Nu willen we voor de dualiteit van Alexander nog aantonen dat D surjectief is. De volgende stellingen leiden daar naar toe.
Stelling 4.11 Zij K ⊂ C compact en f : K → C \ {0} een afbeelding. Dan is er een uitbreiding
g :C → C van f zodat g−1({0}) eindig is.
Bewijs Neem r > 0 zodat K ⊂ {z ∈ C : |z| ≤ r}. Laat F = {z ∈ C : |z| ≥ 2r}. We
definiëren een afbeelding f1 : K∪ F → C door f1|K = f en f1(F) = {1} . Omdat K ∪ F gesloten is inC (het complement is open), geeft de stelling van Tietze (3.7) dat we f1uit kunnen breiden tot een afbeelding g1 :C → C. Schrijf X = g−11 ({0}). Dan is X gesloten en X ∩ F = ∅, dus X is begrensd. Bovendien geldt er dat X∩ K = ∅, omdat F(K) ⊂ C \ {0}.
Kies een δ > 0 zodat d(z, w) > 2δ voor alle z∈ K, w ∈ X. Neem een willekeurig vierkant dat
{z ∈ C : |z| ≤ 2r} omvat, met zijden evenwijdig aan de x-as en de y-as. Verdeel dit vierkant in
kleinere vierkantjes met zijden van lengte≤ δ. Geen van de vierkantjes snijdt dan zowel X als
K. Zie figuur 4.4.1.
We definiëren de gevraagde uitbreiding buiten het grote vierkant en op ieder vierkant, hoekpunt en iedere zijkant die X mist als g = g1. Zoals we net al opmerkten, zit K bevat in de vereniging van dit alles, g is dus in ieder geval een uitbreiding van f.
Op hoekpunten P die X snijden, definiëren we g(P) = 1. Dan hebben we nu voor iedere zijkant
PQ die X snijdt g(P) en g(Q) gedefinieerd, met g(P), g(Q)∈ C \ {0}.
We kunnen g(P) en g(Q) verbinden door een pad γ : I → C \ {0}, want C \ {0} is padsa- menhangend. Met behulp van dit pad definiëren we nu g op de zijkant PQ die X snijdt door
g((1− t)P + tQ) = γ(t) voor 0 ≤ t ≤ 1.
Nu hoeven we g alleen nog maar te definiëren op het inwendige van ieder vierkantje dat X snijdt. De randen ∂R van deze vierkantjes R hebben we dus gedefinieerd opC \ {0}. We tonen aan dat g|∂Rkan worden uitgebreid tot een afbeelding hR : R → C met h−1R ({0}) precies het mid- delpunt van R.
Het middelpunt van R noemen we z0en we definiëren hR(z0) = 0. Dan kunnen we voor zekere
z∈ ∂R ieder punt van R \ {z0} uniek schrijven als αz0+ βz voor α≥ 0, β > 0 en α + β = 1. We definiëren nu de uitbreiding hR : R → C door hR(αz0+ βz) = β· g|∂R(z). Laat g op het inwendige van deze vierkantjes dus gelijk aan de uitbreiding hR. Dan hebben we nu de uitbrei- ding g :C → C van f op heel C gedefinieerd. Bovendien zien we dat g−1({0}) eindig is, omdat er eindig veel vierkantjes zijn die X snijden.□
X
K
Lemma 4.12 Zij K, L ⊂ C compact met K ⊂ L. Laat i1 : K → L en i2 : C \ L → C \ K de
inclusie afbeeldingen voorstellen. Dan is het diagram in figuur 4.4.2 commutatief.
Bewijs We merken eerst op dat het diagram in figuur 4.4.3 commuteert. We zien namelijk dat
voor a∈ C \ L en voor z ∈ K geldt dat
DK0(i2(a))(z) = DK0(a)(z) = N(z− a) = DL0(a)(z),
dus DK0(i2(a)) = DL0(a)|K. Hieruit volgt dus dat DK0(i2(a)) = i∗1(DL0(a)). Nu volgt dat bovendien het diagram in figuur 4.4.4 commutatief is.
