De rekverdeling over het vrije manteloppervlak bij het stuiken
van een cilindervormig proefstuk
Citation for published version (APA):
vd Hombergh, P. J. F. J. (1976). De rekverdeling over het vrije manteloppervlak bij het stuiken van een
cilindervormig proefstuk. (TH Eindhoven. Afd. Werktuigbouwkunde, Laboratorium voor mechanische technologie
en werkplaatstechniek : WT rapporten; Vol. WT0379). Technische Hogeschool Eindhoven.
Document status and date:
Gepubliceerd: 01/01/1976
Document Version:
Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record
Please check the document version of this publication:
• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be
important differences between the submitted version and the official published version of record. People
interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the
DOI to the publisher's website.
• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.
• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page
numbers.
Link to publication
General rights
Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain
• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.
If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:
www.tue.nl/taverne Take down policy
If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl
providing details and we will investigate your claim.
De rekverdel ing over het vrlJe
manteloppervlak bij het stuiken
van een cilindervormig proefstuk.
P.J.F.J.
van den Hombergh
w.
76.25
Rapport
U.D.C.
PT
0379
539.52
539.374.6
Code
P.6a.
T E C H N I S C H E
HOG ESC H 0 0 L
E I N D H 0 V E N
6. Literatuur.
A
note on surface fracture in upsetting.
(1)
Sektierapport THE PT Sektie omvormtechnologie feb.
1976
Het
deformatie
Ir. J.A.G. Kals
M.J.H. Smeets
Ir. J.A.G. Kals
Metaalbewerking Jaargang
39
Nr.
15
Grondslagen der mechanische technologie
Deel drie
"Dieptrekken"
Ir. J .A.G. Kals
THE Collegediktaat
'69-'70
Toekomstig diktaat voor H.T.S.-en.
Sektie Omvormtechnologie.
Vakgroep voor produktietechnologie
THE
Analyse van het persen
I
r .
J.
A • G.
Ka
1
s
. THE
W PT Sektie Omvormtechnologie
Internationla Collective Calibration Test
Program of Cold Upsettability Test
C.I.R.P.
Prof. H.Kudo
januari
1975
10-1 -1974
Japan
( 2)(4)
(5)
(6 )Dankwoord.
In het kader van mijn afstudeeropdracht voor de studie aan de afdeling
werktuighouwkunde aan de Hogere Technische School te Venlo, heeft men mij
de mogelijkheid gegeven een deelonderzoek te verrichten aan
Technische
Hogeschool te Eindhoven.
In een zeer prettige werkkring heb ik deze opdracht kunnen vervuUen met
een buitengewoon behulpzame medewerking van de leden van de Sektie Plastische
Qrnvormingvan de vakgroep ProduktietechnoZogie, te weten:
Ir. J.A.G. Kala
Dr.
Ir. J. A. H. Ramaekers
Ir. L.J.A.
Houtac~ersIr. S.M. Hoogenboom
M.Th. de Groot
A.C.F. van Ierland
M.van der Meulen
M.J.H. Smeets
Dr. S.Y. Lee
Verder was
Drs. N. A. L. Touwen mi;j zeer
behulpzaam bij het rekenwerk op de komputer, en Mevr. M.H.W. van BoxteZ-Rieken
bij de typografische verzorging.
Speciaal wil ik noemen de heren It'. J.A.G. Kals en M.J.H. Smeets
ldie mi;j zeer
goed hebben begeleid bij mi,fn werkzaamheden.., en Ir. J.L.E. Rampart als begeleidend
docent van de H.T.S.
Voor de bijdrage aan de uiterZijke veY'zoY'ging van mijn verslag wil ik mi,fn
vriendin Veroniek bedanken.
Inhoud
Titelpagina.
Aantal pagina's.
1
Dankwoord.
Inhoudsopgave.
Lijst van sym.bolen.
1.Inleiding.
2. Vrij stuiken.
begripsbepaling en theorie.
2.1. Probleemstelling.
2.2. Het veranderende buitenoppervlak.
2.3. De gemiddelde spanningen aan hat vrije
opper-vlak.
1
2
<1
2
7
2.4. De gemiddelde rek in het vrije manteloppervlak.
2.6. De gemiddelde e
h
en
E1
•
3. Experimenten
3.1. Proefopstelling.
3.2. Meetmethoden.
3.3. Uitvoering van de proeven.
4. Meetresultaten.
5. Conclusies en discussie
6. Literatuur.
Appendix A
1. Mechanismen en methoden voor de beschrijving
van vervormingen.
2
1
2
1
15
2. Defenities. berekeningen en onderlinge verbanden.
3. Cirkels van Mohr.
4. Vloeivoorwaarden.
5. Deformatieweg en arbeid.
Appendix B
1. Raster methode.
1.1. Het
aanbreng~n.1.2. Het gebruik.
Appendix C
Afleidingen.
2
2Appendix 0
Meet en berekeningstabellen
Trekproeven
Stuikproeven
Appendix
E
Meettabel.
Appendix
F
Grafieken.
Appendix G
Formulebladen
(verstevigingsrelaties)
(rekberekeningen.)
21
3
18
1
13
3
Summary.
In predicting the behaviour of material being formed, all kinds of tests, very
much like the real forming process, were and are still being used.
In scientifically describing plasticity-processes, it is not satisfactory
to consider a test to be good, if only it looks similar to the forming process.
That also applies to the upsetting process.
In this process an upsetting-test is used, in which the tool platens are
roughened to make them stick completly to the testing piece.
With any criterion to determine maximum deformation, the outer free surface
was used as a standard, though it was not known what really happened on this
surface.
The purpose of these investigations is to visualize the relation between
the strain £H' measured
ds
decrease of total specimen height, and the strain
£h' (
The change of height of an area element on the free surface.)
This was to be done by means of the so called gritt method.
Measuring the strainpath of an area element on the free surface had to be
measured,too.
Theoretically a non-straight relation between £h and £H was found. as well
as a non-straight strainppth.
The experiments gave a similar result, though they did not fully comply with
the mathematical formulas, used in the theory.
This was probably caused by the way free surface area flows to the
contact-planes,
Lijst van gebruikte symbolen.
