 1 dV. Het is dus natuurlijk om in de Sobolev ruUnte wI,4 te werken,

o

'

.

waarvan de norm reeds is gegeven in hoofdatuk 5. Maar ook andere Sobolev

1 2 1 co

ruUnten zullen we ontmoeten, zeals w' en w ' ~, We hebben algemeen

(8.1) _{flull 1 2 ~ flull 1 4}

w ' w '

~ ••• ~lIulil •

w ,ClO

We kunnen het best werken in de x-toestand. Dan heeft de functionaal V(u) de gedaante (vgl. (7.25» V(u) 1

J

+.l

J

-

,.., ,...., I I _ T u u dV _{t. "kR. e .. ~} 2 kR. p,k p,R. 2 1J 1J V V (8.2) 1

J

-,...., ekR. dV 1

_J

-== -_{2 tijkR. e .. 1)}

+4'

t .. u _s,i l.JPP V V

- .l

₄ (3' + 211)

J....e..

D • u u dV A ~ 0 kt a,k a,t ' V P

omdat in de laatste integraal

(8.3) dV

=

~ _p

o

dV .. ₀ J dVO '

met J de Jacobiaan.

dV ..

We zien dat de functionaal (8.2) uitgedrukt is in uk';" etc. Dit zijn _{. p, l.J} niet de juiste normen voor de w1,4 ruimte en daarom zullenwe enige betrek-kingenafleiden, die het verband geven tussen dit type integralen en normen. We beginnen met de betrekking

~ussen

de wl,2 norm en de lineaire elastische energie. We hebben algemeen

(8.4)

waarin w_kt' de lineaire rotatie tensor is gedefinieerd door

(8.5) en (8.6) We hebben dus

f

uk,R.uk,R. dV

=

f

(ekR. + Wkt)(~t + wkt)dV

=

V V (8.7)

=

_J

_{ektekt dV} +

f

_{wktWkt dV} 2:

I

ektekR. dV • V V V Of: (8.8) 2

J

ekR.eh dV • lIu II 1 2 2:. W ~ V

Deze ongelijkheid is nagenoeg triviaal. Er bestaat ook een andere, de z.g. Korn's -_ongelijkheid, die de vorm heeft

(8.9)

J

e' a' _{kg, kg,} dV > _-

1..

_K

J

u. _{k, g, k, g,} u. dV • Kl II u 1121 2 ' _{w '}

V V

waarin K de constante van Korn is. De ongelijkheid (8.9) geldt voor ieder lichaam dat niet vrij kan roteren. K hangt af van de randvoorwaarden en van de vorm van het lichaam. Indien het lichaam geheel is ingeklemd, dus op S:

(8.10)

is (8.9) eenvoudig te bewijzen. We hebben

Nu is zodat (8.11) en V V

f

{(~Ut,knt)

-

(UkUt,t~)}dS

=

0 • S

Daaruit volgt dat

(8.) 2)

J

wk~wk~

_dV

₌

J

(~tek~

_-

ekk~i!)dV ~

_J

ekt~t

_{dV •}

V V V Met (8.7) is dan (8.13)

J

~,1~,~

_dV

₌

_J

~~ekt

_{dV +}

_J

_{wktWkt dV} V V V

~

2

J

_{ektekt dV •} V

De Kornse constante K is hier dus 2. Ret algemene geval is moeilijker te be-wijzen. We hebben dus

(8.14)

waarmee de equivalentie van de normen II u II ) 2 en

f

ekte_kt dV in de ruimte

1 2 w' V

w' is aangetoond.

