Blokschema en beschrijving van een balkenprogramma, berustend op de eindige elementenmethode

Blokschema en beschrijving van een balkenprogramma,

berustend op de eindige elementenmethode

Citation for published version (APA):

Janssen, L. G. J. (1971). Blokschema en beschrijving van een balkenprogramma, berustend op de eindige elementenmethode. (DCT rapporten; Vol. 1971.009). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1971 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Blokschema en beschrijving van een balkenprograrna, berustend op de ein- dige elementenmethode.

BE

71-9

O. a. karakteriseren van het aantal subnetten. ad a. inlezen van het aantal gebruikte subnetten.

1 .

Topologische beschrijving van een subnet.

a.

b. karakterisering van de verplaatsingsgrootheden

C. karakterisering van de elementen (sort)

d . karakterisering geroteerde knooppunten (rot b)

karakterisering van het aantal knooppunten en eleroenten (N

,

Ne)

P

ad a. inlezen van het aantal knooppunten (N ) en van het aantal elementen (N e ) , P

i.v.m. de grootte van bepaalde arrays; ad b. inlezen welke verplaatsingen behoren tot de

interne vrij heden

...

(u;) externe vrijheden

...

(u,) voorgeschreven verplaatsingen ..(uo> onderdrukte verplaatsingen

...(

un)

k k

voor elk element,waarbij L vullen van het array L

definieerd:

als volgt is ge-

k k

u = L u

Alle Lkls worden opgeborgen in het array I, en wel als volgt:

N u wordt Hi eruit 3 k gedefinieerd als ‘Ü1 =

I?

c? u

...

u

...

PM

c

volgt dus: u = L.u. ad,c. vullen van het array sort

de waarde van sort[k] geeft aan, met welke procedure de stijfheids-

k

matrix Q bepaald moet worden.

vullen van het boolean array rot 3

F

P I

ad d.

O

= g&5n basisrotatie

- 2 -

2 . Georrietrische beschrijving van het sfibnet. a. b. C. d. ad a. ad b. ad c . c 1 c 2 c 3

inlezen van het subnet-assenkruis

vullen van het array elak [ l : Ne,

1

: 31 (vastleggen elementassen) per element

1 .

bepalen Q k (stijfheidsmatrix)

e

2. bepalen T (transformatiematrix)

3. invoeren van T'Q k T in de totale stijfheidsmatrix e

het in rekening brengen van de geroteerde basis in bepaalde knooppnten. De ligging van het subnetassenkruis moet bekend zijn, om de transfor- raatiematrix T per element te kunnen bepalen.

vullen van het array elak [ l : Ne,

1

:

Hiermee wordt het elementassenkruis - vastgelegd.

De x-as van elk element is al bepaald, door de elementas en voor de y-as moeten we de coördinaten van een punt in het x-y vlak geven. Met de projectiemethode vinden we dan de y-as.

De z-as bepalen we met het rechtsdraaiend zijn van het assenstelsel. 31

-

-

Bier wordt elk element eerst volledig afgewerkt, alvorens aan het vol- gende wordt friegonnen.

k e' bepalen van

0

Hierbij wordt met sort [ l : Ne] (zie i ) , vastgesteld met welke procedu- re

Ce

wordt bepaald en dus ook welke kenmerkende grootheden van het ele- ment ingelezen moeten worden. Dit zijn b.v. de coördinaten van de eind- punten, de dwarsdoorsnede grootheden en eventueel andere kenmerkende

de stijfheidsmatrix per el-ement k

grootheden.

bepalen van de traasforaatiematrix T.

Het behulp van de knooppuntscoordinaten en het array elak wordt het lo- kale assenstelsel bepaald. Het subnet assenkruis is reeds Ingelezen en uit deze twee gegevens kan de transformatiematrix T per element bepaald worden.

De matrix T heeft de volgende vorm: T = T l

!c

*1

O !

waarbij T

₁

een G x G matrix is.

Per element moet dus T

invoeren van T'$T in de totale stijfheidsmatrix. k

Qe e

bepaald worden om T te vinden.

