De stelling van Castigliano

De stelling van Castigliano

Citation for published version (APA):

Janssen, J. D. (1967). De stelling van Castigliano. (DCT rapporten; Vol. 1967.016). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1967

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

AFDELING DER W E R K T U I G B O ~ E

LABORATORIUM VOOR TECHN%SCHE MECHANICA

DEPARTMENT OF MECHANICAL ENGINEERING LABORATORY OF ENGINEERING MECHANICS

De stelling van Castigiiano

door

J . D . Janssen

Samenvatting.

De stelling van Castigliano wordt gebruikt om uitspraken te doen over verplaatsingsgrootheden bij balkconstructies.

De 'gebruikelijke formulering van deze stelling heeft een aantal nadelen, die het onmogelijk maakt dat deze stelling terecht in een aantal situaties wordt gebruikt. Aangetoond wordt dat in een aantal gevallen toepassing van de stelling principieel onjuist is. (Ook al zijn de uiteindelijke resul- taten in orde.)

De stelling van Castigliano wordt zodanig uitgebreid en geformuleerd,dat

een veel ruimere toepassing mogelijk wordt.*

De benodigde resultaten worden verkregen door een specialisering van het principe van minimale complementaire energie en door een direct op het doel gerichte werkwijze.

i. De gebruikelijke formulering van de stelling van Castigliano

1

2 . Nadelen van de klassieke stelling van Castigliano ₅

3. Cómplementaire elastische energie 7

4 . De uitgebreide stelling van Castigliano 1 1

5. Bewijs van de uitgebreide stelling van Castigliano 13 zonder gebruik te maken van variatieprincipes

1. De gebruikelijke formulering van de stelling van Castigliano.

De hier bedoelde stelling werd door Castigliano zelf aangeduid als "het tweede gedeelte van de stelling over de afgeleide van de vervor- mings arbeid".

Beschouwd wordt een elastisch lichaam dat belast wordt door n gecon-

centreerde krachten (of koppels) Pi (i =

1,

...,

n).

De arbeid-absorberende component van de verplaatsing van het aangrij- pingspunt van de kracht P. wordt f. genoemd.

1 1

Wordt de vormveranderingsenergie die in het lichaam opgehoopt is, U ge-

noemd en wordt U berekend als functie van P

stelling van Castigliano:

...,

Pn, dan luidt de 1' (i = i,

...,

n)

(1.1)

'n)

-

3U(P1>

...,

-

fi api

Het bewijs van deze stelling is eenvoudig. Voor de vormveranderingsener- gie geldt:

(sommatieconventie!) (1.2)

u

=

4

P.f.

1 1

Het verband tussen de verplaatsingsgrootheden en de krachtgrootheden kan gegeven worden als

Substitutie van (1.3) in (1.2) levert:

u

= I 01 P.P, ij I J

2

De stelling wordt meestal ook gebruikt wanneer behalve geconcen-

treerde krachten ook nog verdeelde oppervlakte- of volumekrachten

op het lichaam inwerken. De hiervoor gegeven afleiding moet dan enigs- zins worden gemodificeerd.

Bij het differentiëren van de vormveranderingsenergie

-

die nu uiter-

aard ook een functie van de verdeelde belasting is

-

moet deze belas-

ting constant gehouden worden.

De in ( 1 . 1 ) geformuleerde stelling bezit veel meer beperkingen dan

hiervoor expliciet vermeld is.

Voldaan moet worden aan de volgende eisen:

a. het materiaalgedrag is lineair (zie (1.3))

b. de optredende verplaatsingen zijn "klein" (zie (1.3) en ( 1 . 2 ) )

c. in onbelaste toestand is het lichaam spanningsloos (zie (1.3))

d. beweging als star lichaam moet verhinderd zijn (anders is f. niet 1 eenduidig te bepalen)

e. alle ondersteuningen zijn star en spelingsloos

,

Het is duidelijk dat het voor een zinvolle toepassing van de stelling

noodzakelijk is dat U inderdaad expliciet bepaald kan worden als func-

tie van P

een aantal kunstgrepen

-

mogelijk. Een zinvol gebruik is dan mogelijk

bij de bepaling van de verplaatsing van een bepaald punt in een bepaal- de richting. Een gevolg hiervan is dat deze stelling een geschikt hulp- middel is bij het bepalen van steunpuntsgrootheden bij statisch-onbepaal-

de constructies.

...,

P

.

Voor balkconstructies is dit

-

soms met behulp van

I ' n

Voor een paar veel voorkomende situaties geven wij in het kort aan op

welke wijze de stelling gebruikt kan worden.bij de berekening van in- teressante grootheden. De volgende beschrijving houdt meteen het ophef- fen in van een aantal beperkingen.

Zonder op dit ogenblik een bewijs te geven, vermelden wij dat niet-lineair elastisch materiaalgedrag het noodzakelijk maakt de vormveranderingsener-

gie U te vervangen door de complementaire energie U,' zodat de stelling

dan luidt:

_ -

au

*

_-

fi api

- 3 -

Voor uitwendig statisch onbepaalde constructies worden zoveel van de

uitwendig statisch. onb~epaaldë::;: grootheden (zeg: m) als belastings-

grootheden beschouwd, dat de overblijvende constructie statisch-bepaald is.

Deze kkrachten worden Q (i = 1,

...,

m) genoemd. Op deze constructie

wordt de stelling van Castigliano toegepast, waarbij de vormveranderings-

energie een functie is van P 1 ,

...,

Pn, Q,,

...,

Vanwege de starre ondersteuningen zijn de arbeid-absorberende componenten

van de grootheden Q. nul. Er geldt dus:

i

.

