Glasshelder : punt van kritiek op het onderzoek van Kyrtsou en Labys (2006)

UNIVERSITEIT VAN AMSTERDAM

Glasshelder

Punt van kritiek op het onderzoek van Kyrtsou en Labys (2006)

Olivier Ajamlou 10465812 begeleid door

Professor doctor C.G.H. Diks

Bachelorscriptie en afstudeerseminar Econometrie 23-12-2015

2

Inhoudsopgave

2.4 Variance Inflation Factor (VIF) ... 5

3 Opzet van het onderzoek ... 7

3.1 Lineariteit ... 7

3.2 Datatransformatie ... 10

3.3 Nieuwe niet-lineaire term ... 12

3.4 Regressie na datatransformatie ... 13

4 Resultaten van het eigen onderzoek ... 17

5 Analyse ... 19

5.1 Regressies op basis van getransformeerde datasets ... 19

3 1 Inleiding

In de wetenschapswereld worden fouten gemaakt op basis van verkeerde aannames. Bakker en Wicherts (2011) hebben in 18% van de 281 onderzochte psychologische papers statistische fouten gevonden. Vaak werd na herberekening geen significantie gevonden, terwijl dit wel werd gevonden in de onderzochte papers. Er zijn redenen om aan te nemen dat fouten in bijvoorbeeld de rapportage van statistische resultaten geneigd zijn te stroken met de verwachting van de auteur. Meerdere studies hebben bijvoorbeeld aangetoond dat empirische resultaten afhangen van de gestelde

hypothese, aldus Bakker en Wicherts (2011). Kyrtsou en Labys (2006) komen in hun onderzoek tot de conclusie dat de log returns van de consumer price index (COMP) en de commodity price index (CPI) verbonden zijn op een niet-lineaire wijze. Deze conclusie lijkt overhaast gemaakt, en wordt daarom herzien in dit onderzoek. Samenvattend wordt er in dit onderzoek uitgezocht of er op basis van het onderzoek van Kyrtsou en Labys (2006) geconcludeerd mag worden dat er een niet-lineair verband bestaat tussen de log returns van de CPI en de log returns van de COMP. Aansluitend wordt naar een oplossing gezocht voor de fout die Kyrtsou en Labys (2006) hebben gemaakt. Hiervoor wordt de data gebruikt door Kyrtsou en Labys (2006) getransformeerd en wordt een alternatief op de Mackey-Glasstermen in het model van Kyrtsou en Labys (2006) gepresenteerd.

De structuur van deze paper is als volgt. In Hoofdstuk 2 wordt de benodigde theorie om dit onderzoek te kunnen volgen uiteengezet. Hoofdstuk 3 beschrijft de opzet van dit onderzoek, en Hoofdstuk 4 presenteert de onderzoeksresultaten. In Hoofdstuk 5 worden de resultaten

4 2 Theoretisch kader

In dit hoofdstuk wordt de benodigde theorie om het verdere onderzoek te kunnen volgen uiteengezet. Als eerste wordt het Mackey-Glassmodel gepresenteerd. Dit is nodig, omdat het onderzochte gedeelte van het onderzoek van Kyrtsou en Labys (2006) gebruik maakt van dit model. Aansluitend wordt het begrip Grangercausaliteit uitgelegd. Daarna wordt in het kort een

omschrijving van een datagenererend proces gemaakt, dit wordt gedaan om de lezer een goed begrip van het onderwerp mee te geven. Als laatste wordt de nut van de Variance Inflation Factor (VIF) uitgelegd, en de wordt beschreven hoe de VIF kan worden geïnterpreteerd.

2.1 Mackey-Glass-Garchmodel

In deze scriptie wordt gebruik gemaakt van het bivariate MG-GARCH model van Kyrtsou en Labys (2006). Kyrtsou en Labys (2006) zijn bij het maken van hun model geïnspireerd door de Mackey-Glassvergelijking. De Mackey-glassvergelijking wordt gegeven door:

De variabelen , zijn reele getallen, en representeert de waarde van de variabele x op tijdstip (t- ).

Het bivariate MG-GARCH model van Kyrtsou en Labys (2006) wordt gegeven door:

, (1a) , (1b).

