1
Functies transformeren bij wiskunde in
het voortgezet onderwijs
Naam student
Elles Ruigrok
Studentennummer 500708890
Studiejaar
2019-2020
Opleiding
Master Leraar Wiskunde
Instelling
Hogeschool van Amsterdam
Vak
Onderzoeksplan / praktijkonderzoek
Naam begeleider
René Reumerman
Inleverdatum
7 mei 2020
Figuur 4: Foto van het presenteren van deelonderzoek 2 op 17 oktober 2019 Figuur 2: Logo College voor Toetsen en Examens
(College voor Toetsen en Examens, z.d.)
Figuur 1: Opgave 10 van examen havo wiskunde B 2019 tijdvak 1 (Examenblad, 2019)
2
Voorwoord
Voor u ligt het verslag van mijn praktijkonderzoek. De school waar ik op dit moment werkzaam ben is het Han Fortmann1 in Heerhugowaard. Dit is eveneens de
school waar ik het onderzoek heb uitgevoerd. Ik geef hier het vak wiskunde aan zes klassen, namelijk aan twee 2-havoklassen, één 2-gymnasiumklas, twee 3-havoklassen en één 4-havoklas wiskunde B. Het Han Fortmann is onderdeel van het Trinitas College, namelijk de havo- en vwo-afdeling.
Het Han Fortmann biedt onderwijs voor gymnasium, (tweetalig) atheneum en havo. Op dit moment telt het Han Fortmann ruim 1700 leerlingen (Trinitas College Heerhugowaard, z.d.) en ruim 180 werknemers. Dit zijn docenten, maar ook onderwijsondersteunend personeel. De sectie wiskunde bestaat uit vijftien mensen, waarvan acht eerstegraads bevoegd. Wij hebben rond de zes sectievergaderingen per schooljaar. Dan overleggen we onder andere over praktische zaken, maar ook over ontwikkelingen en resultaten.
Vorig schooljaar ben ik gestart met de eerstegraads master wiskunde en kreeg ik les in
onderzoeksvaardigheden. Tijdens dit schooljaar ben ik van september 2019 tot en met mei 2020 bezig geweest met mijn praktijkonderzoek. Bij deze wil ik graag mijn begeleider René Reumerman bedanken voor de fijne begeleiding. Hij heeft steeds mijn vragen beantwoord waardoor ik verder kon met mijn onderzoek. We hebben effectieve gesprekken over mijn onderzoek gehad. Ook wil ik alle respondenten bedanken die mee hebben gewerkt aan dit onderzoek.
Ik wens u veel leesplezier toe. Elles Ruigrok
Tuitjenhorn, 7 mei 2020
1 Het Han Fortmann heeft toestemming gegeven om haar naam in dit verslag te vermelden.
Figuur 5: Trinitas College, afdeling Han Fortmann Heerhugowaard (Han Fortmann Heerhugowaard, z.d.)
3
Samenvatting
Dit onderzoek bestaat uit meerdere deelonderzoeken. Het vooronderzoek steunt het feit dat het begrip behorend bij het onderwerp transformeren van functies ontbreekt. Het probleem wordt beter in kaart gebracht door het afnemen van een enquête in havo 5 en vwo 6. Er komt meer duidelijkheid over mogelijke oorzaken van het probleem. De onderzoeksvragen hierbij zijn:
- Wat is het percentage leerlingen (havo 5 en vwo 6) die de regels van transformaties uit hun hoofd leren?
- Wat is het percentage leerlingen (havo 5 en vwo 6) die de regels van transformaties willen begrijpen?
- Waarom leren leerlingen de leerlingen de regels van transformaties uit hun hoofd? - Waarom willen leerlingen de regels van transformaties begrijpen?
- Is er bij bovenstaande vragen verschil tussen havo 5 en vwo 6?
De antwoorden op de open enquêtevragen zijn geanalyseerd door coderen. Veel leerlingen havo 5 en vwo 6 leren het onderwerp transformaties door de regels uit hun hoofd te leren en voorbeelden na te doen. Ze geven aan dat het begrijpen niet nodig is voor het maken van opgaven. Ook kost het begrijpen van de regels veel tijd en moeite en vinden sommige leerlingen het begrijpen van de regels moeilijk. Enkele leerlingen willen de regels echt begrijpen, omdat ze dan de regels zo nodig zelf kunnen achterhalen en ze het kunnen toepassen bij niet-standaard opdrachten.
Er is onderzocht in hoeverre transformeren een probleem op het examen voor het Han Fortmann en landelijk is door examenresultaten uit Wolf te analyseren. De onderzoeksvragen hierbij zijn:
- Wat is de p-waarde van examenopgave 10 (havo wiskunde B, 2019 tijdvak 1) van een examenklas van het Han Fortmann?
- Wat is de landelijke p-waarde van examenopgave 10 (havo wiskunde B, 2019 tijdvak 1)? - Is het probleem bij het concept transformaties alleen op het Han Fortmann of ook
gemiddeld genomen voor alle scholen van Nederland?
- Is er bij opgave 10 significant verschil tussen de p-waarde van een examenklas van het Han Fortmann en de landelijke p-waarde?
- Zijn er bij de centrale examenbespreking opmerkingen over deze opgave gemaakt? De klas van het Han Fortmann had bij de opgave over transformaties de laagste p-waarde vergeleken met de resultaten van de klas bij de andere opgaven. De landelijke p-waarde was bij deze opgave nog lager dan Han Fortmann. Dit betekent dat het bereik van het onderzoek groot is. Er kwam aan de orde dat het van belang is het woord ‘begrijpen’ (van transformaties) voor dit onderzoek precies te definiëren. Ook is onderzocht wat veelvoorkomende fouten bij het onderwerp transformaties zijn. De methoden literatuuronderzoek en interviewen zijn gecombineerd. De bijbehorende onderzoeksvragen zijn:
4 - Wat is de definitie van ‘begrijpen’ (begrip) in dit onderzoek (wanneer begrijpt een leerling
een wiskundig concept?) ?
- Wat is de definitie van ‘niet begrijpen’ (onbegrip) in dit onderzoek (wanneer begrijpt een leerling een wiskundig concept niet?) ?
- Wanneer begrijpt een leerling het concept transformaties? - Wanneer begrijpt een leerling het concept transformaties niet?
- Wat staat er in de literatuur en wat zeggen de experts over misconcepties / het fouten maken bij transformeren van functies?
- In hoeverre convergeert of divergeert de info over begrip en onbegrip (over transformeren) uit de verschillende bronnen?
De conclusie bestaat uit een overzicht waardoor duidelijk is wat er wordt bedoeld met ‘begrijpen’ en ‘niet begrijpen’ in het algemeen en voor het concept transformaties. De steun voor validiteit is groot, doordat is aangetoond dat literatuur en kennis van de experts in grote mate overeenkomen. De informatie over de soort fouten bij transformeren van functies is gebruikt bij de methode om antwoord te geven op: ‘Wat zijn veelvoorkomende fouten die leerlingen uit de examenklas van het Han Fortmann maken bij opgave 10 van het centraal examen havo wiskunde B, tijdvak 1 van 2019?’. Hiervoor zijn 51 examenwerken geanalyseerd. Een veelvoorkomende fout is het vergeten van de haakjes om x – 2 bij een translatie van twee naar rechts. Ook maken veel leerlingen fouten in het vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as of y-as en in het aangeven van de juiste volgorde. Er is nagegaan of deze opgave toepassen of begrijpen meet. De onderzoeksvraag hierbij is: ‘Is examenopgave 10 (havo wiskunde B, tijdvak 1 2019) geschikt (valide) om begrip bij transformaties te meten?’. De examenopgave is vergeleken met de resultaten uit het onderzoek over ‘begrijpen’ definiëren. Hoewel de opgave aanleiding geeft tot het maken van verschillende fouten (in
procedures) is de steun voor validiteit van begrijpen van transformaties laag.
Tot slot heb ik contact opgenomen met het College voor Toetsen en Examens om antwoord te geven op de volgende onderzoeksvragen:
- Hoe is examenopgave 10 (havo wiskunde B, tijdvak 1 2019) tot stand gekomen?
- Wil het College voor Toetsen en Examens door middel van deze examenopgave inzien of leerlingen het concept ‘transformeren van functies’ kunnen toepassen of begrijpen? - Wat zou het College voor Toetsen en Examens ervan vinden om de volgende opgave, ‘Wat
wordt het functievoorschrift van 𝑥 = 3𝑦2 na translatie (0,5)?’, in het centraal examen voor havo wiskunde B te doen?
Examenopgave 10 is in het examen gekomen, omdat het past bij het gemiddelde niveau en ook bij de diversiteit in onderwerpen die voorbij komen in examens. Het College voor Toeten en Examens merkt op dat niet altijd na te gaan is of leerlingen de stof echt begrijpen wanneer er een
transformatie wordt toegepast. Zij geven aan dat mijn voorgestelde vraag in het examen zou kunnen komen, maar dat in de formule wel y zal worden uitgedrukt in x.