Qm 1 = O (i = i ,

...,

m)

-

au*'

aQi

Uit de m vergelijkingen uit! (15:6) volgt:

O Qi = Qi (Pl,

...,

Pn) (i = 1 ,

...,

m) Bovendien geldt: = f. (i = 1 ,

...,

n; j = 1,

...,

m) 1

au"

( ä q )

- - O Qj = Qj

Wanneer bepaalde ondersteuningen elastisch zijn, is een geschikte werk- wijze te verkrijgen door deze elastische ondersteuningen als een gedeel- te van de constructie op te vatten.

De inwendig statisch onbepaalde grootheden-voor inwendig statisch onbe- paalde constructies worden gezien als belastingsgrootheden van een con- structie die door geschikte snedevlakken en aangepaste verbindingen tus- sen de oevers van de snede te verkrijgen is uit de oorspronkelijke con- structie.

De inwendig statisch onbepaalde grootheden noemen wij R. (i = 1 ,

...,

r).

Zowel op de rechter- als op de linkeroever van de snede is een kracht,ge-

naamd R. aanwezig. Het onderscheid tussen beide grootheden duiden wij aan

met R. t l ) en Ri ('). De gebruikelijke redenering is:

1

1

i

Er geldt (formeel wiskundig):

(géén sommatie)

Deze twee laatste termen worden met een beroep op de stelling van Cas-

tigliano

-

zonder commentaar

-

gerdentificeerd als de arbeidabsorberen-

de componenten van de verplaatsingen van het aangrijpingspunt van R.

resp. R.

.

De aansluitvoorwaarde leert dan:

( 1 ) 1 ( 2 ) 1

- - -

au

'

O ( 1 ,

...,

r) aRi (1.10)

Onze bezwaren tegen deze werkwijze zullen hierna ter sprake komen.

Bij symnetrisch of antimetrisch belaste symmetrische constructies leve- ren symmetriebeschouwingen grote voordelen.

Dit brengt essentieel mee, dat de meeste belastingskrachten in paren voor- komen.

Vaak wordt gebruik gemaakt van eenzelfde formele weg als hiervoor is aange-

geven. Toepassing van de stelling van Castigliano, gecombineerd met sym-

- 5 -

2. Nadelen van de klassieke stelling van Castigliano.

a. Veel constructies zijn niet of niet kinematisch bepaald ondersteund. Het aanbrengen van de ondersteuningen vereist reeds enig inzicht in de optredende verplaatsingen. Een ondersteuning die bij een bepaald type

L/ belasting de beweging als star lichaam verhindert, is vaak niet vol-

* ' ~ , doende (bijv. bij bepaling van inwendag statisch onbepaalde groothe-

I'' den, zie ook b).

b. De redenering die leidt tot de vergelijkingen voor de inwendig statisch

onbepaalden, is gebaseerd op formele operaties en dient vergezeld te

gaan van een gecompliceerde gedachtengang (zie (1.10). Bij de geana-

lyseerde constructie kan helemaal niet direct geconstateerd worden dat

de stelling van Castigliano kan worden toegepast.

au

*

%

au

( 2 ) Ri ( 1 ) en OP Ri

Immers wanneer R.")

#

Ric2), zoals tijdens het differentiatieproces

optreedt, moet onderzocht worden of het evenwicht gegarandeerd is door de reeds aanwezige ondersteuning. Anders is de stelling immers niet

meer hanteerbaar. In veel gevallen is niet aan het evenwicht voldaan.

1

c. Bij het gebruiken van symmetrierelaties moet om Castigliano toe te passen tijdelijk deze symmetrie buiten beschouwing worden gelaten.

Slechts één van de krachtgrootheden van een paar wordt immers gevarieerd. Dit betekent dat in wezen alle conclusies die met de symmetrierelaties

k i j n getrokken, tijdelijk buEten beschouwing dienen te blijven.

Een consequentie hiervan is, dat in- en uitwendig.statisch onbepaalde grootheden die, gebruik makend van de heersende symmetrie, toch bepaald konden worden, weer als onbekende grootheden optreden of dat de con- structie gewijzigd moet worden om van de bekende relaties gebruik te mogen blijven maken. Het is uit didactisch en uit wetenschappêlijk oog- punt ontoelaatbaar deze moeilijkheden te verdoezelen door formele wis- kundige operaties waarbij zonder commentaar de partiële afgeleiden van de complementaire elastische energie geïdentificeerd worden als ver- plaatsingen (door een beroep te doen op de stelling van Castigliano). Het is noodzakelijk steeds te onderzoeken of aan de gestelde hypothe- sen is voldaans

De gebruikelijke formulering van de stelling van Castigliano wordt reeds snel gezien als een formalisme, mede door het in b. en c. ge- signaleerde formalisme. Hierdoor wordt bijna onvermijdelijk dat de- gene die niet duidelijk de achtergronden van het formalisme beheerst, het formalisme verkeerd toepast. Wij hebben bijv. vaak geconstateerd, dat niet alle evenwichtsrelaties in beschouwing worden genomen met name bij problemen waar ook van symmetrie gebruik gemaakt werd.

e. De eis het lichaam voldoende te ondersteunen brengt vaak met zich mede dat de constructie zijn symmetrie verliest. Er is dan weer een

extra redenering noodzakelijk om toch voordelig gebruik te maken van

3 . Complementaire elastische energie.

De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische enrgie voor bepaalde variaties van het spanningsveld sta- tionair is.

Wij zullen dit principe hier allereerst formuleren en afleiden.

Wij werken daarbij in een orthogonaal Cartesisch coördinatensysteem en laten temperatuurspanningen buiten beschouwing. Wij veronderstellen ver- der dat het lichaam in rust verkeert.

