Universiteit van Amsterdam
Bachelor Scriptie
De Shapley-waarde bij een
co¨
operatief spel
Auteur:
Val´
erie G. Vermaas (10360301)
Begeleider:
dr. Roald Ramer
Faculteit Economie en Bedrijfskunde
Inhoudsopgave
1 Inleiding 2
1.1 Experiment van NNOS . . . 3
2 Theoretisch Kader 4 2.1 Speltheorie . . . 4
2.2 Het co¨operatieve spel . . . 4
2.3 De Shapley-waarde . . . 5
2.4 De Shapley eigenschappen . . . 5
2.5 De karakterisatie van de Shapley-waarde . . . 8
2.6 Toepassingen van de Shapley-waarde . . . 9
2.7 Hypotheses . . . 11 3 Onderzoeksopzet 12 3.1 Het experiment . . . 12 3.2 Quota’s . . . 13 4 Onderzoeksresultaten 15 5 Analyse 18 5.1 Coalitievorming . . . 18 5.2 Afstand . . . 21
5.3 De von Neumann oplossing . . . 24
5.4 Tijd . . . 26
6 Conclusie 26
7 Bibliografie 28
1
Inleiding
Stel, er zijn drie kinderen, Aletta, Barbara en Charlotte. Allen zijn in het bezit van ´e´en skischoen. Deze skischoenen zijn allemaal precies identiek aan elkaar. Het enige verschil is dat Aletta beschikt over een linker skischoen, terwijl Barbara en Charlotte beiden een rechter skischoen hebben.
Vanzelfsprekend hebben ze niets aan alleen een linker, of alleen een rechter skischoen. Met ´e´en skischoen kunnen ze immers niet ski¨en. Ze moeten samen-werken om een paar te vormen. Dan zouden ze namelijk kunnen gaan ski¨en maar daarnaast kunnen ze een paar skischoenen, dus een linker en een rechter, verkopen voor tien euro.
Maar hoe wordt dit bedrag dan onder de kinderen verdeeld? Krijgen de kinderen die samenwerken, dus van wie de skischoenen zijn beiden vijf euro, of moet Aletta meer krijgen omdat zij de keuze heeft met wie zij gaat samenwer-ken? Wat is de verwachte opbrengst van Aletta, Barbara en Charlotte? Oftewel hoeveel zijn zij bereid te betalen om tot dit spel toe te treden?
Speltheorie
Dit is een voorbeeld van een van de vraagstukken waar de speltheorie zich over buigt. Er zijn verschillende oplossingsconcepten voor dit probleem. Een van deze oplossingsconcepten is de Shapley-waarde van Shapley (1953) waar deze scriptie zich op focust.
De Shapley-waarde is een erg belangrijk theorisch concept, die goed in de praktijk toepasbaar blijkt, zelfs in minder voor de hand liggende velden als politicologie. In het theoretisch kader wordt dieper op deze oplossingsconcepten en in het bijzonder op de Shapley-waarde ingegaan.
Op het eerder genoemde voorbeeld kunnen ontelbaar veel varianten verzon-nen worden. De Shapley-waarde is, mits voldaan aan de voorwaarden besproken in het theoretisch kader, op alle co¨operatieve spellen toepasbaar. Maar hoe zit dit in de praktijk? Komt de Shapley-waarde inderdaad overeen met de gemid-delde uitkomst? En geldt dit ook wanneer er een beperkt aantal waarnemingen is?
1.1
Experiment van NNOS
In 2012 is er door Nash, Nagel, Ock en Selten onderzoek gedaan naar coali-tievorming in experimentele spellen. In het vervolg wordt hier als NNOS naar verwezen. Zij hebben een experiment afgenomen in het Cologne Labaratory in Keulen met in totaal 300 deelnemers.
Deze kregen steeds in rondes met drie spelers de opdracht om een bepaalde waarde onder elkaar te verdelen wanneer zij zouden samenwerken, waar schillende samenwerkingsverbanden verschillende bedragen oplevert. Dit is ver-gelijkbaar met het eerder genoemde voorbeeld van de skischoenen. De spelers kunnen namelijk ook hier kiezen om een coalitie te vormen en zo hun nut te verhogen. Wanneer zij geen coalitie vormen, is hun waarde eveneens gelijk aan nul. Aan de hand van de data van het experiment, de waardes die uit de rondes kwamen, is onder andere onderzocht in hoeverre de Shapley-waarde hiermee overeenkomt.
Is nu, wanneer hetzelfde experiment wordt afgenomen met een co¨operatief spel in plaats van een non-co¨operatief spel en een kleinere steekproef, sprake van dezelfde uitkomsten? Op welke gebieden komen de resultaten overeen en op welke gebieden verschillen deze? Is de Shapley-waarde inderdaad op een co¨operatief spel toepasbaar?
Eerst wordt in het theoretisch kader de speltheorie en de verschillende
co¨operatieve oplossingsconcepten waaronder de Shapley-waarde verder toege-licht en daarnaast het onderzoek van NNOS besproken. Vervolgens wordt de opzet van ons door NNOS ge¨ınspireerde experiment en de onderzoeksmethode uiteengezet. Daarna worden de onderzoeksresultaten gegeven en geanalyseerd en tenslotte wordt er een conclusie getrokken.
2
Theoretisch Kader
2.1
Speltheorie
Om een beter inzicht te krijgen in het belang van het onderzoek en de plek van de Shapley-waarde in de wetenschap wordt een korte inleiding gegeven in de speltheorie en het co¨operatieve spel. Myerson(1991): Speltheorie is de studie van wiskundige modellen van conflict en co¨operatie tussen intelligente, rationele beslissing-makers.