I

e

en T zijn bekend, dus T'Q T kan berekend worden. k

k k e Q

het subnetassenkruis.

Er 5 s reeds aangetoond dat:

= T'Q T is de stijfheidsmatrix per element, getransformeerd naar

N

u = Lu

Op eenzelfde manier kan er aangetoond worden, dat de belastingsvector f = Bf

Met behulp van energieprincipes kan bewezen worden dat E = L ' en dus

i: k k

N

N

f = L'f

Verder geldt per element f = Q u

Voor liet gehele subnet mag dus worden geschreven: f = Q-:u

N k

riet f ' = f1

[P

...

f

...

N u' = u1 [u2 * * . u k

...

u Nè]

nJ

waaruit volgt dat:

Q

=

Q2

N

Qk

O - 1

O e

N

Gebruik nakend van de vorige vergelijkingen, kan voor f = E f worden geschreven:

f = L ' q f = L ' q L u

M

We stellen nu L'Q L = Q, = de totale stijfheidsmatrix van het subnet.

__

ad d. F e t In rekening brengen van de geroceerde basis in bepaalde knooppunren. Nadat de totale stijdheldsmáerix Q VÛOK eeïì bepaald s s b u s t is cänenge- steld, vordt de geroteerde basis var! bepaalde knooppunten m.b.v. de ma- trix R in rekening gebracht.

Eiertoe wordt met behulp van het boolean array rot b, nagegaan welke knoop- Tunten een geroteerde basis hebben. Vervolgens wordt ?er knooppunt de

stand van de geroteerde basis ingelezen en de rota,tiematrix van het sub- netassenkruis naar de geroteerde basis opgesteld. Deze matrix wordt daar- na opgeborgen in de totale rotatiematrix R.

De nieuwe verplaatsingsvector u wordt gedefinieerd met u = R u. De nieuwe belastingsvector wordt gedefinieerd met f = R'f. Hierdoor wordt de geroteerde stijfbeidsmatrix als volgt:

n

-

-

-

9

="= R'Q R w a n t f -- 8' f R I-!! R' f f

-

= R'Q R il

*

Qn

-

3. Omschrijven van de stijfheidsmatrix 9 11 OF de externe vrljheden.

In blok

1

is ingelezen welke vemlaatsingen behoren tot: interne vrljheden u. externe vrijheden u voorgeschr. verpl. u 1 e O onderdr. verpl. U n

-

\;ie gaan nu de stijfheidsmatrix Q

skhikken. Eierdoor wordt de vorm van Q n als volgt:

aan de hand van deze onderverdeling rang- n’

-

Ook de belastingskrachten worden op deze manier gerangschikt dus:

-

-

-

f

‘1

f’ =

pi

f e O n

- - -

De vergelijking f = u is dus: Qn

[i:

1 I

II

n O

-

”L “-

-::I

P Qe,

j

Qin Qen

-

-

-

-met als onbekenden

f

R > f e Y Z f o > ui en u e

en bekenden

-

f;, .

-

u en u

-

- n

-

De vergelijking wordt zo omgeschreven; dat in het rechterlid alleen nqg.u e

als onbekende voorkomt.

-

Voor de eerste term f. kunnen we-schrijven:

1

- I

-

-

-

-f. = Q . u. +

Qie

ue +

oio

U o

- 6 -

De tveede vergelijking wordt :

waar in :

-

- -

- 1 -

-

Q !

Q..-

Q . = de omgevormde stijfheidsmatrxi Q

Qee - ie i i l e Sh

-

f = de Eelastingsvector in de externe punten. e

~,~

-

-

-

- 1 ;

-

{-Qeo +

Qie

Çii

yiol

u. = de correctie t.g.v. de voorgeschreven verpl.

- -

- 1 -

4 . Bepalen van de belastingsmatrix van het subnet. a. D i c . ad a. ad b. ad c . karakteriseren van

f

e

-

Y

-

- 1 -

-

karakteriseren van J. =

(-Qeo

+ Qie

Cii

Oio)

U.

1

-

-

-1

-

f.

1

karakteriseren van F. = -Qfe Q .