De volgende relaties en definities worden gebruikt:

: componenten verplaatsingsvector : componenten rektensor ui "ij ij T : componenten spanningstensor fi : componenten volumekrachten

Tussen de rekgrootheden en de verplaatsingsgrootheden bestaan

-

ook voor

niet-infinitesimale rekken

-

de volgende relaties:

=

1

(u. + u. .uj ,i) (3.1)

'ij 1 , j j,i + ui,j

De evenwichtsrelaties luiden:

Voor een elastisch lichaam bestaat er een "elastische potentiaal" U, die alleen afhangt van de begingeometrie en de rekstoestand (dus niet afhankelijk van de voorgeschiedenis).

Relaties tussen spanningen en rekken (constitutieve vergelijkingen) zijn te geven als:

( 3 . 3 )

O

a2u

Als det ( ₎

_#

_{O zijn deze relaties inverteerbaar, zodat geldt:}

ayij aYkl

ij

'ij = f(T ) ( 3 . 4 3

Afgeleid - kan worden dat de "complementaire elastische potentiaal" U

' 'bestaat, gedefinieerd als:

O

( 3 . 5 )

zodat voor een elastisch lichaam in plaats van ( 3 . 3 ) ook gebruikt kan

worden: O

au%'

'

a-,13

aTJ1

O Yij =

i

- + -

(U: opgevat ais functie van T ij ) .

De complementaire elastische energie wordt gedefinieerd als:

x

U = J" U*dV

vo 1 O

Er geldt:

Hierbij is gebruik gemaakt van het feit dat de spanningstensor en de rektensor symmetrisch zijn.

. .

- 9 - Als geldt: (3.9) ) ’ I yij = 3 (u.

i, j +

ui,

i

,

(“kleine” verplaatsingen!”)

gaat (3.8) over in:

. .

..

..

..

~> 1J I 6ü* = J u. . ~ ~ l l d V = J (u;&~’~), jdV

-

I

u . 6 ~ .

,

dV ! 1 j vol J vol vo 1 (3.10)

Gebruik makend van de stelling van Gauss in (3.10) en eisend dat

steeds aan het evenwicht voldaan blijft (dus 611J, j = O), ontstaat:

..

ij SU3:=

I

6~ ui

.

n.dS = I u.6pidS 1 OPP * J OPP. (3.11) (3.12) ij met p. = T n : oppervlaktekrachten.

Opgemerkt dient te worden dat tijdens het variatieproces fi constant blijft.

1 j

Wanneer op het oppervlak S p is voorgeschreven en op S u en wanneer

op S, nul wordt verondersteld, kan bovenstaande relatie geschre-

l i 2 i

pi

ven warden als:

ö(U*

-

J u. pi dS) = ö(Uxx) = O

1

si

(3.13)

In de literatuur wordt U**soms ook aangeduid als de “complementaire

elastische energie”, in tegenstelling met de hier gevoerde nomeclatuur.

~

Uit het voorgaande blijkt dat CUXr: O voor alle variaties van het

spanningsveld waarbij voldaan blijft aan het evenwicht. Dit wil zeggen, dat tijdens het variëren voldaan moet blijven aan:

en

..

= r l J n op S I (p. gegeven uitwendige belasting)

'

i j 1

Opgemerkt wordt dat op plaatsen waar u. is voorgeschreven (oppervlak

S ) p. wel gevarieerd kan worden.

1

-

1 1

-

4 . De uitgebreide stelling van Castigliano.

Wij beperken ons tot een elastisch lichaam (niet noodzakelijkerwijs

lineair elastisch), waarin geen temperatuurspanningen optreden. In on- belaste toestand is het lichaam spanningsloos. De optredende verplaat- singen worden klein verondersteld. Het lichaam verkeert in rust.

i

Dit lichaam wordt belast door k geconcentreerde krachten N (i = 1 ,

..,

k)

en door de oppervlaktespanningen met componenten pi.

De begrippen "kracht" en "verplaatsing" worden in een gegeneraliseerde betekenis gehanteerd, dit wil zeggen dat zij eveneens een "moment" en een "hoekverdraaiing" impliceren.

-

Verondersteld wordt dat de ondersteuningen vervangen kunnen.worden door

geconcentreerde krachten (deze krachten maken deel uit van N).

i i

De verplaatsingen van de aangrijpingspunten van N noemen wij u (i = l , . . , k)

Wanneer

I

-

-

-

öpi = O wordt genomen, gaat (3.13) over in:

i i

(4.1)

*

öU =

2

.

öN

-

(sommatie over i van

1 ,

..k)

met de eis dat bij dit variatieproces steeds voldaan blijft aan het evenwicht.

Wanneer wij alleen variaties van N in de richting van N beschouwen en de

volgende definities invoeren:

i

i

-

-

O i P. ₁ = _-N ( 4 2) i i u . N f. =

-

- -O 1 O P. 1

dan i s (4.1) ook te schrijven als

(géén sommatie) _{( 4 . 3 )}

Behalve de evenwichtsrelatiec kunnen bij dit variatieprobleem nog andere betrekkingen zinvol in rekening worden gebracht. Wij denken aan synnnetrierelaties en aan vergelijkingen die volgen uit het prin-

cipe actie = reactie. Al deze relaties maken een indeling van de krach-

ten P. mogelijk in twee groepen:

O

1

a. onafhankelijk te variëren krachten : P. (i = 1 ,

...,

n)

bijbehorende verplaatsingen fi = f.

