Invloed van de inkomensverdelingselectieprocedure op betrouwbaarheid van inkomensongelijkheidsmaat

(1)

Invloed van de inkomensverdelingselectieprocedure op betrouwbaarheid van inkomensongelijkheids maat

Max Bijkerk

Studentnummer 10627510

Begeleider: dr. K.J. van Garderen

december 2015

Faculteit Economie en Bedrijfskunde, Universiteit van Amsterdam Bachelorscriptie en Afstudeerseminar Econometrie, 2015

(2)

Inhoudsopgave

1 Inleiding 3

2 Relevante theorie 5

2.1 De Generalized Beta distribution 5

2.2 De Generalized Entropy Indices of Inequality 6

2.3 Schattingsmethoden 7

2.4 Betrouwbaarheidsintervallen I 9

3 Opzet van het onderzoek 11

4 Resultaten 14

5 Conclusie 17

(3)

1 Inleiding

Sinds de jaren tachtig wordt wereldwijd een stijging van inkomensongelijkheid waargenomen (Dastrup, Hartshorn en McDonald, 2005). De stijging van deze ongelijkheid speelt in de hedendaagse economie een belangrijke rol. Het tegengaan van de stijging van inkomensongelijkheid is namelijk een belangrijke kwestie in het fiscale beleid van overheden. Zoals Bandourian, McDonald en Turley (2002) het verwoorden: “In today’s terms, are the rich getting richer and the poor getting poorer, or is the rising economic tide lifting all the boats?”.

Pareto (1895) was de eerste die probeerde inkomensongelijkheid te modelleren door middel van een kansverdeling. Zijn onderzoek was de aanzet tot vele vervolgonderzoeken naar het beste model voor inkomensongelijkheid, zoals die van Gibrat (1931) en Bandourian et al. (2002). Naarmate het onderzoeksveld rondom inkomensongelijkheid steeds uitgebreider en moderner wordt, ontwikkelen modellen zich gelijktijdig, waardoor ze inkomensdata steeds beter kunnen fitten. In het artikel van Bandourian et al. (2002) wordt van 1970 tot 2000, voor 23 landen wereldwijd, vergeleken welke kansverdelingen de data het beste passen. Hierbij wordt gekozen uit de twaalf verdelingen die behoren tot de Generalized Beta (GB) familie. Ze concluderen dat voor de meeste landen de Weibullverdeling de best passende twee-parameterverdeling is. De best passende drie-twee-parameterverdeling is voor de meeste landen de Dagumverdeling. Bovendien leidt het gebruik van de vier-parameter Generalized Beta 2 (GB2) kansverdeling in 44% van de gevallen tot een significante verbetering van de fit.

Deze resultaten tonen aan dat er niet één universele kansverdeling is die inkomensdata het beste fit. Door verschillen tussen landen en economische veranderingen in de loop der tijd is het mogelijk dat de ene kansverdeling de inkomensdata uit één land goed fit, maar in een ander land juist een slechte fit oplevert. Wanneer voor een land de best mogelijke kansverdeling is gevonden om de betreffende inkomensdata te modelleren, is er echter nog een maatstaf nodig om de werkelijke 'ongelijkheid’ in dat land uit te kunnen drukken. Een veelgebruikte maatstaf hiervoor is de Ginicoëfficiënt (Gini, 1912). Deze Ginicoëfficiënt wordt onder andere gebruikt in de onderzoeken van Bandourian et al. (2002) en Dastrup et al. (2005).

(4)

Naast de Ginicoëfficiënt zijn er nog andere maatstaven om inkomensongelijkheid uit te drukken. Een populaire klasse van ongelijkheidsmaatstaven is de Generalized Entropy (GE) indices. Uit de GE-klasse van indices ontspringen vele ongelijkheidsmaatstaven. Voorbeelden van maatstaven die stammen uit de GE-klasse zijn onder andere de Herfindahl- index, de Theil- indices en de Atkinson- index (Van Garderen en Schluter, 2009). In het volgende hoofdstuk wordt dieper op de eigenschappen van deze maatstaven ingegaan. Aan de hand van deze maatstaven kunnen conclusies worden getrokken over de mate van inkomensongelijkheid in een land.

De tweestapsprocedure die in de bovengenoemde artikelen gebruikt wordt, wordt ook in dit onderzoek aangehouden. Namelijk eerst het kiezen van een passende inkomensverdeling en vervolgens het berekenen van de mate van inkomensongelijkheid. Van Garderen en Schluter (2009) onderzoeken onder meer hoe goed verschillende ongelijkheidsmaatstaven presteren wanneer er gebruik wordt gemaakt van de gamma, de lognormale- of de Singh-Maddala verdeling in finite samples. Zij concluderen dat de keuze van de inkomensverdeling en de keuze van de ongelijkheidsmaatstaf invloed hebben op de nauwkeurigheid van de resultaten.

Het is echter wenselijk om een robuuste procedure te hebben die onafhankelijk van de werkelijke inkomensverdeling of de gebruikte ongelijkheidsmaat een betrouwbare uitspraak kan doen over de inkomensongelijkheid in een land. In dit onderzoek staat daarom de volgende onderzoeksvraag centraal: hoe goed presteren verschillende selectieprocedures om de best passende kansverdeling te kiezen, als het gaat om de betrouwbaarheid van de inkomensongelijkheidsmaat? De analyse die plaatsvindt, gebeurt aan de hand van computersimulaties. In dit onderzoek is gekozen om inkomensdata te simuleren uit de gamma-, de lognormale-, en de Weibull kansverdeling. Door dit onderzoek kunnen in vervolgonderzoeken conclusies over de betrouwbaarheid van de inkomensongelijkheid uit werkelijke inkomensdata beter worden geïnterpreteerd.

