Hoofdstuk 6 Product- en quotiëntfuncties

Hoofdstuk 6:

Product- en quotiëntfuncties

V-1 a. _{f x( ) 11 6  x}11_11x7 10 8 10 8 77 '( ) 66 77 66 f x x x x x      b. g x( ) 4x35 125 2 5 12 5 _{5 2} 12 '( ) 5 g x x x      c. _{m x( ) 4(2x5)}2 3 3 16 '( ) 4 2(2 5) 2 (2 5) m x x x          d. 3 1 2 3 ( ) n x x  x 2 2 3 '( ) 3 n x  x  x V-2 a. u x( ) 3 x4 en k u( ) 6 u '( ) 3 6 9 2 3 4 k x u x     b. _{u x( )x}2_{8x20 en l u( ) u} 2 1 4 '( ) (2 8) 2 2 8 20 x l x x u x x        c. _{p x( ) x 4x}2_4x1_16 2 2 4 '( ) 1 8 4 1 8 p x x x x x        d. 12 1 71 2 ( ) 7 q x  x  x 1 112 1 117 2 14 ₇ 7 1 '( ) 3 2 14 q x x x x x x x         V-3 a. _{f x( )} x3 2 _x2 2 x x     b. '( ) 1 10 0 2 g x x    2 2 '( ) 2 '(1) 4 f x x x f    2 10 5 x x   25 x  In (25, -25) is de helling 0. V-4 a. _{f x'( ) 4 x}3_{8x 0 b. g x'( ) 4(3x4) 3}3_{  12(3x4)}3 _0 2 4 ( 2) 0 0, 2, 2 2 (max), 2 (min) x x x x x y y          1 3 3 4 0 1 2 (max) x x y     c. _{h x( ) ( x1)(x}2 _{6x9)x}3_7x2_{15x9 d. afgeleide: zie V-2b} 2 2 3 5 27 '( ) 3 14 15 0 (3 5)( 3) 0 1 3 1 (max), 0 (min) h x x x x x x x y y             '( ) 0 4 0 4 2 (min) k x x x y      V-5 a. _{f x'( ) 12 x}3 _24x2 _{12 (x x}2 _{2) 0} 0 2 x  x 

V-6 a. 1 2 1 4 '( ) ( 6 )a (2 6) a f x _ a x _ x  _ x_ 2 1 1 1 1 4 4 '(3) (3 6 3)a (2 3 6) ( 9)a 0 0 a f  a        a     b. f_a'(8) 3 1 1 1 1 4a 16 10 2 a 162 3 a a      Voer in: 1 1 1 22 16 x y  x  en y2 3 intersect: x 1,05 1 a. x 4 0 4 x  b. c. _(x2_{ 1) x 4 0} 2 2 1 0 4 0 1 4 0 1 1 4 x x x x x x x                 2 a. _{(2x 1) (x}3_{8) 0 b. (x}2 _{9x14)(x}2_{2x4) 0} 3 3 1 2 2 1 0 8 0 2 1 8 2 x x x x x x              2 _{9 14 0} 2 _{2 4 0} ( 2)( 7) 0 2 7 1 5 1 5 ABC formule x x x x x x x x x x                        c. 2 5 ( x 3) 3x 8 0 d. _(x2_{ 3) 3x}2 _0 2 5 2 5 1 2 2 3 3 0 3 8 0 3 3 8 7 2 x x x x x x            2 2 2 2 3 0 3 0 3 3 3 3 x x x x x x              

3 Ze vergeet te kijken naar het domein: 2 x 0 2

2

x x

  

 dus x 4 valt buiten het domein en is dus geen nulpunt.

x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 -4 -6

4 a. _(x2_{ 9) 2x 4 0 b. (6) 0} p f  2 2 9 0 2 4 0 9 2 4 3 3 2 x x x x x x x                 (36 ) 16 4(36 ) 0 36 p p p       c. _(x2_{ 1) 2x 4 0 d. (x}2_{p) 2x 4 0} 2 2 1 0 2 4 0 1 2 4 1 1 2 x x x x x x x                 2 ₂ 2 2 4 0 x p x x p x p x p               2 4 p p  

Voor 0 x 4 zijn er drie oplossingen. Voor p0 en p4 zijn er twee oplossingen en voor p0 is er slechts één oplossing.