1

o

1

b. krachtens de gegeven reJiaties afhankelijk variërende krachten:

*

1 P. ' (i = i ,

...,

m) x bijbehorende verplaatsingen f. = fi O 1 (Opm: n

+

m = k)

De grootheden PT 'zijn functies van de grootheden P. krachtens de gestel-

de betrekkingen. De complementaire vormveranderingsenergie is dus te

1

I

dl

schrijven als een functie van P. ₁ :U (P Pn' P)

Naar aanleiding van de gegeven indeling is ( 4 . 4 ) uit te werken tot:

( 4 . 5 )

Omdat alle hieruit:

Pi (i= i ,

...,

n ) onafhankelijk te variëren zijn, volgt

a

Pu I k- fi

+ a ~ ;

.

f k

au

*

api _ =

Dit is de uitgebreide stelling van Castigliano

-

13

-

5. Bewijs van de uitgebreide Stelling van Castigliano zonder gebruik te

maaiten s. ,~ :1van ,-.-

variatie principes^

. . ~,

Het is mogelijk de uitgebreide stelling van Castigliano (4.6) af te lei-

den zonder expliciet gebruik te maken van variatieprincipes. Ofschoon de

hier gevolgde weg veel minder elegant is dan de in 4 . gegeven afleiding,

is het soms zinvol te beschikken over een iets primitiever bewijs van de stelling.

De indeling van de krachten in twee groepen en de daaraan toegevoegde be-

namingen zijn identiek met die in 4 .

Wij beperken ons tot lineair-elastische lichamen, waarvoor dus geldt:

u*'= u

(5.1)

Bekijk de twee belastingssystemen I en

11.

I . P * ,

...,

Pi>

...>

Pn, P Y "

...,

1

,

...,

P*

,

p m

X I

Het gegeven verband tussen PT len Pi is hetzelfde als dat tussen APi en APi. Beide systemen voldoen dus aan alle relaties.

De elastische energie voor systeem I is:

Die bij aanwezigheid van I + 11:

u + - au

.

AP.

+

O ( A P ~ ~ ) (géén sommatie) _{( 5 . 3 )}

api 1

Deze energie kunnen wij in de lineaire elasticiteitstheorie ook bere- kenen uit de superpositie van beide systemen, waarbij gebruik gemaakt kan worden van het feit dat de elastische energie gelijk is aan de door uitwendige krachten verrichte arbeid.

Het daarna aanbrengen van systeem I levert:

: aanvullingsarbeid)

+ UI, I1 ( UI, I1

Voor de aanvullingsarbeid geldt:

= fiAPi + f?

.

AP“; (géén sommatie over i; ( 5 . 5 )

wel over j)

UI, I1 J j

Er geldt dus dat de elastische energie voor systeem (I + 11) gelijk is

aan:

,

( 5 . 6 )

U

+

fiAPi + :f i AP * I -t O (APi2)(géén sommatie over i)

J j

Gelijkstelling van beide uitdrukkingen voor de elastische energie in systeem (I

+

11) levert (zie ( 5 . 3 ) en ( 5 . 6 ) :

__

au

.

AP. = f.AP. + fit

.

AP*’I + O(APi 2 ) (géén sommatie over i) ( 5 . 7 )

api 1 1 1 j _j

In de limset AP. 7’ O gaat ( 5 . 7 ) over in:

1

-

15

-

6. Enige toepassingen van de uitgebreide stelling van Castigliano.

In de in dit hoofdstuk vermelde voorbeelden zullen wii ons beperken

tot vlakke balkconstructies, die bestaan uit lineair elastisch mate- riaal.

De weergave der resultaten zal in een gestyleerde vorm plaats vinden. Wanneer een krachtgrootheid van een

deze grootheid afhankelijk is van de krachtgroctheden, die niet voor-

zien zijn van een

.

is voorzien, betekent dit dat

a.<-Berekening van de doorzakking van een statisch bepaalde constructie.

i

'

Voorbeeld:

Systeem isoleren van omgeving:

I P

Evenwicht: P* = PF(P) ; P2 1 Vomveranderingsenergie: U = U (P, Pf (P), P2 x (P)) >c f dPf

*

dP2 d U - f + f - + f 2

₁

_dP

dP Castigliano:

-

- dF x Geometrische conditie: f;' = f2

= o

dU

-

Resultaat:

-

_dP

-

Een andere indeling der krachten is mogelijk:

I

p *

Evenwicht : P%+(Pl) ; ;=P P2

*

(P,) Vorrnveranderingsenergie: U = U (P

P

(Pl), P 1 , Pr(P1))

*EX-+

f*

-

dPf

- -

2 dP1 du - f, + f dP1 dp 1 Castigliano: ?f f = f 2

= o

1 Geornettische condities: 6 dP

*

- -

dU - f

-

dP 1 dP 1 Resultaat:

N.B. Wanneer nu P gezien wordt als functie van P: dan geldt:

1 dU - dU dP* + d P * dU -d f - dP1 + = = _ = dP, dP* * dP1

b. Bepaling van een statisch onbepaalde grootheid.

Voorbeeld : Systeem isoleren:

?i*

x

*

Evenwicht: P2 = F2 (P,, P4) P 3 = P3

*

(P1> P4) 1 ' p4) Vormveranderingsenergie: U = U (P ap; ~

ar3

x

- + f

-

au

-

x

- _

f4

+ f2 ap4 3 ap4 Castigliano: ap4

x

*

2 3 4 Geometrische condities: f = f = f = O

-

1 7

-

-

au

= o

ap4

Resultaat: P = P (Pl)

4 4

Ook de doorbuiging onder P, kan uiteraard berekend worden.

ap

'

*

- _

au

-

apl

*

-

ap2 + f *

-

3 f l + f2 apl 3 apl Castigliano: Resultaat:

au

f l - = a p l

Het linkerlid bevat naast P ook P Met behulp

van het hiervoor gevonden verband P

kan f

I 4'

4

= P4(Pi)

uitgedrukt worden in PI.

