H4: Goniometrische functies

Hoofdstuk 4:

Goniometrische functies

e. De grafiek van f is symmetrisch in de lijn 1 2 x  1 1 1 1 1 6 2 2 6 6 1 6

sin( ) sin( ( )) sin( )

sin(1 )                 V-3. a. b. 1 1 2 en 2 x   x   c. g x( ) 1 voor x 0 d. g x( ) 1 voor x   en x e. De periode van g is 2 .

f. De grafiek van g is symmetrisch in het punt 1 2 ( , 0).

5 1 5 1 5 1

6 2 6 2 6 6

cos( ) cos(  (   )) cos(  ) cos( )

V-4. a. 3 1 4 2 sin(1 )  2 d. 1 2 sin(7 ) 1 g. 1 1 4 2 cos(2 ) 2 b. 2 1 3 2 sin( ) 3 e. 5 1 6 2 cos(1 ) 3 h. 2 1 3 2 cos( 2 )  c. 5 1 6 2 sin( 1 ) f. 3 1 4 2 cos( )  2 V-5. a. 1 2 cos( )x   2 b. 1 2 cos( )x  3 c. cos( )x  1 3 1 4 en 14 x   x   1 5 6 en 16 x   x  x d. 1 2 sin( )x   3 1 2 3 3 1 en 1 x   x  V-6.

a. Door een verticale vermenigvuldiging met factor 3 en een verschuiving van 1 4 naar rechts.

b. De amplitude is 3 en een ‘beginpunt’ 1 4 ( , 0)

c. Door een vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met factor 1

2 en een verschuiving van 1 omhoog.

d. periode is 2 2  en de evenwichtsstand y 1. graden 0 30 45 60 90 120 135 150 57,3 180 radiale n 0 61 14 13 21 23 34 56 1  x y 0,5  1,5 2 2,5 3 -0,5 - 1 -1 x y 0,5  -0,5 - 1 -1

V-7.

amplitude periode evenwichtsstand

a. 1 2 1 2 y 0 b. 1 2 1 2 y  12 c. 1 2 2 3  3 y  2 d. 1 2 1 2 y 2 e. 1 1 2 2 ₄   y  3 f. 3 1 2 2 _4 0 y  V-8. a. periode is 2

0,5 4 . Maximum 4,5 voor x . Het minimum ligt buiten





is 6 voor x  .

c. periode is 2 en de grafiek is 1

3 naar links verschoven. Maximum is 21 voor 1 1 1 2 3 6 x      en minimum is 7 voor 1 1 1 2 3 6 1 1 x       . d. periode is 2 , maar het is –sin en de grafiek is 3

4 naar rechts verschoven maximum 7 voor 1 3 1 2 4 4 x       en minimum 3 voor 1 3 1 2 4 14 x      . V-9.

a. Het maximum is 5 en het minimum -3: 5 3

2 1

d _  _{ en} 5 3

2 4

a_  _{ .}

De halve periode is 5 (de grafiek gaat door (0, 1) en (5, 1)); de hele periode dus 10. b. Het maximum ligt bij 1 1

2 2

2 en 12

x x en het minimum bij 1 1

2 2

7 en 17

x  x  .

c. De evenwichtsstand is y 1

d. De grafiek van f is symmetrisch in de lijn 1 2 2

x . Het volgende snijpunt met de lijn 1

y   is dan 1 1 5 5

2 2 6 6

2 (2 ) 5

x      . Het daarop volgende snijpunt ligt één periode verder dan 5

6

x   , dus bij 5 1 6 10 96 x     .

1.

a. In de toppen geldt f x'( ) 0 . Dus 1 1 1 1

2 , 12 , 22 en 32 x   x  x  x  . b. Klopt. c. f'(0)f'(4 ) 1  en f'( ) f'(3 )  1. d. f x'( ) cos( ) x 2. a. In bijvoorbeeld 1 2