Ook het diagram in figuur 4.4.5 commuteert. Om dit te zien kiezen we een element f∈ C(L, S1). Dan geldt er dat q◦ i∗1(f) = [f|K], maar ook i∗1 ◦ q(f) = i∗1([f]) = [f|K].
Nu combineren we de laatste twee diagrammen met het diagram uit lemma 4.6 (zie figuur 4.2.4), zo vinden we het commuterende diagram in figuur 4.4.6.
Er volgt dat het diagram in figuur 4.4.2 commutatief is.□
˜ H0(C \ L) H˜0(C \ K) H1(L) H1(K) DL i2∗ i∗1 DK
Figuur 4.4.2: Dit diagram commuteert,
lemma 4.12. C \ L C \ K C(L, S1) C(K, S1) DL 0 i2 i∗1 DK 0
Figuur 4.4.3: Dit diagram commuteert,
deel I bewijs lemma 4.12.
F(C \ L) F(C \ K) C(L, S1) C(K, S1) F(DL 0) F(i2) i∗1 F(DK 0)
Figuur 4.4.4: Dit diagram commuteert,
deel II bewijs lemma 4.12.
C(L, S1) C(K, S1) H1(L) H1(K) q i1∗ i∗1 q
Figuur 4.4.5: Dit diagram commuteert,
H0(C \ L) H0(C \ K) F(C \ L) F(C \ K) H1(L) H1(K) i2∗ DL2 q◦ F(DL0) F(p) F(i2) F(p) q◦ F(DK0) DK2 i∗1
Figuur 4.4.6: Dit diagram commuteert, deel IV bewijs lemma 4.12.
Voor de volgende stellingen definiëren we de cirkelschijf Δ0 ={z ∈ C : |z − z0| ≤ r0} en de disjuncte cirkelschijven Δiin het inwendige van Δ0door
Δi={z ∈ C : |z − zi| ≤ ri}
voor ri > 0 en 0 ≤ i ≤ k. Hieruit definiëren we een ruimte X door de inwendigen van de
schijven Δiuit de schijf Δ0te verwijderen, dus
X ={z ∈ C : (|z − z0| ≤ r0)∧ (|z − zi| ≥ ri, 1 ≤ i ≤ k)}.
Verder definiëren we voor 1≤ i ≤ k de cirkels Γidoor
Γi={z ∈ C : |z − zi| = ri},
waarmee we Y⊂ X definiëren:
Y =⊔ki=1Γi. Tot slot stelt j : Y ,→ X de inclusieafbeelding voor.
Lemma 4.13 Laat X, Y en j gedefinieerd zijn als hiervoor. Dan is j∗ : H1(X)→ H1(Y) injectief.
Bewijs Laat [f] ∈ Ker(j∗), ofwel f ∈ H1(X) zodat f|
Ynulhomotoop is. Dan geldt er dus dat
f|Γikan worden uitgebreid tot een afbeelding gi : Δi → S
1. Dan definiëren we een afbeelding
F : Δ0 → S1door F|X = f en F|Δi = givoor 1 ≤ i ≤ k, die duidelijk continu is. We merken
op dat Δ0 contraheerbaar is, omdat deze convex is (zie stelling 2.1). De afbeelding F is dus nulhomotoop, dus ook f = F|Xis nulhomotoop. Ofwel, Ker(j∗) ={0}, de afbeelding j∗is dus injectief.□
Lemma 4.14 Zij X = X1∪ X2een partitie van X. Dan zijn er isomorfismen H0(X) ∼=H0(X1)⊕
H0(X2) en H1(X) ∼=H1(X1)⊕ H1(X2).
Schets van bewijs Omdat X1∩ X2=∅, volgt er dat H0(X1∩ X2) = H1(X1∩ X2) ={0} (zie definities van H0en H1). De Mayer-Vietoris rij (3.10) geeft nu het resultaat, de details hiervan zijn eenvoudig na te gaan en bovendien terug te vinden in appendix D.