De speltheorie is voor het eerst benoemd door John von Neumann in zijn paper ’Zur theorie der Gesellschaftsspiele’ in 1928. Hier gaf hij een methode voor het vinden van een consistente oplossing voor zero − sumgames voor twee spelers. Vervolgens zette hij, in samenwerking met Oscar von Morgenstern, het in 1944 echt op de kaart met het boek Theory of games and economic behaviour. Tegenwoordig beperkt de speltheorie zich niet meer tot enkel kansspelen, maar wordt het op een wijd veld van onderwerpen toegepast, van politiek tot biologie. Alhoewel de theorie van Neumann en von Morgenstern het fundament is van de speltheorie, wordt het vandaag de dag in studieboeken nog amper vernoemd, aangezien er sindsdien nieuwe oplossingsconcepten zijn ontwikkeld die in de praktijk beter toepasbaar zijn. De belangrijkste is die van Nash (1953): er is een strategisch evenwicht als er voor alle spelers geen prikkel is om af te wijken. Dit wordt het Nash-evenwicht genoemd.
2.2
Het co¨
operatieve spel
Voor een spel zoals het eerder ge¨ıllustreerde probleem van de skischoenen zijn door de loop van de tijd verschillende oplossingsconcepten ontwikkeld. Dit wor-den co¨operatieve spellen genoemd. Dit zijn spellen waarbij er vrij onderhandeld kan worden. Hierbij wordt geanalyseerd welke afspraken mogelijk zijn tussen spelers. Is het mogelijk om een coalitie te vormen om hun nut te verhogen, dan wordt gekeken wat de beste stategie zal zijn voor een speler en wanneer er een strategisch evenwicht plaatsvindt.
Wij beperken ons in dit onderzoek tot T U -spellen, wat staat voor overdraag-baar nut. Game Theory (2013): Nut is overdraagoverdraag-baar wanneer een speler een deel van zijn nut kan overdragen aan een andere speler. Dit is mogelijk wanneer
nut gelijk gesteld kan worden aan geld en alle spelers risico-neutraal zijn. Voor een dergelijk spel is de Core , ingevoerd door Gillies (1953), erg in-teressant. De Core is de verzameling van alle uitvoerbare oplossingen die niet verbeterd kunnen worden door het vormen van een deel-coalitie. Wanneer het beter is voor een groep spelers om een coalitie te vormen, zal de Core leeg zijn. Het nadeel van de Core is dat deze vaak ´of heel groot is, ´of leeg.
2.3
De Shapley-waarde
Game Theory (2013): ”Een enkelvoudig oplossingsconcept is een functie die aan elk coalitiespel een verdeling toekent van uitbetalingswaardes die de spe-lers kunnen verwachten. Het kan beschouwd worden als een jury die aan de spelers aanraadt hoe ze de waarde van de coalitie onder de deelnemers moeten verdelen.”
Hier worden twee belangrijke enkelvoudige oplossingsconcepten voor coali-tiespellen besproken. De eerste daarvan is de N ucleolus van Schmeidler(1969). De Nucleolus herverdeelt de waarde van een coalitie van alle spelers zodanig dat de coalitie die het meest ontevreden is, uiteindelijk toch zo tevreden mogelijk is.
Daarnaast is er de Shapley-Waarde. Het idee van de Shapley-waarde is ontstaan vanuit de vraag hoeveel een speler wil betalen om mee te doen aan een spel. In het algemeen hoeft de Shapley-waarde niet in de Core te liggen maar voor een convex spel geldt, Game Theory (2013): ”De Shapley-waarde van een convex spel is een element van de core, wat impliceert dat de Core van een convex spel niet leeg is.”
De Shapley-waarde heeft een axiomische benadering. Het is een uniek op-lossingsconcept dat ontwikkeld is vanuit een reeks axioma’s, de Shapley eigen-schappen, waar een spel aan moet voldoen. Deze axioma’s zijn normatief.
2.4
De Shapley eigenschappen
Ten eerste worden enkele notaties gedefinieerd, waarna vervolgens de Shapley eigenschappen worden gegeven. Eerst wat deze intu¨ıtief betekenen, vervolgens de formele definitie. Deze zijn alle afkomstig uit Game Theory (2013).
Zij i een speler, v een coalitiespel en ϕ een enkelvoudige oplossing. Dan wordt ϕi(v) de waarde van speler i in v volgens ϕ genoemd. Zij N een coalitie,
dan is de grote coalitie de coalitie waaraan alle spelers meedoen. 2.4.1 Effici¨entie
Er is voldaan aan effici¨entie als, wanneer er een coalitie gevormd wordt, de waarde van de uitbetalingen van alle spelers tezamen gelijk is aan de waarde van de coalitie.
X
i∈N
ϕi(N, v) = v(N ) (1)
2.4.2 Symmetrie
Zij i en j symmetrische spelers, die dezelfde marginale contributie kunnen doen aan een coalitie waar ze nog niet aan deelnemen, dan is aan de symmetrie eigenschap voldaan als deze dezelfde uitbetaling krijgen.
Zij S ⊆ N \i, j en v(S ∪ i) = v(S ∪ j) dan ϕi(N ; v) = ϕj(N ; v)
(2)
dit wordt ook wel de nondiscriminatie eigenschap genoemd.
2.4.3 Covariantie
Om te voldoen aan de eigenschap van covariantie moet er wanneer het co-alitiespel met een positief ree¨el getal a wordt vermenigvuldigd en opgeteld met een vector b∈ RN , de uitbetaling van speler i vermenigvuldigd zijn met a en
opgeteld met bi.
ϕi(N, av + b) = aϕi(N ; v) + bi (3)
2.4.4 De nulspelereigenschap
Aan de nulspelereigenschap is voldaan als een nulspeler, een speler die niets bijdraagt aan geen enkele coalitie waar hij aan deelneemt, ook geen positieve uitbetaling krijgt.
Als voor elke coalitie S, geldt dat v(S) = v(S ∪ i). dan ϕi(v) = 0
(4)
2.4.5 Additiviteit
Er is aan additiviteit voldaan als spellen optelbaar zijn. Als bij het ene spel bijvoorbeeld 1000 te verdelen is en bij het andere 2000, dit dezelfde uitbeta-lingsverdeling heeft als een spel van 3000.
