De Diepte van het Platte Vlak
Een bachelorscriptie over de dekpuntstelling van Brouwer, de stelling van de Jordan-kromme en de dualiteitsstelling van Alexander in twee dimensies gepresenteerd door
H. G. (Marlinde) Rijksen onder begeleiding van dhr. prof. dr. J. ( Jan) van Mill
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam
Scriptie begeleider: dhr. prof. dr. J. ( Jan) van Mill H. G. (Marlinde) Rijksen
De Diepte van het Platte Vlak
Abstract
In deze scriptie worden drie grote resultaten van de algebraïsche topologie in het platte vlak uitgelicht: de dekpuntstelling van Brouwer, de Jordan-kromme en Alexander’s dualiteitsstel-ling. De dekpuntstelling van Brouwer in het platte vlak geeft dat iedere continue afbeelding van de eenheidsschijf naar zichzelf een dekpunt heeft. We geven een bewijs hiervoor aan de hand van het door Brouwer geïntroduceerde begrip windingsgetal. De stelling van Jordan in het platte vlak geeft dat een enkelvoudig gesloten kromme C het vlak in twee componenten ver-deeld, waarbij de topologische rand van beide componenten gelijk is aan C. We leveren hiervoor een elegant bewijs door middel van een formule voor het aantal componenten van bepaalde α-ruimtes. Ook introduceren we voor het bewijs krachtige algebraïsche instrumenten zoals de Mayer-Vietoris rij en de stelling van Eilenberg, die bovendien een belangrijke rol spelen in het bewijs voor de dualiteit van Alexander dat we geven. De dualiteitsstelling van Alexander geeft voor een compactum K ⊂ C een isomorfisme ˜H0(C \ K) ∼= H1(K). We vinden dus een één op één relatie tussen het aantal componenten vanC \ K en de topologische structuur van het compactum zelf. Voor een bewijs maken we gebruik van de eigenschappen van vrije groepen.
Afbeelding voorblad: een Jordan-kromme.
Inhoudsopgave
1 Inleiding 1
2 De dekpuntstelling van Brouwer 7
2.1 Contraheerbaarheid van convexe deelverzamelingen vanRn . . . . 9
2.2 Homotopie . . . 9
2.3 Optilling . . . 10
2.4 Windingsgetal . . . 13
2.5 De Dekpuntstelling van Brouwer . . . 16
3 De Stelling van Jordan 17 3.1 Toepassing van dualiteitsstelling van Alexander . . . 19
3.2 Aantal componenten van α-ruimte . . . . 22
3.3 Uitbreidingen . . . 24
3.4 Algebraïsche technieken . . . 25
3.5 De Stelling van Jordan . . . 29
4 De Dualiteitsstelling van Alexander 33 4.1 Vrije groep van X . . . . 35
4.2 Het homomorfisme D2 . . . 35
4.3 Injectiviteit van D . . . . 39
4.4 Surjectiviteit van D . . . . 41
4.5 De Dualiteitsstelling van Alexander . . . 47
6 Populaire Samenvatting 52
A Lijst van definities 57
B Supplementaire bewijzen voor hoofdstuk 2 60
C Supplementaire bewijzen voor hoofdstuk 3 63
Lijst van figuren
1.0.1 Het grijze is het origineel, het groene het beeld en het rode het dekpunt. . . . 3
1.0.2 Een iets ingewikkeldere continue vervorming van de eenheidsschijf, dekpunt in rood. . . 3
1.0.3 Voorbeeld van een Jordan-kromme. Fiona Ross, A thread in the labyrinth, 600”×600”, 2011, Micron ink on Denril paper [19]. . . 6
2.0.1 L.E.J. Brouwer . . . 8
2.3.1 De afbeelding e1 = e|(0,1). . . . 10
2.3.2 Hier geldt e−1(B) =∪n∈Z([π,3π2] + n). . . . 11
2.5.1 Afbeelding φ projecteert x∈ D vanuit f(x) op S1. . . . 16
2.5.2 De afbeelding Id is een optilling g van φ|S1 = Id. . . . 16
3.0.1 Marie Ennemond Camille Jordan . . . 18
3.1.1 Laat S1∩ C1 =∅ = C2∩ S2. . . 20
3.1.2 Ieder vierkant dat ontstaat mist C1∪ S2of C2. . . . 20
3.1.3 Ieder vierkant K∈ K snijdt de verzameling C1∪ S2. . . 20
3.1.4 Een deel van de lijnstukken uit B zal het pad vormen van x naar y. . . . 20
3.1.5 Toepassing van de dualiteitsstelling van Alexander. . . 21
3.4.1 Inclusie afbeeldingen Mayer-Vietoris rij. . . 25
3.5.1 Het vlak wordt in twee componenten verdeeld door C. . . . 32
3.5.2 De topologische rand van K is C. . . . 32
4.0.1 Alexander’s Horned Sphere. . . 33
4.0.2 James Waddell Alexander II met zijn vader John White Alexander. . . 34
4.2.2 Er is een uniek homomorfisme D2. . . . 36
4.2.3 Er is een uniek homomorfisme D3. . . . 36
4.2.4 Dit diagram commuteert, lemma 4.6. . . 37
4.4.1 Geen van de vierkantjes snijdt zowel X als K. . . . 42
4.4.2 Dit diagram commuteert, lemma 4.12. . . 43
4.4.3 Dit diagram commuteert, deel I bewijs lemma 4.12. . . 43
4.4.4 Dit diagram commuteert, deel II bewijs lemma 4.12. . . 43
4.4.5 Dit diagram commuteert, deel III bewijs lemma 4.12. . . 43
4.4.6 Dit diagram commuteert, deel IV bewijs lemma 4.12. . . 44
4.4.7 Dit diagram commuteert, bewijs propositie 4.15. . . 46
4.5.1 Alexander was een van de meest vooraanstaande Amerikaanse bergbeklim-mers van zijn generatie. . . 48
A.0.1 De afbeelding f is een optilling van f. . . . 59
A.0.2 Het paar (G, i) is vrij. . . . 59
B.0.1 De afbeelding G is een optilling van F((e|I)× 1). . . 62
B.0.2 De afbeelding f′is een optilling van f(e|I). . . . 62
B.0.3 De afbeelding g′is een optilling van g(e|I). . . . 62
C.0.1 Stel er ontspringt er precies één. . . 66
C.0.2 Stel er ontspringen er precies drie. . . 66
C.0.3 Stel|{B ∈ B \ J : b ∈ B}| = 4. . . 66
Voorwoord
In deze scriptie doe ik verslag van mijn bachelor onderzoek waarvoor ik van januari tot juli in de diepte van het platte vlak ben gedoken. Niet alleen, maar onder meesterlijke begeleiding van dhr. prof. dr. J. ( Jan) van Mill. Op deze plaats wil ik hem bedanken voor de introductie in het onderwerp van onderzoek, het aanleveren van helder materiaal en het geduldig bieden van inzichten als dat nodig was.
Marlinde Rijksen juli 2015
A child[’s]… first geometrical discoveries are topological… If you ask him to copy a square or a triangle, he draws a closed circle.
Jean Piaget
1
Inleiding
Wiskunde heeft een zekere, onbetwiste, a priori, onfeilbare klank. In het oud-Grieks noe-men we dit vakgebied máthēma, ofwel, wat noe-men leert. Het Engelse mathematics, het Franse
ma-thématiques en het Hongaarse matematika zijn hier van afgeleid. Simon Stevin (1548-1620)
vond het heldere Nederlands echter heel geschikt om wetenschap in te bedrijven, daarom in-troduceerde hij de term wisconst in de wetenschap: Nederlands voor de kunst van het zeker weten [5].
Wiskunde is de kunst van het zeker weten en dat zeker weten doen we door elke bewering te bewijzen. Een wiskundig bewijs associëren we met waarheid, wiskunde lijkt te groeien door een monotone stijging van het aantal zekere en gevestigde stellingen.
Maar de kunst van het zekere is misschien niet zo onfeilbaar als zij doet klinken. Uit het on-betwiste gevoel dat gepaard gaat met die schijn van onfeilbaarheid blijkt dat we het groeiproces vergeten. De wiskunde groeit en ontwikkelt juist doordat zij gevoelig is voor bedenkingen, om-dat axioma’s en definities waarop bewijzen worden gebouwd open staan voor bedenkingen in de wiskundige discourse community [14]. Zo stelt de Hongaarse wetenschapsfilosoof en wis-kundige Imre Lakatos dat speculatieve en kritische ideeën de groei stimuleren. Een tegenvoor-beeld weerlegt een conclusie, wat aanzet tot het opnieuw overwegen van axioma’s. Zo worden definities en aannames vernieuwd, andere conclusies gevonden. Dit spel tussen conclusies en aannames wordt door wiskundigen gespeeld, zowel tijdens de ontwikkeling van hun werk, als bij overwegingen van wiskundige conclusies uit het verleden. Naar Lakatos groeit de wiskunde door een logica van proofs en refutations [13].
Ik wil dus benadrukken dat de wiskunde niet zeker is, maar een zuivere kunst die schept door de prikkels die ze zelf voortbrengt. Ze wordt gevormd en groeit door een nieuwsgierigheid: levende definities, stellingen en bewijzen roepen nieuwe definities, nieuwe stellingen en ele-gantere bewijzen op. Zoals de natuur, onze fysieke omgeving, de biologie, de scheikunde en de natuurkunde inspireert, zo inspireert de wiskunde haarzelf. Een wiskundige is als een schilder of dichter, met als grondstof voor het werk ideeën [9].