5 Nee. _{h x( ) x x}3_ 5 _x8 _{is dalend voor x0 en stijgend voor x0.} 6 a. 1 1 3 5 2 2 8 (1 ) 8 (1 ) 4 f    b. ₈ 3 P y  p 5 15 1 2 8 16 1 4 6 OPQR Opp    ₍₈ 3_{) 8} 4 OPQR Opp   p p  p p c. _{A p'( ) 8 4  p}3 _0 3 3 2 2 p p 

 De maximale oppervlakte is dan A 8 32 2 32 6 32

7

a. x 2 0 en x 3 0 voor x 3 b. x 2 0 en x 3 0 voor   3 x 2

en voor x2 zijn de beide termen positief c. f x( ) 0 voor x 3 en x 2.

Voor   3 x 2 is f x( ) 0 (de grafiek van f(x) is een dalparabool)

d.

8

a. x, x4 en x7

b. als x4 dan zijn alle factoren positief. c. 0 x 4: alleen x4 is negatief

7 x 0

   : alleen x7 is positief 7

x  : alle factoren zijn negatief

d. Voor x  7 en 0 x 4 is g x( ) 0 . Voor de andere waarden van x is g x( ) 0 .

9 a. _{f x( ) (1 x x)(} 2_{3x4) 0} 2 1 0 3 4 ( 4)( 1) 0 1 4 ( 1) x x x x x x x x               

Er zijn twee nulpunten. b. c. 10 a. b. x 4 0 c. f x( ) 0 4 : 4 f x D x   3 26 0 x x    De verticale asymptoot: x4 d. onzinnige vraag

11 een breuk is gelijk aan 0 als de teller gelijk is aan 0 en de noemer niet

a. 7x 3 0 b. 3x 2 0 d. _x2_{6x0 e. x}3_{ 8 0} 3 7 7x 3 x   2 3 3x 2 x     ( 6) 0 0 6 x x x en x     3 ₈ 2 x x   c./f. De functies h en m hebben geen nulpunten

12

a.

b. De grafiek van f heeft één nulpunten. c. _x2_{5x14 0} ( 7)( 2) 0 7 2 x x x x       

d. Voor x2 is de noemer ook 0. Die valt dus buiten het domein. Er is sprake van een 0

0

" " situatie: de grafiek heeft een perforatie. 1 4 (2, 2 ) P 13 a. b. x 4 0 4 x  c. verticale asymptoot: x 4. d. dat doen we dus niet

e. als x heel erg groot wordt, wordt -6 in de teller en -4 in de noemer verwaarloosbaar. 3 6 3 ( ) 3 4 x x f x x x      : de functiewaarden naderen 3. f. ja g. horizontale asymptoot: y 3 x y 2 4 6 8 10 12 14 -2 -4 2 4 6 8 10 -2 -4 -6

14 Vert. asymptoot (noemer 0) Hor. Asymptoot (voor grote waarden van x) a. 3 6 x 0 7 1 6 6 ( ) x 1 x f x  _   1 2 x 1 6 1 y   b. _9x2 _0 2 3 3 ( ) x x x g x  _  _ 2 ₉ 3 3 x x en x     0 y  c. 2x 7 0 4 2 ( ) _x 0 h x   1 2 3 x y 0 d. _x2_{ 1 0} 2 2 ( ) x 1 x k x  

geen vert. asymptoot y 1

e. x 2 0 3 ₂

( ) x x

l x   x

2

x  geen hor. asymptoot

f. _x2_{3x x x( 3) 0} 2 2 ( ) x 1 x m x   0 3 x   x  y 1 15

a. verticale asymptoot: x 4 en geen horizontale asymptoot b. geen verticale asymptoot en horizontale asymptoot: y 0 c. verticale asymptoot: x 0 en horizontale asymptoot: y 0 d. 2 _{5 6 ( 2)( 3)} ( ) 2 2 x x x x k x x x        

De grafiek van k (de rechte lijn: y  x 3) heeft een perforatie in (2, -1)

16 a. 15 7,2 5 60 0,0785 0,0034T     7,2 285 7,2 285 0,0785 0,0034 0,0785 0,0034 0,025 0,0034 0,053 16 T T T T         b. 0,0785 0,0034 T 0 23 T 

c. Als de watertemperatuur 23° is zal de overlevingstijd heel groot worden. De lichaamstemperatuur zal niet onder de 30° worden.

