Hoofdstuk 4:
Rekenen met kansen.
1.a. De kans dat je uit vaas A een rode knikker trekt is 2025 ο½500400 . Van de 500 keer dat je een knikker trekt, zal het 400 keer een rode zijn en 100 keer een witte.
De kans dat je uit vaas B een rode knikker trekt is 240 60
12
20 ο½ 400 ο½ 100. Van de 400 keer dat je uit vaas A een rode knikker hebt getrokken, trek je 240 keer ook een rode knikker uit vaas B (en 160 keer een witte). Van de 100 keer dat je een witte knikker uit vaas A getrokken hebt, trek je 60 keer een rode knikker uit vaas B en 40 keer een witte.
b. Van de 500 keer dat je twee trekkingen hebt gedaan zijn er in 160 60 220ο« ο½ keer een rode en een witte knikker getrokken. P(1R, 1W)ο½ 220500 ο½0, 44
c. P(RW) P(WR)ο« ο½ 160500ο« 50060 ο½0,32 0,12 0, 44ο« ο½ 2. a. 4 6 2 ο¦ οΆ ο½ ο§ ο· ο¨ οΈ volgorden. b. P(2M, 2R) 6 ( ) ( )ο½ ο 103 2ο 107 2 ο»0,2646 3.
a. Van de vijf enveloppen moeten er in twee 10 euro zitten.
Een mogelijke volgorde is LLLVV. De kans hierop is: 820850 849 848 847 846ο819ο818ο 30 ο 29 ο»0,001 Er zijn in totaal ο¦ οΆο§ ο·52 ο½10
ο¨ οΈ volgorden met 2 volle en 3 lege enveloppen. P(20 euro) 10 0,001 0,0109ο½ ο ο» b. 820850 849 848 847 846819 818 817 30 5 P(10 euro) 0,1535 1 ο¦ οΆ ο½ο§ ο·ο ο ο ο ο ο» ο¨ οΈ en 819 820 818 817 816 850 849 848 847 846 P(0 euro)ο½ ο ο ο ο ο»0,8352 c. P(hoogstens 20 euro) P(0, 10 of 20 euro) 0,8352 0,1535 0,0109 0,9996ο½ ο½ ο« ο« ο»
d. P(meer dan 20 euro) 1 0,9996 0,0004ο½ ο ο»
4.
a. P(meer dan twee fout) P(3, 4, 5 of 6 fout) 1 P(0, 1 of 2 fout)ο½ ο½ ο 6 1 4 5 3 1 4 4 2 4 3 1 4 4 P(0 fout) ( ) 0,00024 6 P(1 fout) ( ) 0,0044 1 6 P(2 fout) ( ) ( ) 0,0330 2
P(meer dan twee fout) 1 (0,0002 0,0044 0,0330) 0,9624
ο½ ο» ο¦ οΆ ο½ο§ ο·ο ο ο» ο¨ οΈ ο¦ οΆ ο½ο§ ο·ο ο ο» ο¨ οΈ ο½ ο ο« ο« ο»
b. P(hoogstens 5 fout) P(0, 1, ..., 4 of 5 fout) 1 P(6 fout) 1 ( )ο½ ο½ ο ο½ ο 34 6 ο»0,8220
c. P(minstens 3 en hoogstens 4 fout) P(3 of 4 fout) 6 ( ) ( )34 3 41 3 6 ( ) ( )34 4 41 2 0,4285
3 4
ο¦ οΆ ο¦ οΆ
ο½ ο½ο§ ο·ο§ ο·ο ο ο«ο§ ο·ο§ ο·ο ο ο»
a. P(hoogstens 10) 1 P(11 of 12) 1ο½ ο ο½ ο363 ο½ 3336ο½ 1211 b. P(min der dan 5) P(2, 3 of 4)ο½ ο½ 366 ο½ 16
c. Ja, P(even) P(oneven)ο½ ο½3618 ο½ 12
6. Hij kan de vijf mensen niet voorzien van een schaar als er 2 of meer linkshandigen in de winkel komen.
5 5 4
P(meer dan 1 links) 1 P(0 of 1 links) 1 (0,72 0,28 0,72 ) 0, 4303 1
ο¦ οΆ
ο½ ο ο½ ο ο«ο§ ο·ο ο ο»
ο¨ οΈ
7.
a. Als je de eerste knikker (het eerste winnende getal) terug zou leggen, zou je die knikker ook de tweede keer kunnen pakken.