De variabelen zijn reële getallen, en representeert de waarde van de variabele x op tijdstip (t) en representeert de waarde van de variabele y op tijdstip (t). De storingstermen en zijn iid.

De waargenomen dynamiek in financiële markten bestaat volgens Kyrtsou en Terraza (2003) uit twee delen: de intrinsieke deterministische dynamiek en willekeurige ruis. De intrinsieke deterministische dynamiek wordt in het model van Kyrtsou en Labys (2006) benaderd door alle termen behalve de witte ruis, en de willekeurige ruis wordt benaderd door witte ruis.

5 2.2 Grangercausaliteit

Kyrtsou en Labys (2006) toetsen met behulp van hun model op Grangercausaliteit. Heel algemeen is er sprake van Grangercausaliteit als er met behulp van een tijdserie een voorspelling gedaan kan worden op waardes van een andere tijdreeks. Bijvoorbeeld: Op tijdstip zal de waarde van in

zijn algemeenheid een random variabele zijn, en dus kan deze variabele gekarakteriseerd worden in de vorm voor een set A. Dit leidt tot de volgende algemene definitie van

Grangercausaliteit geformuleerd door Granger (1980). Als de set alle informatie van de variabele Y tot en met tijdstip n bevat, dan Y Granger causes X als:

met een beschikbare set van informatie op tijdstip n met en .

2.3 Datagenererend proces

Het doel van een econometrisch model is het voorzien van een redelijk accurate benadering van het datagenererende proces. Dit model laat minder relevante aspecten van de data achterwege, om zo de hoofdaspecten van het datagenererende proces inzichtelijker te maken. In de praktijk betekent dit dat het ware model, een model dat het datagenererende proces volledig accuraat beschrijft, niet bestaat. Als een model redelijk accuraat het datagenererende proces benadert kan dit model als representatie voor de werkelijke data gebruikt worden, aldus Heij et al. (2004, p. 87). Samenvattend is het datagenererende proces het werkelijke model. In de statistiek probeert men het werkelijke model zo goed mogelijk te benaderen.

2.4 Variance Inflation Factor (VIF)

De verklarende variabelen van een multiple regressiemodel zijn zelden totaal ongecorreleerd. In het geval dat er een sterke correlatie tussen de verklarende variabelen bestaat, wordt gesproken van multicollineariteit. Een gevolg van multicollineariteit is dat de standaardfouten van de geschatte coëfficiënten toenemen, aldus Ramanathan en Cotrell (2002, p. 216). De mate van multicollineariteit van een ordinary least squares (OLS) regressie kan onder andere opgespoord worden met de VIF.

Deze VIF drukt uit met welke factor de standaardfouten van de geschatte coëfficiënten van de andere voorspellers toenemen door opname van de betreffende voorspeller in het model. De wortel van de VIF geeft aan hoeveel groter deze standaardfouten zijn vergeleken met het geval dat de betreffende variabele ongecorreleerd zou zijn met de andere verklarende variabelen van het model.

6

Een maximum waarde van 10 wordt in de literatuur het vaakst aangeraden als een acceptabele VIF-waarde (Hair, Anderson, Tatham & Black, 1995; Kennedy, 1992).

7 3 Opzet van het onderzoek

In dit hoofdstuk staat een stappenplan om het onderzoek van Kyrtsou en Labys (2006) te controleren op fouten. Hoofdzakelijk wordt onderzocht of de significantie van de niet-lineaire termen, gevonden door Kyrtsou en Labys (2006), bewijs voor niet-lineaire Grangercausaliteit tussen de CPI en de COMP is. Verder wordt er een nieuwe niet-lineaire term gepresenteerd. Deze term wordt geïmplementeerd in het model van Kyrtsou en Labys (2006), waarna wordt onderzocht of deze implementatie een verbetering voor het model oplevert. Voorafgaand aan de aanpassing van het model wordt besproken wat de eigenschappen van de nieuwe niet-lineaire term zijn.