ϕ(v + w) = ϕ(v) + ϕ(w). (5)
Bij deze eigenschap zijn vraagtekens te zetten. Is het in de praktijk echt zo dat wanneer er 1000 maal 1 verdeeld wordt, dit in dezelfde verdeling resulteert als in het geval dat er 1 maal 1000 verdeeld wordt? Volgens Young(1985) kan het om deze reden als redelijker gezien worden om de Shapley-waarde anders te defini¨eren, met in plaats van de additiviteitseigenschap de eigenschap van sterke monotoniciteit.
2.4.6 De eigenschap van sterke monotoniciteit
Om te voldoen aan de eigenschap van sterke monotoniciteit moet het volgende gelden; als de marginale bijdrage van een speler aan elke coalitie van een spel niet minder is dan dat hij marginaal bijdraagt aan dezelfde coalitie van een ander spel met dezelfde spelers, dan is zijn uitbetaling in het eerste spel minstens zo groot als zijn uitbetaling in het tweede.
Als voor elke i en S geldt dat v(S ∪ i) − v(S) ≥ w(S ∪ i) − w(S).
dan ϕi(v) ≥ ϕi(w).
2.5
De karakterisatie van de Shapley-waarde
Nu de eigenschappen waaraan de Shapley-waarde moet voldoen besproken zijn, kan de formule voor de Shapley-waarde gevonden worden. Eerst wordt uit-eengezet hoe de Shapley-waarde intu¨ıtief gerealiseerd wordt, hierna wordt de Shapley-waarde voor het voorbeeld van de skischoenen berekend en ten slotte wordt deze formeel geformuleerd.
Stel er is een tafel waar onderhandelingen plaatsvinden, waar een bepaalde coalitie is gevormd. De waarde die deze coalitie meer waard wordt als er een speler bij komt zitten, wordt de marginale waarde van die speler genoemd. Dit is afhankelijk van de volgorde waarin de spelers ’aan tafel’ komen zitten. Als er n spelers zijn, kan dit op n! mogelijke manieren; het aantal permutaties. De Shapley-waarde van een speler is de som van zijn marginale bijdragen, gedeeld door het aantal permutaties.
Zij Q(N ) de set van alle permutaties, π een permutatie en Pi(π) de spelers
aanwezig voor speler i. De marginale bijdrage van speler i is dan gedefinieerd als
ψπi(N ; v) := v(Pi(π) ∪ i) − v(Pi(π)).
Vervolgens is de Shapley-waarde gegeven door
Shi(N ; v) := 1 n! X π∈Q(N ) ψπi(N ; v), ∀i ∈ N
Dit is de enige waarde die voldoet aan de axioma’s van effici¨entie, symmetrie, covariantie en de nulspeler eigenschap (1 t/m 4). Zoals eerder benoemd kan de Shapley-waarde ook gekarakteriseerd worden met behulp van eigenschap 5.
Nu kan de Shapley-waarde voor het voorbeeld van de skischoenen berekend worden. Er zijn hier drie kinderen, vanaf nu A, B en C genoemd, dus 3!=6 mogelijke permutaties (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA).
Voor Aletta, die de linker skischoen bezit, is de marginale bijdrage voor de permutaties waar er al iemand ’aan tafel’ zit 10 euro. Zonder haar ’aan tafel’ wordt er namelijk geen paar geproduceerd en zij kan zowel met B als met C samenwerken. Dit is bij 4 van de 6 permutaties. Bij de andere 2, waar de tafel
nog leeg is, is haar marginale bijdrage 0. De som van haar marginale bijdragen is dus 40 euro, en haar Shapley-waarde 406 = 6 euro 67.
Voor B en C, welke symmetrische spelers zijn, zijn er 3 mogelijke situaties. ´
Of de tafel is leeg of alleen de symmetrische speler zit aan tafel (bij 3 permu-taties), dus het kind heeft een marginale bijdrage van 0. ´Of A zit al aan tafel samen met de andere fabrikant dus er is een marginale bijdrage van 0 (bij 2 permutaties). ´Of alleen A zit aan tafel dus de marginale bijdrage is 10 euro. De som van de marginale bijdragen is dus 10 euro, en de Shapley-waarde voor fabrikant A en B is dus 10
6 = 1 euro 67.
Tabel 1: Illustratie bij het voorbeeld.
2.6
Toepassingen van de Shapley-waarde
Zoals eerder benoemd is de Shapley-waarde in vele wetenschappelijke velden toepasbaar. Een van de voorbeelden hiervan is in de politiek. In ”A Method for Evaluating the Distribution of Power in a Committee System”van Shapley en Shubik (1954) wordt een manier besproken, de Shapley − Shubik P ower Index om met behulp van de Shapley-waarde de macht van een persoon in een groep te meten. Zij hebben dit bijvoorbeeld toegepast op de leden van het congres van de Verenigde Staten, waarmee bepaald werd hoeveel macht een lid heeft in een beslissingsproces.
In 2012 is er een onderzoek gedaan naar onder andere de Shapley-waarde door NNOS, beschreven in ”The agencies method for coalition formation in experimental games”, zoals al eerder benoemd. Hier wordt hun onderzoek en de resultaten met betrekking tot de Shapley-waarde besproken.
Hiertoe nodigden zij 300 deelnemers uit die in 10 maal 10 groepen van 3 spelers zijn verdeeld. Elke groep doet met behulp van een computer 40 rondes van hetzelfde spel, waarin een speler steeds dezelfde positie, sterk (A), gemiddeld (B) of zwak (C), behoudt. Aan het eind van deze rondes ontvangt de deelnemer de uitbetaling van het totaal van deze rondes.
Elke ronde bestaat uit 2 fases. In fase 1 kan een speler kiezen om zich door een andere speler te laten vertegenwoordigen. Als niemand dit wilt, is er 10% kans dat de spelers een uitbetaling van 0 krijgen en de volgende ronde begint. Anders wordt de eerste stap herhaald. Als er meerdere paren gevormd worden wordt hier met gelijke kans ´e´en van gekozen en wordt er, net als wanneer er ´e´en paar gevormd is, naar fase 2 doorgegaan. Wanneer dit gebeurt, dan blijft de vertegenwoordigde speler passief voor de rest van fase 2.
