Simulation der entwasserung einer bodensaule

NN31545.0566

IN OTA 566 20 juli 1970 Instituut voor Cultuurtechniek en Waterhuishouding

Wageningen

SIMULATION DER ENTWASSERUNG EINER BODENSAULE

Dipl. Ing. F . Kastanek

Nota's van het Instituut zijn in principe interne communicatiemiddelen, dus geen officiële publikaties.

Hun inhoud varieert sterk en kan zowel betrekking hebben op een eenvoudige weergave van cijferreeksen, als op een concluderende d i s c u s s i e van onderzoeksresultaten. In de m e e s t e gevallen zullen de conclusies echter van voorlopige aard zijn omdat het onderzoek nog niet i s afgesloten.

Bepaalde nota's komen niet voor verspreiding buiten het Instituut in aanmerking

j CENTRALE LANDBOUW/CATALOGUS

I N H ^ L T S V E R Z E I C H N I S

Seite

1. EINLEITUNG 1 1 . 1 . Das Potential des Wassers im Boden 1

1 . 1 . 1 . Gesamtpotential des Bodenwassers 2 1 . 1 . 2 . Potential infolge Erdanziehung

(Schwerkraft-potential) 2 1 . 1 . 3 . Matrixpotential 3 1.1.4. Wasserdruckpotential 3 1 . 1 . 5 . Gasdruckpotential 3 1.1.6. Osmotisches Potential 4 1.1.7. Druckpotential 4 1 . 1 . 8 . Hydraulisches Potential 4

1.2. Die Wasserbewegung imüngesättigten Bereich 6 1.3. Die mathematischen Grundlagen der Wasserbewegung

im ungesättigten Bereich 7 1.4. LS sun g smöglichkeiten von Bewegungsproblemen im

ungesättigten Bereich 9 1 . 4 . 1 . Horizontale, stationäre Strömung 10

1 . 4 . 2 . Horizontale, in stationäre Strömung 10 1.4.3- Vertikale, stationäre Strömung 11 1.4.4. Vertikale, in stationäre Strömung 12

2. FRAGESTELLUNG 14 3. NUMERISCHE LOSUNG 16 4. EXPERIMENTELLE ÜBERPRÜFUNG 22 4.1« Versuchstechnische Daten 22 4 . 1 . 1 . Versuchssand 22 4 . 1 . 2 . Versuchsanordnung 26 4 . 1 . 3 . Messung der Saugspannung 27

4-2. Versuchsergebnisse 29 4 . 2 . 1 . Widerstand der Tensiometer 29

4 . 2 . 2 . Potentialverteilung 30 4 . 2 . 3 . Ausgeflossene Wassermenge 32

Seite 5. VERGLEICH MIT ANDEREN

VERSUCHERGEB-NISSEN ' 33 5 . 1 . Day and Luthin (1956) 33

5 . 2 . Watson (1967) 36 6. ZUSAMMENFASSUNG 38 7. LITERATURVERZEICHNIS 40 8. BEDEUTUNG DER VERWENDETEN SYMBOLE 43

ANHANG:

PROGRAMM ZUR SIMULATION DER ENTWÄSSERUNG

EINER BODENSAULE 45 A . B e s c h r e i b u n g d e s P r o g r a m m s 45

B . F l u s s d i a g r a m m d e s P r o g r a m m s 49 C P r o g r a m m in FORTRAN-Sub set für IBM 1130

sowie OUT PRINT d e s i m Abschnitt 5 . 2 . d a r g e

1

-1. EINLEITUNG

Die instationäre Wasserbewegung im ungesättigten Boden kann nur schwer durch ein entsprechendes mathematisches Modell wieder-gegeben werden. Analytische Lösungen der entsprechenden Differen-tialgleüiung sind selbst durch weitgehende Vereinfachung sehr schwie-rig bzw. unbekannt.

Durch die Entwicklung leistungsfähiger Rechenhilfsmittel stehen neue Möglichkeiten zur Verfügung. Insbesondere erlangen numerische Methoden durch die Anwendung digitaler Rechenmaschinen besondere Bedeutung. Das Potentialkonzept der Internationalen Bodenkundlichen Gesellschaft (ISSS, 1963) bildet dabei eine zweckmässige physikalische Grundlage für die mathematische Betrachtungsweise.

1.1. D a s P o t e n t i a l d e s W a s s e r s i m B o d e n

Das Wasser im Boden ist verschiedenen Kräften ausgesetzt, welche von den Wechselwirkungen des Wassers mit den festen Bestand-teilen bzw. mit der Bodenluft, dem Vorhandensein gelöster Salze, dem ä u s s e r e n Luftdruck und der Erdanziehung h e r r ü h r e n . E s ist eine aus der P r a x i s gewonnene Erfahrung, dass auf Böden mit vorwiegend hohem Anteil an kleinen Bodenhohlräumen(T:onböden) ab einem bestimmten Wassergehalt die Pflanzen bereits welken und sich der Boden trocken anfühlt, während auf Böden mit hohem Anteil an grossen Bodenhohl-räumen (Sandböden) beim gleichen Wassergehalt jedoch die Pflanzen nicht welken und der Boden sich feuchter anfühlt. Es ist die Kraft, mit der das Wasser im Boden festgehalten wird im ersten F a l l g r ö s s e r als im zweiten F a l l . Dies bedeutet, dass mehr Kraft erforderlicht ist» um eine bestimmte Wassermenge vom Tonboden zu entziehen als vom Sandboden (ROSE, 1966).

Die im Bodenwasser enthaltene Energie wird bewirkt durch ein auf das Bodenwasser einwirkendes Kraftfeld. Die Arbeit, welche e r -forderlich ist,um eine Einheitsmenge Wasser von einem Punkt A zu einem Punkt B zu bewegen ist gleich der Differenz der Energieinhalte der beiden Punkte A und B. Strebt der Abstand zwischen A und B ge-gen Null, so erhält man die Kraft F , welche auf eine Einheitsmenge

Wasser im Boden in Richtung s wirkt, als Differentualquotient des Energieinhalte s Y nach der Richtung s

F = -

• £ _ (1)

s ô s V '

wobei das Minuszeichen besagt , dass die Kraft in Richtung des abneh-menden Energieinhaltes wirkt. Energie ist eine skalare Grösse, dessen räumliche Verteilung durch eine skalare Ortsfunktion beschrieben w e r -den kann; F ist eine Vektorfunktion. In Gleichung (1) wird aus einem

S

skalaren Feld ein Vektorfeld gewonnen. Umgekehrt aber ist zu einem Vektorfeld nicht immer ein skalare s Feld angebbar. Vektorfelder j e -doch, für die dies möglich ist, heissen konservativ und Ï wird als Potentialfunktion bzw. als Potential bezeichnet. Aus Gleichung (1) folgt daher, dass die Energie des Bodenwassers als Potentialfunktion aufgefasst werden kann.

Entsprechend den Vorschlägen der Internationalen Bodenkund-lichen Gesellschaft (ISSS, 1963) wird das Potential des Bodenwassers wie folgt definiert (siehe auf Fig. 1 und Tab. I):

1 . 1 . 1 . Gesamtpotential des Bodenwassers ^

Definition: 'Jene Arbeit pro Mengeneinhalt reinen Wassers, welche erforderlich ist.um eine infinitesimale Menge reinen Wassers reversibel und isothermal aus einem Behälter (Bezugsbehälter) in gegebener Höhe (Vergleichshöhe) bei atmosphärischen Luftdrck in den betrachteten Punkt im Boden zu bewegen'.

Im Gesamtpotential sind verschiedene Teilpotentiale enthalten. E s ist zweckmässig, das Gesamtpotential in seine Teilpotentiale auf-zugliedern.

1.1.2. Potential infolge Erdanziehung (Schwerkraftpotential) Z

Definition: 'Jene Arbeit pro Mengeneinheit reinen Wassers, welche erforderlich ist, um eine infinitesimale Menge Wassers mit gleicher Zu-sammensetzung wie das Bodenwasser reversibel und isothermal aus einem Behälter (Bezugsbehälter) in gegebener Höhe (Vergleichshöhe) bei a t m o s -phätischen Luftdruck in einem Behälter (Messbehälter) mit Wasser gleicher Zusammensetzung wie das Bodenwasser in Höhe des betrachteten Punktes zu bewegen'.

Im Potential infolge Erdanziehung kommt die Arbeit, welche erfor-derlich ist, um Wasser über die Erdoberfläche -gegen die Schwerkraft zu heben, zum Ausdruck. Sein Mass ist die HCh*» über bzw. unter der Ve r gle ich sebene.

- 3

1 . 1 . 3 . Matrixpotential M

Definition: 'Jene Arbeit pro Mengeneinheit reinen W a s s e r s , welche erforderlich ist, um eine infinitesimale Menge Wasser von

gleicher Zusammensetzung wie das Bodenwasser reversibel und i s o -thermal aus einem Behälter (Bezugsbehälter) in Hohe des betrachte-ten Punktes bei atmosphärischen Luftdruck in den betrachtebetrachte-ten Punkt zu transportieren'.

Im Matrixpotential M kommen die Kräfte, welchen das Boden-wasser im Dreiphasensystem Boden-Wasser-Luft ausgesetzt ist, zum Ausdruck. Sein Mass ist die in einem Punkt gemessene Saug-spannung.

