Hoofdstuk 2:
Functies en grafieken.
V-1.
a. De richtingscoëfficiënt is -3. b. Voor a 3 zijn ze evenwijdig.
c. Als de grafieken evenwijdig zijn: a 4 .
d. x 1x 2 4 3 1 13 x x 1 2 4 9 2 Het snijpunt is (-2, 10) V-2.
a. Voor x 2 is 2x 5 0. De wortel uit een negatief getal bestaat niet. b. 2x 5 0 x x 1 2 2 5 2
c. 3 2x 5 0. Er wordt bij -4 altijd een positief getal opgeteld.
V-3.
a. D :f ,2 2,
b. Voor geen enkele waarde van x.
c. Als x steeds groter wordt, wordt x52 bijna 0. De functiewaarden komen steeds
dichter bij 4.
d. Dit geldt ook als x steeds kleiner (groot negatief) wordt. e. y 4. f. B :f ,4 4, V-4. a. 2(2x5)(1 2 ) 0 x x x x x x 1 x 1 2 2 2 5 0 1 2 0 2 5 2 1 2 De snijpunten zijn: 1 2 ( , 0) en 1 2 (2 , 0). b. De top van de parabool is bij x 1
2 1 . f 1 2 (1 ) 2 2 2 8 De top is 1 2 (1 , 8) . c. B : 8,f
V-5.a. Grafiek A is de wortelfunctie: h x( ) x4; grafiek B is een exponentiële functie:
x
g x( ) 5 1,5 ; grafiek C is een lineaire functie (rechte lijn): f x( ) 0,5 x2 en grafiek D is een gebroken functie (hyperbool): k x
x 1 ( ) 1 6 4 . b. P(0, 4) Q(0, 5) S(0, 2) en R(-4, 0) T(0, 1 6 1 ) en U( 3 4 1 , 0)
V-6. a. D :f ,3 3, b. x 4 1 0 3 x x 3 4 1
Snijpunt met de x-as: (-1, 0) c. Verticale asymptoot: x 3 en horizontale
asymptoot: y 1 d.
V-7.
a. Voor alle waarden van t is t 1 0 en t
2 16 0. De functiewaarden van g(t) zijn dus groter of gelijk aan 4 en die van h(t) groter of gelijk aan -2. De grafiek van h snijdt de x-as dus wel en die van g niet.
b. Er is één snijpunt. c.
V-8.
a.
b. f x( ) 4 2 x 2 22 x 22x
V-9. Martine heeft gelijk.
f x 1 x 4 1 4 x4 1 x4 x4 3 3 3 ( ) ( 3 ) ( 3) 81 27 x y 2 4 6 8 10 12 -2 -4 -6 2 4 6 -2 -4 -6 t y 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2 4 6 8 10 -2 -4 g h x -2 -1 0 1 2 f(x) 1 2 4 8 16 g(x ) 1 2 4 8 16
1. a. 4x 7 0 x x 3 4 4 7 1 b. Df : 1 , 34 c. Dg : ,134 1 ,34 2. a. 4 7 x 0 b. x3 8 0 c. 27x3 0
f x x D 4 7 4 7 7 4 : , h x x D 3 8 2 : , 2 2,
3 27 3 : ,3 g x x D en B :f ,5
en B :h ,0 0, en B :g ,2
d. 2x 5 0 k x x D 1 2 1 1 2 2 2 5 2 : ,2 2 , en Bk : ,12 12,3. h: verticale asymptoot: x 2 en horizontale asymptoot: y 0 k: verticale asymptoot: x 1 2 2 en horizontale asymptoot: y 1 2 4. a. Verticale asymptoot: x 1 2 4 en horizontale asymptoot: y 1 2 3 . b. Df : ,421 4 ,12 en Bf : ,312 3 ,12 5. a. D :f ¡ b. x2 x 12 ( x4)(x3) 0 x x en 4 3 ( 4, 0) (3, 0)
c. De top ligt bij x 1 2 : f 1 1 1 1 2 2 2 4 ( ) 3 3 12 T 1 1 2 4 ( , 12 ) d. De grafiek is een dalparabool, dus Bf : 12 ,
14 .6.
a. Grafiek A heeft twee verticale asymptoten: h x x2 1 ( ) 4 Grafiek B heeft twee randpunten: f x( ) x24
Grafiek C is een hyperbool; een lineair gebroken functie: j x x 1 ( ) 4 b.
