Dessins d’enfants
David de Boer
26 augustus 2016
Bachelorscriptie Wiskunde Begeleiding: Sander R. Dahmen
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Samenvatting
In dit project maken we een begin met de theorie over dessins d’enfants. In het eerste hoofdstuk behandelen we oneindige Galoistheorie, omdat we later de groep Gal(Q/Q) gaan laten werken op de dessins d’enfants. In het tweede hoofdstuk defini¨eren we de dessins d’enfants en behandelen we een aantal equivalente benaderingen die we later veel gebruiken. In het hoofdstuk daarna behandelen we voorkennis om uiteindelijk Belyi’s stelling te bewijzen. Hierdoor zien we in dat de groep Gal(Q/Q) werkt op de dessins d’enfants, ook behandelen we een voorbeeld van deze werking. In het laatste hoofdstuk bewijzen we dat deze werking trouw is op boomdessins.
Titel: Dessins d’enfants
Auteur: David de Boer, 10631216 Begeleiding: Sander R. Dahmen Tweede beoordelaar: Lenny Taelman Einddatum: 26 augustus 2016
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam
Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.science.uva.nl/math
Inhoudsopgave
1 Inleiding 1
2 Oneindige Galoistheorie 2
2.1 Krull-topologie . . . 2
2.2 Hoofdstelling van de oneindige Galoistheorie . . . 4
3 Dessins d’enfants 7 3.1 Definitie van dessins d’enfants . . . 7
3.2 Ingebedde dessins . . . 11
3.3 Overdekkingen . . . 15
4 Belyi’s stelling 19 4.1 Compacte Riemannoppervlakken en algebra¨ısche krommen . . . 19
4.2 Belyi-afbeeldingen . . . 23 4.3 Belyi’s stelling . . . 24 4.4 Twee voorbeelden . . . 29 5 Werking op boomdessins 33 6 Conclusie 35 7 Populaire samenvatting 36
1 Inleiding
In de getaltheorie speelt de groep Gal(Q/Q) een grote rol. Een bekende open vraag in de getaltheorie is het inverse Galoisprobleem: is er gegeven een eindige groep G altijd een Galoisuitbreiding F van Q zodat Gal(F/Q) ∼= G? Deze vraag kan als volgt worden geformuleerd in termen van de groep Gal(Q/Q): is er een normaaldeler N ⊆ Gal(Q/Q) zodat Gal(Q/Q)/N ∼= G? Het begrijpen van de groep Gal(Q/Q) en zijn quoti¨entgroepen kan dus antwoord geven op het inverse Galoisprobleem. Dit is ´e´en van de redenen dat deze groep bestudeerd wordt. Een manier om inzicht te krijgen in de groep Gal(Q/Q) en zijn quoti¨entgroepen is door een werking van de groep te bestuderen. In 1984 werd door Grothendieck een werking van deze groep ontdekt op zogenaamde dessins d’enfants in zijn Esquisse d’un program.
Vanuit meetkundig oogpunt zijn dessins d’enfants samenhangende bipartiete grafen getekend op een compact oppervlak. Dit zijn simpele objecten, waarvan een kinderteke-ning een voorbeeld kan geven. De dessin d’enfant op het voorblad van deze scriptie zou zo een kindertekening kunnen zijn. Toch leggen deze simpele tekeningen ingewikkelde en mooie structuren vast. Er zijn veel open vragen omtrent de werking van Gal(Q/Q) op de dessins d’enfants.
In het eerste hoofdstuk van dit verslag bespreken we oneindige Galoistheorie, om zo een goede basis te leggen en de groep Gal(Q/Q) beter te begrijpen. Daarna gaan we verder met de hoofdrolspelers in dit verslag, de dessins d’enfants. We bespreken eerst een combinatorisch perspectief en later een meetkundig perspectief. Het uiteindelijke doel van deze scriptie is Belyi’s stelling te bewijzen, het is deze stelling die Grothendieck aanzette de theorie van dessins te ontwikkelen. Het is Belyi’s stelling die ons in staat stelt een werking van Gal(Q/Q) op de dessins d’enfants te defini¨eren. Een dessin geeft het oppervlak een complex analytische structuur. De actie van Gal(Q/Q) verandert de graaf getekend op het oppervlak en daarmee ook de complex analytische structuur. We geven aan het einde van hoofdstuk 4 een uitgebreid voorbeeld van de werking op de dessins d’enfants. In het laatste hoofdstuk bewijzen we dat deze werking trouw is op dessins getekend op de Riemannsfeer.
Deze scriptie is te lezen als inleiding in de theorie van dessins d’enfants. Ik ben Sander Dahmen heel dankbaar voor zijn hulp en introductie in deze mooie theorie.
2 Oneindige Galoistheorie
In dit project speelt de absolute Galoisgroep van Q een centrale rol. In dit hoofdstuk defini¨eren we deze groep en passen we er oneindige Galoistheorie op toe. We behandelen oneindige Galoistheorie aan de hand van Hoofdstuk 4.1 van het boek Algebraic Number Theory door J. Neukirch [2] en Hoofdstuk 8 van de syllabus van Gerard van der Geer [7]. Eindige Galoistheorie wordt als bekend verondersteld, zie Hoofdstuk 3 en 4 van [7]. We bespreken de Krull-topologie en de hoofdstelling van de oneindige Galoistheorie. Deze theorie zullen we in Sectie 2.2 toepassen op de absolute Galoisgroep van Q, die we noteren als Gal(Q/Q).
2.1 Krull-topologie
Laat K een lichaam zijn. We noemen een algebra¨ısche uitbreiding L van K normaal als voor alle α ∈ L het minimum polynomen fαK van α over K in L volledig in lineaire factoren uiteenvalt. Equivalent hieraan is zeggen dat L het ontbindingslichaam is van een familie polynomen in K[X]. Zo is bijvoorbeeld Q(√2) een normale uitbreiding van Q, maar Q(3
√
2) niet, gezien het minimum polynoom van √32 ∈ R over Q gelijk is aan X3 − 2 en dit valt in Q(√3
2) niet uiteen in lineaire factoren; we missen de niet-re¨ele wortels.
Verder noemen we een algebra¨ısche uitbreiding L van K separabel als voor alle α ∈ L het minimum polynoom fαK van α over K geen meervoudige nulpunten heeft (in het ont-bindingslichaam horende bij dat minimum polynoom). Alle algebra¨ısche uitbreidingen van Q zijn separabel, in het algemeen geldt dit voor ieder lichaam van karakteristiek 0 (zie Hoofdstuk 4 van [7]).
Een algebra¨ısche uitbreiding van K, die normaal en separabel is, noemen we Galois. De hoofdstelling van de Galoistheorie voor eindige Galoisuitbreidingen willen we graag veralgemeniseren. Laat in het volgende stuk Ω een willekeurige Galoisuitbreiding van K zijn (eindig of oneindig). Het blijkt dat we een topologie nodig hebben op de groep Gal(Ω/K) := Aut(Ω/K) om de hoofdstelling correct te kunnen veralgemeniseren. De topologie die we nodig hebben heet de Krull-topologie, naar de wiskundige Wolfgang Krull. Voor deze topologie geven we een basis, oftewel een collectie B ⊆ P(Gal(Ω/K)) van deelverzamelingen van Gal(Ω/K) zodat:
1. Voor alle x ∈ Gal(Ω/K) is er een B ∈ B met x ∈ B.
2. Als x ∈ B1 ∩ B2 voor zekere B1, B2 ∈ B, dan is er een B3 ∈ B zodat x ∈ B3 ⊆
Hierdoor wordt een topologie op Gal(Ω/K) voortgebracht. De open verzamelingen zijn willekeurige verenigingen van basiselementen. We defini¨eren voor alle σ ∈ Gal(Ω/K) en alle eindige Galoisuitbreidingen L ⊆ Ω van K een basiselement dat σ bevat:
Bσ,L := σ Gal(Ω/L).
Merk op dat omdat Ω Galois is over K, Ω ook Galois is over L, ofwel Gal(Ω/L) is wel-gedefinieerd. We claimen dat B := ∪σ,LBσ,L een basis voor een topologie op Gal(Ω/K)
geeft.
Bewijs. Merk op dat voor alle σ ∈ Gal(Ω/K) geldt dat σ Gal(Ω/K) = Gal(Ω/K). Dit is een element van B dat σ bevat, omdat K een eindige Galoisuitbreiding is van K.
Stel dat L, M ⊆ Ω beiden eindige Galoisuitbreidingen zijn van K, en voor zekere τ, υ ∈ Gal(Ω/K) geldt dat τ Gal(Ω/L) ∩ υ Gal(Ω/M ) 6= ∅. Laat σ ∈ τ Gal(Ω/L) ∩ υ Gal(Ω/M ). We zoeken nu een θ ∈ Gal(Ω/K) en een eindige Galoisuitbreiding N ⊆ Ω van K, zodat σ ∈ θ Gal(Ω/N ) ⊆ τ Gal(Ω/L) ∩ υ Gal(Ω/M ). We gaan deze θ en N construeren, te beginnen met N .
Merk op dat er een eindige Galoisuitbreiding N ⊆ Ω van K is die L en M als deel-lichamen bevat. Dan geldt dat Gal(Ω/N ) ⊆ Gal(Ω/L) ∩ Gal(Ω/M ), omdat ieder li-chaamsautomorfisme van Ω dat N vast houdt ook L en M vast houdt. Er geldt per aanname dat σ ∈ τ Gal(Ω/L), dus σ = τ χ voor zekere χ ∈ Gal(Ω/L). Zo geldt ook dat σ ∈ υ Gal(Ω/M ), ofwel σ = υξ voor zekere ξ ∈ Gal(Ω/M ). Dus geldt dat σ Gal(Ω/N ) ⊆ σ(Gal(Ω/L)∩Gal(Ω/M )) = σ Gal(Ω/L)∩σ Gal(Ω/M ) = τ χ Gal(Ω/L)∩υξ Gal(Ω/M ) = τ Gal(Ω/L)∩υ Gal(Ω/M ). Zo zien we met N als boven en θ = σ dat we een basis element hebben gevonden dat σ bevat en een deelverzameling is van τ Gal(Ω/L) ∩ υ Gal(Ω/M ), hetgeen we wilden bewijzen.
De topologie voortgebracht door bovenstaande basis heet de Krull-topologie. Deze topologie maakt Gal(Ω/K) tot een topologische groep, dat wil zeggen dat de verme-nigvuldiging en inversie continue afbeeldingen zijn. Verder is deze topologische groep Hausdorff en compact. Voor het volledige bewijs van deze eigenschappen, verwijzen we naar Hoofdstuk 8 van [7]. We zullen een bewijsschets geven. Om te beginnen willen we inzien dat de Krull-topologie Gal(Ω/K) tot een topologische groep maakt. Noteer f voor de vermenigvuldigingsafbeelding en h voor de inversie afbeelding. Continu¨ıteit hoeft slechts gecheckt te worden voor basis elementen van de Krull-topologie, dus laat σ Gal(Ω/L) een basis element. Laat θ ∈ σ Gal(Ω/L). Dan geldt:
f−1(σ Gal(Ω/L)) ⊇ [
τ,ν∈Gal(Ω/K):τ ν=σ
τ Gal(Ω/L) × ν Gal(Ω/L),
h−1(σ Gal(Ω/L)) ⊇ σ−1Gal(Ω/L).
