Strategische netwerkformatie onder de wet van de afnemende meeropbrengsten

Strategische netwerkformatie onder de wet

van de afnemende meeropbrengsten

Zhong Zhi Hu

Studentnummer 10013709

Begeleiders: Dr. Marco van der Leij en Daan in 't Veld, MSc. 28-06-13

Dankwoord

Graag zou ik allereerst mijn begeleiders Marco van der Leij en Daan in 't Veld, genoemd in alfabetische volgorde van achternaam, bedanken. Zonder hun excellente begeleiding was het schrijven van deze scriptie niet mogelijk geweest. Zij gaven uitvoerige feedback op vele tussenversies van deze scriptie, gaven suggesties en kwamen met verbeterpunten. Ook hebben zij beiden veel bijgedragen met het programmeren van simulaties in R. Zij hebben mij programma's verleend waarin het stabiliteitsconcept is uitgewerkt en boden hulp aan bij het programmeren. Dit allemaal heeft beiden veel tijd gekost.

Ook dank ik alle betrokkenen van het programma en tevens programmeertaal R, die deze programma gratis openbaren. Mijn dank gaat ook uit naar de auteurs van het R pakket "igraph", die deze netwerkanalyse hulppakket voor het programma R hebben gemaakt. Voor de analyse in deze scriptie is veelzijdig gebruik gemaakt van R en het pakket igraph.

Daarnaast wil ik mijn ouders bedanken die onrechtstreeks hebben geholpen bij de totstandkoming van deze scriptie. Zij hebben mij de kansen in het leven geboden, die zij zelf vroeger niet hadden.

Inhoudsopgave

2.3 Uitbreiding Connections Model ... 6

2.4 Stabiliteitsconcept en efficiëntie ... 7

3 Resultaten ... 8

3.1 Stabiliteit ... 9

3.2 Resultatenanalyse: stabiliteit met vast en stijgt ... 11

3.3 Analyse vast, stijgt ... 16

3.4 Efficiënte netwerken ... 20

4 Conclusie ... 22

Bibliografie ... 23

1 Inleiding

De netwerkstructuur van sociale en economische relaties speelt een belangrijke rol bij het gedrag van individuen. Er bestaan talloze situaties waarin netwerken van belang zijn. Ellison et al. (2007) concluderen dat sociale netwerksites bijdragen tot het verhogen van sociaal kapitaal.1,2 Verder spelen netwerken een belangrijke rol op het gebied van handel (Goyal en Joshi, 2006), gezondheid (House et al., 1988; Umberson en Montez, 2010) en de arbeidsmarkt (Reese, 1966; Loury, 2006). Gezien het feit dat netwerken economische en sociale uitkomsten beïnvloeden, is het van belang te bestuderen wat voor netwerken er tot stand komen.

Het uitgangspunt van netwerkformatietheorie is dat individuen links met elkaar kunnen vormen, waardoor zij verbonden worden. Wanneer individuen verbonden zijn, verkrijgen zij via informatie-uitwisseling opbrengsten. Daar staat tegenover dat het verbinden van individuen kosten met zich meebrengt. Netwerkformaties komen tot stand aan de hand van een speltheoretisch proces, waarin iedere speler links vormt om het individuele nut te maximaliseren.

Verschillende wetenschappers hebben al onderzoek gedaan naar wat voor netwerkstructuren er ontstaan, wanneer iedereen vanuit speltheoretisch perspectief links vormt. Zo concludeerden Jackson en Wolinsky (1996), Bala en Goyal (2000) en Goyal en Vega-Redondo (2007) dat het sternetwerk tot stand komt. In het sternetwerk is er één centrale speler die links heeft met alle overige spelers. Echter, het ontstaan van dit netwerk is niet altijd realistisch. In de werkelijkheid doet de situatie zich nauwelijks voor dat één speler links heeft met alle overige spelers, vooral niet wanneer het aantal spelers groot wordt. In deze onderzoeken komt het sternetwerk tot stand, doordat de gehanteerde modellen geen rekening houden met de fundamentele wet van de

afnemende meeropbrengsten. Deze stelt ceteris paribus dat het toevoegen van een

eenheid product leidt tot een minder dan evenredige opname van de opbrengsten.

1

Enkele voorbeelden van sociale netwerksites zijn: Facebook, LinkedIn, Myspace en Twitter.

2

Het is algemeen bekend dat de wet van de afnemende meeropbrengsten veelal van toepassing is op de relatie tussen de inzet van productiefactoren en het

productievolume. Meerdere empirische onderzoeken demonstreren evenzeer het belang van deze wet in netwerken. McFayden en Canella (2004) concluderen dat deze wet van toepassing is op het effect van het aantal contacten op sociaal kapitaal. Daarnaast bevinden Rauch en Trindade (2002) in handelsnetwerken dat handel tussen twee individuen afneemt, naarmate het netwerk groter wordt. De oorzaak hiervan is dat in een klein netwerk de interacties tussen twee individuen intensiever van aard zijn. Naarmate het netwerk groter wordt, leiden beperkingen als tijdsgebrek ertoe dat de gemiddelde interactie met anderen minder intensief wordt.

Gezien het belang van de wet van de afnemende meeropbrengsten op het gebied van netwerken, is het essentieel deze op te nemen in een netwerkformatiemodel. Om de wet van de afnemende meeropbrengsten in een model te verwerken, wordt het model van Jackson en Wolinsky (1996) uitgebreid. In dit model bestaat de nutsfunctie, die spelers maximaliseren uit een batenfunctie en een kostenfunctie. De batenfunctie geeft aan wat de opbrengsten zijn uit verbonden contacten. In het model nemen de

opbrengsten proportioneel toe met het aantal verbonden contacten. Afnemende

meeropbrengsten worden in het model van deze scriptie geïmplementeerd aan de hand van een strikt concave batenfunctie. Een dergelijke functie heeft de eigenschap dat deze afnemend stijgend is, waardoor aan de gestelde wet wordt voldaan. Deze scriptie onderzoekt welke netwerkstructuren tot stand komen, als de wet van de afnemende opbrengsten van toepassing is.