-7. a. 12a 4 0 a a 1 3 12 4
Omdat het domein ,12
is moet a 13.b. 2b 3 7 b b 2 4 2 8. Voer in: y x2 x 1 4 9. 10.
a. In de derde plot is de grafiek het beste in beeld. Om de grafiek goed in beeld te krijgen stel je in het window de x-waarden in en dan met zoom en zoomfit past de GRM de y-waarden in.
b. kleinere y-waarden.
11.
a. De verticale asymptoot is x 100 . Daar verandert de grafiek dus flink. b. TblStart 80 en VTbl 5 c. De horizontale asymptoot is y 3. 12. a. 2x100 0
f x x D 2 100 50 : 50, b. B.v.: Xmin 55, Xmax 50, Xscl 10, Ymin 5, Ymax 20 en Yscl 5 c.
13.
a. Tijd en hoogte moeten positief zijn. b. Voer in: y x x2
115 4,9
Stel in het window de x-waarden in:
Xmin 0, Xmax 5 en vervolgens zoom zoomFit. Pas eventueel het window aan.
De t-waarden van 0 tot 3 en de h-waarden van 0 tot 11,5
c.
14. Om een grafiek helemaal op het beeldscherm te krijgen kun je in het window de x-waarden instellen
en vervolgens zoom optie 0 (zoomfit) te gebruiken. Daarna kun je in het window kijken wat de
y-waarden zijn.
a. Xmin 15, Xmax 15, Xscl 5, Ymin 150, Ymax 150 en Yscl 10 b. Xmin 5, Xmax 5, Xscl 1, Ymin 45, Ymax 65 en Yscl 10 c. Xmin 8, Xmax 5, Xscl 1, Ymin 10, Ymax 10 en Yscl 1
t y 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 2 4 6 8 -2 -4 -6 t y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 5 10 15 -5 -10 -15 -20 x y 10 20 30 40 50 -10 -20 -30 -40 -50 -60 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 t h 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2
15. Op tijdstip t 0 is de hoeveelheid water 1000 liter. t t t 1000 50 0 50 1000 20
Xmin 0, Xmax 25, Xscl 1, Ymin 0, Ymax 1100 en Yscl 50
16.
a. De grafiek moet een verticale asymptoot hebben bij x 4 en een horizontale asymptoot bij y 2. b. Chris heeft geen haakjes gezet om x 4 .
Chris f x x x 1 1 ( ) 2 4 2 c.
17. f(x): Xmin 3, Xmax 10, Ymin 1, Ymax 5 g(x): Xmin 5, Xmax 5, Ymin 2, Ymax 10 h(x): Xmin 10, Xmax 20, Ymin 0, Ymax 10
18.
a. Ymin 500, Ymax 300
b. Nee! De toppen laten we uitrekenen met 2nd trace optie 3 (minimum) en optie 4
(maximum). De nulpunten met 2nd trace optie 2 (zero).
maximum: (-0.08, -4.96) minimum: (4.08, -41.04) nulpunt: (6.29, 0) c.
19.
a. De grafiek snijdt de x-as drie keer.
b. 2nd trace optie 2 (zero): x 1,42, x0,51 en x 1,14
c. 2nd trace optie 4 (maximum): (-0.88, 3.61) en optie 3 (minimum): (0.88, -0.61) 20.
a. Voer in: y 1x4 x
1 2 5 1 zero: x 0,20 en x 2,08
b. maximum: (1.36, 4.09)
21.
a. Karlijn heeft het goed ingevoerd. b. y (2 )x 220 2 2x 20
c. Je mag voor x alle waarden invullen; D :f ¡
De kleinste waarde dat x2 kan aannemen is 0. Het bereik van f is
19, .d. x2
2 20 0 Voer in: y x2
12 20 zero: x 2,08 en x 2,08 22.
a. Bijvoorbeeld: Xmin 10, Xmax 10, Ymin 10 en Ymax 20 b. Voer in: y x2 x
1 6 en y2 3 x 7
2nd trace optie 5 (intersect): x 7,52 en x 1,04
x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5
23. Om een grafiek helemaal op het beeldscherm te krijgen kun je in het window de x-waarden instellen en vervolgens zoom optie 0 (zoomfit) te gebruiken. Daarna kun je in het window kijken wat de y-waarden zijn.