1

N.B. Het is uiteraard mogelijk om,nadat via Castigliano P ₄ = P (P _{4 1} )

bepaald is, P op te vatten als een afhankelijke grootheid.

U wordt dan louter een functie van PI. Deze weg verdient met

het oog op het uit te voeren werk geen aanbeveling. 4

C. Bepaling van een statisch onbepaalde bij gebruik van syrmnetrie-beschou-

wingen. Voorbeeld: Systeem isoleren: S yrmne t r ie : Evenwicht: 1c 54 % P5 = P3 ; P2 = P4 p ; = p * = _ 4 2 I ' p3) Vormveranderingsenergie: U = U (P

*

x

ap5 a p

*

*

Castigiiano: - =

au

ap3 f 3 + f 2 IC

-

3P3 a p 2 + f 4

*

-

ap3 4 + f 5 ap3

-

a ? *

*

apq P IC apg

*

+ f

-

5 f 1 + f

2 - + f a p l 2 4

-

a p l 5 a p l

a p

I li

*

f = f = f = f 5

= o

3 2 4 ~ condities: Geometrische Synmet r ie

)---

- _

P = P @ ) 3 3 1 3

au

-

o

ap3 Resultaat:

eu

_ -

- f l a p l

d . Bepaling inwendig statisch onbepaalde.

Voorbeeld:

.*

Evenwicht: P2 = P1

Snede aanbrengen.

-

19

-

9% Pgx- = P3; P X ₇ = P4; P8 = P5 Actie = Reactie: Vormveranderingsenergie: _{U = U ( P l , P3, P4, P5)} Castigliano (voorbeeld): 96

*

+4

*

aps

8 ä q + f % ap6 + f

-

6 ap5

Gebruik afhankelijkheid Ster-grootheden:

ap? ap

*

ap

’

a p r

- = 6 = 7 =

0;- = 1

ap5

a

pg ap5 ap5

*

Geometrische aondities (aansluitvoorwaarden): f 5 + f s

= o

2

Wanneer wij de verplaatsing van de aangrijpingspunten van P

ten opzichte van elkaar wensen te berekenen, dan gaan wij als volgt te werk: en P 1 Castigliano: Afhankelijkheaii Ster-grootheden: ap; ap

*

ap?

+

- -

a p r

_ _

- 1 ;

A =

-

ap

1

ap

1

ap

1

ap

1

- o

*

Resultaat:

- _

au

-

f l

+

f* (gezochte relatieve verplaatsing)

ap 1

e. Bepaling inwendig statisch onbepaalde bij gebruik van synunetrie-be- schouwingen.

t "

Voorbeeld:

"ii-

Beschouwde systeem:

*

_{% = p (= -) P} p2 5 1 2 Evenwicht en symmetrie: Vormveranderingsenergie: U = U (PI) Castigliano:

x

6

-

+ f dP 1 jc dPr 2

*

-

dP1 + f

- -

d* - f l + f dP 1 d P 6

-

dP 1 Symmetrie: f 2

*

= f3

*

= f 5

x

= f6

x

=

o;

f4

*

= f l apt Afhankelijkheid Ster-grootheden:

-

ap 1 = 1 .k

4

- -

Resultaat: dA

-

f

+

f dP1 1

Met name in het laatste voorbeeld kan de constructie als star geheel

bewegen. Voor de verplaatsingsgrootheden is in het voorgaande de situ-

atie bekeken dat zij voldoen aan de symmetriebetrekkingen.

Ook wanneer een beweging als star lichaam ten opzichte van deze sitaa- tie zou optreden, levert de uitgebreide stelling van Castigliano in het geheel geen moeilijkheden.

T.H.E. wE-67/ 1 6. De s t e l l i n g van C a s t i g l i a n o

T o e l i c h t i n g op s t e l l i n g 9 b i j h e t p r o e f s c h r i f t llOver de t o r s i e t h e o r i e

van Vlasov voor dunwandige rechthoekige kokers", S t e l l i n g ; 9:

De s t e l l i n g van C a s t i g l i a n o d i e gewoonlijk bewezen wordt met behulp

van het p r i n c i p e van minimale complementaire energie kan zodanig

worden gemodificeerd d a t de bruikbaarheid a a n m e r k e w toeneemt. De gebruikelbke formulering van de s t e l l i n g van Castí&l.i.&no (door Castigliano z e l f aangeduid als -het tweede gedeëlte van-de s t e l l i n g over de a f g e l e i d e van de vervormingsarbeid"; C a s t i g l i a n o beperkte z i c h t o t de l i n e a i r e e l a s t i c i t e i t s t h e o r i e

j.

Gegeven i s een e l a s t i s c h lichaam; h e t onbelaste lichaam is spannings- l o o s ; er treden geen temperatuurspanningen op; de optredende v e r p l a a t - singen zijn "klein"; h e t lichaam i s kinematisch bepaald ondersteund

zodat geen beweging als star lichaam op kan treden, A l l e ondersteunin-

gen z@ star en zonder speling.

D i t lichaam wordt ondermeer b e l a s t door een aantal geconcentreerde krachten, aangeduid als

P

,

.

,

,

P...*

wemde van i. De arbeidabsorberende component van d e v e r p l a a t s i n g van h e t aangrijpingspunt van de kracht Pi heet f i ( i = 1, . . . . B

n).

De complementaiEe e l a s t i s c h e energie U* i s o.a. een f u n c t i e van

P . ( i = n) en v e r d e r van de eventueel aanwezige oppesvlakte-

krachten ( h i e r schematisch aangeduid met p). W i j v e r o n d e r s t e l l e n d a t U

' als functze van ?.(i = n) en p t e berekenen is. U i t is moge-

Qk bij c o n s t r u c t i e s opgebouwd u i t balken, terml dan bovendien g e e i s t

moEt

worden d a t de c o n s t r u c t i e ia- en uitweadig statisch bepaald is.