Het is gemakkelijk om in te zien dat θ = f (x, y) = h(z) voor zekere x ∈ τ Gal(Ω/L), y ∈ ν Gal(Ω/L) en z ∈ σ−1Gal(Ω/L). Dus zien we in dat f, h continu zijn. Merk op dat voor topologische groepen alle open verzamelingen ook gesloten zijn. De Hausdorff-eigenschap volgt uit het feit dat gegeven twee verschillende automorfismen σ, τ ∈ Gal(Ω/K) er
een eindige Galoisuitbreiding L van K bestaat waarop σ en τ verschillen, hieruit volgt σ Gal(Ω/L) ∩ τ Gal(Ω/L) = ∅. Om de compactheid in te zien, merken we op dat Q
LGal(L/K) waar L loopt over de eindige Galoisuitbreidigen van K een compacte
topologische ruimte is door iedere eindige groep Gal(L/K) op te vatten als discrete topologische ruimte en de stelling van Tychonov toe te passen. Vervolgens defini¨eren we: h : Gal(Ω/K) →Y L Gal(L/K) als h(σ) :=Y L σ|L.
Dit blijkt een homeomorfisme te zijn (zie [2], pagina 262). Vervolgens bewijst men dat h(Gal(Ω/K)) een gesloten deelruimte is van de compacte ruimteQ
LGal(L/K), hetgeen
bewijst dat Gal(Ω/K) compact is.
In feite wordt in het bewijs van compactheid een inverse limiet constructie gebruikt, gezien we de absolute Galoisgroep Gal(Ω/K) ook als een inverse limiet kunnen schrijven. In deze scriptie komen inverse limieten niet aan bod, maar voor de lezer die bekend is met inverse limieten maakt deze observatie het compactheidsbewijs mogelijk een stuk inzichtelijker.
2.2 Hoofdstelling van de oneindige Galoistheorie
Nu we een topologie hebben gedefinieerd op Gal(Ω/K) kunnen we de hoofdstelling van de Galoistheorie op de juiste manier veralgemeniseren.
Stelling 2.2.1 (Hoofdstelling van de oneindige Galoistheorie). Laat Ω een Galoisuit-breiding van een lichaam K zijn, met Galoisgroep G := Gal(Ω/K) uitgerust met de Krull-topologie. Dan geeft de afbeelding
L 7→ Gal(Ω/L)
een bijectie tussen de tussenlichamen K ⊆ L ⊆ Ω en de gesloten ondergroepen van G. De open ondergroepen van G corresponderen met de tussenlichamen van eindige graad over K.
Bewijs. Merk allereerst op dat alle tussenlichamen K ⊆ L ⊆ Ω separabele uitbreidingen zijn van K, omdat Ω een separabele uitbreiding van K is. Laat φ(L) = Gal(Ω/L) de afbeelding zijn waarvan we willen bewijzen dat het een bijectie is tussen de gesloten ondergroepen van G en de tussenlichamen L. Daarna willen we inzien dat φ ook een bijectie geeft tussen de open ondergroepen van G en de tussenlichamen L met eindige graad over K.
We bewijzen dat voor tussenlichamen L met eindige graad over K geldt dat Gal(Ω/L) open is. Laat hiertoe σ ∈ Gal(Ω/L). Dan geldt dat σ ∈ σ Gal(Ω/N ) ⊆ Gal(Ω/L), waar N de normale afsluiting is van L (dat wil zeggen dat N de kleinste normale uitbreiding van K is die L bevat, ofwel de doorsnede van alle normale uitbreidingen van K die L bevatten). Omdat N een eindige Galoisuitbreiding is van K, zien we dat er een open omgeving is van σ die bevat ligt in Gal(Ω/L), ofwel Gal(Ω/L) is open. Merk op dat
Gal(Ω/L) ook gesloten is, want G is een topologische groep. Als L een willekeurig tussenlichaam is, dan geldt Gal(Ω/L) = ∩iGal(Ω/Li), waar de doorsnede loopt over
alle tussenlichamen Li, K ⊆ Li ⊆ L met eindige graad over K. Aangezien Gal(Ω/Li)
gesloten is voor iedere i is ook Gal(Ω/L) gesloten.
We bewijzen nu de injectiviteit van φ. Omdat Gal(Ω/L) als invariantenlichaam L heeft, volgt dat φ een linksinverse heeft, en dus injectief is (de linksinverse stuurt een ondergroep H ⊆ G naar het invariante lichaam van H).
Nu bewijzen we de surjectiviteit van φ. Laat H een gesloten ondergroep van G zijn. We willen bewijzen dat H = Gal(Ω/L) met L het invariantenlichaam horende bij H. De inclusie H ⊆ Gal(Ω/L) is triviaal. Nu de andere inclusie. Laat σ ∈ Gal(Ω/L). Laat M een eindige Galoisuitbreiding van L zijn. Dan is σ Gal(Ω/M ) een open omgeving van σ in Gal(Ω/L), en geldt er Gal(M/L) ⊆ Gal(Ω/L). We hebben een injectie ψ : H → Gal(Ω/L) (want H ⊆ Gal(Ω/L)), en we hebben een afbeelding θ : Gal(Ω/L) → Gal(M/L) gegeven door beperking; θ(τ ) := τ |M voor alle τ ∈ Gal(Ω/L). Het beeld van
H onder θ ◦ ψ heeft invariantenlichaam L, en is volgens de hoofdstelling van eindige Galoistheorie gelijk aan Gal(M/L), ofwel θ ◦ ψ is surjectief. Dus kunnen we een ν ∈ H kiezen zodat ν|M = σ|M. Dan volgt ν ∈ H ∩ σ Gal(Ω/M ), ofwel H ∩ σ Gal(Ω/M ) 6= ∅
voor alle eindige Galoisuitbreidingen M van L. Dus zien we dat σ in de afsluiting van H binnen Gal(Ω/L) zit, maar H is gesloten in G en dus ook in Gal(Ω/L) ⊆ G (we gebruiken dat de deelruimte topologie op Gal(Ω/L) ge¨erfd van G hetzelfde is als de Krull-topologie op Gal(Ω/L), dit geldt omdat Gal(Ω/L) een gesloten ondergroep van G is), dus volgt σ ∈ H. Hiermee is bewezen dat ψ een bijectie geeft tussen de gesloten ondergroepen H van G en de tussenlichamen L, K ⊆ L ⊆ Ω.
We hoeven alleen nog in te zien dat ψ ook een bijectie geeft tussen open ondergroepen H van G en de tussenlichamen L, K ⊆ L ⊆ Ω van eindige graad over K. Als H een open ondergroep is van G, dan is H ook een gesloten ondergroep van G en dus van de vorm H = Gal(Ω/L) met L het invariantenlichaam van H. Echter, dan is G een disjuncte vereniging van nevenklassen van H, en omdat G compact is kan G door eindig veel van deze nevenklassen overdekt worden. Dus moet Gal(Ω/L) een oneindige groep zijn, ofwel L is een eindige uitbreiding van K. Doordat we al wisten dat eindige uitbreidingen van K door φ op open ondergroepen worden afgebeeld en dat φ een bijectie is tussen de gesloten ondergroepen H van G en de tussenlichamen L, K ⊆ L ⊆ Ω, bewijst dit dat φ ook een bijectie is tussen open ondergroepen H van G en de tussenlichamen L, K ⊆ L ⊆ Ω van eindige graad over K.
We kunnen de theorie die we tot nu toe hebben ontwikkeld over oneindige Galoistheorie toepassen op de absolute Galoisgroep van Q. In dit geval nemen we K = Q, de rationale getallen, en Ω = Q, de algebra¨ısche getallen. Merk op dat Q een Galoisuitbreiding is van Q. We hebben de Krull-topologie op de oneindige groep Gal(Q/Q), en we weten dat Gal(Q/Q) met de Krull-topologie compact en Hausdorff is.
Verder geldt dat we alle eindige Galoisgroepen horende bij eindige Galoisuitbreidin-gen van Q als quoti¨entgroepen van Gal(Q/Q) terugvinden. Dit kan als volgt worden ingezien. Als L ⊆ Q een eindige Galo¨ısuitbreiding van Q is, dan is de afbeelding g : Gal(Q/Q) → Gal(L/Q) gegeven door beperking een groepshomomorfisme. Dit komt
doordat L een normale uitbreiding van Q is. De kern van g is dus een normaaldeler van Gal(Q/Q). Het is gemakkelijk in te zien dat ker(g) = Gal(Q/L), en zo zien we dat Gal(L/Q) = Gal(Q/Q)/ Gal(Q/L). Dit is ´e´en van de redenen dat het begrijpen van de groep Gal(Q/Q), en dan voornamelijk het begrijpen van zijn quoti¨enten, van groot belang is. De cardinaliteit van Gal(Q/Q) is 2ℵ0 en de groep is canoniek isomorf met
zijn automorfismegroep (zie [3], blz. 30 - 31, een artikel door Gareth Jones en Manfred Streit). Hierdoor kun je de groep alleen als normaaldeler inbedden in een grotere groep als een directe factor, dus als de grotere groep simpelweg isomorf aan de productgroep is van Gal(Q/Q) met een andere groep. Om toch inzicht te krijgen in de groep Gal(Q/Q) bestudeert men werkingen van deze groep op simpelere structuren. Een van de be-kendste werkingen die men hiervoor gebruikt is de werking van Gal(Q/Q) op dessins d’enfants. Hier is Alexander Grothendieck de grondlegger van. We besteden de rest van deze scriptie aan deze werking. Deze werking wordt nog altijd bestudeerd, want er zijn nog velen onbeantwoorde vragen. Zo is er geen complete lijst invarianten om te zien of twee dessins d’enfants in dezelfde baan liggen.
3 Dessins d’enfants
In dit hoofdstuk introduceren we dessins d’enfants (kortweg dessins). We baseren ons op het boek Graphs on Surfaces and their Applications, zie [1] Hoofdstuk 1, maar we hanteren een alternatieve definitie van dessins d’enfants. Ook op andere vlakken zullen we afwijken van het boek. We zullen dit duidelijk aangeven wanneer we dit doen.