In het volgende hoofdstuk worden de kenmerken van de drie relevante kansverdelingen en de verschillende ongelijkheidsmaten uitgebreid besproken. Ook worden de methodes die gebruikt worden om de inkomensverdelingen te schatten in detail uiteengezet. In het derde hoofdstuk worden de stappen die in dit onderzoek doorlopen worden stuk voor stuk besproken en wordt uitgelegd hoe de in hoofdstuk twee genoemde theorieën en methodes worden toegepast binnen deze stappen. In

(5)

hoofdstuk vier worden alle gevonden resultaten in tabellen uiteengezet en worden deze tabellen toegelicht. In het vijfde en laatste hoofdstuk wordt aan de hand van deze resultaten een conclusie getrokken over de invloed van de selectieprocedure om het inkomensmodel te selecteren op de betrouwbaarheid van de inkomensongelijkheidsmaat.

2 Relevante theorie

2.1 De Generalized Beta Distribution

Doorgaans wordt in onderzoeken naar inkomensongelijkheid gekozen uit de GB-familie van verdelingen om inkomensdata te modelleren (Dastrup e.a., 2005). McDonald en Xu (1995) tonen aan dat de gamma, de lognormale en de Weibull kansverdelingen lid zijn van de GB-familie. De kansdichtheid van de GB-verdeling wordt gegeven door:

𝐺𝐺𝐺𝐺(𝑥𝑥; 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑝𝑝, 𝑞𝑞) =|𝑎𝑎|𝑥𝑥

𝑎𝑎𝑎𝑎−1

�1 − (1 − 𝑐𝑐) �𝑥𝑥𝑏𝑏�𝑎𝑎�𝑞𝑞−1 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑎𝑎_{𝐺𝐺(𝑝𝑝,𝑞𝑞)(1 + 𝑐𝑐 �𝑥𝑥𝑏𝑏�}𝑎𝑎₎𝑎𝑎+𝑞𝑞

voor 0 < 𝑥𝑥𝑎𝑎 < 𝑏𝑏𝑎𝑎

1−𝑐𝑐 , met 0 ≤ 𝑐𝑐 ≤ 1, 𝑏𝑏, 𝑝𝑝, 𝑞𝑞 > 0 en 𝐺𝐺 de Beta functie, gegeven door

𝐺𝐺(𝑝𝑝, 𝑞𝑞) = ∫ 𝑡𝑡1 𝑎𝑎−1_{(1 − 𝑡𝑡)}𝑞𝑞−1_{𝑑𝑑𝑡𝑡}

0 .

De kansverdelingen die ontspringen uit deze GB-verdeling worden schematisch weergeven in Figuur 1.

Figuur 1. De GB-familie van kansverdelingen (Bandourian e.a., 2002)

(6)

Figuur 1 toont de parameterrestricties aan die nodig zijn om uit de GB- verdeling de gamma-, de lognormale- en de Weibullverdeling te verkrijgen. De dichtheid van de gammaverdeling wordt gegeven door lim_{𝑞𝑞→∞}𝐺𝐺𝐺𝐺(𝑥𝑥; 1,𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑝𝑝, 𝑞𝑞) met 𝑐𝑐 = {0,1}. De dichtheid van de lognormale verdeling wordt gegeven door

lim_{𝑞𝑞→∞, 𝑎𝑎→0}𝐺𝐺𝐺𝐺(𝑥𝑥;𝑎𝑎, 𝑏𝑏,𝑐𝑐, 𝑝𝑝, 𝑞𝑞) met 𝑐𝑐 = {0,1}. En de dichtheid van de

Weibullverdeling wordt gegeven door lim_{𝑞𝑞→∞}𝐺𝐺𝐺𝐺(𝑥𝑥; 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 1,1, 𝑞𝑞). Deze dichtheden herleiden zich dit tot:

𝐺𝐺𝑎𝑎𝐺𝐺𝐺𝐺𝑎𝑎(𝑥𝑥;𝑟𝑟, θ) =_𝜃𝜃_𝑟𝑟_Γ(r)1 𝑥𝑥𝑟𝑟−1_𝑒𝑒_{−𝑥𝑥θ}_{𝑥𝑥,𝑟𝑟, θ > 0} 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝑟𝑟𝐺𝐺𝑎𝑎𝐿𝐿(x;µ, σ) = 1 𝑥𝑥σ√2𝜋𝜋𝑒𝑒 −(log(𝑥𝑥)−𝜇𝜇)_2𝜎𝜎2 2_{𝑥𝑥 > 0} 𝑊𝑊𝑒𝑒𝑊𝑊𝑏𝑏𝑊𝑊𝐿𝐿𝐿𝐿(𝑥𝑥; 𝑎𝑎, 𝑏𝑏) =𝑏𝑏_𝑎𝑎 �𝑥𝑥_𝑎𝑎�𝑏𝑏−1𝑒𝑒−(𝑥𝑥 𝑎𝑎⁄ )𝑏𝑏 𝑥𝑥 > 0 Hier is Γ de Gamma functie gedefinieerd als Γ(x) = ∫ 𝑡𝑡∞ 𝑥𝑥−1𝑒𝑒−𝑥𝑥𝑑𝑑𝑡𝑡

0 . In het vervolg

van dit onderzoek worden bovenstaande kansverdelingen gebruikt om inkomens te simuleren.