Oppervlakte
c
Materiaalkonstante
CM.L-
1
.T~2)
o
Doorsnede
(ll
d
differentiator
(-)
e
grondtal natuurlijke logaritme
(-) 2.718281828
E
(met indexenl
rekken
(-)F
Kracht
(M.l.T
-2
)
H (met indexen)
Hoogte
(L)relatiefaktor
(M- 1 .L.T
2
)
n
verstevigingsexponent
(-)
getal (konstante)
(-)3.1415926S4
Oppervlakte-element
(l2)
cr (met indexen)
Spanning.
(ffl.
l -1. T -2)
L
(met indexen)
Schuifspanning
(M.L- 1 .T- 2 )
-1
.1-1.
Inleiding.
In de tegenwoordige produktietechnologie gaat het meest economisch
ver-vaardigen sen steeds grotere rol spslen. Het producersn van
gebruiksvoor-werpen.of onderdelen daarvan uit metaal,vindt nag steeds hoofdzakelijk
plaats in de"krullenmakerij". waarbij men vaak uit het oog verliest. dat
veel produkten in de massafabricage veelvuldig (geheel of voor een deel)
kunnen worden vervaardigd. zander de in vele gevallen aneconomische
verspan-ende bewerkingen.
De produktietechnoloog, die in de toekomst een groter deel van zijn aandacht
wijdt aan het spaanloos omvormen. zal zeker een groeiend aantal alternatieven
ontdekken. bij het economisch produceren.
Hoewel de in het voorgaande geschetste voordelen voor zich spreken, heeft
heeft de spaanloze omvormtechnologie nog steeds een aanmerkelijke
achter-stand op de verspanende bewerkingen in te lopeno
Oit is grotendeels te .verklaren aan. de hand van het feit. dat de spaanloze of
plastische omvormtechniek zoveel moeilijker te beheersen procesfaktoren kent.
In principe heeft elk verschillend produkt zijn eigen spec1fieke moeilijkheden.
Bij de verspanende produktie zijn de problemen meestal. terug tebrengen tot
sp~nproblemen.
De problemen die zich voordoen bij het eigenlijke verspanen
zijn universeel oplosbaar.(of zijn reeds opgelost.)
Bij de plastische omvorming vereist elk nieuw ppodukt een nieuw gereedschap.
waarbij dit, en het proces geoptimaliseerd moeten worden, met zoveel meer
(en soms onbek.ende ) invloeden van vorm, materiaal en gereedschap.
Een van de moeilijkheden is het vinden van goede testcriteria voor het bepalen
van de geschiktheid van de verschillende technische material en om een specifieke
spaanloze omvormbewerk1ng te ondergaan.
Reeds lang probeert men de verschillende omvormprocessen 1n modellen. die
technisch zo goed mogelijk bruikbaar moeten zijn. te vangen.
Oit geldt eveneens voor het grote aantal verschillende test.
I~
vele gevallen blijken de test dan n1et de gestelde vragen te beantwoorden.
In het Kader van een internationaal onderzoek wordt nu onderzocht. of een
stuik~proef, zoals beschreven wordt in dit verslag, een bruikbare test is voor het test
van de geschiktheid van materialen om stuikende bewerkingen te onaergaan.
-1
.2-Het door mij uit te voeren onderzoek in verband hiermee behelst:
1. Het uitvoeren van stuikproeven met ruwe drukplaten, waarbij de volgende
faktoren worden gevarieerd:
- materiaalsoort.
- dehoogte-diameterverhouding tussen hold
O
=
1.5 en D,S.
2.
In
elke testsituatie dient - onder gebruikmaking van de fotografische
rastertechniek - de rekweg van oppervlakteelementjes aan de "equator"
kwantitatief gevolgd en vastgelegd te worden. Tevens dient de variatie
(spreiding) over de hoogte te worden gevolgd.
De rekwegen worden overzichtelijk weergegeven in
(£1,£2,£3)
grafieken,
ter vergelijking.
3. Het breukbegin dient visueel te worden waargsnomen en eveneens in de grafieken
te worden weergegeven ( voor zover het wordt waargenomen).
Aandacht dient te worden geschonken aan mogelijke aanwijzingen in de richting
van. breukcriteria in eventueel verschillende breukvormen.
4.
Het meten van het vloeigedrag m.b.v. de trekproef als referentie.
2. Vrij stuiken.
8egripsbepaling en theorie.
-2.1
Een goede omschrijving voor vrij stuiken is:
Het samendrukken van een massief specimen ( in ans geval cilindrisch) tussen
twee evenwiidige vlakken. zodanig. dat het proefstukje slechta in
~6nrichting.
de drukrichting. is apgesloten.
In het verI eden werd een dergelijke bewerking als proef voor het testen van
de vervormbaarheid van materialen tijdens een met vrij stuiken vergelijkbaar
omvormproces.
8ij deze proef werd aangenomen dat de deformatie over het gehele stuikblokje
uniform is, ondanks de nog te bespreken wrijving. ·en het daardoor veroorzaakte
drukbergfenomeen. In deze beschouwingen werd eveneens aangenomen. dat de hoogte
van een oppervlakteelementje aan het mantelappervlak van de cilinder gelijkmatig
afneemt. evenredig aan de hoogte afname van het stuikblokje. (zie fig. 2.1.)
..
'.1" t/f/1- -..,,~-
...
I '>
~ '\. .II,
..
'I"Id"R(p:Ye
-t"o!. ,..,,~ ~,
\i
"l
,
I M(;.t/e" ti'.~JWII[' ;-Pt' /-(!> ...,t, "",,';/-,,:1',...
t"'~~-
-,.
•
"-
.J...
~ l,;'--
-In de genoemde proef werden verschillende kriteria gebruikt voor het bepalen
van de maximale vervormbaarheid. Geen van deze uiterlijke kriteria kan
echter beschreven worden in een of andere model theorie. Oit is weI het geval
met sen theoretische instabiliteitsbeschouWing.
2.2.
2.1. Probleemstelling.
Het is zander meer duidelijk, dat een hiervoor genoemde test zo goed mogelijk
moet voldoen.
Het is echter zeer moeilijk am een bevredigende relatie te vinden tussen de
vervormbaarheid bij stuiken. en objectief te meten proces en materiaal
para-meters.
Niettemin moet er een theorie bestaan die een weg opent naar selektief
onder-zoek. Op dit punt bestaat er nog niet veel bruikbare literatuur.
P.