3.1 Definitie van dessins d’enfants
In de definitie die we hanteren zullen dessins grafen zijn met extra structuur. We de-fini¨eren isomorfie van dessins en we koppelen permutatieparen aan de dessins d’enfants. In de volgende paragraaf maken we een begin met de meetkunde, we koppelen dan de dessins aan zogeheten Belyi-afbeeldingen. Ook komt daar de Riemann Hurwitsch for-mule ter sprake. Deze paragraaf is meer combinatorisch van aard. Omdat dessins in het bijzonder grafen zijn geven we eerst een definitie van een graaf. In de literatuur wordt wat wij een graaf noemen vaak een multigraaf genoemd, al zijn er veel verschillende conventies omtrent naamgeving.
Definitie 3.1.1. Een (ongerichte) graaf G is een tripel (V, E, r), waar V en E eindige niet-lege verzamelingen zijn en r : E → {{v, w}|v, w ∈ V, v 6= w} een afbeelding is.
We noemen elementen v ∈ V de punten van G en elementen e ∈ E de lijnen van G. We zeggen dat de punten v, w ∈ V verbonden worden door de lijn e ∈ E als r(e) = {v, w}. In deze definitie van een graaf zijn er geen lijnen die een punt verbindt met zichzelf, wel kunnen meerdere lijnen hetzelfde tweetal punten verbinden. Als we een graaf tekenen, gebruiken we E om de lijnen te labelen, V om de punten te labelen en r om te zien welke lijnen welke punten verbinden.
Definitie 3.1.2. Laat G = (V, E, r) een graaf en v, w ∈ V twee punten van G. Een pad van lengte n ∈ Z>0 tussen v en w is een tupel (v = v0, . . . , vn = w) met vi ∈ V
zodat alle vi verschillend zijn en voor alle i ∈ {0, . . . , n − 1} geldt dat er een e ∈ E is
zodat r(e) = {vi, vi+1}. We noemen een graaf samenhangend als er tussen ieder tweetal
punten een pad is.
Dessins d’enfants zullen samenhangende grafen zijn, in een plaatje zijn alle punten door lijnen met elkaar verbonden. Verder is 2-gekleurdheid van grafen een belangrijke notie.
Definitie 3.1.3. Een tupel (V1, V2, E, r) heet een 2-gekleurde graaf als V1en V2disjuncte
verzamelingen zijn zodat (V1 ∪ V2, E, r) een graaf is waarvoor Im(r) ⊆ {{v1, v2}|v1 ∈
Als voor een graaf G = (V, E, r) geldt dat V = V1∪ V2 met V1 en V2 disjuncte
ver-zamelingen en Im(r) ⊆ {{v1, v2}|v1 ∈ V1, v2 ∈ V2}, dan is (V1, V2, E, r) een 2-gekleurde
graaf en noemen we G 2-kleurbaar. Merk op dat we in de definitie van een 2-gekleurde graaf de partitie van de punten in twee verzamelingen (de kleuring van G) vastleggen. We zeggen dat een 2-gekleurde graaf (V1, V2, E, r) samenhangend is als (V1∪ V2, E, r)
een samenhangende graaf is. We defini¨eren isomorfie van grafen.
Definitie 3.1.4. Twee grafen G = (V, E, r) en G0 = (V0, E0, r0) heten isomorf als er bijecties φ : V → V0 en ψ : E → E0 zijn zodat voor alle e ∈ E geldt dat r(e) = {v, w} dan en slechts dan als r0(ψ(e)) = {φ(v), φ(w)}.
Intu¨ıtief zijn twee grafen isomorf als we slechts de punten en lijnen anders hebben gelabeld, ofwel twee punten in G zijn met elkaar verbonden dan en slechts dan als de twee corresponderende punten in G0 verbonden zijn (met de corresponderende lijn). We noteren een graafisomorfisme als een paar Φ = (φ, ψ), en passen Φ zowel toe op V als op E. Met een kleine aanpassing is deze notie van isomorfie van grafen ook van toepassing op 2-gekleurde grafen; als (V1, V2, E, r) en (V10, V20, E0, r) 2-gekleurde grafen zijn en (φ, ψ)
een isomorfisme is tussen de bijbehorende grafen (V1∪ V2, E, r) en (V10∪ V20, E0, r), zodat
voor alle v1 ∈ V1 geldt dat φ(v1) ∈ V10 en voor alle v2 ∈ V2 geldt dat φ(v2) ∈ V20,
dan noemen we (V1, V2, E, r) en (V10, V20, E0, r) isomorf als 2-gekleurde grafen. Intu¨ıtief
respecteert het graafisomorfisme (φ, ψ) de kleuring van beide 2-gekleurde grafen. Nu introduceren we dessins d’enfants.
Definitie 3.1.5. Een dessin d’enfant D is een tupel (Z, W, n, f, p) waarin: 1. Z en W eindige disjuncte verzamelingen zijn.
2. n ∈ Z>0.
3. f : {1, . . . , n} → {{z, w}|z ∈ Z, w ∈ W } een afbeelding is. 4. p : Z ∪ W → Sn een afbeelding is,
zodat:
1. De 2-gekleurde graaf (Z, W, {1, . . . , n}, f ) samenhangend is. 2. Voor alle z ∈ Z geldt dat p(z) ∈ SF ⊆ Sn een |F |-cykel is,
waar F = f−1({{z, w}|w ∈ W }).
3. Voor alle w ∈ W geldt dat p(w) ∈ SH ⊆ Sn een |H|-cykel is,
waar H = f−1({{z, w}|z ∈ Z}).
Merk op dat Z 6= ∅ en W 6= ∅, wegens het bestaan van de afbeelding f . We noemen Z de zwarte punten van de dessin, W de witte punten van de dessin en de elementen uit {1, . . . , n} de lijnen van de dessin. We noemen n de graad van de dessin. Omdat G samenhangend is geldt dat er voor iedere z ∈ Z er een w ∈ W en een i ∈ {1, . . . , n} zijn zodat f (i) = {z, w}. Analoog zijn er voor alle w ∈ W een z ∈ Z en een i ∈ {1, . . . , n}
zodat f (i) = {z, w}. Ofwel voor alle z ∈ Z en voor alle w ∈ W zijn f−1({{z, w}|w ∈ W } en f−1({{z, w}|z ∈ Z}) niet-lege deelverzamelingen van {1, . . . , n}. De afbeelding p koppelt aan ieder punt x van D een permutatie van de lijnen die samenkomen in x, dit heet een cyclische ordening van de lijnen rond het punt x. Merk op dat als we Z en W niet-disjunct hebben we simpelweg Z × {0} en W × {1} kunnen gebruiken om te zorgen dat ze wel disjunct zijn. Daarom gaan we in de praktijk niet na dat de verzamelingen Z en W disjunct zijn.
Een dessin geven we grafisch weer als een samenhangende 2-gekleurde graaf, waarin we wit en zwart gebruiken als kleuren. Verdere labels van de punten laten we gemakshalve weg, we geven alleen aan of de punten tot Z of W behoren. We labelen de lijnen met getallen. De permutaties die door p aan de punten van de dessin worden gekoppeld, geven aan in welke volgorde de lijnen rondom een punt liggen, tegen de klok in. Uit een dergelijk plaatje krijgen we, na keuze van Z en W als labels voor de punten, een dessin d’enfant. Laat ons een voorbeeld bekijken, gebaseerd op een voorbeeld van Leonardo Zapponi, zie [12]. 2 1 3 1 3 2
Figuur 3.1: Twee dessins d’enfants.
Voorbeeld 3.1.1. We zien in Figuur 3.1 twee dessins d’enfants, waarvan voor het gemak de labels van de punten zijn weg gelaten. Ze zijn isomorf als 2-gekleurde grafen, maar niet als dessin d’enfants (zie Definitie 3.1.6). Ze hebben namelijk verschillende cyclische ordeningen. De zwarte punten hebben in beiden grafen cyclische ordening (123), maar links heeft het witte punt cyclische ordening (132), en rechts heeft het witte punt cyclische ordening (123).
De dessins in het vorige voorbeeld willen we niet als isomorf beschouwen.
Definitie 3.1.6. Twee dessins d’enfants D = (Z, W, n, f, p) en D0 = (Z0, W0, n0, f0, p0) noemen we isomorf als:
1. De dessins dezelfde graad n = n0 ∈ Z>0 hebben.
2. Er bijecties ψ : Z → Z0, φ : W → W0 en θ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} bestaan, zodat:
1. Voor alle i ∈ {1, . . . , n} geldt f0(i) = (ψ × φ)(f (θ(i))).
2. Voor alle x ∈ Z ∪ W geldt p0(x) = θ(p(x)), waar θ toepassen op p(x) ∈ Sn wil
zeggen dat we theta op de entries van p(x) toepassen.
We zien dat bij isomorfe dessins in feite slechts de punten en lijnen een andere naam hebben, maar de structuur van de dessins als 2-gekleurde graaf met cyclische ordening van de lijnen rond ieder punt is voor isomorfe dessins exact hetzelfde. Zo zien we dat isomorfe dessins er in een plaatje hetzelfde uit zien. Omdat we bijna altijd ge¨ınteresseerd zijn in isomorfieklassen van dessins, is het gerechtvaardigd om in een plaatje de punten slechts een kleur en geen labels te geven.
Gegeven een dessin van graad n defini¨eren we: σw := Y w∈W p(w) ∈ Sn en σz := Y z∈Z p(z) ∈ Sn.
Uit σw kunnen we alle cyclische ordeningen van de lijnen rond de witte punten
her-leiden, omdat p verschillende punten w ∈ W afbeeldt op disjuncte permutaties in Sn,
gezien de dessin 2-gekleurd is. Intu¨ıtief vat de permutatie σw alle cyclische ordeningen
van de witte punten samen in ´e´en element van Sn. Analoog vat σz alle cyclische
or-deningen van de zwarte punten samen in ´e´en element van Sn. Laten we een voorbeeld
bekijken. 3 1 2 5 4
Figuur 3.2: Een dessin d’enfant
Voorbeeld 3.1.2. In Figuur 3.2 vinden we voor de witte punten de permutatie σw =
(1, 2)(3, 4, 5) en voor de zwarte punten de permutatie σz = (1, 2, 3)(4, 5). Deze twee
permutaties brengen een transitieve ondergroep van S5 voort, transitief omdat we iedere
lijn van de graaf in Figuur 3.2 door een aantal keer rond de punten te draaien (onze conventie is dat we draaien tegen de klok in) kunnen verplaatsen naar elke andere lijn in de graaf.
Het is in het algemeen zo dat voor een dessin d’enfant D de bijbehorende permuta-ties σw en σz een transitieve ondergroep van Sn voortbrengen, gezien een dessin een
samenhangende graaf is. Dit motiveert de volgende definitie.
Definitie 3.1.7. Laat n ∈ Z>0. We noemen een paar (σ, α) ∈ Sn× Sn een
permutatie-paar, als G := hσ, αi een transitieve ondergroep van Sn is. De groep G noemen we de
cartografische groep horende bij het permutatiepaar (σ, α). We noemen twee permuta-tieparen (σ, α), (σ0, α0) ∈ Sn× Sn isomorf als er een h ∈ Sn bestaat zodat σ = hσ0h−1
en α = hα0h−1.