In deze scriptie zal het belang van het ringnetwerk benadrukken. Het belang van het ringnetwerk zal ten koste gaan van het complete netwerk en het sternetwerk, die samen met het lege netwerk de drie belangrijkste netwerken zijn in het model van Jackson en Wolinsky (1996).

De structuur van deze scriptie is als volgt verdeeld. In paragraaf 2 wordt het model van Jackson en Wolinsky (1996) gespecificeerd. Vervolgens wordt deze uitgebreid, zodat het netwerkformatiemodel voldoet aan de wet van de afnemende

meeropbrengsten. In paragraaf 3 volgt een uitgebreide analyse van de

onderzoeksresultaten. Ten slotte wordt in paragraaf 4 afgesloten met de conclusie.

2 Model

Jackson en Wolinsky (1996) introduceerden het Connections Model, dat ten grondslag ligt aan vele studies naar netwerkformaties. In dit model vormen spelers links om individueel nut te maximaliseren. Deze vorm van netwerkformatie wordt strategische netwerkformatie genoemd. In deze paragraaf wordt eerst een aantal definities gegeven en wordt het Connections Model van Jackson en Wolinsky (1996) gedefinieerd. Deze wordt vervolgens uitgebreid, zodat de wet van de afnemende meeropbrengsten van toepassing is op het model.

2.1 Basisdefinities

In het model wordt een eindig aantal spelers aangegeven met , waarbij de verzameling spelers weergeeft. Er wordt verondersteld dat en dat de spelers ex-ante homogeen zijn. Een netwerk is de verzameling van links tussen spelers. Laat en . De verzameling van links die speler in netwerk heeft, wordt

aangeduid met . Spelers en zijn direct met elkaar verbonden als deze spelers een link met elkaar hebben. De link tussen spelers en wordt aangeduid met , waarbij aangeeft dat spelers en met elkaar link hebben onder netwerk . Het toevoegen en verwijderen van links onder het al bestaande netwerk wordt aangeduid met respectievelijk en . Als er geen link bestaat tussen spelers en kunnen zij wel indirect met elkaar verbonden zijn door de aanwezigheid van een pad tussen de spelers. Een pad tussen en is een verzameling van spelers zodanig dat .

2.2 Connections Model

In het Connections Model van Jackson en Wolinsky (1996) vindt strategische

netwerkformatie plaats door een nutsfunctie te maximaliseren. In dit model wordt het nut dat speler uit netwerk verkrijgt, gegeven als

.

Hierbij geeft de batenfunctie de opbrengsten aan die speler uit netwerk verkrijgt. Met worden de opbrengsten per link aangeduid. Als speler en niet direct verbonden, maar wel indirect zijn verbonden, dan verkrijgen beiden alsnog opbrengsten. Doordat indirect verbonden spelers door afstand verder van elkaar liggen, zijn de opbrengsten tussen twee indirect verbonden spelers lager. De afstand wordt gedefinieerd door , dat het minimale aantal links in netwerk aangeeft waardoor en verbonden zijn. Als de situatie zich voordoet dat spelers en in netwerk niet verbonden zijn, dan is . Er worden dan geen

opbrengsten gegenereerd tussen niet-verbonden spelers. De kosten van een link worden aangegeven met , en geeft het aantal links van speler in netwerk aan.

2.3 Uitbreiding Connections Model

Voor deze scriptie wordt de nutsfunctie in het model van Jackson en Wolinsky (1996) uitgebreid. Om te kunnen voldoen aan de wet van de afnemende meeropbrengsten wordt de batenfunctie aangepast. Er is een strikt concave batenfunctie nodig, zodat de opbrengsten afnemend stijgend zijn in het aantal links. Een concave functie die veelvuldig gebruikt wordt binnen de consumptie- en productietheorie is de CRRA-functie (constante relatieve risico-aversie). In het model wordt de CRRA-CRRA-functie

verwerkt in de batenfunctie. De batenfunctie die dit model hanteert, wordt dan

.

3

Het door spelers te maximaliseren nut is dan als volgt:

Voor is de batenfunctie strikt convex, waardoor deze toenemend stijgend is. In dit geval wordt de batenfunctie onbruikbaar voor het model. Voor is de functie lineair, dus zowel convex als concaaf. In dit geval nemen de opbrengsten

proportioneel toe met de gevormde links. De wet van de afnemende meeropbrengsten is dan eveneens niet van toepassing. Omdat de aangepaste nutsfunctie voor gelijk is aan de oorspronkelijke nutsfunctie van Jackson en Wolinsky (1996), gelden ook hun onderzoeksresultaten voor stabiele netwerkstructuren. Voor is de batenfunctie strikt concaaf, en daardoor afnemend stijgend. Hierdoor wordt voldaan aan de wet van de afnemende meeropbrengsten. In het speciale geval dat is de batenfunctie gedefinieerd als de logaritmische functie met grondtal e.4

2.4 Stabiliteitsconcept en efficiëntie

Pairwise stability dat geïntroduceerd is door Jackson en Wolinsky (1996), wordt in het

model gebruikt als stabiliteitsconcept. In deze scriptie wordt bestudeerd welke

netwerkstructuren ontstaan onder pairwise stability. Een netwerk is pairwise stable als (i) voor elke en , en

(ii) voor elke als dan .

3

Zie Shefrin, H. (2008). A Behavioral Approach to Asset Pricing p. 170

4

Ofwel, een netwerk is stabiel indien geen enkel tweetal spelers een link wil toevoegen of een individuele speler een link wil verwijderen.5

Aan de hand van een analytisch bewijs wordt onderzocht voor welke waarden van als functie van en het sternetwerk stabiel is. In deze hele scriptie wordt met stabliteit gerefereerd aan het stabiliteitsconcept pairwise stability. Tevens wordt

gezocht naar andere netwerkstructuren die stabiel zijn. Per stabiele netwerkstructuur worden de bijhorende waarden van als functie van en gegeven.

Laat , waarbij de verzameling is van alle mogelijke netwerken van grootte . Een netwerk is efficiënt als voor alle

. Oftewel een netwerk is efficiënt als er onder geen andere netwerkstructuur hogere totale nut wordt bereikt. Het is interessant te kijken welke netwerken efficiënt zijn. Indien een gegeven netwerkstructuur wel stabiel maar niet efficiënt is, kan ingrijpen van een hogere instantie zoals de overheid van belang zijn.