In fase 2 krijgen de actieve spelers de kans om de ander als vertegenwoor-diger te kiezen. Als geen van de actieve spelers dit doet, wordt met een kans van 90% ronde 2 herhaald, anders wordt de ronde be¨eindigd en mag de ver-tegenwoordiger, gekozen in ronde 1, de uitbetaling verdelen tussen hem en de vertegenwoordigde. Als beiden de ander als vertegenwoordiger kiezen wordt er met gelijke kans een paar gekozen en wordt er, net als wanneer er slechts ´e´en paar werd gevormd in fase 2, overgegaan tot de uitbetaling. De vertegenwoor-diger mag over alle drie de spelers de uitbetaling van 120 ECU ’s, experiment valuta eenheden, verdelen. Hierna wordt er begonnen met de volgende ronde.
Per groep zijn er verschillende waardes per coalitie. Voor elke groep geldt dat de grote coalitie, waar alle drie de spelers aan meedoen, 120 ECU waard is. Daarnaast zijn er verschillende waardes voor een coalitie van AB, BC en AC. Bij groep 1 is dit bijvoorbeeld 120, 100 en 90, terwijl dit bij groep 10 70, 50 en 30 was. De bijbehorende Shapley-waardes zijn dan 46.67, 41.67 en 31.67 bij groep 1 en 50.00, 40.00 en 30.00 bij groep 10.
Bij dit onderzoek lag 72% van de resultaten het dichtst bij gelijke verdeling, 25% het dichtst bij de Shapley-waarde en 3% het dichtst bij de Nucleolus. Dit
is onder andere te verklaren door de zeer kleine kans van 10% dat er een uit-betaling van 0 is wanneer er geen overeenkomst wordt bereikt. Hierdoor was in slechts 1% van alle rondes geen overeenkomst, in 7.5% een deelcoalitie en in 91.5% een coalitie van drie personen.
Zoals eerder besproken is het experiment van deze scriptie op het bovenge-noemde experiment gebaseerd. Een van de redenen dat dit experiment wordt gebruikt, is dat het er een spel wordt gespeeld met drie spelers. Wanneer een dergelijk coalitiespel wordt gespeeld met vier of meer spelers dan is dit veel com-plexer. Dan kan er naast de grote en deelcoalitie namelijk ook een driespeler-coalitie gevormd worden.
2.7
Hypotheses
In de onderzoeksopzet is het experiment van deze scriptie verder uiteenge-zet. Het verschil tussen dit experiment en het experiment van NNOS is dat zij van de onderhandelingen een non-co¨operatief spel maken. Myerson(1991): N ash0s program voor co¨operatieve speltheorie definieert co¨operatieve oplos-singsconcepten zodanig, dat een co¨operatieve oplossing voor elk gegeven spel een Nash evenwicht is van een co¨operatieve transformatie van het spel. Op N ash0s program wordt hier niet dieper ingegaan, aangezien er bij ons vrij
on-derhandeld wordt. Omdat er naar co¨operatieve spellen relatief weinig onderzoek is gedaan, is het lastig om hypotheses te stellen.
Aangenomen wordt dat er geen verschil is tussen co¨operatieve en non-co¨operatieve spellen. De hypothese is dat deze experimenten vergelijkbaar zijn, dus dat er een vergelijkbaar aantal twee- en drie- persoonscoalities zijn. Als de Core leeg is wordt verwacht dat er vaker een deelcoalitie wordt gevormd en wanneer deze niet leeg is vaker een grote coalitie. Verwacht wordt dat een deelcoalitie zijn waarde volgens de quota’s zal verdelen en in het geval van een grote coalitie de Shapley-waarde eveneens een goede, maar niet de beste oplossing zal zijn. Ook is de hypothese dat sterke spelers vaker een coalitie zullen vormen, dus dat de meest voorkomende deelcoalitie die van speler A en speler B zal zijn. Ten slotte wordt verwacht dat de waarde van de coalities geen invloed heeft op de tijd die het kost om tot een waardeverdeling te komen.
3
Onderzoeksopzet
Het experiment voor deze scriptie wordt afgenomen in samenwerking met Maxime van Leeuwen en Dorien Lugten. Deze studentes doen ook onderzoek naar co¨operatieve spellen, waarbij van Leeuwen zich focust op de Nucleolus en Lugten op de Core.
3.1
Het experiment
Op 20 mei 2015 nemen dertig derdejaars econometriestudenten deel aan het experiment. Zij worden gedurende 5 rondes verdeeld in 10 groepen van 3 spelers. Hierbij is er in elke ronde een zwakke speler (A), een gemiddelde speler (B) en een sterke speler (C). Bij elke ronde wisselen de groepen van samenstelling.
Hier is voor gekozen omdat, in tegenstelling tot het experiment van NNOS, dit experiment niet anoniem wordt afgenomen op de computer. De mogelijk-heid bestaat dat studenten die elkaar goed kennen elkaar een hogere uitbetaling gunnen dan studenten die dit niet doen. Om dit fenomeen te minimaliseren, maken we gebruik van groepen van wisselende samenstelling.
De spelers hebben per ronde ´e´en minuut de tijd om te onderhandelen. Voor dit experiment zijn niet de middelen beschikbaar om echte uitbetalingen te doen, maar de deelnemers wordt gevraagd om te handelen zoals ze zouden doen als er wel geld in het spel is. Er kan gekozen worden om een coalitie te vormen met drie spelers, dan is er 720 te verdelen. Ook kan er een coalitie gevormd worden met 2 spelers, dan zijn de waarden zoals beschreven in tabel 1 te verdelen.