Gegeven een dessin d’enfant kunnen we dus een permutatiepaar maken. Isomorfe permutatieparen zijn slechts hernummeringen van elkaar. Isomorfe dessins leveren per definitie isomorfe permutatieparen op, als Φ = (ψ, φ, θ) het isomorfisme is tussen de dessins, geeft θ aanleiding tot een isomorfisme tussen de bijbehorende permutatieparen.
Laat ons θ0 ∈ Sn schrijven voor de permutatie die correspondeert met de bijectie θ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n}. We weten uit Algebra 1 [5] dat θ0 · p(x) · θ0−1 = θ(p(x)) voor alle x ∈ Z` W ; waarbij aan de linkerkant wordt vermenigvuldigd in Sn en aan de rechterkant theta op de entries van p(x) wordt toegepast. Zo zien we dat θ0het gewenste isomorfisme tussen de bijbehorende permutatieparen geeft.
Gegeven een permutatiepaar kunnen we een bijbehorend dessin d’enfant construeren. Laat een permutatiepaar (σ, α) ∈ Sn× Sn gegeven zijn. We schrijven σ en τ beiden als
product van disjuncte cykels, waarvan sommigen mogelijk lengte 1 hebben. Noteer Zσ
voor de verzameling van disjuncte cykels waaruit σ bestaat en Wτ voor de verzameling
disjuncte cykels waaruit τ bestaat. Merk op dat dit twee eindige verzamelingen zijn, die niet per se disjunct zijn. Definieer Z := Zσ × {0} en definieer W := Wτ × {1},
dan zijn Z en W eindige disjuncte verzamelingen. Definieer f : {1, . . . , n} → Z × W als f (i) = {(z, 0), (w, 1)} waar z en w de unieke cykels zijn die i bevatten als entry. Definieer p : Z ∪W → Snals p((x, b)) = x voor alle (x, b) ∈ Z ∪W . Nu is het gemakkelijk in te zien
dat (Z, W, n, f, p) een dessin d’enfant wordt, en als we aan dit dessin een permutatiepaar koppelen vinden we precies (σ, α) ∈ Sn× Sn terug. Het feit dat hσ, αi een transitieve
ondergroep van Sn is, garandeert dat de graaf horende bij de dessin samenhangend is.
Merk op dat isomorfe permutatieparen isomorfe dessins opleveren; het hernummeren van het permutatiepaar resulteert in het bijbehorende dessin in het hernoemen van de punten en lijnen. Zo zien we dat we een bijectie hebben tussen isomorfieklassen van dessins d’enfants en isomorfieklassen van permutatieparen.
Permutatieparen kunnen we gebruiken om dessins d’enfants heel compact en com-binatorisch te beschrijven. Er is ook een meetkundige manier om dessins d’enfants te bechrijven. In de volgende paragraaf maken we een opzet voor deze beschrijving.
3.2 Ingebedde dessins
In de vorige paragraaf hebben we dessins d’enfants gedefinieerd en zagen we een mooie koppeling tussen dessins en permutatieparen. In een zekere zin is het tekenen van een 2-gekleurde graaf hetgeen dat de cyclische ordening van de lijnen om iedere punt oplevert; het tekenen van een graaf geeft de graaf extra structuur. We voorzien de graaf namelijk van een inbedding, bijvoorbeeld in het vlak. We kunnen grafen ook inbedden in andere topologische oppervlakken. Laten we een definitie geven van een topologisch oppervlak (zie ook [10], pagina 2 en 3).
Definitie 3.2.1. Laat X een niet lege topologische ruimte zijn. We noemen X een (topologisch) oppervlak als:
1. X samenhangend en Hausdorff is.
2. X een aftelbare basis heeft, i.e. een basis met een aftelbaar aantal elementen. 3. Voor ieder punt x ∈ X er een open omgeving U ⊆ X van x bestaat zodat U
Als U ⊆ X een open deelverzameling is en ψ : U → V een homeomorfisme, met V ⊆ R2 een open verzameling, dan noemen we (U, ψ) een (co¨ordinaten)kaart van X. In bovenstaande definitie van een topologisch oppervlak eisen we dus dat er voor alle x ∈ X een kaart (U, ψ) is zodat x ∈ U . We noemen de collectie van kaarten ∪a∈A(Ua, ψa) een
atlas voor X.
Twee belangrijke eigenschappen van topologische oppervlakken zijn compactheid en ori¨entatie. Een ori¨entatie op een oppervlak bestaat als we gegeven een gesloten niet-zelf-doorsnijdende lus γ : [0, 1] → X deze nooit continu kunnen vervormen op het oppervlak X tot dezelfde lus die omgekeerd doorlopen wordt. De M¨obiusband is het prototype voor-beeld van een topologisch oppervlak dat niet geori¨enteerd kan worden. Een ori¨entatie van een oppervlak zorgt ervoor dat we kunnen spreken van ‘met de klok mee’ of ‘tegen de klok in’. Verder zullen we hier niet te lang bij stilstaan, want compacte ori¨enteerbare topologische oppervlakken hebben een bekende classificatie, zie bijvoorbeeld [4], Hoofd-stuk 13. We kunnen ze voorstellen als een bol met g handvatten, waar g het geslacht van het oppervlak is. Als g = 0, dan is dit de bol. Als g = 1 spreken we over de torus. Als twee compacte ori¨enteerbare oppervlakken hetzelfde geslacht hebben, dan zijn ze ho-meomorf. We eisen soms dat het oppervlak geori¨enteerd is, in plaats van ori¨enteerbaar. Dan is de ori¨entatie al vastgelegd. Nu we dit gedefinieerd hebben, zullen we defini¨eren wat een graafinbedding is.
Definitie 3.2.2. Een graafinbedding van een graaf G = (V, E, r) in een compact ge-ori¨enteerd oppervlak X bestaat uit:
1. Een afbeelding ι : V → X.
2. Een afbeelding ξ : E → {f : [0, 1] → X|f continu en zichzelf niet doorsnijdend}, zodat:
1. De afbeelding ι injectief is.
2. Voor alle e ∈ E geldt dat r(e) = {ξ(e)(0), ξ(e)(1)}.
3. Voor alle e, e0 ∈ E met e 6= e0 en voor alle x ∈ [0, 1] geldt dat ξ(e)(x) = ξ(e0)(x) impliceert dat x ∈ {0, 1}.
4. X − ∪e∈EIm(ξ(e)) = tiFi waarbij iedere Fi homeomorf is aan een schijf.
We noteren een graafinbedding als een tupel Γ = (ι, ξ). We noemen ∪e∈EIm(ξ(e)) ⊆
X de ingebedde graaf horende bij G. We noemen de Fi in bovenstaande definitie de
facetten van de (ingebedde) graaf. De verzameling facetten van een graafinbedding noteren we met F . Intu¨ıtief is een graafinbedding het tekenen van een graaf op een compact geori¨enteerd oppervlak. We tekenen een graaf zo op het oppervlak dat de punten van de graaf punten van het oppervlak zijn en de lijnen van de graaf zichzelf niet-doorsnijdende paden zijn tussen de punten. Bovendien snijden de lijnen elkaar slechts in de punten van de graaf en verdeeld de ingebedde graaf het oppervlak in disjuncte verzamelingen die homeomorf zijn aan een schijf. Als we spreken van het geslacht van
een graafinbedding, bedoelen we het geslacht van het onderliggende oppervlak. Als een graaf in de sfeer is ingebed, noemen we de graaf planair.
Definitie 3.2.3. Laat G1 = (V1, E1, r1) en G2 = (V2, E2, r2) twee grafen zijn. Laat
X1 en X2 twee geori¨enteerde compacte oppervlakken zijn en stel dat Γi = (ιi, ξi) een
graafinbedding van Gi in Xi is voor i ∈ {1, 2}. We noemen deze inbeddingen isomorf
als er een graafisomorfisme Φ = (φ, ψ) van G1 naar G2 is en een ori¨entatie bewarend
homeomorfisme u : X1 → X2 zodat:
1. Voor alle v ∈ V1 geldt dat u(ι1(v)) = ι2(φ(v)) als punten in X2.
2. Voor alle e ∈ E1 geldt dat u(ξ1(e)) = ξ2(ψ(e)) als paden in X2.
Als het bovenstaande geldt zeggen we dat de ingebedde grafen horende bij G1 en G2
isomorf zijn. Voor oppervlakken met een hoger geslacht zijn er graafinbeddingen isomorf waarvan je het intu¨ıtief niet verwacht, zie bijvoorbeeld [1], pagina 30.
Een bekende formule horende bij planaire grafen is de Euler-formule (bijvoorbeeld te vinden in de syllabus van Grafentheorie [8]), deze relateert voor planaire grafen het aantal punten, het aantal lijnen en het aantal facetten. In feite is de formule een gevolg van een algemenere stelling. Voor het bewijs verwijzen we naar een artikel van Simon Lhuiler [14], dit is het artikel waarnaar wordt verwezen in het boek Graphs on Surfaces and their Applications dat wij als leidraad gebruiken.
Stelling 3.2.1. Aan een graafinbedding Γ van een graaf (V, E, r) in een compact ge-ori¨enteerd topologisch oppervlak X koppelen we de Euler-karakteristiek χ(Γ):
χ(Γ) = |V | − |E| + |F |. (3.1) De Euler-karakteristiek hangt slechts af van het geslacht van X en er geldt χ(Γ) = 2−2g. Zo vinden we voor g = 0 de bekende Euler-formule. Het is interessant om op te merken dat een graaf in oppervlakken van verschillend geslacht kan worden ingebed. Zo is in het boek Graphs on Surfaces and their Applications te zien dat een tetra¨eder (de complete graaf op 4 punten) zowel in een bol als in een torus kan worden ingebed. In de bol op de gebruikelijke manier, met 4 facetten, zodat de Euler-karakteristiek (3.1) ons geeft 4 − 6 + 4 = 2 − 2 · 0, en inderdaad is het geslacht van de bol 0. Maar de inbedding in de torus heeft slechts 2 facetten (zie [1], pagina 32). Ook dit klopt met de Euler-karakteristiek: 4 − 6 + 2 = 2 − 2 · 1 en het geslacht van de torus is inderdaad 1. Een cyclische ordening van de lijnen rond ieder punt legt het geslacht van de inbedding wel vast.
Gegeven een graafinbedding Γ van een graaf G in een compact geori¨enteerd oppervlak X kunnen we een cyclische ordening van de lijnen rond ieder punt geven, namelijk door op X rond ieder punt v een kleine open omgeving v ∈ U ⊆ X te nemen en v hieruit weg te snijden V := U − {v}. Dan nemen we een lus in V die tegen de klok in alle lijnen die in v samenkomen snijdt (hier gebruiken we het feit dat X geori¨enteerd is). Deze lus gebruiken we om aan het punt v een element van Sn te koppelen. Het is hierdoor
feite ook een cyclische ordening van de lijnen rond ieder punt van de graaf geven. Dit hebben we nodig om te defini¨eren wat een inbedding van een dessin is.