De volgende ongelijkheid heeft be trekking op de eerste integraal in (8.2). We hebben

J

T u u kt p,k p,t dV ~

I

_J

T u kt p,k p,t dvi u

~

V V (8.15) ~

J

I Tk!! lu kU _t1dV ~ maxlTk~1 _• p, p, V

f

L

lu kU _{J/,ldV •} k,t,p . p, p, V

Nu is

+ •••

(8.16)

We hebben verder

waarmee (8.15) wordt

f

TkJl.up,kup,JI. dV S 3 maxlTkJl.1

J

~,5/,~,JI.

dV

(8.18) V V 2 .. 3 max

I

Tk5/, II U II I 2 • w ' We rekenen nu uit (8.19)

De rechter integraal van (8.J9) wordt

U kU .u kU n

=

I

{u

2

J. ku2] n + 2(u 1,kU2,k)2

p, p,,,, q, q,,,, k,5/, ,

,)I,

Daaruit voIgt direct de ongelijkheid

We schatten nu de integraal naar boven. We hebben

(8.22) en Daarmee wordt (8.23) 4 e" e" kR. kR. 2 2 2 2 2 \ 2 + 2

L

_{u 1 k •}

L

_{u3 k} +

(1:

_{u2 k)} + 2

L

_{u 2 k •} L _{u3 k} k ' k ' k ' k ' k '

waarbij gebruik is gemaakt van

(8.24) + •••

De equivalentie als norm in

w~.,4

van

f

eu~t

dV is dus bewezen. We hebben

V

(8.26)

V

Ken snellere afleiding van (8.26) is

(8.26) Dus: (7.27) en (8.28) 4e!'e!' =u u u u kt kt p,k q,k p,t q,t 4 e" e" >

I

u4 kt kt - k,t k,t

=

I

p,q W _{e se a} h tt _{en nu}

_{J ,,,}

_{ekR. ~t} dV _{• e} W h _e bb _en V

J

~"kt

dV -

r

J

e(k1)"k1 dV s

E

\1'[

V k,t V k,t V (8.29) Nu is (8.30) ~ ~

s:

3/~ ~ (k = 1,2,3) , dus '2 dV .

f

e k ": dV • e(kil.) x-V

(8.31 )

9 2

="2

!lull 1 2 lIuli 1 4 •

w ' w '

Andere ~fleiding. We hebben

Daarmee wordt

(8.33)

2 :::;: 9 !lull 1 2 • lIull I 4 '

waarbij gebruik is gemaakt van

(8.34)

(1:

L

(~

1/)2

S

(9

r

{1)<'

9. Existentie nabuuroplossingen, voidoendeeonditie voorelliptieiteit van

t.

We proberen de stabiliteit van de oplossing ~

₌

0 te bewijzen. Indien we het probleem (7.21); (7.22); (7.32) voor willekeurige maar "toelaatbare" fk

<.!P

en gk(!) konden oplossen, kondenwe de stabiliteit van ~

=

0 direct afiezen. We wensen echter zonder de expliciete oplossing van (7.21) etc. verder te komen. Daartoe moeten we ons toch enigszins in dit probleem verdiepen. We merken op dat het gelineariseerde probleem voor redelijke data steeds weI een oplossing zal hebben. Het is zeer eenvoudig een conclusie te trekken uit dit gelineari-seerde probleem, zoals nader zal worden uiteengezet. De conclusie kan, maar be-hoeft echter niet correct te zijn, zodat we voor het feitelijke onderzoek steeds op (7.21) etc. zijn aangewezen.

Het is nu mogelijk dat het niet-lineaire probleem geen oplossing heeft of geen voldoend aantal oplossing bij willekeurige fk en ~. In dat geval moeten we ~

=

0 stabiel verklaren, of misschein afgaan op de conclusies van het gelinea-riseerde probleem.

Voor de existentie van een voldoend groot aantal oplossingeri, een z.g. "semi-flow" moet aan een aantal voorwaarden worden voldaan. Daartoe behoren o.a. deconditie dat het systeem zuiver hyperbolisch is op t

=

to en blijft gedurende een zekere tijd tot t

=

to + T. Dat betekent dat de operator LI

moet voldoen aan (7.34), de ellipticiteitsvoorwaarde

(9.1)

met Co > O. Omdat we ~,p op t

=

to direct of indirect kunnen voorschrijven,

dat voor t > to ' C

ijkt verandert, waardoor het niet zeker wordt of aan (9.1). zal blijven worden voldaan.