Dit zijn dezelfde waarden als bij het onderzoek van NNOS, met als verschil dat wij deze waarden met 6 hebben vermenigvuldigd. Dit is gedaan omdat de Nucleolus en Shapley-waarden vaak eindigen op .50, .33 en .67. Vaak wordt er in een onderhandeling gekozen voor ’mooie’ ronde getallen, en zal dus niet gekozen worden voor deze waarden. Het kiezen van ronde getallen, zoals bijvoorbeeld 50-50 wanneer er 100 verdeeld kan worden wordt de f ocal eigenschap genoemd van Schelling(1960). Dit is de eigenschap dat een bepaalde verdeling vaker voorkomt omdat die om de een of andere reden aantrekkelijker is. In Myerson(1991): Wanneer de spelers een uniek evenwicht kunnen vinden dat een onpartijdige onderhandelaar zal selecteren, kan dit punt f ocal worden.
Wanneer er geen overeenkomst gevormd kan worden tussen de spelers bin-nen een minuut, krijgen alle spelers een uitbetaling van 0. Hieronder volgt een voorbeeld van het document dat een proefpersoon krijgt uitgereikt, waarop nog-maals staat wat er van hen verwacht wordt en aan welke tafel zij plaats mogen nemen, tevens het formulier met de waardes van de coalities waarop de waar-deverdeling aan het eind van een spel wordt ingevuld.
Figuur 2: instructieformulier proefpersoon.
Figuur 3: invulformulier waardeverdeling.
Aan het eind van elke ronde noteren de spelers wat de verdeling is die is bereikt, welke coalitie gevormd is en tevens hoe lang er over gedaan is om deze verdeling te bereiken. Dit wordt geklokt met behulp van een stopwatch.
3.2
Quota’s
Naast het vergelijken met gelijke verdeling, Shapley-waarde en Nucleolus zoals NNOS heeft gedaan, wordt er in dit onderzoek ook gekeken in hoeverre de waardeverdelingen overeenkomen met quota’s. Quota’s kunnen gebruikt worden bij spellen van drie spelers, waarbij twee spelers ervoor kunnen kiezen om een coalitie te vormen. Een dergelijk spel wordt ook wel een quota game genoemd. Quota’s geven objectief de sterkte van een speler weer.
Quota’s zijn de individuele toevoegingen aan een coalitie. Dit is niet eenvou-dig af te lezen, aangezien alleen gegeven is hoeveel de spelers samen toevoegen. Wel is dit uit te rekenen. Er is hier sprake van 3 vergelijkingen en 3 onbekenden,
hieronder weergegeven.
A + B = v(AB) (7) A + C = v(AC) (8) B + C = v(BC) (9)
De waarde van de coalitie is gelijk aan de individuele toevoeging van de spe-lers die aan die coalitie deelnemen. Als de waarde van alle tweespelercoalities waar een speler aan deelneemt worden opgeteld en vervolgens de waarde van de tweespelercoalitie waar de speler niet aan deelneemt hiervan wordt afgetrok-ken en er gedeeld wordt door twee verkrijgt men de quota. Zie onderstaande berekeningen.
v(AB) + v(AC) − v(BC) = (10) A + B + A + C − B + C = 2A (11) 2A/2 = A (12)
Op gelijke wijze als in (10) tot en met (12) is de quota van speler B en speler C te verkrijgen. In onderstaande tabel is voor elk spel de waarde van de coalities, de Nucleolus, de Shapley-waarde en de quota’s gegeven. De waarde van de grote coalitie is voor elk spel gelijk aan 720.
Tabel 4: De waardes die de coalities waard zijn, Shapley-waardes en Nucle-olus.
Te zien is dat de quota’s het meest competatief zijn en de Shapley-waarde, na de gelijke verdeling uiteraard, het minst. De Shapley-waarde ligt bijna precies
tussen de gelijke verdeling en quota’s in. In ons experiment zijn alle quota’s positief.
Na het experiment wordt vervolgens geanalyseerd in hoeveel procent van de rondes er een coalitie met twee spelers, een coalitie met drie spelers of geen coalitie gevormd is. Ook wordt er onderzocht of de sterkste speler, speler A, vaker een coalitie vormt dan de zwakkere spelers B en C. Daarnaast wordt er, wanneer er een grote coalitie wordt gevormd, geanalyseerd of de waardeverdeling het dichtst ligt bij de Shapley-waarde, Nucleolus of gelijke verdeling. Wanneer er een deelcoalitie wordt gevormd, wordt er geanalyseerd of de waardeverdeling het dichtst ligt bij de quota’s of een gelijke verdeling van de waarde van de deelcoalitie over de deelnemende spelers. Daarnaast wordt er bekeken hoeveel tijd er gemiddeld per ronde onderhandeld is en ten slotte worden de resultaten van dit experiment vergeleken met die van Nash.
4
Onderzoeksresultaten
Zoals beschreven in de onderzoeksopzet is het experiment op 20 mei 2015 afge-nomen. Hieruit zijn in totaal 50 waarnemingen verkregen van 10 verschillende spellen, welke in zijn totaliteit in bijlage 1 te vinden is.
Per waarneming is door de spelers opgeschreven wat de waardeverdeling was en hoe lang zij er over hebben gedaan om tot deze verdeling te komen. Ver-volgens is bepaald of deze verdeling een grote coalitie betreft, zoals bij spel 1 waarneming 1 waar de verdeling 240-240-240 betrof, of een tweespelercoalitie zoals bij spel 1 waarneming 2 waar de verdeling 500-0-100 was. Daarnaast is beschreven uit welke spelers de coalitie bestond; uit speler A en B, B en C, A en C of in het geval van een grote coalitie speler A, B en C. In onderstaande tabel staan de gevormde coalities beschreven.
Tabel 5: De gevormde coalities.
