Rotatorisch-symmetrische buiging van cirkelvormige platen

Rotatorisch-symmetrische buiging van cirkelvormige platen

Citation for published version (APA):

Janssen, J. D. (1966). Rotatorisch-symmetrische buiging van cirkelvormige platen. (DCT rapporten; Vol. 1966.002). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1966

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

AFDELING DER WERKTUIGBOUWKUNDE

LABORATORIUM VOOR TECHNISCHE MECHANICA

DEPARTMENT MECHANICAL ENGINEERING LABORATORY OF ENGINEERING MECHANICS

Rotatorisch-symmetrische buiging

van cirkelvormige platen

door

J.D. Janssen

T.H.

-

Report WE 66

-

O2

RORATORISCH-SYMMETRISCHE BUIGENG

VAN CIRKELVORMEGE

PLATEN.

door J.D. Janssen

---

Samenvatting

Op eenvoudige wijze kan de spanningsverdeling en het deformatie-

patroon voor een willekeurige, rotatorisch-symmetrische belasting

van een cirkelvormige plaat in integraalvorm uitgedrukt worden. De zo gevonden resultaten zijn erg charmant en lenen zich uitste- kend voor een verwerking met een digitale computer.

Het is bovendien mogelijk een plaat met sprongsgewijs veranderende dikte en een willekeurige, rotatorisch-symnetrische belasting door

C ^ LC. rekenen.

plaat met continueveranderende dikte.

Enige voorbeelden en een concept computerprogramma (Fortran) wor- den vermeld.

I 2 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 4 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 6 7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7 . 7 7.8 8 Basisvergelijkingen

Oplossing van de differentiaalvergelijkingen Algemeen

Bepaling g(r) en h(r)

Algemene oplossing voor M M en $

Plaat zonder gat

Plaat belast door een ringkracht

Bepaling van g en ho

Voorbeeld; massieve schijf Algemeen

Louter puntkracht bij r = O

r n

Verdeelde belasting volgens: q(r) = q

(E)

; (n20)

-

n

Ringkracht voor r = a met de grootte P per lengteeenheid

Willekeurig verdeelde belasting Waarde van de methode Bach

Plaat met sprongsgewijs veranderende dikte Concept computerprogramma

Al gemeen

Afmetingen en beiascing Randcondities

De gebruikte subroutine "Simpson"

De gevolgde werkwijze

Blokschema

Het Fortran programma (concept) Enige suggesties r' t O 1 1 2 5 5 6 6 10 12 15 17 17 18 18 19 20 22 25 33 33 3: 35 36 38 39 44 48 Conclusies 50

R : buitenstraal plaat.

AR : binnenstraal plaat.

r = pR radiale coördinaat.

h : plaatdikte.

4 : belasting van de plaat (kracht per oppervlakte).

r Mt

: radiale moment per lengteeenheid.

: tangentiële moment per lengteeenheid.

D : afschuifkracht per lengteeenheid.

P = 271P

*

: geconcentreerde kracht.

: ringkracht (kracht per lengteeenheid in omtrekrichting)

p 1

W : verplaatsing loodrecht op middenvlak van de plaat.

E radiale rek. r : tangentiële rek. t E dw di- $ = - : helling middenvlak. E elasticiteitsmodulus. V dwarscontractie coëfficient.

: functies van radiale coördinaat (betekenis zie tekst).

intearatieconstanten.

Gegeven is een ronde, dunne plaat met rotatorisch-syrmnetricche

belasting: q(r). De plaatdikte h is constant (fig. 2 . 1 ) .

I

h

I

t

R !

fig. 2.1 Ronde plaat.

Gebruik wordt gemaakt van de elementaire plaattheorie.

In fig. 2.2 is de tekenafspraak gegeven voor de radiale en tangentiële momenten per lengte-eenheid, de afschuifkracht per lengte-eenheid en

de verdeelde belasting per oppervlak; e-eenheid.

M = tangentiële moment M = radiale moment D = afschuifkracht t r fig. 2.2 Definities. -3-

De evenwichtsvergelijkingen voor een infinitesimaal blokje luiden (zie fig. 2 . 2 ) : d M =

-

(rM )

+

rD t dr r d qr =

-

(Dr) dr

De compabiliteitsvergelijking in de radiale en tangentiële rek is:

Omgewerkt in de momenten met behulp van de wet van Hooke voor vlak- spanningstoestand, vinden we:

of

dr

Mr

-

vMt

-

-

-

d d

Mr

-

vMt

=

-

dr (rMt)

-

v (rr)

,

Met behulp van (2.1) gaat deze vergelijking over in:

d l r

- vr$

=

-

(rM )

-

vM

+

vro t dr t t of: d

-

(rMt) = M dr r

-

vrD

Het probleem wordt dus beschreven door (2.1) en (2.4), waarbij D

volgens (2.2) met de uitwendige belasting gekoppeld is.

Dus : d qr =

-

(or) dr d Mr =

d;

(rMt) + VrD

Het is duidelijk dat vorenstaande differentiaalvergelijkingen alleen

daar gelden waar M en D differentieerbare functies van r zijn.

Aan de uitzonderingsgevallen zullen we nog nader aandacht besteden.

M

r' t

De randcondities voor de differentiaalvergelijkingen zijn gegeven

voor r = AR en r = R.

Meestal zal aan een bepaalde rand gelden: dw

dr

Mr = gegeven Óf C$ = - = gegeven (4: "helling" middenvlak)

en

D = gegeven Óf

w

= gegeven (w: verplaatsing middenvlak).