17

a. in de buurt van x3 zullen de functiewaarden heel erg groot worden. b. verticale asymptoot: x 3

c. horizontale asymptoot: y 0

18

a./c. De grafiek van f heeft een verticale asymptoot: x2 resp. x 5 b./d. De grafiek van f heeft een horizontale asymptoot: y  3 resp. y 7

19 a. lim 1 0 xx  en 1 lim 0 xx  b. Omdat 1 1 n n x x  

  _{ } geldt voor alle waarden van n: lim 1_n 0 xx  en

1 lim _n 0 xx 

c. Dit geldt ook voor ( ) 1 n n n c g x c x x    _{   }   . 20

a. dit doen we dus niet met een tabel

b. 1 7 8 1 (5 7) 5 5 7 ( ) 7 8 (7 8) 7 x x x x x x f x x x            c. lim ( )_xf x _xlim ( )_f x  57 d. horizontale asymptoot: 5 7 y  21 a. 6 2 11 11 6 ( ) 5 2 5 x x x f x x       11 1 5 5 lim ( ) lim ( ) 2 xf x xf x   H.A.: 1 5 2 y  b. 5 3 6 5 6 ( ) 5 3 5 x x x g x x       6 1 5 5 lim ( ) lim ( ) 1 x g x x g x        H.A.: 1 5 1 y   c. 2 2 4 2 2 2 10 3 3 4 2 ( ) 4 10 4 x _x x x x h x x         3 4 lim ( ) lim ( ) xh x xh x  H.A.: y  34 d. 2 3 9 2 2 3 ₁₂ 2 9 ( ) 12 3 3 x _x x x x k x x       0 3 lim ( ) lim ( ) 0 xk x xk x    H.A.: y 0 22 a. _1x2 _0 1 1 x   x Domein:    , 1 1, 1  1, b. 2 2 2 2 2 2 6 2(1 ) 6 8 2 ( ) 2 1 1 1 1 x x f x x x x x            c. 2 2 8 1 2 ( ) 1 x x f x    en 2 1 lim ( ) lim ( ) 2 x f x x f x        H.A.: y 2 d. 8 2₂2 0 1 x x    2 2 8 2 0 4 2 2 x x x x        23 a.

c. De afgeleide van Floris is overal groter of gelijk aan 0, dus zou de grafiek overal stijgend moeten zijn.

d. _{f x( )x}3_{2x 2x}4 3 '( ) 8 f x  x 24 a. -b. O l b l b l b l b l b l b l b l b x l b x x x x x x x x x  _      _  _  _  _{      }  V V V V V V V V V V _V V V V V V V V V V V c. f x( ) O l b l b l b p x( ) q x( ) p x( ) q x( ) x p x( ) q x( ) x x x x x x x  _  _      _{      }   V V V V V V _V V V V V V V V

d. De noemer gaat kwadratisch naar 0 en de teller lineair. e. f x'( )p x q x'( ) ( ) p x q x( ) '( ) 25 a. _{f x'( ) 12 x}2_(x5_{5) (4 x}3_{ 3) 5x}4 _12x7_60x2_20x7_15x4 _ 7 4 2 32x 15x 60x    b. _{g x'( ) (1 2 ) (  x  x}3_{7) (1  x x}2_{) (3 ) x}2 _ 3 4 2 3 4 4 3 2 (x 7 2x 14 ) (3x x 3x 3 ) 5x x 4x 3x 14x 7             c. _{h x'( ) (6 x 5) (6x}2_{9 ) (3x  x}2_{5 ) (12x  x9)} 3 2 2 3 2 2 3 2 (36x 54x 30x 45 ) (36x x 27x 60 x 45 ) 72x x 9x 90x            d. _{k x'( )  7 (x}4_{5 ) (4 7 ) (4x}2 _{  x  x}3_{10 )x } 4 2 3 4 2 4 3 2 ( 7x 35 ) (16x x 40x 7x 70 )x 14x 16x 105x 40x             e. 2 2 1 4 10 5 '( ) (8 ) (4 10) 8 10 2 2 2 x l x x x x x x x x x x x x           26 a. _{f x'( ) 2 (3  x2)}4_{(2x 1) 4(3x2) 3 2 (3}3_{   x2)}4_{12 (2 x1)(3x2)}3 b. _{g x'( ) 3(3 x1) 3 (5}2_{  x}2_{8) (3 x1) 10}3_{ x  3 (3x1) (5}2 _x2_{8) 10 x(3x1)}3 c. '( ) 7 3 (7 4) 1 1 7 3 7 4 2 3 2 3 x h x x x x x x              