Tevens is geanalyseerd of de waardeverdeling wanneer er een grote coalitie is gevormd het dichtst bij de Shapley-Waarde, de Nucleolus of Gelijke verdeling ligt. Dit is gedaan met behulp van de volgende formules, waarbij W staat voor de waardeverdeling, S voor Shapley-waarde, N voor Nucleolus en G voor gelijke verdeling.
d(W, S) =p(WA− SA)2+ (WB− SB)2+ (WC− SC)2 (13)
d(W, N ) =p(WA− NA)2+ (WB− NB)2+ (WC− NC)2 (14)
d(W, G) =p(WA− GA)2+ (WB− GB)2+ (WC− GC)2 (15)
Hierin is de afstandsfunctie d dus de wortel van de som van de kwadratische afstand van de verkregen waardeverdeling en de oplossingsconcepten van speler A tot en met C. Er is hier gebruik gemaakt van kwadrateren, omdat posi-tieve en negaposi-tieve afstanden dan niet tegen elkaar kunnen wegvallen. Wanneer bijvoorbeeld WA− SA = −100 , WB− SB = 100 en WC− SC = 0, zou
wan-neer niet gebruik wordt gemaakt van kwadraten de som hiervan nul zijn, wat zou impliceren dat het oplossingsconcept precies overeenkomt met de verkregen waardeverdeling en kan dit onterecht als beste oplossing uit de bus komen.
Vervolgens is per waarneming geanalyseerd of de verkregen waardeverdeling het best overeenkomt met de Shapley-waarde, Nucleolus of gelijke verdeling, door de uitkomsten van formules (13) tot en met (15) te vergelijken. De beste oplossing is degene met de laagste uitkomst uit de bijbehorende afstandsfunctie.
waardeverde-ling het dichtst ligt bij de quota’s of bij gelijke verdewaardeverde-ling van de waarde van de deelcoalitie over de deelnemende spelers. Dit komt neer op bijvoorbeeld 360 voor speler A en B en 0 voor speler C wanneer speler A en B een coalitie vormen in spel 1, en 0 voor speler A en 210 voor speler B en C wanneer speler B en C een coalitie vormen in spel 5. Op gelijke wijze als bij de grote coalitie wordt de afstand berekend, met als verschil dat nu alleen de afstand wordt berekend van de spelers die deelnemen aan de coalitie. Dit komt neer op de volgende formules voor de quota’s:
d(Q, W |v(AB)) =p(WA− QA)2+ (WB− QB)2 (16)
d(Q, W |v(AC)) =p(WA− QA)2+ (WC− QC)2 (17)
d(Q, W |v(BC)) =p(WB− QB)2+ (WC− QC)2 (18)
En de volgende formules voor de gelijke verdeling:
d(G, W |v(AB)) = r (WA− v(AB) 2 ) 2+ (W B− v(AB) 2 ) 2 (19) d(G, W |v(AC)) = r (WA− v(AC) 2 ) 2+ (W C− v(AC) 2 ) 2 (20) d(G, W |v(BC)) = r (WB− v(BC) 2 ) 2+ (W C− v(BC) 2 ) 2 (21)
Nu zijn bij een deelcoallitie van speler A en speler B de uitkomsten van for-mule (16) en (19) vergeleken, bij een deelcoalitie van speler A en speler C de uitkomsten van formule (17) en (20) en bij een deelcoalitie van speler B en C de uitkomsten van formule (18) en (21). Dit geeft de volgende resultaten, waarin Q staat voor Quota, GD voor gelijke verdeling deelcoalitie, S voor Shapley-waarde, N voor Nucleolus en GG voor gelijke verdeling grote coalitie.
Tabel 6: De beste afstanden bij grote coalities en deelcoalities.
Ten slotte is de tijd nog bijgehouden, hieronder is het gemiddelde per spel ge-geven.
Tabel 7: De gemiddelde tijd per spel.
5
Analyse
Naar aanleiding van de resultaten van het experiment kunnen er conclusies worden getrokken over de juistheid van de hypotheses. Daarnaast worden er verklaringen gegeven voor de gevonden resultaten.
5.1
Coalitievorming
Bij dit experiment is er veel vaker dan bij NNOS een deelcoalitie gevormd, de helft van de waarnemingen tegen 7,5%. Dit valt waarschijnlijk te verklaren
doordat er bij dit experiment vrij onderhandeld kon worden, waardoor men wellicht competatiever wordt.
Ook was er bij NNOS wanneer er geen overeenkomst werd bereikt maar een kleine kans dat dit tot uitbetaling nul resulteerde, er kon dan meestal opnieuw onderhandeld worden. Waarschijnlijk zorgde dit ervoor dat de speler die niet betrokken werd in de deelcoalitie de waardeverdeling steeds afkeurde, net zolang tot er besloten werd om dan maar voor de grote coalitie te gaan. Hieruit kan de hypothese worden getrokken dat bij co¨operatieve spellen vaker een deelcoalitie wordt gevormd dan bij een non-co¨operatief spel.
Als er gekeken wordt naar het aantal grote coalities en deelcoalities per spel, is te zien dat er bij spel zeven tot en met tien vaker een grote coalitie wordt gevormd dan bij spel ´e´en tot en met zes. In onderstaande grafiek is het aantal grote coalities per spel weergegeven.
Figuur 8: Het aantal grote coalities per spel.
Dit verloop is te verklaren doordat de grote coalitie bij spel zeven tot en met tien een overschot bevat, waar dit niet het geval is bij de andere spellen. Een over-schot wil zeggen dat de grote coalitie een grotere waarde heeft dan de waarde
van de quota’s van alle spelers bij elkaar. Wanneer dit het geval is kunnen de spelers wanneer er een grote coalitie wordt gevormd allen hun quota krijgen, plus nog wat extra.
Wanneer een grote coalitie wordt gevormd en de waarde daarvan naar rede-lijkheid wordt verdeeld, zullen alle spelers dus tevreden zijn. Daarom wordt er in het geval van overschot vaker gekozen voor een grote coalitie. Bij spel ´e´en tot en met vier is er geen meerwaarde om een grote coalitie te vormen, deze is even veel waard als een deelcoalitie. Bij spel vijf is de core ook leeg maar heeft het vormen van een grote coalitie wel meerwaarde. We zien dan ook dat hier vaker een grote coalitie is gevormd. Wanneer er sprake is van tekort, wat het geval is bij spel ´e´en tot en met vijf (bij spel zes is er sprake van tekort noch overschot), zal de grote coalitie niet toereikend zijn om alle spelers tevreden te maken en zal er eerder gekozen worden voor een deelcoalitie.
