De berekening van eigenfrequenties van enkelvoudig gekoppelde massa-veer-systemen

De berekening van eigenfrequenties van enkelvoudig

gekoppelde massa-veer-systemen

Citation for published version (APA):

Groeneveld, G. (1962). De berekening van eigenfrequenties van enkelvoudig gekoppelde massa-veer-systemen. (DCT rapporten; Vol. 1962.007). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1962

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

I

De berekening van eigenfrequenties van enkelvoudig gekoppelde

massa-veer-systemen.

door G. Groeneveld

Inleiding.

Een in de praktijk veelvuldig voorkomena trillingsprobleem

is de

berekening van de eigenfrequenties

van enkelvoudig gekoppelde aas-

saveersystemen.

Onder een dergelijk systeem zullen we verstaan een keten van

n

massa's, ieder met één graad van vrijheid, waarbij de

ke

massa met

veren verhonden

is

aan

de (k- 7 > e

massa en oe

(k

+

-I > e ?tlassz. ye

eerste en de laatste massa van de keten mogen

al

dan niet met een

veer aan de aarde verbonden zijn. Het meest voorkomende toepassings-

gebied is dat van de

torsietrillingsberekeningen

van assen met mas-

s a t s o

Voor

de bepaling van de eigenfrequenties van deze systemen

zijn

vele methoden bekend. Men zie hiervoor o.a.

K.

Klotter: Analyse der

verschiedenen Verfahren

eur

Berech

g

der

Torsionseigenschwingungen

.~.-.n

.-_.

M n o n h i n I.-yvI

-..enwellen,

Ir,g.-nrcY.

u&.

17 (?749>

s.

1 , sâaï

eeji zeer

uitvoerig overzicht wordt gegeven van alle tot dat tijdstip bekende

methoden.

In de meeste motorenfabrieken zijn er van deze methoden slechts

gewoonlijk worden gebruikt bij de berekening van de torsle-

n, namelijk de methode

B

zer

(ook genoemd naar Tolle resp.

Geiger) en de nethode Gramme1 (in hetzelfde artikel, 5-12 en

S.21).

Met de methode Holzer kan men niet alleen de eigenfrequenties bepa-

len, doch verkrijgt men (als bijproduct) tevens de relatieve

ampli-

tuden van de n massaes (de eigenvectoren) en de relatieve maximale

krachten (momenten) in de n - I veren (assen). Deze laatste gegevens

zijn voor de motorenfabrikanten van groot belang.

Zo

eisen de grote

verzekeringsaaatschappijen

(Lloyd's, Veritas) voor alle motoren op

schepen de volledige Holzertabellen alvorens een verzekering voor

een schip aan te gaan.

Met de methode Grammel worden u i t s l u i t e n d de e i g e n f r e q u e n t i e s be-

p a a l d . Bovendien i s de methode i n haar gebruik beperkt t o t homo- gene systemen (onderling g e l i j k e massa's, verbonden door g e l i j k e veren), waaraan toegevoegd hoogstens twee massaes d i e daarvan af- wijken. Het v o o r d e e l van de methode Grammel

is

d a t deze methode v e e l s n e l l e r werkt.

Een v e r g e l i j k i n g van d e t i j d e n , benodigd v o o r h e t berekenen

van

een systeem met bovengenoemde methoden, g e e f t C.E. Biezeno:

K o r t e opmerking naar a a n l e i d i n g van de methoden Geiger en Grammel t e r berekening van de e i g e n f r e q u e n t i e s van machines; de Ingenieur

1946,

no.

2 3 ,

pag. 019. H i e r i n worden d e t i j d e n genoemd, benodigd

voor h e & beiekenen van een systeem bestaande u i t twee i d e n t i e k e

motoren, d i e gezamenlijk v i a een tandwielkoppeling een g e n e r a t o r a a n d r i j v e n , Het gekozen voorbeeld is dus n i e t een enkelvoudig ge- koppeld massa-veer-systeem, doch kan vanwege de symmetrie eenvou- d i g t o t twee van deze systemen worden h e r l e i d .

Als

_{rekenhulpmid-}

d e l werd een tafelrekenmachine g e b r u i k t .

Met een e l e c t r o n i s c h e rekenmachine kan de v r i j g r o t e r e k e n t i j d

van

de methode Hofzer u i t e r a a r d b e l a n g r i j k sorden b e k o r t .