1 ii

-

f

Deze krachten worden uitgeoefend door andere subnetten en bi.j het sa- menstellen van de 5oofdnetbelasting vallen ze dus tegen elkaar weg door actie = reactie.

zijn de beiastingskrachten

In

de externe knooppunten. e

-

u

worden ingelezen in de richtingen vaE het subnetassenkruis. De matrices Q eo’ %e’

blok.

karakteriseren van P. =

(-Qie Qii

1

fi

= de matrix van voorgeschreven verplaa.tsingen. Deze verplaatsingen

O

-

-

-

-

Cii en Qio worden ingevoerd uit het voorafgaande

-,

-

-1

-

1

Dit houdt in het inlezen van de voorgeschreven belastingen op de interne punten van het subnet.

Ook f. wordt in Eatrixvorm ingelezen om de verschillende belastingssituaties in een keer te kunnen behandelen.

Het in rekening brengen van voorspanningen en temperatuursverschillen kan worden gedaan door op de knooppunten waartussen het voorgespannen of ver- warmde element zich bevindt, krachten in te voeren. De grootte va.n deze krachten kan bij voorspanning eeïìvûüdlg Lïi ïekSnIiig wûïden ge5racht d c x r de SetïeffenUe vûorspankraclten I:: de knmppxnte.. te latep aangrijpen, Bij temperatuursverschillen kunnen deze krachten berekend.-worden met

-

1

a ( T l

-

T2) R A R = - = PR

5. Topologische Seschrijving van het hoofdnet. a.

b.

karakterisering van het aantal knooppunten (N ) P karakterisering van de verplaatsingsgrootheden (L h )

ad a. Inlezen van het aantal knooppunten van het hoofdnet in verband met de grootte van bepaalde arrays.

ad b. Inlezen we&ke verplaatsingen behoren tot de onbekende verplaatsingen (uh I ) voorgeschreven verplaatsingen (uh 2 onderdrukte verplaatsingen (uh ₃ )

k Het vullen van de arrays

Lk

,

Lk

LL gedefinieerd is als:

en L voor elk subnet, waarbij 2 h3 h l ti k h k h h

Alle L 's worden weer in een array L opgeborgen en wel op de volgen- de manier: I ' c I

Lh

2 <v

Ook %Tordt er een U gedefinieerd met:

ru

a. Inlezen van het hoofdnetassenkruis.

b. Per subnet: ].bepalen van de transformatiematrix T

h

2.lnvaeren van T h ' Q sh T h in de t o t . ?h

ad a. De ligging van het hoofdnetassenkruis moet bekend zijn om de trans- formatiematrices van subnetassenkruisen naar het hoofdnetassen- kruis te bepalen.

Th

a6 b. De Eewerkingen b I en b2 worden per subnet afgewerkt, alvorens aan een volgend subnet wordt begonnen.

Het Sepalen van de transforniatiematrix T,

.

Deze matrix wordt per subnet bepaald uit de rotatiematrix van subnet- assenkruis naar hoofdnetassenkruis.

1 .

_n

2. Invoeren var, T ' Q , T in de totale stijfheidsmatrix. h sn h

en T zijn bekend, dus T h 'Q sh T h kan Sepaald worden. 'sh h

Op eenzelfde manier als dat in blok 2 i s gedaan voor de samenstelling van de totale stijfheidsmatrix per subnet, wordt

Q

bepaald.

h

N

met weer: P = L 'P

waarbij P = de belôstingsmatrix van het hoofdnet e~ 0 de samengestel- de OePast?ngcmatrix van alle subnetten.

h

-

10

-

7 . Bepalen van de totale belastingsmatrices Per subnet wordt bepaald:

a. b.

de belastingsmatrix P. en de bijdrage hiervan in P. de belastingsmatrix J: en de bijdrage hiervan in J.

1

__

C. daarna wordt voor de hele constructie de uitwendige belasting

in de knooppunten van het hoofdnet ingelezen.

*

1

ad a. De belastingsmatrix P. is de op het assenkruis van het hoofdnet getransformeerde belastingsmatrix P.. 1

*

1 dus 1 . P. = Th'Pi rci

Rierna wordt de P: opgeborgen in P

L

n

N n8

en 1 is gedefinieerd als: P ' = [PI P2 .I...