Sobolev heeft quasi-lineaire hyperbolische differentiaalvergelijkingen voor een variabele u in een n-dimensionale oneindige ruimte onderzocht (zie: Sobolev, EinigeAnwendungen der Funktionalanalysis auf Gleichungen der Mathe-matischer Physik, pag. 198). Zijn conclude is dat (voor zijn geval) ale aan 'een aantal voorwaarden bij de vergelijking is voldaan, een op1ossing bestaat,

die ook eenduidig is,

(9.2) UE:W' 4 2 ,

gedurende het djdsinterva1 t E: (to' to i* -r), indien op t

=

to

(9.3)

_atE:

au

w 3,2 •

Omdat we natuurlijk altijd aan (9.3) kunnen voldoen za1 dus voor de tijd to + to *. -r aan (9.2) worden vo1daan. Vo1gens de inbeddingsformules is dan

(9.4) < _{M lIull 4 2} w ' < M lIuli 4 2 w ' zodat steeds (9.5)

waarbij p bepaald wardt door

(9.6) p

=

M sup

We concluderen dus dat, indien eenoplossing bestaat,zijn afgeleiden be-grensd zijn, gedurende een eindig tijdsinterval.

We zullen nu zonder meer aannemen dat Sobolev's werk kan worden gegenerali-seerd tot de vectorfunctie ~ met drie hyperbolische vergelijkingen, geldig in een eindig gebied. Ook dan nemen we aan dat

(9.7) I~,J/,I _{< p •}

Uit (7.30) zien we direct datj indien de TjJ/,-spanning voldoende klein is, cijkJ/, bij voldoende grote negatieve l\,J/, negatief kan worden en dus nooit aan (7.34) kan voldoen. Is Uk,t positief dan is eeen dergelijke beperking schijnbaar niet noodzakelijk.

Het kan nu heel goed zijn, dat, indien de oplossing bestaat voor een tijd t € (toto + T), hij ook bestaat voor t € (ta,oo). Physisch verwachten we dat een oplossing in een,begrensd gebied bij voidoend gladde data periodiek kan zijn en oneindig vaak differentieerbaar. Dan wordt dus ook steeds aan (9.7) voldaan.

Om stabiliteit te bereiken is het dus nodig dat voor de begincondities aan (9.3) wordt voldaan, zodat voor een eindige tijd de gehele oplossing voldoet aan (9.7).

We eisen dus simpel: Stabiliteit kan aIleen worden verkregen indien de ope-rator L} elliptisch is en bIij£t.

Er is ook een mechanica argument voor de begrensdheid van ~,J/, • We weten dat de Jacobiaan J

1 gegeven door

positief moet zijn. Deze conditie geldt evengoed voor J == det IYk,t

l.

Stel nu alle verplaatsingsgradienten gelijk aan p. Dan is

'1 + 1l Jl ]l

(9.10) J == l.l 1 + l.l ... 1 + 3Jl > 0 •

l.l l.l I+Jl

Daaruit volgt voor drie dimensies

(9.11)

Voor twee, resp. een dimensie vinden we

(9.12) Jl>- ~, l.l>- 1 •

Naar boven is Jl niet begrensd, terwijl als de gradienten verschillende waarden

-hebben aan (9.11) en (9.12) ~iet behoeft te worden voldaan. Doch de eis J > 0 beperkt de willekeurigheid van de gradienten.

We zullen in het vervolg (9.7) de ellipticiteits-eis noemen.

Tenslotte mer ken we nog op dat, ook als aan (9.7) wordt voldaan en de gelinea-riseerde vergelijking een oplossing bezit, de algemene vergelijking geen op-lossing behoeft te hebben. Dit is door J.B. Keller en Lu Ting (Carom. pure and app. Math. XIX, 1966, pag. 371) aangetoond voor de een-dimensionale longitudi-nale trilling van een homogenesnaar. Het gelineariseerde probleem heeft dan oneindig veel lineair onafhankelijke oplossingen met dezelfde frequentie. D.w.z. als p is constant, is het bifunctieprobleem ontaard. Dat is niet het

geval als p niet constant is, dan bestaat de oplossing van de niet-lineaire vergelijking weI.