In dit onderzoek worden regressies uitgevoerd, deze zijn gebaseerd op de datasets gebruikt door Kyrtsou en Labys (2006). Hier volgt informatie waarmee de datasets te verkrijgen zijn:

(1)De CPI van 01-1970 tot en met 06-2002 (390 observaties). Het betreft de BLS (Bureau of Labor Statistics) CPI - all urban consumers (CUUROOOOAA0) index. (2) De COMP van 01-1970 tot en met 06-2002 (390 observaties). Het betreft de BLS (Bureau of Labor Statistics) PPI component for all primary commodity (WPU00000000) series.

Hier volgen de regressieresultaten van Kyrtsou en Labys (2006) die worden besproken in dit hoofdstuk en het verdere onderzoek:

In het verdere onderzoek wordt het voorgaande citaat, Tabel 4 genoemd.

3.1 Lineariteit

Enkele getallen van de regressieresultaten van Kyrtsou en Labys (2006), te zien in tabel 4, zijn opvallend. Ze doen vermoeden dat de niet-lineaire termen, op het bereik van de data, lineair zijn.

8 Waarom dit vermoeden ontstaat wordt besproken in Hoofdstuk 4. Om erachter te komen of dit vermoeden juist is, worden als eerste plots gemaakt van de niet-lineaire termen tegen hun onafhankelijke variabelen. Dus tegen

en tegen

, met en

. Deze plots worden weergegeven in respectievelijk figuur 1 en 2.

Figuur 1. g(CPI) Figuur 2. g(COMP)

Opmerking:

Ook worden de regressies die zijn uitgevoerd door Kyrtsou en Labys (2006) gedupliceerd. Er zijn twee redenen voor het dupliceren van de regressies. Ten eerste voor het verkrijgen van de

verklaringsfactoren . Ten tweede ter controle van de regressieresultaten die gegeven zijn door Kyrtsou en Labys (2006). In tabel 1 kolom (1) worden de regressieresultaten van de gedupliceerde regressie op basis van de dataset CPI weergegeven, en in tabel 2 kolom (1) worden de

9 Tabel 1

Regressie-uitkomsten 1

Tabel 2

10 Theoretisch gezien levert een regressie op een model met enkel lineaire termen hetzelfde op als een regressie op een model waar ook niet-lineaire termen in zitten, gegeven dat de niet-lineaire termen zich lineair gedragen op het bereik van de data waarop de regressie is uitgevoerd. De lineairiteit van de niet-lineaire termen die gebruikt zijn door Kyrtsou en Labys (2006) kan dus verworpen worden met resultaten verkregen met een regressie op dit model:

, , .

Dit model herleid met en geeft:

, (2a) , . (2b)

Immers als er minder verklaard wordt door model 2, het model zonder niet-lineaire termen, dan model 1, het model met niet-lineaire termen, volgt dat model 2 verschilt van model 1. Er zou namelijk geen verschil moeten zijn als de niet-lineaire termen zich lineair gedragen. In tabel 1 kolom (2) worden de regressieresultaten van de regressie, met CPI als dataset, op model (2a) weergegeven en in tabel 2 kolom (2) worden de regressieresultaten van de regressie, met COMP als dataset, op model (2b) weergegeven.

3.2 Datatransformatie

De niet-lineaire termen gedragen zich nagenoeg lineair op het bereik van de data. Als de variabele van de niet-lineaire term tevens in lineaire vorm als verklarende variabele wordt gebruikt ontstaat multicollineariteit. Een datatransformatie kan dit probleem verhelpen. Een datatransformatie waardoor het bereik groter wordt zorgt ervoor dat het bereik ook of meer in het niet-lineaire gedeelte van de niet-lineaire term valt. De transformatie om het bereik te vergroten wordt in dit onderzoek gedaan door de data te delen door de eigen standaarddeviatie:

Om te controleren of de niet-lineaire termen zich op dit bereik van de data meer niet-lineair gedragen, worden de niet-lineaire termen geplot tegen hun onafhankelijke variabele. Zie deze plots in Figuur 3 en 4.

11

Figuur 3. Figuur 4.

Opmerking:

Door deze transformatie zal er in theorie minder correlatie tussen de verklarende variabelen moeten zijn, en dus ook minder multicollineariteit. Om dit te controleren worden verschillende VIF-waardes berekend van de coëfficiënt . De datatransformatie wordt als volgt variabel gemaakt om het

verloop van de VIF-waarde te kunnen volgen:

In Figuur 5 wordt de VIF-waarde voor verschillende waardes van k weergegeven.