5
Inhoud
Voorwoord ... 2
Samenvatting ... 3
Deelonderzoek 1: Oriëntatie op het didactisch onderwerp transformeren ... 7
Deelonderzoek 2: Enquête in havo 5 en vwo 6 wiskunde B ... 10
Deelonderzoek 3: Presenteren van deelonderzoek 2 ... 20
Deelonderzoek 4: Coderen en interbeoordelaarsbetrouwbaarheid ... 23
Deelonderzoek 5: Examenresultaten uit Wolf ... 27
Deelonderzoek 6: Definiëren van ‘begrijpen’ (van transformaties) en beschrijven van veelvoorkomende fouten bij transformaties door literatuuronderzoek & interviews ... 29
Deelonderzoek 7: Analyse examenwerk leerlingen ... 43
Deelonderzoek 8: Kritische blik op examenopgave ... 51
Deelonderzoek 9: Contact met College voor Toetsen en Examens ... 54
Evaluatie en reflectie ... 58 Bibliografie ... 60 Bijlage 1: Vooronderzoek ... 62 Hoofdstuk 1: Probleemstelling ... 65 1.1 Probleembeschrijving ... 65 1.2 Probleemverkenning in de schoolpraktijk ... 66
Conclusie naar aanleiding van vooronderzoek ... 67
1.3 Doelstelling, voorlopige vraagstelling en relevantie van het onderzoek ... 67
Hoofdstuk 2: Reflectie ... 68
Bibliografie ... 69
Bijlage 1 vooronderzoek: Meetinstrument (in combinatie met hardop denken) ... 70
Bijlage 2 vooronderzoek: Uitwerkingen meetinstrument ... 71
Bijlage 3 vooronderzoek: Gegevens onderzoek ... 73
Denkstappen leerling 1 (gemiddeld) ... 73
Werk leerling 1 (gemiddeld) ... 75
Denkstappen leerling 2 (sterk) ... 75
Werk leerling 2 (sterk) ... 76
Denkstappen leerling 3 (zwak) ... 77
Werk leerling 3 (zwak) ... 78
Bijlage 4 vooronderzoek: Interventiecyclus ... 79
Bijlage 2: PowerPoint deelonderzoek enquête (deelonderzoek 2) ... 80
Bijlage 3: Enquête (deelonderzoek 2) ... 81
6
Bijlage 4: Resultaten enquête havo 5 wiskunde B (deelonderzoek 2)... 84
Bijlage 5: Resultaten enquête vwo 6 wiskunde B (deelonderzoek 2) ... 89
Bijlage 6: Verschil tussen twee groepen (havo 5 en vwo 6) bij de eerste enquêtevraag (deelonderzoek 2) ... 93
Bijlage 7: Berekenen Spearman correlatiecoëfficiënt bij contra indicatief gestelde vraag - stappen SPSS (deelonderzoek 2)... 97
Bijlage 8: PowerPoint presentatie (deelonderzoek 3) ... 102
Bijlage 9: Aantekeningen feedback op presentatie (deelonderzoek 3) ... 110
Bijlage 10: Analyse kwalitatieve gegevens: codering (deelonderzoek 4) ... 112
Bijlage 11: E-mail met codeerschema voor Rosanne (deelonderzoek 4) ... 115
Bijlage 12: Berekenen intraclass correlatiecoëfficiënt - stappen SPSS (deelonderzoek 4) ... 118
Bijlage 13: Toestemming gebruiken resultaten uit Wolf (deelonderzoek 5) ... 121
Bijlage 14: Examenresultaten van Wolf (deelonderzoek 5) ... 122
Bijlage 15: T-toets gemiddelde p-waarde klas Han Fortmann vergelijken met landelijke gemiddelde p-waarde (deelonderzoek 5) ... 123
T-toets met de hand ... 128
T-toets met behulp van SPSS ... 130
Bijlage 16: Verslag centrale examenbespreking havo B 2019 (deelonderzoek 5) ... 131
Bijlage 17: Literatuur zoeken over transformaties – cirkelen rond literatuur (deelonderzoek 6) .... 133
E-mailwisseling met Peter Kop ... 142
Bijlage 18: Literatuur zoeken over begrijpen – cirkelen rond literatuur (deelonderzoek 6) ... 147
Bijlage 19: Overzicht literatuur over begrijpen (deelonderzoek 6) ... 152
Bijlage 20: Interviewleidraad, feedback van Bennie (deelonderzoek 6) ... 153
Bijlage 21: Uitgewerkt interview met docent X (deelonderzoek 6) ... 159
Bijlage 22: Uitgewerkt interview met docent Y (deelonderzoek 6) ... 164
Bijlage 23: Resultaten interviews met docenten X en Y (deelonderzoek 6) ... 170
Bijlage 24: Overzicht literatuur en experts over begrijpen (deelonderzoek 6) ... 171
Bijlage 25: Overzicht fouten / misconcepties bij transformaties volgens literatuur en experts (deelonderzoek 6) ... 173
Bijlage 26: Opgave 10 met correctiemodel, examen 2019 havo wiskunde B (deelonderzoek 7) .... 175
Bijlage 27: Examenwerk leerlingen (deelonderzoek 7)... 177
Bijlage 28: Schema analyse examenwerk leerlingen (deelonderzoek 7) ... 203
7
Deelonderzoek 1: Oriëntatie op het didactisch onderwerp
transformeren
Na het eerste college onderzoeksplan ging ik nadenken over welk onderwerp ik interessant vind voor mijn praktijkonderzoek. Ik las onder andere verslagen terug van Wiskunde Onderwijs in Perspectief en Onderzoeksvaardigheden. Het vooronderzoek dat ik bij Onderzoeksvaardigheden 2b had gedaan, leek mij interessant om verder mee te gaan. Dit gaat over transformeren (transleren en vermenigvuldigen ten opzichte van x-as en y-as) van functies. Zie bijlage 1 voor dit verslag. Het vooronderzoek steunt het feit dat het begrip behorend bij het onderwerp transformeren van functies ontbreekt. De leerlingen leren het onderwerp vooral door regels uit hun hoofd te leren en/of de voorbeelden uit het boek of filmpjes na te doen. Dit is een probleem. Zo werden
bijvoorbeeld de volgende dingen gezegd: ‘’Ik ga altijd oefenen met een opdracht. Als ik daar niet uit
kom, ga ik naar een voorbeeldopdracht kijken. Dan doe ik dat na en kan ik het.’’ en ‘’Ik gebruik echt de regel, maar die weet ik nu even niet meer.’’.
Vorig schooljaar heb ik dit probleem ervaren in twee 3-havoklassen. Het vooronderzoek heb ik vorig schooljaar met leerlingen uit een 4-havoklas wiskunde B voor Onderzoeksvaardigheden 2b gedaan. Dit schooljaar geven mijn collega N. en ik les aan de twee 4-havoklassen wiskunde B. Het doel van dit onderzoek is dat ik een beter beeld van het probleem heb. Daarnaast wil ik ideeën voor vervolgonderzoek opdoen. Ik vind het belangrijk om dit met mijn collega te bespreken, omdat ik dan zeker weet dat de onderzoeken die ik ga doen nuttig voor de school zijn. Dit is een
probleemanalytisch onderzoek, omdat wordt gesproken over wat het probleem is (Enthoven & Oostdam, 2014).
Op dinsdag 17 september 2019 ging ik met mijn collega N. brainstormen over mijn
praktijkonderzoek. Hij had van te voren mijn verslag van Onderzoeksvaardigheden 2b doorgelezen. N. gaf aan dat hij dit probleem herkent en hij dit onderwerp nuttig en interessant voor mijn
praktijkonderzoek vindt. Ook de leerlingen die hij les geeft hebben moeite met het onderwerp transformaties. Hij ervaart dat veel leerlingen de regels uit hun hoofd leren en ze gemakzuchtig zijn. Op het moment dat de docent het wil verklaren, hebben de meeste leerlingen geen interesse in een verklaring. N. ervaart dat vooral zwakkere en gemiddelde leerlingen geen interesse hebben in een verklaring en dat alleen sommige sterke leerlingen nieuwsgierig zijn. Ook ervaart hij dat er meer leerlingen op vwo zijn die wel interesse hebben in een verklaring als dit wordt vergeleken met havo. N. zei dat leerlingen de verklaring vooral niet willen weten, doordat ze denken dat ze het toch niet gaan begrijpen. Ik vroeg toen hoe hij dit wist, omdat het klonk als een aanname. Hij zei dat hij dat wel eens een leerling hoort zeggen. Hij verwacht ook dat leerlingen denken dat het begrijpen van de regels meer tijd kost dan de regels uit hun hoofd leren.
N. liet mij kort op het bord zien hoe hij dit onderwerp aanpakt om ervoor te zorgen dat leerlingen het gaan begrijpen. Tijdens deze uitleg merkt hij echter wel dat veel leerlingen afhaken, ze liever doorwerken aan de opdrachten en ze de regels gewoon uit hun hoofd leren. Hij laat dit ook toe, hij vindt dat ze dat zelf mogen bepalen.
8
Figuur 6: Foto van het bord nadat mijn collega N. ging uitleggen hoe hij het onderwerp transformeren van functies uitlegt
We hadden het daarna gehad over lesideeën zodat het begrip behorend bij het onderwerp transformeren van functies verhoogd kan worden. Ik zei dat ik de regels over hoe een
transformatie terug komt in de formule altijd toelicht met GeoGebra2 of dat ik het leerlingen zelf
laat ontdekken met GeoGebra. Toen we het daarover hadden, concludeerden we zelf al dat leerlingen dan zien dat de regels kloppen of dat ze de regels zelf ontdekken, maar ze deze regels vervolgens toch vaak als een trucje gaan onthouden. Leerlingen vinden GeoGebra een soort bewijs, terwijl dat niet het geval is. Met GeoGebra kunnen leerlingen het zien en het patroon ontdekken, maar er zit wel een groot verschil tussen ontdekken en een bewijs ervoor kunnen geven. Ook zijn
ontdekken en begrijpen niet identiek. Als leerlingen de regels kunnen toepassen, begrijpen ze het
dan ook? Waaruit blijkt dat leerlingen het begrijpen? Waar ik achteraf nog niet over nagedacht heb, is wat ‘begrijpen’ precies betekent. Toen ik bezig was met mijn tweede deelonderzoek waar ik een enquête in havo 5 en vwo 6 wiskunde B heb afgenomen, had ik achteraf ook niet voor mijzelf duidelijk wat de definitie van begrijpen is. Daarom kom ik daar in de discussie op terug. Daarnaast zal ‘begrijpen’ gedefinieerd moeten worden en daarvoor verwijs ik naar deelonderzoek 6.