3 Resultaten

Jackson en Wolinsky (1996) onderzochten in hun model met welke netwerken stabiel zijn. Indien de kosten zeer laag zijn, vonden zij dat elke speler direct met elkaar verbonden wordt, en zodoende het complete netwerk stabiel is. Daarentegen is voor de hoge kosten het lege netwerk stabiel. Tussen de lage- en hoge kosten in vonden zij dat het sternetwerk stabiel is. Op elk punt in een tweedimensionale -ruimte is

minstens één van de drie eerder genoemde netwerken stabiel of efficiënt.6 Daarom is de analyse in deze scriptie, met een model onderhevig aan afnemendende meeropbrengsten, onder andere gericht op deze drie netwerken.

5

In deze hele scriptie wordt met stabiel verwezen naar het concept pairwise stability.

6

In deze hele scriptie zal met "drie netwerken" gerefereerd worden aan het complete netwerk, het sternetwerk en het lege netwerk.

Figuur 1: Drie belangrijkste netwerken van Connections Model met

compleet ster leeg

In figuur 1 staan de drie belangrijkste netwerken voor het Connections Model. Elk knooppunt geeft een speler aan, en elke directe link wordt met een lijn tussen twee knooppunten aangegeven. In het complete netwerk is , zodanig dat

. In het sternetwerk zijn spelers gelinkt met de centrale speler . is een ster indien en een zodanig dat als , dat ofwel of . In het lege netwerk zijn er geen links zodanig dat en . 3.1 Stabiliteit

Theorema 1

In een model met gelden de onderstaande stabiliteitsresultaten.

(i) Het complete netwerk kan stabiel zijn voor . Voor is dit stabiel voor en voor is dit stabiel voor .

(ii) Het sternetwerk kan stabiel zijn voor . Voor is dit stabiel voor

voor is dit stabiel als en tegelijkertijd

(iii) Het lege netwerk kan alleen stabiel zijn voor . Voor is dit stabiel voor .

Het bewijs van Theorema 1 wordt voorzien in de appendix bij lemma 1 tot en met lemma 4. Per lemma wordt analytisch bewezen per geval van voor welke waarden van het gegeven netwerk stabiel is.

Jackson en Wolinsky (1996) hebben in hun model met een lineaire batenfunctie onderzocht voor welke het complete netwerk, het sternetwerk en het lege netwerk stabiel zijn. De stabiliteitsgrenzen voor deze drie netwerken zijn voor algemene uit te rekenen vanwege het symmetrische karakter van de drie netwerken. Echter, de analyse van het ringnetwerk ontbreekt. Overeenkomstig met de drie netwerken is er in het

ringnetwerk sprake van symmetrie onder spelers.

Figuur 2: ringnetwerk met

In het ringnetwerk is . Dit netwerk is zodanig gestructureerd dat voor alle oneven geldt dat en voor alle even geldt

Jackson en Wolinsky (1996) bewezen dat van de drie netwerken minstens één in een -ruimte met en stabiel is. Het ringnetwerk is wel stabiel, echter het gebied waarin het ringnetwerk stabiel is in een -ruimte is een

deelverzameling van de -ruimte van minstens één van de drie andere netwerken. Bovendien kan het ringnetwerk in hun model niet efficiënt zijn integenstelling tot de andere drie netwerken. Daarom hebben zij waarschijnlijk geen analyse gegeven van het ringnetwerk.

In een model met afnemende meeropbrengsten zijn er ook gebieden in de -ruimte, waar geen van de drie eerder genoemde netwerken stabiel zijn. Daarentegen kan het ringnetwerk in dat gebied van de -ruimte, waar geen van de drie netwerken stabiel is, wel stabiel zijn, zie figuur 4. Gezien het feit dat het ringnetwerk belangrijker wordt en de stabiliteit uit te rekenen is voor , wordt in deze scriptie wel van een analyse voorzien van het ringnetwerk. De precieze stabiliteitsgrenzen voor alle zijn in de appendix terug te vinden in theorema 2.

3.2 Resultatenanalyse: stabiliteit met vast en stijgt

Figure 3, 4 en 5 tonen de stabiliteitsgrenzen van het complete netwerk , het sternetwerk , het lege netwerk en het ringnetwerk . In deze figuren zijn de stabiliteitsgrenzen van de vier netwerken uitgezet. Ter ondersteuning van de analytische resultaten is met een simulatie in R numeriek bepaald in welk gebied de vier netwerken stabiel zijn. Dit is aangegeven met de respectievelijke symbolen tussen de haken.

Figuur 3: Stabiliteit van de vier netwerken voor

Uit figuur 3 is te zien dat het gebied, waarin in het ringnetwerk stabiel is,

deelverzameling is van minstens één van de overige drie netwerken voor . Tevens is te zien dat de gebieden, waarin de drie overige netwerken stabiel zijn, onveranderd blijven voor . Het stabiliteitsgebied van het ringnetwerk is het enige dat verandert. Dit gebied groeit als stijgt. Dit is tevens de enige van de vier netwerken, waarin gelijk blijft voor elke speler en opbrengsten toenemen, als stijgt. Omdat voor stijgende het nut in het ringnetwerk voor elke speler stijgt, wordt het ringnetwerk stabieler.

Figuur 4: stabiliteitsgrenzen in een -ruimte voor voor verschillende

Zoals theorema 1 en figuur 4 aangeven, hangen de stabiliteitsgrenzen van het complete netwerk en het sternetwerk wel af van in een model met afnemende

meeropbrengsten.Uit figuur 4 komt naar voren dat het gebied in de -ruimte, waarin het complete netwerk stabiel is, kleiner wordt indien groter wordt. In dit netwerk heeft elke speler het maximale aantal directe links . Wanneer het netwerk groeit, wordt

het steeds onaantrekkelijker links te behouden. De kosten per link blijven namelijk gelijk, terwijl de marginale opbrengst van een link daalt. Om deze twee redenen wordt het complete netwerk minder stabiel als groeit.