2.2 De Generalized Entropy Indices of Inequality

Wanneer een verdeling is gevonden die de data het beste fit, waarbij in dit onderzoek enkel gekozen wordt uit de gamma-, lognormale- of Weibullverdeling, moet er vervolgens een uitspraak worden gedaan over de mate van inkomensongelijkheid. In dit onderzoek wordt de populaire GE-klasse van indices gebruikt. Deze klasse van maatstaven is populair aangezien het de enige klasse van maatstaven is die aan alle belangrijke condities voor een goede ongelijkheidsmaatstaf voldoet (Maasoumi, 1999). Eén van deze eigenschappen is ongevoeligheid voor schaling, zodat er niet gecorrigeerd hoeft te worden voor valuta wanneer inkomens uit verschillende landen met elkaar worden vergeleken.

Voor alle reële α is de GE-index gedefinieerd als (Maasoumi, 1999):

𝐼𝐼(α;F) = 1 α2_{− α}� µ(F, α) µ(F,1)α− 1� voor α ≠ {0,1} 𝐼𝐼(α; F) = − �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 � 𝑥𝑥 µ(F,1)�𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑥𝑥) voor α = 0

(7)

𝐼𝐼(α;F) = � �_µ(F,1)𝑥𝑥 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 �_µ(F,1)𝑥𝑥 �𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑥𝑥) voor α = 1

met F de inkomensverdeling, α een gevoeligheidsparameter en µ(F,α) = ∫ 𝑥𝑥α𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑥𝑥). Hoewel elke reële α gebruikt mag worden, worden in de praktijk echter alleen waardes tussen 0 en 2 gebruikt. Voor α = 2 wordt de index de Herfindahl-index genoemd en voor α = 0 en α = 1 wordt de index de Theil-index genoemd (Van Garderen en Schluter, 2009).

De GE- indices kunnen voor de gamma-, de lognormale- en de Weibullverdeling gemakkelijk herleid worden door de relevante momenten in de bovenstaande formules in te vullen. Voor α ≠ {0,1} herleiden deze GE-indices zich per verdeling tot:

Gamma: 𝐼𝐼(α; r) = (α2− α)−1�𝑟𝑟 −α_{Γ(α + r)} Γ(r) − 1� Lognormaal: 𝐼𝐼(α; σ) = (α2− α)−1�𝑒𝑒12𝜎𝜎(α−1)α− 1� Weibull: 𝐼𝐼(α;b) = (α2− α)−1 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ Γ�1 + 𝛼𝛼𝑏𝑏� �Γ �1 + 1𝑏𝑏�� 𝛼𝛼 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

Hier is opnieuw Γ de Gamma functie en 𝐺𝐺 de Beta functie. Er kan worden opgemerkt dat de schaalparameters θ, µ en 𝑎𝑎 voor respectievelijk de gamma-, lognormale- en de Weibullverdeling hier niet in voorkomen. De reden hiertoe is dat de GE- indices ongevoelig zijn voor schaling (Van Garderen en Schluter, 2009). De hierboven genoemde formules bieden een manier om de inkomensongelijkheid uit te drukken voor de in dit onderzoek relevante kansverdelingen,.

2.3 Schattingsmethoden

In deze paragraaf wordt de procedure om het werkelijke datagenererende proces (DGP) te achterhalen, en de bijbehorende parameters te schatten, besproken. Een veel toegepaste methode om consistent parameters te schatten is de maximumlikelihoodmethode. Hierbij wordt de likelihoodfunctie gemaximaliseerd. De te maximaliseren likelihoodfunctie wordt gegeven door:

(8)

L(𝜃𝜃;𝑥𝑥) = �𝑓𝑓(𝑥𝑥_𝑖𝑖,𝜃𝜃)

𝑛𝑛 𝑖𝑖=1

De functie L(𝜃𝜃; 𝑥𝑥) wordt gemaximaliseerd naar de parametervector 𝜃𝜃, gegeven de waarnemingen 𝑥𝑥_𝑖𝑖. Hierbij stelt 𝑓𝑓 de kansdichtheid voor van de verdeling waaruit de waarnemingen 𝑥𝑥_𝑖𝑖 stammen.

Een probleem bij het gebruik van de maximumlikelihoodmethode is dat van tevoren de kansdichtheid 𝑓𝑓 gespecificeerd moet worden. Wanneer deze kansdichtheid niet in overeenstemming is met de kansdichtheid van het DGP, is het mogelijk dat de maximumlikelihoodmethode onnauwkeurige en onbetrouwbare schattingsresultaten geeft. Wanneer het DGP bijvoorbeeld gesimuleerd wordt met een gammaverdeling, maar de maximumlikelihoodmethode toegepast wordt met voor 𝑓𝑓 de kansdichtheid van bijvoorbeeld een lognormale verdeling, dan zullen de resultaten onbetrouwbaar zijn.

Dit motiveert het gebruik van een maatstaf om het relatieve presteren van de gekozen kansdichtheid 𝑓𝑓 uit te drukken bij het gebruik van de maximumlikelihoodmethode. In dit onderzoek worden hiervoor twee methodes gebruikt: het gebruik van het Aikake Information Criterion (AIC) en de chi-squared goodness-of-fit test. Met deze twee methodes kan er een keuze gemaakt worden voor de beste kansdichtheid 𝑓𝑓. Het AIC is als volgt gedefinieerd:

𝐴𝐴𝐼𝐼𝐴𝐴 = 2𝑘𝑘 − log (L(𝜃𝜃;𝑥𝑥))

Hier is 𝑘𝑘 het aantal parameters van de veronderstelde verdeling en L(𝜃𝜃; 𝑥𝑥) de likelihoodfunctie. Het model dat het laagste AIC oplevert, is het geprefereerde model. Om de chi-squared goodness-of-fit test uit te voeren, worden de data eerst in bins gegroepeerd. Vervolgens wordt het aantal observaties per bin geteld en wordt het verwachte aantal observaties, gebaseerd op de veronderstelde verdeling, berekend. De toetsingsgrootheid wordt als volgt berekend:

𝜒𝜒2_{~ �}(𝑂𝑂𝑖𝑖− 𝐸𝐸𝑖𝑖)2

𝐸𝐸𝑖𝑖 𝐺𝐺

𝑖𝑖=1

Waarin 𝐺𝐺 het aantal groepen is, 𝑂𝑂_𝑖𝑖 het aantal observaties in groep 𝑊𝑊 en 𝐸𝐸_𝑖𝑖 het verwachte aantal observaties in groep 𝑊𝑊. 𝐸𝐸_𝑖𝑖 is als volgt gedefinieerd:

𝐸𝐸_𝑖𝑖 = �𝑑𝑑(𝑌𝑌_𝑢𝑢) − 𝑑𝑑(𝑌𝑌_𝑙𝑙)� ∗ 𝐿𝐿

Waar 𝑑𝑑 de cumulatieve verdelingsfunctie is van de veronderstelde verdeling, 𝑌𝑌_𝑢𝑢 de bovengrens van interval 𝑊𝑊, 𝑌𝑌_𝑙𝑙 de ondergrens van interval 𝑊𝑊 en 𝐿𝐿 de grootte van de

(9)

steekproef. Het aantal vrijheidsgraden van de resulterende chi-kwadraatverdeling is gelijk aan het aantal groepen minus het aantal geschatte parameters. De nulhypothese van deze toets is dat de data uit de veronderstelde kansverdeling komen. Wanneer de uitkomst van de toetsingsgrootheid te hoog wordt, wordt de nulhypothese verworpen. Het model dat de kleinste toetsingsgrootheid oplevert, is dus het geprefereerde model. De twee bovengenoemde methodes worden in het vervolg de AIC- methode en Chi-kwadraatmethode genoemd. Deze twee methodes bieden een manier om de prestaties van verschillende modellen met elkaar te vergelijken.

2.4 Betrouwbaarheidsintervallen I

Wanneer een geschikte kansdichtheid 𝑓𝑓 is gekozen en haar parameters geschat zijn, kan de mate van inkomensongelijkheid bepaald worden met behulp van de besproken maatstaven. O m vervolgens een betrouwbaarheidsinterval op te stellen voor de inkomensongelijkheid wordt volgens de standaard procedure uitgegaan van de gestudentiseerde inkomensongelijkheid. Deze is als volgt gedefinieerd:

𝑆𝑆 = √𝐿𝐿 �𝐼𝐼̂ − 𝐼𝐼_𝜎𝜎� �

Hier is 𝐼𝐼̂ = 𝐼𝐼(𝑑𝑑�), met 𝑑𝑑� de veronderstelde cumulatieve verdelingsfunctie. Verder is 𝜊𝜊�2 de schatter van de asymptotische variantie 𝜎𝜎2= 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑟𝑟 �√𝐿𝐿�𝐼𝐼̂ − 𝐼𝐼�� van 𝐼𝐼. De asymptotische variantie wordt verkregen volgens de deltamethode, wat leidt tot de volgende uitdrukking (Van Garderen en Schluter, 2009):

𝜎𝜎2 ₌ 1 (𝛼𝛼2_{− 𝛼𝛼)}2 1 𝜇𝜇12𝛼𝛼+2[𝜇𝜇1 2_𝜇𝜇 2𝛼𝛼 + 𝛼𝛼2𝜇𝜇𝛼𝛼2𝜇𝜇2− 2𝛼𝛼𝜇𝜇𝛼𝛼𝜇𝜇1𝜇𝜇𝛼𝛼+1− (1 − 𝛼𝛼)2𝜇𝜇𝛼𝛼2𝜇𝜇12]

De schatter 𝜎𝜎�2 wordt vervolgens verkregen wanneer voor µ(F,α) = ∫ 𝑥𝑥α𝑑𝑑𝑑𝑑�(𝑥𝑥) wordt gebruikt. Volgens de centrale limietstelling convergeert 𝑆𝑆 asymptotisch naar een normale verdeling. Asymptotisch geldt dus de volgende vergelijking:

𝑃𝑃[𝑆𝑆 ≤ 𝑥𝑥] = Φ(𝑥𝑥) + 𝑂𝑂 �𝐿𝐿−12�

Waar Φ de cumulatieve verdelingsfunctie van de normale verdeling voorstelt en 𝑂𝑂 een rest term. Standaard methodes om een betrouwbaarheidsinterval op te stellen maken enkel gebruik van de term Φ(𝑥𝑥). Van Garderen en Schluter (2009) tonen echter aan dat het gebruik van deze methode geen betrouwbare resultaten oplevert. In dit onderzoek wordt daarom niet gebruik gemaakt van deze normale benadering, maar

(10)

wordt het betrouwbaarheidsinterval opgesteld met behulp van de likelihoodratiotest. Deze test is als volgt gedefinieerd:

𝐿𝐿𝐿𝐿 = 2�log�L�𝜃𝜃�_{𝑀𝑀𝑀𝑀}; 𝑥𝑥� � − log�L(𝜃𝜃₀; 𝑥𝑥)��~𝜒𝜒2_(𝑘𝑘)

Hier is 𝜃𝜃�_{𝑀𝑀𝑀𝑀} de geschatte parametervector met behulp van de maximumlikelihoodmethode en is 𝜃𝜃₀ de parametervector onder de nulhypothese. De nulhypothese en de alternatieve hypothese van deze toets zijn als volgt gedefinieerd:

𝐻𝐻₀: 𝜃𝜃 = 𝜃𝜃₀ 𝐻𝐻_𝑎𝑎: 𝜃𝜃 ≠ 𝜃𝜃₀

Met deze kennis kunnen we een 95% betrouwbaarheidsinterval opstellen voor log (L𝑎𝑎):

𝑃𝑃 �log(L0) ≥ log (𝜃𝜃�𝑀𝑀𝑀𝑀) −1₂𝜒𝜒0.052 (𝑘𝑘)� = 0.95

Waar 𝑘𝑘 het aantal vrijheidsgraden is en log(L₀) en log (𝜃𝜃�_{𝑀𝑀𝑀𝑀}) respectievelijk de loglikelihood zijn voor de parameters onder de nulhypothese en voor de maximumlikelihoodschatter. Dit is schematisch weergeven in Figuur 2.

Figuur 2. Schematische weergave van betrouwbaarheidsinterval 𝛉𝛉.

Het opstellen van een betrouwbaarheidsinterval m.b.v. de likelihoodratiotest.

De kromme geeft de loglikelihood weer als functie van een parameter 𝜃𝜃. De bovenste lijn geeft het niveau van de loglikelihood weer op de geschatte waarde 𝜃𝜃�_{𝑀𝑀𝑀𝑀}. De onderste lijn geeft het maximumlikelihoodniveau minus een half keer de kritieke

(11)

waarde van de Chi-kwadraatverdeling met één vrijheidsgraad bij een onbetrouwbaarheidsdrempel van vijf procent. Als vervolgens berekend wordt in welke twee punten deze lijn de kromme van de loglikelihood snijdt, resteert het 95% betrouwbaarheidsinterval voor 𝜃𝜃. Vervolgens kan het 95% betrouwbaarheidsinterval voor 𝐼𝐼 opgesteld worden door de functiewaarde van 𝐼𝐼 uit te rekenen in deze twee punten.

3 Opzet van het onderzoek

In dit hoofdstuk wordt elke stap uit dit onderzoek toegelicht. Wanneer deze stappen doorlopen zijn, kan er antwoord gegeven worden op de vraag hoe betrouwbaar de gebruikte methodes zijn bij het schatten van de inkomensongelijkheid. De stappen die worden doorlopen zijn in het kort:

1. Simuleer het DGP

2. Schat het DGP door middel van de besproken selectieprocedures 3. Stel een betrouwbaarheidsinterval op voor de geschatte parameters 4. Stel een betrouwbaarheidsinterval op voor de inkomensongelijkheidsmaat 5. Analyseer hoe betrouwbaar de selectieprocedures voor de keuze van de

inkomensverdeling zijn bij het schatten van de inkomensongelijkheid

De eerste stap die gemaakt wordt in dit onderzoek is het simuleren van inkomensdata. Alle simulaties en berekeningen worden gedaan met behulp van MATLAB. Er wordt aangenomen dat de inkomens stammen uit een gamma-, lognormale- of Weibullverdeling. Er is voor deze verdelingen gekozen, omdat ze niet alleen vaak in de praktijk worden gebruikt om inkomensdata te modelleren, maar ook omdat ze onderling vrij verschillende eigenschappen hebben (Van Garderen en Schluter, 2009). Voor elke verdeling zijn parameters gekozen die mogelijk zouden kunnen zijn in werkelijke inkomensdata. Hiervoor zijn 𝐺𝐺𝑎𝑎𝐺𝐺𝐺𝐺𝑎𝑎(3.5,5), 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝑟𝑟𝐺𝐺𝑎𝑎𝑎𝑎𝐿𝐿(5.5, 0.8) en 𝑊𝑊𝑒𝑒𝑊𝑊𝑏𝑏𝑊𝑊𝐿𝐿𝐿𝐿(2.5,1.8) gekozen. De kansverdelingsfuncties die horen bij deze parameterkeuzes zijn weergeven in Figuur 3.

(12)

Figuur 3. De 𝐆𝐆(𝟑𝟑.𝟓𝟓,𝟓𝟓), 𝐋𝐋𝐋𝐋(𝟓𝟓. 𝟓𝟓,𝟎𝟎. 𝟖𝟖) en Wb(2.5,1.8) verdeling.

Kansverdelingen die een inkomensverdeling zouden kunnen representeren.

De figuur geeft inderdaad kansverdelingen weer die inkomensverdelingen karakteriseren. Namelijk een hoge kans op een gemiddeld inkomen en een lange rechterstaart. De staart representeert extreem hoge inkomens.

Nadat de inkomens zijn gesimuleerd volgens de bovenstaande drie verdelingen, wordt voor de drie mogelijke keuzes van 𝑓𝑓 de likelihoodfunctie L(𝜃𝜃; 𝑥𝑥) = ∏𝑛𝑛 𝑓𝑓(𝑥𝑥_𝑖𝑖,𝜃𝜃)

𝑖𝑖=1 gemaximaliseerd en wordt de vector met parameterschatters

𝜃𝜃�_{𝑀𝑀𝑀𝑀} gegeven. Vervolgens wordt de best passende kansverdeling 𝑓𝑓 geselecteerd op basis van de volgende drie methodes:

• Een vaste keuze voor 𝑓𝑓 • Het AIC

• De chi-squared goodness-of-fit toetsingsgrootheid

Wanneer de methode ‘vaste keuze voor 𝑓𝑓’ wordt gebruikt, wordt er onafhankelijk van het DGP een keuze gemaakt voor de kansverdeling 𝑓𝑓 waar de inkomens mee gemodelleerd worden. Dit is verreweg de meest simpele en voor de hand liggende

(13)

procedure voor het selecteren van een inkomensverdeling. Wanneer de gekozen kansverdeling 𝑓𝑓 in overeenstemming is met het DGP, zal deze methode nauwkeurige resultaten oplevert. Echter, wanneer het zo is dat de gesimuleerde inkomens stammen uit een gammaverdeling, maar dat ze gemodelleerd worden met bijvoorbeeld een lognormale verdeling, zal dit onbetrouwbare resultaten oplevert. De reden hiertoe is dat de maximumlikelihoodmethode wordt toegepast met een verkeerd gespecificeerde kansverdeling. Dit motiveert voor het gebruik van een meer complexere methode zoals de AIC-methode of de Chi-kwadraatmethode.