b. P(RR) ο½ ο ο½2 19 8 722 ο½ 361
c. P(2 euro) P(RW of WR)ο½ ο½ ο ο« ο ο½29 87 79 82 187 d. De kans op de twee knikker klopt dan niet meer. 8.
a. P(W en R) P(WR of RW) 2ο½ ο½ ο ο ο½6 39 9 49 b. P(W en R) P(WR of RW) 2ο½ ο½ ο ο ο½6 39 8 21
c. Het trekken met één greep komt overeen met een trekking zonder terugleggen. d. P(RWW)ο½ ο39 10 88 ο ο½6 51 en P(WRW)ο½ ο69 10 82 ο ο½5 121
De kans op een rode en witte bal is verschillend in beide vazen. 9.
a. P(beide prijzen) ο½10 92 ο ο½1 451
b. P(beide prijzen)ο½1000 99920 ο 19 ο»0,00038
10.
a. Neem een vaas met 0,9 20.000 18.000ο ο½ witte knikkers (kwaliteit A) en 2.000 rode knikkers. Trek uit deze vaas 5 knikkers zonder terugleggen.
b. Omdat de steekproef (5 blikken) klein is ten opzichte van de totale populatie (20.000 blikken) veranderen de kansen niet zo heel erg.
c. P(1B en 4A)ο½ο¦ οΆο§ ο·51 ο0,10 0,90ο 4 ο»0,3281 ο¨ οΈ d. P(min stens 2B) P(2B, 3B, 4B of 5B) 1 P(0B of 1B) 1 (0,90ο½ ο½ ο ο½ ο 5 ο«0,3281) 0, 0815ο» som steen 2 1 2 3 4 5 6 st ee n 1 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12
11. a. P(0 munt) P(kkkk) ( )ο½ ο½ 21 4 ο½0,0625 3 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 3 1 1 2 2 4 1 2 4 P(1 munt) P(1m, 3k) ( ) 0,25 1 4 P(2 munt) P(2m, 2k) ( ) ( ) 0,375 2 4 P(3 munt) P(3m, 1k) ( ) 0,25 3 P(4 munt) P(mmmm) ( ) 0,0625 ο¦ οΆ ο½ ο½ο§ ο·ο ο ο½ ο¨ οΈ ο¦ οΆ ο½ ο½ο§ ο·ο ο ο½ ο¨ οΈ ο¦ οΆ ο½ ο½ο§ ο·ο ο ο½ ο¨ οΈ ο½ ο½ ο½ b. P(meer dan 2k) P(3k of 4k) P(1m of 0m) 0,25 0,0625 0,3125ο½ ο½ ο½ ο« ο½ c. som 0,0625 0,25 0,375 0,25 0,0625 1ο½ ο« ο« ο« ο« ο½ 12. a. b. P(3 jaar) 0,15ο½
c. P(hoogstens 2 jaar) P(0, 1 of 2 jaar)ο½ ο½
ο½0,19 0,27 0,21 0,67ο« ο« ο½
d. P(tussen 2 en 5 jaar) P(3 of 4 jaar) 0,15 0,12 0,27ο½ ο½ ο« ο½ 13. a. 0,306 0,250 0,194 0,139 0,083 0,028 1ο« ο« ο« ο« ο« ο½ b. P(laagste aantal is 3) P((3,3), (3, 4), (3,5), (3,6), (4,3), (5,3) en (6,3))ο½ ο½367 ο»0,194 14. P(0 harten)ο½ 39 38 3752 51 50ο ο ο»0, 4135 39 13 38 52 51 50 39 13 12 52 51 50 13 12 11 52 51 50 P(1 harten) 3 0, 4359 P(2 harten) 3 0,1376 P(3 harten) 0,0129 ο½ ο ο ο ο» ο½ ο ο ο ο» ο½ ο ο ο» 15. a. P(2 bromfiets)ο½ο¦ οΆο§ ο·24 ο0,122 0,8782ο 2 ο»0,0688 ο¨ οΈ b. P(B 0) 0,878ο½ ο½ 4 ο»0,5943 3 3 4 4 P(B 1) 0,122 0,878 0,3303 1 P(B 2) 0,0688 4 P(B 3) 0,122 0,878 0,0064 3 P(B 4) 0,122 0,0002 ο¦ οΆ ο½ ο½ο§ ο·ο ο ο» ο¨ οΈ ο½ ο» ο¦ οΆ ο½ ο½ο§ ο·ο ο ο» ο¨ οΈ ο½ ο½ ο» aantal munt 0 1 2 3 4 kans 0,0625 0,25 0,375 0,25 0,0625
leeftijd aantal percentage
0 570 19 1 810 27 2 630 21 3 450 15 4 360 12 5 180 6 totaal 3000 100 harten 0 1 2 3 kans 0,4135 0,4359 0,1376 0,0129 som=1 B 0 1 2 3 4 kans 0,5943 0,3303 0,0688 0,0064 0,0002 Controle: som is 1
a. P(inbraak)ο½ 4732 579 91 24ο«58925ο« ο« ο»0,0921 b. P(nog 1 inbraak)ο½ 5426579 ο»0,1067 c. d. P(nog 2x) 0, 0168ο½ 2 ο»0,00028 17. P(0 enen) ο½10 9 8 78 ο ο ο ο½ ο½7 6 5 31 155 8 7 6 8 2 10 9 8 7 15 8 7 2 1 2 10 9 8 7 15 P(1 één) 4 P(2 enen) 6 ο½ ο ο ο ο ο½ ο½ ο ο ο ο ο½ 18. a. P(1 bord) 1 (0,20 0,07 0,35 0,20) 0,18ο½ ο ο« ο« ο« ο½
b. bijvoorbeeld: P(één verkocht bord) 0,18 0,05 0, 009ο½ ο ο½
19.