1.1.4. Wasserdruckpotential S

Die Definition des Wasserdruckpotentiale S entspricht der Definition des MatrixpotentiabM.

Der Druck des Bodenwassers in einem Punkt unter der Grund-wasser Oberfläche ist grösser als der atmosphärische Druck. Zum Unterschied vom Matrixpotential M ist der Wert von S stets positiv, während das Matrixpotential negativ ist. Sein Mass ist der in einem Punkt gemessene Überdruck.

Von der ISSS (1963) wurde das Matrixpotential und das W a s s e r -druckpotential gemeinsam behandelt. Eine Unterteilung erscheint jedoch wegen der Verschiedenartigkeit der verursachenden Kräfte gerechtfertigt.

1 . 1 . 5 . Gasdruckpotential G

Definition: 'Jene Arbeit pro Mengeneinheit reinen W a s s e r s , welche erforderlich ist, um eine infinitesimale Menge Wasser von

gleicher Zusammensetzung wie das Bodenwasser reversibel und i s o t h e r m a l aus einem Behälter (Besugsbehälter) in der Höhe des b e -trachteten Puntes bei atmosphärischen Luftdruck in einemBehälter (Messbehälter) in gleicher Höhe und mit Wasser gleicher Zusam-mensetzung jedoch bei einem Gasdruck gleich dem Bodenwasser zu t r a n s p o r t i e r e n ' .

Bei den bisher angegebenen Definitionen wurde vorausgesetzt, dass der atmosphärische Luftdruck gleich ist dem Gasdruck im Bo-den. Das Gasdruckpotential berücksichtigt den Unterschied im Gas-druck. E s wurde von der ISSS (1963) nicht definiert. Die vorliegen-de Definition entspricht einem Vorschlag von ROSE (1966).

Definition^ 'Jene Arbeit pro Mengeneinheit reinen Wassers, welche erforderlich ist,um eine infinitesimale Menge reinen

Was-ser reversibel und isothermal aus einem Behälter (Bezugsbehälter) in Höhe der Vergleichsebene in einem Behälter in gleicher Höhe

(Messbehälter) und mit Wasser gleicher Zusammensetzung wie das Bodenwasser bei atmosphärischen Luftdruck zu transportieren'.

Im osmotischen Potential O kommt der verschiedene Energie-iixhalt von wässrigen Lösungen zum Ausdruck.

1.1.7. Druckpotential P

Definition: 'Jene Arbeit pro Mengeneinheit reinen Wassers, welche erforderlich ist, um eine infinitesimale Menge Wasser von der gleichen Zusammensetzung wie das Bodenwasser reversibel und isothermal aus einem Behälter (Bezugsbehälter) in Höhe des betrach-teten Punktes bei atmosphärischen Luftdruck in den betrachbetrach-teten Punkt im Boden zu transportieren'.

Das Druckpotential ist die Summe des Gasdruckpotentials und des Matrix- bzw. Wasserdruckpotentials.

1.1.8. Hydraulisches Potential $

Definition: 'Jene Arbeit pro Mengeneinheit reinen Wassers, welche erforderlich ist, um eine infinitesimale Menge Wasser von der gleichen Zusammensetzung wie das Bodenwasser reversibel und isothermal aus einem Behälter (Bezugsbehälter) in Höhe der Vergleichs*-ebene bei atmosphärischen Luftdruck in den betrachteten Punkt im

Bodem zu transportieren'.

Das hydraulische Potential $ ist die Summe des Druckpotentials P und des Schwerkraftpotentials Z.

Das hydraulische Potential $ flefiniert pro Gewichtseinheit wird mit H bezeichnet.

- 5 P o t e n t i a l S c h w e r k r a f t Z G a s d r u c k G O s m o t i s c h O D r u c k P M a t r i x M W a s s e r d r u c k S H y d r a u l i s c h $ T o t a l ' B e z u g ÖD ö 3 N go m S ti m » 2 la w CO «J M u CD CO CD o> <d

1 8

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.8 w ' C D <ä Vi ^ 0) co co ft) Ö CD 0 • i - i L i « S .S m 'cu rt s g e f ä s s ' co 4) CO co M CD Ü CO <u x i <D 43 so K Ver -gleichs -eben e chtete n de n od o

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45 S 4) w •0 • in Höh e Pun k CD 4 i CD CO 45 ü CD f » ÖD Vi 0) > U Vi co cd Ü tm o sphärische r Luftdruc k a o Ö 3 4) h T3 t J 0

3«

Ü g-h 4) 43 O CO , « h 3 43 x j CQ t J cd ' M e s s g e f ä s s ' oo C 3 « co <o u CQ 0> C co 0 ) CO ö cd cd co CQ 0 ) 3 T) tsl u CD co CO cd C V o 4) fA _. [öh e de s efässe s » 0 43 CJ cd u + * CQ 43 -u in Höh e de s tete n Pun k im Bode n (3 2 Ö etrach t gern e s s

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cu -X I • * h

S

'Êfi

o 3 u co cd Ü atmos . Luft -druc k y, u 3 f3 Vi „ 4) X ) H T3 co . S O cd CQ

1

atmos * Luft -druc k '.

Tabl. I. Zusammensetzung des W a s s e r s , Höhe und Gasdruck des 'Bezugs-bzw. 'Messgefässes' entsprechend der Aufgliederung und der Definitionen des Gasamtpotentials bzw. der Teilpotentiale des Bodenwassers (nach ROSE, 1966; ISSS, 1963).

Sosdruck im Boden atmosphärischer Luftdruck

reines Wasser /

Wasser gleicher Zusammensetzung wie das Bodenwasser

F i g . 1. Schematische Darstellung der T e i l -potentiale des Gesamtpotentials des Wassers im Boden

1.2. D i e W a s s e r b e w e g u n g i m u n g e s ä t t i g t e n B e r e i c h (WESSELING, 1970)

RICHARDS (1931) war einer der Ersten, der erkannte, dass auch für die Wasserbewegung im ungesättigten Bereich das Gesetz von Darcy Gültigkeit hat

v = - k

3 s (2)

(siehe auch CHILDS and COLUS GEORGE, 1950; CHILDS, 1969). GARDNER, (1936) fand, dass der Durchlässigkeitsbeiwert k im

unge-sättigten Bereich vom Wassergehalt des Bodens abhängt.

a b ' c

•

₁

_mi

wm

feste

Bestand-teile Bodenwasser Bodenluft

F i g . 2. Verteilung der festen Bestandteile, des an der Bewegung teilnehmenden Bodenwassers und d e r Bodenluft für a. gesättigten; b . schwach ungesättig-ten; c. stärker ungesättigten Boden; Bodenquer schnitt quer zur F l i e s s -richtung (nach WESSELING, 1970)

Um eine anschauliche Erklärung dieser Abhängigkeit zu geben, wird im folgenden ein Bodenquer schnitt senkrecht zur F l i e s s -richtung betrachtet (Fig. 2). Bei der Bewegung von Grundwasser (im gesättigten Bereich) nehmen alle Bodenhohlräume am Flies s -Vorgang teil. Im ungesättigten Bereich ist jedoch ein Teil der Bo-denhohlräume mit Luft gelullt, welcher nicht am Fliessvorgang des Bodenwassers teilnimmt. Wenn es möglich wäre, diesen mit einem festen Stoff, zum Beispiel Kunstharz, auszufüllen so sollte sich am Fliessvorgang nichts ändern. Verglichen mit dem gesättigten Bereich muss aber die Durchlässigkeit kleiner geworden sein, da der am Fliessvorgang teilhabende Bodenquer schnitt verringert wurde.

Nimmt der Wassergehalt weiter ab, so wird der Anteil der mit Luft gefüllten Hohlräume immer grösser und die Durchlässigkeit muss demnach immer kleiner werden. F ü r den ungesättigten Bereich ist der Durchlässigkeitsbeiwert k keine Konstante mehr sondern eine Funktion des Wassergehaltes bzw. der Saugspannung. Man spricht dann auch nicht mehr vom Durchlässigkeitsbeiwert sondern vom kapillaren Leitvermögen. RICHARDS (1931) war auch der Erste, der eine Methode zur Bestimmung dee kapillaren Leitvermögens angab.

1.3. D i e m a t h e m a t i s c h e n G r u n d l a g e n d e r W a s s e r b e -w e g u n g i m u n g e s ä t t i g t e n B e r e i c h

Die Wasserbewegung im ungesättigten Bereich wird durch zwei grundlegende Gleichungen beschrieben (BOLT, 1966; WESSE-LING, 1970).

- die Bewegungsgleichung des Wassers im Boden; sie entspricht der bereits erwähnten Erweiterung des Gesetzes von Darcy (Gleichung (2));

- die Kontiuitätsgleichung

.

"W " " TT

(3)

d . h . : die Verandering des Wassergehaltes pro Zeiteinheit ist gleich der Differenz zwischen Zu- und Abfluss in bzw. aus dem

betrachteten Bodenelement.