Het sternetwerk wordt eveneens minder stabiel indien groeit. In figuur 4 is te zien dat de bovengrens daalt en de ondergrens licht daalt. De sterkere daling van de bovengrens zorgt ervoor dat het sternetwerk minder stabiel wordt. De bovengrens wordt bepaald door de afweging die de centrale speler maakt om een link te verwijderen. De centrale speler heeft net als de speler uit het complete netwerk de hoogste mogelijke opbrengsten en maximale aantal links. Voor stijgende worden de marginale opbrengsten van de centrale speler lager. Voor gelijkblijvende zal de centrale speler sterk geneigd zijn een link te verwijderen.

De ondergrens daalt, alhoewel minder sterk dan dat de bovengrens daalt. De ondergrens wordt bepaald door de afweging die de perifere speler maakt om een link toe te voegen. Voor de perifere speler wordt het verschil tussen de opbrengsten in het

sternetwerk en de opbrengsten bij toevoeging van een directe link minder groot voor stijgende . Voor stijgende zijn de opbrengsten al groot, waardoor vanwege de wet van afnemende meeropbrengsten de marginale opbrengst van de vervanging van een indirecte link met een directe link lager wordt.

De resultaten uit theorema 1 voor geven aan dat het lege netwerk even stabiel blijft als groeit. Figuur 4 bevestigt dit. Het is intuïtief ook logisch dat de wet van afnemende meeropbrengsten van weinig of geen invloed is op netwerken met weinig links. De speler in een leeg netwerk kent slechts één afwijking: hij kan van geen links naar één link gaan. Deze afwijking is onafhankelijk van het aantal spelers in een netwerk.

Het ringnetwerk is het enige netwerk dat stabieler wordt indien stijgt. Hierbij wordt duidelijk dat de bovengrens en ondergrens omhoog verschuiven. De bovengrens verschuift sneller omhoog, waardoor het gebied groter wordt. De bovengrens wordt bepaald door de afweging een link te verwijderen. Wanneer groeit, wordt het nut

groter, omdat de opbrengsten toenemen terwijl blijft. De speler wordt voor stijgende minder geneigd een link te verwijderen. De ondergrens wordt bepaald door de afweging die de speler maakt een link te toe te voegen. Deze wordt wel hoger, maar minder snel dan voor de bovengrens. Als stijgt wordt een speler meer geneigd een link toe te voegen om ver gelegen spelers dichterbij te brengen. De ondergrens gaat wel minder snel omhoog dan de bovengrens. Dit komt doordat het verschil in opbrengsten ten opzichte van het ringnetwerk voor het toevoegen van een link kleiner is dan voor het verwijderen van een link. Ook wordt het stijgen van de ondergrens deels geremd door de wet van de afnemende meeropbrengsten, omdat de opbrengsten al hoog zijn voor grote . De hoofdreden dat het ringnetwerk voor stijgende stabieler wordt is vanwege de eigenschap dat . De opbrengsten stijgen en de kosten blijven gelijk, dus het nut stijgt. Een afweging wordt hierdoor minder waarschijnlijk.

In het complete netwerk stijgt het aantal links voor elke speler en idem voor de centrale speler in het sternetwerk. Voor hen wordt het steeds minder aantrekkelijk om links te bezitten, aangezien de marginale opbrengsten steeds dalen, terwijl gelijk blijft. Daarentegen blijft voor de speler in het ringnetwerk. Net zoals bij het sternetwerk en het complete netwerk blijven de opbrengsten voor de speler in het ringnetwerk stijgen, als groeit. Omdat het ringnetwerk hier het enige netwerk is ,waarin gelijk blijft en tegelijkertijd de opbrengsten stijgen als toeneemt, is dit ook de enige netwerk dat stabieler wordt en daardoor ook stabiel wordt op gebieden waar de drie overige netwerken niet stabiel zijn.

3.3 Analyse vast, stijgt

Figuur 5: stabiliteitsgrenzen in een -ruimte voor voor respectievelijk

, , en .

Uit figuur 5 is te zien dat het lege netwerk minder stabiel wordt als groter wordt. Een speler in een leeg netwerk kent slechts één afwijking: het vormen van één link. De CRRA-batenfunctie is voor steil in de buurt van ten opzichte van de lineaire batenfunctie voor . Hoe hoger des te meer er sprake is van afnemende meeropbrengsten voor grote en hoe minder steil de functie wordt voor hoge waarden

van . Tegelijkertijd geldt hoe hoger des te steiler de CRRA-batenfunctie is in de buurt van . Kleine waarden voor in de buurt van worden relatief meer gewaardeerd voor stijgende , terwijl links voor grote waarden van relatief minder gewaardeerd worden. Voor alle en geldt . Zodoende wordt vanuit een leeg netwerk de afweging groter om minimaal één link te vormen, als stijgt. Er geldt dat vanwege de afname van de waardering van hoge opbrengsten, links voor spelers met lage

opbrengsten relatief meer gewaardeerd worden en het aantrekkelijker voor spelers met lage opbrengsten vanuit hun positie één of meer links te nemen.

Voor is het lege netwerk voor geen enkele waarde van stabiel, zie ook theorema 2. Voor is de batenfunctie gedefinieerd als de logaritmische functie. Voor is de batenfunctie gedefinieerd als een breuk met de opbrengsten in de noemer. Als voor de limit wordt genomen naar 0 is het nut negatief oneindig. Om het negatief oneindige nut te vermijden zal elke speler minstens één link willen vormen.

Vanwege de eigenschappen van de CRRA-functie wordt een intuïtief gezien tegenstrijdige resultaat verkregen. Het lege netwerk wordt minder stabiel als stijgt, en kan zelfs nooit stabiel zijn voor . De intuïtie is dat de wet van afnemende

meeropbrengsten van geen invloed is op een leeg netwerk, of zelfs dat een leeg netwerk stabieler wordt. In het Connections Model is één van de basisassumpties

, voor het onderzoek naar lege netwerken kan het interessant zijn

te stellen dat . Door deze aanpassing kan het lege netwerk stabiel blijven als stijgt.

Aanvankelijk daalt het stabiliteitsgebied van het complete netwerk als en stijgt. Dit is logisch aangezien in het complete netwerk

maximaal is,

en deze voor stijgende relatief minder gewaardeerd wordt. Het wordt steeds minder aantrekkelijk voor een speler om links te bezitten. Voor treedt er

interval, wat inhoudt dat minder van belang wordt.