( , 0) moet de helling negatief zijn. Echter 1 2 sin( ) 1 . b. g x'( ) sin( )x 3. a. f x'( ) 5 sin( )x b. g x'( ) 3cos( )x c. h x'( ) 2sin(6 ) 6x   12sin(6 )x d. k x'( ) cos(0,2 x) 0,2  0,2 cos(0,2 x) e. 1 1 1 1 2 2 2 2 '( ) 15sin( ) 7 sin( ) l x  x     x f. m x'( ) 2sin( ) cos( ) x  x

g. _{n x'( ) 4cos ( )} 3 _{x  sin( )x  4 sin( ) cos ( )x } 3 _x h. _{p x'( ) 3 sin (2 ) 2cos(2 ) 6 sin (2 ) cos(2 )} 2 _{x  x } 2 _{x  x} i. q x'( ) 6cos( x) sin(x) 6 sin( x) cos( x)

j. s x'( ) 2sin( ) cos( ) 2cos( ) x  x  x  sin( ) 2sin( ) cos( ) 2sin( ) cos( ) 0x  x  x  x  x 

4. a. k x'( ) 1 cos( ) sin( )  x  x b. l x'( ) 0,4 x3cos(0,3x) 0,3  0,4x0,9 cos(0,3 x) c. 1 1 1 3 3 3 '( ) 3sin( ) sin( ) m x   x     x d. 1 2 '( ) sin(2 1) 2 sin(2 1) k x   x     x e. u t'( ) 3cos(2   t) 1 3cos(2t) f. m p'( ) 345cos(26 p78) 26 8970cos(26  p78) g. 1 1 1 2 2 2 '( ) 2sin( ) sin( ) v t   t    t

h. _{q a'( ) 10cos ( )} 3 _{a  sin( ) 7cos( )a  a  10 sin( ) cos ( ) 7cos( )a } 3 _{a  a}

5. a. cos( ) 0x  1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 , 1 en 2 x k x k x x x                  b. g x'( ) 5 sin( )x 1 1 2 2 '( ) '(2 ) 5 g  g    en 1 2 '(1 ) 5 g   c. 1 1 1 3 3 2 '( ) 5sin( ) 2 3 g       d. 1 2 '( ) 5sin( ) 2 g x   x  1 2 5 1 6 6 5 1 6 6 sin( ) 1 2 1 2 1 en 1 x x k x k x x                 

6. a. De periode van f is 2 2  . De toppen zijn: 1 3 4 4 ( , 1) en ( , 1) . b. f x'( ) cos(2 ) 2 2cos(2 ) x   x 3 3 8 4 '( ) 2cos( ) 2 f      c. 1 2 '( ) 2cos( ) 2 f      1 2 0 2 b b b           

Dus y  2x is de raaklijn aan de grafiek van f in 1 2 ( , 0). d. f x'( ) 2cos(2 ) 1 x  1 2 1 2 3 3 5 1 6 6 cos(2 ) 2 2 1 x x x x x            Het raakpunt is 1 1 6 2 ( , 3) 1 1 2 3 6 b   7. a. De periode is 2 1 2  _{  .} b. u t'( ) 6cos( ) t

De slinger heeft op de tijdstippen t   0 k 2 de grootste snelheid naar rechts (6 cm/s) en op de tijdstippen t    k 2 de grootste snelheid naar links (-6 cm/s). c. De snelheid is 0 op de tijdstippen 1

2

t    k  d. u(100) 3,0 en u'(100) 5,2

Op tijdstip t 100 bevindt de slinger zich halverwege aan de linkerkant en beweegt met een snelheid van 5,2 cm/s naar rechts.

8.

a. De periode is 2

0,4 5 seconde. Dit lijkt me wel erg rustig. b. p t'( ) 20cos(0,4 ) 0,4t    8 cos(0,4 ) t

'(1) 7,8

p   mm Hg/s de persoon ademt uit.

c. De maximale snelheid is 8 en komt voor op tijdstip 1 2

2 5

t   k seconden De minimale snelheid is 8 op de tijdstippen t   0 k 5 s.

9.

a. Alleen het ‘beginpunt’ verschuift 1

3 naar rechts.

b. De evenwichtsstand verschuift ook 2 omhoog: y 2. Het ‘beginpunt’ wordt (0, 2) c. Alleen de amplitude verandert: die wordt 3.

d. De periode wordt 2 keer zo groot: 4 .