Het verband tussen C$ en M Mt luidt:

r'

=

-

12 r (Mt-vMr)

of

(3.1)

Nu D met (3.1) of (3.2) bekend is, kunnen de termen met D in ( 2 . 1 ) en

(2.4) als bekende functies van r beschouwd worden. De homogene verge-

lijkingen : d M ₌

_-

_{(rM )} t dr r d M =

-

(rM ) r dr t

hebben als algemene oplossing: 2

M r = c . + - 1 2

C

r

c 1 > c2: integratieconstanten.

Door variatie van constanten kunnen we de algemene oplossing van (2.1) en ( 2 . 4 ) vinden. Wij kiezen hiertoe:

h(r) 2 Mr = g(r) +

-

r ( 3 . 3 ) ( 3 . 4 )

3 . 2 Bepaling g(r) en h(r)

Substitutie van ( 3 . 3 ) en ( 3 . 4 ) in ( 2 . 1 ) en (2.4) levert de volgende

resultaten: g

-

- = h (rg

+

--)' h + rD 2 r h h 2 r r g +

-

= (rg

-

-)I

+

vrD of h' r rg'

+ - +

rD = O h' rg'

- y

+

vrD = O

Hieruit kan worden afgeleid:

Zg'

=

-

(l+v)D

waaruit weer volgt:

d dr.

1 = -

( 3 . 5 )

3 . 3 Algemene oplossing voor M+Mt en $ a

De integralen in ( 3 . 5 ) en ( 3 . 6 ) kunnen met de uitdrukking voor D ( 2 . 2 )

omgewerkt worden.

5

4 5 l o g

R

d5

r

-

(Dr)AR logh + Dr log - R

-

€=AR

Met behulp van ( 3 . 1 ) volgt hieruit:

~ - I Ir q 5 1%

-

dE D(5) dE = (Dr)AR log

-

AR +

I'

_{, E} r 5=AR

1

0: soortgelijke wijze geldt:

( 3 . 7 ) r

1

1 1

-

Dr3

-

2

D(AR)(AR)3

-

7

I

q C 3 d5 2 5=AR

Met behulp van ( 3 . 1 ) wordt deze betrekking:

Met behulp van ( 3 . 7 ) en ( 3 . 8 ) gaan (3.5) en ( 3 . 6 ) over in:

1

+v

g = g o - - 2 (3.9)

1 -v

h = h

- -

Voor M _r en Mt g e l d t d e r h a l v e ( z i e (3.3) en (3.4)):

l t V l o g

-

t

-

Mr = go tld. h

-

(Dr)hR

.

r2 [1

-

[+]']]

+

W i j hanteren de volgende afkortingen:

M en M gaan hiermee o v e r i n : r t r r (3.11) (3.12) (3.!?) (3.14) (3.15) (3.16)

Bevat de optredende belasting een ringkracht, dan blijven vorenstaande vergelijkingen geldig, mits de integralen als "Stieltjes-integralen" worden opgevat.

De termen met D(AR) kunnen eveneens bij de integralen worden geschoven

wanneer deze in de zin van Stieltjes worden gehanteerd, omdat (rand van de plaat) eveneens een ringkracht is.

Dus voor ( 3 . 1 5 ) en ( 3 . 1 6 ) kan geschreven worden:

D(XR)

( 3 . 1 7 )

( 3 . 1 8 )

Het is nuttig eveneens de algemene oplossing voor

( 2 . 5 ) ) .

Een simpele becijfering leert:

@ te vinden (zie 12. 12 ( i - v ) gr r

- -

12 ( i + v j

-

h0 + r O Eh3 r (M -vM =

-

Eh3 ' $ = - t r Eh3 12 ho

-

l 2 ( i - v ) g r

-

5

( i + v )

-

+ r Eh Eh3 O ( 3 . 1 9 )

3 . 4 Plaat zonder gat

Wij willen nog onderzoeken in hoeverre de hier gegeven formules geldig zijn voor een volle schijf (XR=O). In het bijzonder willen wij het ge-

val van een puntkracht P op de plaats r=O onderzoeken.

We merken op dat wanneer P de enige belasting is, voor D geldt:

P

_-

Pf D(r) =

-

= 2nr r * P met P = - 2n r (Dr)AR log

-

_AR De term

val kan dus de integraal:

verliest voor AR-tO zijn betekenis. In dit ge-

(zie (3.5))

niet zonder meer worden berekend, omdat de integraal naar oneindig gaat

voor c+O. We kunnen dit "omzeilen" door op te merken, dat de onder-

grens in deze integraal een "constante" levert, die samengevoegd kan

worden met g in de uitdrukkingen voor M en M

We willen liever opmerken dat in de uitdrukkingen voor g en h (zie (3.5)

en (3.6)), als benedengrens bij de integratie niet:

XR

gekozen hoeft

te worden. We kunnen even goed in alle uitdrukkingen AR vervangen

door

constanten worden.

Als P de enige belasting is en als de ondersteuning van de plaat

zich bij r=R bevindt, gaan de formules (3.15) en (3.16) over in:

t'

r

of met Y * h l + h J - p * l + v l o g

-

r 2 R r2 4 Mr = go

-

P Y I4 = g o + P

*

- + J L - P " - l O g - 1-v h r t 4 2 R r2 Y I-v ho ho + P

-

₄ R2

Voor @ geldt dan (zie ( 3 . 1 9 ) ) :

Y

-

-

(i+") _o h +

.