2 GeoGebra is een wiskundesoftware voor alle onderwijsniveaus waarbij meetkunde, algebra, tabellen, grafieken, statistiek en analyse worden gecombineerd in een pakket. Men kan er werkbladen opzoeken of zelf interactief leermateriaal maken (Wat is GeoGebra?, z.d.)
9 Aan het einde had ik de onderstaande deelonderzoeken als idee met N. besproken. Het leek hem ook interessant als ik mij ga focussen op deze deelonderzoeken.
Het vooronderzoek steunt dat het begrip behorend hij het onderwerp transformeren van functies ontbreekt en dat leerlingen vooral de regels uit hun hoofd leren. Met de volgende
deelonderzoeken wil ik achterhalen waarom zij de regels vooral uit hun hoofd leren (als dit het geval is) en waarom ze wel of geen interesse hebben in een verklaring. Mijn collega heeft vermoedens (zie bovenstaand), maar dit zijn aannames. Kortom: het lijkt een belangwekkend en afgebakend onderwerp.
- Eerste idee volgend deelonderzoek: Enquête afnemen in 5-havoklassen en 6-vwoklassen wiskunde B om erachter te komen wat het percentage leerlingen is die regels van
transformaties uit hun hoofd leren en het percentage leerlingen die de regels juist willen begrijpen. Vervolgens wil ik de enquête uitsplitsen en meer inzicht krijgen in waarom. Aan dit deelonderzoek heb ik gewerkt, zie ‘Deelonderzoek 2: Enquête in havo 5 en vwo 6 wiskunde B’.
- Tweede idee volgend deelonderzoek: Uitleg geven aan drie leerlingen uit een 4-havoklas wiskunde B over het transformeren van functies. Het liefst één zwakke leerling, één gemiddelde leerling en één sterke leerling. Tijdens deze uitleg ga ik eerst de regels van transformeren van functies geven en daarna een verklaring voor deze regels geven. Tijdens het geven van deze verklaring ga ik observeren of leerlingen hier ook écht interesse in hebben of dat ze ‘zijn afgehaakt’. Daarna ga ik met leerlingen in gesprek en stel ik ze vragen zoals: ‘Waarom zou je niet de verklaring willen weten (als dat het geval is)?’ en ‘Waarom heb je wel interesse in de verklaring (als dat het geval is)?’.
Member check: In bovenstaand stuk tekst heb ik proberen te omschrijven hoe het gesprek tussen
mijn collega N. en mij verliep. Er staan stukken tekst in die mijn collega N. heeft gezegd. Om voor de betrouwbaarheid na te gaan of ik alles goed geïnterpreteerd en opgeschreven heb, heb ik gevraagd aan mijn collega N. of hij bovenstaand stuk tekst wil nalezen. Dit wilde hij en hij heeft aangegeven dat het klopt wat er staat.
10
Deelonderzoek 2: Enquête in havo 5 en vwo 6 wiskunde B
2.1 Onderzoeksopzet
2.1.1 Doel van het onderzoek, onderzoeksvragen en soort onderzoek
Dit onderzoek heeft twee doelen. Ten eerste wil ik te weten komen wat het percentage leerlingen is die de regels van transformaties uit hun hoofd leren en wat het percentage leerlingen is die de regels juist willen begrijpen. Ten tweede wil ik meer inzicht krijgen in waarom leerlingen juist de regels uit hun hoofd leren en geen verklaring hoeven te weten en waarom leerlingen juist wel een verklaring voor de regels willen weten. Dit ga ik onderzoeken in zowel havo 5 als vwo 6.
De onderzoeksvragen hierbij zijn:
- Wat is het percentage leerlingen (havo 5 en vwo 6) die de regels van transformaties uit hun hoofd leren?
- Wat is het percentage leerlingen (havo 5 en vwo 6) die de regels van transformaties willen begrijpen?
- Waarom leren leerlingen de leerlingen de regels van transformaties uit hun hoofd? - Waarom willen leerlingen de regels van transformaties begrijpen?
- Is er bij bovenstaande vragen verschil tussen havo 5 en vwo 6?
Dit is een combinatie van een probleemanalytisch en diagnostisch onderzoek. Het probleem wordt nog beter in kaart gebracht en we vragen ons af wat de achtergronden en mogelijke oorzaken van het probleem zijn (Enthoven & Oostdam, 2014).
2.1.2 Deelnemers
De deelnemers van dit onderzoek zijn leerlingen van het Han Fortmann die in havo 5 of vwo 6 zitten met wiskunde B in hun profiel. Dit betreft 37 leerlingen havo 5 (twintig mannen en zeventien vrouwen) en 29 leerlingen vwo 6 (zeventien mannen en twaalf vrouwen). Het was nodig om leerlingen met wiskunde B in het profiel bij dit onderzoek te betrekken, omdat zij het onderwerp transformeren van functies moeten beheersen (zie examenprogramma’s op www.examenblad.nl). Voor dit onderzoek had ik er ook voor kunnen kiezen havo 4, vwo 4 en vwo 5 leerlingen met wiskunde B in het profiel als deelnemers te gebruiken. Dit was alleen niet mogelijk vanwege dat zij proefwerkweek hadden in de week dat ik data wilde verzamelen. Ik wilde niet wachten met data verzamelen, omdat ik gebruik wilde maken van de mogelijkheid om dit deelonderzoek te
presenteren tijdens Onderzoeksplan op donderdag 17 oktober 2019 (zie ‘Deelonderzoek 3: Presenteren van deelonderzoek 2’).
2.1.3 Onderzoeksmethode en instrumenten
Voor dit onderzoek heb ik een enquête via Google Formulieren afgenomen. Ik heb voor dit
programma gekozen, omdat ik hier al vaker mee gewerkt heb en dat goed was bevallen. Het is met dit programma mogelijk om de leerlingen de enquête digitaal in te laten vullen en de resultaten hiervan worden overzichtelijk weergegeven.
11 Ik heb de leerlingen eerst een klein deel van een filmpje laten zien en ze, voordat ik het filmpje startte, verteld dat de enquêtevragen over het leren van dit wiskundig onderwerp gaan. Het filmpje ‘Wortelfuncties - transformaties – WiskundeAcademie’ (link:
https://www.youtube.com/watch?v=ctzWAIV9S1M&t=209s) heb ik laten zien via de beamer, vanaf het begin tot aan 1 minuut 45 seconden. Bij 1 minuut en 45 seconden zette ik het filmpje op pauze en vertelde ik het volgende: ‘’Dit was een voorbeeld van een transformatie van een wortelfunctie.
Het ging over verschuiven van a omhoog en b naar rechts. In dit geval was er een verschuiving van één omhoog en bij de formule van de beeldgrafiek zie je daar ook ‘+1’ staan. Daarnaast was er een verschuiving van vier naar links. Je zou dan misschien denken dat de x wordt veranderd in x - 4, maar de x wordt juist x + 4. Je kunt dit onthouden als een ‘regel’, maar er is natuurlijk een
wiskundige verklaring voor. De regels staan in de groene rechthoeken onderaan het filmpje. Door deze enquête wil ik onderzoeken of jullie de regels uit jullie hoofd leren of jullie interesse hebben in de verklaring als jullie docent dit wil geven, en waarom. Graag zo eerlijk en uitgebreid mogelijk antwoord geven, het is anoniem.’’.
Figuur 7: Beeld van het filmpje dat ik heb laten zien voordat de leerlingen de enquête gingen invullen (WiskundeAcademie, 2013)
Daarna konden de leerlingen in stilte de enquête via Google Formulieren invullen. Vijf minuten voordat ik de klas in ging had ik de leerlingen een e-mail gestuurd met hierin de link van de enquête. Ook konden ze de enquête via een andere manier vinden (zie bijlage 2 voor de PowerPoint die ik heb gebruikt tijdens de afname van de enquête) of de enquête op papier invullen. Ik had voor de zekerheid genoeg enquêtes op papier mee.
Zie bijlage 3 voor de enquêtevragen. Bij het formuleren van een deel van de vragen heb ik het oriënterend gesprek over mijn onderzoek met een collega als inspiratiebron gebruikt (zie ‘Deelonderzoek 1: Oriëntatie op het didactisch onderwerp transformeren’). Er wordt gebruik gemaakt van een mixed methods aanpak. Op basis van het oriënterend gesprek met N. heb ik ideeën gekregen over waarom leerlingen het onderwerp transformaties leren door regels uit hun hoofd te leren en dit wordt getoetst met deze enquête.
12
2.1.4 Betrouwbaarheid
Van te voren heb ik nagedacht over hoe ik ervoor kan zorgen dat dit onderzoek zo betrouwbaar mogelijk is.
Voordat ik de enquête in de drie klassen ging afnemen, heb ik twee leerlingen uit mijn 4-havoklas wiskunde B de enquête laten invullen. Van te voren hebben zij ook het filmpje gezien en heb ik uitgelegd wat het doel van de enquête is. Ze gingen de enquête invullen. Ik heb ze gevraagd of de vragen in de enquête duidelijk waren en ze zeiden dat dat zo was. Wel vonden ze wat vragen dubbel en toen vertelde ik dat ik dat expres heb gedaan. Deze twee leerlingen neem ik niet mee in de resultaten. De enquête vooraf testen met enkele leerlingen wordt ‘evaluatie in kleine groepen’ genoemd en dit is een stap die je moet doorlopen bij het construeren van een
onderzoeksinstrument (Creswell, 2014).
Voor de afname heb ik feedback aan een collega gevraagd. Een interessant feedbackpunt van hem was dat hij zich af vroeg of leerlingen weten dat als ze de tweede optie bij vraag 1 kiezen, ze daarna nog maar één vragen hoeven te beantwoorden. Hij dacht dat leerlingen dan misschien voor de tweede optie zouden gaan kiezen, omdat ze dan snel klaar zijn met het invullen van de enquête. Leerlingen kunnen dit niet zien als ze de enquête digitaal invullen, maar wel als ze het op papier gaan invullen. Er waren in totaal twee leerlingen die de enquête op papier hadden ingevuld en zij hadden niet gekozen voor de korte enquête. Dit heeft het onderzoek dus niet minder betrouwbaar gemaakt.