Definitie 3.2.4. Gegeven een dessin D = (Z, W, n, f, p), een compact geori¨enteerd to-pologisch oppervlak X en een graafinbedding (ι, ξ) van de graaf (Z ∪ W, {1, . . . , n}, f ) zeggen we dat (ι, ξ) een inbedding van D is als geldt dat de cyclische ordening van de lijnen rond ieder punt van de dessin correspondeert met de cyclische ordening die wordt verkregen uit de graafinbedding.
We noemen ∪i∈{1,...,n}Im(ξ(i)) ⊆ X een ingebed dessin. Isomorfie van ingebedde
dessins is analoog gedefinieerd aan isomorfie van ingebedde grafen, alleen vervangen we het graafisomorfisme door een isomorfisme van dessins.
Aan een ingebed dessin kunnen we een permutatiepaar relateren, net zoals we dit eerder deden voor dessins d’enfants. Het is ook mogelijk om uit een permutatiepaar een graafinbedding te maken voor de dessin d’enfant die correspondeert met dat gegeven permutatiepaar, dit wordt gedaan door een oppervlak te maken uit polygonen (zie de constructie in Graphs on Surfaces and Their Applications [1], pagina 35-36). We mer-ken op dat er in deze constructie gebruik wordt gemaakt van een andere definitie van graafinbeddingen en dat de permutaties in dit deel van het boek op een andere manier werken op de graaf dan bij ons. Deze manier van kijken is equivalent met de onze, maar vergt wel wat vertaalwerk. Verder gaan we hier niet op in. Het belangrijkste is dat er bij een isomorfieklasse van permutatieparen een unieke isomorfieklasse van ingebedde dessins hoort, waarmee we nu een driehoek van equivalente objecten hebben: dessins, permutatieparen en ingebedde dessins. In het bijzonder kan ieder dessin worden ingebed in een compact geori¨enteerd topologisch oppervlak X. We zullen in de rest van deze paragraaf uitleggen hoe we gegeven een dessin D kunnen uitrekenen wat het geslacht is van het topologische oppervlak waarin D kan worden ingebed.
Stelling 3.2.2. Gegeven een dessin d’enfant D en het bijbehorende permutatiepaar (σ, α) ∈ Sn× Sn kunnen we het geslacht van het oppervlak waarin D kan worden ingebed
uitrekenen met:
2 − 2g = c(σ) + c(α) + c(σ · α) − n, (3.2) waar c(σ) het aantal cykels van de permutatie σ is.
Bewijs. Om in te zien dat formule (3.2) juist is, stellen we dat Γ een inbedding is van de dessin d’enfant in een compact geori¨enteerd topologisch oppervlak X.
Zet de labels van de zijden van de ingebedde dessin aan de linkerkant van de zijde, als we van zwarte naar witte punten gaan. Het is niet moeilijk uit een plaatje te zien dat ϕ := σ−1· α−1 alleen de labels binnen ´e´en facet permuteert (roteren tegen de klok in).
Volgens de Euler-karakteristiek (3.1) gelden 2 − 2g = |V | − |E| + |F | = |V | + |F | − n. Er geldt dat |V | = c(σ) + c(α), omdat het aantal cykels in σ het aantal witte punten van de dessin is en het aantal cykels van α het aantal zwarte punten van de dessin is. Verder is het aantal cykels van ϕ gelijk aan het aantal facetten, en er geldt c(ϕ) = c(σ · α), wegens simpele opgaven uit de syllabus van het vak Algebra 1, zie [5] Hoofdstuk 6.
Voorbeeld 3.2.1. In Figuur 3.1 kunnen we voor beide dessins uitrekenen in welk geslacht oppervlak we ze kunnen inbedden. Voor de rechtergraaf hadden we (1, 2, 3) als cyclische ordening van de lijnen bij zowel de witte als de zwarte punt, we vinden (1, 2, 3)(1, 2, 3) = (1, 3, 2) en formule (3.2) geeft ons g = 1. Bij de linker vinden we (1, 3, 2) als cyclische ordening rond het witte punt en (1, 2, 3) voor het zwarte punt, ofwel (1, 3, 2)(1, 2, 3) = (1)(2)(3), en dus geeft de formule (3.2) ons g = 0.
3.3 Overdekkingen
We behandelen in deze paragraaf theorie omtrent overdekkingsafbeeldingen. Daarbij baseren we ons op het boek Topology door Munkres [4] (met name hoofdstuk 12) en het boek Graphs on Surfaces and their Applications, [1] (pagina’s 15 - 18). We werken uitsluitend met overdekkingen f : X → Y waar X en Y padsamenhangend en lokaal padsamenhangend zijn.
Definitie 3.3.1. Laat X en Y twee padsamenhangende en lokaal padsamenhangende topologische ruimten zijn en f : X → Y een surjectieve continue afbeelding. Dan heet het triplet (X, Y, f ) een (onvertakte) overdekking van Y als er ∀y ∈ Y een open omgeving V van y is, zodat f−1(V ) ⊆ X homeomorf is aan V × S met S een discrete verzameling. De afbeelding f wordt een overdekkingsafbeelding genoemd.
Daarnaast is er een notie van isomorfie van overdekkingen.
Definitie 3.3.2. Twee overdekkingen f1 : X1 → Y , f2 : X2 → Y heten isomorf als er
een homeomorfisme h : X1 → X2 bestaat zodat f1= f2◦ h.
Wij zullen ons bezig houden met overdekkingen waar S, de verzameling die de plakken van de overdekking indiceert, eindig is. We noemen deg(f ) := |S| de graad van de over-dekking. Op gepunte topologische ruimten, dus topologische ruimten met een basispunt, moet de functie f het basispunt van X afbeelden op het basispunt van Y . We schrijven f : (X, x0) → (Y, y0) voor een overdekking van gepunte topologische ruimten.
Voor de fundamentaalgroep en diens samenhang met overdekkingsruimten, verwijs ik naar Munkres, [4], paragraaf 74. Gegeven een overdekking f : (X, x0) → (Y, y0) met
basispunten x0 ∈ X en y0 ∈ Y , beschouwen we E := f−1(y0). Dan is er een werking
van π1(Y, y0) op E, deze werking noemen we monodromie. Bij iedere lus [γ] ∈ π1(Y, y0)
maken we een bijectie g : E → E. We nemen voor gegeven x ∈ E een lift van γ, zeg γx, met γx(0) = x en defini¨eren de werking van π1(Y, y0) op E als [γ] · x := γx(1). Het
is gemakkelijk in te zien dat we zo inderdaad een bijectie g : E → E krijgen, en dat Ψ : π1(Y, y0) → SE, waar Ψ([γ](x) := [γ] · x voor alle x ∈ E, een groepshomomorfisme
is. Het beeld G := Im(Ψ) is een ondergroep van SE die de monodromie groep horende
bij de overdekking f : X → Y wordt genoemd.
Van de zojuist gedefinieerde werking van π1(Y, y0) op E kunnen we ook de stabilisator
Mx0 ⊆ π1(Y, y0) voor het basispunt x0 ∈ E bepalen. De groep Mx0 hangt af van het punt
x0 ∈ E, maar voor de keuze van andere basispunten x ∈ E is de stabilisator ondergroep
|E|, omdat de rechternevenklassen Mx0α in bijectie zijn met E. Dit laatste is het geval omdat twee nevenklassen Mx0α en Mx0β gelijk zijn dan en slechts dan als αβ
−1 ∈ M x0,
ofwel als α en β het basispunt x0 naar dezelfde x ∈ E sturen.
Stelling 3.3.1. Twee overdekkingen f1 : X1 → Y en f2 : X2 → Y zijn isomorf dan en
slechts dan als de stabilisator ondergroepen M1 en M2 horende bij de monodromie van
f1 respectievelijk f2 geconjugeerde ondergroepen van π1(Y, y0) zijn.
In bovenstaande stelling zijn de ondergroepen geconjugeerd omdat we vrijheid hebben in het kiezen van basispunten, voor het bewijs verwijzen we naar Munkres [4], pagina 448. Een ander bekend resultaat is het volgende:
Stelling 3.3.2. Als Y padsamenhangend, lokaal padsamenhangend en semi-simpel lokaal samenhangend is met gegeven basispunt y0 ∈ Y , dan is er gegeven een ondergroep M ⊆
π1(Y, y0) altijd een overdekking f : X → Y zodat M de stabilisator is horende bij de
monodromie.
Zie Munkres, het Hoofdstuk Classification of covering spaces [4], Stelling 82.1. Voor de definitie van een semi-simpel lokaal samenhangende topologische ruimte verwijzen we naar Munkres [4], bladzijde 460. Topologische oppervlakken zijn altijd semi-simpel lokaal samenhangend, omdat ze lokaal homeomorf zijn aan R2. De overdekking horende
bij de triviale ondergroep van π1(Y, y0) heet de universele overdekking van Y .
Vaak zullen we echter niet ge¨ınteresseerd zijn in onvertakte overdekkingen, maar in zo-genaamde vertakte overdekkingen van de (Riemann)sfeer. We beschrijven deze vertakte overdekkingen topologisch. Laat Y := S2\ {y1, . . . , yk} een geori¨enteerde gepuncteerde
sfeer zijn, waar k > 0 en y1, . . . , yk ∈ S2 verschillende punten zijn. We weten dat de
fundamentaalgroep van Y een vrij product is van k − 1 kopie¨en van Z. We beschrijven expliciet voortbrengers van de fundamentaalgroep van Y . Om te beginnen nemen we een basispunt y0 ∈ Y (omdat Y padsamenhangend is verandert de keuze van y0 de
fun-damentaalgroep niet). In de sfeer S2 kunnen we nu paden ci maken, die y0 verbinden
met yi (dit geeft de ori¨entatie van ieder van deze paden) voor alle i ∈ {1, . . . k}. We
nemen deze paden zo dat ze geen zelfdoorsnijdingen hebben, en zodat alle paden elkaar slechts in y snijden. Nu gebruiken we deze paden in S2 om lussen in Y te beschrijven die voortbrengers van de fundamentaalgroep van Y zijn. De lus γi volgt het pad ci
totdat een kleine open omgeving U van yi bereikt wordt, binnen deze omgeving maken
we een rondje om yi heen tegen de klok in, en gaan via c−1i terug naar y0. Verder nemen
we de lussen γi zo dat rond y0 de lussen γ1, . . . , γk tegen de klok in worden doorlopen.
We noemen dit een basisster en we noemen [y1, . . . yk] de eindwaarden van de basisster.
Dankzij de conventies boven geldt dat het product [γ1· · · γk] ∈ π1(Y, y0) gelijk is aan de
identiteit, dit product is namelijk een lus die tegen de klok in om alle missende punten y1, . . . , yk heen gaat, en dus homotoop is aan de identiteitslus.