Gleichung (3) in Gleichung (2) eingesetzt, ergibt die die F l ü s -sigkeitsbewegung im ungesättigten Bereich beschreibende

Differen-tialgleichung

TT

=

TT

( k

TT) M

I m folgenden w i r d a n g e n o m m e n , d a s s d a s o s m o t i s c h e P o t e n t i a l O und d a s G a s d r u c k p o t e n t i a l G i m Boden konstant sind. B e i e n t s p r e c h e n d e r Wahl d e r V e r g l e i c h e b e n e kann dann d a s G e s a m t p o t e n t i a l gleich d e m h y d r a u l i s c h e n P o t e n t i a l g e s e t s t w e r d e n .Y = S + h (5) P V ' wobei h d a s in Längeneinheiten g e m e s s e n e M a t r i x p o t e n t i a l ( n e g a -tive Saugspannung) b z w . W a s s e r d r u c k p o t e n t i a l b e d e u t e t . F ü r die P r a x i s sind b e s o n d e r s v e r t i k a l e b z w . h o r i z o n t a l e W a s -serbewegungen von I n t e r e s s e . Man w i r d sich d a h e r v o r e s t e i n m a l m i t .. d i e s e n S t r ö m u n g s v o r g ä n g e n b e s c h ä f t i g e n .

F ü r die v e r t i k a l e S t r ö m u n g gilt:

&• £t i ' w

( + = V o r z e i c h e n für S t r ö m u n g nach unten - = V o r z e i c h e n für Strömung nach oben) und für die h o r i z o n t a l e S t r ö m u n g D i e s in Gleichung (4) b e r ü c k s i c h t i g t , e r g i b t für v e r t i k a l e S t r ö m u n g 99 9 9h^ ô K at und für h o r i z o n t a l e S t r ö m u n g

• S « k r f . ) ± V | «0

Da in den Differentialgleichungen (8) und (9) zwei abhängige V a r i a b e l e ( 6 und h ) v o r k o m m e n , w i r d vielfach G e b r a u c h g e m a c h t von e i n e r

Um-formung ô h

D = k jgE. (10) s o d a s s für v e r t i k a l e S t r ö m u n g gilt

90 =

» (D JJi.) + - i (11)

9

-uiid für h o r i z o n t a l e Strömung

se

TT

3 : a

- (D 42- )

(12)

D i e s e Umformung e r m ö g l i c h t die Deutung d e s h o r i z o n t a l e n S t r ö m u n g s v o r g a n g e s a l s ein D i f f u s i o n s p r o s e s s , da "der W a s s e r g e h a l t

8 a l s Konzentration aufgefasst w e r d e n kann. Den B e i w e r t D nennt m a n dann auch Diffusion skoeffiaient und e s gilt

D = f , * (13) DARCY ÔY v =

(e)

KONTINUITÄT 3 y 36 3 s = " 9 t 36 •a-r 8 f k

Ü \

rr

(k

T¥

) VERTIKAL D = k 3 h 3 36 39 3 36 ~ 3 k d z d z 3 'z ' 3 z HORIZONTAL 36 3 3h = ( k — 2 . ) dt ô x v 3 x ' 3 t 3 3e

inr<

D

inr>

T a b e l l e II. Überblick ü b e r die z u g r u n d e l i e g e n d e n

Differential-gleichungen

1.4. L ö s u n g s m ö g l i c h k e i t e n v o n B e w e g u n g s p r o b l e m e n i m u n g e s ä t t i g t e n B e r e i c h

Um B e w e g u n g s p r o b l e m e i m u n g e s ä t t i g t e n B e r e i c h e i n e r Lösung zuführen zu können, m ü s s e n die R a n d b z w . Anfangsbedingungen e i n -deutig definiert v o r l i e g e n . Obendrein m u s s m a n Kenntnis haben ü b e r

den Z u s a m m e n h a n g zwischen dem W a s s e r g e h a l t 6 und d e r S a u g -spannung h,

- den Z u s a m m e n h a n g zwischen d e m k a p i l l a r e n L e i t v e r m ö g e n k(oder d e m Diffusion skoef f. D)und d e r Saugspannung h (bzw. d e m W a s s e r -gehalt. 6 ).

Nur für wenige, einfache Randwertprobleme sind analytische Lösungen bekannt. In den weitaus m e i s t e n Fällen, rnuss man nit n u m e -rischen Lösungsmethoden vorliebnehmen. Im folgenden sollen einige bekannte Lösungen aufgezeigt werden.

1 . 4 . 1 . Horizontale, stationäre Strömung Für d i e s e Strömung gilt:

ô h

^ < * T | ) = 0 (14)

bzw. nach einem Integrations schritt ô h

* -rif-

s c

(

15

)

Wird das kapillare Leitvermögen innerhalb eines kleinen Intervalles ( h . , h_) konstant angenommen, so kann Gleichung (15)

hl "h2

k

- t ^ -

2

= c

(16)

geschrieben werden. In d i e s e r F o r m wird d i e s e Strömung vielfach zur Bestimmung des kapillaren Leitvermögens an Bodenproben verwendet (RICHARDS, 1931).

1 . 4 . 2 . Horizontale, instationäre Strömung

B e i d i e s e r Strömung wird zumeist von Gleichung(12) ausgegangen. Lösungen sind bekannt für halbunendliche, waagrechte Bodensäulen (0^ x< °° ) und für endliche, horizontale .Boden säulen mit konstantem Anfangswassergehalt (6 konstant für (K< x ^ L und T = 0,und 6= f (T) für x = 0 und T> 0). Untenstehende Zusammenstellung gibt eine Ü b e r

-sicht über Annahmen von funktionellen Zusammenhängen zwischen D und 6 , für die Lösungen bekannt sind:

D = a . eb Ö SCOTT and HANKS (1962)

D = a9 . b SINGH and FRANZINI, (1967), SWART.ZENDRUBER

e u -T (1966)

D = a . b

-b (B - 9 ) ,>GARDNER (1962), COVEY,(1962) D = D • e ~ * " i' i

o J

E s sind auch eine Reihe von Lösungen bekannt für k = k . w

1 1

-E i n e Anwendung d i e s e r Strömung i s t die B e s t i m m u n g d e s kapilla-r e n L e i t v e kapilla-r m ö g e n s - Man geht dabei von e i n e kapilla-r h o kapilla-r i z o n t a l e n Bodensäule m i t anfangs k o n s t a n t e m W a s s e r g e h a l t 0 . a u s . Z u m Zeitpunkt T = 0 w i r d a m Ende x = 0 W a s s e r zugeführt, s o d a s s d e r Boden an d i e s e r Stelle gesättigt i s t ( 6 = 9 für x = 0 und T> 0). Danach w i r d zu

v e r s c h i e d e n e n Zeitpunkten an m e h r e r e n Stellen x = x. d e r W a s s e r g e -halt g e m e s s e n (siehe F i g . 3). Mit Hilfe d e r B o l z m a n n T r a n s f o r m a t i o n

9 = x . t1'2 fanden BRUCE and KLUTE (1956) und JACKSON (1963)

D / _ x = - -^— f ^ - \ 1 x a e (17)

e

> -

1

/Üi-x f

( ex) " ' T T t a x >* . J sat D a s I n t e g r a l w i r d n u m e r i s c h b e r e c h n e t , w ä h r e n d d e r Differentialquotient *— an d e r g r a p h i s c h e n D a r s t e l l u n g d e s W a s s e r g e h a l -t e s vom Abs-tand x abgegriffen w e r d e n kann. D i e Verwendung von Y - S t r a h l e n e r m ö g l i c h t dabei eine z e r s t r ö r u n g s f r e i e M e s s u n g d e r Bodenfeuchte (VACHAUD, 1968). 20 Abstand in cm F i g . 3 . V e r t e i l u n g d e r Bodenfeuchte © in e i n e r h o r i z o n t a l e n B o d e n s ä u l e in Abhängigkeit von d e r Z e i t (VACHAUD, 1968) 1 . 4 . 3 . V e r t i k a l e , s t a t i o n ä r e S t r ö m u n g F ü r d i e s e S t r ö m u n g gilt "W'Z

* 0*

ô h

E

ô e + k) = 0 (18)

Ein Integrations schritt bzw. ein weitere ergibt t P

J

0 = c ôh P

^ T

(19) (20)

D i e s e Gleichung gilt für s t a t i o n ä r e nach a u f w ä r t s ( p o s i t i v e s V o r -zeichen)bzw. nach a b w ä r t s ( n e g a t i v e r Vorzeichen) g e r i c h t e t e S t r ö m u n g , wobei c = q b e d e u t e t . P r a k t i s c h e Anwendung sind d a s k a p i l l a r e A u f s t e i

gen von W a s s e r k o n s t a n t e r Menge a u s d e m G r u n d w a s s e r bsv/. das k o n -stante V e r s i c k e r n von N i e d e r s c h l a g in den Boden. In beiden F ä l l e n m u s s die Höhe d e s G r u n d w a s s e r s p i e g e l s u n v e r ä n d e r l i c h a n g e n o m m e n w e r d e n . A n a l y t i s c h e Lösungen für das I n t e g r a l sind bekannt für folgen-de Funktionen von k:

k = a. h 'b WIND (1955), WESSELING (1957)

VISSER (1959)

(i'ir einige W e r t e von a und b)

k = GARDNER (1958), TALSMA (1963) h + c (für einige W e r t e von a und c)

k = k . für hv< h s a t o ) R I J T E M A (1965) k = k . e "a ( h - V für h > h > sat o D i e s e s S t r ö m u n g s p r i n z i p w i r d von v i e l e n A u t o r e n z u r B e s t i m -m u n g d e s kapillaren L e i t v e r -m ö g e n s v o r g e s c h l a g e n : MOORE (1939), YOUNGS (1964), WIND (1955), R I J T E M A (1965), CHILDS and COLLIS GEORGE (1950), WESSELING and WIT (1966), CHILDS and BYBORDI

(1969>

1 . 4 . 4 . V e r t i k a l e , i n s t a t i o n ä r e S t r ö m u n g

F ü r d i e s e S t r ö m u n g gilt Gleichung (8) b z w . Gleichung ( i l ) . E s sind n u r einige n u m e r i s c h e Lösungen bekannt. P r a k t i s c h e Anwendung sind V e r s i c k e r u n g s - , V e r d u n s t u n g s - sowie E n t w ä s s e r u n g s p r o b l e m e , so-wie die V e r t e i l u n g d e s B o d e n w a s s e r s d a n a c h .