Twee vragen in de enquête, nummer 5 en 6, zijn vrijwel hetzelfde, alleen is de ene vraag positief gesteld en de ander negatief. Dit heb ik expres gedaan. Ik verwacht dat de resultaten bij deze vragen deels omgekeerde scores laten zien. Om na te gaan of er een significante correlatie is, zal ik de Spearman correlatiecoëfficiënt gaan berekenen.
Figuur 8: Vragen nummer 5 en 6 uit de enquête
De link van de enquête had ik vijf minuten voordat ik de leerlingen zag gestuurd en tijdens die vijf minuten hadden ze geen gelegenheid om de e-mail te openen. Daardoor hadden de leerlingen de enquête niet van te voren gezien en konden ze niet voorafgaand het invullen van de enquête overleggen of elkaars mening beïnvloeden. De leerlingen moesten de enquête in stilte invullen, dus ze konden toen ook niet elkaars mening beïnvloeden. Van tevoren heb ik gezegd dat ze de enquête anoniem invullen, dus ik ga ervan uit dat de leerlingen de enquête eerlijk hebben ingevuld.
13 2.2 Resultaten
Het is in onderstaande diagrammen duidelijk te zien dat het grootste deel van de havo 5 en vwo 6 leerlingen dit onderwerp leren door de regels per transformatie uit hun hoofd te leren en
voorbeelden na te doen. Deze leerlingen hebben de tweede vraag tot en met de zevende vraag ingevuld (zie bijlage 3). In totaal hebben negen van de 65 leerlingen (vijf havo 5 leerlingen en vier vwo 6 leerlingen) aangegeven dit onderwerp te leren door de regels van de transformaties echt te begrijpen. Er is geen significant verschil tussen havo 5 en vwo 6. Dit is na te gaan in bijlage 6, waar door middel van twee manieren (hypothese toetsen en betrouwbaarheidsmarge) is aangetoond dat er geen significant verschil is tussen het percentage leerlingen havo 5 dat antwoord a kiest en het percentage leerlingen vwo 6 dat antwoord a kiest.
14 Er is een duidelijk verschil te zien tussen havo 5 en vwo 6 bij de derde vraag. De meeste leerlingen uit havo 5 die bij de eerste vraag aangegeven hebben de regels uit hun hoofd te leren, hoeven ook niet te weten waarom de regels zo zijn. Vergeleken met havo 5 is er een groter deel leerlingen in vwo 6 dat heeft aangegeven de regels uit het hoofd te leren, maar wel willen weten wat de verklaring voor de regels is. Een vervolgonderzoek om dit verschil te verklaren zal interessant zijn.
15 Aan het begin van dit praktijkonderzoek had ik gesproken met collega N. over het onderwerp transformeren (zie ‘Deelonderzoek 1: Oriëntatie op het didactisch onderwerp transformeren’). N. zei dat leerlingen de verklaring vooral niet willen weten, doordat ze denken dat ze het toch niet gaan begrijpen. De vierde vraag in de enquête gaat hierover. Er is te zien dat er wel leerlingen zijn die dit als reden hebben, maar dat er ook veel leerlingen zijn waar dit niet meespeelt.
16 Het overgrote deel van de leerlingen zal wel gaan luisteren naar de verklaring voor de regels als deze door de docent wordt gegeven. Opmerkelijk is dat collega N. tijdens het gesprek zei: ‘’Op het moment dat de docent het wil verklaren, hebben de meeste leerlingen geen interesse in een verklaring.’’, terwijl dit niet terug te zien is in de resultaten van de zesde vraag.
17 Veel leerlingen zijn van mening dat het begrijpen van de regels meer tijd kost dan het uit het hoofd leren van de regels. Echter, een deel van de leerlingen staat hier neutraal in en een deel van de leerlingen is niet eens met deze stelling. N. is van mening dat leerlingen denken dat het begrijpen van de regels meer tijd kost dan de regels uit hun hoofd leren. Uit het resultaat van de zevende vraag blijkt dat dit inderdaad een ervaring van sommige leerlingen is.
Figuur 13: Resultaten vraag 7. Schaal 1 staat voor ‘helemaal oneens’ en schaal 5 staat voor ‘helemaal eens’
In bijlage 4 is de uitgebreide weergave van de resultaten van de havo 5 leerlingen te zien. In bijlage 5 is de uitgebreide weergave van de resultaten van de vwo 6 leerlingen te zien. 2.3 Conclusie en discussie
Uit de resultaten blijkt dat veel leerlingen havo 5 en vwo 6 het onderwerp transformaties leren door de regels uit hun hoofd te leren en voorbeelden na te doen. Zij vinden het niet nodig om het te begrijpen. Ze zeggen dat ze evengoed prima cijfers halen en het opgaven maken ook lukt met de regels. De leerlingen vinden het makkelijker en het kost minder tijd.
De meeste leerlingen in havo 5 die de regels uit hun hoofd leren, hoeven niet te weten waarom de regels zo zijn. Bij vwo 6 is dit een minder groot deel. In een vervolgonderzoek zal onderzocht kunnen worden wat de verklaring voor dit verschil is. Wat de precieze redenen zijn waarom de leerlingen de regels uit hun hoofd leren, wordt ook verder onderzocht in deelonderzoek 4. Hier worden namelijk de antwoorden op de open vraag 2 geanalyseerd door middel van codering.
18 De meeste leerlingen in havo 5 en vwo 6 luisteren wel naar de verklaring als deze wordt gegeven. Nu is de vraag nog of de leerlingen die luisteren naar de verklaring, ook de regels echt willen begrijpen.
De leerlingen die de regels echt willen begrijpen konden duidelijk aangeven waarom ze dat willen. Ze kunnen de regels beter onthouden en het zo nodig zelf achterhalen. Ook begrijpen ze de opdrachten beter en kunnen ze de regel toepassen bij opdrachten die anders zijn dan ze gewend zijn.
Voor de betrouwbaarheid van het onderzoek had ik ervoor gekozen om in de enquête twee vragen te stellen die op elkaar leken, maar dat de ene vraag positief en de andere vraag negatief is gesteld. Dit zijn contra indicatief gestelde vragen en dit waren vragen nummer 5 en 6. De volgende
diagrammen laten de resultaten met deels omgekeerde scores bij havo 5 zien. Dit was ook het geval bij vwo 6 (zie bijlage 5). Dit had ik verwacht, omdat de vragen min of meer hetzelfde zijn, maar de ene positief en de ander negatief gesteld. In bijlage 7 is te zien dat ik voor beide groepen de Spearman correlatiecoëfficiënt heb berekend. Er is inderdaad bij zowel havo 5 als vwo 6 een negatieve correlatie (-0,200 respectievelijk -0,359). Er is echter geen significant verband tussen de antwoorden op vraag 5 en vraag 6 bij zowel havo 5 als vwo 6, dan hadden de absolute waarden van de correlatiecoëfficiënten aanzienlijk hoger moeten zijn. De correlatie is dus niet significant.
Voor een volgende keer dat ik contra indicatieve vragen ga stellen, zal ik beter letten op de plaats waar ik deze in de enquête zet. Nu waren het vragen nummer 5 en 6 en het had beter geweest als deze vragen wat meer uit elkaar lagen, dus dat het bijvoorbeeld vragen nummer 2 en 7 waren.
19 De tweede enquêtevraag, die leerlingen moesten invullen als ze dit onderwerp leren door de regels uit hun hoofd te leren, kon beter anders gesteld worden. In de vraag: ‘’Kun je zo precies mogelijk aangeven waarom je de regels van de transformaties niet wil begrijpen?’’ ga ik ervan uit dat
leerlingen de regels niet willen begrijpen, terwijl ze dat misschien wel willen, maar toch momenteel de regels uit hun hoofd leren. Ik had deze vraag beter op de volgende manier kunnen formuleren: Kun je zo precies mogelijk aangeven waarom je nu de regels uit je hoofd leert en je momenteel dit onderwerp niet leert door de regels te begrijpen? Uit de resultaten van deze vraag kan ik wel concluderen dat de leerlingen de vraag goed hebben gelezen, omdat meerdere leerlingen ook antwoord gaven als: ‘’Ik wil ze wel begrijpen, maar ik denk dat dit makkelijker is, want ik denk dat er niet heel veel aan te begrijpen valt en dat dit gewoon een regel is’’, ‘’Ik wil het wel begrijpen, alleen gaat het op de manier van regels uit je hoofd leren sneller. We hebben namelijk nog veel meer om te leren! Vooral in havo 5’’ en ‘’Het is niet dat ik ze niet wil begrijpen. Ik leer de regels omdat deze manier sneller is om zo mijn werk bij te houden. Vaak worden deze methodes ook niet uitgelegd via de begrijpende wijze maar meer aan de hand van voorbeelden waardoor het
‘waarom’-deel vervalt in het leerproces.’’ (zie bijlagen 4 en 5).
Een groot discussiepunt in dit deelonderzoek gaat over het woord ‘begrijpen’. In zes van de acht vragen van de enquête kwam dit woord voor. Ik had ‘begrijpen’ beter moeten definiëren. In de enquêtevragen weten de leerlingen niet wat ik met ‘begrijpen’ bedoel. Doordat ‘begrijpen’ niet precies gedefinieerd is, is er een kans dat er een misvatting over het woord begrijpen is ontstaan. Misschien denken leerlingen dat als ze een opgave over transformaties kunnen maken, ze het begrijpen. Daardoor wordt het bewijs voor validiteit minder sterk. Omdat de definitie van ‘begrijpen’ essentieel voor dit onderzoek is, zal ik daar in het zesde deelonderzoek aandacht aan besteden.