Baque heeft een interessante bijdrage geleverd, welke gebaseerd is op de
voorwaarde van Hill:
(20)
waarin
(J=
h
de axiale rek
(J=
I
de tangentiele rek
K
f
=
de momentane vloeispanning
E =de effektieve rek
De experiment en van Baque zijn met behulp van een elektronenmicroscoop
voerd. waarmee de groei van microholtes aan het vrije oppervlak werd
onder-zocht.
Hoewel dit een interessante benadering is, moeten er toch enkele bezwaren
worden aangevoerd. omdat de korrelgrootts in het materiaal. welke weI degelijk
een grote invloed heeft. buiten de beschouwingen gelaten wordt.
Naar het idee van Kale en Smeets (Lit. 1.J is locale plastische instabiliteit
een noodzakelijke voorwaarde voor de vorming van diskontinuiteiten in de
rekver-deling en daardoor microscheuren.
2.2.
Het veranderend buitenoppervlak.
De volgende beschouwingen zijn gebaseerd op de stelling. dat een
oppervlakte-scheur, als geconcentreerde oppervlaktevergroting. niet kan ontstaan. als
de rekken aan het vrije oppervlak negatief zijn.
Een cil!ndervormig proefstukje heeft een konstant volume
V:
en een
Hierin
V= V
=
~.H .02
= n4
•H .0 2
0 4 0a
buitenoppervlak A:
A=A +A
c
f
=~
2"
0 2
+ n . •0
H
:::
~
(0
+2H).0
is: A het kontaktoppervlak met de stuikplaten
c
Af het vrije manteloppervlak.
Uit
2~
vinden we :
[J
0= 2.1
n~H
Door (23)
in (22) te substitueren vinden we
(21 )
. (22)
2.3.
A::: 2.
n •
j1x
~
H \ .(
J
~
H',
+H
J
(24)
Nu lijkt het interessant am te weten of dit oppervlak sen extreme waarde
heeft, waarvaar we eerste en tweede afgeleide bepalen. (zie Appendix C.
dA
=
2.n~
•
[~-.1.
J
V \ )
(25)dH
n.H
H
n.H
d
2A
n
.'FiJj.
[H
)
dH~
=
2H2
V
7
,'
4,'0 - 1
( 25i:i)
Vaal" de extreme waarde geldt:
.£6.=
0 +~=
.1.J;V \
+4.V=n
H3dH
H n.H
(26)
Substitutie in (21) geeft:
02:::: H2
of O=H
Oat dit de voarwaarde is vaal" hat minimale oppervlak.. valgt uit de tweede
afgeleide. die tel" plaatse grater als nul is.
De hoogte H en de diameter 0 • behorende bij het minimale oppervlak volgen
m
m
uit
(21)'IT
2
V= 7.H .0
"'F
m m
2.3.
Het vrlJe manteloppervlak.
Uit de formule A
f
=2''IT.H.\ln:H',
waarvan de waarde afneemt
bij afnemende hoogte, voIgt, dat het vrije buitenoppervlak steeds Kleiner wordt.
Uit experimenten blijkt echter, dat
81"scheuren aptreden, zodat de stelling
aan het begin van 2.2. fautief lijkt.
Uit zorgvuldige proeven bleek eehter dat dan de randen van het vrije oppervlak
materiaal in de stuikvlakken rolt, als gevolg van wrijving
aan de kapse
vlakken. In het extreme gaval van maximale "stick" van proefstukmateriaal
t.o.v. de stuikstempels, wat bijvaorbeeld gerealiseerd kan worden door de
platen op te ruwen, moet de gehele oppervlakte toename, oak die tegen de
2.4.
Hieruit kunnen we konkluderen dat de rekken aan het vrije oppervlak positief
zijn. en zodoende mag de stelling in 2.2. nag steeds zeer redelijk blijken.
2.4.
De gemiddelde spanningen aan het vrije oppervlak.
Voor
of
een willekeurig element Sf
dS
~S=
dE
+dE
(=-dE
J
f
1
h
r
~
=
9Q
+de
Sf
D.
h
dE
==~
-£Q.
van het vrije oppervlak Af geldt:
(27)
(28)
(29)
h
S
0
0r=O ( radiafe spanning vanwege krachtenevenwicht aan het mantelappervlak)
met
geldt oak:
dE
rHiermee, en met vergelijking
(11)vinden we:
dS
f
=dA
(0 +0)=
(30)
Sf
2
1
h
We kunnen nu konkluderen, dat voor het ontstaan van nieuw oppervlak in de
mantel geldt:
01
+oh
>0 (31 )Op het eerste oog is dit niet tegenstrijdig metvergelijking (20).
2.5. De gemiddelde rek in het vrije manteloppervlak.
Als we aannemen dat het materiaal aan het oppervlak volkomen gelijkmatig rekt.
en er volkomen "stick" optreedt. dan geldt bij een incrementele rekstap:
met
en
dAc+ dAf
Af
dA
Af
volgens vergelijking (25)
/\!'
{1
1
{Ii'}
dA '"
2'IT
V":IT:H •
2 -H
V1f:H
.dH
~
vA
==2'IT
-f
'fT.H
Substitutie van(25)en(33) in(32) geeft:
~=1·
[1
_ll'V-')dH=
Sf H
aH\fIT?H
(32)
(33)
(34)
Om
het deformatieve karakter van deze vergelijking aan te dikken kunnen we
met
(27)
schrijven: dE
=
[11..0
V ,. -
1.J
dH
(35).
r
H
'IT.H
2HJ
Vervolgens integreren we deze vergelijking (zie Appendix C )
£r
=-~!f.
[H
~/H
- H
~/H
}
-Hn(HlH
o )
(36)
' - '
e
e
0 0Om praktische redenen is het verkieselijk am
H /H
(H
is de eindhoogteJ
e
a
e
te gebruiken als momentane
Dan wordt
1
.
0
0E
r
=
-
3"
H'
0
of
st~pparamet8r.2.5.
In deze vorm is de vergelijking goed bruikbaar voor de grafische
weer-gave van een en andere
We moeten echter niet uit het DOg verliezen, dat
£r
aIleen reDresentatief
.
is voor de gemiddelde lokale rekincrement onder extreme, maar realistische
"stick" omstandigheden.
2.6.
De gemiddelde Eh
en £1
Uit de vergelijkingen (38) en
1 0
=-€r
=
3"
W· (
o
Uit (23)
voIgt
}1;
v
0= 2.