Archimedes (287 v. Chr. – 212 v. Chr.) creëerde vlakke meetkunde, door op zoek te gaan naar het zwaartepunt van een parallellogram, van een driehoek en van een trapezium. Zo biedt hij met zijn werk “Over evenwicht in het platte vlak” nog altijd inspiratie in de wiskunde. De schoonheid van pure wiskunde schuilt in haar bestendigheid. Het platte vlak biedt de ruimte voor wiskundige creativiteit. Het kent geen grenzen en tegelijkertijd heeft het een visueel toe-gankelijke dimensie. Ik denk dat het deze toegankelijkheid van het platte vlak is die zorgt voor ruimte voor ons voorstellingsvermogen en ons inspireert tot de ontwikkeling van ideeën. Verfijnde vakgebieden als algebra en topologie zijn verrezen door de continue verrijking van de wiskunde. Als we innovatieve methoden uit deze takken bestuderen in het platte vlak, levert dat spectaculaire resultaten op. In deze scriptie onderzoeken we drie van deze spectaculaire kunstwerken uit dezelfde stroming: de topologie.
Topologie is een uitvloeisel van de klassieke meetkunde, een gebied van de wiskunde waarin we onderzoeken welke eigenschappen van de ruimte behouden blijven als we deze continu ver-vormen. Ze is dus een hele liberale tak van de meetkunde-familie, ze staat continue vervormin-gen toe. Er mag wel geduwd en getrokken worden, maar niet geknipt of geplakt: het gaat over vloeiende bewegingen [17].
Algebra is de taal waarmee we patronen beschrijven. Stevin omschreef deze tak in het Neder-lands met het woord Stelkunde [5]. De term Algebra is afgeleid van het Arabische woord Al-Jabr, wat zoiets als voltooiing en compensatie betekent [7]. Het houdt zich bezig met betrekkingen van door letters en tekens aangeduide grootheden. Deze taal is een krachtig gereedschap om resultaten in andere takken van de wiskunde te scheppen.
Zo vond de eerste hoofdrolspeler in dit verhaal, de Nederlandse wiskundige Bertus Brouwer (1881-1966) innovatieve algebraïsche methoden die de topologie enorm hebben ontwikkeld. Brouwer staat bekend als de Genie van Overschie, een eigenaardige man met geniale ideeën [4]. Eén van de meest spectaculaire resultaten van zijn hand is de dekpuntstelling. Deze stelt dat een continue afbeelding van de eenheidssschijf naar zichzelf altijd in ieder geval één punt weer op zichzelf afbeeldt. Denken we aan continue afbeeldingen in het platte vlak zoals een rotatie of een spiegeling, dan is het resultaat goed te visualiseren. Zie bijvoorbeeld figuur 1.0.1. Een iets inge-wikkeldere continue vervorming van de eenheidsschijf waarbij we een dekpunt kunnen vinden is te zien in figuur 1.0.2.
Figuur 1.0.1: Het grijze is het origineel, het groene
het beeld en het rode het dekpunt.
Figuur 1.0.2: Een iets
ingewikkeldere continue vervorming van de een-heidsschijf, dekpunt in rood.
In hogere dimensies geldt de dekpuntstelling voor eenheidsbollen ook, wat bijvoorbeeld in-houd dat na heel heftig roeren in een kopje koffie er altijd weer zeker één molecuul op haar oorspronkelijke positie terugkomt. Een intrigerend resultaat! In deze scriptie leveren we een bewijs voor deze stelling aan de hand van het door Brouwer geïntroduceerde begrip windings-getal.
Het tweede resultaat dat we onderzoeken is een ogenschijnlijk intuïtief resultaat. De Canadese topoloog Laurent Siebenmann schreef hierover ”Dit is de wiskundige formulering van een feit waar herders al sinds mensenheugenis gebruik van maken.”. Herders willen tijdens de nacht in het veld graag al hun schapen bij elkaar houden, om daarvoor te zorgen spannen ze soms een hek om de kudde. Ze maken dan gebruik van het feit dat ze de ruimte daarmee in twee compo-nenten verdelen: een binnenruimte, waar de schapen zich nu bevinden, en een ruimte daarom-heen. Dit is precies wat de stelling van de Franse wiskundige Camille Jordan (1838-1922) ook zegt: als je een cirkel in het vlak tekent, dan verdeelt dat het vlak in precies twee delen. Nog iets exacter zegt de stelling van Jordan dat voor een enkelvoudig gesloten kromme C⊂ R2het vlak zonder deze kromme, ofwelR2\ C, precies twee componenten heeft. Bovendien geldt er dat C de topologische rand van K is, als K een component is vanR2\C. Het lijkt een intuïtief resultaat, maar zoals de wiskundige Felix Klein schreef: ”Iedereen weet wat een kromme is, totdat men genoeg wiskunde heeft gestudeerd om in de war te raken van het ontelbare aantal mogelijke uitzonderingen.”. De wiskundige spanning van dit resultaat zit dan ook in de algemene formule-ring, we leveren een bewijs dat de stelling waar is voor iedere willekeurige enkelvoudig gesloten kromme. Figuur 1.0.3 geeft een enkelvoudig gesloten kromme weer waarvoor het bewijs voor de stelling van Jordan ook zal gelden. In deze scriptie leveren we een elegant bewijs door middel van een formule voor het aantal componenten van bepaalde α-ruimtes.
De treffende wiskundige innovaties van Brouwer en Jordan inspireerden de Amerikaanse wis-kundige James Alexander (1888-1971) in zijn werk in de topologie. Hij leverde een elegant be-wijs voor de stelling van Jordan, waarna hij een stelling van Jordan-Brouwer bestudeerde waar-door hij het derde opzienbarende resultaat dat wordt onderzocht in deze scriptie formuleerde. De dualiteit die Alexander vond na het bestuderen van de stelling van Jordan-Brouwer geeft namelijk precies een isomorfisme tussen een groep die afhangt van de topologische structuur van een compactum en een groep die wordt gegenereerd door het aantal componenten van het complement van het compactum.
Deze drie grote resultaten bewijzen we alle drie apart in hoofdstukken. Er volgt dus allereerst een hoofdstuk over de dekpuntstelling van Brouwer, daarna een hoofdstuk over de stelling van Jordan en dan een hoofdstuk over de dualiteitsstelling van Alexander. In ieder hoofdstuk volgt na een introductie een serie aan stellingen die het bouwwerk vormen voor het grote resultaat in het hoofdstuk, die steeds de laatste stelling vormt. Sommigen van de stellingen in de bouwwer-ken zijn eenvoudig zelf te verifiëren. We nodigen de lezer daar dan ook van harte uit zelf voor deze stellingen een bewijs te zoeken. Deze stellingen zijn te herkennen aan een schets van het bewijs of een verwijzing naar één van de appendices B, C of D, waar voor de volledigheid deze bewijzen zijn opgenomen. Definities die we hanteren zijn terug te vinden in appendix A. Alle afbeeldingen die we in deze scriptie beschrijven zijn continu, alle ruimtes topologisch. Deze scriptie verschijnt in het Nederlands, in een onderschrijving van Simon Stevin’s overtuiging dat het Nederlands bij uitstek de taal voor de wetenschap is.
Figuur 1.0.3: Voorbeeld van een Jordan-kromme. Fiona Ross, A thread in the labyrinth,
600”×600”, 2011, Micron ink on Denril paper [19].
De bron en gids op weg naar de drie hoofdresultaten van deze scriptie zijn het werk van de to-poloog en mijn begeleider dhr. prof. dr. J. ( Jan) van Mill, verschenen in het dictaat ”De topolo-gie van het platte vlak: enkele eenvoudige resultaten” [15], en een hoofdstuk ”Elementary Plane Topology”, uit zijn boek ”Infinite-Dimensional Topology, Prerequisites and Introduction” [16].
De wiskunde [is] een vrije schepping […], slechts gebonden aan in eigen wezen gewortelde wetten.
L.E.J. Brouwer
2
De dekpuntstelling van Brouwer
Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) verlegde tijdens het begin van de twintigste eeuw de grenzen van de topologie en verkende filosofisch de idee van wiskunde als mentale activiteit van de mens. Doorbraken in de topologie forceerde hij met nieuwe methoden en be-grippen, zoals simpliciale benadering en het windingsgetal. Hij was de eerste die een intrinsieke definitie van dimensie gaf. Zijn filosofische denkbeelden zijn de basis van de intuïtionistische grondlagenstroming in de wiskunde [4].
Een genie uit Overschie, verbonden aan de Universiteit van Amsterdam. Daar studeerde hij van 1897 tot 1904 wis- en natuurkunde, onder D.J. Korteweg en G. Mannoury, wat een be-langrijke invloed had op zijn filosofische gedachtegoed. Hij promoveerde bij Korteweg met het werk Over de grondslagen der wiskunde. Met de rede Intuïtionisme en formalisme aanvaardde hij in 1912 zijn buitengewoon hoogleraarschap aan de UvA. In de verzamelingsleer, functieleer en axiomatiek was hij gewoon hoogleraar vanaf 1913 [4].
Figuur 2.0.1: L.E.J. Brouwer
In 1909 introduceerde Brouwer zijn beroemde dekpuntstelling in drie dimensies. In die tijd be-wees Poincaré een generalisatie van de tussenwaardestelling, waarvoor hij gebruik maakte van de Kronecker index. Hadamard onderzocht deze methode verder, wat leidde tot een analytisch bewijs voor de n-dimensionale dekpuntstelling van Brouwer voor differentieerbare afbeeldin-gen. Hoewel het onbekend is in welk jaar Brouwer de ontdekking precies deed, blijkt uit deze onderzoekingen van Hadamard dat de stelling dan al beroemd is als de dekpuntstelling van
Brou-wer. Brouwer introduceerde de notie windingsgetal in plaats van de Kronecker index, daarmee
bleek het n-dimensionale geval ook voor niet-differentieerbare afbeeldingen waar. Het combi-natorische bewijs hiervoor leverde hij in 1912 [10].