Vooruitlopend op deelonderzoek 3, waarbij ik het huidige deelonderzoek 2 presenteerde, kwam naar voren dat het duidelijk was hoe ik de kwantitatieve gegevens had verwerkt. Dit was echter niet het geval bij de kwalitatieve gegevens. De kwalitatieve gegevens zijn de antwoorden op de open vragen. Ik vertelde eerlijk dat ik ook niet precies wist hoe ik alle open antwoorden zorgvuldig kon verwerken en ik vroeg om tips. Ze zeiden dat ik dit met coderen en een
interbeoordelaarsbetrouwbaarheid transparant en navolgbaar kan maken. Dit heb ik alsnog gedaan en hiervoor verwijs ik naar deelonderzoek 4.
20
Deelonderzoek 3: Presenteren van deelonderzoek 2
Op donderdag 17 oktober 2019 heb ik tijdens het vak Onderzoeksplan het tweede deelonderzoek gepresenteerd aan docent René Reumerman en mijn medestudenten.
3.1 Doel van het onderzoek en methode
Het doel van mijn presentatie is het antwoord geven op de volgende vraag: In hoeverre voldoet mijn gepresenteerde onderzoek aan de gestelde richtlijnen (met betrekking tot vakdidactiek, transparantie, chain of reasoning en geloofwaardigheid) volgens mijn medestudenten? Daarnaast wil ik graag feedback op mijn zelfgemaakte onderzoeksinstrument (enquête) en brainstormen over interessante vervolgonderzoeken. Deze gerichte feedbackpunten had ik aan het begin van de presentatie genoemd, zodat de luisteraars hier tijdens mijn presentatie op konden letten. In bijlage 8 is de PowerPoint die ik tijdens de presentatie heb gebruikt te zien.
Van te voren had ik aan een medestudent gevraagd of zij de presentatie wilde filmen, zodat ik de feedback op een later tijdstip nog rustig kon luisteren. Voor de presentatie begon had ik aan mijn docent en medestudenten verteld dat ik dit graag op film wil hebben en dat ik de opname alleen gebruik voor mijzelf om de feedback te verwerken. Ik vroeg of er iemand niet op de film wilde en dat was niet het geval. René Reumerman kan bewijzen dat ik dat heb gevraagd.
Daarnaast had ik van te voren aan een andere medestudent gevraagd of ze aantekeningen wilde maken van de feedback die ik krijg. Ik heb dus gebruik gemaakt van triangulatie om de geldigheid van de gegevens te waarborgen. Verschillende gegevensbronnen, aantekeningen en video-opnames (op mij gericht & op de medestudenten gericht), werden in dit onderzoek gebruikt. 3.2 Resultaten en conclusie
In bijlage 9 zijn de resultaten bestaande uit de gemaakte aantekeningen te zien. Veel feedback en opmerkingen heb ik verwerkt in ‘Deelonderzoek 2: enquête in havo 5 en vwo 6 wiskunde B‘. Daarnaast wil ik onder dit kopje wat interessante punten behandelen en ga ik mij in
deelonderzoeken 4, 5, 6 en 7 focussen op drie grote feedbackpunten.
Een vakdidactisch, transparant en betrouwbaar onderzoek
Naast dat mijn medestudenten het onderzoek vakdidactisch vonden, waren zij het er met elkaar over eens dat het ook transparant is. Ze vinden het heel duidelijk en navolgbaar en ze gaven aan dat ik veel nagedacht heb over betrouwbaarheid. Er werd gezegd: ‘’Ik zou dit onderzoek zo na kunnen doen.’’. Het was duidelijk hoe ik de kwantitatieve gegevens had verwerkt, maar dat was niet het geval bij de kwalitatieve gegevens. De kwalitatieve gegevens zijn de antwoorden op de open vragen. Ik vertelde eerlijk dat ik ook niet precies wist hoe ik alle open antwoorden zorgvuldig kon verwerken en ik vroeg om tips. Ik zou mijn huis er niet op durven te wedden, want dan had ik dit zorgvuldiger moeten analyseren. Mijn medestudenten zeiden dat ik dit met coderen en een interbeoordelaarsbetrouwbaarheidstest transparant kan maken. Hier heb ik aan gewerkt en daarvoor verwijs ik naar ‘Deelonderzoek 4: Coderen en interbeoordelaarsbetrouwbaarheid’.
Verklaring verschil tussen havo 5 en vwo 6 bij vraag 2
Uit de resultaten blijkt dat er een verschil tussen havo 5 en vwo 6 bij de derde vraag is. De meeste leerlingen uit havo 5 die bij vraag 1 aangegeven hebben de regels uit hun hoofd te leren, hoeven ook niet te weten waarom de regels zo zijn.
21 Vergeleken met havo 5 is er een groter deel leerlingen in vwo 6 dat heeft aangegeven de regels uit het hoofd te leren, maar wel interesse hebben in een verklaring voor de regels. Een
vervolgonderzoek om dit verschil te verklaren zal interessant zijn. Hiervoor heb ik meerdere ideeën:
- Meer informatie over de deelnemers betrekken bij het onderzoek. Zijn de 5-havoklassen ten opzichte van de 6-vwoklassen meer heterogeen? Wat zijn de instroomniveaus van de leerlingen? Kan dit invloed hebben op het resultaat van vraag 3?
- De resultaten van de toets over transformaties bestuderen. Hoe zit het op de havo met de verdeling van de resultaten? En op het vwo? Komt de tendens overeen? Ik kan mij
voorstellen dat als de vwo 6 leerlingen bij dit onderwerp of juist over het algemeen hogere cijfers halen dan havo 5 leerlingen, er ook een groter deel bij vwo 6 is dat interesse heeft in een verklaring voor de regels.
- Is er correlatie tussen het gemiddelde wiskundecijfer van een leerling en het antwoord op de vraag of zij dit onderwerp nu leren door regels uit het hoofd te leren of dat ze het echt willen begrijpen? Is er correlatie tussen het gemiddelde wiskundecijfer van een leerling en de mate van interesse in de verklaring? Om dit te onderzoeken, had ik bij de reactie op de enquête de naam van de leerling willen weten, zodat ik dit kon koppelen aan het
gemiddelde cijfer van die leerling. Het gemiddelde cijfer van een leerling kan ik opzoeken in het leerlingvolgsysteem SomToday. In het verslag zal het evengoed geanonimiseerd
kunnen worden. Dit neem ik mee voor het vervolg.
- Hoe wordt het onderwerp transformaties aangeboden door de docent en de methode? Is er verschil tussen havo en vwo?
Van wie is het probleem?
Na de presentatie kwam een terechte opmerking passend bij richtlijn chain of reasoning: ‘’Het is gek dat je aangeeft dat dit onderwerp een probleem is, omdat leerlingen slecht bij dit onderwerp scoren, terwijl door leerlingen wordt gezegd dat ze de regels uit hun hoofd leren, omdat ze hiermee ook goede cijfers kunnen halen.’’. Natuurlijk zijn ‘slecht scoren’ en ‘goede cijfers halen’ brede begrippen. Wat vinden docenten ‘slecht’ en wat vinden leerlingen ‘goed’? Ik vertelde het met de opmerking eens te zijn, maar dat mijn collega’s toch echt aangeven dat dit onderwerp niet goed op het examen wordt gemaakt. Daarnaast vinden wij dit als docenten ook een probleem vanwege onze visie. We willen niet dat leerlingen wiskunde zien als regels uit hun hoofd leren, maar natuurlijk liever dat leerlingen de regels echt begrijpen en interesse hebben in de verklaring. Dit bracht mij op ideeën voor vervolgonderzoek:
- Onderzoek doen naar of de toetsen verschillen met het eindexamen. Zit er groot verschil in de soort opgaven en het niveau bij dit onderwerp?
- Onderzoek doen naar de fouten die in het examen en in de toetsen worden gemaakt bij dit onderwerp. In het examen havo wiskunde B van 2019 tijdvak 1 kwam er een opgave over transformaties. Ik kan nagaan wie vorig schooljaar aan een 5-havoklas wiskunde B lesgaf en of die docent in Wolf kan zien hoeveel punten de leerlingen bij deze vraag hadden behaald. Wolf is het computerprogramma waarmee een docent direct na de examens
leerlingenresultaten doorzet naar Cito (Cito, z.d.). Is het mogelijk dat ik de gemaakte examens in kan zien en de fouten kan analyseren?
22 Aan dit feedbackpunt heb ik gewerkt en hiervoor verwijs ik naar ‘Deelonderzoek 5:
Examenresultaten uit Wolf’ en naar ‘Deelonderzoek 7: Analyse examenwerk leerlingen’.
Figuur 15: Opgave 10 van examen havo wiskunde B 2019 tijdvak 1 (Examenblad, 2019)
Idee interventieonderzoek
Een medestudent had meegedacht over een nuttig interventieonderzoek bij dit onderwerp. Waar moet een interventie aan voldoen zodat een leerling de regels bij transformaties gaat begrijpen? Waarom leert een leerling het uit het hoofd? Waarom worden leerlingen gemakzuchtig? Wat moet een docent doen, zodanig het voor elkaar te krijgen dat leerlingen het willen begrijpen? Minder snel regels geven? Toetsen aanpassen?
Terugblik op presentatie
Het presenteren van het deelonderzoek en het krijgen van de feedback hebben mij geholpen. Medestudenten kwamen met opmerkingen en kritische punten waar ik zelf niet aan had gedacht. Ook dachten zij met mij mee over een vervolgonderzoek, waardoor ik nu veel ideeën heb om dit onderzoek te vervolgen. Dit waren voornamelijk ideeën over probleemanalytische en diagnostische deelonderzoeken, waardoor het probleem zelf en de achtergronden hiervan bekender zullen worden.