Opvallend is dat voor hoge waarden van ten opzichte van het complete netwerk stabiel is. De CRRA-batenfunctie is negatief voor . Zoals eerder vermeld over het lege netwerk, wordt het ook minder aantrekkelijk kleine waarden voor de opbrengsten in de buurt van te bezitten. De CRRA-functie heeft zijn oorsprong in in de waarde en is steil in de buurt van . Bij lage waarden van is de waardeafname door afstand groot, en kan het aantrekkelijker worden veel directe links te bezitten. De waarde van opbrengsten is laag wanneer laag is, en het nut onder een niet-compleet netwerk zal nog lager worden vanwege de grote mate van waardeafneming vanwege afstand. Het nut indien is niet meer minstens 0, en vanwege tegelijkertijd de steilheid van de CRRA-functie in de buurt van , zal een netwerk maximaal verbonden worden voor lage waarden van . Voor hoge waarden van geldt dat de opbrengsten groot zijn, zodat er weer sprake is van afnemende

meeropbrengsten. Vanwege de steilheid in het begin van de CRRA-functie is de speler voor lage opbrengsten, dus lage , geneigd links te behouden en vanwege de afnemende steilheid voor hoge opbrengsten, dus hoge , is de speler geneigd een link te

verwijderen

Voor wordt sternetwerk minder stabiel voor . Voor stijgende is te zien dat de ondergrens sterk veranderd. De ondergrens wordt bepaald door de afweging die de perifere speler maakt om een indirecte link te vervangen met een directe link. De perifere speler ontvangt relatief veel opbrengsten uit indirecte links, en omdat voor kleine waarde van de opbrengsten een speler relatief veel erop vooruit gaat door een een indirecte link te vervangen, stijgen de opbrengsten relatief veel. De perifere speler zit voor kleine in het gebied waar de CRRA-functie steil is. Vooral voor kleine waarde van , waar er veel sprake is van waardeafname, wordt het aantrekkelijker een link toe te voegen voor .

De bovengrens wordt bepaald door de centrale speler die de afweging maakt een link te verwijderen. Deze heeft de maximale opbrengsten, en voor stijgende wordt dit steeds minder waard. Dan geldt ook net als voor het complete netwerk dat het relatief

duurder wordt om het maximale aantal directe links te behouden.

Als treedt er discontinuïteit op. Het sternetwerk wordt significant minder stabiel en de stabiliteitsgebied gaat naar 0 voor stijgende . Uit figuur 2 is te zien dat de bovengrens, die bepaald wordt door de centrale speler, vrijwel gelijk is aan dat van het complete netwerk voor hoge , en deze convergeert daar ook naar toe. Dat is logisch aangezien het nut gelijk is voor de centrale speler en de speler uit het complete netwerk, en de afweging is daarom vergelijkbaar. Voor stijgende wordt het verschil steeds kleiner tussen de sterspeler en de speler uit het complete netwerk en wordt de afweging een een link te behouden op dezelfde beweegredenen gemaakt.

De ondergrens komt voor stijgende steeds meer boven de bovengrens te liggen, waardoor het sternetwerk minder stabiel wordt. Omdat de perifere speler relatief veel indirecte verbindingen heeft, zijn de opbrengsten vanwege waardeafname laag voor kleine . Omdat voor lage opbrengsten de CRRA-batenfunctie erg steil is, kan het vervangen van een indirecte link met een directe link het nut laten toenemen zelfs voor . Uit de figuur voor is te zien dat de perifere speler vooral voor lage een link wil toevoegen, terwijl voor hoge de waardeafname zo klein is dat de speler geen behoefte heeft een indirecte link te vervangen, omdat de marginale opbrengsten weer laag zijn voor hoge waarden van .

Het ringnetwerk wordt relatief belangrijker als stijgt. De wet van de

afnemende meeropbrengsten heeft het minste invloed op dit netwerk. De opbrengsten voor een speler van het ringnetwerk zit tussen die van de perifere speler en die van de centrale speler uit het sternetwerk in. Voor stijgende is dit het enige netwerk, waarvan het stabiliteitsgebied het minst verandert. Voor toenemende wordt het aannemelijker een link te verwijderen, terwijl de speler ook minder geneigd is een link toe te voegen. De bovengrens wordt lager, maar er wordt tegengewicht geboden omdat het ondergrens ook lager wordt, waardoor het stabiliteitsgebied uiteindelijk relatief weinig verandert.

Voor hoge convergeert de stabiliteitsgebied net als voor het complete netwerk naar een verticale interval. Dit verticale interval ligt rond een hogere waarde

van dan het verticale interval van het complete netwerk. De speler uit het ringnetwerk en uit het complete netwerk verschillen in hun opbrengsten en , die beiden maximaal zijn voor het complete netwerk. Er geldt ook dat voor lage met veel waardeafname en gelijktijdig , dat een ringspeler geneigd wordt een extra link toe te voegen, omdat de CRRA-functie in de buurt voor kleine waarden van

erg steil is. Omdat de speler uit het ringnetwerk veel meer indirecte

verbindingen heeft dan een speler uit het complete netwerk, is deze bereidt voor meer waardes van een link toe te voegen, dan dat de complete speler een link

verwijdert. Voor wederom weer hogere waarden van zal de speler uit het ringnetwerk een link willen verwijderen, omdat de opbrengsten zo hoog zijn dat er afsprake is van afnemende meeropbrengsten.

De keerzijde van een analyse, waarin stijgt, is dat de CRRA-functie voor hoge waardeafname en zodoende ook lage opbrengsten erg steil is. Zodoende gaan spelers links aanleggen indien om een hogere nut te bereiken. De CRRA-batenfunctie is voor hoge in de buurt van erg steil is om vervolgens voor hoge opbrengsten sterk af te vlakken. Vanwege deze eigenschap is de analyse waarin stijgt zinvoller. 3.4 Efficiënte netwerken

Jackson en Wolinsky (1996) onderzochten in hun model met wat de efficiënte netwerken zijn. Zij vonden dat alleen het complete netwerk, het sternetwerk en het lege netwerk efficiënt kunnen zijn, zie ook lemma 4. Het bewijs van Jackson en Wolinsky (1996) op het gebied van efficiëntie is niet te reproduceren op het model met . Bovendien wijzen numerieke simulaties in R erop dat er meer dan de drie netwerken efficiënt kunnen zijn. Simulaties vinden overige netwerken die efficiënt zijn. Dit zijn er echter veel, en het is wellicht onmogelijk voor algemene af te leiden welke netwerken efficient zijn. Daarom is de analyse met op het gebied van efficiëntie gericht welke binnen de groep van de drie netwerken het meest efficiënt is.

binnen de drie netwerken gegeven. Daar volgt ook het analytische bewijs van deze theorema.