De dekpuntstelling van Brouwer heeft haar toepassingen gevonden in vele takken van de wis-kunde. Zo wordt ze bijvoorbeeld gebruikt in differentiaalvergelijkingen en in de marktecono-mie. De brede toepasbaarheid zorgt voor veel inspiratie en daarmee voor creatieve bewijzen. Naast vele combinatorische en analytische bewijzen, is er bijvoorbeeld een bewijs voor de dek-puntstelling te vinden op basis van het spel Hex [6].
Het windingsgetal zorgde dus origineel voor deze ontwikkeling van de wiskunde, daarom is het interessant in dit hoofdstuk verder in te gaan op deze notie en aan de hand daarvan een be-wijs te leveren voor de dekpuntstelling van Brouwer in het platte vlak. We bestuderen allereerst eigenschappen van onder andere de eenheidsschijf en het windingsgetal. Daarmee bouwen we op naar een bewijs voor de dekpuntstelling van Brouwer in het platte vlak.
2.1 Contraheerbaarheid van convexe deelverzamelingen van
R
n De dekpuntstelling van Brouwer in het platte vlak heeft betrekking op de eenheidsschijf D. Een essentiële eigenschap van deze convexe deelverzameling vanR2voor het bewijs voor de dek-puntstelling is dat ze contraheerbaar is.Stelling 2.1 Iedere convexe deelverzameling vanRnis contraheerbaar.
Een bewijs voor stelling 2.1 is te vinden in appendix B. De stelling impliceert direct het resul-taat in gevolg 2.2.
Gevolg 2.2 Rnis contraheerbaar.
We zullen dit resultaat nog verschillende keren gebruiken, ook in de volgende hoofdstukken.
2.2 Homotopie
Homotopiën spelen een centrale rol in de topologische resultaten die we verkrijgen. Ze geven een exacte betekenis aan het intuïtieve idee van een continue vervorming. De notie homotopie werd geïntroduceerd door Jordan, zie hoofdstuk 3. De volgende stellingen geven essentiële in-formatie over homotopiën voor het bewijzen van de drie grote resultaten in deze scriptie. Allereerst definiëren homotopiën een equivalentierelatie≃ op de verzameling van alle afbeel-dingen van X naar Y.
Stelling 2.3 Homotopie definieert een equivalentierelatie≃ op de verzameling van alle afbeeldingen
van X naar Y.
Deze equivalentierelatie is eenvoudig na te gaan, de details daarvan zijn te vinden in een volle-dig bewijs in appendix B. We geven we de verzameling van alle homotopie-equivalentieklassen op de verzameling van alle afbeeldingen van X naar Y weer met [X, Y].
De volgende stelling laat zien dat de compositie van homotopieklassen [f]◦ [g] gedefinieerd kan worden als [f◦ g].
Deze relaties zijn eenvoudig na te gaan, een volledig bewijs voor stelling 2.4 is bovendien te vinden in appendix B. We concluderen dat de homotopieklasse [f◦ g] alleen afhankelijk is van de homotopieklassen [f] en [g].
2.3 Optilling
Het begrip optilling is één van de sleutelbegrippen in het bewijs voor de dekpuntstelling van Brouwer dat we leveren. Als X een ruimte is en f : X → S1een afbeelding, dan zeggen we dat
f opgetild kan worden als er een afbeelding f : X → R bestaat zodat f = e ◦ f. De afbeelding f heet een optilling van f. Zie ook figuur A.0.1. Ook in het bewijs voor de stelling van Jordan
maken we gebruik van dit begrip en de eigenschappen daarvan die verschijnen in de volgende resultaten.
Allereerst bestuderen we in lemma 2.5 restricties van het homomorfisme e, wat bij zal dragen aan het bewijs voor het belangrijke resultaat in stelling 2.7.
Lemma 2.5 De afbeelding e1 : (0, 1)→ S1\ {1} gedefinieerd door e1 = e|
(0,1)is een
homeomor-fisme. Als B ⊂ S1\ {1} en A = I ∩ e−1(B) dan is e−1(B) =∪n∈Z(A + n) en (A + n) is open in
e−1(B) voor iedere n ∈ Z. Verder is e|(A+n)een homeomorfisme van (A + n) op B voor iedere n∈ Z.
e1:
0 1
( ) S1\ {1}
Figuur 2.3.1: De afbeelding e1= e| (0,1).
Bewijs Triviaal, zie ter illustratie figuur 2.3.1 en figuur 2.3.2.□
Dit lemma levert ook een direct gevolg dat we gebruiken voor het bewijs voor de stelling van Eilenberg (hoofdstuk 3) en voor verschillende resultaten in hoofdstuk 4.
S1\ {1}
B
Figuur 2.3.2: Hier geldt e−1(B) =∪n∈Z([π,3π2] + n).
Bewijs f(X)⊂ S1\ {pt} ≈ S1\ {1} ≈ (0, 1) en (0, 1) is contraheerbaar (zie stelling 2.1). Stelling 2.7 Iedere afbeelding f : I → S1heeft een optilling f : I → R. Als g en h optillingen zijn van f dan is er een n∈ Z zodat g(x) − h(x) = n voor iedere x ∈ I. Dat wil zeggen, als a0∈ R met
e(a0) = f0gegeven is, dan is er een unieke optilling f met f(0) = a0.
Bewijs Stel dat g en h optillingen zijn van f en kies x∈ I. Dan zien we dat
e(g(x)− h(x)) = e(g(x)) · e(h(x))−1
= f(x)· (f(x))−1 = 1.
Ofwel, g(x)− h(x) = n ∈ Z voor alle x ∈ I.
Nu laten we zien dat er voor iedere f een unieke optilling f is met f(0) = a0. We maken een partitie van I = [0, 1]. Laat deze partitie van de vorm 0 = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = 1 zijn met f([ti−1, ti]) ̸= S1voor iedere 1 ≤ i ≤ n voor i, n ∈ N. Met behulp van inductie bewijzen we nu dat er een unieke optilling f van f|[0,ti]is zodat f(0) = a0voor 0≤ i ≤ n.
Basisstap. Voor i = 0 is er niets te bewijzen: f|{0} = f0 = e(a0) voor a0 ∈ R, dus we vin-den de unieke optilling f van f|{0}zodat f(0) = a0.
Inductiehypothese. De bewering is waar voor i − 1, ofwel: er bestaat een unieke optilling f van f|[0,ti−1]zodat f(0) = a0.
Inductiestap. Laat Si = f([ti−1, ti]). Omdat f([ti−1, ti]) ̸= S1voor iedere 1 ≤ i ≤ n voor
i, n ∈ N, kunnen we een bi aanwijzen in S1 \ Si. Dan is bi = e(ci) voor ci ∈ R. Laat nu
Ai = e−1(Si)∩ [ci, ci + 1]. Met behulp van lemma 2.5 (vervang hier 1 door bi) zien we nu dat
Laat nu ni ∈ Z het unieke getal waarvoor geldt dat f(ti−1)∈ Ai+ nien noem e|Ai+nihet
homeo-morfisme ei. Dan kunnen we nu f|[ti−1,ti]definiëren als e
−1
i ◦ f. Als we deze continu samenstellen met f uit de inductiehypothese, dan hebben we een gewenste continue f op [0, ti] gevonden. Nu willen we alleen nog aantonen dat deze ook uniek is. Iedere optilling beeldt [ti−1, ti] af in
∪n∈ZAi+ n. Omdat [ti−1, ti] samenhangend is, wordt deze dus binnen een unieke Ai+ n afge-beeld. Voor deze unieke Ai+ n is maar één keuze, doordat f(ti−1)∈ Ai+ ni. Dus er bestaat een unieke optilling f van f|[0,ti]zodat f(0) = a0.
Dus als a0 ∈ R met e(a0) = f0gegeven is, dan is er een unieke optilling f met f(0) = a0. □
Stelling 2.8 Iedere afbeelding f : I2 → S1heeft een optilling f : I2 → R. Als g en h optillingen zijn van f dan is er een n ∈ Z zodat g(x) − h(x) = n voor iedere x ∈ I2. Dat wil zeggen, als a0 ∈ R
met e(a0) = f(0, 0) gegeven is, dan is er een unieke optilling f met f(0, 0) = a0.
Schets van bewijs Het bewijs voor deze stelling gaat analoog aan het bewijs voor stelling 2.7.
We nodigen de lezer uit één voor één vierkanten te bestuderen in plaats van intervallen met behulp van de lexicografische ordening, dit levert het gevraagde resultaat.
De volgende twee resultaten zijn onderdeel van het bewijs voor de stelling van Jordan. We introduceren ze hier alvast, omdat het interessante resultaten zijn met betrekking tot het begrip optilling.
Stelling 2.9 Laat X een ruimte zijn,˜f0 : X→ R een afbeelding en F : X × I → S1een homotopie
zodat F0= e◦˜f0. Dan is er een unieke homotopie ˜F : X× I → R zodat e ◦ ˜F = F en ˜F0= ˜f0.