De tips van René om iemand de presentatie te laten filmen en iemand aantekeningen te laten maken ga ik onthouden voor een volgende keer dat ik ga presenteren. Ik heb gemerkt dat dit prettig is voor het verwerken van de feedback.
23
Deelonderzoek 4: Coderen en interbeoordelaarsbetrouwbaarheid
Uit deelonderzoek 3 (presenteren van deelonderzoek 2) kwam naar voren dat het duidelijk was hoe ik de kwantitatieve gegevens had verwerkt, maar dat was niet het geval bij de kwalitatievegegevens. De kwalitatieve gegevens zijn de antwoorden op de open vragen. Ik vertelde eerlijk dat ik niet precies wist hoe ik alle open antwoorden zorgvuldig kon verwerken en ik vroeg om tips. Mijn medestudenten zeiden dat ik dit met coderen en een interbeoordelaarsbetrouwbaarheid
transparant en navolgbaar kan maken.
4.1 Doel van het onderzoek, onderzoeksvraag en soort onderzoek
Het doel van dit onderzoek is het schrijven van een nieuw stukje conclusie dat volgt uit de kwalitatieve gegevens, de antwoorden op de open vragen, van deelonderzoek 2.
Ik wil voor zowel havo 5 als vwo 6 antwoord geven op de volgende onderzoeksvraag: Waarom leren leerlingen de regels van transformaties uit hun hoofd?
Dit is een diagnostisch onderzoek, omdat er is vastgesteld dat er een probleem speelt en wordt onderzocht wat de oorzaken van het probleem zijn (Enthoven & Oostdam, 2014). De uitkomsten van dit onderzoek zijn relevant voor de praktijk. Als we als docenten een beter beeld hebben van waarom leerlingen de regels van transformaties uit hun hoofd leren, kunnen we daar beter op inspelen als we dit gaan proberen te veranderen naar het begrijpen van de regels.
4.2 Methode
4.2.1 Codes
Om de antwoorden op de open vraag van de enquête (vraag 2: ‘’Kun je zo precies mogelijk aangeven waarom je de regels van de transformaties niet wil begrijpen?’’) te categoriseren heb ik codes gemaakt. Zie onderstaand schema. Ik gebruik hier inductief redeneren, omdat ik vanuit een specifieke observatie (coderen van antwoorden op de open vragen) generalisatie wil vaststellen. De codes in onderstaand schema heb ik zelf naar aanleiding van de antwoorden van de leerlingen vastgesteld. Deze komen niet uit de literatuur.
Code / kleur Beschrijving
Geel Leerling vindt dat het begrijpen te veel tijd / moeite kost. Leerling vindt dit makkelijker.
Groen Leerling vindt het begrijpen niet nodig voor het maken van opgaven/toets/examen. Het lukt evengoed om de regels toe te passen.
Blauw Leerling vindt het begrijpen te moeilijk, de verklaring is niet te begrijpen (door bijvoorbeeld weinig inzicht). De leerling is al blij als hij de regels uit het hoofd weet. Leerling vindt het verwarrend.
Paars De leerling heeft gewoon geen interesse, hij vindt de verklaring niet interessant. Grijs Overig.
24
4.2.2 Trainen, afzonderlijk van elkaar coderen en interbeoordelaarsbetrouwbaarheid berekenen
Om het coderen zo betrouwbaar mogelijk te maken, heb ik een tweede beoordelaar geregeld. De tweede beoordelaar is Rosanne Beentjes, net als ik tweedejaars student van de master voor eerstegraads docent wiskunde. Op donderdag 21 november 2019 hebben wij samen het coderen geoefend met twintig antwoorden van leerlingen. Daarna hebben we afgesproken dat ik haar de overige antwoorden ga e-mailen, zodat wij deze apart van elkaar gaan coderen. Dit wordt onderzoekerstriangulatie genoemd. Er werken namelijk meerdere onderzoekers aan het
analyseren van de data. Bij de codering is de volgende afspraak gemaakt: één antwoord van een leerling kan meerdere kleuren hebben. Dit heb ik dan wel aangegeven. Dit is terug te lezen in bijlage 11 waarin de tekst van de e-mail die ik naar Rosanne had gestuurd staat.
Om de mate van overeenstemming tussen de verschillende beoordelaars aan te geven, ga ik de interbeoordelaarsbetrouwbaarheid berekenen. Rosanne en ik hebben hetzelfde instrument (codeerschema) gebruikt om de antwoorden van de leerlingen te beoordelen. Als dat dezelfde uitkomsten oplevert, kan aangenomen worden dat het instrument ervoor zorgt dat persoonlijke kenmerken geen invloed hebben op het gebruik van het instrument en dan is de
interbeoordelaarsbetrouwbaarheid hoog (Nederlands Jeugdinstituut, z.d.). Ik zal de
interbeoordelaarsbetrouwbaarheid op twee manieren gaan berekenen: door middel van het percentage overeenkomst en door middel van de intraclass correlatie coëfficiënt.
4.3 Resultaten
In bijlage 10 is te zien welke kleur Rosanne en ik aan de antwoorden van leerlingen hebben
gegeven tijdens het trainen van de codering. Daarnaast is na te gaan welke kleur Rosanne en welke kleur ik aan de overige antwoorden hebben gegeven en dat daar veel overeenkomst in zit. Voor de transparantie heb ik de antwoorden van de leerlingen letterlijk overgenomen, dus heb ik ook type- en spellingsfouten erin laten staan.
Zie onderstaande tabel voor een overzicht van de resultaten.
Code hE hR vE vR Beschrijving Geel 9 25,7% 7 20,0% 13 37,1% 11 31,4%
Leerling vindt dat het begrijpen te veel tijd / moeite kost. Leerling vindt dit makkelijker.
Groen 14 40,0% 15 42,9% 10 28,6% 11 31,4%
Leerling vindt het begrijpen niet nodig voor het maken van opgaven/toets/examen.
Het lukt evengoed om de regels toe te passen. Blauw 7 20,0% 7 20,0% 9 25,7% 9 25,7%
Leerling vindt het begrijpen te moeilijk, de verklaring is niet te begrijpen (door bijvoorbeeld weinig inzicht).
De leerling is al blij als hij de regels uit het hoofd weet. Leerling vindt het verwarrend. Paars 2 5,7% 3 8,6% 3 8,6% 3 8,6%
De leerling heeft gewoon geen interesse, hij vindt de verklaring niet interessant. Grijs 3 8,6% 3 8,6% 0 0% 1 2,9% Overig. Totaal 35 35 35 35
Tabel 2: Overzicht hoe vaak elke code voorkomt met bijbehorende percentage afgerond op één decimaal. ‘h’ staat voor havo, ‘v’ staat voor vwo, ‘E’ staat voor ‘Elles’ en ‘R’ staat voor ‘Rosanne’ (medestudent die ook heeft gecodeerd met behulp van dit coderingsschema). Deze getallen zijn inclusief de antwoorden van leerlingen waarmee Rosanne en ik het codeerschema getraind hebben. Deze getallen staan in dit schema om een conclusie hierover te schrijven en niet om de interbeoordelaarsbetrouwbaarheid te berekenen.
25
4.3.1 Interbeoordelaarsbetrouwbaarheid: Percentage overeenkomst tussen de twee beoordelaars
De interbeoordelaarsbetrouwbaarheid gegeven in ‘percentage overeenkomst’ moet minstens 80% zijn, oftewel bij het coderen moet een overeenkomst van minstens 80% gelden. Het
interbeoordelaarsbetrouwbaarheid bleek ongeveer 91,1% te zijn, daarom kan er geconcludeerd worden dat de methode van het coderen betrouwbaar is.
Antwoorden havo: 23 kleuren, 21 overeenkomstige kleuren bij coderen
Percentage overeenkomst bij antwoorden havo = 21/23 * 100% = 91,30434…% ≈ 91,3 % Antwoorden vwo: 22 kleuren, 20 overeenkomstige kleuren bij coderen
Percentage overeenkomst bij antwoorden vwo = 20/22 * 100% = 90,9090…% ≈ 90,9 % In totaal moesten er 45 kleuren gekozen worden en is er tussen de twee beoordelaars overeenkomst bij 41 kleuren.
Percentage overeenkomst havo en vwo samen genomen = 41/45 * 100% = 91,1111111..% ≈ 91,1 % (zie bijlage 10)
De antwoorden die zijn gebruikt tijdens het trainen van het codeerschema zijn bij deze berekeningen uiteraard buiten beschouwing gelaten.
4.3.2 Intraclass correlatie coëfficiënt berekenen met behulp van SPSS3
Voor het kwantificeren van de mate van overeenstemming tussen de twee beoordelaars (Rosanne en ik) heb ik ook de intraclass correlatie coëfficiënt met behulp van SPSS berekend (zie bijlage 12). Daarbij heb ik gekozen voor het Two way mixed model, aangezien er een vast aantal beoordelaars zijn die een steekproef van alle antwoorden van de leerlingen beoordelen (Geloven, 2016). Een deel van de antwoorden was namelijk al gebruikt voor het oefenen van het codeerschema. De intraclass correlatie coëfficiënt is 0,858. Dit staat voor een goede overeenstemming tussen de beoordelaars, dus er is sprake van een goed betrouwbare manier van coderen (Med, 2017). De antwoorden die zijn gebruikt tijdens het trainen van het codeerschema zijn bij deze berekening uiteraard buiten beschouwing gelaten.
4.4 Conclusie
Nu ik de kwalitatieve gegevens uit de enquête betrouwbaar geanalyseerd heb, kan ik een nieuwe en transparante conclusie hierover schrijven. Hiervoor heb ik tabel 2 (zie ‘4.3 Resultaten’) gebruikt. Uit de resultaten van vraag 1 kan geconcludeerd worden dat veel havo- en vwo-leerlingen het onderwerp transformaties leren door de regels per transformatie uit hun hoofd te leren en voorbeelden na te doen. Door middel van vraag 2 wilde ik erachter komen wat hier de verklaring voor is. Bij de leerlingen die op de havo zitten is de meest genoemde reden hiervoor (rond de 41%) dat de leerling het begrijpen van de regels niet nodig vindt voor het maken van de opgaven in het boek, op de toets en op het examen. Het lukt evengoed om de regel toe te passen. Bij vwo werd dit ook regelmatig als reden genoemd (rond de 30%), maar daar kwam vaker een andere reden naar voren: de leerlingen vinden dat het begrijpen van de regels veel tijd en moeite kost.