Stelling 3.3.3. Een (onvertakte) overdekking f : X → S2−{y1, y2, y3} met deg(f ) < ∞
van de sfeer minus drie punten correspondeert via monodromie met een permutatiepaar, zodanig dat twee overdekkingen isomorf zijn dan en slechts dan als de permutatieparen horende bij de overdekkingen isomorf zijn.
Bewijs. De constructie werkt zelfs algemener, laat gegeven zijn een overdekking f : X → S2− {y1, . . . , yk}, met deg(f ) = n < ∞. Dan kunnen we aan iedere lus γi ∈ π1(Y, y0) een
permutatie gi∈ Snkoppelen, die de elementen van f−1(y0) permuteert via monodromie.
Deze permutaties brengen de monodromie groep G ⊆ Snvan de overdekking voort. We
kunnen de afbeelding γi7→ giuitbreiden tot een groepshomomorfisme Φ : π1(Y, y0) → G,
omdat π1(Y, y0) een vrije groep is. Er geldt g1· · · gk= e in G, omdat [γ1· · · γk] = Id in
π1(Y, y0). Verder geldt dat G transitief is, omdat X padsamenhangend is. Voor k = 3
zien we dat we voortbrengers σ, α, τ van Snkrijgen, met τ = α−1·σ−1. Ofwel, het volstaat
om σ en α te geven als voortbrengers van G, en we krijgen dus een permutatiepaar uit een overdekking van de sfeer minus drie punten.
Gegeven een permutatiepaar (σ, α) ∈ Sn× Sn; of equivalent een triplet (σ, α, τ ) ∈
Sn× Sn× Sn met σ · α · τ = Id, kunnen we een overdekking van Y := S2− {y1, y2, y3}
construeren. We kunnen namelijk weer een groepshomomorfisme Φ : π1(Y, y0) → G
maken, met Φ(γ1) = σ, Φ(γ2) = α en Φ(γ3) = τ . Voor x ∈ E kunnen we de
stabilista-torondergroep Mx ⊆ G bekijken, en krijgen we ook een ondergroep Φ−1(Mx) ⊆ π1(Y, y0).
Deze ondergroep legt een overdekking f : X → Y vast (op isomorfie van f en conjugatie van Mxna). Verder is X padsamenhangend, omdat G transitief is. Verder merken we op
dat twee overdekkingen isomorf zijn dan en slechts dan als de permutatieparen isomorf zijn, zie [1], pagina 20.
Nu kunnen we, gegeven een overdekking van een gepuncteerde sfeer Y := S2 \ {y1, . . . , yk} een zogenaamde vertakte overdekking van de sfeer maken; we doen dit als
volgt. Laat f : X → Y een overdekkingsafbeelding zijn, met deg(f ) = n = |S|. Merk op dat X hierdoor een geori¨enteerd topologisch oppervlak is, alleen is X niet per s´e com-pact; X erft de overige eigenschappen van Y door liften via de afbeelding f . We voegen de punten {y1, . . . , yk} toe aan Y om zo de sfeer (als compact topologisch oppervlak)
terug te vinden. Nu beeldt f niet af op de punten {y1, . . . , yk}, dus gaan we X en f
uitbreiden tot een topologische ruimte X0 en een afbeelding f0 zodat deze punten wel bereikt worden.
Voor alle yi voegen we punten xy1i, . . . , xymi toe aan X, waar m het aantal cykels is in
de permutatie gidie hoort bij de lus γi. Dit doen we als volgt. Neem een open omgeving
U van yi in S2. Dan is V := U − {yi} een open verzameling in Y , homeomorf aan de
gepuncteerde eenheidsschijf in R2.
Nu geldt f−1(V ) = tk∈KVk, met Vs ⊆ X, waar K = {cykels in gi} en f : Vk → V
een homeomorfisme is. Ofwel, voor ieder van de cykels in gi is er een open annulus in
X. We kunnen aan ieder van deze annuli Vk een middelpunt toevoegen om X compact
te maken, zodat we in totaal precies xyi
1 , . . . , x yi
m als verschillende middelpunten toe
hebben gevoegd. De multipliciteit of vertakkingsindex van een punt x ∈ X kunnen we topologisch defini¨eren: x heeft vertakkingsindex d ∈ N als voor een voldoende kleine omgeving U van y = f (x) geldt dat voor alle y0 ∈ U , met y 6= y0, er precies d van de n (n
is de graad van f ) punten in een kleine open omgeving V van x zijn. We defini¨eren X0 als X met al deze punten toegevoegd, de xyi
j beelden we via f
0 af op y
i, met multicipliteit
gelijk aan de lengte van de cyckel die correspondeert met xyi
j . De topologie op X0 is de
en dat f0 continu is.
We hebben een aantal plakken van de overdekking samen laten komen in de aan Vs
toegevoegde centrale punten; de overdekking f0 : X0 → S2 noemen we daarom vertakt.
Merk op dat X0 een compact geori¨enteerd oppervlak wordt, met een ori¨entatie ge¨erfd van de ori¨entatie op S2, zie ook [1] pagina 21. We noemen een afbeelding f0 : X0 → S2die we
op bovenstaande manier verkrijgen uit een overdekking f : X → Y van een gepuncteerde sfeer een vertakte overdekking van S2, met deg(f0) := deg(f ) en we noemen y1, . . . yk de
kritieke waarden van f , deze worden ook wel vertakkingspunten genoemd. De punten uit X0 die op kritieke waarden worden afgebeeld door f0 noemen we ook wel kritieke punten van f0. Vaak schrijven we in plaats van X0 en f0 gewoon weer X en f . Isomorfie van vertakte overdekkingen defini¨eren we analoog als voor onvertakte overdekkingen.
Bovenstaande constructie zullen we in dit project uitsluitend gebruiken voor k = 3, we werken dus met vertakte overdekkingen van S2 met 3 vertakkingspunten. We zagen eerder al dat deze vertakte overdekkingen corresponderen met permutatieparen, en dat permutatieparen corresponderen met dessins d’enfants. In het volgende hoofdstuk zullen we deze correspondenties afmaken en vooral de complexe analytische structuren erbij betrekken.
4 Belyi’s stelling
4.1 Compacte Riemannoppervlakken en algebra¨ısche
krommen
We zullen kort defini¨eren wat een Riemannoppervlak is en een zeer belangrijke stelling noemen die algebra¨ısche en analytische meetkunde doet samenkomen. Hierbij maken we gebruik van het eerste hoofdstuk van het boek Introduction to Smooth Manifolds van John M. Lee, zie [10]. Daarnaast is deze paragraaf gebaseerd op het boek An Introduction to Riemann Surfaces, Algebraic Curves and Moduli Spaces [11] en op de lecture notes van Michael Stoll, Introductory Geometry [13].
Definitie 4.1.1. Laat X een niet-lege topologische ruimte zijn en A een verzameling. We noemen X een Riemannoppervlak met atlas A als:
1. X samenhangend en Hausdorff is.
2. X een aftelbare basis heeft, dat wil zeggen, een basis met een aftelbaar aantal elementen.
3. Alle elementen van A paren zijn van de vorm (U, ψ) waar U ⊆ X open is en ψ : U → C een homeomorfisme. Elementen van A noemen we kaarten.
Zodat als er twee kaarten (U1, ψ1), (U2, ψ2) ∈ A zijn met x ∈ U1∩ U2, dan is ψ1◦ ψ2−1:
V → C een holomorfe functie, met V = ψ−12 (U1∩ U2). Deze holomorfe functies noemen
we verkaartingen.
We werken in deze scriptie vooral met compacte Riemannoppervlakken. Verder merken we op dat Riemannoppervlakken altijd ori¨enteerbaar zijn. Er is een canonieke ori¨entatie, ge¨erfd van de ori¨entatie van C. Deze geeft een ori¨entatie op het hele Riemannoppervlak, omdat de verkaartingen holomorf en dus ori¨entatie behoudend zijn. Zo zijn Riemannop-pervlakken geori¨enteerde topologische oppervlakken. Laten we als voorbeeld de complexe projectieve ruimte Pn(C) defini¨eren en een atlas geven voor P1(C).
Voorbeeld 4.1.1. We defini¨eren een equivalentierelatie op (Cn+1− {0}) als (x0, . . . , xn) ∼
(y0, . . . , yn) dan en slechts dan als (x0, . . . , xn) = (λ·y0, . . . , λ·yn) voor zekere λ ∈ C−{0}.
Vervolgens defini¨eren we Pn(C) := (Cn+1− {0})/ ∼. We noteren [x0, . . . , xn] ∈ Pn(C)
voor elementen van de complexe projectieve ruimte. De projectie π : (Cn+1− {0}) → Pn(C) voorziet Pn(C) van een topologie. We defini¨eren Ui := {[x0, . . . , xn]|xi 6= 0} ⊆
Pn(C) en φi : Ui→ Cn als φi([x0, . . . , xn]) = (x0/xi, . . . , xn/xi).
In het bijzonder vinden we voor n = 1 de Riemannsfeer, met kaarten (U1, φ1) en
U2, φ2). Er geldt dat U1 = {[x, 1]|x ∈ C} ∼= C en P1(C)/U1 = [1, 0]. Dit punt is ‘het
Definitie 4.1.2. Laat X en Y twee Riemannoppervlakken zijn. We noemen een afbeel-ding f : X → Y een holomorfe afbeelafbeel-ding, als voor alle kaarten (U, ψ) voor X en alle kaarten (U0, ψ0) van Y de samenstelling ψ0◦ f ◦ ψ−1 : C → C holomorf is.
Een holomorfe afbeelding f : X → Y noemen we biholomorf als f een holomorfe inverse heeft. Vaak zullen we holomorfe afbeeldingen naar de Riemannsfeer bekijken in dit project, we gebruiken een aparte terminologie voor deze afbeeldingen.
Definitie 4.1.3. Laat X een Riemannoppervlak en f : X → P1(C) een holomorfe afbeelding ongelijk aan de afbeelding die constant de waarde ∞ aanneemt. Dan noemen we f ook wel een meromorfe afbeelding. We noemen de inverse beelden van ∞ ∈ P1(C) de polen van f . We schrijven M(X) voor de verzameling van meromorfe functies op X. De reden dat in bovenstaande definitie f ook wel een meromorfe functie wordt ge-noemd, is dat f : X → C ge¨ınterpreteerd via de kaarten op X een meromorfe functie is. Andersom, als f : X → C een functie is zodat f ge¨ınterpreteerd via de kaarten op X een meromorfe functie is, dan is f0 : X → P1(C) een holomorfe functie, als we voor de polen
p ∈ X van f defini¨eren f0(p) = ∞ ∈ P1(C). Er zijn voor alle compacte Riemannop-pervlakken X veel niet-constante meromorfe functies. Wegens de compactheid van X geldt dat het aantal polen en het aantal nulpunten van een meromorfe functie eindig is, behalve voor de nulfunctie. Een niet constante meromorfe functie is op het niveau van topologie een vertakte overdekking van de Riemannsfeer (zie Graphs on Surfaces and their Applications, [1] p. 70-75). We spreken daarom ook over holomorfe f : X → P1(C) als complexe vertakte overdekkingen van de Riemannsfeer. Verder geldt dat M(X) een lichaam is, omdat we aannemen dat X samenhangend is.