Bij i e d e r e k r a c h t behoort een andere

l .

1

1

Onder deze veronderstellingen g e l d t : 3U*(P1

*.

. .

,P _n

,P)

=

f . (i

=

q,...., n).

a

ei

1

=:

Bij een l i n e a i r - e l a s t i s c h lichaam g e l d t U* = U, waarbij U de e l a s - t i s c h e e n e r g i e van h e t l i c h a a m is.

H e t bewijs van d e s t e l l i n g van C a s t i g l i a n o voor lichamen waarvoor de wet van Hooke n i e t g e l d t , kan eenvoudig worden a f g e l e i d u i t h e t z.g.

"principe van minimale complementaire energie (wij komen hier nog op

terug). I n de J i n e a i r e e l a s 8 i c i t e i t s t h e o r i e i s h e t bewijs als v o l g t : f. = a . . P (i = , I , . . . , n) ( s o m a t i e c o n v e n t i e ) ( j = n)

1 1 3 j

aij:

i n v l o e d s g e t a l l e n van Maxwell

u*

=

u

=

3 P . f . = $a.

.P.P.

13. L J 1 3

-

a. .P = fi.

au*

"pf-

1J j

Een a a n t a l c o n s t r u c t i e s voldoen n i e t aan a l l e e i s e n d i e bij de a f l e i -

d i n g v a n d e s t e l l i n g werden g e s t e l d

1. uitwendig statisch onbepaalde c o n s t r u c t i e s bjjvoorbeeld:

_--- ...

e e l van de uitwendig statisch onbepaalde grootheden

t de overblijvende c o n s t r u c t i e s t a t i s c h bepaald is. Noem deze krachten

Bi

(i = I,...., m). O p deze c o n s t r u c t i e wordt de s t e l l i n g van C a s t i g l i a n o toegepast met U*

C?,,s..,

Vanwege de starre ondersteuningen g e l d t :

Q,.3q.,%r;p). U i t deze m v e r g e l m i n g e n v o l g t : ( i = m). O Qi EI Qi (Pq>*.*Pn,

$2

Bovendien g e l d t : (i = i,..9n; j = 1

,..,

m). (%?)='i O j Q . = Q J

2.

ondersteuningen zijn e l a s t i s c h

___-__-_--_-

_{-_-_---_________}

Be e l a s t i s c h e ondersteuning wordt als g e d e e l t e van de c o n s t r u c t i e gezien.

3 . inwendig

_---

_{---_}

s t a t i s c h onbepaalde c o n s t r u c t i e s

De

inw%aaaia

s t a t i s c h onbepaalde grootheden ( d i e nioeten voldoen aan h e t p r i n c i p e "ac&ie = reactie") worden gezien als belastingsgroot- heden van een c o n s t r u c t i e d i e door geschikte snedevlakken en aan- gepaste verbindingen tussen de o e v e r s van de snede t e verkrijgen is u i t de oorspronkelijke c o n s t r u c t i e .

De inwendig s t a t i s c h onbepaalde grootheden noemen wiJ Ri(i = la..$ r). Zowel op de r e c h t e r als op de l i n k e r oever van de snede is een

krachs genaamd R _i aanwezig. H e t onderscheid tussen beide grootheden

duiden w i j aan met R f') en R~ ( 2 ) . De gebruikeiijke redenering is:

- 3 - Er g e l d t (formeel wiskundig): (2)

au*

au*

+

au*

Y.=-+ -dBï:

au*

au*

(1

dag

Y =

-(%I*

dRi

aRi("

a

Ri ")

"i aRi")

.-

3Ri

(géén sommatie)

Deze twee laatst9 termen worden -zonder conunentF?ai;- gegdentifLceerd : ' ' '

as.. dé-:~beidabsoi?berende,compone,nten-uan'.de v (1

1

a&&jpingsp.%t '+an R De aansluitvoorwaarde l e e r t dan: ( 2 ) resp. Ri , ., . . . . . _' i O (i = I,.., r).

au*

E r =

Onze &ezwaren tegen deze werkwijze z u l l e n wij elders geven. 4. symmetrisch of antimetrisch b e l a s t e c o n s t r u c t i e s

Bij deze c o n s t r u c t i e s leveren symmetriebeschouwingen g r o t e voordelen.

D i t brengt e s s e n t i e e l mee, d a t de meeste belastingskrachten i n paren voorkomen. Wiet a l l e krachten hebben dus een anderernaam schouwing van de h e l f t van de c o n s t r u c t i e kan u i t k o m t brengen. Een andere manier gaat u i t van d e h e l e c o n s t r u c t i e en maakt gebruik van e e n z e l f d e f o w e l e weg als i n 3? gevolgd door de s t e l l i n g van C a s t i -

Nadelen van de k l a s s i e k e s t e l l i n f z van C a s t i g l i a n o

1. V e e l c o n s t r u c t i e s zijn n i e t of n i e t khematisch bepaald ondersteund.

Het aanbrengen van de ondersteuningen vereist r e e d s e n i g i n z i c h t

i n

de optredende verplaatsingen. Een ondersteuning d i e bij een be-

p a a l & t y p e b e l a s t i n g de beweging als star l i c h a a m verhinderd is vaak n i e t voldoende (bijv. bij bepaling van ïnwendig s t a t i s c h onbe- paalde grootheden).