3 De afkorting SPSS staat voor Statistical Package for the Social Sciences. Het is een statistisch
computerprogramma dat wordt gebruikt om gegevens te verzamelen, analyseren en te bewerken. Het wordt voornamelijk gebruikt om onderzoeksresultaten te onderzoeken (Joho, z.d.).
26 De leerlingen geven ook als reden dat ze het makkelijker vinden om de regels uit hun hoofd te leren (vwo rond de 34%, havo rond de 23%). Ook werd bij zowel havo als vwo als reden genoemd dat de leerling het begrijpen van de regels te moeilijk vindt. Het kwam bij zowel havo als vwo weinig voor dat een leerling als motivatie gaf dat hij geen interesse in de verklaring voor de regels heeft.
Het is interessant dat ik nu meer informatie heb over waarom leerlingen de regels van
transformaties uit hun hoofd leren. Aan het begin van dit onderzoek had ik hierover gesproken met collega N. (zie ‘Deelonderzoek 1: Oriëntatie op het didactisch onderwerp transformeren’). Hij ervaart dat veel leerlingen de regels uit hun hoofd leren. Daarnaast vindt hij dat ze gemakzuchtig zijn en merkt hij tijdens de les dat de meeste leerlingen geen interesse hebben in een verklaring. Zijn vermoeden dat veel leerlingen de regels uit hun hoofd leren blijkt door het afnemen van de enquête in havo 5 en vwo 6 waar te zijn (enquêtevraag 1). Het klopt echter niet dat de meeste leerlingen geen interesse hebben in een verklaring. Een aanzienlijk klein aantal leerlingen heeft in de enquête aangegeven dat ze geen interesse hebben in een verklaring (code paars, zie tabel 2). Ook bleek uit schaalvraag 6 van de enquête dat het grootste deel havo- en vwo-leerlingen wel luisteren naar een verklaring als deze door de docent gegeven wordt. Dat betekent dat er voor een groot deel van de leerlingen een andere reden is waarom zij de regels uit hun hoofd leren. Dit heeft voornamelijk te maken met het feit dat leerlingen door hebben dat het begrijpen van de regels niet nodig is voor het maken van opgaven, een toets of examen, een reden dat niet door collega N. benoemd was. Dit betekent niet direct dat een leerling gemakzuchtig is, maar wel dat een leerling zich vooral focust op dingen die wel nodig zijn om te beheersen. Er wordt door leerlingen
aangegeven dat het begrijpen veel tijd en moeite kost. Dit is te zien aan deze voorbeelden van antwoorden van leerlingen: ‘’Omdat ik geen tijd heb om mij te verdiepen.’’ en ‘’Ik wil het wel begrijpen, alleen gaat het op de manier van regels uit je hoofd leren sneller. We hebben namelijk nog veel meer om te leren! Vooral in havo 5.’’. In deze reacties is ook geen gemakzuchtigheid te herkennen, maar wel het feit dat ze weinig tijd hebben en ze deze tijd goed willen benutten. Misschien geven we wel te veel huiswerk op. Mogelijk zal het helpen als wij minder
huiswerkopgaven opgeven en we daardoor tijdens de les meer tijd hebben om aandacht te besteden aan het begrijpen van een concept, zonder dat leerlingen vervolgens in tijdnood komen. Tot slot zei N. tijdens het gesprek dat leerlingen de verklaring vooral niet willen weten, doordat ze denken dat ze het toch niet gaan begrijpen. Bij de reactie op deze enquêtevraag komt dit inderdaad als reden voor (bij havo 20,0% en bij vwo 25,7%).
27
Deelonderzoek 5: Examenresultaten uit Wolf
Zoals ik in deelonderzoek 3 heb omschreven, kwam er in het examen havo wiskunde B van 2019 tijdvak 1 een vraag over transformaties. Het gaat om opgave 10.
5.1 Doel van het onderzoek, onderzoeksvragen en soort onderzoek
Door middel van dit onderzoek wil ik erachter komen wat de p-waarde is van examenopgave 10, zowel van een klas van het Han Fortmann en landelijk. Ik wil nagaan of er significant verschil is. De p-waarde kan worden berekend met 𝑝 − 𝑤𝑎𝑎𝑟𝑑𝑒 = 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑎𝑙 𝑏𝑒ℎ𝑎𝑎𝑙𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑒𝑛 𝑏𝑖𝑗 𝑜𝑝𝑔𝑎𝑣𝑒 10 / ℎ𝑒𝑡 𝑎𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑒𝑛 𝑑𝑎𝑡 𝑖𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑔𝑒𝑙𝑖𝑗𝑘 𝑤𝑎𝑠 𝑜𝑚 𝑡𝑒 ℎ𝑎𝑙𝑒𝑛 𝑏𝑖𝑗 𝑑𝑒𝑧𝑒 𝑜𝑝𝑔𝑎𝑣𝑒 ∙ 100.
Daarnaast wil ik weten of er bij de centrale examenbespreking opmerkingen over deze opgave waren. Vervolgens wil ik nagaan of het probleem bij het concept transformaties alleen op het Han Fortmann is of ook gemiddeld genomen voor alle scholen van Nederland. Dit is relevant om te weten. Het zou kunnen dat de p-waarde van het Han Fortmann bij deze opgave aanzienlijk lager is dan de landelijke p-waarde. In dat geval zal ik contact willen opnemen met wiskundedocenten van andere scholen om na te gaan welke factoren van invloed kunnen zijn op dit verschil. Het liefst kom ik dan in contact met wiskundedocenten van scholen waar een zo hoog mogelijke p-waarde is. Mogelijk hebben zij ideeën om onze resultaten bij dit onderwerp te kunnen verhogen.
Ik wil de volgende onderzoeksvragen beantwoorden:
- Wat is de p-waarde van examenopgave 10 (havo wiskunde B, 2019 tijdvak 1) van een examenklas van het Han Fortmann?
- Wat is de landelijke p-waarde van examenopgave 10 (havo wiskunde B, 2019 tijdvak 1)? - Is het probleem bij het concept transformaties alleen op het Han Fortmann of ook
gemiddeld genomen voor alle scholen van Nederland?
- Is er bij opgave 10 significant verschil tussen de p-waarde van een examenklas van het Han Fortmann en de landelijke p-waarde?
- Zijn er bij de centrale examenbespreking opmerkingen over deze opgave gemaakt? Dit is een probleemanalytisch onderzoek. Er wordt namelijk onderzocht in hoeverre het concept transformaties een probleem op het examen voor het Han Fortmann en landelijk is (Enthoven & Oostdam, 2014).
5.2 Methode, resultaten en conclusie
Via een collega van het Han Fortmann heb ik gegevens uit Wolf kunnen halen om de
examenresultaten van een examenklas havo wiskunde B in te zien en te vergelijken met de andere leerlingen uit Nederland. Ik heb toestemming gekregen om deze gegevens uit Wolf in dit onderzoek te gebruiken, zie bijlage 13 voor het bewijs. In bijlage 14 zijn de resultaten uit Wolf te zien.
Uit het schema van Wolf kan geconcludeerd worden dat deze examenklas van het Han Fortmann gemiddeld 1,1 punten had gescoord bij deze opgave. Voor deze opgave kon een leerling maximaal drie punten scoren. De p-waarde van deze klas is 35175 (zie bijlage 14 voor de berekening) en de laagste p-waarde van deze klas op dit examen.
28 De p-waarde van Nederland was afgerond op gehelen 33 en daarmee de één na laagste van
Nederland op dit examen, aangezien Nederland bij vraag 14 een p-waarde van 31 had. Dit betekent dat het bereik van het onderzoek groot is. Het probleem is niet alleen voor het Han Fortmann dat er relatief weinig punten worden gescoord bij de opgave over transformaties, maar ook gemiddeld genomen over alle scholen van Nederland. Mijn collega’s hadden al aangegeven dat dit onderwerp niet goed wordt gemaakt op het examen en dat blijkt uit deze resultaten.
Er is geen significant verschil tussen de p-waarde van een klas van het Han Fortmann en de
landelijke p-waarde. Dit is onderzocht door middel van een t-toets met de hand en een t-toets met behulp van SPSS (zie bijlage 15).
In bijlage 16 staat het verslag centrale examenbespreking havo B 2019, gemaakt door Tanja Groenendaal van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren (Groenendaal, 2019). Deze bijlage toont aan dat er tijdens de centrale examenbespreking van dit examen geen opmerkingen over opgave 10 waren. Ik heb wel kritische aanmerkingen over deze examenopgave, hiervoor verwijs ik naar ‘Deelonderzoek 8: Kritische blik op examenopgave’.
Er waren in totaal achttien opgaven in dit examen. Opgave 10 is de eerste opgave van de tweede helft van het examen. Ik heb hierdoor niet de indruk dat er bij deze opgave laag is gescoord door bijvoorbeeld tijdnood. De kans is groter dat leerlingen aan het einde van het examen, dus bij latere opgaven, last hebben van tijdnood.
Een idee voor vervolgonderzoek is dat ik naga wat voor fouten bij deze vraag zijn gemaakt door het examenwerk van de examenklassen havo wiskunde B in 2019 van het Han Fortmann te analyseren. De literatuur en experts kan ik gebruiken om te weten te komen wat voor soort fouten er bij dit onderwerp gemaakt worden. Hiervoor verwijs ik naar deelonderzoeken 6 en 7.