Het

h e t oog h i e r o p is het 7qHoïzer"-programma vGor de I.B.M. IbCü gemaakt. De methode Holzer is gekozen en n i e t d e methode Grammel,

o.a.

om-

d a t de e e r s t e methode meer i n f o r m a t i e g e e f t .

Het programma kan de e i g e n f r e q u e n t i e s en eigenvectoren bepalen van

ieder systeem van

n

massa's, waarvoor g e l d t n

<

100. De nauwkeurig- heid van d e antwoorden kan worden gekozen

t o t

ca. maal de

hoogste e i g e n f r e q u e n t i e . Voor technische toepassingen i s een zo g r o t e nauwkeurigheid u i t e r a a r d overbodig.

De t i j d w i n s t i s inderdaad a a n z i e n l i j k , z o a l s u i t onderstaand s t a a t j e

b l i j k t , waarin c?e t i j d e n

vm

Yiezenc? v e r g e l e k e n sorden met de t i j d e n

d i e

met

behulp van de 1.B.M. z i j n gemaakt. De t i j d w i n s t wordt nog v e e l g r o t e r , indien men meerdere systemen moet berekenen. Men behoeft dan op de I.B.M.

1620

n a m e l i j k n i e t weer h e t prograrna i n h e t geheu- gen v a n de rekenmachine t e laden.

WE-62/7

I11

Tafelrekenmachine: Methode Holzer:

ieder volgend overeenkomstig systeem:

Tafelrekenmachine: Methode Gramnel:

ieder volgend overeenkomstig systeem:

I.B.M.

1620: Methode Holzer:

ieder volgend overeenkomstig systeem:

22.30 uur;

22.30

uur.

4.30 uur;

4.30

uur. 1.10 uur;

20

min.

Wiskundige achtergrond.

Het in de inleiding omschreven technische probleem komt wiskundig

gezien neer

op

het bepalen van de eigenwaarden en eigenvectoren van

de volgende vergelijking:

( C -

I

.h)a

= O

Hierin

is

C

een triple=diagonale

nan 'matrix van de ~ o z m :

- - - _ - - -

O

-

c1

-

Cl 01 +

c2

-

c2

- - -

- - - _ _

-

c2

c2

+ c 3

-

c3

O I I I I I I I I : : i i - e I I I 1 I I I I

n

+ e I I I

-

n

'

n

'

n+ i I

met c

> O

(i

=

1

..

n), co

a 0

en c

> O *

i

n+t

P

is een n-dimensionale diagonaalmatrix met elementen

Ii

' 0 %

De waarden van

c

I.

zijn de massa's;

h

=

w2

zijn de eigenwaarden met f

c

-

de eigen-

1

2 n

frequenties van het systeem; a is de eigenvector.

Zoals

bekená heeft een dergelijk systeem steeds n reële positieve

eigenaaarden. Het is namelijk zeer gemakkelijk in te zien dat de

matrix

C

positief definiet is,

De eigenwaarden en eigenvectoren worden bepaald door

a,

=

1

te nemen

en een ¶aarde voor h te proberen. Uit (co

+

cl

-

I,,Qa?

-

c,a2

=

O

wordt

a2

berekend enz.; uit

-

c

a

+

(en

+

c

-

I

A)an

=

M

volgt net

z.g.

restmoment R,

Door

nu Ate variëren kunnen we

die

waarden

vinden, waarvoor geldt

M = O.

Dit

zijn de eigenwaarden.

De bij

\

gevonden

ai

zijn de bijbehorende eigenvectoren.

zijn de genoemde veerconstanten; de waarden van

o

i

WE-62/7

IV

De eigenvectoren worden door het programma niet genormeerd. Een dergelijke normering, bijvoorbeeld volgens

1.

a ? =

1

wordt in de werktuigbouwkundige toepassingen niet gebruikt.

n

"Holzer'9 programma voor de

1.B.R. 1620.

er" programma dient tot het bepalen van de eigenfre-

en eigenvormen van een reeks door veren achter elkaar

e

massa'sl

zoals o.a.

voorkomen bij torsietrillingen

van assen met schijven.

rt bevat een gebruiksaanwijzing voor gebruikers, die

enige (eventueel zeer geringe) ervaring met de 1,B.M.