a. Nulpunten: x 5,32 x 1,32 Top: (-2, -11)
b. Nulpunten: t 0,5 t 0 t 0,5 Toppen: (-0.29, 9.62) en (0.29, -9.62) c. Nulpunt: q 12,61. Een exponentiële functie heeft geen toppen.
d. Nulpunten: p 14,76 p20,06 Top: (2.65, 13.42)
24.
a. Voer in: y x
113 1,08 en y2 25
b. 2nd trace (calc) optie 5 (intersect): x 8,50
c. x8,50 25. a. x 3,46 b. n 0,41 c. moet zijn: 3 x 0,5x1 x 0,13 en x 31,87 d. t 233,21 26.
a. Het antwoord van Annet is exact. Yvonne heeft haar antwoorden afgerond. b. Die van Annet zijn de exacte antwoorden.
27. a. x x 3 4 b. 2 (x x23 ) 2x x34x c. x 1 x1 x x x x x x x x 2 2 3 4 4 3 0 ( 3)( 1) 0 3 1 x x x x x x x x x x 3 2 3 2 2 3 2 6 2 4 6 4 0 2 (3 2) 0 0 x x x x x x x x x 2 2 2 1 1 3 2 0 ( 2)( 1) 0 2 1 d. x x 2 2 2 1 x x x x x x x x x x 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 0 ( 2)( 1) 0 2 1 1 1 28. a. 5 2 x2 0 b. x2 x 1 0 c. 2x2 x 3 0 x x x 2 2 1 2 1 1 2 2 2 5 2 2 2 x x x 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 0 5 , 5 5 , x x x 1 en x 2 (2 3)( 1) 0 1 1
29. a. Omtrek 1 2 2 1 3 en Opp 1 2 1 2 4 (1 ) 2 b. r 6.400km Omtrek 26400 40.212 km. c. Dat zegt niet zo veel hoe groot dat nu eigenlijk is.
30.
a. Omdat de coëfficiënt voor x2 positief is, is de grafiek een dalparabool. De grafiek
heeft dus nog een nulpunt. b. x 1,3
31.
a. Voer in: y x2 x
12 4 zero: x 1,19 en x 1,69
b. Dat doen we dus niet! c. x 1 1 4 4 33 32. a. y10,02x35 en y2 500 0,01 x intersect: x 15.500 b. 0,02x35 500 0,01 x x x 0,03 465 15.500
c. De vergelijkingen 3 en 4 kun je ook algebraïsch oplossen.
3. 23 3 1,5x50 4. x23x 4 x x x 1 3 8 4,5 50 4,5 42 9 x x x x x 2 2 1 1 2 2 3 16 3 16 0 1 73 d. Voer in: y x3 x2 1 2 en y2 15 intersect: x 1,95 33.
a. De vergelijking heeft drie oplossingen.
b. x 1 en x 1: f( 1) 0 ( 4) 2 0 4 0 g( 1) en f(1) 2 ( 2) 2 8 4 2 g(1) c. (x1)(x3)2 4 (x1) x x x x x x x 2 1 0 ( 3) 4 1 3 2 3 2 1 5 34. a. (x2) (22 x 1) (x2) (2 x2) b. (x2) (22 x 1) (x2)3 x x x x x 2 ( 2) 0 2 1 2 2 1 x x x x x 2 ( 2) 0 2 1 2 2 3 c. (x 3) 2x 2x 6 2 (x3) d. x x x x2 4 1 16 4 4(4 1) x x x x 3 0 2 2 3 1 x x2 1 4 1 0 4 x x x x 2 1 1 4 4 1 1 2 2
35. De grafieken zijn niet goed getekend. Moeten nog 1 naar rechts verschoven worden.
a. Het randpunt van f xb( ) is (3, b). Dus de middelste grafiek hoort bij b 0 .
b. Bij de bovenste grafiek hoort b 2 en bij de onderste b 1 2
2 . c. 3 x 0 x 3
d. Ik ga er vanuit dat de bovenste grafiek A is en de onderste C. BC : 2 ,
21 e. De grafiek C moet 1 2
4 omhoog verschoven worden. f. Dan moet je de grafiek 1
2
2 3 omhoog verschuiven.