10. a. maximum is 2 en minimum -6 b. 2 6 2 2 d _  _{ } c. 2 6 2 4 a_  _

d. De periode is 6 2 4  . De waarde van b is 2 1 4 2

e. De horizontale verschuiving is 1 naar rechts. 1 2 ( ) 2 4 sin( ( 1)) f x     x 11. 2 5 ( ) 3,25 2,25 sin( ( 8)) f x    x 12. a. beginpunt (5, -2): 1 2 ( ) 2 4 sin( ( 5)) f x     x beginpunt (9, -2): 1 2 ( ) 2 4 sin( ( 9)) f x     x

b. Het ‘beginpunt’ van de cosinus is een maximum; (2, 2) dus c. amplitude, evenwichtsstand en de periode blijven onveranderd:

1 1 2 2 ( ) 2 4cos( ( 2)) 2 4cos( ( 6)) g x     x     x 13. a. maximum is 100 en minimum 0: 100 0 100 0 2 50 en 2 50 d _  _ a_  _ de periode is 50 0 50  : 2 1 50 25 b_  _{ }

De grafiek begint op z’n maximum: 1 25 50 50cos( ) y   x b. maximum is 3 en minimum -1: 3 1 3 1 2 1 en 2 2 d _  _ a_  _ de periode is 3 1 1 4 4 2 1    1 : 1 2 2 1 3 1 1 b    

het maximum ligt bij 1 4 x  : 1 1 3 4 1 2cos(1 ( )) y   x  14. a. 1 2 1 1 2 10 2 5 ( ) 1 sin( ) 1 sin( ) S x _  x _{ }x b. 1 4 ( ) 3 T x  x c. 1 1 1 4 2 5 ( ) 3 1 sin( ) G x  x  x 15.

a. Elk jaar is het aantal 5% minder dan het vorige jaar: de afname is exponentieel.

b. _{T t}( ) 9000 0,95_{ } t

c.

d. Voer in: y19000 0,95 x 250 sin(2x) zero: x78

Na ongeveer 78 jaar is de populatie uitgestorven.

16.

a. De omtrek van een omwenteling is 2 meter. Zoveel seconde doet de stip er over. b. Na  heeft de stip een halve omwenteling gemaakt.

c. De stip heeft een kwart omwenteling gemaakt na 1

2 seconden.

17.

a. De stip gaat van een opwaartse beweging over in een neerwaartse beweging (of omgekeerd).

b. S heeft de grootste snelheid op de tijdstippen t   0 k  .

18. a. 1 3 5 sin( ) y  t x y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

b. Gedurende één periode zit S twee keer op hoogte 1 2 2 . c. Na 1 2 6 t   k en 1 2 2 6 t   k seconden is S op hoogte 1 2 2 . 19. a. periode 2 1 880 440

  sec. Dat zijn dan 440 trillingen per seconde.

b. per 1 freq  20. a. p 2_{b 2}1b     _, 2b f  _ 500 2 250 f     b. 300 2 47,7 f  _  c. 12 2 6 f     21.

a. De amplitude zal steeds kleiner worden: 0,5 b. u t( ) 0,5 sin(300 ) t

c. Omdat de periode en de toonhoogte even groot zijn.

d. De grafiek van c is 0,0007 naar rechts verschoven ten opzichte van de grafiek van a. 22. De verschuiving is 0,01 en de periode 2 1 40  20 0,05. Het faseverschil is 1 5. 23. De periode van v is 2 1

80  40. Het faseverschil is 0,3, dus de grafiek van w is 1

40

0,3 0,0075 ten opzichte van w verschoven. 0,8 sin(80 ( 0,0075)) w   t . 24. a. 1 2 sin( )x  3 b. 1 2 sin( )x   1 2 3 3 1 2 1 2 3 3 3 3 2 2 , , 2 , 2 x k x k x x x x                    5 1 6 6 5 1 6 6 1 2 1 2 1 , 1 x k x k x x                c. 1 2 cos( )x   2 d. 1 2 cos( )x  3 1 4 4 3 1 1 4 4 4 2 1 2 3 , 4 , 5 x k x k x x x                  1 2 3 3 1 2 1 1 3 3 3 3 2 1 2 x 2 , x 1 , x , x k x k x                       25.