@(r) = r [(l-v)go i. 4 r Eh3 12 r R (3.20) ( 3 . 2 1 ) (3.22)

Omdat voor r + O 4 = O (symetrie) moet zonder meer gelden:

De formules (3.20) en ( 3 . 2 1 ) maken duidelijk dat er bij r = O een

logaritmische singulariteit optreedt in M en ME.

r

Dit brengt ons er toe de algemene oplossing voor M en M a l s

AR = O

geïsoleerd wordt.

r t

Lie merken daartoe nog op, dat voor het geval de volle plaat belast

wordt door q(r)

,

waarbij

en (3.19) geen moeilijkheden

overal. Met name voor r=O is de integraal niet oneindig. Dit betekent dat bij beschouwing van het punt r=O de integralen nul worden. Uit de

eis dat $(O)=O volgt dan:

bestaat, de formules (3.17),(3.18)

[q

r=+û

everen. De optredende integralen bestaan

Voor een volle plaat (hR=O) zijn de algemene oplossingen:

(3.23)

(3.24)

(3.25)

Eierin is P een eventiieel aanwezige puntkracht in r=G. Gok de hier

voorkomende integralen worden opgevat in de zin van Stieltjes, met de

uitzondering, dat een geconcentreerde kracht in r=O reeds geholeerd

is.

3.5 Plaat belast door een ringkracht

We gaan uit van de formules voor een plaat met een gat. Opgemerkt wordt, dat voor een volle plaat dezelfde werkwijze kan worden gevolgd.

r

'$ = - l 2 r

( M ~

- "I.

Eh3

Wij kiezen als belasting een ringkracht

een straal r = a.

De oplossing is dan:

Pl(a) per lengteeenheid op

ha

Mt = go

-

r2

h

A

-

P1 F(a;r)

r

We moeten controleren of deze set formules voor

r

= a voldoet aan

de overgangscondities voor Mr en Er moet dan gelden:

4. h ? h a2 a2 go

+

A

= go +

A

-

P 1 F(a;a) a2 a2 P 1 [G(a;a)

-

vF(a;a)

1

h ?

-

(l+u) -Q A

-

( l + V )

ha.

-

Uit (3.13) en (3.14) volgt:

F(a;a) = G(a;a) = O.

Er is dus inderdaad aan de overgangscondities voldaan. We merken op dat niet alleen

4 r en M

@ en M continue zijn, maar tevens r

4 . Bepaling van g o en

h,

De constanten go en hg die in de algemene oplossing voor

Mr,

Mt

en

binnenrand r = AR en de buitenrand r = R.

Voor een plaat zonder gat stante

Voor r = AR

@ voorkomen, moeten bepaald worden uit de randcondities voor de

(zie ( 3 . 4 ) ) wordt de enige aanwezige con-

bepaald uit de conditie voor r =

R.

8 0

(A # O) zijn de volgende condities mogelijk:

i ) r = AR

dus

2) r = AR

Mr = M~~ (gegeven)

Ook voor de buitenrand r = R kan Ó f Mr Ó f

4

voorgeschreven zijn.

Dus: 2) r = R @ = 4 R ( i - V ) go R

-

( i + V ) R Eh3 ( 4 . 3 )

Uit de combinaties (4.1), (4.3); (4.1), (4.4); (4.2), (4.3) of (4.2),

(4.4) zijn de constanten go en ho. op te lossen en uit te drukken

in de gegeven randvoorwaarden en in integralen van de

vorm:

Voor een massieve schijf wordt de enige constante bepaald uit:

i ) r = R 2 ) r = R M

= %

r I , - \ L V I \ R ₄ (1-v) g. R 4 P

-

4n

I

$JR =

-

Eh3

-

fR q ( 5 ) [G(<;R)

-

uF(S;R)] di] & O (4.5)

5.1 Algemeen

fig. 5.1

We beschouwen het geval van een massieve plaat, belast door

P (zie fig. 5 . 1 ) en aan de buitenrand

Uit ( 3 . 2 3 ) volgt dan uit M

(r

= R) = O:

q(r) en

r = R opgelegd.

r

R

(5.1)

Op dezelfde manier kunnen de resultaten voor Mt en 6 worden neer-

geschreven. We willen slechts een paar bekende resultaten uit deze

formules laten volgen. We bepalen ons daarbij tot de controle van M

.

r Ne verwijzen naar "Handbook of Engineering Mechanics" van W. Flügge,

3 - 2 6 e.v.

5.2 Louter puntkracht b i j r = O In d i t g e v a l g e l d t : n 5.3 Verdeelde b e l a s t i n g volgens q ( r ) = qn

[$)

; (n

1.

O) W i j berekenen a l l e r e e r s t : U i t de d e f i n i t i e v e r g e l i j k i n g v o o r F ( 5 ; r ) ( z i e (3.13)) v o l g t : Omdat : r r (5.3)

*

g e l d t voor Mr:

*

R

R” M = - I

r

= - % I

Het radiale moment Mr is nu:

( 5 . 4 )

Voor n = O (de bekende) :

(gelijkwaardige belasting) gaat deze vergelijking over in

3+ v

r 16 ‘o R 2

M = - -

5 . 4 Ringkracht voor r = a met de grootte P 1 per lengteeenheid

Voor r < a geldt:

wanneer r

,

a geldt daarentegen:

( 5 . 5 )

Uitgewerkt levert d i t : r 5 a

-

R I-v r a

1.

M = P l a l o g R

+

i-v a2

-

---I

a2 r 5.5 Willekeurig v e r d e e l d e b e l a s t i n g (P = O) We k i j k e n s l e c h t s naar Mr en Mt voor r = O (Mr = Mt). E r g e l d t dan: (5.7)

We merken op dat wanneer q(r) voor !dere waarde van r h e t z e l f d e teken b e z i t , de extreme waarde voor M o p t r e e d t v o o r r = O. Imers

omdat r

g e l d t

s i g n

I 1

F(6;r) = s i g n (r

-

<)

Mr op een w i l l e k e u r i g e p l a a t s wordt gegeven door:

A l s b i j v . q(r)

2

O v o o r a l l e r, i s Mr(o) > O. Bovendien g e l d t z o a l s eenvoudig i s i n t e zien:

(5.9)

D i t betekent d a t

dus

D i t betekent weer:

Het r a d i a l e moment i s dus nergens g r o t e r dan v o o r r = O a l s q(r) ner-

gens n e g a t i e f wordt.