We kunnen het probleem nog op ee andere manier bekijken. We onderzoeken de stabiliteit van een evenwicbtstoestand. Op t

=

to geven we de deeltjes een kleine uitwijking ~(x,y,z,tO) en een kleine snelheid ~(x,y,z,tO}'

We verwachten nu dat het lichaam trillingen zal gaan uitvoeren om de even-wichtstoestand. Dus we verwachten een periodieke beweging voor t > to'

Zo ontstaat de vraag: Heeft het stelsel (7.20)

(9.13)

periodieke oplossingen, waarbij

Dit zal zeker het geval zijn als L} lineair is. Indien L} niet-lineair is kunnen er schokgolven optreden. We hebben te onderzoeken welke de condities zijn voor het niet optreden van schokgolven. Deze zijn vermoedelijk

a) voldoende demping in het gevonden systeem of/en b) voldoende gladde begindata.

Opmerking: Onder invloed van damping wordt het periodieke karakter natuur-lijk verstoord.

10. Voldoende condities voor minimum potentiele energie

We hebben gezien in hoofdstuk 3 dat bet conservatieve systeem Lyapounov

stabiel is, als voldaan wordt aan (zie vgl. (3.50»

(10.1)

v

~ cllull x

waarbij II ull een of andere toelaatbare norm is voor de storing u, terwijl

x geldt

(10.2) V(O)

=

0 •

De vergelijkingen (10.2) en (10.1) drukkenuit dat V in u

=

0 een geisoleerd

minimum bezit. Het probleem is nu (10.1) te concretiseren.

Bij een eindig aantal grad en van vrijheid wardt aan (10.1) en (10.2) voldaan door iedere continue functie, die nul is in de oorsprong en positief daar-buiten. Want neem de bol

(10.3) lIull-e:.

Op deze bol neemt de functie V zijn maximum en zijn minimum (> 0) aan. Dus

is het altijd mogelijk een c > 0 te vinden.

Opmerking. Het is soms noodzakelijk (l O. 1) te vervangen door

waarin a € K, de klasse van continue, strict monotone functies met a(O) .. O.

Voor een systeem met een oneindig aantal graden van vrijheid, wordt ook als de functionaal overal positief is, niet steeds san (10.1) of zelfs (10.4) voldaan. De oorzaak is, dat op de bol

(10.5)

het infinum van de functionaal V(u) gelijk aan nul kan zijn. We formuleren nu de voldoende voorwaarden voor stabiliteit. De functionaal V(u) moet vol-doen aan

Veo) .. 0

V(u) > 0 , voor lIull_x :S; a , (10.6)

inf V(u) ... peE) > 0 , voor o < E s a . lIull ... e:

x

Het invoeren van de grootheid a > 0 drukt het locale karakter uit van het minimum van V(u). Als aan (10.6) wordt voldaan, is dus ook

(I. 07) V(u) 2: cIIuli

x

We geven enige voorbeelden. In de ruimte w1,4 is de een-dimensionale functio-naal (I0.8) 1 V(u)

=

J

o

4 u dx x

stabiel. We hebben

(10.9) yeO) = 0 V(u) > 0 ,

(10.10) in! V(u). pee)

=

0 + e4 > 0 •

II u II 1 4 =e w ' We hebben ook (10.11) V(u) ~ II u II 4 1 4 • w ' 1 2 • • 1,~

Ook in w' is V(u) stabiel. Maar nl.et l.n w • Want we hebben

(10.12) inf V(u)

=

pee) = 0 + 0 = 0 •

II u II 1 =e w ,~ Omdat (10.13) inf lIu II 1 _,~ =s: w 1

f

o

uP dx

=

0 ,

x voor afle p < a:> ,

kunnen we nu reeds concluderen dat voor functionalen in Uk,t nooit stabili-teit kan·worden verkegen in de norm

(10.14) lIull 1 = ex. sup(~,R.) • w

,co

Dat betekent physisch dat, ook als men de aanvangssuprema klein houdt, het niet mogelijk is voor t > to de suprema willekeurig klein te houden.