Bewijs Stel even dat ˜F bestaat. Als x∈ X, dan is de afbeelding t 7→ ˜F(x, t) een optilling van de
afbeelding t7→ F(x, t) van I → S1, zodat 0 7→ ˜f0(x) (per definitie). Met behulp van stelling 2.7 zien we dat er precies één optilling is met die eigenschap. We definiëren ˜F(x, t) dus met deze
optilling. Deze afbeelding ˜F is continu, de details daarover zijn goed zelf na te gaan. Een bewijs
daarvan is bovendien te vinden in appendix B.□
Gevolg 2.10 Zij X een ruimte. Een afbeelding f : X → S1kan worden opgetild tot een afbeelding
Bewijs ”⇒”. Zij f een afbeelding f : X → S1die kan worden opgetild tot een afbeelding
f : X → R. Omdat R contraheerbaar is (zie gevolg 2.2), is f nulhomotoop. Maar dan geldt
natuurlijk ook dat f = e◦ f nulhomotoop is.
”⇐”. Zij f : X → S1nulhomotoop, zeg F : f0 ≃ f waar f
0de constante afbeelding f0 : x 7→ z is voor alle x∈ X en vaste z ∈ S1. We kiezen a0∈ R zo dat e(a0) = z en definiëren een constante afbeelding ˜f0 : X → R met constante waarde a0. Dan geeft stelling 2.9 ons dat we F kunnen optillen tot een homotopie F : X× I → R zodat F0 = f0. We kunnen de afbeelding f : X→ S1 dus optillen tot de afbeelding F1 : X→ R. □
2.4 Windingsgetal
We werken toe naar een bewijs dat gebruik maakt van de notie windingsgetal. Het windingsgetal werd in 1911 geïntroduceerd door Brouwer. In de algebraïsche topologie geeft het windings-getal van een afbeelding tussen twee compacte geöriënteerde variëteiten van dezelfde dimen-sie weer hoe vaak de domein-variëteit onder de afbeelding om de bereik-variëteit heen windt. Brouwer definieerde dit getal, waarbij hij aantoonde dat de graad van een homotopie invariant is en het gebruikte voor het bewijs voor de dekpuntstelling [10]. De volgende resultaten leve-ren de benodigde eigenschappen van het windingsgetal voor het bewijs voor de dekpuntstelling van Brouwer.
Allereerst hebben homotope afbeeldingen hetzelfde windingsgetal.
Lemma 2.11 Laat f, g : S1→ S1afbeeldingen zijn zodat f ≃ g. Dan geldt deg(f) = deg(g).
Brouwer introduceerde en bewees dit lemma, het is een essentieel onderdeel van het bewijs dat hij leverde voor zijn dekpuntstelling [10]. In het platte vlak is een bewijs vrij eenvoudig te vin-den, zie bijvoorbeeld het bewijs in appendix B.
Het eerste deel van de volgende stelling is belangrijk voor een aantal resultaten in hoofdstuk 4, de equivalenties in het tweede deel vormen het laatste onderdeel dat we nodig hebben voor het bewijs voor de dekpuntstelling van Brouwer. Deze volgt dan ook gelijk na stelling 2.12.
Stelling 2.12 De afbeelding deg(H1(S1)) → Z is een isomorfisme. Verder, als f : S1 → S1een
afbeelding is, dan zijn de volgende uitspraken equivalent: 1. f is nulhomotoop
2. deg(f) = 0
3. f kan opgetild worden tot een afbeelding f : S1 → R.
Bewijs Allereerst laten we zien dat deg(H1(S1)) → Z een homomorfisme is. Laat f, f′ : S1 →
S1afbeeldingen. Stel dat g, g′ : I → R optillingen zijn van f ◦ (e|I) respectievelijk f′ ◦ (e|I). Omdat e een homomorfisme is van de additieve groepR naar de multiplicatieve groep S1, is
g + g′een optilling van (f· f′)◦ (e|I). Dus we zien dat
deg(f· f′) = (g + g′)(1)− (g + g′)(0) = g(1) + g′(1)− g(0) − g′(0) = g(1)− g(0) + g′(1)− g′(0) = deg(f) + deg(f′).
deg(H1(S1)) → Z is dus een homomorfisme, om te bewijzen dat het zelfs een isomorfisme is, tonen we nu ook de bijectiviteit er van aan. Hiervoor bekijken we allereerst de afbeeldingen
pn : S1→ S1
: z7→ zn voor n∈ Z.
Voor iedere pnzien we dat pn◦ (e|I) opgetild kan worden door t 7→ nt. De windingsgetallen van deze elementen uit H1(S1) zijn dus eenvoudig te berekenen: deg(pn) = n· 1 − n · 0 = n voor n ∈ Z. De afbeelding deg(H1(S1)) → Z is dus surjectief, omdat alleen al met deg van de elementen pn ∈ H1(S1) heelZ wordt bereikt. De injectiviteit wordt duidelijk uit het tweede deel van de stelling: [deg(f) = 0 =⇒ f is nulhomotoop]. Dus nu bewijzen we dit tweede deel van de stelling.
(1) =⇒ (2). Zij f ≃ f0, met f0constant. Dan geeft lemma 2.11 dat deg(f) = deg(f0). Alle constante afbeeldingen S1→ S1zijn homotoop: bekijk maar twee willekeurige voorbeelden
h0: S1 → S1
: z 7→ eiφ voor vaste φ ∈ R en h1: S1 → S1
: z 7→ eiψ voor vaste ψ ∈ R.
Dan zien we gelijk dat h0≃ h1, door de homotopie
H : S1× I → S1
: (z, t)7→ ei(ψt+(1−t)φ).
Dus iedere constante afbeelding S1 → S1is ook homotoop met de constante afbeelding p0 :
S1 → S1uit het bewijs voor het eerste deel van de stelling. Uit lemma 2.11 volgt nu dat deg(f) =
deg(f0) = deg(p0) = 0− 0 = 0.
(2) =⇒ (3). We nemen aan dat deg(f) = 0, dat geeft ons dat er een optilling g van f ◦ (e|I) is met g(1) = g(0). Nu definiëren we een afbeelding f : S1 → R door f = g ◦ (e|
I)−1. We merken op dat f goed is gedefinieerd, omdat g(0) = g(1). Doordat f een samenstelling is van de continue optilling g en het homeomorfisme eI, zien we dat f zelf continu is. Gelukkig zien we ook nog dat
e◦ f = e ◦ g ◦ (e|I)−1 = f◦ e|I◦ (e|I)−1 = f,
dus f kan worden opgetild tot deze afbeelding f : S1 → R.
(3) =⇒ (1). We nemen aan dat f kan worden opgetild tot een afbeelding f : S1 → R, dus
f = e◦ f. Iedere afbeelding f : S1 → R is homotoop met een constante afbeelding f0, omdat R contraheerbaar is (zie gevolg 2.2). In combinatie met stelling 2.4 zien we nu dat f = e ◦ f ≃
f(x) x
φ(x)
S1
Figuur 2.5.1: Afbeelding φ projecteert
x∈ D vanuit f(x) op S1. I R S1 S1 e|I g φ|S1 = Id e
Figuur 2.5.2: De afbeelding Id is een
optilling g van φ|S1 = Id.
2.5 De Dekpuntstelling van Brouwer
Stelling 2.13 (Dekpuntstelling van Brouwer) Zij f : D → D een afbeelding. Dan heeft f een
dekpunt.
Bewijs Zij f : D→ D een afbeelding en stel dat f(x) ̸= x voor iedere x ∈ D. Dan kunnen we
een projectie φ : D → S1definiëren, die elementen x ∈ D vanuit f(x) op S1projecteert. Zie figuur 2.5.1. Deze afbeelding φ is continu en we zien dat φ|S1 = Id. Dan is Id ook een optilling
van g, zie figuur 2.5.2. Ofwel, deg(φ|S1) = g(1)− g(0) = 1.
Omdat D contraheerbaar is (zie stelling 2.1), kunnen we een homotopie F vinden tussen φ en een constante afbeelding. Dus laat F : D× I deze homotopie zijn met F0 = φ en F1constant. Met behulp van deze homotopie F definiëren we een afbeelding G : S1× I → S1door G =
φ ◦ (F|(S1×I)). We zien dan dat G een homotopie vormt tussen G0 = φ ◦ (F0|S1) = 1 en
G1= φ◦ (F1|S1) = constant.
Ofwel, G0: S1 → S1is nulhomotoop. Stelling 2.12 geeft dan dat deg(G0) = 0.
We concluderen, 0 = deg(G0) = deg(φ|S1) = 1. Een tegenspraak, dus er moet wel een punt
This is the mathematical formulation of a fact that shepherds have relied on since time immemorial.
Laurent Siebenmann
3
De Stelling van Jordan
Het verzamelde werk van Marie Ennemond Cammille Jordan bestaat uit vier delen. Het eerste en het tweede deel bevatten Jordan’s publicaties over eindige groepen, het derde deel bestaat uit publicaties over lineaire en multilineaire algebra en getaltheorie en het laatste deel verenigt publicaties over de topologie van polyhedra, differentiaalvergelijkingen en mechanica [12]. Een verzameling die getuigt van een exceptioneel veelzijdige en zeer waardevolle bijdrage aan de wiskunde.
De Franse Jordan (1838-1922) volgde vanaf 1855 een opleiding tot ingenieur aan de École Po-lytechnique. Net als Cauchy was hij in staat om naast zijn werk als ingenieur ruimte te maken voor wiskundig onderzoek. Zijn verfijnde inzichten in de wiskunde leidden tot een van de be-roemdste resultaten van zijn hand: hij toonde aan dat een enkelvoudig gesloten kromme het vlak in precies twee componenten verdeeld en dat deze kromme dan precies de topologische rand van beide componenten vormt.