Beschouwen w e i n d i t g e v a l ook nog h e t v e r l o o p van w e op L a t :

Mt(r), dan merken

G(5;r) i F(5;r)

(het g e l i j k t e k e n alleen als 5 = r)

(5.10)

Aangezien v o o r M g e l d t : t

i s hiermede aangetoond d a t :

volgt G(S;r) >

O

als 5 < r.

Hieruit volgt dat Mt(r) de extreme waarde bereikt bij r = O.

De resultaten van het voorgaande kunnen we als volgt samenvatten:

Als bij een massieve plaat

volgende ongelijkheden:

q(r) nergens negatief wordt, gelden de

Dit betekent dat volgens het criterium van Coulomb-Mohr-Guest, de zwaarst belaste plaats te vinden is bij

Belangrijk voor de ideële spanning is:

r = O.

(5.13)

5.6 Waarde van de methode Bach

Er bestaat een methode volgens Bach die een benadering pretendeert te leveren voor de ideële spanning door slechts het globale evenwicht van de halve plaat te beschouwen.

Deze methode verloopt als volgt:

T I

I

-"t

1

oplegreactie P

per lengteeenheid

Het momentenevenwicht van de halve plaat levert:

( 5 . 1 4 )

In de benadering van Bach wordt de ideële spanning gekoppeld aan het

.

..

~

;i gemi:',delde" tangentrele moment M

--Bach'

Veronderstellen we dat q(r)

maximale moment op voor r = O. De mate waarin de functie 5 ( 1

- g)

afwijkt van F(5;R)

5.

weergegeven de functies:

R

niet van teken verandert, dan treedt het

5

bepaalt dan de waarde van de benadering van Bach.

In grafiek 1 zijn als functie van

Deze laatste functie is voor drie waarden van

v

n.l.

v

= O, 0.3 en

0.5 getekend.

We constateren dat de waarde van

v

een vrij aanzienlijke invloed

heeft. Bevindt de belasting zich voor het merendeel bij

is de benadering van Bach redelijk te noemen. Wanneer de belasting

v o o r a l rond h e t hart van de p l a a t geconcentreerd i s , moeten de resul- t a t e n volgens Bach verworpen worden.

fBach

I I

O 0.2 0.4 0.6 0 . 8 1

-

5

*

R g r a f .

1

Als benadering voor een plaat met continu variërende dikte als functie van r, kan gerekend worden met een plaat die voor discrete waarden van r een sprong in de dikte vertoont.

We beschouwen het systeem uit fig. 6.1:

---7

----!

fig. 6.1 Plaat met verspringende dikte.

en buitenstraal R.

1

Voor de i-plaat, met dikte hi; binnenstraal R.

is de algemene oplossing:

1-

1

De optredende integralen worden weer opgevat in de zin van Stieltjes.

verschillend zijn. Deze constanten worden bepaald uit de randcondities

voor r = R en r = R en uit de overgangscondities bij r = R. 1

(i = I , . . , n-i).

Wij onderzoeken de overgangscondities op de plaats Zij luiden:

O n

r = R.. 1

M~(R.) = M, i+ 1 (R;)

r i

Uit ( 6 . 3 ) , (6.4) en (6.5) volgt de overgangsconditie voor Mt(Ri):

Ri Mt(Ri)

-

vMr (Ri) = Eh? 1

i i

i

of h? [Mrl(Ri)

-

wMr(Ri) i 1 Dus : i i

Wanneer voor plaat i aan de buitenrand Ri Mr(Ri), en 4 (Ri) be-

kend zijn, is het mogelijk voor piaat(i+ll) de constanten g(i+l)o en

te bepalen uit de overgangscondities (6.4), (6.5) en (6.6). h(i+~)o

i n het algemeen geldt immers (.rij laten de index o bij g en h weg):

h. i -1 Mr(Ri-l) = gi +

-

R* i-

1

Dus:

Als M:.(Ri) en Mi(Ri) bekend zijn, zijn met (6.4), (6.6), (6.7) en

(6.8) de constanten gi+l

Veronderstel nu dat voor

voorgeschreven zijn.

De werkwijze kan d2n a l s v o l g t zijn:

te bepalen. en r = Ro Mi(Ro) en voor r = R C(Rn) n h l = O,

en de belasting q(r) zoals is voorgeschreven. Op iedere plaats van

plaat 1 zijn dan M' en Mt te bepalen. Met name

kunnen berekend worden. Voor de constanten van plaat

(zie (6.4) en (6.6)):

1

1

1

Mr(Rl) en Mt(R1)

r

1 J w a a r b i j 3 a . 1 =

[+I

_(6.9) Voor p l a a t i g e l d t dan: i.

(6.11)

Voor d e n - p l a a t i s h e t moment a a n d e b u i t e n r a n d t e berekenen u i t :

(6.12)

Evenzo wordt %tt = M:(Rn) gevonden. In h e t algemeen is M'

aan Mr(Rn).

o n g e l i j k

r

n

Neem bovendien q(r) 5 O.

Op dezelfde manier als hiervoor zijn alle platen door te rekenen. Voor

het moment bij r = R vinden we:

n

Ik = M~(R )

r r n

Het is duidelijk dat de keuze:

h =

-

A RE,

1

een oplossing levert die overal aan de evenwichts- en overgangsrelaties voldoet en aan de randconditie

Bij deze oplossing zal gelden:

M ~ ( R ~ ) r =

k

r i Ik r Voor i'

'M

+ A %l r = c(Rn) r dus voor -n M ( R ) - % r n r A = r IIM

is bovendien voldaan aan de randconditie voor r = R,.