1620

re-

kenmachine hebben.

Er wordt geen uitvoerige beschrijving van het programma gege-

ven; voor het gebruik is dit niet nodig. Evenmin is voor het

gebruik ook maar enige kennis nodig van het blokschema, dat

in

dit rapport is opgenomen. Dit blokschema is bijgevoegd, ter ver-

Tângfng vau de beschrijving,

voor hen &ie ïñeer van de berekenings-

wijze wensen te weten.

*

In

Appendix

I

is

opgenomen een beschrijving van de Floating-

Point notatie van getallen.

In Appendix

11 is de geheugenplaats van @en aantal gebruikte ge-

tallen gegeven.

A. Bet maken van de band met gegevens (Flexowriter).

Op deze band moeten in genoemde volgorde komen

te

staan:

I.

N

( 3 cijfers)

= aantal massars

(massatraagheiästnomenten),

tot een

m a x i m u m

van

100;

gevolgd door een

end- of line-teken (e.0.L).

(iede

7 0

cijfers i

a

Floating-Point nota-

2 ,

I(i), i

=

1

.-.

tie

(F.P.)

**

5

massafsi resp.

~~6satraagheic;siiiouient.ea;

de

laatste gevolgd door een e.o.1.

*

E'en

volledige lijst

met

alle opdrachten bevindt zich in

h e t

är-

chisf bij de rekenmâckiïïe,

- 2 -

-62/7

), i

=

'i . a - Iq

+

1 ( i e d e r

10

c i j f e r s i n

F.P.)

den van de veren, resp. s t e gevolgd door een

e.

sprong waarmee de bere wordt u i t g e v o e r d

**;

gevolgd d

c i j f e r s i n

F.P.)

c i j f e r s i n

F.P.)

=

k l e i n s t e sprong waarmee d e be u i t g e v o e r d (nauwkeurigheid

van

door een e-o.l.

De

lijst

v o o r nevenstaande gegevens z i e t

er

u i t a.v.

n

o o 3 f

~ 4 1 2 5 0 0 0 0 0

5 4 1

2 5 0 0 0 0 0

5

4

3 6

3

0 0 0 0 0 f 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ~ 5 1 ~ 0 0 0 0 0 0 5 3 7 7 3 0 0 0 0 ~ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ~ 5 4 1 0 0 0 0 0 0 0 f

s e 2

G e s c h a t t e laagste e i g e n f r e q u e n t i e

wt

=

150

rad/sec( neem

A

k j 0 2

~3

loo0

G e ë i s t e nauwkeurigheid ca.

1

rad/sec=

5

1

Ha,

dus E ~ 1 : I radysez? 5 -I 1 O O 0 O O O 0 f

B.

H e t laden

van

d e programmaband en van d e gegevens.

1. Geheugen schoonmaken; Druk op knop %-esetst. Druk OP knop f'&nserttx e

Tgpe

3

4 O O O O

3

O O O O

2.

D r u k op knop "release1'. Druk op knop "starttt.

D r u k

(na

enige seconden) op knop "instant stop".

*

Normaal is C(1)

=

C ( N + 1 )

=

O; h e t

is

e c h t e r t o e g e s t a a n een

van

b e i d e of a l l e b e i

#

O t e nemen; h e t systeem is dan met een s e e r (twee veren) a a n d e aarde gekoppeld,

* *

Wen k i e s e

A

6

08

en

A

=-

0,0207 ( en w2 z i j n s c h a t t i n g e n v o o r de

- 3 -

1 5 0 4 8 3 9 o o o o f

1 5 0 4 8 5 1

o o o o f

1 5 0 4 8 6 3 0 0 0 0 f 1 5 0 4 8 7 5 0 0 O O f 1 5 0 4 8 8 7 0 0 0 o #

~ 5 0 7 6 4 y 0 0 0 0 1

4 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 9 0 4 8 2 8

ease, start, De nachine is nu klaar voor de bereken

en alle snitches op "O staan.