Daarnaast is er inderdaad het vaakst een coalitie gevormd door speler A en speler B, de sterkste spelers. In onderstaand figuur is te zien dat dit in 56% van de waarnemingen het geval was. In 36% werd er een deelcoalitie gevormd met speler A en speler C en slechts in 8% met speler B en speler C.
Figuur 9: De gevormde deelcoalities.
In totaal was speler A ook het vaakst betrokken in een deelcoalitie. In 92% van de deelcoalities was speler A betrokken, terwijl dit respectievelijk bij speler
B en speler C maar 64% en 4% is. Deze speler heeft de hoogste quota’s en de deelcoalities met deze speler zijn meer waard dan een deelcoalitie met de andere speler.
Dit is te verklaren doordat speler A de meeste macht heeft. Als speler B kan kiezen tussen een samenwerking met speler A of speler C dan zal hij eerder kiezen voor een coalitie met speler A, simpelweg omdat de waarde van deze coalitie hoger is. Hetzelfde geldt wanneer speler B moet kiezen tussen een samenwerking met speler A of speler C. Hieruit kan de hypothese gesteld worden dat de sterkste speler vaker betrokken is bij het vormen van een deelcoalitie.
5.2
Afstand
Met behulp van de in de onderzoeksresultaten beschreven afstandsfuncties is bepaald wat de beste benadering is voor de waardeverdeling. Wanneer er een deelcoalitie was gevormd, werden de quota’s vergeleken met een gelijke verde-ling van de waarde van de deelcoalitie onder de deelnemende spelers. Hieruit is gebleken dat in 72% van de gevallen de quota’s een betere benadering zijn en in 28% de gelijke verdeling. In onderstaande grafiek zijn de afstandsfuncties tegen de spellen uitgezet.
Te zien is dat inderdaad de quota’s bijna overal een betere benadering zijn dan de gelijke verdeling. In spel 9 en spel 10 zijn er alleen grote coalities ge-vormd, om deze reden staan deze spellen niet in de grafiek.
Wanneer er een grote coalitie werd gevormd, werd de uitkomst van de afstands-functie van de Shapley-waarde vergeleken met die van de Nucleolus en gelijke verdeling. Gebleken is dat in 19% van de gevallen de Shapley-waarde de beste benadering. Voor de Nucleolus en gelijke verdeling is dit beiden 41%. In onder-staande grafiek zijn de afstandsfuncties tegen de spellen uitgezet.
Figuur 11: De afstandsfunctie van de Shapley-waarde, Nucleolus en gelijke ver-deling.
Ten eerste valt op dat bij spel ´e´en, twee en vier de afstandsfunctie van de gelijke verdeling een waarde heeft van nul. Dit komt doordat bij deze spellen slechts ´e´en keer een grote coalitie is gevormd en dat hierbij de waardeverdeling gelijk was aan de gelijke verdeling. Deze waarnemingen zijn om deze reden niet erg representatief.
Daarnaast is af te lezen dat bij de andere waarnemingen de Shapley-waarde bijna altijd als beste oplossing uit de bus komt. Dit is tegenstrijdig met de eerder genoemde percentages, hieruit bleek dat de Shapley-waarde juist het
minst goed was. Dit komt doordat de Shapley-waarde gezien kan worden als een oplossingsconcept voor de gemiddelde waarde verdeling, zoals in het theoretisch kader besproken.
Om deze reden is er onderzocht of het beter is om, in plaats van per spel het gemiddelde van de afstandsfuncties te berekenen, per spel van de gemid-delde waarneming de afstandsfunctie te nemen. Hierin zijn wederom alleen de inwendige punten, de punten waar een grote coalitie is gevormd, meegenomen. We noemen dit manier 2. De resultaten hiervan ten opzichte van manier 1 zijn weergegeven in het figuur op de volgende pagina.
Figuur 12: Een andere manier voor de afstandsfuncties.
Ten eerste valt op dat bij spel ´e´en tot en met vier en spel 6 de lijnen pre-cies samenvallen. Dit komt doordat er bij deze spellen slechts ´e´en maal een grote coalitie is gevormd, dus dan is het om het even welke manier wordt ge-bruikt. Daarnaast blijkt inderdaad dat het voor de Shapley-waarde bij alle spellen het beter is, om de afstandsfunctie van de gemiddelde interne waarne-mingen te nemen. Wat bevestigd dat de Shapley-waarde een oplossingsconcept is voor de gemiddelde waarde verdeling. Bij de Nucleolus en Gelijke verdeling is dit ook bij een aantal waarnemingen het geval, maar niet in dezelfde mate als de Shapley-waarde.
5.3
De von Neumann oplossing
Zoals in het theoretisch kader beschreven, is von Neumann de grondlegger van de speltheorie. Hij heeft zelf ook een oplossingsconcept voor een coalitiespel ontwikkeld. Uit de resultaten van het experiment is gebleken dat deze oplos-sing relatief vaak voorkomt, om deze reden wordt deze oplosoplos-sing hier besproken. Er zal niet in worden gegaan op axioma’s maar wel zal het oplossingsconcept kort worden toegelicht. Bij de von Neumann oplossing wordt er vanuit gegaan dat ´e´en speler een bepaalde waarde krijgt toegekend en vervolgens niet meer meedoet aan de onderhandeling. Vervolgens verdelen de twee andere spelers de resterende waarde gelijk onder elkaar.