a. Op elk interval





Dus op het interval





12 1 x   . c. 1 2 cos(2 )x  3 5 1 6 6 1 11 12 12 1 11 1 11 1 11 12 12 12 12 12 12 2 2 2 1 2 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 x k x k x k x k x x x x x x                                  

26. a. 1 2 cos(4 )x  2 b. 2sin(x) 3 3 1 4 4 1 1 7 1 16 2 16 2 9 15 1 7 16 16 16 16 4 2 4 1 2 , , , x k x k x k x k x x x x                               1 2 1 2 3 3 1 2 3 3 sin( ) 3 2 2 2 2 x x k x k x k x k                       1 2 1 2 3, 3, x 23, 23 x  x   x  c. 2 1 3 2 4 cos( x ) 3 d. 1 6 1 2sin( x ) 0 2 1 3 2 2 1 2 2 3 3 3 3 1 3 1 2 3 3 cos( ) ... 1 ... 2 2 , , , 1 x x x x k x k x x x x                                     1 1 6 2 5 1 1 1 6 6 6 6 2 3 2 2 3 3 sin( ) ... ... 2 2 0, , 2 , 2 x x x x k x k x x x x                               en x 3 27. a. 1 2 (4x 7) sin( x) 0 b. 1 1 3 2 (1 x) cos( x) 0 1 2 1 2 3 4 3 4 4 7 0 sin( ) 0 4 7 1 2 0, 1 en 2 x x x x k x x k x x x                   1 1 3 2 1 1 1 3 2 2 1 0 cos( ) 0 1 3 1 2 1, 3, 5 en 7 x x x x k x x k x x x x                       c. 2 3

2sin(x ) cos(2 ) 0 x  d. cos(3 ) cos(2 ) 0x  x  2 3 2 1 3 2 2 1 1 3 4 2 3 1 1 1 4 3 4 4 3 4 sin( ) 0 cos(2 ) 0 2 , , , , en x x x k x k x k x k x x x x x                                         1 1 2 2 1 1 1 1 6 3 4 2 3 1 1 1 6 4 2 4 5 6 cos(3 ) 0 cos(2 ) 0 3 2 , x , , x , en x x x k x k x k x k x x x                                    28. a. 4xsin( ) 2x  x0 1 2 5 1 6 6 2 (2sin( ) 1) 0 2 0 sin( ) 0 1 2 1 2 x x x x x x  k  x  k                

b. xcos(2 )x  x 0 c. 4xsin(3 ) 2sin(3 ) 0x  x  (cos(2 ) 1) 0 0 cos(2 ) 1 2 2 0, en 2 x x x x x k x k x x x                 1 2 1 1 3 2 2 1 1 1 3 2 3 3 sin(3 )(4 2) 0 sin(3 ) 0 4 2 3 , x , 0, x x x x x k x x k x x x x x                              en 2 3 x 

29. a. _{cos ( ) cos( ) 0}2 _{x  x } 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 cos( )(cos( ) 1) 0 cos( ) 0 cos( ) 1 2 0, , 1 , x 2 , 2 , 3 , 4 x x x x x k x k x x x x x x                            b. _{2sin ( ) sin( ) 0}2 _{x  x } 1 2 5 1 6 6 5 1 6 6 sin( )(2sin( ) 1) 0 sin( ) 0 sin( ) 1 2 1 2 , x , x , 0, x x x x x k x k x k x x x                                 

30. De loodrechte projectie van P op OS noemen we Q. In driehoek OPQ geldt de stelling van Pythagoras:

2 2 2 2 2 cos ( ) sin ( ) 1 OQ PQ OP x x     31. a. 4 2 2 5 ( ) cos ( ) 1p  2 4 2 16 9 5 25 25 cos ( ) 1 ( )p    1  b. 3 3 5 5 cos( )p    cos( )p  c. Dan is 3 5 cos( )p  d. 2 15 2 17 sin ( ) ( )a  1 2 64 289 8 8 17 17 sin ( ) sin( ) sin( ) a a a      32. a. f x'( ) cos( ) x '(0) 1

f  De lijn y x is de raaklijn aan de grafiek van f in (0, 0).

b. Voor a1 heeft de lijn y ax één snijpunt met de grafiek van f; dit zijn de lijnen die steiler lopen dan de groene lijn. De lijn y  0,217x (dit is de gele lijn) raakt de grafiek in de buurt van 1

2

( 1 ,1) en 1 2

(1 , 1) .