- H
. 'IT • •we dat
+!In(H
/H )
e
0o
'0;'
-+0 '"
Do, fFC'.·':"":'OHH of
oVW·
e
V·"F1...
. e
£1= InO
e
10 '"
-~ln{HIH )
0e
0en met vergelijking wordt dan
_~E
h
=iW([~]
2 -1
o
0 +In(H /H )
e
0(38)
(39)
(40 )
Uit deze vergelijkingen kunnen we een tabel samenstellen en grafieken maken
van de rekweg
(in een IT-vlak-diagraml en de relatie tuseen £h en £H •
voor gefingeerde He/Ho verhoudingen. ( zie tabel 2.1. en fig 2.3. en 2.4.)
TabeI2.1.
0,9
O,B
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
-0,1054
-0.2231
-0,3567
-0.5108
-0.6831
-0.9163
-1,2040
-1,6094
H
-:::0=o
o
0,0527
0,1116
0.1784
0,2554
0,3466
0,4582
0.6020
0,8047
-0,0674
-0,1348
-0.1985
-0,2549
;-0;2868
-0,2601
-0,0738
0,6529
-0,0483
-0,0916
-0,1209
-0,1269
-0,0836
0,0680
0,4913
1,7840
0,0087
fl,
041 9
0,1150
0,257
°
0,5258
1,0522
2.1865
5,1775
)tql
6
S=1
.f;,
.v
,
2
I 0-I
-2
-3
Th
e &>1'11: f t ' ./CAere
/d f-I'<!", s4
e',#t ~.-7
N.
w
N.
en.
\ <; \ '2
\
It'/'z
...
m _
-\ - I 2 I\
Z :J I ~ I\
-;It:
I -h...
k~ / O'Q.
~ 1'0<
~-<;-3. Experimenten.
3.1.
Proefopstelling.
Zoals
besehreven in het voorgaande moeten wij de
invloed
van variabele wrijving
uitschakelen
.
Oit
is te realiseren
door volkomen
"stick"
te veroorzaken.
d.w.z.
dat
het
materiaal
aan de kopse
vlakken
van het proefstukje zieh
niet in
radi-ale riehting
kan verplaatsen.
Oit
probleem werd
opgelost,
door in
de drukplaten, waartussen het
proefstukje
tijdens
het persen geplaatst werd, van concentrisehe groeven te voorzien.
( Deze
werden in dit gevel
aangebraeht
door middel
van
vonkerosie.)
De beide
drukplaten
werden in een stempelhouder met geleidingen geplaatst
,
zodat ze
steeds op dezelfde manier
boven
elkaar staan.
(zie
foto
3.1.)
Het
geheel
werd geplaatst in een
250
tons pers (merk Avery
type
7112
eeg
.)
in het laboratorium
voor
plastisehe vormgeving. (zie
foto
3.2
.
)
Voor de meting van
de
raster-afmetingen
werd gebruik gemaakt
van
een
werkplaatsmicroscoop,
met
daarop
gemonteerd een kruis
-tafe
l
met meetklokjes en een
zogenaamd
V-blok
.(
zie foto
3.3.)
Voor de bepaling van de materiaal-
foto
3.1.
eonstanten(
C,
n
en eventu8el
Eo, zie Appendix A) werden trekproeven uitge
-voe
r
d
op
de
"
Houndsfield
lenso
meter
"
serienumm
er
W 6263 in het laboratorium.
3.2.
Meetmethoden.
De stuikproeven bestonden uit het eigenlijke stuiken met de Avery-pers
en het daana opmeten van de volgende
geometrie~n:De minimale en maximale hoogte van het stuikblokje. (H.
en H
)
mln
max
De maximale diameter van het stuikblokje. (0
)
max
3.2.
De hoagte h en lengte I van steeds dezelfde axiaal verlapende rij rasterhakjes.
Verder werd de perskracht per stap
genoteerd. Bij de trekproef werd de
Kracht en de diameter in
10
stappen
opgemeten en genoteerd.
3.3. Uitvoering van de proeven.
Voar de proeven.werden drie materialen uitgezocht, te weten:
Aluminium. (99,99
% zuiver) merk Erftal.
o
Koper, Electrolitisch, normaalgegloeid
(1
uur op
500
C.)
"Kobe steel", staal
42.
Japans fabrikaat •.
Al deze material en in normaalgegloeide toestand (voor het stEial en aluminium
fabrieksmatig) •
Van deze materialen werden door verspaning proefstukjes gemaakt van
~14
mm
en hoag respectievel ij k 7
14
en
21
mm. (
HID
verhouding ;,
1
en
1!)
De genoemde proefstukjes zijn voorzien van een centreerboring (een kegelvormig
. 0
gat met een tophoek van
120 ),
waarmee zij tussen de stempels gecentreerd
konden worden met een daarop aanwezig kegeltje. Dit in verband met de concentrische
groeven, am de defarmatie aan het kopse vlak gelijkmatig te hauden.
Tevens werden van de material en
trekstaa~jes gemaakt, passend ap·de trekbank.
De gegevens van de stuikpraeven werden in meettabellen genoteerd. (z1e
voor-beeld Appendix E) Later werden deze gegevens in ponskaarten gepanst. evenals
de gegevens uit de trekproeven.
4.
Meetrssultaten.
Van de verkregen"meetresultaten zijn, via rekenprogramma's (zie uitvoer
Appendix
0.)
de volgende grafieken gemaakt.
Voor de trekproeven:
1.
De verstevigingsrelaties op dubbellogaritmisch papier. (appendix F
1.)
Voor de stuikproeven:
2.
De axiaal gemiddelde rek In(H/H ) op de abcis tegen de lokaal gemeten
o
axiale rek op de ordinaat, voor drie material en op een grafiek.
(Appendix F 2.1.,2.2 .• 2.3. voor
HID
verhoudingen van resp.
~.1en
1~5.Conclusies en discussie
Uit de verkregen grafieken zien we dat de relatie. welke in de theorien
ontwikkeld is niet geheel voldoet aan de werkelijkheid.
Uit de figuren blijkt. dat de relaties ongeveer het midden houden tussen
de vroeger veronderstelde lijnspanning en de theoretische relaties.
(dit geldt zawel vaor £h=f(£H) als voor de rekwegen.)