Figuur 6: gebied waarin het gegeven netwerk het meest efficiënt van de drie is.

Uit figuur 6 wordt duidelijk dat indien stijgt het complete netwerk minder belangrijk wordt op het gebied van efficiëntie. Dit is logisch aangezien het minder rendabel wordt veel links te bezitten als de marginale opbrengst daalt. Ook het lege netwerk wordt minder efficiënt. Als vanuit het lege netwerk één speler zich opoffert in de rol van de centrale speler, dan zijn er aantal spelers die heel erg profiteren. Dit wordt versterkt doordat de CRRA-batenfunctie steil is voor lage opbrengsten, en perifere spelers hebben een niet al te grote opbrengsten vanwege de opbrengsten uit indirecte links. Het lege netwerk en het complete netwerk worden minder belangrijk ten koste van het sternetwerk, dat significant veel belangrijker wordt in een model met afnemende meeropbrengsten.

4 Conclusie

In deze scriptie is een netwerkformatiemodel onderhevig aan de wet van de afnemende meeropbrengsten geïntroduceerd. Er is een nutsfunctie gebruikt zodat de marginale opbrengst van nieuwe connecties steeds afnemen naarmate het netwerk groot wordt.

In een omgeving waarin het aantal spelers groeit, verandert er zoals verwacht niets voor het lege netwerk. Het sternetwerk en het lege netwerk worden minder waarschijnlijk om op te treden. Daarentegen wordt het ringnetwerk stabieler, omdat dit het enige netwerk is waar de opbrengsten stijgen, terwijl tegelijkertijd de kosten gelijk blijven. Dit resultaat bevestigt het belang van het ringnetwerk.

Wanneer de mate van afnemende meeropbrengsten groter wordt, heeft dit model helaas zijn nadelen. Voor grote mate van afnemende meeropbrengsten is het marginale opbrengst klein wanneer de opbrengsten groot zijn, en daarvoor in de plaats wordt de marginale opbrengst groter voor kleine opbrengsten. Dit heeft het gevolg dat voor lage opbrengsten spelers juist geneigd zijn links toe te voegen, zelfs wanneer de eigenlijke kosten van een link veel hoger liggen de opbrengst van een link. Dit leidt tot

tegenstrijdige resultaten.

De literatuur bevestigt de aanwezigheid van de wet van de afnemende

bestuderen wat voor netwerken er ontstaan in een model met afnemende

meeropbrengsten.. Voor vervolgonderzoek wordt aangeraden een batenfunctie te gebruiken, die dit nadeel niet heeft.

Bibliografie

Bala, V., & Goyal, S. (2000). A non-cooperative model of network formation.

Econometrica, 68, 1131–1230.

Ellison N.B., C. Steinfield & C. Lampe (2007). The Benefits of Facebook “Friends:” Social Capital and College Students’ Use of Online Social Network Sites. Journal of

Computer-Mediated Communication, 12, (4), 1143–1168.

Goyal, S., & S. Joshi (2006). Bilateralism and Free Trade, International Economic

Review, 47, (3), 749–778.

Goyal, S., & F. Vega-Redondo. (2007). Structural holes in social networks. Journal of

Economic Theory, 137, 460-492.

House, J.S., K.R., Landis & D. Umberson (1988). Social Relationships and Health.

Science, 241, 540-545.

Jackson, M.O., & A. Wolinsky. (1996). A strategic model of social and economic networks. Journal of Economic Theory, 71, 44–74.

Loury, L.D. (2006). Some Contacts Are More Equal than Others: Informal Networks, Job Tenure, and Wages. Journal of Labor Economics, 24, (2), 299-318.

McFadyen, M.A., & A.A. Canella (2004). Social Capital and Knowledge Creation: Diminishing Returns of the Number and Strength of Exchange. The Academy of

Management Journal, 47, (5), 735-746.

Rauch J.E., & V. Trindade (2002). Ethnic Chinese Networks In International Trade. The

Review of Economics and Statistics, 84, (1), 116-130.

Shefrin, H. (2008). A Behavioral Approach to Asset Pricing. Burlington: Academic Press.

Umberson, D., & J.K. Montez (2010). Social Relationships and Health: A Flashpoint for Health Policy. Journal of Health and Social Behavior, 51, 54-66.

Appendix

In deze appendix wordt van het bewijs voorzien van de theorema’s die gegeven zijn in de resultatenanalyse. Ook bevat deze appendix de precieze stabiliteitsgrenzen van het ringnetwerk voor alle . Het bewijs van Theorema 1, de stabliteitsgrenzen van de drie netwerken, wordt toegelicht aan de hand van lemma 1 tot en met 3. Daarna volgen per de precieze stabiliteitsgrenzen van het ringnetwerk met het bijhorende bewijs. Tenslotte volgt het bewijs welke van de drie netwerken het meest efficiënt zijn.

Lemma 1, γ = 0.

De evenwichtsuitkomsten van Jackson en Wolinsky (1996 pp. 49) gelden, aangezien de nutsfunctie gelijk wordt aan het oorspronkelijke model van de auteurs. Deze hebben aangetoond het volgende geldt:

(iv) Een pairwise stable netwerk heeft hoogstens één niet-singleton component (v) Als is het complete netwerk het unieke pairwise stable netwerk. (vi) Als is het sternetwerk pairwise stable, maar niet uniek. (vii) Als is elke stabiele netwerk die niet-leeg is, een zodanig dat elke

speler minstens twee links heeft, en zodoende inefficiënt.

(viii) Het lege netwerk kan stabiel zijn voor , maar is niet uniek.