a. P(1 euro) 1 P(0,80 0, 06 0,02) 0,12ο½ ο ο« ο« ο½ b. gemiddeld per spel: β¬ 0,62
c. gemiddeld ο½ 500 0,02 10 500 0,06 5 ... 500 0,80 0ο ο ο« ο500ο ο« ο« ο ο ο½0,62 d. Ook weer β¬ 0,62 e. 0,02 10 0,06 5 0,12 1 0,80 0 0,62ο ο« ο ο« ο ο« ο ο½ 20. a. P(B 0)ο½ ο½ 10 9 86 ο ο ο½5 4 16 P(B 1) 3ο½ ο½ ο10 9 84 ο ο ο½6 5 21 P(B 2) 3ο½ ο½ ο10 9 84 ο ο ο½3 6 103 en P(B 3)ο½ ο½10 9 84 ο ο ο½3 2 301
b. Per spel verwacht je 1,2 blauwe knikkers. Bij 50 keer spelen: 50 1,2 60ο ο½ blauwe.
21. a. b. verwachtingswaarde is 2ο361 ο« ο3 362 ο« ο4 363 ο« ο«... 11ο362 ο«12ο361 ο½7 aantal inbraken na de 1e keer 0 1 2 3 Kans 0,8721 0,1067 0,0168 0,0044 som = 1 aantal enen 0 1 2 kans 0,3333 0,5333 0,1333 som = 1 aantal verkocht 1 2 3 4 5 6 kans 0,18 0,20 0,07 0,35 0 0,20 som = 1 aantal verkocht 0 1 2 3 4 6 kans 0,95 0,009 0,01 0,0035 0,0175 0,01 som = 1
combinatie verw. aantal verw. uitkering
bbb 2 20 aaa 6 30 kkk 12 12 - 80 0 totaal 100 62 som 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 kans 1 36 362 363 364 365 366 365 364 363 362 361
22. a.
b. De verwachte winst is 48 0,01 8 0,06 0 0,30ο ο« ο ο« ο ο« ο ο2 0,63ο½ ο0,30 Nee, per spel mag je 30 cent verlies verwachten.
23.
a. 300 600 0,05 200 600 0, 03 200 500 0, 04 200 400 0,06ο ο ο« ο ο ο« ο ο ο« ο ο ο«
100 300 0,05 β¬22.900,
ο« ο ο ο½ ο
b. Het gaat om 1000 fietsen, dus een premie van β¬ 22,90 24.
a.
b. De te verwachten kosten:
25 0,128 37,50 0,60 82,50 0,272 β¬ 48,14ο ο« ο ο« ο ο½ c. In 0, 40 0,32 7800 998ο ο ο» gevallen geen reparatie.