Propositie 4.15 De afbeelding j∗◦ D : ˜H0(C \ X) → H1(Y) is een isomorfisme.
Bewijs Uit stelling 4.10 en lemma 4.13 volgt dat j∗◦D een injectief homomorfisme is, we willen
dus nog de surjectiviteit ervan aantonen.
De ruimteC \ X bestaat uit de componenten E = C \ Δ0en Int(Δi) voor 1 ≤ i ≤ k. We kunnen dus ieder element van H0(C \ X) = F(π0(C \ X)) op unieke wijze schrijven als
n0i′(E) + k ∑
j=1
nji′(Int(Δj)
voor n0, . . . , nj ∈ Z. Dit element is ook een element van ˜H0(C \ X) als en alleen als n0 + ∑k
j=1nj = 0 (zie lemma 4.9), ofwel n0 =− ∑k
j=1nj. Zo creëert ieder element van ˜H0(C \ X) dus een uniek rijtje (n1, . . . , nj) van gehele getallen.
Omdat⊔ki=1Γi een partitie vormt van Y, geeft lemma 4.14 dat er een kanoniek isomorfisme ⊕k
j=1H1(Γj) ∼=H1(Y) bestaat. Als we een afbeelding hj : S1 → Γ
jdefiniëren door hj(z) = zj+ rjz, dan is dat een homeomor- fisme, waaruit volgt dat de afbeelding h∗j : H1(K) → H1(S1) een isomorfisme is. Uit stelling 2.12 weten we dat deg : H1(S1) → Z een isomorfisme is, er volgt dat ook d
j = deg◦ h∗j :
H1(Γj) → Z een isomorfisme is. De elementen van H1(Y) corresponderen dus precies met rijtjes (d1, . . . , dk) van gehele getallen.
˜ H0(C \ X) H˜0(C \ Γj) H1(X) H1(Y) H1(Γj) Z D(X) i∗ j∗ D(Γj) projj dj
Figuur 4.4.7: Dit diagram commuteert, bewijs propositie 4.15.
We bestuderen nu de volgende afbeeldingen ˜ H0(C \ X) D −→ H1(X)−→ Hj∗ 1(Y) ∼= k ⊕ j=1 H1(Γj) projj −−→ H1(Γ j) ∼=dj Z.
We bepalen voor ieder rijtje (n1, . . . , nk) ∈ Zkeen element x ∈ ˜H0(C \ X) zodat dj◦ projj◦
j∗◦ D(x) = njvoor iedere 1≤ j ≤ k.
Laat (n1, . . . , nk)∈ Zkeen willekeurig rijtje. Dan definiëren we x = n0i′(E)+ ∑k
j=1nji′(Int(Δj)) waar n0 =−∑kj=1nj.
Uit lemma 4.12 volgt dat het diagram in figuur 4.4.7 commuteert. Er geldt dus dat dj ◦ projj◦
j∗◦ D(x) = dj◦ D(Γj)◦ i∗(x).
Als F ∈ {E} ∪ {Int(Δl) : 1 ≤ l ≤ k, l ̸= j}, dan is i(F) bevat in de onbegrensde component vanC \ Γj. Lemma 4.8 geeft dan dat D(Γj)(i∗(F)) = 0. De begrensde component vanC \ Γj is Int(Δj). We vinden daarmee dat
D(Γj)◦ i∗(Int(Δj)) = [zj → N(z − zj)] = [hj(z)→ N(hj(z)− zj)] = [hj(z)→ N(zj+ rjz− zj] = [hj(z)→ N(rjz)]
= [hj(z)→ z] := [φ].
Vervolgens zien we dan dat h∗j([φ]) = [φ◦ hj] = [IdS1]. We concluderen dat dj ◦ D(Γj)◦
i∗(Int(Δj)) = 1.
Er volgt dat dj◦ projj◦ j∗◦ D(x) = dj◦ D(Γj)◦ i∗(x) = njvoor iedere 1≤ j ≤ k. De afbeelding