De proefstukjes met grotere slankheid tenderen (althans in het eerste deel
van de kromme) meer naar de lijnspanning. Dit verklaart zich met het feit.
dat de
hebben.
rekken aan de randzones nag niet zo'n grate invlaed
In de theorie zijn de materiaalparameters nog niet geheel tot uiting gekomen.
maar er blijkt nergens duidelijk utt de proefresultaten dat de
materiaal-eigenschappen zoals n en C invloed hebben op het verloop van de kramme's.
WeI is het zander meer duidelijk geworden. dat de karrelgraotte een behoorlijke
rol speelt in de betrouwbaarheid van de metingen. en misschien heeft zij oak
invloed op de genoemde relaties, hoewel dit niet geheel tot uiting komt.
De invloed ap de metingen was voaral te merken bij het aluminium, waar door
de grate karrel een gratere spreiding in de meetresultaten optrad.
Verder is aIleen bij het "Kobe Steel" sc heurvorming geconstateerd. en weI
volkomen axiaal verlopende scheuren. Bij het aluminium werden enige lokale
instabiliteiten (holtes) waargenomen, welke echter niet door en door het
mat-eriaal liepen.
Mogelijke oarzaken van de geconstateerde afwijkingen kunnen zijn:
Het oppervlaktemateriaal ondervindt een rek (waarschijnlijk positief en
in de h- richting) bij het overgaan van vrije mantelvIak naar een der
stuik-vlakken. welke steeds gratere afwijkingen veroorzaakt bij afnemende
proefstuk-hoagte. Dit heeft vermaedelijk als aorzaak. dat de afschuifvlakken bij kleinere
hoogten niet meer onder 45
0liggen. waardoor de hoogte h van een oppervlakte
element zal toenemen i.p.v. gelijk blijven zoals aangenomen.
(zie fig. 5.1.)
'---+---~----'
~-Ii,.
5".1. hODJl:e lIetql"'o(-inJ(-u!lrJ
doc>
I'"Vetd/"eitliihg-5.2.
Een suggestie voor verder onderzoek kan zijn:
Het met en van de rekken dicht bij de stuikvIakken.
Hierbij zal echter weI de tonvorm van de proefstukjes gemeten moeten worden.
wat zou kunnen gebeuren door de verplaatsing van de microscoop te meten
bij het scherpstellen (dus in vertikale richting), Oit zou bijvoorbseld
mogelijk worden door een meetkIokje de vertikale verplaatsing te Iaten
meten, zoals foto 3.3. suggereert.
6.1 .
6.
Literatuur.
A
note on surface fracture in upsetting.
Ir. J. A. G. Kal s
(1 )M.J.H. Smeets
feb. 1976
Het begrip deformatie
I
r.
J.
A • G. Ka 1 s
( 2)
Metaalbewerking Jaargang 39 Nr. 15
10-1-1974
Grondslagen der mechanische technologie
Oeel
III
"Oieptrekken"
(3)
Ir. J.,l\.G.
Kals
Toekomstig diktaat voor H.T.S.en
Sektie Plastische vormgeving
Vakgroep Produktie Technologie
T.H. Eindhoven
Analyse van het persen
L.J.A. Houtackers.
International Collective Calibration Test
Program of Cold Upssttability Test
C.
LR.P Rapport
Prof. H.Kudo
Japan
januari 1975
(4)
(5)
Appendix A
1
1.
Mechanismen en methoden voor de beschrijving van vervormingen.
In het algemeen worden plastische vervormingen mogelijk gemaakt door in het
materiaal aanwezige lokale roosterfouten. Zij maken het namelijk mogelijk
dat de roostervlakken onder een vee 1 lagere spanning over elkaar kunnen
schui-ven dan zou volgen uit zuiver fisische berekeningen over de bindingen in de
kristallen. De meeste bekende construktiematerialen kennen bij plastische
vervorming de eigenschap dat naannate de vervorming verder voortschrijdt.
de weerstand tegen die vervorming wordt vergroot.Deze verstevigingsrelatie
werd het eerst beschreven door Ludwik (1909). Hij beschreef de relatie
tus-sen de vervormende spanning en de vervorming of rek als voIgt:
-
- n
(1 ]a '" aD
+cCe:)
waarin
fjde effektieve spanning.
aO: de vloeispanning.
e
de effektieve vervorming (rekJ.
C
de specifieke spanningscomponent. (bij£=1J.
n
de verstevigingsexponent. (naam werd toegekend door Swift.)
Later (1939) werd door Nadai de relatie geschreven a1s:
(2 )
Hierbij va1t op te merken dat Ludwik rekening houdt met de v1oeispanning.
en Nadai niet. Uit onderzoekingen is gebleken dat vele materialen reeds bij
zeer lage spanningen plastische deformatie kennen.
Door Nadai te schrijven als:
-
- n
a
=c.{ eO+d
(3)heeft men een zeer goed passende betrekking gevonden voor de relatie tussen
spanning en vervorming. In
£0
is alles onder te brengen. wat 'te maken he eft
met de deels onbekende uitgangstoestand van het materiaal.
Zo is de vloeispanning te schrijven als:
(3a)
een bepaald materiaal beschreven wordt door de steeds dezelfde kramme,
waarbij de plaats van de funktie in het assenstelsel bepaald wordt door
een horizontale verschuiving welke gelijk is aan de waarde van £0 .(z1e fig. Ai)
a
Fig. A1
De fout die menmaakt door bij de vlaeispanning de elasticiteitsmadulus te
verwaarlozen is in de meeste gevallen klein,in de plasticiteitsmechanica
althans. De vervarming
E
welke in formule (3) dient te worden ingevuld is
de effektieve rek, welke bepaald wordt door samenstelling van de natuurlijke
rekken in de drie hoofdrichtingen, welke weer bepaald worden door de formules:
dEl =dA.(O'l-
O'Z+0'3)2
dEZ :::d)"(O'z- 0'3+0'1)
2
(4)
d£3 =dA.(0'3-
0'2+0'1
.. 2
Hierin zijn
0'1_O'z en 0'3 de spanningen in de drie beschouwde hoofdrichtingen.
2. Oefenities, berekeningen en anderlinge verbanden tussen de verschillende
grootheden.
2.1.