A b e r nicht n u r für d i e s e S t r ö m u n g s p r o b l e m e sind n u m e r i s c h e L ö s u n g s m e t h o d e n e r f o r d e r l i c h . Um die v o r h i n e r w ä h n t e n a n a l y -t i s c h e n L ö s u n g s m e -t h o d e n anwenden zu können, i s -t e s no-twendig,

- 13

K a p i t e l Strömungsproblem _Anfangswerte Rand - bzw zugrundeliegende _{Differentialgleichung}

1.4.1

i ^ x

(•••'•• tv

X=0 (psty

1.4.2 , ^ X >:'-:;vJ;Viv'-V','-'-'-.-.'-;.w.?.'j t=0 0=©j X » 0 t>0 0 = 0O X= 0 6 0 - 6 (r.dQ s

6t " 6 z

( D

S x '

1.4.3 1.4.4 z = o <|;=i[>.

|-(K|5-tK) = 0

_{6z 6z}

H

2 Z i

t*

tl

verschiedene A n -fangs-bzw Rand-w e r t e

ôt " Ô Z ^ Ï Ï Z

0

6z"

dass das kapillare Leitvermögen k bzw. die Diffusivität D durch die angegebenen einfachen Funktionen cumeist in Abhängigkeit von der Saugspannung h darstellbar ist • Ist das nicht möglich bzw. ist die F o r m der Funktion zu kompliziert, so müssen auch hier numerische Methoden angewandt werden.

2. FRAGESTELLUNG

Im folgendem wird eine numerische Losung für die lotrechte Wasserbewegung einer anfänglich mit Wasser gesättigten Boden-säule, an deren unterem Ende atmosphärischer Luftdruck h e r r s c h t , entwickelt. Die Problemstellung entspricht der Entwässerung eines mit Wasser gesättigten Bodenkörpers in eine darunterliegende gut durchlässige Schotter schichte mit tiefem Grundwasserstand, wobei vorausgesetzt wird, dass atmosphärische Luft ungehindert in den Schotter eindringen kann, sodass an der Unterseite des gesättigten Bodenkörpers atmosphärischer Luftdruck

herrscht.-Eine mit Wasser gesättigte Bodensäule (Fig. 4), an der das ' Wasser an ihrem unteren Ende frei abtropfen kann, sei mit Wasser

bis zur Höhe d über dem oberen Ende der Bodensäule über staut, _o

2 (cm) ! 1 1 & i'üÜ'i H (cm)

Fig. 4. Verteilung, der Standrohrspiegel -höhen bei Über Stauung einer

15

Infolge d e s an d e r O b e r s e i t e h e r r s c h e n d e n Ü b e r d r u c k s stellt sich eine s e n k r e c h t e W a s s e r b e w e g u n g ein und d e r W a s s e r s t a n d ü b e r d e r Bodensäule w i r d a l l m ä h l i c h a b s e n k e n . Die z e i t l i c h e Abhängig-keit d e r W a s s e r s p i e g e l l a g e ü b e r d e r Bodenoberfläche i s t gegeben d u r c h : Ô.3 , Z "FF = q = " k T 9 z _ k — - - T ' 9 t E i n I n t e g r a t i o n s s c h r i t t e r g i b t : In z = - ÏJ. . T + c ° l c = In z + £ . T und { n

= z >

° ° U = «

o n F ü r T = T ^ ., , T = T z • = z e r g i b t sich n k. in , - = - r <_{z i} T~ - T J x n o' b z w . ° r • (T - T J z = z . e n o n m i t r 'z = 1 + d ) n n * z. = 1 + d o o findet m a n s c h l i e s s l i c h : _{k . (T - T )} x n o ' d = (1 + d ) . e - 1 (21) n v o' x ' 1 d Nach d e r Z e i t (T - T ) = -f- . In (1 + —) (22) x n o ' k * e ' i s t d e r W a s s e r s p i e g e l b i s z u r Bodenoberfläche a b g e s u n k e n . B i s zu d i e s e m Zeitpunkt i s t die A u s f l u s s m e n g e q sowie die D r u c k v e r t e i lung b z w . die V e r t e i l u n g d e s E n e r g i e i n h a l t e s ( h y d r a u l i s c h e n P o -t e n -t i a l s ) a m B o d e n k ö r p e r ohne Schwierigkei-ten b e r e c h e n b a r :

1 + d

q = k . i . F ; I = —s

D e r in e i n e m Punkt g e m e s s e n e Energieinhalt bezogen auf eine V e r g l e i c h s e b e n e — in d i e s e m F a l l auf die u n t e r e F l ä c h e d e r B o d e n s ä u l e — s e t z t sich a u s d e r S u m m e d e r La genhöh e d i e s e s

Punktes und der in diesem Punkt gemessenen Druckhöhe zusammen:

H = z + h (23)

P v '

und ist identisch mit der sich einstellenden Wasserspiegelhöhe in einem in diesem Punkt gesetzten Standrohr - Standrohr spie gelhöhe. Die Geschwindigkeitshöhe h kann in der Regel als vernachlässig-bar klein ausser Acht gelassen worden. Ebenso wird angenommen, das s das osmotische Potential und das Gasdruckpotential konstant

sind.

Das Problem besteht nun darin, die Wassergehaltsverteilung, die Druckverhältnisse in der Bodensäule und die an der Unterseite der Bodensäule austretende Wassermenge nachdem die W a s s e r -oberfläche bis zur Oberfläche der Bodensäule abgesunken ist, in Abhängigkeit von der Zeit zu bestimmen.

3. NUMERISCHE LOSUNG

Zur Lösung dieses Problems ist die Kenntnis einiger Eigen-schaften des Bodens erforderlich. Vor allem m u s s die Saugspannungs-Wassergehaltsverteilungfwelche über die Grössenverteilung der Bo-denhohlräume Aufschluss gibt, als bekannt vorausgesetzt werden. Ebenfalls bekannt m u s s die kapillare Leitfähigkeit in Abhängigkeit vim Wassergehalt bzw. von der Saugspannung sein.Hysteresisef-fekte können bei dem untersuchten Problem ausser Acht gelassen werden; es ist nur jener Teil der Saugspannungs-Wassergehalts-linie zu beachten, v/elcher für die Wasserabgabe ermittelt wurde.

Unmittelbar nach Absinken des Wasserspiegels der Uberstau-ung bis zur Bodenoberfläche, bilden sich in den Bodenhohlräumen Menisken aus, die eine Kraft gegen die Schwerkraft auf die in den Bodenhohlräumen enthaltenen Wassersäule ausüben. Zu beachten ist, dass dann die Druckhöhe h stets negativ ist (Saugspannung).

Wegen des geringeren Festhaltevermögens werden sich zu-e r s t dizu-e grösszu-erzu-en Porzu-en zu-entlzu-ezu-erzu-en. Nimmt man an, dass dzu-er Bodzu-en einen geschlossenen Kapillarbereich von der Höhe h hat, so h e r r s c h t im Augenblick des Abreissens der Menisken der grössten Kapillaren von der Bodenoberfläche folgende Verteilung der Standrohr spie gel-höhen (siehe Fig. 5).

- 17

Z (cm)

F i g . 5. Verteilung der Standrohr spiegel-höhen unmittelbar vor dem Ab-reissen der Menisken von der Bodenoberfläche

Würden keine Kräfte infolge der Menisken wirken, so ergäbe sich das Standrohr Spiegelgefälle i = 1. Infolge der Gegenkraft der Menisken stellt sich somit unmittelbar vor der Entleerung der grössten Poren ein einheitliches Standrohr spie gelgef alle über die ganze Länge 1 der Bodensäule von

1 - h

< 1 _ein. (24)

Das Gefälle ist deshalb über die ganze Länge konstant, weil wegen der vollen Sättigung überall dieselbe Leitfähigkeit (= k ) h e r r s c h t und durch alle Querschnitte die gleiche Wassermenge fliesst. An der Unterseite wirkt der Luftdruck, hier ist die Stand-rohrspiegelhöhe gleich Null.

Infolge des Standrohrspiegelgefälles stellt sich eine vertikale Wasserbewegung nach abwärts ein, welche die teilweise Entleerung der Bodenhohlräume zur Folge hat. In einem beliebig kleinen Zeit-intervall At. fliesst infolge des Standrohrspiegelgefälles (Gleichung 24) die Wassermenge

(25)

Q4 = k. i At,

(bezogen auf die Flächeneinheit) durch die Bodensäule und tritt an der Bodenunterseite a u s . Diese Wasserbewegung führt zu einer teilweisen Entleerung der Bodenhohlräume unmittelbar unter der Bodenober-fläche, wobei sich die Menisken allmählich unter diese Burückziehen.