Luidt aan de buitenrand de randconditie:

(6.13)

(6.14)

Def iniëren we:

dan moet voor A gelden:

Dus :

(6.15)

Als aan de binnenrand niet Mr maar 4 i s voorgeschreven 4 = T(Ro)

dan makei, we Ye volgende vraagstikkea:

h = O

1

q : voorgeschreven belasting

I n dit geval is voldaan aan de randconditie

De karakteristieke grootheden aan de buitenrand z i j n :

L.

Kies : g1 = 1

q E O

Dit betekent dat $(r = O) = O (zie bijv. (3.19)).

Voor r = R geldt:

vervolgens wordt gesteld:

Eh;

-

+(Eo)

*

-

12 ( 1 -u ) Ro gl

-

(6.16) h, =

x -

1 -v R2 l+v o

A wordt bepaald uit de randcondities voor r = R en volgt afinankeiijk

van het feit of M of $ voorgeschreven is uit de vergelijkingen

(6.13) of (6.15).

n

r

In het voorgaande is steeds verondersteld dat R

#

O.

We onderzoeken nu het geval dat plaat

De enige constante die bepaald moet worden is en (3.25)).

We kiezen

O

1 een massieve plaat is.

(zie (3.23), (3.24)

81

g1 = 1 en berekenen via de overgangscondities voor r = R _n :

De keuze g _I = X levert resultaten die een factor A groter zijn dan

Als voor r = R M:(R~) = $(Rn, geldt: n

Is 4 voorgeschreven dan i s :

(6.17)

7.1 Algemeen

I n het voorgaande zijn de formules afgeleid

het verloop van het radiale- en tangentiële moment en de helling van het middenvlak voor een plaat met sprongsgewijs veranderende dikte te

bepalen. De belasting kan willekeurig gekozen worden.

De gevonden formules lenen zich uitermate goed voor een numerieke be- rekening.

Wij merken op dat het hier gegeven p r o g r a m nog niet getest is en zeker nog verbeterd zal kunnen worden (zie suggesties).

die ons in staat stellen

7.2 Afmetingen en belasting

7.2.1 Afmetingen

In fig.

7.1

zijn de aandu gen voor de geometrische parameters van

de plaatconstructie gegeven, z o a l s ze in het computerprogram ge-

bruikt worden.

I

I gat ais R(I) # O

--

FH(I) -

I

t

1

De plaat I (I = 2,3,..,N) bezit dus de binnenstraal R(I-I) en

de buitenstraal R(I), terwijl

de dikte FH(I) wordt

genoemd.

Als R(1) = O hebben wij te doen met een plaat zonder gat.

7.2.2 De verdeelde belasting

We denken aan de plaat gesplitst in een aantal delen, gevormd door

concentrische cirkels.

In ieder deel is de belasting voorgeschreven als een polynoom in de

afstand tot het hart van de plaat.

De graad van het polynoom kan willekeurig gekozen worden (kleiner dan lol), maar moet voor ieder deel hetzelfde zijn.

De belasting is dus gegeven als hieronder is aangegeven. Opgemerkt

wordt dat de afstand tot het hart

-

SX genoemd wordt.

beiasti92

R(1)

- -

< SX < RA(1) A(1,l) t A(1,2) * S X t

....

..

t A(1,K) # SX #* (K-1) t

....

..

t A(l ,NN)

*

SX U* (NN-I)

RA(1-1) <

sx

-

< RA(1) A(1,l) t A(I,2) i SX t

....

..

t A(1,K) 1l SX

**

(K-1) t

....

..

t A(I,NN) 1l SX

**

(NN-I)

RA(NQ-I) < SX

-

< RA(NQ) = R(NS)

A(NQ,l) t

....

t A(NQ,NN)

*

SX

**

(NN-Z)

De graad van de polynomen heet NN-I.

De plaat is verdeéld door de cirkels met straal

waarbij RA(NQ) = R(NS) (buitenstraal van de plaat).

RA(K) (K =

1,.

.

,NQ)

7.2.3 Ringkrachten

Op een cirkel met straal

voorkomen ter grootte P(1) per lengteeenheid in omtreksrichting.

Voor een volle plaat

een puntkracht P

(1

)

( R(1)

=

O )

in het centrum

van

de plaat.

kan

E(1)

nul zijn. Er komt dan

In het voorgaande is steeds verondersteld dat geldt:

Verondersteld is tevens dat de plaat statisch bepaald ondersteund is.

De gegeven oplossing is toe te passen voor een ringvormige onder- steuning op een willekeurige plaats.

De plaats van de ondersteuning wordt gegeven door

van de ondersteuningskracht P(1) moet van te voren berekend worden.

Deze laatste beperking kan weggenomen worden door de computer deze kracht te laten berekenen.

W(I), de grootte

7 . 3 Randcondities

Voor R(1) en R(NS) zijn randcondities gegeven. O f het radiale mo-

ment of de helling van het middenvlak heeft een voorgeschreven waarde. Afhankelijk van de waarde van de variabele

de verlangde randcondities.

KCON kiest de computer

KCON =

1

= 2

= 3

= 4

R(1)

moment gegeven moment gegeven

moment gegeven helling gegeven

helling gegeven moment gegeven

helling gegeven helling gegeven

De voorgeschreven grootheid aan de binnenrand wordt

buitenrand CON2 genoemd.

Voor een volle plaat moet KCON 3 of 4 gekozen worden, terwijl

CON1 = O

nul van het middenvlak, zoals uit symmetrieoverwegingen duidelijk is.