~In het algemeen zijn spanningen a gedefinieerd als:
(5 )
uO'o is een overblijfsel uit de
kl~ssiekesterkteleer, namelijk de zogenaamde
vloeispanning of elasticiteitsgrens. Oit is de spanning waarbij het materiaal
plastisch. begint te vervarmen. Ze wordt gedefinieerd naar gelang de
toepas-sing en het onderzochte materiaal. Bekende benamingen die gebruikt worden
zijn
aO~'a
I
0e.d.
De moderne plasticiteitsleer kent in principe geen
~
v oel
vloeigrens, maar zegt dat ieder materiaal onder elke spanning in een bepaalde
mate plastische vervorming
01
vloei vertoont.
2.2. aI' a2
en
a3 .
Deze spanningen voldoen eveneens aan de spanningsdefenitie (5).
Os
spanningen
a1. a2
ena3 zijn de spanningen in de drie hoofdrichtingen in
een ruimtelijke koordinatenstelsel. In
fig~2iseen materiaaldesltje met de
daarop aanwezige spanningen, getekend.
Fig. A2.
De grootte van de waargenomen spanningen op de loodrechte vlakken van het
elementje zijn behalve afhankelijk van de spanningstoestand van het lichaam
ook afhankelijk van de gekozen stand van de loodrechte coordinatenassen door
het elementje. Uiteraard is het totaalbeeld van de spanningen steeds hetzelfde
bij eenzelfde spanningstoestand. De stand van de loodrechte vlakken door het
elementje worden aIleen bepaald door de manier waarop men het beschouwde
ele-mentje bekijkt. dus via welk assenstelsel. De spanningstoestand wordt ook
weI de spanningstensor genoemd.
De spanningen. waarvan de twee indexen i en j verschillend zijn , zijn de
zogenaamde schuifspanningen (veelal aangeduid met
'OJ)'
De paren van
schuif-1 .
spanningen, waarbij de indexen verwisseld
n (bijv. a13en
a31)
zijn gelijk
doch in draaizin tegengesteld gericht aan elkaar. ( Dit is eenvoudig
aantoon-baar met momentenevenwicht voor eenelementje in statisch evenwicht.J
Het zo gevormde spanningsbeeld kan beschreven worden in een matrix.
Men kan nu deze matrix door transformaties omzetten in een matrix • waarbij
de elementen welke niet op de hoofddiagonaal liggen, 0 worden. De dan
Appendix A
4
genoemd. De eerste matrix ziet er uit als voIgt:
en na transformatie:
r~l ~2 ~
1
lo a
a3
In feite heeft men dan de kubus zoals getekend in
fig.~~zodanig am zijn
3
assen geroteerd. dat de schuifspanningen gelijk aan
a
worden.
2.3.
a
-
o wordt de effektieve spanning genoemd. en is in tegenstelling tot
all
a2
en a3 geen vektorgrootheid. maar een scalair. De effektieve spanning werd
door von Mises als voIgt gedefinieerd:
(6)
2.4. £0
e::O
is een maat voor de toestand van het uitgangsmateriaal. welke men zich
kan voorstellen als een hypothetische voorvervorming.
2 • 5 •
€:I Ie:: 2 en e:: S •
Vervorming van een elementair deeltje kan opgebouwd gedacht worden uit 9
ver-vormingen. te weten 1 loodrecht op elk van de drie loodrechte vlakken en
tel-kens twee in de vlakken zelf. lie
fig.A3~.Ookhiervoor is weer een matrix op te
zetten. welke eveneens valt te transformeren. maar nu zodanig dat aIleen de
de::. overblijven. In deze matrix zijn de rekincrementen de::. in de hoofdrichtingen
1 1
gedacht. Oat de hoofdrichtingen van de vervormingen samenvallen met de
hoofd-richtingen van de spanningen is snel in te zien. maar wordt hier niet bewezen.
De samenhang tussen de vervormingen en de spanningen is volgens Levy-von
Mi~e~-de::
1=dX(Ol-
02+ ( 3)2
03+°1
d£2 =d A(a2-
j'2 )
'( 4)
de:: 3 =d A(a3-
02+2
a ,)
I
I
I
I
I
j _ ...e
...
22I
J - - - -
J-
--
-. / , / . /
'"
Fig A3.
Bij het vervormen treedt geen volumevariatie op(zog. volumeinvariantie).
~oor
de volumeverandering geldt:
V= a.b,.c.
dus
dV=b.c.d(a)+a.c.d(b)+a.b.d(c)=O
en de relatieve volumevariatie is dus:
dV
=deal
+d(b)
+d(c)
'
-V
a
b
c
anders geschreven:
del
+d£2
+de3
=0
oit wordt weI de eerste invariant van de rektensor genoemd.
2.6.
de:;
De effektieve incrementele rek wordt geschreven als de.
oeze kan worden afgeleid uit de tweede of kwadratische invariant van de
rek-tensor. De rektensor is de
rekboestand van een deeItje • De toestand is
onafhankelijk van de manier waarop men het beschouwd m.b.t. een
coordinaten-stelsel.door het deeItje.
De tweede invariant van de rektensor is:
(7)
Een arbitrair te kiezen konstante waarmee de invariant vermenigvuldigd wordt
heeft geen invloed op de eigenschappen van de invariant.
We kunnen de invariant omschrijven tot:
{OEI -ce2}2 + {de:2-de3}2+ {dE3 -d£l}2
=
2{(de:r
+de:~ +de~)-(ae:loe2 +de2de:3 +de:3d€1)}
Appendix A
6
=-(dEi
+dE~ +dE~]
[dEldE2 +dE2dE3
+dE 3dE l)
of: 2(dEldE2 +dE2dE3
+dE3dEl
=
-(dE!
+dE~
+dE§)
dus:
We kunnen nu voor de effektieve incrementele rek schrijven:
d"2:::
k.I
2
(8)
Waarbij keen arbitrair te kiezen konstante is. Bij een der meest eenvoudige
rekdeformaties. namelijk de trekproef. is het inter-essant omde effektieve
(,incrementele) rek direkt te kunnen meten, door bijv. te zeggen:
dE
:::dE!
(langsrek)
Bij de trekproef geldt:
dus volgens (6)
of
:
d. q +dE2
Cfl= Cfl
CfZ*
0
Cf3=
0
Cf ::: Cfl en tevens: (volgens (4))
dEl::: dLCfl
dE2=-dLCfli2
dE3=-dLCfl/2
+dE 3
=1:
H:
-~.l6Iaotleet;
d Ei=3.k.( dE
t
+dE~
+dE§)::: 3.k.dej{ 12 +H)2+H)2}
dan is
d d=3.k.dt:!.%
+
,k=-
2
9
of:
de:t
(9 )Hierbij wordt aangetekend dat en Cf en E en CfOgeen vektoriele grootheden zijn, maar
scalairen.