36.
a. De grafiek van f moet verticaal vermenigvuldigd worden.
b. ga(0)a 0 4 2a 4
a 2
37. g(x): 4 omlaag verschuiven.
h(x): vermenigvuldigen t.o.v. de x-as met factor 4 i x x x x 1 9 2 2 2 1 1 1 ( ) (3 ) 9
: vermenigvuldigen t.o.v. de x-as met factor 1 9. j x x x x 2 2 2 1,4 1,96 1 ( ) 1,96
: vermenigvuldigen t.o.v. de x-as met factor 1,96.
38. a. f x( ) 2 x 1omhoog y 2x 1 Vx as , 3 y 3(2x 1) 3 3 2x b. f x( ) 2 x Vx as , 3 y 3 2x 1omhoog y 1 3 2x 39. a. f x( ) 2 x 1 Vx as , 2 y 2 (2x 1) 4x 2 4omlaag y 4x6 b. f x( ) 2 x 1 2omlaag y 2x 3 Vx as , 2 y 2 (2x3) 4 x6 40. Vx as omhoog g x x ,1 x x x y x 2 1 1 1 2 2 ( ) 4 2 ( 4 2) 4 1 1 x as V omhoog g x x x ,1 y x x x 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) 4 2 4 1 ( 4 1) 4 41.
a. Kijk voor verticale asymptoten waar de noemer 0 wordt: 2x 0 voor alle waarden van x, dus de noemer
is altijd groter dan 1. b.
c. Voor grote positieve waarden van x is 2x heel erg
groot: x x x x y 8 2 2 1 1 2 2
. En voor grote negatieve waarden van x is 2x bijna 0:
x x y 8 2 8 8 1 2 1 d. B :b 1,8 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 -4 -6 -8 -10 -12
a 5
a
1 22
a
3
x y 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -342. a. x 2 0 x 2 en R(-2, -2) b. Voer in: y x2 x 1 2 7 2 maximum: (1.01, 13.12) c. B :f ,13.12
d. 4 b 0 b 4 e. g( 4) 16 a 0 0 a 16 f. Het randpunt is bij x 3 , dus b 3.Door (12, 0): g(12) 144 a 7 12 3 123 a 0, dus a 123 . 43. a. b. x 1 2 0 4 c. a a f (0) 2 0 4 x x x 1 2 1 2 1 2 4 4 4 a a 2 4 8 d. a a f ( 3) 2 3 4 3 a a 3 4 3 2 ( 3 4)( 3 2) 5 2 3 44. a. b. D :f , 1 1, en B :f ,2 2, c. x x 3 2 3 1 1 x x x x x x x x x x x x en 2 2 3 3 3 1 3 ( 1)(3 3 ) 3 6 3 3 6 3 ( 2) 0 0 2 (0, 1) ( 2, 5) d. Voer in: y x 1 3 2 1 en y x x 2 2 12 intersect: ( 4.39, 2.88), ( 0.79, 12.17) en (3.18,1.28) e. f x Vx as y omlaag y x x x , 3 3 9 12 9 ( ) 3 (2 ) 6 18 1 1 1 45. a. Voer in: y1 3 x 1x 2 minimum: y 3,91 B : 3.91,f
x y 2 4 6 8 10 12 14 -2 -4 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 x y 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5b. x x x 1 4 1 3 3 2 x x x 1 4 2 1 2 2 4 2 2
c. Voer in: y2 2x intersect: x 3,12
46. a. t x x x 2 2 1 b. x 1 2 2 1 1 A(4, 6) x x 1 2 2 4 AOB AOB 1 2 1 1 2 tan 1 tan (1 ) 56 o
c. Voor grote waarden van x nadert t naar 1. d. AOB nadert dan naar 45o.
47.
a. Grafiek C is een bergparabool. Daar hoort de functie f bij.
Grafiek A is een hyperbool. Daar hoort een lineair gebroken functie bij: g. Grafiek B hoort bij een wortelfunctie vanwege het randpunt. Dus h.