2. De redenering d i e l e i d t t o t de vergelijkingen voor de uitwendig s t a t i s c h onbepaalden is gebaseerd op formele o p e r a t i e s en d i e n t

vergezeld t e gaan van een gecompliceerde gedachtengang.

BQ

de gea-

nalyseerde c o n s t r u c t i e kan helemaal n i e t d i r e k t geconstateerd worden

au*

_en

-

_''*

d a t OP

--q-

(1) de s t e l l i n g van C a s t i g l i a n o kan worden toege-

( 2 ) moet onderzocht worden of h e t

(1)

u

R~

aR.

past. Immers, w a n d e r

R~

evenwicht gegarandeerd is door de r e e d s aanwezige ondersteuning,

an

v e e l p e v a ì l e n is d i t n i e t h e t g e v a l .

+

R~

3. Bij h e t gebruiken van symmetrierelaties moet om C a s t i g l i a n o t o e t e

passen tjjdelijk deze symmetrie buiten beschouwing worden gelaten.

D i t betekent d a t i n wezen a l l e c o n c l u s i e s d i e met de symmetriere- l a t i e s zijn getrokken tìjdelijk buiten beschouwing dienen t e blijven,

Een consequentie hiervan is dat in- en uitwendig statisch onbepaalde

grootheden d i e gebruik makend van de beersende symmetrie tóch be-

paald konden worden weer als onbekende grootheden optreden of dat de c o n s t r u c t i e gewijzigd moet worden om van de bekende r e l a t i e s ge- b r u i k te mogen blijven maken. Het is u i t didactisch oogpunt ontoe- laatbaar deze moeilijkheden t e verdoezelen door f o r n e ï e wiskundige o p e r a t i e s waarbij zonder commentaar de partiele a f g e l e i d e n van de complementaire e l a s t i s c h e energie g e i d e n t i f i c e e r d worden als ver- p l a a t s i n g e n (door een beroep t e doen op de s t e l l i n g van C a s t i g l i a n o ) . Het i s noodzakel+ s t e e d s te onderzoeken of aan de g e s t e l d e hypo-

thesen voldaan is.

4. De g e b r u i k e l m e formulering van d e s t e l l i n g v a n C a s t i g l i a n o wordt door de student r e e d s s n e l gezien als een formalisme, mede door h e t i n 2 en 3 g e s i g n a l e e r d e formalisme. Hierdoor wordt bijna onvermjjde-

1%

d a t degene d i e n i e t duidel* de achtergronden van het formalisme beheerst h e t formalisme verkeerd t o e p a s t . Hij hebben b3v. vaak gecon-

- 5 -

s t a t e e r d d a t n i e t a l l e e v e n w i c h t s r e l a t i e s in beschouwing worden genomen met name bij problemen waar ook van symmetz?.ie gebruik ge-

maakt werd.

5. De e i s h e t lichaam voldoende t e ondersteunen brengt vaak met z i c h mede d a t de c o n s t r u c t i e zijn symmetrie v e r l i e s t . E r i s dan weer een e x t r a redenering noodeakelíjk.

De u i t g e b r b i d e s t e l l i n g van C a s t i g l i a n o Enige begripEen en n o t a t i e s

Wij werken i n een orthogonaal C a r t e s i s c h coordinatensysteem en l a t e n temperatuurspanningen buiten beschouwing. bVij v e r o n d e r s t e l l e n verder

d a t h e t lichaam i n r u s t verkeerd.

_--

---_---

Componenten v e r p l a a t s i n g s v e c t o r :

Ai

volumekrachten : f i rektensor (symm.) :

Y p

spanningstensor (symm.) : ri J Evenwicht s v e r g e l i k i n g e n :

rij

+

fi = O (,j: d i f f . )

R e l a t i e s tussen rekken en verplaatsingen:

'3

yij

=

3

(u. _{~ $ 3}

.

+

u + u )

j

4

i, joUj ,i

Elastisch lichaam: er b e s t a a t een " e l a s t i s c h e p o t e n t i a a l " .U d i e

alleen'afhangt am de begiageometrie en d e rek-

toestand (dms n i e t afhankelijk van de voorgeschiedenis).

R e l a t i e s tussen Spanningen en rekken: ,+i =

(

" o ~ "o).

'Yij

3 Y j i

ij

at

u.

A l s d e t

(

A f g e l e i d kan worden dat de !'compleinentaire e l a s t i s c h e p o t e n t i a a l " Uo* b e s t a a t , g e d e f i n i e e r d als

zodat

(Uo* opgevat als f u n c t i e van ,ij I ) *

)

#

O v o l g t u i t deze relaties, d a t g e l d t :

y'ij

= f('ï ).

3Yi

j V k a

I 1

,-.

ai 33

uo*

=

-uo

+

r

y,,

+

1

y,

4 .T

y,3

+

qz

+

Py,, +

72'r*,

Y i

j

Minimale complementaire e l a s t i s c h e energie Complementaire e l a s t i s c h e energie: U* =

Er g e l d t :

---_9________D_____F_____--

V o l

v o l v o l

A l s

y.

=

3

(ui

+

u j dus "kleine" veyplaatsingsn! geldt:

Gebraik makend van de s t e l l i n g van G a u s s en eisend d a t steeds aan h e t evenwicht voldaan b l u f t (dus a'CxJ,j

. .

=

O ) o n t s t a a t :

n

OPP *

met pi = z i j n : oppervlaktekrachten.

(Wanneer op h e t oppervlak SI p. i s voorgeschreven en op S2 Vi en

5

3.

wanneer $pi op S., n u l w&dt verondersteld kan bovenstaande r e l a t i e

-

geschreven worden als _n

I n de l i t e r a t u u r wordt e l a s t i s c h e energie").

=

$(U**) =

o.