29
Deelonderzoek 6: Definiëren van ‘begrijpen’ (van transformaties) en
beschrijven van veelvoorkomende fouten bij transformaties door
literatuuronderzoek & interviews
In eerdere deelonderzoeken is aan de orde gekomen dat het van belang is het woord ‘begrijpen’ precies te definiëren. Om dit zo goed mogelijk te doen, zullen de methoden literatuuronderzoek en interviewen worden gecombineerd. De onderzoekseenheden zijn dus de literatuur en de experts. 6.1 Doel van het onderzoek, onderzoeksvragen en soort onderzoek
Het doel is een definitie voor het woord ‘begrijpen’, oftewel ‘begrip’, in dit onderzoek te
formuleren. Hierbij zal worden gekeken naar het begrijpen van een algemeen wiskundig concept en naar het begrijpen van specifiek het concept transformaties. Om een compleet beeld te krijgen, wordt er ook aandacht geschonken aan wat de definitie van ‘niet begrijpen’, oftewel ‘onbegrip’, in dit onderzoek is.
Deelonderzoek 7 houdt in dat ik één opgave van het examenwerk van leerlingen ga analyseren dat gaat over het transformeren van functies. Ik ga dus ook op zoek naar literatuur en informatie vanuit de experts dat over misconcepties / het fouten maken bij dit onderwerp gaat, dat valt onder ‘onbegrip’. Misconcepten zijn begripsproblemen die voortkomen uit kennisoverdracht of
kennisaanbod. Vaak gaat het om moeilijke onderwerpen (Leraar24, 2009). De bijbehorende onderzoeksvragen zijn:
1. Wat is de definitie van ‘begrijpen’ (begrip) in dit onderzoek (wanneer begrijpt een leerling een wiskundig concept?) ?
2. Wat is de definitie van ‘niet begrijpen’ (onbegrip) in dit onderzoek (wanneer begrijpt een leerling een wiskundig concept niet?) ?
3. Wanneer begrijpt een leerling het concept transformaties? 4. Wanneer begrijpt een leerling het concept transformaties niet?
5. Wat staat er in de literatuur en wat zeggen de experts over misconcepties / het fouten maken bij transformeren van functies?
In dit onderzoek is er sprake van triangulatie, omdat ik de onderzoeksvragen ga beantwoorden door de combinatie van literatuuronderzoek en interviewen van experts. In dit onderzoek zal ik ook nagaan in hoeverre de literatuur van verschillende auteurs overeenkomt en in hoeverre de
uitkomsten uit literatuuronderzoek overeenkomen met de resultaten uit de interviews. Ik focus mij daarom ook op de volgende onderzoeksvraag:
6. In hoeverre convergeert of divergeert de info over begrip en onbegrip (over transformeren) uit de verschillende bronnen?
Dit is een combinatie van een probleemanalytisch en diagnostisch onderzoek. Het probleem wordt door de literatuur en experts nog beter in kaart gebracht en we komen achter mogelijke oorzaken en achtergronden van het probleem (Enthoven & Oostdam, 2014).
30 6.2 Literatuuronderzoek
6.2.1 Methode
In bijlage 18 een schema waarin ik mijn zoekproces naar literatuur over begrijpen van een wiskundig concept heb vastgelegd. In bijlage 17 een schema waarin ik mijn zoekproces naar literatuur over specifiek het concept transformaties heb genoteerd.
Via meerdere wegen heb ik literatuur verzameld. Ik heb zelf literatuur via verschillende databanken gezocht en ik heb expert Peter Kop benaderd. Met een medestudent, die ook een onderzoek over transformeren van functies doet, heb ik literatuur uitgewisseld. Het feit dat ik een expert heb benaderd zorgt ervoor dat ik goed literatuur heb gevonden. Hij weet veel over dit onderwerp en is op de hoogte van interessant literatuur die hij mij ook heeft aangeraden. De steun voor validiteit is heel groot. Daarnaast was het opmerkelijk dat ik zelf al bepaalde literatuur had gevonden die expert Peter Kop mij later ook had aangeraden te lezen. In bijlage 17 is de e-mailwisseling met Peter Kop te lezen waar hij toestemming voor heeft gegeven. Vanwege transparantie heb ik dit aan het verslag toegevoegd.
Het kan voorkomen dat verschillende auteurs over hetzelfde schrijven, maar dan met andere begrippen. Om na te gaan of de literatuur van verschillende auteurs over begrip en onbegrip overeenkomen, zal ik de informatie van diverse auteurs in een tabel onder een noemer brengen.
6.2.2 Resultaten
Onder dit kopje een samenvatting van de meest relevante literatuur die ik heb gelezen.
Weinig onderzoek naar transformaties
Volgens de literatuur is er nog niet zoveel kennis uit onderzoek over transformaties (Baker, Hemenway, & Trigueros, 2001). Binnen verschillende onderzoeksrapporten die zich op functies richten, is echter weinig aandacht besteed aan de transformaties van functies (Zazkis, Liljedahl, & Gadowsky, 2003). Dat zorgt ervoor dat mijn onderzoek extra nuttig is.
Nut van het leren van transformaties
Tijdens het lezen van literatuur kwam ik regelmatig argumenten tegen waarom het onderwerp transformeren van functies belangrijk is. Transformaties geven leerlingen nieuwe mogelijkheden om het concept van functie te gebruiken en erover na te denken. Daarnaast kunnen ze een nuttig hulpmiddel worden in meer moderne wiskundige onderwerpen (Lage & Gaisman, 2006).
‘’Het leren en onderwijzen van functietransformatie heeft een belangrijke plaats, omdat het nieuwe mogelijkheden biedt voor leerlingen om kennis met betrekking tot het concept van functie te gebruiken, te reflecteren en te ontdekken.’’ (Boz-Yaman & Yigit Koyunkaya, 2019).
APOS-theorie
Verschillende studies (Boz-Yaman & Yigit Koyunkaya, 2019; Lage & Gaisman, 2006; Baker, Hemenway, & Trigueros, 2001) schrijven over resultaten analyseren met behulp van de APOS-theorie. APOS-theorie staat voor Action (Actie) – Process (Proces) – Object – Schema (Baker, Hemenway, & Trigueros, 2001).
31 Op actieniveau kunnen leerlingen transformaties uitvoeren op functies in een analytische context door waarden daarin één voor één te vervangen en door de grafiek van de functie te tekenen op basis van de evaluatie van onafhankelijke punten. Deze leerlingen zijn afhankelijk van concrete visualisatie om eigenschappen van getransformeerde functies te kunnen afleiden en hebben op zijn best een statisch concept van transformatie. Het is het laagste abstractieniveau.
Op procesniveau kunnen leerlingen de acties coördineren van de evaluatie van de functie op verschillende punten en de verandering in de eigenschappen die voortvloeit uit de toepassing van de transformatie in het geval van eenvoudige functies, in een grafische of analytische context. Deze leerlingen hebben een meer dynamische opvatting van transformatie ontwikkeld en kunnen tussenstappen tussen de begin- en eindstatus bedenken op basis van de eigenschappen van de basisfuncties maar alleen wanneer deze eenvoudig zijn. Voorbeelden van basisfuncties zijn lineaire, kwadratische, exponentiële, logaritmische en rationale functies.
Leerlingen op objectniveau hebben het proces van het toepassen van een transformatie op elke functie eigen gemaakt en kunnen van tevoren de eigenschappen van de getransformeerde functie vertellen. Ze zijn ook in staat om een complexere functie te identificeren als het resultaat van het toepassen van transformaties op een basisfunctie onafhankelijk van de weergave van de gegeven informatie (Baker, Hemenway, & Trigueros, 2001).
Een schema is een verzameling geconstrueerde acties, processen, objecten en andere schema’s georganiseerd in gestructureerde vorm. Het is een totaliteit van kennis die logisch verbonden is met een bepaald concept (Boz-Yaman & Yigit Koyunkaya, 2019).
Begrijpen
In Handboek wiskundedidactiek komt naar voren dat naast parate kennis, weten dat, ook het aanpakken van problemen, weten hoe en het begrijpen van wiskunde, weten waarom, waardevolle doelen van wiskundeonderwijs zijn (Drijvers, Streun, & Zwaneveld, 2012). Arcavi schrijft hier ook over, maar dan specifiek voor algebra. Hij pleit voor symbol sense wat betekent dat algebra meer is dan het uitvoeren van basisprocedures. Symbol sense omvat het weten hoe en weten waarom (Drijvers, 2012).
Bij het specifieke concept transformaties is het verschil tussen weten dat en weten waarom van toepassing bij de transformaties waar een functie bijvoorbeeld horizontaal of verticaal wordt getransleerd. Transformaties worden traditioneel geleerd met een sterke nadruk op algebraïsche symboliek, met nadruk op het leren van algebraïsche regels (Sever & Yerushalmy, 2007). Dit valt onder weten dat. Volgens verschillende studies (Sever & Yerushalmy, 2007; Lage & Gaisman, 2006) worden transformaties in de horizontale richting minder goed begrepen dan in de verticale
richting.
De horizontale verschuiving van bijvoorbeeld een parabool is niet in overeenstemming met de verwachtingen en contra-intuïtief voor de meeste leerlingen. Leerlingen denken dat als een functie 𝑦 = 𝑥2 wordt veranderd naar 𝑦 = (𝑥 − 3)2, er een verschuiving van drie naar links is geweest, terwijl dit een verschuiving van drie naar rechts is.
Veel leerlingen onthouden dit als één van de contra-intuïtieve feiten van de wiskunde. De grootste zorg van leerlingen lijkt te zijn om dit feit te onthouden, in plaats van het te begrijpen (Zazkis, Liljedahl, & Gadowsky, 2003).
Verticale transformaties lijken gemakkelijker voor de leerlingen dan horizontale transformaties. Verticale transformaties zijn acties die rechtstreeks op de basisfuncties worden uitgevoerd.