CONI, die aan de

7 . 4 D e g e b r u i k t e subroutine "Simpson"

Voor h e t berekenen van i n t e g r a l e n b e s t a a t b i j de r e k e n g r o e p e n sub- r o u t i n e , "Simpson" genaamd, waarmee een i n t e g r a a l

b

i = f ( x ) dx, berekend kan worden. a

Voor de subroutine z i j n d e volgende gegevens nodig:

a, b, f ( x ) v o o r a l l e a < x c b de t o e l a a t b a r e a b s o l u t e f o u t : de t o e l a a t b a r e r e l a t i e v e f o u t : E

- -

El 2

Verder kan door de d r i e Booleans ISBLl, ISBL2 en ISBL3 "false"(0) of lltruets( t e nemen nog een s t a p g r o o t t e en een minimale s t a p g r o o t t e ge- suggereerd worden.

G e b r u i k e l i j k -zeker v o o r d i t programma- i s d e keuze: ISBL1 = O

ISBL2 = O ISBL3 = O

Voor de subroutine beginnen a l l e namen met een S. Verder g e l d t : a + SA b + SB x +

sx

f + SFX gewoonlijk: E? + SER

-

-

I ( i n t e g r a a 1 ) + SD4

Subroutine berekent i n t e g r a a l en verwij st naar Hoofdprogramma GO TO 2051 ~~ ~~~ ~ ~~ ~~~ ~ ~ ~ ~~ ~~

H e t blokschema v o o r het gebruik van de subroutine Simpson z i e t e r a l s v o l g t u i t : H o o f d p r o g r m a Bereken i n t e g r a a l GO TO Subroutine GO TO 2000 Subroutine Vraagt integrand GO

To

2050 H o o f d p r o g r a m 2050: Integrand

I

Hoofdprogramma 2051 : I n t e g r a a l i s bekend.

Opmerking: Aan h e t einde van h e t h o o f d p r o g r a m staat geen "END". Na h e t h o o f d p r o g r a m moet d e subroutine Simpson inge-

7 . 5 D e gevolgde werkwijze

Voor een p l a a t m e t sprongsgewijs veranderende d i k t e wordt d e werkwijze gehanteerd d i e i n 6

gat gebeurt in d r i e stappen:

i s aangegeven. De berekening v o o r eenplaat met

l e s t a p

---

Ze s t a p

---

d e constanten g(GBEG) en h(FHBEG) voor d e eerste p l a a t worden zo gekozen d a t aan de randvoorwaarden aan d e binnen- rand voldaan is. M e t inachtneming van d e b e l a s t i n g m r d t met

behulp van de overgangscondities i n i e d e r sprongpunt het ra- d i a l e buigend moment ( W M ) en d e h e l l i n g van het midden- vlak aan d e buitenrand bepaald (HOEK);

de b e l a s t i n g wordt nul genomen. Voor d e e e r s t e p l a a t worden GBEG en FHBEG zo gekozen, d a t d e i n aanmerking komende r a n d c o n d i t i e aan de binnenrand n u l i s .

Ook nu worden Mr en

4

aan d e buitenrand berekend. S u p e r p o s i t i e van de r e s u l t a t e n u i t d e l e s t a p en d e Ze s t a p l e r e n hoe FHBEG en GBEG aan de binnenrand gekozen moeten worden, opdat ook aan d e r a n d c o n d i t i e aan d e buitenrand voldaan is.

3e stap M e t d e nu bekende GBEG en FHBEG wordt d e p l a a t nogmaals doorgerekend, nu weer met meeneming van de b e l a s t i n g .

~~ ~ ~~ ~~ ~~ ~ ~~ ~ ~~ ~~~~~

A l s de p l a a t geen g a t h e e f t kan de tweede s t a p v e r v a l l e n , omdat s l e c h t s

een constante bepaald h o e f t t e worden.

C e b i j de d e f i n i t i e v e berekening (38 s t a p ) berekende r a d i a l e en tmgen-

t i ë l e momenten en d e h e l l i n g van h e t middenvlak j u i s t vóór een sprong

i n d e p l a a t worden uitgeponst. Op andere p l a a t s e n z i j n d e z e g o o t h e d e n

n i e t berekend.

Voor een p l a a t met constante d i k t e wordt d e z e l f d e werkwijze als h i e r - v o o r toegepast. Ce p l a a t wordt i n NS-I d e l e n g e s p l i t s t gedacht. D i t

betekent d a t d e ~ b e p a l i n g d e r constanten u i t d e r a n d c o n d i t i e s langs een

v r i j g r o t e omweg gebeurt. Hierin i s zeker v e r b e t e r i n g te brengen, maar

-

39

-

7.6 BLOKSCHEMA

LEES NS, NQ, NN, NP

LEES SEA, SER

@TA%

I

I

KEUS =

1

I

SUBROUTINE

I

o

_-

-

L

-

-

-

3

_-

r JA

I

I

I FUNCA =

0,

R(I+1) FUNCA = 2.

*

SX LOG

*

sx

t

FUNCB = 4. FÜNC = FUNCA + FUNCB

-

t

~

-

SUBROUTINE SiMPSON

-

I

I

-

I KEUS =

2

L =

1

9-

.

t

!

~~

-

JA-

-

(1

.-FNU) RADM = RADM TANN = TANM + P(L)

*

Li.ri I d _. c-

.

..

I

I

FUNC = FUNCA + FUNCB

GUNC = FUNCA

-

FUNCB RADM = RADM

-

P(L)

*

FUNC TANM = TANM

-

P(L)

*

GUNC

NEEN r

-

.

JA

_-

- L = L+1

-

I

I

-

2

-

Ir

t -

FHBEG

RADM = GBEG +

R(I+I)

**

2

R(I+I)*(TANM

-

FNLI e W M )

*

12 HOEK E

*

FH(I+I) 3 NEEN FHBEG GBEG

-

R(I+I)

**

2 TM

t

!