Voor lemma 2 en 3 wordt van het volgende gebruik gemaakt. Het complete netwerk is stabiel als vanuit het complete netwerk

 de centrale speler geen link verwijdert.

Het sternetwerk is stabiel als de volgende drie acties gelden:  de centrale speler verwijdert geen link,

 de perifere speler verwijdert geen link en

 de perifere speler voegt geen extra link toe. Het lege netwerk is stabiel als

 elke speler geen intentie heeft een link toe te voegen.

Lemma 2,

Voor zijn de onderstaande stabiliteitsgrenzen gelijk aan de grenzen die Jackson en Wolinsky in hun oorspronkelijke model met hebben afgeleid. Voor gelden de onderstaande resultaten op het gebied van stabiliteit.

(i) Voor en is het complete netwerk stabiel. (ii) Voor en

is het sternetwerk stabiel.

(iii) Voor en

is het lege netwerk stabiel.

(iv) Voor is het lege netwerk niet stabiel.

Bewijs. (i). Het nut voor elke speler in een compleet netwerk wordt gegeven door

. Dit netwerk is stabiel indien geen speler de

intentie heeft om een link te verwijderen. Het complete netwerk is stabiel als

(ii). Het sternetwerk is stabiel als gelijktijdig de centrale speler geen link verwijdert en de perifere speler geen extra link toevoegt noch een link verwijdert. De centrale speler heeft niet de intentie een link te verwijderen als

De perifere speler voegt geen extra link met een andere perifere speler toe als

De perifere speler behoudt zijn link met de perifere speler als

, ofwel

Samengevat is het sternetwerk stabiel indien

Er geldt

deze ongelijkheid geldt aangezien

Daarom geldt in deze situatie samenvattend dat het sternetwerk stabiel is voor

(iii). Vanuit het lege netwerk heeft geen enkele speler de intentie een link toe te voegen indien

.

Het lege netwerk is niet stabiel als

, ofwel

Hieruit volgt direct dat een speler voor elke minstens één link heeft, aangezien

. Het lege netwerk kan voor niet stabiel zijn.

Lemma 3, .

Voor is de batenfunctie gedefinieerd als de logaritmische functie. Onderstaand bewijs kan gevolgd worden

(i) Als is het complete netwerk het unieke stabiele netwerk (ii) Als en tegelijkertijd is het sternetwerk stabiel

(iii) Voor elke is het lege netwerk niet stabiel.

Bewijs. (i). Het nut voor elke speler in een compleet netwerk wordt

gegeven door

. Dit netwerk is stabiel indien geen speler de

intentie heeft om een link te verwijderen. Het complete netwerk is stabiel als

, ofwel

(ii). Het sternetwerk is stabiel als gelijktijdig de centrale speler geen link verwijdert en de perifere speler geen extra link toevoegt noch een link verwijdert. De

centrale speler heeft niet de intentie een link te verwijderen als ofwel

(onafhankelijk van delta)

De perifere speler voegt geen extra link met een andere perifere speler toe als

(ii) en (iii). De perifere speler behoudt zijn link met de perifere speler als

, ofwel

Hieruit volgt direct dat een speler zal voor elke minstens één link hebben, dus het

lege netwerk is niet stabiel.

Samengevat is het sternetwerk stabiel indien

Echter, de linkerterm kan groter zijn dan de rechterterm, en dan is het sternetwerk voor geen enkele stabiel. De linkerterm is groter dan de rechterterm indien

Samenvattend kan het sternetwerk stabiel zijn als en tegelijkertijd

Stabiliteit ringnetwerk

Er kan onderscheid worden gemaakt bij het uitrekenen van het nut van een speler in een ringnetwerk voor oneven en even waarden van . Eveneens de manier waarop het nut wordt uitgerekend bij het toevoegen van een link vanuit het ringnetwerk verschilt voor verschillende . Daarom wordt voor het bepalen van stabiliteit onderscheid gemaakt in oneven en even waarden van . Aangezien nutscalculatie wederom weer verschilt binnen zowel oneven als even waarden van , wordt zowel binnen de categorie oneven als even waarden van onderscheid gemaakt voor stabiliteitsgrenzen.

Theorema 2

Voor gegeven en zijn de stabiliteitsgrenzen van het ringnetwerk voor en respectievelijk als volgt gegeven:

(i) en voor , (ii) en voor , (iii) en voor , (iv) en voor ,

(v) en voor , (vi) voor en , (vii) en voor en (viii) en （ ） （ ） voor (ix) en voor

Bewijs. Hieronder volgt het bewijs van de stabiliteitsgrenzen voor

. De stabiliteitsgrenzen voor zijn wederom af te leiden door de onderstaande stabiliteitsgrenzen te gebruiken. Stel een ringnetwerk is stabiel voor

voor , dan deze het netwerk stabiel voor indien .

(i). Voor bestaat het ringnetwerk, echter deze is gelijk aan het complete netwerk aangezien iedereen met elkaar direct verbonden is. Voor cirkels met gelden de evenwichtsresultaten voor complete netwerken. (ii).

Voor heeft geen speler de intentie een link toe te voegen als

Voor heeft geen speler de intentie een link toe te verwijderen als

Voor is het ringnetwerk stabiel voor

(iii). Voor wordt het nut in een ring gegeven door

. Geen speler heeft de intentie een link te verwijderen als

ofwel Geen speler heeft de intentie een link toe te voegen als

.

(iv). Voor heeft geen speler de intentie een link toe te voegen als

Voor heeft geen speler de intentie een link te verwijderen als

Voor geldt dat het ringnetwerk stabiel is voor

(v). Voor wordt het nut in een ring gegeven door

. Geen speler heeft de intentie een link toe te verwijderen als

ofwel

Geen speler heeft de intentie een link toe te voegen als

Voor is de cirkel stabiel voor

(vi). Voor heeft geen speler de intentie een link toe te voegen als

(vi). en (viii). Er geldt voor even dat een speler geen intentie heeft een

link te verwijderen indien

, ofwel .

Voor geldt dat het ringnetwerk stabiel is voor

(vii). voor heeft een speler geen intentie een link toe te voegen als

(vii en ix). Er geldt voor oneven dat een speler geen intentie heeft een

link te verwijderen indien , ofwel .