3. Cirkels van Mohr.
Wanneer we van een willekeurig in de ruimte georienteerd vlak de
spannings-toestand beschouwen, dan kunnen we van daaruit bij gegeven spanningen de
het vlak
,.\,
stand van/ten
opzicht~van
de hoofdassen vinden, en tevens de bijbehorende
hoofdspanningen. (zie fig A4). In fig. AS a?f.m.c is de spanningstoestand
weergegeven ontbonden naar de vlakken van een willekeurig assenstelsel.
0:;' 2
•
a
Fig,AS'
Fig,A4
cr'b
Appendix A
H - - - ' ...~
c
...
' ( "Il.7
In het geval dat het vlak dA loodrecht staat op een der hoofdvlakken. kan
de relatie tussen de spanningstoestand van het vlak en de hoofdassen beschreven
worden door een cirkel. de z.g. cirkels van Mohr. In het
geval~dat,eenvlak
loodrecht op een der hoofdvlakken
sta~t.heerster een spanningstoestand.die
beschouwd kan worden als een vlakke spanningstoestand.
In deze beschouwingen is dan een der hoofdspanningen buiten beschouwing
ge-laten
Evenwicht:
l:F =0
x
E F =0
Y
\
-0
.dAcos~+S dA -T
.dAsin$
=0
x
x
xy
o
.cos~+T
.sin$
=
S
x
xy
x
o sin +T
.cos = S
y ' x y
y
Normaalspanning op het $-vlak
0$= tJ$x +tJ<!>y
tJ
=S cos$ +S sinq,
$
x
yFiq.A6
o
=
tJ
cos2~
+0
sin2~+T
sin
~
cosq,
$
x
y
xy.
Schuifspanning in het $-vlak
T$ =-T$X +Tq,y
T~
=-S 6in$ +S cosq,
'f' X
Y
T~
=
tJ sinq,.c06<1>
~o
6in<l>.cos$ +T
(~sin2$
+cos 2
<1»'f' X
y
xy
Met
26in$.cosq, =sin2q,
2sin 2q,= 1-coe2<1>
2cos 24>= 1+C0624>
sin 2q, +C06 2$ =1
wordt
a
=
ia
(1+eos2.)+
ia
[1-eos2
.1
+T
sin2.
•
x
y
xy
a
=(a +a )
•
x
Y
+(a -a
x
y
1:eos2.+T sin2.
xy
,1
2
2
en:
T
=
{(a -a
).sin2. - T eos2.
•
x
y
xy
Dan is :
a +a
x
y
2
2
oit
is een eirkel in het
a~.T.
I
a
+a 2.
2R=
{f
x
y~
tT }
2
en met verse hoven middelpunt
r< +'"'
OM'"
Vx
Vy
2
vlak met
(fig.A7a) .
(10) (11)Indien we dit uitvoeren voor drie vlakken die tel kens loodreeht staan op
een der hoofdvlakken. dan krijgen we.drie cirkels waarvoor geldt:
formule's 10 en 11 • waarbij de indices cyclisch verwisseld worden.
Dan geldt voor elk willekeurig vlak in een gegeven assenstelsel:
P(er,T)
f-
v
1
-ev
2
uV
3) .
Hiermee wordt bedoeld het gearceerde deel
+de grenzen van fig A7.
4.
VloeivDorwaarden.
Zoals reeds in het voorgaande werd opgemerkt , gaat men in de
plasticiteits-mechanica uit van plastische volumeinvariantie.
Indien
nu een deeltje alzijdige gelijke Cisostatische) spanning ondervindt
(druk of trek), dan zal het deeltje niet plastischvervormen.
Er moet dus blijkbaar een verschil zijn tussen de richting (absoluut gezien)
en of de grootte van de hoohdspanningen in de drie richtingen. Als
zo-danig zijn zij af te beelden met de cirkels van Mohr. Indien zij gelijk van
richting en grootte zijn krimpen de cirkels samen in een punt op de a-as.
Er
n geen schuifspanningen meer te vinden door vlakverdraaiing, wat
im-pliceert dat de schuifspanningen
0
zijn. Uit de metaalkunde weten we dat
vervorming ant staat door het over elkaar schuiven van roostervlakken of het
vormen van zogenaamde tweelingen. Hiervoor zijn schuifspanningen nodig.
Een conclusie Welke men hieruit trekt is deze:
IEr moeten met behulp van de cirkels van Mohr altijd vlakken met
schuif-1 Ispanningen te vinden zijn.
l i s de eerste vloeivoorwaarde.
Als tweede vloeivoorwaarde zou men kunnen bedenken:
2
De genoemde schuispanning
Tmoet een bepaalde minimum grens overschrijden.
(In feite toch een vloeigrens, maar anders dan zij gehanteerd wordt in de
elasticiteitsleer.)
Als een der eersten heeft Tresca deze vloei0oorwaarden beschreven in zijn
vloeivoorwaarde:
o
=0 - 0 . ~k
fv max
mln
a
=
de
vloeispanning.(g~~nvektorl
v
o
=de maximale hoofdspanning.
max
o
=de minimale hoofdspanning.
min
(13 )
k
f
=
De vormveranderingsweerstand (is niet konstant)
k
f
zal afhankelijk blijken te zijn van de soort, maar vooral van de
deformatie-toestand van het materiaal.
Indien 0v<kf treedt aIleen elastische volumevariatie Ope
Indien 0v=k
f
treedt er plastische vormverandering Ope
De vloeivoorwaarde kan voor een vlakspanningstoestand worden weergegeven in
een diagram. (bij
V.a2.=
0)Zie fig.AB.
In zijn vloeivoorwaarde houdt Tresca slechts rekening met twee van de drie
hoofdspanningen. te weten de maximale en de minimale. Hierdoor wordt dUB slechta
rekening gehouden met 1 van de drie schui fspanningen
?ie
extreem kunnen worden.
(T13 '
zie fig A7b). Een door von Mises uitgwerkte vloeivoorwaarde ondervangt
dit door te stellen:
-'ig.
A 8.