De functionaal V(u) gegeven door 1 1 (10.15) V(u) ₌

_f

u;

<Ix -

f

o

o

is instabiel in wl,4. Want (10.16) !nf V (u) = P (E) ... - E 4 < 0 • II ull 1 4 =E W '

Maar ook in wI,2 is V(u) niet stabiel.

We hebben, (10.17) V(u)=lIuU2 4 1 2 -Uull t 4 w ' w ' Nu is (l0.18) lIuli I 4 > lIuli 1 2 ' w ' w ' waaruit voIgt (10.19) lIuli 4 1 4 > lIuli 1 2 • 4 w ' w ' Daaruit voIgt 2 4 2

r

2 ]

(10.20) V(u) s; lIuli t 2 - lIull 1 2 ,. lIuli 1 2

Ll -

lIull 1 2 •

w ' w ' w ' w '

De vorm is klein en pOSe te houden, doch omdat

(l O. 21) V(u) S; E 2 (1 - E ) , 2 op lIull 1 2

=

E ,

W '

We bekijken nu

J

(10.22) V(f) -

J

(£2 +

2f)~.

o

waarbij f is een afbeelding R + R. Ret is duidelijk dat

(10.23) V(O) - 0, V(f) > 0, f ~ 0 • We hebben 1 V(f)"

f

o

1 ~

J

(10.24) 0 1 f4dx + 4

J

o

1 4 f dx - 4

J

0 1 £3dx + 4

f

o

1f'1

3dx + 4 0

J

> 4 [ { f2dx -

J(

.1. . f2dx 0 0

Op de bol /I f

I'r,

= e, is het infinum 4

want, hoewel

(1026) IIfllL < e,(

=

IIfl'r, ) ,

2 4

J

0 1 2 £ dx ~ 1 f4dx +

*

J

0 f4dx] ,.

zal voor e < 2 zeker ergens op de bol

(10.27) II filL 2

Dus omdat p(e) - 0 is het systeem ~ stabiel.

Ret is duidelijk dat voor de zware infimum eis, in tal van gevallen geen stabiliteit kan worden verkregen, waar men die wel verwacht. We kunnen hier-aan echter iets doen. In het laatste voorbeeld kan f

=

dU _dX voor het een-dimensionale geval. Dan eist de Jacobiaan

(10.28) f ~ -1 ,

welke wij generalizeren tot

(10.29)

If I

< p •

«

1) • Maar nu wordt 1 1 (10.30)

f

£4 dx < p2

J

f2 dx, J

o

0 of 2 2 4 p Ilfl~ > II filL ' 2 4 dat is (10.31)

We hebben nu

inf II f I'r.

==e:

4

2 2 V(f)

=

p(e:)

=

4(lIfl'r. - Ie: )

2 (10.32) als p < 2 • Want en 2

Inf (II f ,'t, - Ie: )

=

2

2 (Infl! f ilL -

Ie: )

t

2

(10.33) Inf(lIfl'r.' -

h:

2) ... (Infllfl't, -

!e:

2)2 ,

2 2 zolang 2 Infll f I't, >

h: .

2 De conditie ( 1 0.34) II f I't, >

111

f

II~

2 P 4

is consistent met het altijd geldend

(t 0.35) 11£

I'r.

<

II

f

I'r. '

2 4

als

De conciusie van dit hoofdstuk is,dat de voidoende conditie voor stabili-teit (10.6) meestal niet realiseerbaar is. Hij moet daarom worden aangevuld met de eIIipticiteitscoordinatie (9.7)

(10.37) supl~,~1 < p ,

indien noodzakelijk. De combinatie van (10.6) en (10.37) levert een zeer

aanvaardbare theorieop. We merken nog op dat (10.37) niet aIleen mathematisch noodzakelijk kan zijn (zier vorig hoofdstuk), doch ook physisch zeer zinvol

is. Met nadruk moet er echter op worden gewezen, dat p niet naar nul be-hoeft te gaan.

