Hoofdstuk 8:
Product- en quotiëntfuncties.
V_1. a. x0 d. x0 b. e. x24x 3 (x1)(x 3) 0 c. x24x x x ( 4) 0 x1 en x3 0 4 x en x f. x 1 0 en x 1 3 1 8 x en x V_2. a. 2 2 3 ( 2) 3( 1) ( 2 ) (3 3) 5 3 1 2 ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b. 2 2 1 2 ( 1)( 1) 2 ( 2 1) 2 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x x x x x x x x x x x x x c. 2 2 2 1 2( 1) ( 1) (2 2) ( ) 2 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t d. 2 3 2(2 1) 3( 1) (4 2) (3 3) 5 1 2 1 ( 1)(2 1) ( 1)(2 1) ( 1)(2 1) ( 1)(2 1) k k k k k k k k k k k k k k k e. 3 2 3( 1) 2 (3 3) 2 3 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x f. 1 2 2 3 2 (2 3) 3 2 3 2 2(2 3) 2(2 3) 2(2 3) 2(2 3) k k k k k k k k k k V_3. a. 2 4 1 3 2 x x x x b. 4 16 2 x x x c. 2 1 1 1 0 x x 2 2 2 1 1 3 2 2 ( 2) (3 )(4 1) 2 4 4 11 3 6 7 3 0 1 ABC formule x x x x x x x x x x x x 2 2 (4 ) 16( 2) 4 16 32 12 32 0 ( 8)( 4) 0 8 4 x x x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 0 1 0 5 ABC formule x x x x x x x x 1 1 2 2 5 x d. 2 4 8 1 x x x 2 2 2 4 6 8 1 1 1 ( 6) 8( 1) 2 8 ( 4)( 2) 0 2 4 x x x x x x x x x x x x x x x x V_4.
a. Domein van f: , 1 1,
Domein van g: ,0 0,
b. f: verticale asymptoot x 1 en horizontale asymptoot y2.
g: verticale asymptoot x0 en horizontale asymptoot y1. c. g x( ) 1 4 x 4 x 4 x x x x d. 2 5 4 1 x x x x 2 2 2 (2 5) ( 1)( 4) 2 5 5 4 4 2 2 ( 2, 1) (2, 3) x x x x x x x x x x x en V_5.
a. Verticale asymptoot: x0 en de horizontale asymptoot: y3. b. 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 1 3 2 1 3 x x x x 0 x x x x x x 2 1 3 3 2 1 (3 1)( 1) 0 1 x x x x x x c. zie grafiek: 1 3 , 1 , d. 2 2 3x 2x 1 a x
e. De vergelijking van d moet maar 1 oplossing hebben
2 2 2 3 2 1 (3 ) 2 1 0 x x ax a x x 2 2 4 (3 ) 1 4 4(3 ) 16 4 0 4 Discr a a a a
En ook als a3 is er één snijpunt.
V_6. a. 2 logx0 2 1 logx0 1 x 2 1 1 2 log 1 2 x x b. Dl: 0,1 1, en Dm: 0,12 12, c. 2 2 2 3 logx1 logx 2 2 2 2(1 log ) 3 log log 2 4 (4,1) x x x x S x y 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 2 4 6 8 10 -2 -4 -6
1. a. f x( )x3(2x 8) 2x48x3 3 2 '( ) 8 24 f x x x b. f x'( ) 0 2 2 8 ( 3) 0 8 0 3 0 0 3 x x x x x x
f is dalend voor x ,0 0,3 en stijgend voor x 3,
c. Floris heeft de afgeleide van x3 vermenigvuldigd met de afgeleide van 2x8. d. Zijn afgeleide is altijd positief, dus een stijgende grafiek.
2.
a. (p q )2 (p q p q )( ) p2 pq qp q 2 p22pq q 2 b. u x( ) p x en y u( ) ( )u2
'( ) '( ) '( ) 2 '( ) '( ) 2 '( ) 2 ( ) 2 '
u x p x en y u u y x p x u p x p x pp c. De linkerkant met de kettingregel: u p q en u' ( p q ) ' p q' '
En de rechterkant met behulp van b: (p2) ' 2 pp' en ( ) ' 2q2 qq' d. 2(p q ) ( 'p q ') 2 p p ' 2(p q ) ' 2 q q ' ( ) ( ' ') ' ( )' ' ' ' ' ' ' ( )' ' ' ' ( )' p q p q p p p q q q p p p q q p q q p p p q q q p q q p p q 3. a. f x'( ) sin x x cosx
b. f x'( ) 1 ( x 1) (x 1) 1 2x2 maar eerst de haakjes uitwerken en dan differentiëren is handiger.
c. g x'( ) 2 cos x x x 2sinx
d. h t'( ) cos cos t tsint sintcos2tsin2t
4.
a. A t( )l t b t( ) ( ) ( t2 8 )( 2t t210 ) 2t t426t380t2
(1) 56
A en A(1,1) 65,1222
b. De oppervlakte wordt dan gemiddeld 91,222 (cm2/s) groter.
c. De toename van de oppervlakte is de oppervlakte van het rode rechthoekje plus de oppervlakte van het oranje rechthoekje plus de oppervlakte van het blauwe rechthoekje.