U m die B e r e c h n u n g e n zu v e r e i n f a c h e n , w i r d i m folgenden die S a u g -s p a n n u n g -s - W a -s -s e r g e h a l t -s l i n i e in eine T r e p p e n l i n i e z e r l e g t ( F i g . 6) W ( % ) F i g . 6- Z e r l e g u n g d e r S au g Spannung s • - W a s s e r g e h a l t s l i n i e in eine T r e p p e n l i n i e

In den g r ö s s t e n K a p i l l a r e n (Gruppe I, F i g . 6), d e r e n Anteil a m G e s a m t v o l u m e n Aw,% i s t , w e r d e n sich i m Z e i t i n t e r v a l l A t. die Menisken u m

A Z, . = - , til (26) 1,1 A w . , p

z u r ü c k z i e h e n . Die neue Lage d e r Menisken d e r g r ö s s t e n K a p i l l a r e n e r g i b t sich somit m i t

(27) • l . l = 1 " A zl , l

und d a s neue S t a n d r o h r spiegelgefalle a u s

xl =

zl , l -ho

»Li

(28) Mit d e m soeben e r h a l t e n e n , neuen S t a n d r o h r spie geigefälle i . (Gleichung 28) l ä s s t sich, wie v o r h e r gezeigt, für ein w e i t e r e s klei-n e s Z e i t i klei-n t e r v a l l At_ w e i t e r r e c h klei-n e klei-n . I m Z e i t i klei-n t e r v a l l At_ w e r d e klei-n

19

sich dann die Menisken in den g r ö s s t e n K a p i l l a r e n u m Az^ 2 z u r ü c k

-z i e h e n , s o d a s s d e r e n Lage a m Ende d e s Z e i t i n t e r v a l l s At- sich a u s

21 , 2 = Z1 , 1 - A Z1 , 2 e rSi b t*

Durch w i e d e r h o l t e B e r e c h n u n g d e r ä u s f l i e s s e n d e n W a s s e r m e n g e und d e r erfolgten A b s e n k u n g der. sich z u r ü c k z i e h e n d e n Menisken e r g i b t

sich nach e i n e r Z e i t T = Z i A t . eine Lage d e r Menisken z .

m 1 = 1 x l , m

(Fig. 7) für die d e r Abstand d e r M e n i s k e n von d e r Bodenoberfläche gleich i s t d e r Saugspannungsdifferenz zwischen P o r e n g r u p p e I und P o r e n g r u p p e II d e r a b g e t r e p p t e n S a u g s p a n n u n g s - W a s s e r g e h a l t s l i n i e :

( 1 _{' 1 , m} ) = A ^ (29)

Dann beginnen sich auch die Menisken in den H o h l r ä u m e n d e r n ä c h s t k l e i n e r e n P o r e n g r u p p e II allmählich z u r ü c k z u z i e h e n .

2<cm)

H(cm)

F i g . 7. Verteilung d e r S t a n d r o h r s p i e g e l -höhen u n m i t t e l b a r b e v o r sich die Menisken d e r P o r e n g r u p p e II von d e r Bodenoberfläche z u r ü c k z i e h e n

E s w i r d dann die W a s s e r b e w e g u n g in den beiden B e r e i c h e n (Gruppe I, Gruppe II d e r F i g . 8) getrennt b e t r a c h t e t (Fig. 8). Un-m i t t e l b a r u n t e r d e r Bodenoberfläche ziehen sich die Menisken d e r Gruppe II z u r ü c k . In d i e s e m B e r e i c h i s t die Leitfähigkeit g e r i n g e r a l s die D u r c h l ä s s i g k e i t k d e s g e s ä t t i g t e n B e r e i c h s I, da n u r d e r u m den A n t e i l d e r P o r e n g r u p p e I v e r m i n d e r t e Q u e r s c h n i t t d e r P o r e n für die W a s s e r b e w e g u n g z u r Verfügung s t e h t . U n m i t t e l b a r

Unter dem ungesättigten Bereich II schliesst der gesättigte Bereich I an, welcher bis zur Bodenunterseite reicht. Innerhalb jedes

die-ser beiden Bereiche wird einheitliche Leitfähigkeit und, während beliebig kleiner Zeitintervalle A t. .konstantes Standrohr spiegeige -fälle angenommen.

Wie vorhin beschrieben, verursacht das Standrohrspiegelge-fälle das Zurückziehen der Menisken in den Bodenhohlräumen und Transport des Wassers in den darunterliegenden Bereich bzw. Ausfliessen aus der Bodensäule an der Unterseite (wenn es sich um den unterstem Bereich handelt). Die Wassernachlieferung aus dem oberen Bereich II bewirkt eine Verzögerung des Zurückziehens der Menisken in dem unteren Bereich I. Das Zurückziehen der

Menisken in den Hohlräumen wird dabei in zwei Einzelschritte, die jedoch zur selben Zeit vor sich gehen, zerlegt gedacht (Fig. 8).

Z<cm)

H (cm)

F i g . 8. Schematische Darstellung des Zurückziehens der Menisken

der Porengruppen I und II

Vorerst ziehen sich im Intervall At. die Menisken im unteren Bereich I entsprechend dem Standrohrspiegelgefalle

Xl =

z. . - h

1,J o

ZA •

und der Leitfähigkeit k des unteren Bereichs um

Az ' l . j

l»j i w1 . p

(30)

21

z u r ü c k . Im gleichen Z e i t i n t e r v a l l fliecst jedoch a u s dem o b e r e n B e r e i c h II, e n t s p r e c h e n d d e s dort h e r r s c h e n d e n S t a n d r o h r ? p i e g e i g e f ä l -le s

(z 4 - h ) -(z - h )

i = -±i_" L i i J . 2 - (32)

und Leitfähigkeit k_ die W a s s e r m e n g e

Q , . = k , . i,. . At. (33) 2 , j 2 .u, j

in den u n t e r e n B e r e i c h I und v e r u r s a c h t eine Hebung d e r Menisken in den sich e n t l e e r e n d e n K a p i l l a r e n d e s u n t e r e n B e r e i c h s I u m

Q- .

A z s . = —£iJL_ (34)

11J A w4 . p

Somit b e t r ä g t die t a t s ä c h l i c h e Absenkung des Menisken im u n t e r e n B e r e i c h

A s . = A z . , - A z s , (35)

Die in d e m Z e i t i n t e r v a l l At. aus d e r Bodensäule a u s f l i e s s e n d e W a s -J

s e r m e n g e w i r d durch das S t a n d r o h r spiegelgefälle i . , und d e r D u r c h -l ä s s i g k e i t k d e s u n t e r s t e n B e r e i c h s b e s t i m m t .

D u r c h f o r t g e s e t z t e s W e i t e r s c h r e i t e n u m b e l i e b i g kleine Z e i t i n t e r v a l l e w e r d e n sich dann a l l m ä h l i c h auch die Menisken d e r P o r e n -gruppe IL so weit z u r ü c k z i e h e n , d a s s die P o r e n g r u p p e III sich zu e n t l e e r e n beginnt u s w . In w e i t e r e r F o l g e b e k o m m t m a n eine z u n e h -m e n d e Unterteilung d e r Bodensäule in B e r e i c h e v e r s c h i e d e n e r Durch-l ä s s i g k e i t e n und S t a n d r o h r s p i e g e Durch-l g e f ä Durch-l Durch-l e . Zu u n t e r st i s t i m m e r d e r g e s ä t t i g t e B e r e i c h m i t d e r g r ö s s t e n Leitfähifkeit, d e r Dxirchlässig-keit k. D a r ü b e r folgen B e r e i c h e m i t i m m e r g e r i n g e r w e r d e n d e r T e i l Sättigung und d a m i t v e r b u n d e n , m i t g e r i n g e r w e r d e n d e r L e i t -fähigkeit.

Nach j e d e m Schritt At. ergibt nich die neue Lage d e r Menisken e i n e r P o r e n g r u p p e in dem e n t s p r e c h e n d e n B e r e i c h a u s d e r v o r h e r -gehenden Lage abzüglich d e r Absenkung infolge d e r W s s s e r b e w e g u n g von d i e s e m B e r e i c h in den n ä c h s t t i e f e r e n B e r e i c h und zuzüglich d e r W a s s e r n a c h l i e f e r u n g a u s d e m n ä c h s t h ö h e r e n B e r e i c h :

Az = A z - A z s (36) n . x n , x n , x • '

z = z 4 - As (3?) n , x n , : : - 1 n , x '

Die Standrohr spie gelhöhe in einem Bereich ergibt sich aus der Lagenhöhe abzüglich der kapillaren Steighohe der für diesen Bereich massgebenden Porengruppe, das ist jene Porengruppe, welche sich in diesem Bereich zurückzieht:

H = z - h . , i = 0 , l , 2 , , N (38)

n , x n , x l v '

(N = Anzahl der Unterteilungen der Saugspannungs-Wasserge-halt s linie)

Die ausflies sende Wassermenge ergibt sich aus der Durchlässigkeit und dem Standrohr spie gel des untersten (gesättigten) Bereichs.

Als Endzustand stellt sich eine Wassergehaltsverteilung entsprechend dem Festhalte vermögen s des Bodens ein (Saugspannungs -Wassergehaltslinie).