27 Wat een leerlingpesterij!!

a. 2 2 1 3 6 '( ) 6 2 (3 6) 1 6 2 2 2 2 2 x f x x x x x x x x              b. _{g x( ) ( x}2_{ 1) 5(x}3_4)1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 10 5( 1) '( ) 2 5( 4) ( 1) 5( 4) 4 ( 4) x x g x x x x x x x                c. '( ) 2(1 3 ) 3 (6 2 ) (1 3 )2 1 2 2 k x x x x x x          d. 4 5 1 1 4 '(x) (4 ) 2 6 2 6 h x x x x       

28 a. _{K p'( ) 2 ( p p 3)}4_p2_4(p3)3 _{2 (p p3)}4_{4 (p p}2 _3)3 b. _{... 2 ( p p3)(p3)}3 _{4 (p p}2 _3)3 _{2 (p p3) (}3_{ p 3 2 ) 2 (3p  p p3)(p3)}3 _{ (6p}2_{6 )(p p3)}3 c. _6p2 _{6p0  (p3)}3 _0 6 ( 1) 0 3 0 0 1 3 p p p p p p             29 a. _{g x( ) 4( x7)}3_{5 (x x7)}3 _{(4 5 )( x x7)}3 b. _{h x( ) 2(2 x1)}3 _5(2x1)2 _{(2x1) (2(2}2 _{x 1) 5) (2 x1) (4}2 _x3) c. _{k x( ) 2 ( x x}2_{ 1) 5(x}2_1)2 _(x2_{1)(2x5(x}2_{1)) ( x}2_{1)( 5 x}2_2x5) 30 a. _(x2_4)(x2 _{8x12) 0} 2 2 2 4 0 8 12 0 4 ( 2)( 6) 0 2 2 6 x x x x x x x x x                  b. _{f x( ) ( x}2 _4)(x2_{8x12)x}4_8x3_8x2_32x48 3 2 '( ) 4 24 16 32 f x  x  x  x 2 2 3 2 '( ) 4( 2)( 4 4) (4 8)( 4 4) 4 24 16 32 f x  x x  x  x x  x  x  x  x c. f x'( ) 0 2 2 0 4 4 0 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x              31 f x'( )p x( ) ( ( ) ( ))' q x r x p x q x r x'( ) ( ) ( )   ( ) ( '( ) ( ) ( ) '( )) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) p x q x r x q x r x p x q x r x p x q x r x p x q x r x p x q x r x                   32 a./b. 2 2 2 1 2 2( 2) 2 '( ) ( 2) 1(1 2 ) 2 2 (1 2 ) (1 2 ) 1 2 x x f x x x x x x x                   2 2 2 2 2 2 (1 2 ) 2( 2) 2 (1 2 ) 2 ( 2) (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) x x x x x x x x x                33 a./b. 1 2 2 2 2 2 ' ' ' ' ' ' ' ' 1 ' t t n t n t n t n t n f t n t n n n n n n n                    c. Ja! 34 a. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 1 2 1 2 1 '( ) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x f x x x x              

b. 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 ( 4) 2 (2 2 ) (2 8 ) 6 '( ) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x x x x f x x x x               c. 2 2 3 4 2 4 2 2 2 2 2 (4 ) (3 5) ( 5 ) 2 ( 3 7 20) ( 2 10 ) '( ) (4 ) (4 ) x x x x x x x x x f x x x                   4 2 2 2 17 20 (4 ) x x x      d. 2 2 2 2 (1 2 ) (2 3) ( 3 ) (1 4 ) '( ) (1 2 ) x x x x x x f x x x             2 3 3 2 2 2 2 2 2 ( x 3 8 4 ) ( 4 13 3 x) 5 2 x 3 (1 2 ) (1 2 ) x x x x x x x x x                  35 2 2 2 ( 2) 4 (4 3) 1 (4 8) (4 3) 11 '( ) ( 2) ( 2) ( 2) x x x x f x x x x                '( ) 0

f x  voor alle waarden van x.