A b l l b l b d. A l b b l l b l b b l l b l b b l l b t t t t t t t t t t l b b l l b t t t t t e. Je vermenigvuldigt met t. f. A t'( )l t b b t l'( ) '( )
5. Dit is wel erg leerlingpesterij! a. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 '( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x f x x x x x x x x x x b. Voer in: 2 1 2
y x x en y0 nDeriv y x x( , , )1 . (math optie 8 (nDeriv): de afgeleide functie).
Ja, ze lijken wel heel erg op elkaar!
c. 2 2 3 2 2 2 4 3 2
'( ) 3 sin( ) (2 1) cos( ) 3 sin( ) (2 ) cos( )
g x x x x x x x x x x x x x x x
d. '( ) 2cos( ) 2 1 sin( ) 2cos( ) sin( ) 2 A t t t t t t t t 6. a. 1. f x( ) ( x23x2)2 (x23x2)(x23x2)x46x313x212x4 f x'( ) 4 x318x226x12 2. u x( )x23x2 en y u( )u2 u x'( ) 2 x3 en y u'( ) 2 u f x'( ) (2 x 3) 2u(4x6)(x23x2) 4x318x2 26x12 3. f x( ) ( x23x2)2 (x23x2)(x2 3x2) 2 2 3 2 3 2 3 2 '( ) (2 3)( 3 2) ( 3 2)(2 3) (2 9 13 6) (2 9 13 6) 4 18 26 12 f x x x x x x x x x x x x x x x x
b. De kettingregel is hier het handigst, want je ziet direct wanneer f'(x) nul is.
7. a. x x( 3) 0 0 3 : 0 3 f x x D x en x b. 2 2 6 2( 3) 2 ( ) 3 ( 3) x x f x x x x x x , mits x 3 c. 2 3 ( 3)
g en de functie f(x) bestaat niet in x 3. d. De functiewaarden van f komen in de buurt van 2
3
als x in de buurt van –3 komt. De grafiek van f heeft een gaatje (perforatie) in het punt 2
3 ( 3, ). 8. a. 2 2 2 2 1 1 (1 ) 2 ( ) 3 3 ( 3) 3 x x x x x x f x x x x x x x x
b. Je ziet nu sneller wat het domein van de functie is: Df :x0 en x3
Bovendien zie je nu ook snel wat het nulpunt is: (-2, 0) en je kunt de functie makkelijker differentiëren. (zie paragraaf 4).
9. a. 12 12 4 6 3 3(2 1) 2 1 y x x x x12
b. 3 3 1 1 6 (6 ) 6 3 2 (2 ) 2 1 x x x x x x y x x x0 en x 12 c. 2 1 5 5 ( 5) 5 1 5 5 5 x x x x x y x x x x0 d. 3 3 2 3 3 3 ( ) 3 x x x x y x x x x x0 10. a. 2 2 2 2 2 5 4 15 4 15 ( ) 3 2 6 6 6 x x f x x x x x x b. f x( ) 0 3 4 4 15 0 4 15 3 x x x 11. a. 2 2 2 x 2 x 2 y x x x x x b. 2 2 3 3 3 3 3 5 3x 5 3x 5 y x x x x x 2 2 2 0 2 2 2 x x x x 2 2 2 5 3 3 5 0 3 5 x x x Verticale asymptoot: x0 5 5 3 3 x x Verticale asymptoot: x0 c. 2 3 2( 1) 3 (2 2) 3 5 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x y x x x x x x x x x x 2 5 5 2 0 5 2 x x x Verticale asymptoten: x0 en x1 d. 2 2 2 ( 2) 2( 2,5) ( 2 ) (2 5) 4 5 2,5 2 ( 2,5)( 2) ( 2)( 2,5) ( 2)( 2,5) ( 2)( 2,5) x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x 2 4 5 ( 5)( 1) 0 5 0 1 0 5 1 x x x x x x x x En de verticale asymptoten: x 2 en x2,5
12. a. cos2 x0 1 1 2 2 1 2 cos 0 1 : \{ } f x x x D k En de verticale asymptoten: 1 2 x k b. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 sin cos sin cos sin
( ) 1 1 1 ( ) 1 1 tan
cos cos cos cos cos
x x x x x f x x x x x x x 13. a. Df :x3 en D xg: 3
b. 2 3 4 2 0 en 2 3 2 6 3 2 2 0, dus beide grafieken hebben de lijn x3 als verticale asymptoot.
c./d.