25. a.
b. Het te verwachten aantal keer is 1 0,3426 2 0,3089 ... 5 0,0495 2,23ο ο« ο ο« ο« ο ο»
c. De te verwachten kosten zijn: 1000 0,3426 1320 0,3089 ... 2080 0,0495 β¬1362,ο ο« ο ο« ο« ο ο» ο d. 332 klanten. P(2e keer wel)ο½332156ο100 47%ο» en 87
332
P(3e keer wel)ο½ ο100 26%ο» e.
f. De te verwachten kosten zijn: 1320 0,47 1600 0,26 1840 0,19 2080 0, 08 β¬1552,ο ο« ο ο« ο ο« ο ο» ο
26.
a. Vaas met 80 genummerde ballen. Trek hieruit 5 ballen zonder terugleggen. b. P(3w, 2m) 5 2080 79 78 77 7619 18 60 59 0,0839
2 ο¦ οΆ
ο½ο§ ο·ο ο ο ο ο ο»
ο¨ οΈ Zijn winst is dan 3 10 10 β¬20,ο ο ο½ ο c. P(0 w)ο½ 6080 79 78 77 76 75ο59ο58 57 56 55 54 53 52 51ο ο ο ο74ο73 72 71ο ο ο»0,0458 59 19 60 58 57 56 55 54 53 20 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 10 P(2 w) 0,2953 2 ο¦ οΆ ο½ο§ ο·ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο» ο¨ οΈ d. P(4 w) P(3 w) P(2 w)ο« ο« ο½ 80 79 78 7720ο19 ο18 17ο ο« ο4 2080 79 78 77ο19ο18 60ο ο« ο6 80 79 78 7720ο19ο60ο59 ο»0,2589 Dat is 1 op 3,86 winst 48 8 0 -2 kans 0,01 0,06 0,30 0,63 kosten 25 37,50 82,50 kans 0, 40 0,32 0,128ο ο½ 0,60 0, 40 0,68 0,272ο ο½ aantal keer 1 2 3 4 5 kans 0,3426 0,3089 0,1723 0,1267 0,0495 som = 1 aantal examens na de 1e keer 1 2 3 4 kans 0,47 0,26 0,19 0,08
a. P(4 meedoen) ( )ο½ 41 4 ο»0, 0039 b. P(1 doet mee) 4ο½ ο ο14 ( )34 3 ο»0, 4219
c. 3 4
4
P(hoogstens 3) 1 P(4 niet meedoen) 1 ( )ο½ ο ο½ ο ο»0,6836
d. P(min stens twee) P(twee, drie of vier doen mee) 1 P(nul of 1 doet mee)ο½ ο½ ο ο½ ο½ ο1 (( )34 4ο«0,4219) 0,2617ο»
T_2.
a. P(B, BBB)ο½ 20 2030 30 29 28ο ο19ο18 ο»0,1872
b. P(ten min ste 1 wit) 1 P(geen wit) 1 0,1872 0,8128ο½ ο ο½ ο ο»
c. P(1B, 3w) P(B, WWW) P(W, één B)ο½ ο« ο½ 20 1030 30 29 28ο ο 9 ο 8 ο«1030ο ο3 20 1030 29 28ο ο 9 ο»0,0936 T_3. a. P(som 3) 2ο½ ο½ ο ο ο½1 14 3 122 ο½ 16 b. P(som 6) 2ο½ ο½ ο ο ο½1 14 3 122 ο½61 c. T_4. a. b. E(verschil) 0ο½ ο123 ο« ο1 125 ο« ο2 123 ο« ο3 121 ο»1,17 c. E(som) 2ο½ ο ο« ο ο« ο ο« ο ο« ο ο« ο121 3 122 4 123 5 123 6 122 7 121 ο½4,5 T_5. a. P(D) P(AD of BD) 0,60 0, 01 0, 40 0,07 0,034ο½ ο½ ο ο« ο ο½ b. P(G) 1 P(D) 1 0,034 0,966ο½ ο ο½ ο ο½ c. d. P(DDD) 0,034ο½ 3 ο»0,000039 e. P(GGG) 0,966ο½ 3 ο»0,9014 T_6. a. 97464 97385 79ο ο½ b. 0,00081
c. P(leeft min stens 1 jaar) 1 0,00081 0,99919ο½ ο ο½
d. P(sterft over twee jaar) 0,99919 0, 00088 0,00088ο½ ο ο» e. P(28 jaar)ο½ 10000097633 ο0,00083 0,00081ο» f. Nee. som 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 som 2 3 4 5 6 7 kans 1 12 122 123 123 122 121 verschil 1 2 3 1 0 1 2 2 1 0 1 3 2 1 0 4 3 2 1 verschil 0 1 2 3 kans 3 12 125 123 121
T_7.
a. 97859 9777897859ο ο»0,00083
b. P(leeft min stens 1 jaar) 1 P(leeft 0 jaar) 0,99917ο½ ο ο» c.
d. P(min stens 3 jaar leeft) 1 P(0, 1 of 2 jaar)ο½ ο ο½
1 (0,00083 0,99917 0,00073 0,99927 0,00075) 0,9977
ο½ ο ο« ο ο« ο ο»