Nadat het laatste subnet i s afgehandeld, wordt de matrix P bere- kend met: P = Lli'P

N

De belastingsmatrix J. wordt op dezelfde manier verwerkt als P..

Dus J? = T, IJi 1 1 ad b. 1 i1 N J 2

...

J] en J =

[ J ~

n rrc

Na het laa'cste subnet wordt ook hier J bepaald met J = L b ' J . ad c. Eet is duidelijk dat ook in de knooppunten van het hoofdnet, dit

zijn de externe punten van de subnetten, uitwendige belastingen ksnnen aangrijien.

Deze belastingen worden hier ingelezen en opgeborgen in het array P. ge belastingen rraeten gegeven z L j n in de coördinaten van het hoofd- assenkruis.

8. 3erekenen van de verplaatsingen van het hoofdnet.

Er is gegeven de to’cale stijfheidsmatrix Q en ook zijn de totale belastingsmatrices P, J en F bekend.

Pe verplaatsingen kunnen nu bepaald worden met: h

Q U = F

+

J + P. h

Eet oplossen van de vergelijkingen wordt gedaan met behulp van de procedure- choleski

-

band.

-

12 -

9 . Bepalen van de verplaatsingen aan de randen van de subnetten. Bet bepalen van de verplaatsingen Git U.

a. b.

ad a.

Het transformeren van deze verplaatsingen naar het subnetassenkruis.

Het bepalen van de verplaatsingen uit U. D i t is mogelijk met behulp van N U = L U

h

rc)

of met U

-

U

1

waarbij

U'

=

[u1

u2 u3

u4

...I

1

- Lh

-

De componenten U . . * U zijn de verplaatsingen u van de verschillen- de subnetten, maar nog gegeven in de richtingen van het hoofdassenkruis.

1

n e

ad

E.

Bet transformeren naar het subnetassenkruis,

-

D i t wordt uitgevoerd niet behulp van de matrix T waardoor u = T U voor een bepaald subnet i.

I O . Berekenen van de lokale verDlaatsingen. a.

b.

- berekenen van de matrix u.

het transformeren van u. naar het hoofdnetassenkruis

1

-

1

-

ad a. Berekenen van de matrix u.

1

De matrix Ü2 bevat de interne of lokale verplaatsingen van de subnetten. En zoals in blok 3 is aangetoond is:

I

ad b. Wil mea de verplaatsingen uitdrukken in het hoofdassenstelcel, dan moet

- l

;.)

-

- 1

**

u. getransformeerd worden met de matrix T

.

_{(ui = Th}

-

I 4

-

l i . De evenwichtsbeschouw~ngen per knooppunt

a. Opstellen van de elementverplaatsingen in Set subnetassenkruis. b. Evenwichtsbeschouwing per knooppunt.

ad a. Van het subnet zijn alle verplaatsingen nu bekend in de richtingen van het subnetassenkruis, behalve van de knooppunten die een geroteerde basis hebben. Om de knooppuntsevenwichtsbeschouwingen op te zetten, moe- ten we de verplaatsingen dus nog transformeren met de matrix R en vol- gens blok 2 wordt dus:

k

De elementverplaatsingen u bepalen we met

k k

u = L u

ad b. Evenwicht sb e s chouwing per knooppunt.

Het de fomule fk = $uk worden de knooppuntkrachten bepcrald.

De knooppuvtkrachter, seaan nu in de richtingen van het subnetassenkruis. Daarna worden per knooppunt de knooppuntkrachten in ken bepaalde asrich- ting opgeteld en de som i s dan een maat voor het even6icht van het knoop- punt in die asrichting. Bij evenwicht is deze som gelijk aan nul

k

12. Eepalen van de snedegrootheden - f 2 _-

.

k Er,

per element, w e moeten dus n u deze f

Bekend zijn d e f

matrix T transformeren en w e kennen de f

.

T ' f = f en omdat T een rotatiematrix i s , wordt T' = T

,

d u s : f = T f

.

met behulp van de

k

e

E r , k - 1 Er, k