Is

raen allee9 ge de eigenfrequenties, dan moet switch

4

op erOn", de erzijde van het papier tabulatorstop gorden ge

chillende omstandigheden voordoen, die door de

- 4 -

WE-62/7

iner

dan

N

c 'i, dus

rtknop

t e

drukken b

waarden

C(i)

d i r e

3 1

% . i O 0 1 O 0

r d e

lijst

C c i ) .

kheden

kiezen,

SW. 1 op riOntr,

swI

ff",

start,

De

bereken&

I De machine schrijft,

w

met

de b e r e k e n h g i op r e l e a s e e a

waav

h5.j w a s drukt s e n op r e opnietlter (2.4,).

dan gaat de berekenlag

v

dë

vier

mogelijkheil s o e t Wesëq, baiïgt a f b e r e k e n b g h e e f t , H e e f t

d

%en

2

h e e f t g

raen eonder t y ease

en

start

d r u k t , POP

W%62/7

- 5 -

:

stand wordt uitsluit

bereikt, indien ogenbli

na

schrijven

(ai

dan niet van een oplossing, zie mog

Î

op

ttOnli

staat.

id

2.2)

n

kan uit vijf mogelijkheden kiezen:

. I . Sw. 1

op

"Offl*,

sw.

2

op

'*Off**,

start: De berekeni

normaal door met

als sprong de op dat ogenblik gel

2. en

3.3. Sw, 1 op liOff*l,

aw.

2

op "On", start: De

b

schrijft de waarde van de sprong:

Û,1

A

en stopt.

Men

kan de waarde telkena met een factor

10

door 88.

I

op "On" te zetten en op start te

Zet men

sw. 1

op

*<Off", SW.

3

op

T*Off'l

en start, dan

gaat de berekening verder met de getypte sprong, daar,

waar hij gebleven

was (5.2j; eet men swl

Î op ttûff!'

en

SW.

3

op ''On", dan start de berekening opnieuw, nu

met de getypte sprong

(3-3).

3.4.

en

3.5.

Sv. 1

op "On", start: Deze mogelijkheden zijn identiek

met

2-3

en

2.4.

D.

Enige voorbeelden.

Indien een berekening niet geheel naar wens verloopt, wordt onher-

roepelijk op aeker rnoment geschreven: Uw sprong

is onjuist. Zie aan-

wijzing

2 .

Aan de hand van enige voorbeelden worden de mogelijkhede9

2.1

tot en met

2.4

en

3.1

tot en met

3.5 besproken.

We gaan er daarbij van uit dat swI

4 op

" O f f "

staat, zodat o.a,

ook

de aniplitnden A(i) van de oplossingen worden geschreven. Aan deze

amplituden kan men zien, welke oplossingen zijn geschreven: bij een

vrij systeem

( C ( 1 ) E C(N+I)

= O

)

komen bij de tweede eigenfreguen-

tie n tekenwisselingen in de waarden A(i) voor. We kiezen voor al onze

voorbeelden een torsietrillingssysteem met

6 schkjven, C<I)=C(7)=0, dus

er-

zijn

5

eigeafrequenties.

- 6 -

f t d r i e e i g e e n t i e s geschreven e n s t o ongen. U i t i n s p e c t i e de waarden A ( i f b l i j k e n

en f requen

t i e t e

geschreven.

ode

2.4

zonder ieuwe

A

t e typen en

zet

op ‘‘On‘*. De machine s c h r i j f t de l e e i g e n f r e

t e hebben geschreven: Z i e aanwijzing

3

voor

ode

3.1

en z e t

sw.

1

weer op ftOn**. De machine 8

f r e q u e n t i e t e hebben geschreven, Gebruik n sprong b i j v o o r b e e l d O,?

A.

De kang is g r o o t d a t de berekening v e r d e r , = e t SIP. 1,2 en

3

op

“Off“ normaal v e r l o o p t .

E v e n t u e e i b n men

t o t

na h e t opnieuw S c h r i j v e n van d e

2e

eigen- f r e q u e n t i e

sw.

4

op “On” z e t t e n t e n einde t i j d t e besparen, Voorbeeld

2:

De niachine h e e f t de l e , 2e, 3 e en 4e e i g e n f r e q u e n t i e geschreven en s t o p t . Gebruik methode

2.1.

E a l p t d a t nog n i e t , dan

2.3

niet

b i j v o o r b e e l d een 100 x zo g r o t e s t a p . Voorbeeld

3:

De aachine h e e f t d e l e ,

2e

en _?e e i g e n f r e q u e n t i e geschreven en

s t o p t . Men weet nu n i e t , o f men nog vóór d e 4e of n a d e 5 e eigen- f r e q u e n t i e z i t . Gebruik methode

2.2.