36 a. _x2_{3x x x( 3) 0} 0 3 x  x  b. verticale asymptoot is x 1 c. 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) (2 3) ( 3 ) 1 (2 3) ( 3 ) 2 3 '( ) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x x x x x f x x x x                   d. f'(0) 3 e. f x'( ) 0 2 _{2 3 ( 3)( 1) 0} 3 1 ( 3, 9) (1, 1) x x x x x x en              37 a. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) 1 2 1 2 1 '( ) (1 ) (1 ) (1 ) x x x x x x f x x x x              b. _1x2 _0 2 1 1 2 2 1 1 1 ( 1, ) (1, ) x x x en        c. _{f x'( ) (1 x}2_{) (1 x}2₎2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 x 4 x(1 ) "( ) 2 (1 ) (1 ) 2(1 ) 2 (1 ) (1 ) x f x x x x x x x x                    2 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 x(1 ) (4 (1 ) 2 x 2 (4 4 ) 2 6 (1 ) (1 ) (1 ) x x x x x x x x x x x               

d. f x"( ) 0 3 2 1 1 4 4 2 6 2 ( 3) 0 0 3 3 (0, 0) ( 3, 3) ( 3, 3) x x x x x x x en en             38 a. b. x 1 0 en x 0 1 0 x  en x  D_f : 1, 0



  0 , c./d. 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 '( ) x x x x x x f x x x            2( 1) 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 ₂ 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x                    

e. Voor x 1 is   x 2 0 en de noemer is altijd positief. De afgeleide is altijd negatief, dus de functie is dalend.

39

a. Stroomopwaarts is de snelheid van Kjell ten opzichte van het vasteland 1 v m/s en stroomafwaarts is die snelheid 1 v m/s. De tijd die de zwemmer over zijn zwemtocht doet is: 500 500

1 1 T v v     b. 2 2 500 500 500(1 ) 500(1 ) 500 500 500 500 1000 1 1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) 1 1 v v v v T v v v v v v v v                    2 2 2 2 2 (1 ) 0 1000 2 2000 0 (1 ) (1 ) 0 dT v v v dv v v v           

T is minimaal (T’ is altijd positief, T is stijgend) als v 0 (in stilstaand water!).

40 a. b. _{f x( )} x3 1 x3 1 _x2 1 x x x x       2 1 '( ) 2 f x x x   en f x"( ) 2 2₃ x   3 "( ) 0 1 1 f x x x      Buigpunt: (-1, 0) 41 a. 2 2 2 3 27 3( 9) 3( 3)( 3) 3 9 9 ( ) 3 ( ) 3 ( 3) ( 3) x x x x x f x g x x x x x x x x x               

b. Je mag f(x) alleen zo schrijven zolang x 3 0. De grafiek van f(x) is gelijk aan de grafiek van g(x) behalve voor x 3. Daar bestaat de grafiek van f niet. De grafiek van f heeft een perforatie (gaatje) in (-3, 6)

x y 1 2 3 4 5 -1 -2 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 x y 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6

42 a. 2 3 3 5 2 3 2 3 1 4 12 12 5 2 ( ) 1 4 3 3 x x x x x x f x x x           12 3 lim ( ) 4 xf x   H.A.: y 4 b. _xlim ( )_g x  4 2 H.A.: y 2 43 a. VBRQ: VQPA

Dan passen de overeenkomstige zijden in een verhoudingstabel: BR PQ RQ  AP 2 2 1 1 2 2 1 y x y x  _    

b. x1 is de verticale asymptoot: Als A het punt P nadert, gaat het punt B heel erg naar boven.

2

y  is de horizontale asymptoot: Als A heel ver naar rechts komt te liggen, nadert punt B naar R. c. 1 1 2 2 2 2 ( 1) ( ) (2 ) 1 1 1 1 1 x x x x x S x x y x x x x x x x                 

d. Als A in de buurt ligt van punt P is de oppervlakte heel erg groot (B ligt dan hoog op de y-as), en als punt A heel ver naar rechts ligt, is de oppervlakte ook weer heel erg groot. e. 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 1 (2 2 ) 2 ( 1) ( 1) ( 1) dS x x x x x x x x dx x x x              2 '( ) 0 2 ( 2) 0 0 2 S x x x x x x x        

Oppervlakte is minimaal als A(2, 0) en B(0, 4).