4. EXPERIMENTELE ÜBERPRÜFUNG

Die in Abschnitt 3 angeführten theoretischen Überlegungen wurden im Laboratorium experimentell überprüft. Zu diesem Zweck wurden an einer Bodensäule in drei verschiedenen Höhen der zeit-liche Verlauf der Standrohrspiegelhöhenbeobachtet und mit dem theoretisch berechneten Verlauf verglichen.

Die experimentelle Oberprüfung wurde im Institut für Kul-turtechnik und Wasserhaushalt, Wageningen (Niederlande), durch-geführt. Die Berechnungen wurden am Institut für Numerische Mathematik an der Technischen Hochschule, Wien, mit einem Digi-talcomputer IBM 7040 und am Institut ABW-TNO in Wageningen mit einem Digitalcomputer IBM 1130 ausgeführt (Beschreibung d e s P r o

-g r a m m s : siehe Anhan-g).

4 . 1 . V e r s u c h s t e c h n i s c h e D a t e n 4 . 1 . 1 . Versuchssand

Verwendeter Boden: gesiebter und gewaschener Sand mit

vorwiegenden Korngrössenanteil zwischen 0.15 - 0. 3 mm (Poldersand P 61).

Saugspannung8-Wassergehaltsverteilung: siehe Fig. 9 und Tab. IV. Wasserleitfähigkeit in Abhängigkeit von der Saugspannung und vom Wassergehalt: siehe Fig. 10 und 11 sowie Tab. IV.

23 -Höhe d e r B o d e n s ä u l e : 1 = 80 c m P o r e n v o l u m e n : p = 3 7 , 2 % Höhe d e s g e s c h l o s s e n e n K a p i l l a r s a u m s : 33 c m . W a s s e r g e h a l t in _ % Sättigung 100 9 1 ' 2 82*4 73*6 6 4 ' 8 58*0 4 7 ' 2 3 8 ' 4 2 9 ' 7 20*9 Saugspannung h (cm) 33*0 34*5 35*5 37*0 38*0 3 9 ' 0 4 1 ' 0 4 3 ' 0 47*0 55*0 Was serleitfähigkeit ( c m / s e c ) 1 ' 1 3 8*00 5 ' 3 0 3*50 2 ' 3 0 1*50 6 ' 0 0 1*00 6*90 4 ' 0 0 . I Q "2 . 1 0 "3 . 1 0 "3 . 1 0 "3 . 1 0 "3 . 1 0 "3 . 1 0 "4 . 1 0 "4 . 1 0 "5 . 1 0 "7 T a b e l l e IV. W a s s e r l e i t f ä h i g k e i t d e s V e r s u c h s s a n d e s in Anhängigkeit v o m W a s s e r g e h a l t b z w . von d e r Saug Spannung 100Mo W) F i g - 9- S a u g s p a n n u n g s - W a s s e r g e h a l t s v e r t e i l u n g d e s V e r s u c h s s a n d e s

i.o£*ot

Fig. 10. Wasserleitfähigkeit in Anhängigkeit vom Wassergehalt für den Versuchs sand

K (cm/see) 102 -io-3 -104 -i n5 • • •

n

_{^ _..} \ , \ \ \ s 4 ——— • • 1

u

\

H

• , . .• \' 0 10 20 30 40 50 60 h (cm) F i g . 14. Wasserleitfähigkeit in Abhängigkeit von der Sau g Spannung

- 25

IMe Saugspannungs-Wassergehaltsverteilung, die Wasserleitfähigkeit bei verschiedenen Saugspannungen bzw. Wassergehalten s o -wie a l l e weitere durchgeführten Versuche wurden in einem Raum mit konstanter Temperatuur (20 C + 1) durchgeführt. Die Bestimmung der Wasserleitfähigkeit erfolgte nach der im Institut für

Kulturtech-nik und Wasserhaushalt, Wageningen, angewandten Methode (WESSELING and WIT, 1966) : siehe Fig. 12.

Zfcm)

H (cm)

Fig. 12. Bestimmung der kapillaren'Lieitr fähigkeit an einer Bodensäule nach der Methode WESSELING-WIT(1966) Einer Bodensäule wird am oberen Ende tropfenweise Wasser zugeführt. Nachdem sich ein stationärer Zustand eingestellt hat wird die durch die Bodensäule fliessende V'assermenge sowie an Tensio-metern die Druckverteilung längs der Bodensäule gemessen. Aus diesen Daten lässt sich dann das Wasserleitvermögen des i n t e r

-suchten Bodens errechnen:

q

k

u n s _{F . ôH}

a z

(39)

Die Saugspannungs-Was sergehaltslinie wurde nach der von DONAT (1937) beschriebenen Methode ermittelt.

4 . 1 . 2 . Versuchsanordnung (siehe Fig. 13)

An einer 80 cm langen Bodensäule wurde in drei verschiedenen Höhen ( 23, 53 und 73 cm) mit Tensiometern der zeitliche Verlauf der Standrohr spiegelhöhen gemessen. Die während des Versuches an der Unterseite ausgeflossene Wassermenge wurde kontinuierlich durch Wägung bestimmt und als Summenlinie dargestellt (Abschnitt 4. 2. 3. )

Vorerst wurde der Boden mit Wasser üb er staut und gewartet bis der Wasserspiegel bis zur Oberfläche abgesunken war. Aus der Dauer des Ab sinken s wurde die Durchlässigkeit k . berechnet. Danach wurde

S3X

mit den Beobachtungen der in Glasrökrchen gemessenen Standsrohr-spiegelhöhen begonnen. Z(cm) 80 70 60 50 40 30 20 10 Manometer / m n S H t M Ii r ' I I II II »I '. H San F I T - Jtauehter Schwamm *90mn «—y !• i1 ii

if

H i' il H i ii i ii i « 8-4mm ^7cm 5-TOmm Poldersand E 66

Ht

f»». Ë K Waag*

F i g . 13. Skizze der Versuchsanordnung

Um den Einfluss der aus dem Standrohr in die Bodensäule ü b e r -tretenden Wassermenge gering zu halten, wurde der zeitliche Verlauf der Höhe des Wasserstandes im Standrohr jeweils nur für ein Tensio-m e t e r beobachtet. Die Bodensäule wurde nach jedeTensio-m Versuch entleert, der Boden getrocknet und unter Beibehaltung des selben Porenvolumens (37' 2%) und der selben Durchlässigkeit (1" 13 - 10 cm/sec) unter

27

W a s s e r m i t Hilfe e i n e s V i b r a t o r s sorgfältig neu gefüllt. E s wurde d a -m i t e r r e i c h t , d a s s keine Lufteinschlüss die D u r c h l ä s s i g k e i t d e s Bodens v e r m i n d e r e n . Danach w u r d e das n ä c h s t e T e n s i o m e t e r i n s t a l l i e r t und d e r V e r s u c h w i e d e r h o l t .

4 . 1 . 3 . M e s s u n g d e r Saugspannung

A l s T e n s i o m e t e r w u r d e n etwa 5 c m lange M e s s i n g h ü l s e n m i t e i n e m I n n e n d u r c h m e s s e r von o" 8 c m v e r w e n d e t . Die M e s s i n g h ü l s e n w u r d e n m i t e i n e m s e h r feinem Sand (Sand S 62) gefüllt (WESSELING and WIT, 1966).

Höhe d e s g e s c h l o s s e n e n D u r c h l ä s s i g k e i t k K a p i l l a r s ä u m s (cm) ( c m / s e c ) s

200 4 . 1 0 "5

T a b e l l e V: Sand S 62

D e r Aufbau d e r T e n s i o m e t e r e r w i e s s sich nicht n u r wegen i h r e r Einfachkeit a l s s e h r z w e c k m ä s s i g , sondern auch wegen d e r w ä h r e n d d e r V e r s u c h e u n v e r ä n d e r l i c h e n D u r c h l ä s s i g k e i t .

A l s S t a n d r o h r e w u r d e n G l a s r o h r e m i t e i n e m I n n e n d u r c h m e s s e r von 1" 5 m m v e r w e n d e t . Die k a p i l l a r e Steighöhe in den G l a s r ö h r c h e n wurde m i t 1* 9 c m g e m e s s e n .

Die A u s w e r t u n g d e r in e i n e m S t a n d r o h r g e m e s s e n e n W a s s e r -stände erfolgte auf folgende W e i s e :

Jede W a s s e r s t a n d s ä n d e r u n g i m S t a n d r o h r i s t m i t e i n e r W a s s e r -bewegung d u r c h d a s m i t Sand gefüllte T e n s i o m e t e r v e r b u n d e n . Z u r Überwindung d e s W i d e r s t a n d e s i m T e n s i o m e t e r i s t ein D r u c k i m t e r

-schied AH zwischen den b e i d e n Enden d e s T e n s i o m e t e r s e r f o r d e r l i c h . E s i s t d a h e r d e r i m S t a n d r o h r g e m e s s e n e D r u c k n i c h t gleich d e m

D r u c k (bzw. Saugspannung) i m Boden. W i r d die z e i t l i c h e Ä n d e r u n g d e r

J T T

Höhe d e s W a s s e r s t a n d e s i m S t a n d r o h r m i t ^JL b e z e i c h n e t , d e r Q u e r s c h n i t t d e s S t a n d r o h r e s m i t fs, d e r Q u e r s c h n i t t d e s T e n s i o m e t e r s

m i t R , die m i t feinem Sand gefüllte Länge d e s T e n s i o m e t e r s m i t 1 ,

t *•

die D u r c h l ä s s i g k e i t d e s T e n s i o m e t e r s m i t kt und d e r U n t e r s c h i e d z w i s c h e n d e m S t a n d r o h r g e m e s s e n und i m Boden v o r h a n d e n e n D r u c k m i t A HU so gilt:

dH AH i . • I = K. • F . • dt s t t T (40) bzw. nach A H aufgelöst: dH AH

_u

₌

_{< -ar~ ) • ( F}

h'*.