De drie mogelijke DGP’s worden in het volgende hoofdstuk eerst elk onderworpen aan de ‘vaste keuze voor 𝑓𝑓’ methode en de onnauwkeurigheid van deze methode wordt aangetoond. Vervolgens worden de AIC- methode en Chi-kwadraatmethode uitgevoerd voor de drie mogelijke DGP’s. Gebruik van de methode ‘een vaste keuze voor 𝑓𝑓’ levert voor elk mogelijk DGP drie resultaten op. De AIC-methode en de Chi-kwadraatAIC-methode leveren beide drie resultaten op. In totaal leveren de drie methodes vijftien verschillende resultaten op. Er wordt bovendien onderzocht in hoeverre het aantal observaties 𝐿𝐿 invloed heeft op de nauwkeurigheid van de resultaten. De vijftien resultaten worden daarom apart berekend voor 𝐿𝐿 = 100, 𝐿𝐿 = 250 en 𝐿𝐿 = 500 wat in totaal 45 resultaten oplevert.

Wanneer de parameters geschat zijn en het model is gekozen volgens bovenstaande methodes, wordt een betrouwbaarheidsinterval voor de parameters opgesteld. Dit gebeurt met behulp van de likelihoodratiotest, zoals besproken in hoofdstuk twee.

De betrouwbaarheidsintervallen voor de inkomensongelijkheid 𝐼𝐼 worden vervolgens opgesteld door de formules van de GE- indices te evalueren in de betrouwbaarheidsintervallen uit de vorige stap. De formules van de GE- indices zijn per verdeling gegeven in hoofdstuk twee. In deze formules is α een sensitiviteitsparameter. Hoe hoger α wordt gekozen, des te gevoeliger de ongelijkheidsindex is voor de keuze van een verkeerde kansverdeling (Van Garderen en Schluter, 2009). O mdat in de praktijk alleen waardes van α tussen de 0 en 2 gebruikt worden, wordt er in dit onderzoek voor gekozen om de grootste waarde uit dat interval te nemen en de GE-index te gebruiken met α = 2 (Van Garderen en Schluter, 2009). Zo valt een incorrect model meer op.

(14)

Wanneer de vier bovenstaande stappen doorlopen zijn, resulteert dit in 45 verschillende betrouwbaarheidsintervallen voor de inkomensongelijkheid 𝐼𝐼. Sommige hiervan zullen accuraat zijn en sommige zullen dit niet zijn. O mdat de werkelijke inkomensverdeling waar het DGP mee gesimuleerd is bekend is, kan de werkelijke inkomensongelijkheid berekend worden. De resultaten worden geanalyseerd door de werkelijke inkomensongelijkheid te vergelijken met de 45 verkregen betrouwbaarheidsintervallen. Zo kan per kansverdeling geconcludeerd worden welke methode de meest nauwkeurige resultaten oplevert.

4 Resultaten

In dit hoofdstuk worden alle met MATLAB verkregen resultaten uiteengezet. Dit gebeurt door per mogelijke verdeling voor het DGP (gamma, lognormaal of Weibull) de resultaten per gebruikte methode (AIC, Chi-kwadraat of vast gekozen verdeling) weer te geven. Elke tabel bevat resultaten voor 𝐿𝐿 = 100, 𝐿𝐿 = 250 en 𝐿𝐿 = 500. De hit rate geeft aan hoe vaak de gebruikte methode het juiste model heeft gekozen als percentage van het aantal replicaties. Alle resultaten zijn gebaseerd op duizend replicaties. Verder wordt de coverage rate gegeven, die weergeeft in hoe veel procent van de gevallen de werkelijke waarde van de ongelijkheidsmaat in het opgestelde 95% betrouwbaarheidsinterval van de ongelijkheidsmaat valt. De coverage rate bepaalt de ‘nauwkeurigheid’ van de desbetreffende selectieprocedure. Bovendien wordt de gemiddelde lengte van het 95% betrouwbaarheidsinterval van 𝐼𝐼 gegeven, zodat geëvalueerd kan worden hoe nauwkeurig het betrouwbaarheidsinterval daadwerkelijk is. De werkelijke waarden van de GE-index met 𝛼𝛼 = 2, afhankelijk van het DGP, worden in Tabel 1 weergeven. In Tabel 2 zijn de resultaten van de ‘vaste keuze voor 𝑓𝑓’ methode weergeven. In Tabel 3, 4 en 5 zijn de resultaten van de AIC-methode en de Chi-kwadraatAIC-methode voor de drie verschillende DGP’s weergeven.

Tabel 1. Werkelijke waardes van de GE-index met 𝜶𝜶 = 𝟐𝟐.

DGP GE(2)

Gamma(3.5, 5) 0.1492 Lognormal(5.5,0.8) 0.4482 Weibull(2.5, 1.8) 0.1652

(15)

Tabel 2. Resultaten ‘vaste keuze voor 𝒇𝒇’ methode.

𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮(𝟑𝟑.𝟓𝟓,𝟓𝟓) … 𝐧𝐧 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐧𝐧 = 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟎𝟎 𝐧𝐧 = 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 Met 𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮

Coverage rate 55.1% 51.2% 51.9%

Gem. lengte van 95% BI 𝐼𝐼 0.689 0.433 0.305

Met 𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑮𝑮𝑮𝑮𝑳𝑳

Coverage rate 46.6% 18.5% 1.8%

Met 𝑾𝑾𝑾𝑾𝑾𝑾𝑾𝑾𝑾𝑾𝑳𝑳𝑳𝑳

Coverage rate 92.0% 91.3% 89.3%

𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑮𝑮𝑮𝑮𝑳𝑳(𝟓𝟓.𝟓𝟓,𝟎𝟎. 𝟖𝟖) … 𝐧𝐧 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐧𝐧 = 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟎𝟎 𝐧𝐧 = 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 Met 𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮

Coverage rate 76.1% 80.1% 84.3%

𝑾𝑾𝑾𝑾𝑾𝑾𝑾𝑾𝑾𝑾𝑳𝑳𝑳𝑳(𝟐𝟐.𝟓𝟓, 𝟏𝟏.𝟖𝟖) … 𝐧𝐧 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐧𝐧 = 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟎𝟎 𝐧𝐧 = 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 Met 𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮

Coverage rate 93.8% 95.1% 94.7%

(16)

Tabel 3. DGP gesimuleerd uit een 𝐆𝐆𝐆𝐆𝐆𝐆𝐆𝐆𝐆𝐆(𝟑𝟑. 𝟓𝟓,𝟓𝟓) verdeling. AIC-methode 𝐧𝐧 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐧𝐧 = 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟎𝟎 𝐧𝐧 = 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 Coverage rate 62.7% 52.5% 51.6% Hit rate 𝐺𝐺𝑎𝑎𝐺𝐺𝐺𝐺𝑎𝑎 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝑟𝑟𝐺𝐺𝑎𝑎𝑎𝑎𝐿𝐿 𝑊𝑊𝑒𝑒𝑊𝑊𝑏𝑏𝑊𝑊𝐿𝐿𝐿𝐿 0.6460 0.1630 0.1910 0.8860 0.0490 0.0650 0.9630 0.0130 0.0240

Chi-kwadraatmethode Coverage rate 64.4% 56.8% 54.4% Hit rate 𝐺𝐺𝑎𝑎𝐺𝐺𝐺𝐺𝑎𝑎 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝑟𝑟𝐺𝐺𝑎𝑎𝑎𝑎𝐿𝐿 𝑊𝑊𝑒𝑒𝑊𝑊𝑏𝑏𝑊𝑊𝐿𝐿𝐿𝐿 0.4460 0.2730 0.2810 0.7120 0.0850 0.2030 0.8660 0.0230 0.1110

Tabel 4. Waarnemingen gesimuleerd uit een 𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐧𝐧𝐋𝐋𝐋𝐋𝐆𝐆𝐆𝐆𝐋𝐋(𝟓𝟓.𝟓𝟓,𝟎𝟎. 𝟖𝟖) verdeling.

AIC-methode 𝐧𝐧 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐧𝐧 = 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟎𝟎 𝐧𝐧 = 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 Coverage rate 70.4% 79.1% 84.2% Hit rate 𝐺𝐺𝑎𝑎𝐺𝐺𝐺𝐺𝑎𝑎 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝑟𝑟𝐺𝐺𝑎𝑎𝑎𝑎𝐿𝐿 𝑊𝑊𝑒𝑒𝑊𝑊𝑏𝑏𝑊𝑊𝐿𝐿𝐿𝐿 0.0720 0.9260 0.0020 0.0180 0.9820 0.0000 0.0010 0.9990 0.0000

(17)

Tabel 5. Waarnemingen gesimuleerd uit een 𝐖𝐖𝐖𝐖𝐖𝐖𝐖𝐖𝐖𝐖𝐋𝐋𝐋𝐋(𝟐𝟐.𝟓𝟓,𝟏𝟏. 𝟖𝟖) verdeling. AIC-methode 𝐧𝐧 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐧𝐧 = 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟎𝟎 𝐧𝐧 = 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 Coverage rate 83.6% 89.8% 92.4% Hit rate 𝐺𝐺𝑎𝑎𝐺𝐺𝐺𝐺𝑎𝑎 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝑟𝑟𝐺𝐺𝑎𝑎𝑎𝑎𝐿𝐿 𝑊𝑊𝑒𝑒𝑊𝑊𝑏𝑏𝑊𝑊𝐿𝐿𝐿𝐿 0.2110 0.0040 0.7850 0.0940 0.0000 0.9060 0.0260 0.0000 0.9740

5 Conclusie

Uit de resultaten van de methode ‘vaste keuze voor 𝑓𝑓’ kan geconcludeerd worden wat al verwacht werd: wanneer het model geschat wordt met een keuze voor 𝑓𝑓 die niet in overeenstemming is met het DGP, levert dit in de meeste gevallen zeer onnauwkeurige resultaten. Wanneer bijvoorbeeld de 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝑟𝑟𝐺𝐺𝑎𝑎𝐿𝐿(5.5,0.8) verdeling gemodelleerd wordt met een gammaverdeling, geeft dit bij 𝐿𝐿 = 100 een coverage rate van slechts 0.8%. Wanneer 𝐿𝐿 groter wordt, daalt de coverage rate naar 0%. Wanneer voor 𝑓𝑓 een kansverdeling wordt gekozen die wél in overeenstemming is met het DGP levert dit goede resultaten. Zo wordt er een coverage rate van 93.8% verkregen wanneer de 𝑊𝑊𝑒𝑒𝑊𝑊𝑏𝑏𝑊𝑊𝐿𝐿𝐿𝐿(2.5,1.8) verdeling met een Weibullverdeling gemodelleerd wordt.