44 a. sin x r   en _{r  x}2_32 _{ x}2_9 2 2 1 1 650 650 650 sin 650 9 x x x V r  r r r x          b. V 100 2 2 2 650 100 ( 9) 100 650 900 100( 6,5 9) 100( 2)( 4,5) 0 2 4,5 x x x x x x x x x               c. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (9 ) 650 650 2 5850 650 1300 5850 650 ' 0 (9 ) (9 ) (9 ) x x x x x x V x x x               2 2 2 5850 650 0 650 5850 9 3 3 x x x x x        

T-1 a. _{(2x5) 12x x} 2 _0 2 2 1 2 2 5 0 12 0 2 5 12 (12 ) 0 2 0 12 x x x x x x x x x x x                 b.

c. alleen x 0 en x 12 zijn nulpunten van g. 1

2

2

x   valt buiten het domein.

T-2

nulpunten: vert. asymptoot hor. asymptoot

a. 3x 6 0 2 5 x 0 3 6 3 3 2 5 5 5 ( ) x x x x f x        3 6 2 x x     2 5 5x 2 x   3 5 y   b. _x2_{4x 3 0 x 6 0} 2 _{4 3} 2 6 ( ) x x x x x g x   x     ( 3)( 1) 0 3 1 x x x x       6 x  

geen hor. asymptoot

c. _8x3x2 _{0 x}3_{ 8 0} 2 2 3 3 8 3 3 3 8 ( ) x x x x x x h x      2 3 (8 3 ) 0 0 2 x x x x       3 ₈ 2 x x   0 y  d. 2 3 2 5 (x 1) 3 2( 1) 5 4 2 ( ) 5 1 (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) x x x x x k x x x x x x x                 2 5x 4x 2 0 x x(  1) 0 2 2 2 2 5 4 2 5 ( ) x x x 5 x x x k x       geen oplossingen x 0  x 1 y 5 T-3 a. b. 2 2 2 2 2 2 4 1 4( 3) 4 12 ( ) 3 ( 3) ( 3) ( 3) x x x x f x x x x x x x x x             c. _{x x}2_{( 3) 0} 0 3 x  x  d. 2 3 1 4 12 2 3 2 3 4 12 lim lim 0 3 1 x x x x x x x x x x       _{ }   H.A.: y 0 T-4 a. _{f x'( )  8 (x}3_{5 ) (12 8 )(3x   x x}2_{5) 8x}3_40x36x2_{60 24 x}3_{40x   32x}3 _76x2_60 b. _{g x'( ) 2( x 2) (x5) ( x2) 1 2}2_{  x}2_{6x20x}2_{4x 4 3x}2_2x16 c. '( ) (2 9 ) 1 9 7 2 9 9 7 2 7 2 7 x h x x x x x x            d. k x'( ) (6 2 x) 1₂ 1 (1 1) x x x      x 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 10 20 30 40 50 60 -10 -20

T-5 a. _p2_OQ2 _322 2 2 2 1024 1024 OQ p OQ p    

b. P ligt op de y-as en is maximaal 32: 0 p 32

c. 1 2 2 ( ) 1024 A p  p p d. 2 2 2 1 1 1 2 ₂ 2 ₂ 2 1 '( ) 2 1024 1024 0 2 1024 2 1024 p A p p p p p p p              2 2 1 2 ₂ 2 2 2 2 1024 2 1024 1024 2 1024 512 512 22,6 p p p p p p p p          De oppervlakte is maximaal 256. T-6 a. 2 2 2 (5 ) 8 (8 3) 1 (40 8 ) ( 8 3) 37 '( ) (5 ) (5 ) (5 ) x x x x f x x x x                 b. 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 ( )(1 2 ) (4 )(1 2 x) ( 2 ) ( 2 7 x 4) '( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x x h x x x x x                    2 2 2 2 8 4 ( ) x x x x     c. 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 (2 1) ( ) 2 (4 2 ) (2 2 ) 2 '( ) (2 ) (2 ) 4 x x x x x x x x x g x x x x             d. 3 1 2 1 2 1 2 3 3 2 2 2 3 2 3 2 3 2 ( 1) 3 3 _{1 6} '( ) ( 1) ( 1) 2 ( 1) x x x x x x x x x _{x x} k x x x x x       _{ }         3 3 2 5 1 2 ( 1) x x x      T-7 a. 2 2 2 2 2 2 2 ( 5)(2 15) ( 15 ) 1 (2 5 x 75) ( 15 ) 10 x 75 '( ) ( 5) ( 5) ( 5) x x x x x x x x f x x x x                  2 _{10 75 ( 15)( 5) 0} 15 5 ( 15, 45) (5, 5) x x x x x x en              b. f x( ) 0 3 4 '(15) f  2 _{15 ( 15) 0} 0 15 (15, 0) x x x x x x A        3 1 4 4 1 4 3 1 0 15 11 11 11 b b b y x         