(41) dH Die zeitliche Änderung des Wasserstandes im Standrohr (-rr— ) lSsst

sich aus der Tangente an die graphische Darstellung von H in Abhängig-keit von der Zeit T bestimmen.

lt • f

Der Faktor ( •«—i~^) wurde an der Bodensäule vor Durchführung

V

K

t

der Verschuche bestimmt (Fig. 14). Zu d i e s e m Zweck wurde der Boden mit Wasser überstaut, sodass längs der gesamten Bodensäule die gleiche Standrohr spie gelhöhe h e r r s c h t e . Danach wurde der Wasserstand im Standrohr erhöht und sein a n s c h l i e s s e n d e s Absinken in seine ursprüng-liche Lage beobachtet. Aus Gleichung (40) folgt für konstanten Druck im Boden: AH 2

k

t

. F

t l n (

s r g - )

(-r—r

1

-) = <

42

)

t ' *s T , - T i dHs d t

y

<y . Konstant«-s WaKonstant«-sKonstant«-serKonstant«-stand " • ' ; V

F i g . 14. Bestimmung der Durchlässigkeit der Tensiometerfüllung an der Bodensäule

39

Der in der Bodensäule erforderliche Druckverlust zwischen Tensio-meter und Bodenoberfläche wurde vernachlässigt, der Druckverlust in der Glaskapillare (Reibungsverlust) wurde jedoch berücksichtigt. Aus Messungen ergab sich:

dH_

(43) h = 6*025 . 1

v s dt

wobei 1 die Länge der mit Wasser gefüllten Kapillare beteutet. Der Druckverlust in dem etwa 50 cm langem Verbindung s schlauch zwischen Tensiometer und Standrohr (PVC, 0 8 mm) wurde vernachlässigt. 4 . 2 . Ve r s u c h s e r g a b n i s s e

4. 2 . 1 . Widerstand der Tensiometer

kf Ft

Aus den Vorversuchen ergaben sich folgende Werte für (—j—j—): s" t

V

F

t

s t

Tensiometer I Tensiometer II Tensiometer III

1*92. 10' 5*16 . 10' 1*07 . 10"2sec"4

Tabelle VI _dH

Daraus ergaben sich folgende Beziehungen zwischen •—rr— und AH ( s i e h e F i g . 15 und T a b . VII) dH s dt 0*2 0*11 0 ' 0 9 0*08 0 ' 0 7 0*06 0*05 0*04 0*03 0*02 0*01 AH ( c m ) u x ' T e n s i o m e t e r I 1 2 * 3 7*1 6*6 6*07 5*55 5*03 4*50 3*98 3*46 2*95 2 * 4 2 T e n s i o m e t e r II 40*5 2 1 * 2 1 9 ' 3 1 7 * 4 1 5 * 4 1 3 * 5 1 1 * 6 9*65 7 ' 7 0 5 ' 7 5 3*80 T e n s i o m e t e r III 2 0 * 6 0 1 1 * 2 4 1 0 * 3 1 9 ' 3 7 8*44 7*51 6*57 5 * 6 4 4*70 3*77 3*83 dH

Tabelle VII. Beziehung zwischen -JT— und AH

^ ( c m / s e c ) 10° Iff' 10

I,

II II / / / / / /

I

' / / / / / / / f Te TSK «t e er I / f / * / 10' 10" iHufcm)

Fig. 15. Darstellung der Beziehung zwischen dH

dt und AH _u

Zu beachten ist.dass in Fig. 15 bzw. Tab. VII die kapillare Steighöhe im Standrohr (1* 9 cm) b e r e i t s berücksichtigt i s t . Zusätz-lich muss jedoch noch der Druckverlust in der Kapillare (Reibungs-verlust) entsprechend Gleichung (43) berücksichtigt werden. Der

Maximalwert von ( , s ) war o' 5 c m / s e c und der Maximalwert von

1 war 75 cm. Daraus ergab sich ein maximal zu berücksichtigendes h von 0" 94 cm. _v

4 . 2 - 2 . Potentialverteilung

Die durchgeführten Versuche ergaben folgenden zeitlichen Ver-lauf der Wasserstandshöhen im Standrohr; siehe Fig. 16, voll ausge-zogene Linie.

- 31

Werden die Widerstände in den Tensiometern berücksichtigt, so ergibt sich ein um ÄH korrigierter Verlauf (strichlierte Linie in Fig- 16). Dieser stimmt mit den nach der vorliegenden Theorie berechneten Wer-ten (x in Fig. 16) gut überein.

aol-20 Tensiometer 1 100 200 HS (cm) 300 T(sec)

F i g . 16. Potentialverlauf in den 3 Tensiometern; beobachteter Verlauf (H )

s x x theoretische Werte (H)

4- 2. 3 . A u s g e f l o s s e n e W a s s e r m e n g e

In F i g . 17 i s t die a u s g e f l o s s e n e W a s s e r m e n g e a l s S u m m e n l i n i e ü b e r die Z e i t d a r g e s t e l l t . Die M e s s u n g d e r a u s g e f l o s s e n e n W a s s e r m e n g e begann b e i e i n e r Uberstauung d e s Bodens m i t e i n e r W a s s e r s ä u l e von 4*2 c m Hohe ü b e r d e r B o d e n o b e r f l ä c h e . Solange d e r Boden gesättigt i s t , gilt für die a u s g e f l o s s e n e W a s s e r m e n g e T - k ( t -T ) 1 + d. Q =

(1 + <U

F 1 k dt . e k . F ~ 1 k(T -x X 1 (1 + T ) o ' d o

+

'• ƒ

T o Const; T k . F "ï » o'

(unter Zuhilfenahme von Gleichung (22) ) für T = T gilt Q = 0

x o ° •> Const. = F (1 + d ); F ü r den u n t e r s u c h t e n F a l l ergibt sich m i t T = 0 :

Q = 5 3 5 6 ' 5 7 ( l . e -0*0001411. Tx ) ₍₄₄₎ dt = Qterr?) 4 0 0 3 0 0 200 100 --x-x * * • * x ^ , ' gesöttigt J L ungesättigt J L 100 200 300 400 500 600 700 800 900 (sec) F i g . 17. S u m m e n d a r s t e l l u n g d e r a u s g e f l o s s e n e n W a s s e r m e n g e g e r e c h n e t e Summenlinie x b e o b a c h t e t e W e r t e - . _. _. _. _. -Tangente b e i T = 360 sec

33

F ü r die Zeit (T - T ) nach Gleichung (231 nach der der Wasserspiegel bis zur Bodenoberfläche abgesunken ist, ergab sich rechnerisch 363 sec, beobachtet wurden 360 s e c Der Vergleich zwischen gerechneter und

gemessener Summenlinie ergab eine gute Übereinstimmung im gesättig-ten wie auch im ungesättiggesättig-ten Bereich.

Sehr deutlich ist eine Unstetigkeit in der Steigung der Tangente bei T = 360 sec zu erkennen. Dies folgt aus der Verminderung des

Standrohrspiegelgefälles unmittelbar nachdem sich die Menisken in die Bodenhohlräume zurückzuziehen beginnen. Die Steigung der Tangente im Punkt T = 360 s e c

q « ^ - = k . F . i (45) wurde für den noch gesättigten Bereich mit i = 1 gerechnet, für den

1 - h_ .

b e r e i t s ungesättigten Bereich jedoch mit i = —5—°- < 1 (siehe Gleichung

1 (24))

5. VERGLEICH MIT ANDEREN VERSUCHSERGEBNISSEN 5 . 1 . DAY a n d L U T H I N (1956)

DAY and LUTHIN (1956) ersetzen die entsprechende eindimensio-nale Differentialgleichung für vertikale Wasserbewegung

"ff

•

î V * .

f±)

(4)

durch die entsprechende Differenzengleichung. Abgesehen davon, dass ihr Verfahren langwierig ist, kommt die Zeit T als abhängige Variabele in ihrer Lösung vor, sodass eine Simulation für beliebige Zeiten nicht möglich ist. In Fig. 1.9 und 20 ist eine Gegebüberstel-lung ihrer Versuchsergebnisse für den von ihnen verwendeten Sand (OSCOFLACOSand)dargestellt. Fig. 18 und 19 geben die W a s s e r -gehalt sverteilung bzw. die kapillare Leitfähigkeit des Versuchssandes wieder ~

rur.s ks a t to 0 8 0.6 0.4 0 2 ~ -.1 p= 0,416 k ^ . 5 8 . 1 02 ._i—-""t cm/sec L 1 1 1 / 1 1 1 2 0 4 0 8 0 100 wC/o 1

F i g . 18. Kapillare Leitfähigkeit in Abhängigkeit

vom Wassergehalt für OSCO-FLACO-Sand (DAY and LUTHIN, 1956)