Anders geformuleerd( zoals voIgt uit de cirkels van Mohr)
o
(15 )
Door evenals bij de deformaties de trekproef als referentie te kiezen met
cr
=01voIgt
12
k.,
zodat de vloeivoorwaarde volgens von rUses wordt:
(16 )
Indien we deze vloeivoorwaarden voor een vIakspanningstoestand in een grafiek
zetten, geeft dit voor de vloeivoorwaarde van von Mises een over 45°
gero-teerde/ eelnlivposor d
e vloeivoorwaarde van Tresca een aarln passen e se eve
d '
d
h
zeshoek.
II./'IiS".
-
--
--
-
--,-.,.
.
• - . - .1,,-.
--
.
\ ---"---'---.-
I
'\
--.
:--.
,,~1 ~
1# 1
RUimtBlijkB
VloBispanningS_
voor-stelling.
Fig
Ai O.
Wanneer we teruggaan naar de ruimtelijke spanningstoestand, dan kunnen we
de gevonden ellips beschouwen als een doorsnijding van een cilinder, met
als as de 1,1,1-richting en met
cr
als straal. en sen der hoofdvlakken.
5. Oeformatieweg en arbeid.
5.1. Dnomkeerbaarheid.
Het plastische omvormproces is onomkeerbaar. d.w.z. de verbruikte energie,
eenmaal in de vervorming gedissipeerd
1is daaruit niet terug te winnen, door
het doorlopen van de omgekeerde vervorming.
Oit impliceert ook, dat uit de geometrie van het eindprodukt(bijv. een
diep-terkpot) niet zonder meer de daarvoor benodigde omvormarbeid te berekenen
valt. Tevens wil dat zeggen dat bij twee tegengesteld gerichte
deformatie-wegen de arbeid toch steeds positief bl ft.
Wat geldt voor de arbeid • geldt eveneens voor de versteviging. Deze kan
door omvorming in welKs zin dan ook aIleen maar vergroot worden. met andere
woorden. de verstevigingsrelatie wordt altijdin positieve zin (i.c. van
links naar rechts) doorlopen.
Oit voIgt in feite uit de tweeds invariant van
de rektensor, welke altijd positief is.Zou men nu bij een willekeurige
om-vorming de
191
dan nietbewuste aanname doen,dat de deformatieweg recht is.
dan zou men in de meeste gevallen tot verkeerde konklusies komen met
betrek-king tot de mogelijke rekken ( in verband met de instabiliteitl en de
be-nodigde omvormarbeid. De totale omvormarbeid kan beschreven worden met:
A
:::: A'+A"+A
tot
w
(17)H'ierin is A' de arbeid indien alle materiaaldeeltjes dezelfde deformatieweg
doorlopen. A" de verborgen arbeid door het niet recht zijn van de
deformatie-weg en A de wrijvingsarbeid.
w
5.2. Het verband tussen de rek,de spanning en de arbeid.
Indien we de effektieve spanning volgens von Mises uitzetten tegen de effektieve
rek( uit de tweede rekinvariant)
dan vinden we onder de verkregen kromme
een oppervlak. welk een maat is voor de verrichte specifieKe
vervormingsar-beid per eenheid van volume. Zie fig A11.
De specifieke vervormingsarbeid is gedefinieerd als:
of met Nadai:
W
s
=
fadE
n
-Ws=C.f
E dEC. {_1_,,~fl+1
+C' }
..
FiqAf1
5.3. De plaats van de plastische rekweg in de ruimte en de grafische weergave.
In het voorgaande werd reeds opgemerkt. dat in de elasticiteitsmechanica voor
plastische rekken altijd wordt uitgegaan van volumeinvariantie.
We zullen aantonen dat aIle plastische rektoestanden in 1 vlak liggen, het
z.g. IT-vlak. (Pi-vlak)
Bij valumeinvariantie geldt: del+de2+de3=O
Wanneer in een orthogonaal assenstelsel geldt; x+y+z+=O, dan wordt hiermee
het vlak loodrecht op de 1,1,1-richting bedoeld,gaande door 0,0,0.
Aangezien een vlak door twee snijdende lijnen bepaald is, is dit eenvoudig
aantoonbaar. Voor de lijn y=-xin het z-vlak geldt x+y=o tevens is z=O
d~sx+y+z+=o. Voor de lijn y=-z in het x-vlak geldt z+y=O, tevens is x=O dus
x+y+z+=D. De lijnen staan loadrecht ap de vlakken y=x en Y=z, welke elkaar
snijden in de lijn x=y=z. De lijnen liggen in het bedaelde IT-vlak, dus staat
het IT-vlak laadrecht op de lijn x=y=z ( de 1,1,1-richting).
Van het feit dat de rekken in 1 vlak liggen kunnen we gebruik maken, doordat
we
nu aIle rekken in een vlak, het vlak van tekening, kunnen weergeven.
Door de volumeinvariantieis het rekbeeld namelijk bekend, indien twee van
de drie rekken bekend zijn. Indien we de assen van het coordinatenstelsel
projekteren op het IT-vlak, vinden we drie lijnen, 120
0t.o.v. elkaar gedraaid.
Indien we nu in het Uvlak een gelijkzijdige driehoek tekenen, dan kunnen we
de rekken als voIgt op de zijden van de driehoek aflezen. De
som~ande
lood-lijnen uit ieder willekeurig punt binnen de driehoek is konstant.
Bewijs: ( Zie fig. A12)
c
A----~---~q----~B
Appendix A
14
Opp.~ABC=~.(AB.PQ+BC.PR+CA.PS)
=~.(AB.PIQ'+BC.P'R'
+CA.P'S')
Gelijkzijdige
~:AB=BC=CA
of
PQ+PR+PS=P'Q'+P'R'+P'S'=h
Door nu de asrichtingen in het
n~vlakgoed aan te duiden met positief en negatief,
vindt men, indien de achtereenvolgende deformatietoestanden in de grafiek
uit-gezet worden, voor elk punt weer:
El+E2+E3=0.
(zie fig.
A13)
Om
praktischeredenen kan men de hoogtelijnen buiten de driehoek plaatsen,
waar~bij men goed in de gaten dient te houden,dat de asr1chtingen juist blijven.
Men kan ook de aswaarden
ove~brengenop de zijden van de driehoek.
t/
d
b
Fig. A
1'5
",1 £, 0