Grafiek D hoort bij een exponentiële functie: m. b. f: D :¡ en B : ,10
g: D : ,4 4, en B 1 1 2 2 : ,2 2 , h: D : ,5
en B : 0,
m: D :¡ en B : 0, 48.a. De lengte is x en de breedte van het kruis is de totale lengte van het vierkant min 2 keer de lengte van de arm van het kruis: 10 2 x.
b. R x( ) 4 x (10 2 ) 40 x x8x2
c. Elk geel vierkant heeft een oppervlakte van x2. Het middelste vierkantje heeft een
oppervlakte van (10 2 ) x 2. Dus G x( ) 4 x2(10 2 ) x 2.
d. R x( )G x( ) 40 x8x24x2(10 2 ) x 240x8x24x2100 40 x4x2 100 e. G x( )R x( ) 50 ABC formule x x x x x 2 2 1 2 40 8 50 8 40 50 0 2 f. 4x2 (10 2 ) x 2 4 (40x8 )x2 Voer in: y x2 x 2 14 (10 2 ) en y x x 2 2 4 (40 8 ) intersect: x 0,56 x 4,44
T-1.
a. D :f ¡ en B :f ,5
c. D :h ¡ en B : 3,h b. D :g ,8
en B : 2,g
d. D :k ,3 3, en B :k , 2 2,T-2.
a. horizontale asymptoot (grote waarden voor x invullen): y 2 verticale asymptoot (kijk waar de noemer 0 is): x 3
b. x2 3 0 voor alle waarden van x. De grafiek heeft geen verticale asymptoten. T-3.
a. Xmin 10, Xmax 30, Ymin 30 en Ymax 100 b. Xmin 40, Xmax 30, Ymin10 en Ymax 40 c. Xmin 5, Xmax 2, Ymin 40 en Ymax 100 d. Xmin 10, Xmax 15, Ymin 60 en Ymax 100
T-4.
a. Voer in: y 1x3 x
1 2 3 8 zero: x 3,29
b. maximum: (-1.41, -5.17) en minimum: (1.41, -10.83) c. Voer in: y2 4 intersect: x 3,57
d. Voer in: y2 3x7 intersect: x 3,38 x 0,17 x 3,54
T-5. a. 3 4x 1 5 16x2 9 24x 8 4 x 10 x x x 4 3 17 18 9(4 1) 25 36 34 x x x x x x x 2 2 3 4 16 24 9 0 (4 3) 0 x x x 4 2 4 4 0 x x x x x x 2 2 4 ( 3) 4 4 0 ( 2) 0 x 2 b. B: Voer in: y x 2 18( 2) en y x 3 2 1 intersect: x 11,13
C: Voer in: y1 6 0,8x 3 zero: x 3,11
T-6. a. Vx as omlaag f x x ,1 y x x y x 2 3 3 1 3 3 3 2 ( ) 2 4 (2 4 ) 1 2 2 2 b. Vx as omhoog f x x , 1 y x x y x 2 1 3 1 3 3 3 2 ( ) 2 4 (2 4 ) 1 2 2 of: omlaag Vx as f x x y x , 1 y x x 2 2 3 3 1 3 3 2 ( ) 2 4 4 4 2 T_7.
a. Grafiek 1 is een rechte lijn. Daar past een lineaire functie bij: k(x). Grafiek 2 past bij een exponentiële functie: f(x).
Grafiek 3 is een hyperbool. Daar past een lineair gebroken functie bij: h(x). En grafiek 4 heeft een randpunt en past dus bij een wortelfunctie: g(x).
b. A: k(0) 3 A(0, 3) C: f (0) 3 C(0, 3) B: 1x 2 3 0 D: 9 2 x 0 x x 1 2 3 6 B(6, 0) x x 1 2 2 9 4 D(4 , 0)21
c. grafiek 2 heeft een horizontale asymptoot: y 0 en grafiek 3: y 1.
d. f: domein: ¡ bereik: 0, g: domein: 1
2 ,4 bereik:
0, h: domein: ,2 2, bereik: , 1 1, k: domein: ¡ bereik: ¡ e. 3 1,5 x 10Voer in: y1 3 1,5x en y2 10 intersect: x 2,97 Dus: x 2,97 T-8. a. ASAD SD 6 a APS Opp 1 a a a 1a2 2 (6 ) 3 2 b. O a a 1a2 a a2 2 ( ) 36 4 (3 ) 36 12 2 c. Voer in: y x2 x 12 12 36 minimum: y 18
De oppervlakte is minimaal als x 3 . d. domein: 0 a 6 en bereik: 18O36
e. Voer in: y2 30 intersect: x0,55 en x 5,45