1 <JO. •

Door de conditie (10.37) wordt de ruimte van de uk,~-functies de w' ru1mte. W b k ' 'k e e 1J en us een ee ru1mte w d d I ' 1,'" van e rU1mte w d • 1,4 op de bol 1'n wI,4.

, 1 00

De norm 1n w' is

(10.38) lIu II l,co

=

ess. supl~,~1 • w

Op de bol lIu 111 4 = € bekijken we dus de verzameling van elementen, waarvoor

w ' lIull} ..,<p.

w '

1 00 •

Men kan zich nu de vraag stellen: als alle elementen in w' l1ggen, waarom bekijken we dan niet een bol in deze ruimte

(10.39) Ilull 1,00 = € (s p) • w

Het antwoord is, dat dannooit stabiliteit wordt verkregen. Er ontstaan nu twee vragen: is een en ander consistent en wat is het verschil. We beginnen

met een besprekingvan het laatste; met de uitdrukking voor de stabiliteit

(10.40) Po S V(u) S a(p) ,

waarin a € K. Zoals bekend mogen p en

Po

indezelfde maar ook in verschillend

normen worden uitgedrukt. Het blijkt echter mathematisch onmogelijk, als Po

zeer klein is, p willekeurig klein te maken in de supremum norm voor I~, 11.

1'.

Dit zal welberustenop het physische feit, dat bij quasi-lineaire vergelij-kingen de gradienten niet willekeurig begrensd zullen blijven, onverschillig de begincondities. Hiermee is het verschil aangegeven. De consistentie van de methode berust op het feit dat elementen die liggen binnen de bol

(10.41) lIull 1,00:: E

I , (EI voldoende klein), w

verschillen van de elementen binnen

(10.42) lIuli I 4 == E

Z ' (E2 voldoende klein) , w '

hoewel ze alle liggen binnen II u II 1

=

p.

w ,""

(Als EI

=

E

Z ' is (10.42) een deelverzameling van (10.41».

Tenslotte merken we nog op dat bij veel problemen, bijv. in de lineaire en semi-lineaire theorie, de oplossingen willekeurig differentieerbaar en be-grensd zijn. De natuurlijke norm in bijv. de linea ire theorie is 11·11 1 2'

w ' Daarin is stabiliteit ook te bewijzen. Doch de oplossingen zijn vaak be-grensd en meermalen differentieerbaar. Dus bijv.

zoals eenvoudig is aan te tonen in vele gevallen. Doch in de norm II • II 2 2 w ' ?iiR de infina gelijk aan nul en is stabiliteit niet te bewijzen.

11. Toepassing op het model van hoofdstuk 6

We passen nu de vorige theorie toe op hetmodel van hoofdstuk 6 met de pot. energie (vgl. (7.25»

(ll.l)

V{u) ...

i

I

Tkt Up,k

Up,~

dV V

+

i

I

t

_ijk1 e_ij

~~

dV • V

a het gelineariseerde probleem

Dit krijgen we door de energie als quadratische functionaal te nemen. De vgl. (7.21) worden (11 .2) met en ~ III 0 {I 1.4) , op S u De potentiale energie is

v

In (11.5) is

v

(11. 6)

I

-t u a dV

=

J

-t el."j a'n dV ,

ijkt i,j K,! ijk! KN

en deze vorm moet worden ingevoerd in (11.5) dus (11.7) _V(u)

=

!

v

J

T u u dV +

!

kP.. p,k p,P..

v

We bekijken eerst de zgn. II infinitesimale bovengrens". We hebben

V(u) s !

J

_{ITi!!.1 up•k up,p.. dV} +

l

S'M

J

~P..

eJr.!!. dV

V V

s

l

maxi

TkJ!. I

I

Up,k Up,J!. dV +

~

SM

J

ekP" ekP" dV

V V

(Il.8)

waarbij gebruik is gemaakt van (6.21), (8.18) en (8.19), en (Sm'S~ de mini-male en maximini-male waarden zijn voor tijkP" •

Deze bovengrens is noodzakelijk, omdat met formules als (10.7) het niet zeker is dat V(u) ~ 0 gaat bij voldoend kleine norm.