T-8

a. Voor grote waarden van t (op den duur) geldt: 6 6 2 3 2 3 t t C t t     mol b. 2 2 2 (3 2) 6 6 3 (18 12) 18 12 ' (3 2) (3 2) (3 2) t t t t C t t t            

c. Voor grote waarden van t gaat de reactiesnelheid naar 0 mol/minuut

T-9 a. 12  I (5 x) 12 5 I x   b. 2 2 2 12 144 5 ( 5) uitw x P I R x x x     _{ }       c. 2 4 3 3 ( 5) 144 144 (2 10) ( 5) 144 144 2 144 720 ' ( 5) ( 5) ( 5) x x x x x x P x x x                  144 720 0 144 720 5 x x x     

Extra oefening – Basis

B-1 a. _x4_{(3x9) 0 b. (t}2_{8 )(t t}4_{6 ) 0t } 4 _{0 3 9} 0 3 x x x x       2 4 3 8 0 6 0 ( 8) 0 ( 6) 0 t t t t t t t t           1 3 0 0 6 t   t   t c. ₍₂ 1_{) 4 10 0} x x    d. _16s2_{ 3s 7 0} 1 1 1 2 2 2 4 10 0 2 x x x x         2 1 3 16 3 7 4 4 2 s s s s s            B-2

a. 3x 7 0 vert. asymptoot hor. asymptoot

1 3 3 7 2 x x   2 ₂ 2 2 x x x      0 y 

b. _{1 t t}2 _{0 geen vert. asymptoot hor. asymptoot}

1 1 1 1 2 2 5 2 2 5 ABC formule x x         1 y  

c. _s3 _{4s0 vert. asymptoot geen hor. asymptoot} 2 ( 4) 0 0 2 2 s s s s s         2 3(5 ) 0 5 5 s s en s      d. 2 3 2 1 3( 1) (2 1) 2 2 3 ( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) m m m m m m k m m m m m m m m m                 2

2m 2m 3 0, discriminant is kleiner dan 0, dus geen nulpunten. Verticale asymptoten: m0 en m1 Horizontale asymptoot: y 2 B-3 a. 7 15 1 6 2 3 15 15 7 lim lim 2 3 6 6 x x x x x x      _{   }   H.A.: y  212 b. 3 2 5 16 2 0 6 3 8 5 16 lim lim 0 6 8 6 x x x x x x x x     _{  }   H.A.: y 0 c. 2 4 12 2 4 1 3 3 2 10 4 4 4 12 lim lim 1 3 10 3 x x x x x x x x x       _{  }   H.A.: y 131 B-4 a. _{f x( ) (5 x}2_{20)(20x}2_{) 5x}4_80x2_400 3 2 '( ) 20 160 20 ( 8) 0 0 2 2 2 2 (0, 400) ( 2 2, 720) (2 2, 720) f x x x x x x x x               b. x y 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 100 200 300 400 500 600 700 800 900 -100 -200

c. '( ) 3 12 2 3 1 2 2 12 2 g x x x x         3 3 12 2 0 12 2 x x x      3 3 12 2 12 2 3 3(12 2 x) 36 6 x 9 x 36 x 4 x x x x          (4, 24) B-5 a. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 ) 3 (3 7) 2 (6 3 ) ( 6 14 ) 3 14 6 '( ) (2 ) (2 ) (2 ) x x x x x x x x f x x x x                   b. 2 2 2 (7 1) 2 (2 1) 7 (14 2) (14 7) 9 '( ) (7 1) (7 1) (7 1) m m m m h m m m m                c. 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 ( 1)( 1 2 ) (1 ) 2 ( 2 2 1) (2 2 2 ) 4 1 '( ) ( 1) ( 1) ( 1) t t t t t t t t t t t t t g t t t t                       d. 2 2 3 4 2 4 2 2 2 2 2 (15 3 )(3 4) ( 4 ) 6 ( 9 57 60) ( 6 24 ) '( ) (15 3 ) (15 3 ) s s s s s s s s s k s s s                  4 2 2 2 3 81 60 (15 3 ) s s s      x y 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 5 10 15 20 25 30 -5 -10 -15 -20 -25

Extra oefening - Gemengd

G-1 a. h( 1)        f( 1) g( 1) 0 g( 1) 0, dus Q ligt op de grafiek van h. b. h(2)f(2)g(2) 3 1 3   , dus P ligt op h. c.