12 Het verband tussen de significantie van de coëfficiënt en de correlatie tussen de niet-lineaire

term en zijn lineaire variant wordt weergegeven in Figuur 6.

Figuur 6. Corr(g( ), ).

3.3 Nieuwe niet-lineaire term

De nieuwe niet-lineaire term wordt gegeven door

Deze term duikt sneller naar zijn asymptoot, de x-as, dan de Mackey-Glasstermen. De teller van de breuk varieert oneindig in waarde van -1 tot 1, desondanks zorgt de noemer ervoor dat de breuk voor grotere x waardes nagenoeg gelijk is aan 0. Om te controleren of de niet-lineaire termen zich op het bereik van de getransformeerde data niet-lineair gedragen, worden de niet-lineaire termen geplot tegen hun onafhankelijke variabele. Zie deze plots in Figuur 7 en 8.

13

Figuur 7. Figuur 8.

Opmerking:

3.4 Regressie na datatransformatie

Met de getransformeerde data, en , worden de volgende regressies gedaan, waarbij en = : , ) (3a) , (3b) , (4a) , (4b) , (5a) , (5b)

14 De regressie op model (3a) wordt gedaan, zodat geconcludeerd kan worden of de niet-lineaire termen daadwerkelijk significante invloed hebben op , zoals gesteld door Kyrtsou en Labys (2006). De regressie op model (4a) wordt gedaan naar aanleiding van een sterk insignificant

regressieresultaat van de regressie op model (3a). De regressie op model (5a) wordt gedaan om te onderzoeken of de nieuwe niet-lineaire term het model van Kyrtsou en Labys (2006), op deze dataset, ten goede komt.

De regressieresultaten van de regressies op de modellen 3a t/m 5a worden weergegeven in Tabel 3 kolom (1) t/m (3) respectievelijk.

Tabel 3

Regressie-uitkomsten van regressie met getransformeerde data.

De regressie op model (3b) wordt gedaan, zodat geconcludeerd kan worden of de niet-lineaire termen daadwerkelijk significante invloed hebben op , zoals gesteld door Kyrtsou en Labys (2006). De regressie op model (4b) is gedaan naar aanleiding van een sterk insignificant regressieresultaat van de regressie op model (3b), in combinatie met de ACF test op . Ook wordt in regressie (4b) de niet-lineaire combinatie van vervangen door de lineaire combinatie ervan, omdat de

niet-lineaire combinatie in de regressie op model (3b) niet significant verschilt van nul. De regressie op model (5b) wordt gedaan om te onderzoeken of de nieuwe niet-lineaire term het model van Kyrtsou

15 en Labys (2006), op deze dataset, ten goede komt. In Figuur 9 worden de resultaten van de ACF test op weergegeven.

De regressieresultaten van de regressies op de modellen 3b t/m 5b worden weergegeven in Tabel 5 kolom (1) t/m (3) respectievelijk.

16 Tabel 5

17 4 Resultaten van het eigen onderzoek

In dit hoofdstuk worden de resultaten, die uit het stappenplan van Hoofdstuk 3 volgen, benoemd. Het eerste wat opvalt is dat er 390 observaties per dataset worden verkregen in plaats van de 511 observaties genoemd door Kyrtsou en Labys (2006). Dit is opmerkelijk omdat de datasets afkomstig zijn van de door Kyrtsou en Labys (2006) aangegeven bronnen. Een regressie met de kleinere datasets met het Mackey-Glassmodel leveren niet dezelfde resultaten op als die gevonden door Kyrtsou en Labys (2006). Zie Tabel 1 kolom (1) en Tabel 2 kolom (1) voor de regressieresultaten van de gedupliceerde regressies, en zie ter vergelijking Tabel 4 voor de regressieresultaten van de regressies uitgevoerd door Kyrtsou en Labys (2006). Omdat desondanks de uitkomsten van de regressies ten hoogste 4.6% verschillen, wordt aangenomen dat de datasets van Kyrtsou en Labys (2006) vergelijkbaar zijn met de gevonden datasets zoals beschreven in hoofdstuk 3.