B l i j k t men

na

d e 5 e eigen- f r e q u e n t i e t e z i j n g e s t o p t , dan Jmn men volgens voorbeeld

1

t e werk gaan. Z i t men v86r d e 4e eigenfrequentie, dan h e e f t men w e l een aanwijzing

u i t

de geschreven tussen-waarden, of men methode

3.1

(normaal doorgaan) dan w e l methode 3.4 (doorgaan

met

een gro-

t e r e sprong) moet kiezen. Voorbeeld 4:

De a a c h i n e h e e f t de >e:

4e

en ?e e i g e n f r e q u e n t i e s t o p t . Men kan nu, h e t z i j met methode

2.4

o f met

3.3,

opnieuw beginnen met een k l e i n e r e sprong. Toorheold

5:

-

zesohreven

en

methode

2-2

en

De rnacbine h e e f t n i e t s geschreven, E e t methode

2.2

k a n men z r e e

of d e

A

t e k l e i n , dan w e l t e g o o t w a s ; met methode

3.5

opnieuw beginnen met een nieuwe

A

en e v e n t u e e l een nieuwe c(eventuee1, i n d i e n

A

s l e c h t s weinig t e k l e i n w a s voor d e e e r s t e eigenfrequen-

- 7 -

n

de berekening u i t g e met SW.

4

op

"On",

dus

e A ( i ) en H ( i ) t e SC n, dan zal men s t e e d s

2.2

k i e z e n met sw.

4

op 'tOffls t e n einde t e weten n, vaar de berekening

is

g e s t o p t .

- 8 -

ing-Point n o t a t i e i s ulpmiddel on i n een g e t a n op een voor de rekenma van de komma a a n t e

e g r i j p e l i jkell

wijze.

1 N wordt h i e r t o e ge en als

N*

. I O

E

met

O

B N'

Q 0,99999999 s t e e d s met

8

c i j f e r s g e s het zo verkregen g e t i n F 2 . geschreven, *

=

5212300000 O,?

=

0,10000 -i 5010000000 6500000

=

0,987

= 6098765000

=

4312345000

ing-Point n o t a t i e i s ulpmiddel on i n een g e t a n op een voor de rekenma van de komma a a n t e

e g r i j p e l i jkell

wijze.

1 N wordt h i e r t o e ges en als

N*

. I O

E

met

O

B N'

Q 0,99999999 t e e d s met

8

c i j f e r s g e s het zo verkregen g e t i n F 2 . geschreven, * : 12,3 =0,12300

=

5212300000 O,?

=

0,1000 -i 5010000000 6500000

=

0,987

= 6098765000

=

4312345000 n op deze w i j z e a l l e p o s i t i e v e g e t a l l e n s c h r i j v e n w a a

0.1

.

IOm5'

<

pf Q 0,99999999 daar steeds moet

n aan O 6 E + 5 0

<

99. Een g e t a l i n F.P. b e v a t s t e a d s b i j v o o r b e e l d

0310000000

=

0,l e 10-47,

t a l O wordt geschreven

als

0000000000.

N e g a t i e v e geta

'IOe

a ü n g e g e ~ e û niet eeil streap (Slag) boven h e i laatsta

e

# b i j v o o r b e e l d

- 1

t a l l e n u i t n e t een z e l f d e flag boven he& e e r s t e c i j f e r

* )

b i j v o o r b e e l d

-

59753 =

5157530006.

=

511000000~. Voorts s c h r i j f t de machine a l l e ge-

*

Voor àe i n v o e r van a i l e g e t a i î e n i n E.P. i n de machine

is

het

in p r i n c i p e nodig, s t e e d s een f l a g boven het e e r s t e c i j f e r t e p l a a t s e n . Het rsHolzerll-programma

zet

deze flags e c h t e r z e l f ,

- 9 -

W E

enomen

van

h e t eerst

Geheugenplaats le oijfer

02201 enz.

enz.

steeds ieder dezer getallen UitsohrijTen door: rese type

35

...*.

00700, selease,start, instant,stop,

steeds een programma opnieuw starten door: reset, insert,