1

GBEG = 0 . 5 e RADM + ALP e TANM +

I

+

(1.-ALP) % FNU W M

FHBEG = 0 . 5

*

RADM

-

ALP

*

TANM +

+

(I.-ALP)

*

FNLI

*

RADM

I

-

-

t

I PUNCH

R(I+I), W M , TANM, HOEK

W A = RADM

TANA = TANM HOEKA = HOEK

+

c

FHBEG = -R(1)

**

2 % R(l)

**

2

,

1

F0OF :2-=3 4 ,

RADB

I

FLAB = FLAB = CON2-HOEKA

I FH(2)

**

3 + CONI + FL^ E

I

( 1. -FNLI)i (-1

.+Fwy

FHBEG = FLAB Y R( 1 )

**

2 % NTEL = 3 t

-

I

NAAR BEGIN PROGRAMMA

7.7 H e t F o r t r a n p r o g r a m m a ( c o n c e p t )

C FORTRAN PROGRAMMA NR.... DATUM

C ROTATORISCH-SYMMETRISCHE BUIGING VAN RONDE PLATEN

DIMENSION R ( 1 0 0 ) , F H ( 1 0 0 ) , RA(lOO), A(iOO,iOO), RP(100), P ( 1 0 0 )

-~

2 FORMAT (E10.4, 3 FORMAT ( 1 4 , 2X 4 FORMAT (E10.4) 8 FORMAT (12, 2X I

_,

I ISBLl = O ISBL2 = O ISBL3 = O

1 4 ACCEPT TAPE 2 , E, FNU EPL = E / 1 2 FACI = (l.+FNLT)/Z FAC2 = (I.-FNU)/4 ACCEPT TAPE 3 , NS, NQ, NN, NP ACCEPT TAPE 4 , R ( I ) I F (SENCE SWITCH 1 ) 1 5 , 3 0 15 DO 20 I = 2, NS 2 0 ACCEPT TAPE 2 , R ( I ) , FH(1) GO TO 4 5 30 ACCEPT TAPE 5, R ( N S ) , FH(NS) 35 DO 4 0 I = 2 , NS FH(1) = FH(NS) F I =

1-1

FNS = NS-l FF = FI/FNS 40 R(I) = R ( I ) + FF

*

( R ( N S - R ( ~ ) ) 4 5 DO 60 I = 1 , NQ

ACCEPT TAPE 4 , RA(1) DO 5 0 K = 1 , NN

60 CINTINUE

DO 70 I = 1 , NP

70 ACCEPT TAPE 2 , RP(I), ?(I) ACCEPT TAPE 8, C O N I , CON2 I F (R(1)) 7 4 , 8 2 , 74

74 GO TO (75, 75, 8 0 , 801, KCON 7 5 GBEG = CON1

GO TO 81

80 GBEG = EPL

*

FH(2)

**

3

*

CONl/((I.-FW)

*

R ( 1 ) ) 8 1 FHGEB = O. NTEL = 1 GO TO 83 82 FHBEG = I . GBEG = O. NTEL = 4

83 ACCEPT TAPE 2 , SEA, SER NSS = NS-I 85 DO 300 I = 1 , NSS GO TO ( 8 7 , 2 2 5 , 8 7 , 87), NTEL 87 SA = R ( I ) SB = R ( I + I )

mus

= 1 90 GO TO 2000 2050 I F (ABS(SX-0.1

**

5 ) ) 99, 99, 100 99 FUNCA = O. GO TO 1 0 5 ~~

1 0 0 FUNCA = FACI

*

SX

*

LOG ( R ( I + l ) / S X )

1 0 5 FUNCB = FAC2

*

SX % ( 1 . - ( S X / R ( I + l ) )

**

2 )

FUNC = FUNCP. + FUNCB

GUNC = FUNCA

-

FUNCB

DO 150 K = 1 , NQ I F (SX-RA(K)) 110, 110, 150 110 FQ = A(K,1) 1 1 5 DO 1 2 0 M = 2 , NN 120 FQ = FQ + A(K,M)

*

SX

**

GO TO 160 I50 CONTINUE

160 170 175 205 1 200 210 215 220 225 226 230 225 233 235 240 250 300 GO TO (170, 175), KEUS SFX = FUNC

*

FQ GO TO 2040 SFX = GUNC

*

FQ GO TO 2040 GO TO (200, 210), KEUS

RADM = GBEG + FHBEG/R(I+l)

**

2

-

SD4

KEUS = 2 GO TO 2000

TANM = GBEG

-

FHBEG/R(I+l)

**

2

-

SD4

DO 230 L = 1 , NP

IF (RP(L)-R(1)) 230, 215, 215

IF (RF'(L)-R(I+l)) 220, 250, 250

IF

(RP(L)) 225, 225, 226

RAüM = RADM

TANM = TANM + P(L)

*

FAC2

*

0.3183099

GO TO 230

FUNCA = FAC1

FUNCB = FACZ

*

W(L) (Ï.-(RP(L)/R(I+~)) Y* 2)

~~. ~~ .~ 1 i I ~~ ~~~ ~~ ~~ ~ ~~ ~~

FUNC = FUNCA + FUNCB

GUNC = FUNCA

-

FUNCB

RADM = RAüM

-

P(L)

*

FUNC

TANM = TANM

-

P(L) Y GUNC

CONTINUE

HOEK = R(I+I)

*

(TANM-FNU

*

RADM)/(EPL

*

FH(I+;)

**

3)

-~ ~~~~ ~~~~ ~~~ ~~ ~~ ~-~~ GO TO (233, 225, 233, 2331, NTEL

RADM = GBEG + FHBEG/R(I+I)

**

2

TANM = GBEG

-

FHBEG/R(I+l)

**

2

IF (I-NSS) 235, 240, 240

ALP = (FH(I+~)/FH(I+~))

**

3

DEEL = RADM + (1.-ALP)

*

FNU

*

RADM

GBEG = 0.5

*

(DEEL

+

ALP TANM)

FHBEG = 0.5

*

(DEEL

-

ALP

*

TANM)

GO TO (300, 300, 250, 300), NTEL

PUNCH TAPE 10, R(I+I), RADM, TANM, HOEK

CONTINUE

310 RADA = RADM TAIiA = TANM HOEKA = HOEK GO TO ( 3 2 0 , 3 2 0 , 3 3 0 , 3 3 0 ) , KCON 320 GBEG =

1 .