In dit onderzoek wordt er van uitgegaan dat het verschil in het aantal observaties, het verschil in resultaten van de regressies veroorzaakt. Dit maakt het redelijk de regressieresultaten, verkregen door Kyrtsou en Labys (2006), te analyseren door middel van de regressieresultaten verkregen met de gedupliceerde regressies. De gedupliceerde regressies hebben dezelfde parameterwaardes toegekend gekregen als die Kyrtsou en Labys (2006) hebben gebruikt. Deze parameterwaardes zijn: en . Aan de hand van de regressieresultaten, te zien in tabel 1 kolom (1) en tabel 2 kolom (1), is het tweede wat opvalt de coëfficiënten . Kenmerkend

van deze coëfficiënten zijn de relatief hoge waardes. Verder valt op dat de som van en en de

som van en beide in de buurt liggen van de andere coëfficiënten . Ten

derde zijn de hoge waardes van de verklaringsfactoren van de regressies noemenswaardig. Wel is de één beduidend hoger dan de ander. De van de regressie op CPI is met 0.76 ruim twee keer zo groot is als de van de regressie op COMP met een waarde van 0.29. Het vierde en laatste

opmerkelijke is dat de coëfficiënt in de gedupliceerde regressie wel significant ongelijk aan nul is,

in tegenstelling tot de regressie gedaan door Kyrtsou en Labys (2006). De relatief hoge waardes van de coëfficiënten in combinatie met het gegeven dat de som van en en de

som van en beide in de buurt van nul liggen, zorgt voor een vermoeden van een lineair

verband tussen

. Naar aanleiding van dit vermoeden is, zoals al eerder gezegd in Hoofdstuk 3.1, een plot gemaakt van de bijbehorende verklarende variabelen

(met =1 en c2=2), zie Figuur 2. Het verband tussen

(met =4 en c1=2) is ook geplot, zie voor deze plot Figuur 1.

18 In de kolommen (2) van de tabellen 1 en 2 zijn de regressieresultaten van de regressies op model 2 weergegeven. De van deze regressies zijn nagenoeg hetzelfde als die van de regressies op de modellen met niet-lineaire termen. Hieruit kan geconcludeerd worden dat de niet-lineaire termen geen toegevoegde waarde hebben in model 1.

In de tabellen 3 en 5 zijn de resultaten van de regressies op de modellen 3 t/m 5 weergegeven. De derde vertraging van als verklarende variabele in model 4 is gekozen aan de hand van de ACF. Te zien in Figuur 9 is dat de derde vertraging, uitgezonderd van de eerste vertraging, de grootste correlatie met de zonder vertraging.

19 5 Analyse

In dit hoofdstuk worden de onderzoeksresultaten gebruikt voor een analyse, met als doel een antwoord te geven op de onderzoeksvraag.

De plot in Figuur 2 lijkt het vermoeden van een lineair verband tussen

te bevestigen, de waardes van de niet-lineaire term lijken namelijk op een rechte lijn te liggen. De plot in Figuur 1 laat op dezelfde manier zien dat ook

zich lineair tot elkaar lijken te verhouden. De kolommen (2) en (3) van de Tabellen 1 en 2, die de regressieresultaten weergeven van de regressie met enkel lineaire termen, bevestigen deze vermoedens ook. De -waardes zijn namelijk 0.76 en 0.248, wat bijna hetzelfde is als de -waardes van de regressies met ook niet-lineaire termen. Deze waardes zijn 0.768 en 0.298, en zijn te zien in kolom (1) van de Tabellen 1 en 2. Vermoedelijk wordt dit kleine verschil veroorzaakt, doordat de niet-lineaire termen net iets minder dan volledig

gecorreleerd zijn met hun onafhankelijke variabele. Statistisch is er wel degelijk een verschil, maar economisch gezien is dit verschil verwaarloosbaar.