Doordat men in de praktijk niet weet met wat voor soort DGP men te maken heeft, is een methode gewenst die niet alleen hoge coverage rates oplevert wanneer een model wordt gekozen dat in overeenstemming is met het DGP, maar in alle gevallen redelijke coverage rates oplevert. O m deze reden wordt het gebruik van de

(18)

‘vaste keuze voor 𝑓𝑓’ methode in de praktijk niet aangeraden en motiveert dit tot het gebruik van bijvoorbeeld de AIC-methode of de Chi-kwadraatmethode.

In Tabel 3, 4 en 5 is aan de hit rates zichtbaar dat de AIC methode en de Chi-kwadraat methode drastisch beter werken wanneer 𝐿𝐿 groter wordt. De additionele informatie, verkregen door de extra waarnemingen, zorgt er voor dat het juiste model vaker geselecteerd wordt, wat uiteindelijk tot hogere coverage rates leidt. Een ander effect van de additionele informatie is dat er minder onzekerheid is over de werkelijke waarde van de vormparameter van het model, die geschat wordt met maximumlikelihood. Doordat de vormparameter direct invloed heeft op de waarde van de ongelijkheidsmaat, daalt de gemiddelde lengte van het betrouwbaarheidsinterval van 𝐼𝐼 wanneer 𝐿𝐿 stijgt.

Voor de waarnemingen die gesimuleerd zijn uit de lognormale- of de Weibullverdeling, geeft de AIC- methode voor elke 𝐿𝐿 hogere coverage rates. Wanneer de waarnemingen uit de gammaverdeling stammen, levert de Chi-kwadraatmethode hogere coverage rates op. Opvallend is dat in dit geval de coverage rates voor zowel de AIC- methode als de Chi-kwadraatmethode dalen naarmate 𝐿𝐿 stijgt. Ook Tabel 1 geeft aan dat wanneer de 𝐺𝐺𝑎𝑎𝐺𝐺𝐺𝐺𝑎𝑎(3.5, 5) verdeling gemodelleerd wordt met een gammaverdeling, de coverage rates dalen naarmate 𝐿𝐿 stijgt. De coverage rates zijn zelfs hoger wanneer de 𝐺𝐺𝑎𝑎𝐺𝐺𝐺𝐺𝑎𝑎(3.5, 5) verdeling met een Weibullverdeling gemodelleerd wordt. Hoewel bij het 𝐺𝐺𝑎𝑎𝐺𝐺𝐺𝐺𝑎𝑎(3.5, 5) DGP de gemiddelde lengtes van de betrouwbaarheidsintervallen van 𝐼𝐼 kleiner worden naarmate 𝐿𝐿 stijgt, dalen de coverage rates. Dit is niet in overeenstemming met de overige resultaten en duidt op een consistente onzuiverheid van de schattingen. Een interessante kwestie voor een vervolgonderzoek zou kunnen zijn om te onderzoeken hoe deze onzuiverheid, die voorkomt wanneer de waarnemingen gesimuleerd zijn uit een gammaverdeling, ontstaat. Mogelijke oplossingen zouden het gebruik van een andere methode dan maximumlikelihood of het gebruik van een alternatieve ongelijkheidsmaat kunnen zijn.

Uit de voorgaande alinea’s wordt geconcludeerd dat de AIC methode voor het lognormale- en Weibull DGP de nauwkeurigste resultaten geeft, met coverage rates tussen de tachtig en negentig procent voor 𝐿𝐿 tussen de 250 en 500. Het gebruik van de AIC-methode en Chi-kwadraatmethode leveren voor het gamma DGP beide een lage nauwkeurigheid op, met coverage rates tussen de vijftig en zestig procent. Voor

(19)

waarnemingen die stammen uit dit DGP moet verder onderzocht worden wat voor soort methode wel een hoge nauwkeurigheid oplevert. Aangezien de AIC- methode in de meeste van de onderzochte gevallen de meest nauwkeurige resultaten oplevert, wordt het gebruik van deze methode in de praktijk aangeraden.

(20)

Bibliografie

Bandourian, R., McDonald, J. B., & Turley, R. S. (2002). A Comparison of Parametric Models of Income Distribution Across Countries and Over Time. Brigham Young University: Department of Economics.

Dastrup, S. R., Hartshorn, R., & McDonald, J. B. (2005). The Impact of Taxes and Transfer Payments on the Distribution of Income: a Parametric Comparison. Brigham Young University: Department of Economics. Engelhardt, M., L.J. Bain (1991). Introduction To Probability and Mathematical

Statistics (2e ed.). Duxbury, U.S.A.: Duxbury Classic Series. Gibrat, R. (1931). Les Inegalites Economiques. Paris: Sirely.

Ginos, B.F. (2009). Parameter Estimation for the Lognormal Distribution. Brigham Young University: Provo.

McDonald, J.B. (1984). Some Generalized Functions for the Size Distribution of Income. Econometria, 52, pp. 647-663.

McDonald, J.B., & Y.J. Xu (1995). A generalization of the beta distribution with applications. Journal of Econometrics, 66, pp. 133-152.

Pareto, V. (1895). La Legge della Domanda. Giornale degli Economisti, Gennaio: pp. 59-68.

Schluter, C., & Van Garderen, K.J. (2009). Edgeworth expansions and normalizing transforms for inequality measures. Journal of Econometrics, 150, pp. 16-29.