Figuur 3.0.1: Marie Ennemond Camille Jordan
Deze stelling van de Jordan-kromme is beroemd en opmerkelijk door het intuïtieve karakter van de stelling in combinatie met het ontbreken van een triviaal rigoureus bewijs voor de stel-ling. Dit karakter prikkelt wiskundigen steeds weer nieuwe bewijzen voor de stelling te zoeken. Zo zijn er vele combinatorische bewijzen en bewijzen die gebruik maken van de dekpuntstelling van Brouwer. In deze sciptie kiezen we voor het leveren van een bewijs dat gebruik maakt van al-gebraïsche topologie, waarbij we gebruik maken van resultaten die bovendien alvast opbouwen naar de dualiteit van Alexander in hoofdstuk 4.
Het bewijs voor de stelling van Jordan bouwen we op uit drie resultaten, waar we in deze sectie naar toe werken. Het eerste resultaat blijkt een toepassing te zijn van de dualiteitsstelling van Alexander (zie hoofdstuk 4). Als J een boog is in de bol S2, dan geeft deze toepassing dat
S2 \ J padsamenhangend is. De elegantie van het bewijs dat we leveren voor de stelling van Jordan is te vinden in het gebruik van een formule voor het aantal componenten van bepaalde
α-ruimtes. We hebben dan tenslotte voor een compacte verzameling K ⊂ C nog nodig dat
S2 \ K een α-ruimte is. Om dit resultaat te verkrijgen introduceren we krachtige algebraïsche
instrumenten zoals de Mayer-Vietoris rij en de stelling van Eilenberg.
3.1 Toepassing van dualiteitsstelling van Alexander
Lemma 3.1 Zij C1, C2 ⊂ R gesloten en disjunct, zodat S1∩ C1=∅ = C2∩ S2. Zij x = (−1, 0)
en y = (1, 0). Dan is er een pad f : I→ R van x naar y die C1∪ C2mist.
Schets van bewijs Voor een idee van het bewijs geven we hier de grote lijnen weer. De details
zijn goed zelf na te gaan, voor een volledig bewijs en verheldering van definities kan ook ap-pendix C worden geraadpleegd. Bestudeer de figuren 3.1.1 tot en met 3.1.4. Laat C1, C2 ⊂ R gesloten en disjunct, zodat S1 ∩ C1 = ∅ = C2 ∩ S2, zie figuur 3.1.1. Nu trekken we hori-zontale en verticale lijnen in het vierkant R, waarmee we deze zo opdelen in vierkantjes dat ieder vierkantje dat ontstaat C1∪ S2of C2mist, zie figuur 3.1.2. We definiëren een verzameling J = {B ∈ B : B ⊂ S2}. Laat e een eindpunt van een element B ∈ B \ J. Voor e ̸= (±1, 0) tonen we aan dat de verzameling{B ∈ B \ J : e ∈ B} een even aantal elementen heeft. Voor
e = (±1, 0) tonen we aan dat er precies één element van B \ J is met e als eindpunt. Dan
definiëren we het pad van x naar y. We laten e1het unieke element van B\ J dat (−1, 0) bevat. Verder laten we{e1, ..., en} ⊂ B \ J maximaal met de volgende eigenschappen:
1. ei̸= ejals i ̸= j
2. ei∩ ei+1 ̸= ∅ als 1 ≤ i ≤ n − 1 3. ei∩ ei+2=∅ als 1 ≤ i ≤ n − 2. Dan is E = ∪n
i=1eisamenhangend en een eindige vereniging van intervallen, dus een continu beeld van het eenheidsinterval I. We tonen aan dat (0, 1) ∈ E, zodat we het gezochte pad
C1 C2 S2 (−1, 0) (1, 0) Figuur 3.1.1: Laat S1∩ C1 = ∅ = C2∩ S2. C1 C2 S2 (−1, 0) (1, 0)
Figuur 3.1.2: Ieder vierkant dat
ontstaat mist C1∪ S2 of C2. C1 C2 S2 K (−1, 0) (1, 0)
Figuur 3.1.3: Ieder vierkant K ∈ K
snijdt de verzameling C1∪ S2. C1 C2 K B (−1, 0) (1, 0)
Figuur 3.1.4: Een deel van de
lijn-stukken uit B zal het pad vormen van x naar y.
hebben gevonden. Een uitwerking van de details is dus te vinden in het volledige bewijs in appendix C.
Stelling 3.2 (De somstelling van Alexander) Zij X een ruimte, C1, C2⊂ XgeslotenenF : R →
X\ (C1∩ C2) een contiue afbeelding zodat F(S1)∩ C1 =∅ = C2∩ F(S2). Zij x = F(−1, 0) en
y = F(1, 0). Dan is er een pad f : I→ X \ (C1∪ C2) met beginpunt x en eindpunt y.
Bewijs Stel dat S1∩ F−1(C1) ̸= ∅, dan zou ook F(S1)∩ C1 ̸= ∅, een tegenspraak, dus S1∩
F−1(C1) = ∅. Evenzo volgt dat S2∩ F−1(C2) = ∅. Aan de hand van lemma 3.1 kunnen we nu een pad g : I→ R \ (F−1(C1)∪ F−1(C2)) vinden met beginpunt (−1, 0) en eindpunt (1, 0). Nu definiëren we een pad f : I→ X door f = F ◦ g, dan hebben we het gevraagde pad gevonden. □
h(t) h(0) h(1) a b y x
(a) Compactheid levert een interval
[a, b]. h(0) h(1) h(ε) y x
(b) (∃ weg p die x en y verbindt) en
(p∩ h([0, ε]) = ∅).
Figuur 3.1.5: Toepassing van de dualiteitsstelling van Alexander.
Een leuke, belangrijke toepassing van deze stelling is dat S1geen retract is van D. We gebrui-ken de stelling nu voor het volgende resultaat, een onderdeel van het bewijs voor de stelling voor Jordan.
Stelling 3.3 ((Toepassing van) de dualiteitsstelling van Alexander) Zij J een boog in de bol
S2, dan is S2\ J padsamenhangend.
Bewijs Zij J = h(I) voor een zekere inbedding h : I ,→ S2. Kies x, y∈ S2\ J willekeurig. Kies
t ∈ I. Omdat S2\ {h(t)} ≈ S2\ {punt} ≈ R2, bestaat er een pad p in S2\ {h(t)} die x en y verbindt. Compactheid levert een interval [a, b] ⊂ I met a < t < b, zodat p ∩ h([a, b]) = ∅. Zie figuur 3.1.5a. We nemen t = sup{ε ∈ I : (∃ weg p die x en y verbindt)(p ∩ h([0, ε]) = ∅)} (zie figuur 3.1.5b) en we kiezen het interval [a, b] zoals beschreven. Zij f : S1 → S2een pad met f(−1, 0) = x, f(1, 0) = y en f(S1)∩ h([0, a]) = ∅. Zij verder g : S2 → S2 een pad met g(−1, 0) = x en g(1, 0) = y zodat g(S2)∩ h([a, b]) = ∅. Omdat S2 \ {h(a)} ≈ R2 contraheerbaar is, dus enkelvoudig samenhangend, kan de afbeelding h = f∪ g : S → S2\
{h(a)} per definitie voortgezet worden tot een afbeelding h : R → S2 \ {h(a)}. Dan geeft de somstelling van Alexander (zie stelling 3.2) ons dat er een pad p is die x en y verbindt zodat
p∩ (h([0, a]) ∪ h([a, b])) = ∅. Ofwel, p ∩ (h([0, b]) = ∅. We concluderen dat t = b = 1 en
3.2 Aantal componenten van α-ruimte
Nu gaan we op zoek naar een formule voor het aantal componenten van bepaalde α-ruimtes. Voor de definitie van een α-ruimte verwijzen we naar appendix A.
Stelling 3.4 Zij X een α-ruimte. Stel X = U1∪ U2, met U1en U2open. Dan is iedere component
van U1∩ U2de doorsnijding van een component van U1en een component van U2.
Bewijs Zij K een component van U1∩ U2. Noem de component van Uidie K omvat Ki. Dan geldt er dat K ⊂ K1 ∩ K2. Nu laten we zien dat ook geldt K1 ∩ K2 ⊂ K. Neem x ∈ K en
y ∈ K1 ∩ K2, dan tonen we nu aan dat y ∈ K. Omdat {x, y} ⊂ K1 ⊂ U1en omdat K1een component is van de lokaal samenhangende ruimte, is K1open in U1. Dus K1is samenhangend en lokaal padsamenhangend, dus padsamenhangend (zie lemma C.1). We kunnen dus een pad
f : I → U1definiëren met f(0) = x en f(1) = y. We concluderen dat X\ U1de elementen
x en y niet scheidt. Evenzo scheidt X\ U2ze niet. Omdat X een α-ruimte is, volgt nu dat ook (X\U1)∪(X\U2) de elementen x en y niet scheidt. Er is dus een samenhangende verzameling
C ⊂ U1 ∩ U2met x, y ∈ C. Omdat K een component is van U1∩ U2en x ∈ K zien we dat
y∈ K. □
Gevolg 3.5 Zij X een α-ruimte. Stel X = U1∪ U2, met U1en U2open. Zij Kieen component van
Uivoor i = 1, 2. Als K1∩ K2 ̸= ∅, dan is K1∩ K2een component van U1∩ U2.
Bewijs Kies een element x ∈ K1∩ K2en zij C de component van U1∩ U2met x ∈ C. Dan weten we uit stelling 3.4 dat er componenten Ti ⊂ Uizijn voor i = 1, 2 met C = T1 ∩ T2. Omdat x∈ K1∩ T1volgt er dat K1= T1. Analoog volgt er dat K2 = T2, ofwel: C = K1∩ K2.□ Zoals in de definities beschreven, duiden we het aantal componenten van een open verzame-ling U in een lokaal samenhangende ruimte X aan met K(U).