Definitie 4.1.4. Laat X1 en X2 (compacte) Riemannoppervlakken zijn en laat f1 :
X1 → P1(C) en f2 : X2 → P1(C) complexe vertakte overdekkingen zijn. We noemen f1
en f2 isomorf als er een biholomorfe u : X1 → X2 bestaat zodat f1 = f2◦ u.
We maken een begin in de Algebra¨ısche meetkunde om uiteindelijk een mooie beschrij-ving te geven van compacte Riemannoppervlakken en hun meromorfe functies.
We beschouwen homogene polynomen f ∈ C[X0, . . . , X0] van zekere graad d, we
schrij-ven f ∈ C[X0, . . . , X0]d. Nu kunnen we een punt [x0, . . . , xn] ∈ Pn(C) invullen in f , we
berekenen f (x0, . . . , xn). Als we een andere representant [y0, . . . , yn] = [λ·x0, . . . , λ·xn] ∈
Pn(C) van hetzelfde punt invullen in f zien we f (y0, . . . , yn) = λd· f (x0, . . . , xn) wegens
homogeniteit van f . Dus is de verzameling Vf := {[x0, . . . , xn]|f (x0, . . . , xn) = 0} ⊆
Pn(C) wel-gedefinieerd. Dit motiveert de volgende definitie.
Definitie 4.1.5. 1. Laat S ⊆ C[X0, . . . , Xn] een verzameling homogene polynomen
(niet per s´e allemaal van dezelfde graad). De projectieve algebra¨ısche verzameling gedefinieerd door S is de verzameling:
V (S) := {[x0: . . . : xn] ∈ Pn(C)|F (x0, . . . , xn) = 0 ∀F ∈ S}.
We noemen V (S) 6= ∅ een projectieve algebra¨ısche vari¨eteit als V (S) = V (S1) ∪
V (S2) met S1, S2 ⊆ C[X0, . . . , Xn] verzamelingen homogene polynomen impliceert
2. Laat W ⊆ Pn(C) een deelverzameling. Het homogene ideaal horende bij W is: I(W ) :=M
d≥0
{F ∈ C[X0, . . . , X0]d|F (x0, . . . , xn) = 0 ∀[x0: . . . : xn] ∈ W }.
Een ideaal heet homogeen als het wordt voortgebracht door homogene polynomen. I(W ) is het ideaal voortgebracht door alle homogene polynomen die identiek nul zijn op W .
Dus verzamelingen W ⊆ Pn(C) geven homogene idealen in S ⊆ C[X0, . . . , Xn]. En
een homogeen ideaal I geeft V (I) een deelverzameling van Pn(C) . Het is natuurlijk om je af te vragen welke homogene idealen kunnen worden verkregen uit deelverzamelingen W ⊆ Pn(C). Om deze vraag te beantwoorden geven we de volgende definitie.
Definitie 4.1.6. Van een ideaal I in een commutatieve ring R noemen we het ideaal: rad(I) := {x ∈ R|∃n ∈ Z>0 xn∈ I}
het radicaal van I. We noemen een ideaal I radicaal als I = rad(I).
Merk op dat rad(I) altijd een ideaal is. Nu kunnen we onze vraag beantwoorden. Voor het bewijs van onderstaande stelling verwijzen we naar de syllabus Algebraic Geometry, zie [17] p. 18.
Stelling 4.1.1. Er is een inclusie-relatie omkerende bijectie tussen homogene radicale idealen I ⊆ (X0, . . . , Xn) ⊂ C[X0, . . . , Xn] en projectieve algebra¨ısche verzamelingen W .
De bijectie wordt gegeven door het nemen van V (I) en S(W ).
Als verder wordt ge¨eist dat het ideaal I priem is, en W een projectieve algebra¨ısche vari¨eteit is, dan geeft het nemen van V (I) en S(W ) een bijectie tussen homogene radicale priemidealen I ⊆ C[X0, . . . , Xn] en projectieve algebra¨ısche vari¨eteiten W .
Omdat idealen in C[X0, . . . , Xn] altijd eindig worden voortgebracht, kunnen we een
projectieve algebra¨ısche vari¨eteit altijd geven als de nulpuntsverzameling van een eindige verzameling homogene polynomen in een projectieve complexe ruimte.
Definitie 4.1.7. Voor een projectieve algebra¨ısche vari¨eteit W en het bijbehorende homogene priemideaal I ⊆ C[X0, . . . , Xn] defini¨eren we:
1. Het functiedomein van W : D(W ) := C[X0, . . . , Xn]/I.
2. Het functielichaam van W :
K(W ) := {f /g|f, g ∈ D(W ) zodat deg(f ) = deg(g) en g 6= 0}.
Zoals de naam suggereert is K(W ) een lichaam, dit is niet moeilijk in te zien. Er is een notie van dimensie van projectieve algebra¨ısche vari¨eteiten.
Definitie 4.1.8. Voor projectieve vari¨eteiten W defini¨eren we de dimensie als de maxi-male lengte n van een keten strikte deelvari¨eteiten Vi van W :
∅ ( V0 ( . . . ( Vn= V.
Als n = 1 noemen we W een algebra¨ısche kromme.
Belangrijk is de connectie tussen algebra¨ısche krommen en compacte Riemannopper-vlakken, we moeten echter nog ´e´en eis leggen op de algebra¨ısche krommen: de krommen moeten niet-singulier zijn.
Definitie 4.1.9. Laat W een projectieve vari¨eteit van dimensie r in Pn(C) gedefinieerd door de polynomen f1, . . . , fm. Beschouw de m × (n + 1) matrix:
M (X) := ∂f1 ∂X0 ∂f1 ∂X1 · · · ∂f1 ∂Xn ∂f2 ∂X0 ∂f2 ∂X1 · · · ∂f2 ∂Xn .. . ... . .. ... ∂fm ∂X0 ∂fm ∂X1 · · · ∂fm ∂Xn .
We noemen een punt w ∈ W met rank(M (w) < n − r een singulier punt. Als W geen singuliere punten bezit, heet W een niet-singuliere vari¨eteit.
Een niet-singuliere projectieve kromme W kunnen we de structuur van een Rieman-noppervlak geven, zie [17] p. 63-65. Het idee is dat we de impliciete functiestelling kunnen toepassen om kaarten te krijgen op W . We noteren Wan voor de zogenaamde analytificatie van W . Een heel belangrijk resultaat dat we niet zullen bewijzen is het volgende (zie [17], p. 70):
Stelling 4.1.2. Ieder compact Riemannoppervlak X is analytisch isomorf met de analy-tificatie van een niet-singuliere projectieve kromme W . Hierbij wordt het lichaam M(X) ge¨ıdentificeerd met het functielichaam van W .
Zeer belangrijk is dat we compacte Riemannoppervlakken beschouwen. Als gevolg van bovenstaande stelling kan een compact Riemannoppervlak worden gerealiseerd als nulpuntsverzameling van een eindig stelsel polynomen in de complexe projectieve ruimte van zekere dimensie n. Dit geeft een hele mooie beschrijving van compacte Riemannop-pervlakken in algebra¨ısche termen.
Definitie 4.1.10. Als een Riemannoppervlak X isomorf is met een niet-singuliere alge-bra¨ısche kromme in Pn(C) waarvan de defini¨erende polynomen co¨effici¨enten hebben in
een lichaam k ⊆ C dan zeggen we dat X kan worden gedefinieerd over k.
Een ander gevolg van Stelling (4.1.2) is dat een meromorfe functie f : X → P1(C) altijd een rationale functie h = P/Q van homogene polynomen met complexe co¨effici¨enten P en Q zodat Q 6= 0 op de algebra¨ısche kromme waarmee X correspondeert. Als de co¨effici¨enten van P en Q in een lichaam k ⊂ C kunnen worden genomen en X kan worden gedefinieerd over k, zeggen we dat het paar (X, f ) gedefinieerd kan worden over k en soms dat f kan worden gedefinieerd over k, als X uit de context duidelijk is.
4.2 Belyi-afbeeldingen
We bespreken een meetkundige manier om naar dessins d’enfants te kijken. We note-ren P1(C) = C = C ∪ {∞} voor de Riemannsfeer, we denken over de Riemannsfeer na als projectieve ruimte, als algebra¨ısche kromme en als boloppervlak, allemaal tegelijker-tijd. We weten dat de automorfismen van C worden gegeven door de gebroken lineaire transformaties (GLT’s, zie ook [9]) met complexe co¨effici¨enten.
Definitie 4.2.1. Laat X een Riemannoppervlak. Een Belyi-afbeelding Φ : X → C is een meromorfe afbeelding met vertakkingspunten een deelverzameling van {0, 1, ∞}.
We noemen twee Belyi-afbeeldingen f : X → C en g : X0 → C isomorf als ze isomorf zijn als complexe overdekkingen van de Riemannsfeer. Als X = X0 = C, dan is het isomorfisme een GLT. We spreken over een Belyi-paar (X, f ) en isomorfie van Belyi-paren. Gegeven een Belyi-afbeelding f : X → C maken we een ingebed dessin d’enfant op de volgende wijze: we beschouwen het inverse beeld f−1([0, 1]). Dit wordt een 2-gekleurde graaf ingebed in X0, met witte punten de inverse beelden van 1 en zwarte punten de inverse beelden van 0. De cyclische ordening komt van de monodromie. Verder is de graaf samenhangend, omdat de monodromiegroep transitief is. De inverse beelden van ∞ zijn de ‘middelpunten’ van de facetten van de ingebedde dessin. Verder is de graad van f gelijk aan de graad van de dessin en er geldt #f−1(1/2) = deg(f ). Isomorfe Belyi-afbeeldingen leveren isomorfe ingebedde dessins d’enfants op.
Andersom kunnen we gegeven een ingebed dessin d’enfant ook een Belyi-paar maken horende bij dit ingebedde dessin. Dit is een gevolg van de Riemann’s Existence Theorem (zie [1], pagina 74). Om deze stelling goed te formuleren, geven we de volgende definitie. Definitie 4.2.2. Laat n, k ∈ Z>0. Een k-constellatie is een tupel (σ1, . . . , σk) ∈ Sn×
. . . × Sn zodat G := hσ1, . . . , σki een transitieve ondergroep van Sn is en σ1· · · σk= Id.
Merk op dat een 3-constellatie hetzelfde is als een permutatiepaar. Isomorfie van k-constellaties defini¨eren we analoog als voor permutatieparen. Riemann’s Existence Theorem zullen we niet bewijzen, voor het bewijs verwijzen we naar Graphs on Surfaces and their Applications, [1], pagina 74.