Uit Figuur 5 blijkt dat een stijging van de k-waarde zorgt voor een stijging van de VIF-waarde. Verder blijkt uit Figuur 6 dat een stijging van de k-waarde zorgt voor een stijging van de p-waarde van de coëfficiënt en een daling van de correlatie tussen

. Dit laat zien dat de multicollineariteit oorzakelijk is voor de significantie van de Mackey-Glasstermen.

Na de transformatie van de data zijn de niet-lineaire coëfficiënten en niet meer significant

ongelijk aan nul, dit geeft aan dat er geen niet-lineaire Grangercausaliteit van CPI op COMP en COMP op CPI is bewezen. Ook de resultaten van de regressie met de alternatieve niet-lineaire term levert geen bewijs op voor niet-lineaire Grangercausaliteit tussen CPI en COMP.

5.1 Regressies op basis van getransformeerde datasets

De regressieresultaten van de regressie op model (3b), weergegeven in Tabel 5 kolom (1), laten zien dat en niet significant ongelijk aan nul zijn. Uit de regressieresultaten van de regressie op

model (4b), weergegeven in Tabel 5 kolom (2), volgt dat niet meer significant ongelijk aan nul is

als de verklarende variabele ook in de regressie zit. Ook volgt uit deze regressieresultaten dat

de coëfficiënt van , , wel significant ongelijk aan nul is. Aan de regressieresultaten van de

regressie op model (5b), weergegeven in Tabel 5 kolom (3), is te zien dat en niet significant

ongelijk aan nul zijn. Verder is de van regressie op model (3b) 0.25 en de van de regressies op de modellen (4b) en (5b) ongeveer 0.3.

20 De regressieresultaten van de regressie op model (3a), weergegeven in Tabel 3 kolom (1), geven aan dat en niet significant ongelijk aan nul zijn. De regressieresultaten van de regressie op model

(4a), laten zien dat zonder van de bij horende verklarende variabele nog steeds niet

significant ongelijk aan nul is. De regressieresultaten van de regressie op model (5a), laten zien dat

en niet significant ongelijk aan nul zijn. Verder zijn de van de drie regressies op de

21 6 Conclusie

De onderzoeksvraag is of de Mackey-Glasstermen een niet-lineair verband tussen de log returns van CPI en de log returns van de COMP aantonen. Uit de Tabellen 3 en 5 kolom (1) onderbouwt met de Figuren 5 en 6 blijkt dat dit niet zo is. Hieruit volgt dat er geen bewijs is dat de Mackey-Glasstermen een verband tussen de variabelen CPI en COMP representeren, terwijl Kyrtsou en Labys (2006) stellen dat dit wel zo is. Verder heeft de nieuwe niet-lineaire term geen verbetering opgeleverd.

22 Literatuurlijst

Bakker, M., & Wicherts, J. M. (2011). The (mis)reporting of statistical results in psychology journals. Behavior Research Methods, 43, 666-678

Granger, C. W. J. (1980). Testing for causality. Journal of Economic Dynamics and Control, 2, 329-352. Hair, J. F. Jr., Anderson, R. E., Tatham, R. L., & Black, W. C. (1995). Multivariate Data Analysis (3e ed.). New

York, NY: Macmillan.

Hlavac, Marek (2015). stargazer: Well-Formatted Regression and Summary Statistics Tables. R package version 5.2. http://CRAN.R-project.org/package=stargazer.

Heij, C., Boer, P. de, Franses, P. H., Kloek, T., & Dijk, H. K. van. (2004). Econometric Methods with Applications in Business and Economics. New York, NY: Oxford University Press Inc..

Kennedy, P. (1992). A Guide to Econometrics. Oxford, Engeland: Blackwell.

Kyrtsou, C., & Labys, W. (2006). Evidence for chaotic dependence between US inflation and commodity prices. Journal of Macroeconomics, 28, 256-266.

Kyrtsou, C., & Terraza, M. (2003). Is it Possible to Study Chaotic and ARCH Behaviour Jointly? Application of a Noisy Mackey–Glass Equation with Heteroskedastic Errors to the Paris Stock Exchange Returns Series. Computational Economics, 21, 257-276.

Ramanathan, Ramu & Cotrell, Allin. GRETL (2002). Introductory econometrics with applications (5e ed.). Harcourt College Publishers, Fort Worth.