Voor a 0,217 heeft de lijn ook maar één snijpunt met de grafiek van f; dit zijn de lijnen die lopen zoals de zwarte grafiek in de figuur.

c. Nee, twee snijpunten is niet mogelijk.

d. Je kunt met de afgeleide niet nagaan of de grafieken elkaar raken. Er zijn meerdere punten op de grafiek van f waarvan de helling gelijk is aan -0,22.

Door de grafiek van f en de lijn y  0,22x te laten tekenen en flink inzoomen kun je zien dat de lijn en de grafiek elkaar bijna raken.

33.

a. 2

365

b_  _{: de periode is 365 dagen.}

b. De evenwichtsstand is O6,5 en de amplitude 2,2. Het minimum is dan 6,5 2,2 4,3  uur (4.18 uur) en het maximum 6,5 2,2 8,7  uur (8.42 uur)

c. 2 365 2,2cos(  (t_11)) 6,5 7_{ } Voer in: 2 1 2,2cos(365( 11)) 6,5 y _  x_{  en} 2 7 y  intersect: x 66,9 en x276,1 210 dagen per jaar komt de zon vóór 7 uur op.

d. 2 365 ( ) ( 11) u t _  t_{ en O2,2cos( ) 6,5u } 2 2 365 365 ' 2,2sin( ) 0,038 sin( ( 11)) '(273) 0,037 en '(212) 0,024 okt aug O u t O O          

De zonsopkomst neemt op 1 oktober sneller toe dan op 1 augustus.

34.

a. De periode van beide functies is 2 5

2 ₅   .

b. De horizontale verschuiving is 1, dus het faseverschil is 1 5 . c. maximum: 2,5 minimum: -2,5 zero: x 0,31

0, 2,5 d  a 2 5 ( ) 2,5sin( ( 0,31)) s x   x

35. _{f x( ) (sin( ) cos( )) x  x} 2_{(sin( ) cos( ))x  x} 2 _{sin ( ) 2sin( )cos( ) cos ( )}2 _{x  x x } 2 _{x  sin ( ) 2sin( )cos( ) cos ( ) 2(sin ( ) cos ( )) 2 1 2}2 _{x  x x } 2 _{x } 2 _{x } 2 _{x   }

36.

a. De periode van g is 2

2 1 uur en de periode van k is 1 6

2 ₁₂   uur.

g geeft de minuten aan en k de uren.

b. Voer in: y1cos(2x) en y2 cos(61x)

intersect: x0 (12.00 uur), x1,09 (01.05.27 uur), x2,18 (02.10.55 uur) c. De wijzers vallen in een etmaal 23 keer samen.

37.

a. T t( ) 5 t10

b. De periode S(t) is 1. S(t) is maximaal 6 voor 1 1 1 4, 1 ,4 2 , ...4 t  t  t  c. f t'( ) 5 2  6cos(2 ) 5 12 cos(2 )t    t d. 1 1 4 2 '( ) 5 12cos( ) 5

f     . Als f’ maximaal zou zijn dan zou de afgeleide 0 moeten worden.

e./f. De afgeleide is groter dan 0, dus de grafiek van f stijgt. Hij gaat dus nog naar het maximum toe. De grafiek is dus ook naar rechts verschoven.

38. a. 1 2 3 3 sin(x ) cos( x ) 0 1 2 3 3 1 2 1 3 3 2 1 1 3 6 5 5 2 1 1 1 3 6 3 6 3 6 sin( ) 0 cos( ) 0 , , , , 1 en 1 x x x k x k x k x k x x x x x x                                               b. Voer in: 1 2 1 sin( 3 )cos( 3 ) y  x  x 

minimum: (1.83, -0.5) maximum: (0.26, 0.5) beginpunt: (2.62, 0) 0, 0,5 en 2,62 d  a c : f x( ) 0,5 sin(2( x2,62)) x y 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

T-1.