Stelling 4.2.1. (Riemann’s Existence Theorem) Kies een basisster in P1(C) met rij van eindwaarden R = [y1, . . . , yk]. Dan is er voor alle constellaties [g1, . . . , gk] met
gi ∈ Sn een compact Riemannoppervlak X en een meromorfe functie f : X → P1(C)
zodat y1, . . . , yk de kritieke waarden zijn van f en g1, . . . , gk de monodromie permutaties
horende bij f . De vertakte complexe overdekking f is onafhankelijk van de keuze van een basisster in een gegeven homotopie type (dat wil zeggen, we kunnen ieder van de lussen γi vervormen met een homotopie en krijgen dezelfde X en f ) en is uniek op isomorfie
na.
We nemen een basisster met eindpunten [0, 1, ∞] in C en het permutatiepaar (σ, α) (of equivalent een 3-constellatie) horende bij het dessin. Riemann’s Existence Theorem
(4.2.1) geeft ons het bestaan van een Belyi-paar (zelfs voor algemene Riemannopper-vlakken), uniek op isomorfisme na.
Dit geeft ons nog een compactere manier om een compact Riemannoppervlak X te geven, we geven een basisster en een constellatie. Of in het geval dat we een Belyi-paar willen geven, geven we een basisster met eindpunten [0, 1, ∞], meestal basispunt 12 (we kunnen altijd dezelfde basisster nemen), en een permutatiepaar (σ, α).
We willen een werking van Aut(Q) = Gal(Q/Q) op dessins d’enfants defini¨eren. We hebben gezien dat een dessin correspondeert met een ingebed dessin. En een ingebed dessin correspondeert met een Belyi-paar (X, f ). Sterker nog, al deze correspondenties bewaren isomorfie, ofwel als we een werking van Gal(Q/Q) op isomorfie klassen van Belyi-paren kunnen defini¨eren, dan hebben we een actie op isomorfieklassen van dessins d’enfants (en ook op isomorfieklassen van ingebedde dessins en isomorfieklassen van permutatieparen, maar daar focussen we niet op).
Als een Belyi-paar (X, f ) gedefinieerd is over Q, dan kunnen we een werking defini¨eren door τ ∈ Gal(Q/Q) te laten werken op alle co¨effici¨enten van de polynomen die nodig zijn om het Belyi-paar (X, f ) te geven. We willen daarom weten of een Belyi-paar (X, f ) altijd over Q gedefinieerd kan worden. Hierop geeft Belyi’s stelling antwoord. Op dit moment weten we dat een Belyi-paar (X, f ) altijd kan worden gedefinieerd over C. Dus hebben we al een werking van Aut(C) op de Belyi-paren. Deze werking bewaart isomorfie, ofwel geeft ook een werking op isomorfieklassen van Belyi-paren. Dit kan gemakkelijk worden ingezien doordat het isomorfisme u : X → X0 lokaal wordt gegeven door algebra¨ısche uitdrukkingen met complexe co¨effici¨enten, vanwege Stelling 4.1.2, ofwel we kunnen een element τ ∈ Aut(C) ook op u laten werken en krijgen zo een isomorfisme tussen τ · (X, f ) en τ · (X0, f0). Als we een τ ∈ Aut(C) laten werken op een Belyi-paar (X, f ) schrijven we τ · (X, f ) = (Xτ, fτ).
4.3 Belyi’s stelling
In deze paragraaf formuleren en bewijzen we Belyi’s stelling, een zeer belangrijke stelling die Grothendieck ertoe heeft aangezet de theorie van dessins d’enfants te ontwikkelen. In het bewijs wordt gebruik gemaakt van de resultante van twee polynomen. We geven de definitie.
Definitie 4.3.1. Laat K ⊆ C een lichaam en P, Q ∈ K[x] twee niet nul polynomen. Dan is de resultante (naar x) van P en Q gedefinieerd als:
Resx(P (x), Q(x)) = c ·
Y
{(z,y)∈K×K|P (z)=Q(y)=0}
(z − y),
waar c = pdeg(Q)· qdeg(P ) is, p de kopco¨effici¨ent van P en q de kopco¨effici¨ent van Q is.
Het blijkt dat de resultante tevens de determinant is van de zogenaamde Sylvesterma-trix horende bij P en Q.
Definitie 4.3.2. Laat K ⊆ C een lichaam en P, Q ∈ K[x] twee niet nul polynomen. Dan is de Sylvestermatrix A horende bij P = p0 + . . . + pmxm en Q = q0+ . . . + qnxn
een (n + m) × (n + m)-matrix gedefinieerd als:
1. De eerste n rijen bevatten slechts nullen en co¨effici¨enten van P , zodat als 1 ≤ i ≤ n de ie rij weergeeft, geldt dat er eerst i − 1 nullen zijn, dan achtereenvolgens de getallen pm, . . . , p0 en dan n − i nullen om de rij aan te vullen.
2. De laatste m rijen bevatten slechts nullen en co¨effici¨enten van Q, zodat als n + 1 ≤ j ≤ n + m de je rij weergeeft, geldt dat er eerst j − 1 nullen zijn, dan achtereenvolgens de getallen qn, . . . , q0 en dan m − j nullen om de rij aan te vullen.
Als ´e´en van beiden polynomen graad 0 heeft (dat wil zeggen een constant niet nul polynoom is) en de andere graad hoger dan 0, dan zijn er nul rijen waarin co¨effici¨enten van het niet-constante polynoom voorkomen, en is A een diagonaal matrix van dimensie de graad van het niet-constante polynoom, met op de diagonaal steeds de co¨effici¨ent van het constante polynoom. Als beide polynomen graad 0 hebben, dan is A een lege matrix, en is det(A) = 1. We zien in deze twee gevallen in ieder geval dat de determinant van de Sylvestermatrix gelijk is aan de resultante van P en Q. Dat het in het algemeen ook zo is zullen we niet bewijzen, voor een bewijs verwijzen we naar Hoofdstuk 16 van [15]. Laten we een voorbeeld bekijken.
Voorbeeld 4.3.1. Bekijk de polynomen:
P (x) = (x − 1)(x + 1) = x2− 1.
Q(x) = (x − 2)(x + 2)(x − 3) = x3− 3x2− 4x + 12.
Nu is met Definitie 4.3.1 de resultante van P en Q naar x gelijk aan:
Resx(P (x), Q(x)) = (1 − 2)(1 + 2)(1 − 3)(−1 − 2)(−1 + 2)(−1 − 4) = 72.
De Sylvestermatrix uit Definitie 4.3.2 van P en Q is:
A = 1 0 −1 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 1 0 −1 1 −3 −4 12 0 0 1 −3 −4 12 .
En inderdaad geldt det(A) = 72.
In het bewijs van Belyi’s stelling speelt de resultante een belangrijke rol.
Stelling 4.3.1. (Belyi’s stelling) Een Riemannoppervlak X kan gedefinieerd worden over het lichaam Q dan en slechts dan als er een Belyi functie f : X → C bestaat. Als dit het geval is, kan f gekozen worden zodat f co¨effici¨enten in Q heeft.
We bewijzen deze stelling in twee delen. We bewijzen eerst de kant die door Belyi in 1979 werd bewezen:
Stelling 4.3.2. Als X een Riemannoppervlak is gedefinieerd over Q, dan is er een Belyi functie f : X → C.
Bewijs. Om te beginnen, laat g : X → C een meromorfe functie gedefinieerd over Q, waarvan alle eindige kritieke waarden (dat wil zeggen, alle kritieke waarden ongelijk aan het punt oneindig in de Riemannsfeer) in Q bevat liggen. Dat een dergelijke g bestaat volgt uit de aanname dat X complex isomorf is met een algebra¨ısche kromme gedefinieerd over Q.
Schrijf K voor de eindige verzameling van eindige kritieke waarden van g. We con-strueren een meromorfe h waarvan alle eindige kritiek waarden in Q liggen. Als K ⊆ Q, dan kunnen we simpelweg h = g nemen. In het vervolg nemen we daarom aan dat er ten minste ´e´en z ∈ Q is met z ∈ K.
We laten Gal(Q/Q) op K werken en defini¨eren S als de baan van K onder deze werking. We merken op dat S eindig is, gezien K eindig is en voor alle k ∈ K de baan onder de werking van Gal(Q/Q) eindig is, en per definitie van S geldt S = ∪k∈KOk,
waar Ok de baan van k ∈ K is. We defini¨eren:
f0=
Y
s∈S
(z0− s) ∈ Q[z0],
waarbij we gebruikmaken van het feit dat S eindig is en gesloten is onder de werking van Gal(Q/Q). Merk op dat f0 niet constant is, omdat K (en dus ook S) niet geheel in
Q ligt. Verder defini¨eren we:
fj+1(zj+1) := Reszj
dfj
dzj
, fj(zj) − zj+1,
zolang deg(fj) 6= 0. Dan geldt fj+1 ∈ Q[zj+1], omdat de resultante de determinant van
de Sylvestermatrix is. Verder geldt dat deg(fj+1) < deg(fj). Ofwel voor zekere n ∈ Z≥1
geldt deg(fn) = 0 en stopt bovenstaande recursieve definitie. Uit de andere definitie
van de resultante kan gemakkelijk worden ingezien dat de nulpunten van fj+1precies de
kritieke waarden van fj zijn.
We defini¨eren h := fn−1◦ fn−2◦ . . . ◦ f0◦ g. We schrijven Cφ voor de eindige kritieke
waarden van een functie φ. Er geldt Cg1◦g2 ⊆ Cg1 ∪ g1(Cg2). Hieruit volgt met inductie
dat Ch ⊆ Cfn−1∪ fn−1(Cfn−2) ∪ . . . ∪ fn−1◦ fn−2◦ . . . ◦ f0(Cg). Deze laatste verzameling
ligt in Q, gezien alle fipolynomen met co¨effici¨enten in Q zijn en f0(Cg) = 0, f1(Cf0) = 0
enzovoorts, ofwel fn−1◦ fn−2◦ . . . ◦ f0(Cg) = fn−1◦ fn−2◦ . . . ◦ f1(0) ( Q en net zo zien we
dit voor alle termen in de vereniging Cfn−1∪ fn−1(Cfn−2) ∪ . . . ∪ fn−1◦ fn−2◦ . . . ◦ f0(Cg).
Schrijf S0 ( Q voor de eindige verzameling eindige kritieke waarden van h. Als |S0| ≤ 3 kunnen we met een GLT ψ met rationale co¨effici¨enten ervoor zorgen dat Cψ◦h ⊆ {0, 1, ∞}
en dan zijn we klaar. Laat dus |S0| > 3, en kies drie verschillende punten x, y, z ∈ S0, dan is er een GLT met rationale co¨effici¨enten en getallen m, n ∈ Z>0 zodat x 7→ 0, y 7→ m+nm