Stelling 3.6 Zij X een α-ruimte, X = U1∪U2met U1en U2open. Dan geldt het volgende: K(U1) +
K(U2) = K(U1∪ U2) + K(U1∩ U2).
Bewijs Laat K een component van U1die U2mist. Dan is K open in U1en bovendien open in
X, omdat X lokaal padsamenhangend is. Zij C de component van U1∪ U2die K omvat. Dan is K open in C en ook gesloten, zoals we nu aantonen. Een verdichtingspunt van K in C moet
namelijk een element van U1\ U2zijn, omdat U1\ U2gesloten is in U1∪ U2. Maar binnen U1is
K ook gesloten, omdat het een component is. Ofwel, binnen U1kan K geen verdichtingspunten hebben, dus concluderen we dat K = C.
Stel dat U1oneindig veel componenten heeft die U1missen, dan heeft U1 ∪ U2dus ook on-eindig veel componenten en is de formule dus duidelijk waar.
Laat nu K een component van U1die U2 snijdt met x ∈ K ∩ U2. De component van x in
U2noemen we Cx. Nu zien we met behulp van gevolg 3.5 dat dan K∩ Cxeen component is van
U1∩U2. Stel dat U1oneindig veel componenten heeft die U2snijden, dan heeft dus ook U1∩U2 oneindig veel componenten, dus is de formule weer zeker waar. Analoog volgt hetzelfde voor een oneindig aantal componenten van U2.
We nemen nu dus zonder verlies van algemeenheid aan dat K(U1) < ∞ en K(U2) < ∞. We maken een lijst W1, . . . , Wnvan alle componenten van U1en U2. Er geldt dan dat K(U1) +
K(U2) = n. Voor iedere m≤ n definiëren we pm =|{{i, j} : i ̸= j, met i, j ≤ m en Wi∩Wj ̸=
∅}|. Er volgt dat K(U1∩ U2) = pn(zie gevolg 3.5). De formule die we aan willen tonen kunnen we nu dus schrijven als K(∪ni=1Wi) = n− pn, we laten zien dat dit inderdaad geldt met behulp van inductie.
(Basisstap). Laat n = 1, dan geldt K(W1) = 1 en p1= 0, dus is aan de basisstap voldaan. (Inductiehypothese). We nemen aan dat geldt K(∪m
i=1Wi) = m− pmvoor alle 1≤ m ≤ n. (Inductiestap). We zien dat Wm+1precies q = pm+1−pmcomponenten uit het rijtje W1, . . . , Wn bevat, zeg Wi1, . . . , Wiq. Dan kunnen we nu twee gevallen onderscheiden.
Geval 1. Geen enkele component K van∪mi=1Wiomvat meer dan één component uit het rijtje Wi1, . . . , Wiq.
Dan snijdt Wm+1precies q componenten van∪m
i=1Wi. De vereniging van deze componenten met Wm+1vormt dan een component van∪m+1i=1 Wi. De overige componenten van∪mi=1Wi mis-sen Wm+1en zijn dus ook componenten van∪m+1i=1 Wi(zie de redenering in de eerste alinea van
dit bewijs). We zien dus dat
K(∪m+1
i=1 Wi) = (m− pm)− q + 1
= (m− pm)− (pm+1− pm) + 1 = (m + 1)− pm+1.
Geval 2. Er is een component K van∪mi=1Widie twee componenten uit het rijtje Wi1, . . . , Wiqomvat.
Zonder verlies van algemeenheid zeggen we dat K de componenten Wi1en Wi2omvat. Definieer
nu U′1 =∪{Wi : 1 ≤ i ≤ n, i ̸= m + 1}. Zij dan K′een component van U′1die K omvat. We zien dat U′1∪Wm+1= U1∪U2, dus bovendien een α-ruimte. Dan geeft gevolg 3.5 dat K′∩Wm+1 leeg is of een component van U′1∩ Wm+1(merk hiervoor op dat Wm+1padsamenhangend is). Verder is Wm+1 ∩ U′1 ⊂ U1 ∩ U2. We weten dat Wm+1∩ Wi1 ̸= ∅, dus geeft stelling 3.4 dat
Wm+1∩ Wi1een component is van U1∩ U2. Analoog zien we dat Wm+1∩ Wi2een component is
van U1∩ U2. Tegelijkertijd is K′ ∩ Wm+1 ⊂ U1∩ U2een samenhangende deelverzameling die (Wm+1∩ Wi1)∪ (Wm+1∩ Wi2) omvat. Een tegenspraak, we kunnen dit geval dus uitsluiten.□
3.3 Uitbreidingen
Stelling 3.7 (Tietze) Zij X een ruimte, A⊂ X gesloten en f : A → I(R) een afbeelding. Dan kan
f uitgebreid worden tot een afbeelding f : X→ I(R).
Zie bijvoorbeeld [18] voor een bewijs voor de stelling van Tietze.
Propositie 3.8 Zij X een ruimte, A⊂ X gesloten, f0 : X→ S1en G : A× I → S1een homotopie
met G0= f0|A. Dan kan G worden uitgebreid tot een homotopie ˜G : X × I → S1zodat ˜G0 = f0.
Bewijs Definieer een homotopie H : A× I → S1door H(a, t) = G(a, t)/G(a, 0). We gaan deze homotopie optillen, dan zien we dat we deze uit kunnen breiden en dan blijkt de compo-sitie van e met de laatst gevonden afbeelding na samenstelling met˜f0de gevraagde homotopie ˜
G te zijn. Ten eerste zien we dat H0de constante afbeelding met waarde 1 is. Met behulp van stelling 2.9 zien we nu dat H kan worden opgetild tot een homotopie S : A× I → R zodat
S0de constante afbeelding met waarde 0 is. We merken op dat (X× {0}) ∪ (A × I) gesloten is in X× I. Dan geeft stelling 3.7 dat S uitgebreid kan worden tot S : X × I → R met S0de constante afbeelding met waarde 0. We stellen deze uitgebreide afbeelding samen met e, wat
X1 W Y X2 i1 i2 K j1 j2
Figuur 3.4.1: Inclusie afbeeldingen Mayer-Vietoris rij.
ons de afbeelding K : X× I → S1geeft, ofwel K = e◦ S. Laat nu dus tot slot ˜G = K ◦ f0, dan is ˜G zoals gewenst.□
Gevolg 3.9 Zij X een ruimte, A⊂ X gesloten en g : A → S1een afbeelding. Als g nulhomotoop is,
dan kan g worden uitgebreid tot een afbeelding g : X→ S1die bovendien ook nulhomotoop is.
3.4 Algebraïsche technieken
De Mayer-Vietoris rij is een efficiënt instrument om informatie over homologiegroepen van een ruimte te vinden in termen van simpelere deelruimten daarvan. Het is een lange exacte rij. De mooie eigenschappen die het mogelijk maken conclusies te vormen over iedere groep in de rij zijn de kracht van lange exacte rijen. In dit hoofdstuk maken we er gebruik van bij het aantonen dat de bol S2zonder de compacte verzameling K een α-ruimte is (stelling 3.13). Ook in het volgende hoofdstuk zal de Mayer-Vietoris rij zichzelf bewijzen als krachtig instrument.
Stelling 3.10 (De Mayer-Vietoris rij) Zij Y een ruimte, X1, X2 ⊂ Y gesloten deelruimten van Y
zodat Y = X1 ∪ X2en W = X1∩ X2. De inclusie-afbeeldingen worden gegeven door het diagram
in figuur 3.4.1. Dan is er een homomorfisme δ∗ : H0(W) → H1(Y) zodat de volgende rij exact
is: 0 → H0(Y) ( j∗1 −j∗ 2 ) −−−−→ H0(X1) ⊕ H0(X2) −−−→ H(i1∗,i∗2) 0 (W) −→ Hδ∗ 1(Y) ( j∗1 −j∗ 2 ) −−−−→ H1(X1)⊕ H1(X2)−−−→ H(i∗1,i∗2) 1 (W).
Schets van bewijs Het bewijs vraagt om een uiteenzetting van de exactheid van de vijf
en bovendien te vinden in appendix C. Voor deze exactheid en ook in latere bewijzen hebben we wel het homomorfisme δ∗nodig, deze definiëren we hier.
Zij f : W→ Z een afbeelding. Omdat W ⊂ X1gesloten is, geeft de stelling van Tietze (3.7) ons dat we deze f kunnen uitbreiden tot een afbeelding˜f : X1 → R. Nu definiëren we een afbeel-ding h : Y→ S1door h|
X1 = e◦˜fen h(X2) ={1}. Deze afbeelding is goed gedefinieerd, omdat
er geldt dat h(X1) = e◦˜f(X1) = e◦ f(X1)⊂ e(Z) = {1}. Dus h is verder als samenstelling van continue afbeeldingen ook zelf continu. We gaan het homomorfisme δ∗ : H0(W) → H1(Y) definiëren als de homotopieklasse van h. Daarvoor willen we nu eerst nog aantonen dat deze homotopieklasse onafhankelijk is van de uitbreiding die we in deze constructie kiezen. Stel dat ˜f0en˜f1twee uitbreidingen zijn die ons de afbeeldingen h0en h1leveren, zoals hierboven
gedefi-nieerd. Dan definiëren we een afbeelding
G : X× I → R
: (x, t)7→ (1 − t) ·˜f0(x) + t·˜f1(x).