FHBEG = - R ( I )

**

2 NTEL = 2 GO TO 85 330 GBEG = 1 . FHBEG = ((l.-FNU)/(I.+FNLI)) f R ( 1 )

**

2 NTEL = 2 GO TO 85 350 RADB = RADM TANB = TANM HOEKB = HOEK GO TO (360, 3 7 0 , 360, 370), KCON 360 FLAB = (CON~-RADA)/RADB GO TO 380 3 7 0 FLAB = (CON2-HOEKA)/HOEKB 380 GO TO (390, 390, 4 0 0 , 4 0 0 ) , KCON

390 GBEG = CON1 + FLAB

FHBEG = -FLAB

*

R ( 1 ) *+ 2 NTEL = 3 GO TO 85 400 GBEG = E P L Y F H ( 2 )

**

3 % C O N l / ( ( l . - F N U )

*

R ( i ) ) + FLAB H B F G = NTEL = 3 GO TO 85 F?&3 V R f l > +w 2 Y fl.-FNIJ$/<I.*EbTII) 420 GO TO ( 4 3 0 , 4 3 0 , 4 4 0 , 4 5 0 ) , KCON 440 FLAB = CON2/RADM GO TO 455 450 FLAB = CON2/HOEK 455 GBEG = O. FHBEG = FLAB NTEL = 3 GO TO 85 500 CONTINUE GO TO

....

7.8 Enige suggesties

1 .

2. 3.- 4. 6.

Met het concept-programma uit

7.7

wordt het radiale entangentiële

buigend moment en de helling van het middenvlak

(HOEK) alleen berekend waar een sprong in de plaatdikte optreedt (ai dan niet gesuggereerd).

Een verbetering wordt verkregen door bij de definitieve berekening (3e stap) deze grootheden op meerdere plaatsen te berekenen.

(RADM en TANM)

Het bepalen van de integratieconstanten voor een plaat met constan-

te dikte gebeurt zeer omslachtig. Met een verbetering zoals in

7.1

gesuggereerd, zou dit veel sneller kunnen.

De lijnkracht bij de ondersteuning moet van te voren airgerekend worden. Het is zeer wel mogelijk het programa te wijzigen, zodat de computer dit zelf doet.

Het programma berekent

-

niet de verplaatsing

dw

het middenvlak. Een manier om dit te doen is uit de waarde van

d;

op een aantal plaatsen door integratie

w

te vinden.

B i j gebruik van dit p r o g r a m kan w niet rechtstreeks berekend

worden met subroutine Simpson, omdat

-(r)

niet bekendis in ieder

punt r.

Het is ook mogelijk een algemene integraaluitdrukking voor

w

af

te leiden en dan op dezelfde manier als hiervoor te werk te gaan.

w

van een punt van

dw dr

Voor een plaat met continu veranderende dikte

dit programma een benadering. Naarmate de plaat een groter aantal delen met constante dikte verdeeld wordt, zal (tot het ogenblik dat numerieke afrondingsfouten vervelend gaan worden), een betere benadering gevonden worden. Van de computer zou gevraagd kunnen

worden de verdeling zo te maken, dat de resultaten bijv.m drie

cijfers nauwkeurig zijn.

h

= h(r) bevat

Zowel voor een plaat met constante dikte als voor een plaat met continu veranderende dikte moet nagegaan worden of hetEchtstreeks

beter tot de yerlangde resultaten Toert.

7. In een aantal standaardboeken zijn voor ringplaten factoren aange- geven, die de maximale spanning en de maximale doorbuiging bepalen voor een aantal belastingsgevallen. Deze factoren zouden gecontro-

leerd kunnen worden. Zie bijv. "Flügge" Handbook of engineering mechanics: p.

-

39-30, table 39.7

8.

_{________--}

Conclusies

Het blijkt heel goed mogelijk om integraaluitdrukkingen te vinden waar- uit de interessante fysische grootheden voor een rotatorisch-symmetri- sche belasting van een ronde plaat volgen. Deze uitdrukkingen zijn bo- vendien geschikt om omgezet te worden in rekenprocedures.

Er treden geen onoverwinnelijke problemen op voor massieve platen ter- wijl variaties in de plaatdikte in rekening gebracht kunnen worden. De gegeven prograrmnatekst kan zodanig gewijzigd worden dat een redelijk optimaal programma verwacht kan worden.

De hier gevolgde weg moet vergeleken worden met een werkwijze waarbij

de differentiaalvergelijkingen numeriek geintegreerd worden (Runge

-

Kutta).

Overwogen kan worden of een analoge computer gebruikt kan worden bij het oplossen van de differentiaalvergelijkingen. Het feit dat een onaf- hankelijk variabele optreedt lijkt deze dogelijkheid reëel te doen zijn; de randcondities voor verschillende waarden van deze onafhankelijk vari- abele leveren wellicht onoverkomelijke moeilijkheden.