a. f x'( ) 2cos(3( x0,25 )) 3 6cos(3(   x0,25 )) b. _{g x'( ) 0,5 3sin ( ) cos( ) 1,5 sin ( ) cos( ) } 2 _{x  x } 2 _{x  x} c. h t'( ) 3sin(0,5      t) 1 3 sin(0,5 t)

d. k x'( ) 2sin( ) cos( ) 2cos( ) x  x  x  sin( ) 4sin( )cos( )x  x x

e. _{m p'( ) 30 3 sin (12 } 2 _{p45) cos(12 p45) 12 1080sin (12 } 2 _{p45) cos(12 p45)}

T-2. a. De periode van f is 10: 2 1 10 5 b_  _{ } maximum: 1 en minimum: -3 1 3 2 1 d _  _{  en} 1 3 2 2 a_  _ 1 5 ( ) 2sin( ) 1 f x  x 

b. De halve periode van g is 10: 2 1 20 10 b_  _{ } maximum: -1 en minimum: -4 1 4 1 2 22 d _   _{  en} 1 4 1 2 12 a_   _ minimum bij x 2 1 1 1 2 10 2 ( ) 1 cos( ( 2)) 2 g x    x  T-3. a. De maximale uitwijking is 0,3 mm b. De periode is 2 1

200 100s. Dat zijn dus 100 trillingen per seconde. c. De verschuiving is 0,002. Het faseverschil is 0,0020,01 0,2.

T-4. a. 10cos(4 ) 5 2x  b. 8 4 sin(2 x) 0 1 2 3 1 4 4 1 1 7 1 16 2 16 2 1 7 16 16 cos(4 ) 2 4 2 4 1 2 en x x k x k x k x k x x                            sin(2 ) 2 geen oplossingen x    c. _(3x2_{12)cos(2 ) 0x  d.} 1 3 sin(2 ) cos(x  x ) 0 2 2 1 2 1 1 4 2 3 12 0 cos(2 ) 0 4 2 2, 2 x x x x k x x x k                     1 3 1 1 3 2 5 1 2 6 sin(2 ) 0 cos( ) 0 2 x x x k x k x k x k                          e. 1 2

5x10 cos(x x) 0 f. _{3 sin( ) 6sin ( ) 0x } 2 _{x } 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 3 2 3 1 2 3 3 2 1 1 2 3 3 3 3 5 (1 2cos( )) 0 5 0 cos( ) 0 ... 1 ... 0 1 4 2 4 2 , 1 , 0, 1 , 2 x x x x x x x x x k x k x x x x x                                    1 2 5 1 6 6 5 1 6 6 3sin( )(1 2sin( )) 0 sin( ) 0 sin( ) ... .. x 0, x , , , 2 x x x x x k x x x x x                          T-5. a. 2 12 2 13 sin ( ) ( )x  1 b. 1 2 2 3 ( 5) cos ( ) 1x  2 25 169 5 5 13 13 sin ( ) sin( ) sin( ) x x x      2 4 9 2 2 3 3 cos ( ) cos( ) cos( ) x x x     

c. sin( ) cos( )x  x 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2

sin ( ) cos ( ) sin ( ) sin ( ) 2sin ( ) 1 sin ( ) sin( ) 2 sin( ) 2 x x x x x x x x           T-6.

a. De lijn gaat door de punten (0, 338) en (8, 350). 350 338 8 0 1,5 a     en b338. b. De periode is 1: 2 1 2

q _  _{  en de amplitude is ongeveer 4. Op tijdstip t 0 is het} CO2-gehalte 4 onder de evenwichtslijn; dus beginnend in het minimum.

( ) 4cos(2 ) S t   t

c. Voer in: y1338 1,5 x4cos(2x) en y2 400 intersect: x 39,4 Rond 2019 zal de concentratie voor ’t eerst boven de 400 ppm liggen.

T-7.

a. De periode is 2 2

3  3 s. Dat is een frequentie van 2 3

60 _90

slagen per minuut.

b. De evenwichtsstand is p110 en de amplitude: 20. De bovendruk is dan 130 mm Hg en de onderdruk 90 mm Hg. c. 175 115 2 145 d _  _{ en} 175 115 2 30 a_  _{ .}

80 slagen per minuut; de periode is dan 60

80 0,75 s, en 2 2 0,75 23 b_  _{ } 2 3 ( ) 30 sin(2 ) 145 p t  t 