Voor x∈ W zijn beide uitbreidingen natuurlijk gelijk, dus daar geldt G(x, t) = f(x) voor iedere
t∈ I. Met behulp van deze afbeelding G kunnen we een homotopie H : X×I → S1definiëren, door H|X1×I = e◦ G en H({X2× I}) = {1}. De homotopieklasse van h is dus onafhankelijk
van de keuze voor de uitbreiding, want we zien dat h0 = H0 ≃ H1 = h1. We definiëren het homomorfisme δ∗ : H0(W)→ H1(Y) dus als de homotopieklasse van h.
De stelling van Eilenberg is nog een algebraïsch instrument dat we gebruiken voor het aanto-nen dat de bol S2zonder een compacte verzameling K een α-ruimte is. Het volgende lemma is een onderdeel van het bewijs voor de stelling van Eilenberg. Bovendien helpt dit lemma het iso-morfisme voor de dualiteit van Alexander te definiëren in het volgende hoofdstuk (zie lemma 4.8, stelling 4.10).
Lemma 3.11 Zij K ⊂ Rncompact, voor n ∈ N
>1. Dan heeftRn\ K precies één onbegrensde
component, zeg U, enRn\ U is begrensd.
Bewijs Kies een r > 0 zodat voor E = {x ∈ Rn : ∥x∥ > r} ⊂ Rngeldt dat K∩ E = ∅. Omdat n > 1 volgt er gelijk dat E samenhangend is. Uit K∩ E = ∅ volgt dat er een component
U ⊂ Rn\ K is met E ⊂ U. Stel dat er nog een component U′is, dan geldt er dat U∩ U′ =∅ en dat U′ ⊂ {x ∈ Rn:∥x∥ ≤ r}. Ofwel, mogelijke andere componenten U′zijn begrensd.□
Stelling 3.12 (Eilenberg) Zij K ⊂ C compact en a, b ∈ C \ K. Dan liggen a en b in dezelfde
component vanC \ K als en alleen als de afbeelding f : K → S1gedefinieerd door f(z) = N(z−a z−b)
voor z∈ K nulhomotoop is.
Bewijs ”⇒”. Neem a, b ∈ C, voor een zekere component C ⊂ C \ K. Omdat C open is in
C, zien we dat C lokaal padsamenhangend is en geeft lemma C.1 bovendien dat C padsamen-hangend is. We kiezen met dat gegeven een pad p : I → C \ K in het component C zodat
p(0) = a en p(1) = b. Definieer een afbeelding H : K× I → S1door H(z, t) = N(z−p(t) z−b
) . Deze vormt een homotopie tussen f en de constante afbeelding met waarde 1, want H0 = f en
H1= 1. Ofwel, f is nulhomotoop.
”⇐”. Stel dat f nulhomotoop is, maar a en b liggen niet in dezelfde component van C\K. Noem de component vanC \ K waar a in ligt A. Zonder verlies van algemeenheid nemen we naar aan-leiding van lemma 3.11 aan dat A begrensd is. Er geldt dat K ⊂ C \ A gesloten is, dus geeft gevolg 3.9 ons dat we f : K→ S1kunnen uitbreiden tot een afbeelding f :C \ A → S1die ook nulhomotoop is. Vervolgens definiëren we nog een afbeelding die f uitbreidt door
g : (A∪ K) \ {a} → S1 : z 7→ N ( z− a z− b ) .
Deze afbeelding is gedefinieerd voor z̸= a, b en we zien dat g|K = f. We zien dat de samenstel-ling van deze twee uitbreidingen van f ook een continue uitbreiding van f is. Er geldt namelijk dat (C\ A) ∩ ((A ∪ K) \ {a}) = K en f|K = f = g|K. We schrijven deze uitbreiding als
F = f∪ g : C \ {a} → S1.
Nu definiëren we een homotopie H : S1 × I → S1door H(z, t) = F(a + z(ε + tR)) voor
|z| = 1, 0 ≤ t ≤ 1 en ε, R ∈ R+, deze laatste twee zullen verderop in dit bewijs gespecificeerd worden. Omdat H0 ≃ H1: S1→ S1geldt er deg(H0) = deg(H1) (zie lemma 2.11).
We zien dat H1(z) dus gelijk is aan F(a + z(ε + R)). We hebben aangenomen dat A begrensd is, dus we kunnen R > 0 kiezen zodat a + z(ε + R) /∈ A voor elke z ∈ S1. We merken op dat H1voor deze R dus gedefinieerd is opC \ A en dat er geldt dat F|C\A = f. Zo zien we dat
H1nulhomotoop is, omdat f nulhomotoop is. Er geldt dus dat deg(H1) = 0, waarmee we een tegenspraak gaan afleiden.
Daarvoor bestuderen we nu H0(z), deze is gelijk aan F(a + zε). Merk eerst op dat we ε zo klein kunnen kiezen dat de verzameling{a + zε : ∥z∥ = 1} bevat zit in A \ {a}, omdat A open is.
We kiezen ε minstens zo klein en zien dan dat H0voor deze ε dus gedefinieerd is op A en dat er geldt dat F|(A∪K)\{a} = g. Ofwel,
H0(z) = F(a + zε) = g(a + zε) = N ( zε a + zε− b ) = N(z)N(ε)N((a + zε− b)−1).
Het eerste deel van stelling 2.12 geeft dat het windingsgetal van het product van drie afbeeldin-gen S1 → S1gelijk is aan de som van de windingsgetallen van deze drie afbeeldingen. Omdat we H0nu dus kunnen beschrijven als het product van drie dergelijke afbeeldingen, zien we dat het windingsgetal van H0gelijk is aan de som van de windingsgetallen van de drie betreffende afbeeldingen. Allereerst merken we op dat z 7→ N(z) de identiteit is en dus windingsgetal 1 heeft (zie ook stelling 2.12). De afbeelding z 7→ N(ε) is een constante afbeelding, deze heeft dus windingsgetal 0. De afbeelding z7→ N((a + zε − b)−1) neemt voor ε klein genoeg alleen waarden aan in een kleine omgeving van N((a − b)−1), we kiezen dus ε zo klein. Dit is een afbeelding waarvan het beeld niet heel S1bereikt, waarvoor gevolg 2.6 geeft dat deze afbeelding nulhomotoop is. Voor ε klein genoeg zien we dus dat deg(H0) = 1+0+0 = 1. Een tegenspraak met lemma 2.11, omdat deg(H1) = 0. Als f nulhomotoop is, dan liggen a en b dus in dezelfde component vanC \ K. □
Stelling 3.13 Zij A, B ⊂ C compact en a, b ∈ C \ (A ∪ B). Stel a en b worden niet gescheiden
door A en ook niet door B. Als A∩B samenhangend is of leeg, dan worden a en b niet gescheiden door A∪ B.
Een bewijs voor deze stelling is te vinden in appendix C.
Gevolg 3.14 Zij K⊂ S2compact en samenhangend. Dan is S2\ K een α-ruimte.
Bewijs Zij E, F ⊂ S2\ K disjunct en gesloten en neem x, y ∈ S2\ (K ∪ E ∪ F) willekeurig.
S2\ K is een α-ruimte, als deze lokaal padsamenhangend is en er bovendien geldt dat (E scheidt x en y niet)∧ (F scheidt x en y niet) =⇒ E ∪ F scheidt x en y niet.
Als we een element p ∈ S2\ (K ∪ E ∪ F ∪ {x, y}) kiezen, dan is S2 \ {p} ≈ C. Merk op dat S2\ {p} dus padsamenhangend is. We tonen nu eerst aan dat de stelling geldt in S2\ {p},
waarna eenvoudig zal volgen dat de stelling ook geldt in S2 \ K. We schrijven E′ = K∪ E en
F′ = K∪ F. We merken op dat E′en F′compact zijn en dat de doorsnede E′∩ F′gelijk is aan
K (dus samenhangend). We tonen aan dat x en y in S2\ {p} niet gescheiden worden door E′ en ook niet door F′, zodat stelling 3.13 geeft dat x en y in S2\ {p} niet gescheiden worden door
E∪ F ∪ K. Kies een samenhangende open deelverzameling van S2\ (K ∪ E) die x en y bevat. Dan is U\ {p} een samenhangende open deelverzameling van S2\ (K ∪ E ∪ {p}) waar x en
y in bevat zitten. Ofwel, E′scheidt de elementen x en y in S2 \ {p} niet. Analoog zien we dat
F′de elementen x en y in S2\ {p} niet scheidt. Stelling 3.13 geeft nu dus dat x en y in S2\ {p} niet gescheiden worden door E∪ F ∪ K. We kunnen dus een weg f : I → S2\ {p} vinden met
f(0) = x, f(1) = y en F(I)⊂ S2\ (K ⊂ E ⊂ F). Ofwel, E ∪ F scheidt x en y niet in S2\ K. □
3.5 De Stelling van Jordan
Stelling 3.15 (Jordan) Als C⊂ R2een enkelvoudig gesloten kromme is, dan heeftR2\ C precies twee componenten. Als K een component is vanR2\ C, dan is C de topologische rand van K.
Bewijs Laat C⊂ R2een enkelvoudig gesloten kromme zijn, zie bijvoorbeeld figuur 3.5.1a. De projectie van C bevat dan zowel op de x-as als op de y-as meer dan één punt. We kunnen dus om de kromme C heen een rechthoek S tekenen, zodat de verticale zijkanten elementen van
C bevatten, de horizontale zijkanten C missen en het meetkundige uitwendige van S een lege
doorsnijding met C heeft.
Kies een element p in de doorsnede van de linkerzijde van S met C en een element q in de door-snede van de rechterzijde van S met C. Noem de twee bogen bevat in C die p en q als eindpunten hebben A1en A2. Zij L het deel van de lijn door p en q dat buiten S ligt. Zie figuur 3.5.1b. Het meetkundig uitwendige van S noemen we U.