D e r V e r g l e i c h d e r V e r s u c h s e r g e b n i s s e von DAY and LUTHIN m i t den nach d e r v o r l i e g e n d e n T h e o r i e b e r e c h n e t e n W e r t e n zeigt n u r t e i l w e i s e Ü b e r e i n s t i m m u n g . Jedoch s t i m m t d a s von DAY and LUTHIN entwickelte n u m e r i s c h e V e r f a h r e n ebenso schlecht m i t i h r e n V e r s u c h s -daten ü b e r e i n . Dies kann die F o l g e davon sein, d a s s sie in d e r von

ihnen aufgestellten Differenzengleichung zu g r o s s e S c h r i t t w e i t e n annah-m e n . DAY and LUTHIN annah-m a c h e n für die s c h l e c h t e Ü b e r e i n s t i annah-m annah-m u n g i h r e r V e r s u c h s e r g e b n i s s e U n t e r s c h i e d e in den V e r s u c h s b e d i n g u n g e n — nicht h o m o g e n e r Boden, U n t e r s c h i e d e zwischen den an e i n e r a n d e r e n B o d e n s ä u l e e r m i t t e l t e n Bodenkennwerten und den Bodenkennwerten d e r v e r w e n d e t e n B o d e n s ä u l e , Änderung d e r k a p i l l a r e n Leitfähigkeit m i t d e r Z e i t — sowie b e g r e n z t e Genauigkeit i h r e r B e r e c h n u n g e n v e r -a n t w o r t l i c h . Aus F i g . 18 und 20 i s t jedoch -auch zu entnehmen, d -a s s die Verdunstung an d e r O b e r s e i t e d e r Bodensäule s t ö r e n d e n Einfluss a u s ü b t e . E s w u r d e d e r W i d e r s t a n d d e r von ihnen benutzten T e n s i o -m e t e r nicht b e r ü c k s i c h t i g t , w a s ebenfalls zu fehlerhaften E r g e b n i s s e n führt.

35

-F i g . 19- Wassergehaltsverteilung zu verschiedenen Zeiten," die experimenteilen Werte sind aus DAY and LUTHIN (1956) entnommen, die theoretischen Werte wurden nach der vorliegenden Theorie berechnet

Z (cm) 8 0 / : / V V 30 -/; / / i.

W //

3 6 6 7 7 3 1154 2 2 8 2 4 0 91 I 5 0 sec „ it I 6 0 H ( c m )

Fig. 20. Potentialverteilung zu verschiedenen Zeiten; die experimentellen Werte sind aus DAY and LUTHIN (1956) entnommen, die theoretischen Werten wurde nach der vorliegenden Theorie berechnet

Vfcm auch die Versuchsergebnisse von DAY and LUTHIN nicht genau

mit der dargelegten Theorie übereinstimmen, so ist jedoch zumindest derselbe Verlauf festzustellen.

5.2. W A T S O N (1967)

WATSON (1967) entwickelte eine numerische Lösung ähnlich der von DAY and LUTHIN (1956). Er verwendete jedoch für seine

Differenzengleichung eine andere F o r m der vorhin erwähnten Differen-tialgleichung:

de

F

9

(

D

« î - j

+

iS.

v dz' a z

dz (11)

und später (WHISLER and WATSON, 1968):

C . 3 h d h

d z ( k_{v 8 z '}

. |Jl) + 1JL

_{9 z}

wobei C = _"SIT de _{• • • • «} spezifische Wasserkapazität bedeutet*

to 0.8 Q6 04 -Q2 'sat p.0.35 k^l.86. *j2cm/sec i 1—wCV.)

Fig. 21. Kapillare Leitfähigkeit in Abhängigkeit vom Wassergehalt für den Versuchssand von WATSON (1967)

Bei der Durchführung seiner Versuche verwendete e r T r a n s -ducers zur Bestimmung der Druckverteilung im Boden und ein Gammastrahlengerät zur Bestimmung des Wassergehaltes. Diese v e r s u c h s -technische Anordnung gestattet kontinuierliche und zerstörungsfreie Messungen mit sehr kurzer Reaktionszeit. Fig. 21 und 22 geben die

37

-k a p i l l a r e Leitfähig-keit d e s V e r s u c h s s a n d e s ( g e s i e b t e r Sand 300 - 500 |i) und die S a u g s p a n n u n g s - W a s s e r g e h a l t s v e r t e i l u n g (T = °° ) w i e d e r Z<cm) 6 0 , -50 20 60 sec 300 sec 600 sec 1200 sec 4 0 6 0 80 100 F i g . 22. P o t e n t i a l v e r t e i l u n g zu v e r s c h i e d e n e n Z e i t e n ; die e x p e r i m e n t e l l e n W e r t e sind a u s WATSON (1957) e n t n o m m e n , die t h e o r e t i s c h e n W e r t e wurden nach d e r v o r l i e g e n d e n T h e o r i e b e r e c h n e t Zfcm) 6 0 I-M *» I-M 88 8 N <5 n

X

8 F i g . 2 3 . W a s s e r g e h a l t s v e r t e i l u n g zu v e r s c h i e d e n e n Z e i t e n ; die e x p e r i m e n t e l l e n W e r t e sind

a u s WAT SON ( 1967) e n t n o m m e n , die t h e o r e t i s c h e n W e r t e wurden n a c h d e r v o r l i e g e n d e n T h e o r i e b e r e c h n e t

I h r e V e r s u c h s e r g e b n i s s e s t i m m e n gut m i t den nach d e r d a r g e l e g t e n T h e o r i e b e r e c h n e t e n W e r t e n ü b e r e i n ( F i g . 22, 23).

Obwohl d a s von WATSON b z w . WATSON and WHISLER b e s c h r i e b e -n e -n u m e r i s c h e V e r f a h r e -n e b e -n s o gute Ü b e r e i -n s t i m m u -n g zeigt, i s t e s jedoch z u r Simulation n u r bedingt geeignet, da die Z e i t T w i e d e r a l s a b -hängige V a r i a b e l e in i h r e r Lösung v o r k o m m t , s o d a s s die Simulation für b e l i e b i g e Z e i t e n nicht möglich i s t .

6. ZUSAMMENFASSUNG

Es wird ein numerisches Verfahren beschrieben, welches die Simulation der vertikalen Entwässerung einer anfangs mit Wasser

gesättigten Bodensaule gestattet. Dabei wurde nicht von der entsprechen-den Differentialgleichung ausgegangen, sodern es wurde versucht^entsprechen-den Vorgang im Boden au verstehen und in die Sprache der numerischen Mathematik zu übersetzen. Den Ausgangspunkt bildete nicht das mathe-matische sondern das physikalische Modell.

Zu diesem Zweck wurde die instationaire Wasserbewegung in kleine Zeitintervalle At unterteilt. Die Bodensäule wurde in m e h r e r e Teile zerlegt gedacht, wobei angenommen wurde, dass jeder Teil

kont-stante Leitfähigkeit hat. F ü r jeden Teil wurde während des kleinen

Zeitintervalls A t eine Wasserbilanz aufgestellt. Die Differenz zwischen Zufluss — aus dem nächst höheren Teil — und dem Abfluss — in den nächst tieferen Teil — verursacht eine Lagenänderung der Menisken in den Bodenhohlräumen des betrachteten Teiles. Der Ausfluss aus der Bodensäule ist durch das Standrohr spie gelgef alle »und durch die Durch-lässigkeit des tiefsten Teil bestimmt.

Die beschriebene Berechnungstechnik ist nicht nur auf den hier beschriebenen Fall der Entwässerung einer anfangs mit Wasser gesät-tigten Bodensäule anwendbar. Mit Hilfe einiger Modifikationen ist diese Technik auch für andere Anfangsbedingungen verwendbar. Es müssen jedoch alle Bedingungen in physikalisch eindeutiger Weise beschreibbar

sein.

Das numerische Verfahren benötigt die Kenntnis einiger wichtiger Bodeneigenschaften:

- der Saugspannungs-Wassergehalteverteilung,

- der Wasserleitfähigkeit in Abhängigkeit vom Wassergehalt bzw. von der Saugspannung.

Die durchgeführten Versuche zeigten, dass es möglich ist aus der Kenntnis dieser Eigenschaften und mit Hilfe der beschriebenen Theorie die zeitlische Verteilung des Wassergehalts bzw. des Drucks im Boden bei der Entwässerung einer Bodensäule zu berechnen. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt jedoch von der Genauigkeit der An-gaben über die Bodeneigenschaften ab. Die Anwendung moderner, ge-nauer Labormethoden ist aus diesem Grund empfehlenswert.

- 39

Bei den durchgeführten Laborversuchen wurde eine Möglichkeit der Messung der im Boden veränderlichen Saugspannung erprobt. Die Methode nützt die Unveränderlichkeit der Durchlässigkeit spezieller Tensiometer aus und ermöglicht die Berechnung der im Boden vorhan-denen Saugspannung aus der durch das Tensiometer fliessenden

Was-sermenge.

Zur Erzielung entsprechender Genauigkeiten ist die Unterteilung in hinreichend kleine Intervalle sowohl hinsichtlich der Zeit wie auch dès Festhaltevermögens erforderlich. Der dabei zunehmende Rechenaufwand macht die Anwendung digitaler Rechengeräte notwendig.

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