Er is geanalyseerd hoeveel keren de Von Neumann oplossing is voorgekomen. Hier zijn ook de waarnemingen meegerekend waarbij ´e´en van de spelers een waarde had van nul en de anderen de rest van de waarde gelijk verdeeld had-den. Dit is dus gelijk aan de gelijke verdeling bij een deelcoalitie. Ook zijn de waarnemingen meegerekend waarbij de spelers die de waarde gelijk moesten ver-delen een verschil hadden van minder dan twintig. Gebleken is dat in 48% van de waarnemingen voor de von Neumann oplossing is gekozen. In onderstaand figuur is het aantal keren per spel weergegeven.
Figuur 14: De von Neumann oplossing.
Te zien is dat wanneer het overschot groter wordt, er vaker wordt gekozen voor de von Neumann oplossing.
Wanneer gekeken wordt naar zowel de coalitievorming als de verdere waar-deverdeling valt te zien dat bij spel 5 en 6 spelers moeite hebben met het vinden van een waardeverdeling. Deze waarnemingen hebben veel uitschieters. Er kan geconcludeerd worden dat spelers het moeilijk vinden om de waarde te verdelen wanneer de grote coalitie wel meerwaarde heeft, maar er geen of weinig overschot is.
5.4
Tijd
In het theoretisch kader werd verondersteld dat de waarde van de coalities geen invloed heeft op de tijd die er nodig is om een waardeverdeling vast te stellen. Uit figuur 13 blijkt dat deze veronderstelling juist is. Er is wel schommeling, maar er is niet vast te stellen dat dit meer of minder wordt, naargelang er meer of minder overschot is, of dat er vaker of minder vaak een grote coalitie wordt gevormd.
Figuur 13: Het verloop van de tijd.
6
Conclusie
Uit de analyse van de onderzoeksresultaten zijn een aantal antwoorden geko-men op de eerder gestelde vragen, maar ook zeker meer vragen gekogeko-men. Zoals eerder besproken was het vooraf lastig om hypotheses te stellen aangezien er weinig onderzoek gedaan is naar co¨operatieve spellen. Wel kon het experiment vergeleken worden met het experiment van NNOS.
De hypothese was dat er het vaakst een deelcoalitie zal worden gevormd door de sterkste speler. Dit komt overeen met de resultaten van het experiment, speler A vormde de meeste coalties. Daarnaast bleek dat inderdaad wanneer de Core niet leeg is er vaker een grote coalitie wordt gevormd.
geke-ken wordt hoeveel procent van de waardeverdelingen het dichtst bij liggen, de Shapley-Waarde niet als de beste oplossing uit de bus komt. Dit is wel het geval wanneer het gemiddelde per spel wordt genomen. Dit komt doordat de Shapley-waarde beschouwd kan worden als een oplossingsconcept voor de ge-middelde waardeverdeling. Ook is gebleken dat wanneer er in plaats van het gemiddelde van de uitkomst van de afstandsfuncties, de afstandfunctie van de gemiddelde waarneming wordt genomen dit een betere benadering is. Dit heeft dezelfde verklaring.
De hypothese was dat wanneer er een deelcoalitie werd gevormd, de waarde volgens de quota’s verdeeld zouden worden. Gebleken is dat in driekwart van de gevallen quota’s een betere benadering zijn dan de gelijke verdeling.
Ook was de verwachting dat de waardes van de coalities geen invloed zul-len hebben op de tijd die ervoor nodig is om een waardeverdeling te bereiken. Ook dit is uit het experiment gebleken. Ten slotte is gebleken dat de von Neu-mann oplossing vaak een goede uitkomst is en dat spelers moeite hebben met de waardeverdeling wanneer de grote coalitie meerwaarde heeft, maar het over-schot klein is.
Wij hadden beschikking tot te weinig waarnemingen om statistische toetsen te kunnen doen. Ook was er bij een aantal spellen slechts ´e´en maal een grote coalitie gevormd waardoor er over deze waarnemingen weinig te zeggen valt. Bij dit experiment is daarnaast geen echt geld gebruikt, dus het zou daarnaast kunnen dat wanneer er wel met echt geld wordt gespeeld dit in andere uitkom-sten resulteert. Ook was er sprake van ongecontroleerde omstandigheden. Om te kunnen concluderen of deze uitkomsten ook in het algemeen gelden, zal er meer onderzoek gedaan moeten worden naar co¨operatieve spellen.
7
Bibliografie
Gillies, D. B. (1953). Solutions to general non-zero-sum games. In Tucker, A. W.; Luce, R. D. Contributions to the Theory of Games IV. (Annals of Mathe-matics Studies 40). Princeton: Princeton University Press, p. 47–85.
Nash, John F. (1950) Non-Cooperative Games. PhD Thesis, Princeton Uni-versity.
Nash, J.F., Nagel, S., Ockenfels, A.&Selten, R.(2012). The agencies me-thod for coalition formation in experimental games. United States, Princeton: Princeton University Press.
Maschler, M., Solan, E.&Zamir, S.(2013) Game Theory. United Kingdom, Cambridge: Cambridge University Press.
Myerson, Roger B. (1991). Game Theory: Analysis of Conflict. United States, Harvard: Harvard University Press.
Schmeidler, D. (1969), The nucleolus of a characteristic function game. SIAM Journal of Applied Mathematics 17.
Von Neumann, John(1928) Zur Theorie der Gesellschaftsspiele. Mathema-tische Annalen.
Von Neumann,J.&Morgenstern,O.(1944) Theory of Games and Economic Behavior. United States, Princeton: Princeton University Press.
Young, Peyton(1985).Monotonic Solutions of Cooperative Games. Interna-tional Journal of Game Theory, 14, p. 65-72.
Bijlage 1: De volledige waarnemingen van het experiment.
Q staat voor Quota, S voor Shapley-waarde, N voor Nucleolus, G voor gelijke verdeling; over 3 spelers bij een grote coalitie en over de twee deelnemende spelers bij een deelcoalitie. GADC staat voor gemiddelde afstand deelcoali-tie, GAGC voor gemiddelde afstand grote coalitie en GAGC* is de gemiddelde afstand grote coalitie op manier 2.