(Il.9) Zolang V(u)

~

-

i

maxlTknl

J

u k U n dV N p, p,JV +

!

s _m V bij negatieve T

kt, heeft (11.9) de vorm van (10.7) en het gelineariseerde probleem is dus stabiel. Is Tkl positief, dan wordt (11.9) vervangen door

(11.11) _{V(u) >}

_!

X

sm _{II u II} 2 _{1 2 •} w '

Voor positieve Tk! hebben we dan steeds stabiliteit, zoals verWacht en bij negatieve Tkl aIleen als aan (11.10) is voldaan. De kritische negatieve spanning TO is dus

(11.12) met

De analyse is totaal bevredigend en geheel conform onze verwachtingen. De vraag ontstaat waarom 'l[erder onderzoek noodzakelijk is. Het antwoord is dat strict genomen, in een lineaire theorie ekt

=

0 moet worden gesteld en de probleemstelling dUB niet consistent is.

~ de infinitesimale bovengrens

We bewijzen nu voor het algemene geval dat ook daar V(u) een bovengrens heeft. We gaan uit van (6.14), die in de x-toestand de vorm (7.25) heeft

(It. 14) V(u)

=!

I

Tk1 Up,k Up, t dV

+!

J

t

_{ijkt eijekR. dV .•}

We hebben (11.15) V V e' e.' dV kt Kt

=

SM

I

I

_{ek.! ekt dV}

I

+

!

aM

I

e

k1

e

k

! dV

~

V V 3 2 - 2

2'

max

I

Tkt

I

/I u II ] 2 +

!

aM II u II 1 2 w ' w ' 9 - 4 9 - 2

+

8'

sM lIull 1 4 +

2'

sM lIuli 1 2 lIuli 1 4 ~

waarbij gebruik is gemaakt van (8.31), (8.26) en (8.1).

Hiermee is de existentie van de infinitesimale bovengrens voor aIle gevallen bewezen.

£

de benedengrens voor V(u)

Het belangrijkste deel van het onderzoek betreft de benedengrens. We bekij-_ ken dit voor de navolgende gevallen.

1; ezo is aUeen trekspanning. In dit geval zijn alle componenten van TkR. > O.

We hebben dan

V(u) = ~

_J

_{TkJl. up,k up,JI. dV} +

!

_J

-

_{tijkJl. e .. l.J} ~JI. dV

(11.16) V V

~

1

s

J

;kR. ;kR. dV •

m V

Omdat we geen benedengrens v~~r

J

ekR. dV hebben, in feite is het infinum V

daarvan

=

0, moeten we de gehele positieve integraal met TkR. weglaten.

(11.17)

(e' + en ) (a' + e!'. )dV

=

k2 k2 kt k.,t

ekR,

eki

dV > ₈ m 1

I

-Ti{

Uk 2 u k u n dV , p, P,N V +

i

s

f

elf elf dV

~

m k2 k2 V

la .1

U k U R, dV k,N p, p, 1 - 4 s 2 8_m 4

+

8'

sm lIulI 1,4

~

;; lIuli 1 2 +

8:

Ifull 1 4

w w ' w '

9 - 2

-'2

sm llull },2 !lull J 4 ""

w w '

sm [1 2 2 1 4 ]

T K

lIuli 1 2 - 9 lIuli 1 2 lIuli 1 4 +

4

11ull 1 4 '

w' w' w' w'

waarbij gebruik is gemaakt van (8.21) en (8.31),(0.a.).

We zien dat (11.17) niet definiet is,_ondanks het feit dat trekspanningen zeker geen instabiliteit veroorzaken (voor voldoend kleine waarde). Dit is totaal tegenover onze verwachtingen. De mathematische oorzaak is, dat ook