G-2 Bah, wat een opgave!

a. b. Horizontale asymptoot: y 1 2 2 2 2 5 4 1 4 4 5 4 4 4 0 (0, 1) x x x x x x x x x P            c. lim 2₂ 5 4 1 4 4 x x x x x    _

  , dus is er ergens rechts van punt P een maximale waarde. rechts van het maximum is er een buigpunt.

d. 2 2 4 2 2 ( 4 4)(2 5) ( 5 4)(2 4) '( ) ( 4 4) x x x x x x f x x x            3 2 3 2 2 2 2 2 2 (2 13 28 20) (2 14 28 16) 4 ( 4 4) ( 4 4) x x x x x x x x x x x                2 2 2 2 4 2 4 ( 4 4) 2 ( 4) 2( 4 4)(2 4) "( ) ( 4 4) x x x x x x x f x x x                2 2 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 ( 4 4) 2 ( 4) 2(2 4) ( 4 4) ( 2 8 8 ) ( 4 8 16 32) 2 24 32 ( 4 4) ( 4 4) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                              4"( ) 0 f x  als x4. B(4, 1 9 1 )

e. _x2_{ax a 0 heeft geen oplossingen of x}2_{ax a 0 als x}  _{1 x}  ₄

2 _{4 0} ( 4) 0 0 4 D a a a a a en a        2 ( 1)   a a 0  2 1 3 ( 4) 4 0 3 16 5 a a a a       G-3 a. f(2) (4 2) 2 2   4 en (2) 3 2 2 4 2 1 g      b. '( ) 1 2 (4 ) 1 2 2 4 2 2 2 x f x x x x x x            f'(2) 1 2 2 2 ( 1) 3 (3 2) 1 (3 3) (3 2) 1 '( ) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x g x x x x                g'(2) 1 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5 P Q h x y 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 1 2 -1 -2 -3

Uitdagende opdrachten

U-1 a. 2 2 2 1 1 2 2 1 5 5 1 2 1 2 2 1 2 1 3 5 (3 5) 3 3 x x x x x x x x x x x       _{  }      2 1 3 3 lim ( ) 2 xf x   2 2 2 1 1 2 2 1 5 5 1 2 1 2 2 1 2 1 3 5 (3 5) 3 3 x x x x x x x x x x x         _{  }      2 1 3 3 lim ( ) 2 x f x      horizontale asymptoten: 1 1 3 2 3 2 y   en y  b. 3 6 5 3 3 3 6 6 1 1 1 6 3 1 3 1 1 9 9 9 9 1 ( 1) 1 1 x x x x x x x x x x x x x x       _{  }      9 1 lim ( ) 3 xf x   6 5 3 3 3 3 6 6 1 1 1 6 3 1 3 1 1 9 9 9 9 1 ( 1) 1 1 x x x x x x x x x x x x x x         _{  }      9 1 lim ( ) 3 x f x      horizontale asymptoten: y  3 en y 3 U-2

a. Voor grote waarden van x zullen de grafiek van f en de scheve asymptoot vrijwel samenvallen. b. 2 2 2 2 2 2 2 ( 1)(4 1) (2 2) 1 (4 3 1) (2 2) 2 4 1 '( ) ( 1) ( 1) 2 1 x x x x x x x x x x f x x x x x                     2 2 4 1 2 1 2 lim '( ) lim 2 1 x _x x x x _x f x        

c. De lijn en de grafiek van f(x) komen voor grote waarden van x heel dicht bij elkaar.

d. ( ) 2 2 2 2 2 ( 1) 3 2 1 1 1 x x x x x f x x x x x            2 1 3 3 2

lim( ( ) 2 ) lim lim 3

1 1 x x x x x x f x x x            Scheve asymptoot: y 2x3

U-3 De grafiek van g heeft drie nulpunten: x 1, x 2 en x4.

1 8 1 8 ( ) ( 1)( 2)( 4) ( ) ( 1)( 2)( 4) 1 (0) 1 2 4 1 8 1 0 8 1 ( ) ( 1)( 2)( 4) 1 g x a x x x f x a x x x f a a a a f x x x x                             