Voor geldt dat het ringnetwerk stabiel is voor

(viii). Voor heeft geen speler de intentie een link toe te voegen als

Voor geldt dat het ringnetwerk stabiel is voor

(v).

(ix). voor heeft geen speler de intentie een link toe te voegen als

Voor geldt dat de cirkel stabiel is voor

In lemma 4 tot en met 7 wordt het bewijs gegeven voor Theorema 2.

Theorema 3

Gegeven gelden de onderstaande resultaten over efficiëntie.

(i) Voor is het complete netwerk het meest efficiënt voor

, en voor voor

(ii) Het sternetwerk kan het meest efficiënt zijn voor . Voor is dit efficiënt voor

, voor is dit efficiënt voor voor even als

en voor oneven n als

en voor is

dit efficiënt voor even als

en voor oneven als

.

(iii) Het lege netwerk kan voor efficiënt zijn. Voor is dit

efficiënt voor , en voor is dit efficiënt als

.

(i) Het duonetwerk kan het meest efficiënte netwerk zijn voor Het

duonetwerk is voor even efficiënt indien en voor oneven n.

Lemma 4,

Indien geldt het oorspronkelijke model van Jackson en Wolinsky (1996). Zij bewezen dat de volgende netwerken strikt efficiënt zijn

(i) het complete netwerk als ,

(ii) het sternetwerk als en (iii) het lege netwerk als

Bewijs. (i). Vergelijkbaar met het bewijs van Jackson en Wolinsky (1996)

voor theorema 6 (i) geldt dat indien

twee niet direct verbonden

agenten nut verbeteren door met elkaar te verbinden. Twee indirect verbonden agenten verkrijgen namelijk ieder hoogstens

, wanneer dit kleiner is dan

zal het

toevoegen van links tussen twee indirect verbonden spelers hun nut verhogen en zodoende ook het totale nut in het netwerk.

(ii) en (iii). Wederom wordt het bewijs op vergelijkbare manier van Jackson en Wolinsky afgeleid. Laat het aantal links in het netwerk zijn. Het totale nut in het netwerk van directe links wordt gegeven door . Het aantal indirecte links in het netwerk is hoogstens . Aangezien de waarde van een indirecte verbinding op zijn hoogst is, is de totale waarde van de indirecte links

. Het totale nut in het netwerk is maximaal

. In het sternetwerk wordt het aantal directe links gegeven door , wat resulteert in een totale nut van . Aangezien voor , is het sternetwerk efficiënter voor . Voor is het nut van een leeg netwerk gelijk aan en daarom is het nut in een efficiënt netwerk minstens gelijk aan . De onderstaande ongelijkheid wordt daarom

Lemma 5,

Hierbij zijn de volgende netwerken strikt efficiënt

(i) het complete netwerk als

,

(ii) het sternetwerk als

en

(iii) het lege netwerk als Lemma 6, Geval

In dit speciale geval wordt de batenfunctie de logaritmische functie. Hierbij gelden de volgende resultaten met betrekking tot efficiëntie:

(ii) het complete netwerk als , (iii) het sternetwerk voor even n als

en voor oneven n als

(v) het duonetwerk voor even n indien en

voor oneven n.

Aangezien het lege netwerk niet efficiënt is voor , moet er een andere netwerk zijn met een combinatie van links zodanig dat het aantal links minimaal is en daarnaast niemand niet-verbonden is.

Het duonetwerk is een netwerk zodanig dat iedereen tenminste met één andere speler verbonden is, en dus zodoende niemand zonder links is.

Bewijs. (iii). Een niet verbonden speler heeft het volgende nut

, dat altijd lager is dan , het nut van een speler met één link. Dus een speler zal altijd indien minstens één link willen. Gegeven dat het nut van een speler zonder links is, zal een leeg netwerk nooit efficiënt zijn, aangezien het totale nut ook is. Namelijk elk netwerk met levert

Intuïetie. (i) en (ii). Het totale nut in een compleet netwerk en het

sternetwerk wordt gegeven door respectievelijk en . Het complete netwerk is efficiënter dan het sternetwerk indien

(

(ii) en (iv). Omdat het lege netwerk niet efficiënt is, moet er een andere netwerk efficiënt zijn als kosten te hoog zijn ten opzichte van . Dit is het duonetwerk. Het nut in een duo netwerk wordt gegeven door . Het duonetwerk wordt

vergeleken met het sternetwerk, omdat het sternetwerk voor hoge c altijd efficiënter is

dan het complete netwerk. Het duonetwerk voor even is daarom efficiënt indien

In een oneven duonetwerk is er één speler die met twee spelers directe links heeft. Het duonetwerk voor even is daarom efficiënt indien

Efficiënte netwerken Lemma 7, Geval

Hierbij gelden de volgende resultaten met betrekking tot efficiëntie:

(i) het complete netwerk als , (ii) het sternetwerk voor even als

en voor oneven als

(iii) het lege netwerk is inefficiënt voor elke , (iv) het duonetwerk voor even n indien

en voor oneven .

Bewijs. (iii). Een niet verbonden speler heeft de volgende nut

, dat altijd lager is dan , het nut van een speler

met één link. Dus een speler zal altijd indien minstens één link willen. Gegeven dat het nut van een speler zonder links is, zal een leeg netwerk nooit efficiënt zijn, aangezien het totale nut ook is. Namelijk elk netwerk met levert .

Intuïetie. (i) en (ii). Het totale nut in een compleet netwerk en het sternetwerk wordt gegeven door respectievelijk en

. Het complete netwerk is

efficiënter dan het sternetwerk indien.

(ii) en (iv). Omdat het lege netwerk niet efficiënt is, moet er een andere netwerk efficiënt zijn als kosten te hoog zijn ten opzichte van delta. Dit is het duonetwerk. Het nut in een duo netwerk wordt gegeven door . Het duonetwerk wordt vergeleken met het sternetwerk, omdat het sternetwerk voor hoge efficiënter is dan het complete netwerk. Het duonetwerk voor even is daarom efficiënt indien

In een oneven duonetwerk is er één speler die met twee spelers directe links heeft. Het duonetwerk voor even is daarom efficiënt indien