We identificeren S2met de Riemann-sfeerR2 ∪ {∞}. We gaan bewijzen dat S2 \ C precies twee componenten heeft, waaruit gelijk volgt datR2\ C twee componenten heeft. We schrij-ven Li= L∪ Ai∪ {∞} voor i = 1, 2.
(a). Schrijf U∞= U∪{∞} en Ui = S2\Li, voor i = 1, 2. Dan geldt er dus dat U∞∪Ui = S2\Ai voor i = 1, 2. Omdat Aiduidelijk compact en samenhangend is, geeft gevolg 3.14 dat S2\A
α-ruimte is. Dan zien we met stelling 3.6 dat K(U∞∪ Ui) + K(U∞∩ Ui) = K(U∞) + K(Ui). Merk op dat K(S2\ Ai) = 1, zie stelling 3.3. We kunnen dan het volgende afleiden:
K(S2\ Li) = K(Ui)
= K(U∞∪ Ui) + K(U∞∩ Ui)− K(U∞)
= K(S2\ Ai) + K((U∪ {∞}) \ (L ∪ {∞}) − K(U∞) = K(S2\ Ai) + K(U\ L) − K(U∞)
= 1 + 2− 1 = 2.
(b). We merken op dat U1 ∪ U2 = S2 \ (L ∪ {∞}). Verder zien we met behulp van ge-volg 3.14 dat U1∪ U2een α-ruimte is, want L∪ {∞} ≈ I. Dan zien we met stelling 3.6 dat
K(U1∪ U2) + K(U1∩ U2) = K(U1) + K(U2). Dan leiden we af uit (a) en stelling 3.3 dat het volgende geldt:
K(S2\ (L1∪ L2)) = K(U1∩ U2)
= K(U1) + K(U2)− K(U1∪ U2)
= K(S2\ L1) + K(S2\ L2)− K(S2\ (L ∪ {∞})) = 2 + 2− 1
= 3.
(c). Schrijf UC = S2 \ C. Dan geldt er dat U
C ∪ U2 = U \ A1, dus dan zien we weer met stelling 3.6 dat K(UC ∪ U2) + K(UC ∩ U2) = K(UC) + K(U2). Aan de hand van (a) en (b)
vinden we nu de volgende gelijkheden:
K(S2\ C) = K(UC)
= K(UC∪ U2) + K(UC∩ U2)− K(U2)
= K(S2\ A1) + K(S2\ (L1∪ L2))− K(S2\ L1) = 1 + 3− 2
= 2.
Nu het bewijs voor het tweede deel van de stelling. Ofwel, we bewijzen dat C de topologische rand van K is als K een component is vanR2\ C.
Kies een element x∈ C en bekijk een open omgeving U van x. We tonen aan dat U ∩ K ̸= ∅. We zien dat C\ U een gesloten verzameling van C is, die x niet bevat. We kunnen dus een boog A ⊂ C vinden waar C \ U in bevat zit en x niet. Uit stelling 3.3 volgt dat R2\ A padsa-menhangend is. We kunnen dus een weg f : I → R2\ A vinden met f(0) = x en f(1) = y voor y ∈ K. De gesloten verzameling f−1(C) heeft een maximum, zeg m met 0 ≤ m < 1 (als
m = 1 dan y∈ C). We zien dat f(m) ∈ U, omdat f(I) ∩ A = ∅. Dan levert de continuïteit van f zelfs een interval [m, r] met r > m zodat f([m, r])⊂ U. Omdat m het maximum is van f−1(C), volgt gelijk dat f(r) /∈ C. Verder zien we dat f([r, 1]) een weg is van f(r) naar f(1) = y die C mist. Ofwel, f(r) en y zijn elementen van dezelfde component vanR2\ C. Dus f(r) ∈ K, maar ook
f(r) ∈ U, dus U ∩ K ̸= ∅. Ofwel, C ⊂ K. We zien dat C ∪ K gesloten is, omdat alle andere
(a) Een enkelvoudig gesloten kromme C. A2 A1 L p q
(b) Twee bogen A1en A2 en lijn-stukken L door p en q buiten C.
Figuur 3.5.1: Het vlak wordt in twee componenten verdeeld door C.
(a) Een enkelvoudig gesloten
kromme C.
A x
U
(b) Omgeving U van x en boog A. Figuur 3.5.2: De topologische rand van K is C.
More important than learning how to recall things is finding ways to forget things that are cluttering the mind.
James Waddell Alexander II
4
De Dualiteitsstelling van Alexander
Figuur 4.0.1:
Alexander’s Horned Sphere.
Tijdens de eerste helft van de twintig-ste eeuw gold James Waddell Alexander II als de prins onder de topologen van Princeton. In de ban als hij was van geometrische figuren waarop een transfomatie wordt toegepast, le-verde Alexander een niet te onderschatten bij-drage aan de ontwikkeling van de topologie [1]. Zijn Horned Sphere (zie figuur 4.0.1, een topo-logische kopie van de bol) brengt bijvoorbeeld scherp in beeld hoe zeer de topologie van een twee-dimensionale ruimte verschilt van die van een drie-dimensionale ruimte.
Alexander (1888 – 1971) groeide op in een welgestelde familie die geschiedenis heeft gemaakt aan Princeton. Zo was de bet-overgrootvader van James de eerste profes-sor en het hoofd van The Princeton The-ological Seminary. In Princeton herinne-ren de Alexander Road en twee verschil-lende Alexander Halls op de campus aan deze betovergrootvader [8]. Alexander’s vader, John White Alexander, was een ge-vierd schilder, ”[...] one of America’s great expatriate painters, his artistic accomplish-ments comparable to that of James Mc-Niell, Whistler, Edwin Austin Abbey, and John Singer Sargent.”[20].
Figuur 4.0.2: James Waddell
Alexander II met zijn vader John White Alexander.
Alexander volgde onderwijs in Parijs en New York om in 1910 zijn graad in de Wiskunde en Natuurkunde te behalen aan de Princeton University. Toen al was hij de protégé van Oswald Veblen (1880 - 1960), de belangrijkste topoloog van Princeton uit die tijd. De topologie was nog zo jong dat Alexander voor de zekerheid en op aanraden van Veblen zich voor zijn PhD-thesis verdiepte in de complexe functietheorie in plaats van in de topologie. Onder begeleiding van de veelzijdige wiskundige Thomas Hakon Grönwall (1877-1932) schreef hij zijn scriptie
‘Functions which map the interior of the unit circle upon simple regions’, een werk dat de basis legde
voor de complexe functie theorie over univalente (Schlicht) functies [11].
Brouwer’s innovatieve methoden in de algebraïsche topologie startten Alexanders baanbrekende werk voor het vakgebied van de topologie. Naast vele andere bijdragen van zijn hand verscheen in 1915 bijvoorbeeld zijn beroemd geworden paper over de topologische invariantie van Betti-getallen en torsie-coefficiënten.
In 1920 vond Alexander een elegant bewijs voor de stelling van de Jordan-kromme, gevolgd door een bewijs en een uitbreiding van de stelling van Jordan-Brouwer. Dit inspireerde hem tot zijn dualiteitsstelling in 1922. Deze geeft voor een compactum K ⊂ C een isomorfisme
˜
H0(C \ K) ∼=H1(K). We vinden dus een één op één relatie tussen het aantal componenten van C\K en de topologische structuur van het compactum zelf. Voor een bewijs maken we gebruik van de eigenschappen van vrije groepen.
4.1 Vrije groep van X
Voor een ruimte X en de afbeelding i : X→ F(X) door i(x)(y) = 0 als y ̸= x en i(x)(y) = 1 als y = x vinden we de volgende belangrijke stelling:
Stelling 4.1 Het paar (F(X), i) is vrij.
Schets van bewijs Voor Y⊂ X kunnen we F(Y) identificeren met de ondergroep {f ∈ F(X) :
f(X\ Y) = 0} van F(X). Dan kunnen we per definitie F(X) schrijven als F(X) = ∪{F(Y) : Y ⊂ X, Y eindig}. Als Y ⊂ X eindig is, dan is (F(Y), i) vrij. We nodigen de lezer uit zelf de
details van de rest van het bewijs uit te werken.
In de volgende secties introduceren we verschillende afbeeldingen, die opbouwen naar het isomorfisme waar we naar op zoek zijn.
4.2 Het homomorfisme D2
Lemma 4.2 Kies a, b∈ C \ K. Als a ∼ b (dus p(a) = p(b)), dan geldt er dat D0(a)≃ D0(b).
Bewijs We kiezen a, b ∈ C \ K met a ∼ b, we kunnen dus een pad x : I → C \ K vinden
met x(0) = a en x(1) = b. Als we een afbeelding H : K× I → S1definiëren door H(y, t) =
D0(x(t))(y), dan zien we dat H0 = D0(a)(y) en H1 = D0(b)(y) voor y ∈ K. Ofwel, D0(a)≃
D0(b).□
Gevolg 4.3 De afbeelding D1: π0(C \ K) → H1(K) gedefinieerd door D1 = q◦ D0◦ p−1is goed
gedefinieerd, zie figuur 4.2.1.
Bewijs We kiezen A∈ π0(C \ K) en bekijken twee elementen a, b ∈ p−1(A). Dan geldt er per definitie dat a ∼ b, en dus volgens lemma 4.2 ook dat D0(a) ≃ D0(b). Uit de definitie van q volgt nu dat q(D0(a)) = q(D0(b)). De afbeelding D1 = q◦ D0◦ p−1is dus goed gedefinieerd. □