Bewijs van de u i t g e b r e i d e s t e l l i n g van C a s t i g l i a n o

Gegeven een e l a s t i s c h lichaam ( n i e t noodzakeljjkwijs l i n e a i r e l a s t i s c h ) ;

geen temperatuurspanningen; i n o n b e l a s t e toestand spanningsloos;

k l e i n e v e r p l a a t s i n g e n ; l i c h a a m i n r u s t .

D i t lichaam wordt b e l a s t door k geconcentreerde krachten

2

( i = l , .

.

,k)

i

en door de oppervlaktespanningen met componenten p..

Verondersteld wordt dat de ondersteuningen vervangen kunnen worden

door geconcentreerde krachten (deze krachten maken d e e l u i t van

De v e r p l a a t s i n g e n van de aangrijpingspunten van

2

noemen w i j

g

(i=I,*.,k). Wanneer sp. = O wordt genomen gaat de hiervoor a f g e l e i d e s t e l l i n g

mer i n : I 5 I i I i i

S U *

=

- -

u.8R (sommatie van I

$

.

.

I

d

met d e e i s dat bij d i t s a r i a t i e p r o b l e e m s t e e d s voldaan b l i j f t aan h e t evenwicht e

Beschouwen wij a l l e e n v a r i a t i e s van

2

i i n de r i c h t i n g van

2

i en d e f i n i e r e n

O W Q P. I

=\SI

$ i 0

&*E

f i 6 ' i r

-

(géén sommatie) dan g e l d t : O 0 SU* = f i

SPi.

Behalve de e v e n w i e h t s r e l a t i e s kunnen nog andere betrekkingen z i n v o l i n

rekening worden gebracht bij d i t variatieprobleem. W i j denken aan sym-

m e t r i e r e l a t i e s en a a n vergeldkingen d i e volgen u i t het p r i n c i p e a c t i e = o

r e a c t i e . A l deze r e l a t i e s maken een i n d e l i n g van âe krachten P mogelj3r _i

lil twee groeperi:

o n a f h a n k e w t e v a r i e r e n krachten: Pi (i = ? ? * . * , n )

krachtens de gegeven r e l a t i e s afhanke1j;llr varierende w a c h t e n :

O i v e r p l a a t s i n g f . = f I v e r p l a a t s i n g f i

-

-

fi*. (Opm: n

+

m = k).

De grootheden Pi* zijn f u n c t i e s van de grootheden Pi krachte& de ge- s t e l d e betrekkingen. De vormveranderingsenergie is dus t e schrijven als een f u n c t i e van Pi: ü*(P.,,oe.,Pn> p).

- 9 -

Het a f g e l e i d e p r i n c i p e gaat dus over i n :

Omdat a l l e

6

P. (i = 1,.

.

,

n) onafhankelijk t e v a r i e r e n zijn v o l g t h i e r u i t

1 apk* i ûPi O f k * "

- -

au*

-

f

a

pi

-+

-

D i t i s de u i t g e b r e i d e s t e l l i n g van C a s t i g l i a n o .

Bewijs van de uitgebreide s t e l l i n g van C a s t i n l i a n o zonder gebruik t e maken van variatieprincipes

De indeling van de krachten en de benamingen zijn i n het voorgaande weergegeven.

W i j beperken ons t o t lineair-elastische lichamen dus

U*

= U.

Bekijk de twee belastingssystemen

I

en 11.

I. P,>.*.pPi,

....

rP n ,P1*>..**'PI*,....,P m * 9 p

11. Og.*..,AP.*.*.aO, I AP.,">.r*., APi*s.e.e*

A m * ,

O.

Het gegeven verband tussen Pi* en Pi is hetzelfde als d a t tussen APic

e n APi. Beide systemen voldoen dus aan a l l e r e l a t i e s .

De e l a s t i s c h e esergie voor systeem

I

is U (Pl,s..*P

,

p); die bij aan-

au

2

wezigheid van I 4 11: U

+

-.AP.

4 O (AP.

Deze energie kunnen w i j i n de l i n e a i r e e l a s t i c i t e i t s t h e o r i e ook bere-

kenen u i t de superpositie van beade systemen, waarbij gebruik gemaakt

kan worden van het f e i t dat de elastische energie gelijk is aan de

door de uitwendige krachten verrichte arbeid. Bij aanwezigheid

van

a l l e e n systeem I1 geldt:

2

n

( g e é n sommatie).

api I 1

UII

=

o

UPi ) *

Het daarna aanbrengen van I1 l e v e r t :

(UI, aanvullingsarbeid)

UI, 11

f. APi

+

f *.APjy (géén sommatie over i; wel over j)

UI,

I1

= 1 j

Er geldt dus d a t de e3astische energie voor I

+

I1 gelijk is aan:

2

U

+

f. APi 4 f

*

APj* 4 O (AP. ) sommatie over i).

I

5

1

Selijkstelling van beide uitdrukkingen voor de e l a s t i s c h e energie voor I 4 I1 l e v e r t :

2

.APA

=

f i A P i

+ f

*.AP

*

+

O (AP. ) (geén sommatie over i).

au

a

pi j j I

-

-

I n de limiet dP, 4 0 l e v e r t deze r e l a t i e :

Bij het gebruiken van de uitgebreide s t e l l i n g van Castigliano wordt men gedwongen zich rekenschap t e geven van a l l e r e l a t i e s die gebruikt wor- den om t e komen t o t de gemaakte indeling.

-

1 1

-

-

H.B.

: I n b e t voorgaande zijn de begrippen "kracht" en "verplaatsing"

i n een gegeneraliseerde vorm g e b r u i k t , d.w.z. dat aak koppels en hoekverdraaiingen gelezen kunnen worden.

20 j u n i

1967,