Voor steeds grotere waarden van x liggen de functiewaarden van f steeds dichter in de buurt van de 2 en de functiewaarden van g worden ongeveer 2 keer zo groot als de x-waarden. e. 2 2 2 6 2 2 6 2 2 ( 3) 2 2 ( ) 2 3 3 3 3 3 3 x x x x x x g x x x x x x x x
Voor grote waarden van x wordt de term 2 3
x verwaarloosbaar klein en gaat de grafiek van g steeds meer lijken op die van y2x: de scheve asymptoot van g.
f. ( ) 2 4 2( 3) 2 2( 3) 2 2 2 3 3 3 3 3 x x x f x x x x x x
Ook nu wordt de laatste term verwaarloosbaar klein en gaat de grafiek steeds meer lijken op die van y2: de horizontale asymptoot van f.
14. a. Df :x0 2 2 5 5 5 ( ) x x f x x x x x x
b. Als x heel groot wordt dan gaat 5
x naar 0 en komt de functiewaarde in de buurt van x. scheve asymptoot: y x .
De noemer is nul als x0 en de teller niet. Verticale asymptoot: x0.
15. a. x a b. x -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 f(x) 1,995 1,993 1,990 1,981 1 3 1 2,021 2,010 2,007 2,005 g(x) -800 -600 -400 -200 2 3 200 400 600 800 x y 2 4 -2 -4 -6 -8 2 4 6 -2 -4 -6 -8 -10 x y 2 4 6 -2 -4 -6 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 x y 2 4 6 -2 -4 -6 -8 4 8 12 16 -4 a = -1 a = 0 a = 1
c. 2 3 ( 3) ( ) a x x x x f x x a x a
. Voor a 3 ontstaat er ook een 0 0
'' ''
situatie. De grafiek is dan ook een rechte lijn met een perforatie in (-3, -3). d. 2 2 3 ( 2) 5( 2) 10 ( ) 2 2 x x x x x f x x x ( 2) 5( 2) 10 10 5 2 2 2 2 x x x x x x x x
De scheve asymptoot is: y x 5
16. a. x 1 0 x 2 1 1 1 1 x x x x x
Maar natuurlijk mag x ook geen 0 zijn. Dus Df :x 1 en x0 en x1.
b. 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( 1)( 1) 1 x x x x x x x f x x x x x x x x , mits x 1
c. Verticale asymptoten: x0 en x1 en een perforatie in 1 2 ( 1, ) 17. a. (2x4)(3x2) 0 2 3 2 3 2 4 0 3 2 0 2 4 3 2 2 : \{ , 2} f x x x x x x D
Dat zijn dus alle reële getallen behalve 2 3
en 2.
b. Als x2 dan f x( ) (als x van boven de 2 nadert, wordt de functiewaarde heel groot positief). Als x2 dan f x( ) .
c. x2 is een verticale asymptoot en ook 2 3 x .
d. Als x dan gaat f x( )0 en ook als x gaat f x( )0: y0 is een horizontale asymptoot. 18. a. Eerst y (1 2 )x 1 differentiëren: 1 2 2 2 ( ) 1 2 ( ) 2 '( ) 2 '( ) '( ) 2 (1 2 ) (1 2 ) u x x en y u u u x en y u u y x x x x y 2 4 6 8 -2 -4 4 8 12 16 20 24 -4 -8 a = 2
Nu de productregel: 2 1 2 2 2 2 2 2 4 '( ) 2 (1 2 ) ( 2) (1 2 ) 1 2 (1 2 ) x x f x x x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 (1 2 ) 2 4 2 2 4 2( 1)( 2) (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) x x x x x x x x x x x b. f x'( ) 0 2( 1)( 2) 0 1 2 ( 1,1) (2, 2) x x x x en 19. a./b. 1 2 2 2 2 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' t t n t n t n t n t n f t n t n n n n n n n 20. a. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 1 2 1 2 1 '( ) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x f x x x x 2 1 1 2 2 '( ) 0 1 1 1 ( 1, ) (1, ) f x x x x en
De grafiek van f heeft alleen een horizontale asymptoot: y0. b. 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 ( 4) 2 (2 2 ) (2 8 ) 2 2 2 8 6 '( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x x x x x x x x f x x x x x '( ) 0 0 (0, 4) f x x
De grafiek van f heeft twee verticale asymptoten: x 1 en x1 en een horizontale asymptoot: y1. c. 2( 1) 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 '( ) 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x (Dit doe je ook maar één keer in je leven!)
'( ) 0 2 0 2 f x x x
Maar deze valt buiten het domein: x 1 en x0.
De lijn x0 is een verticale asymptoot en y0 is een horizontale asymptoot. d. 2 2 2 2 2 2 2 ( 2) (2 3) ( 3 3) 1 2 7 6 3 3 4 3 '( ) ( 2) ( 2) ( 2) x x x x x x x x x x f x x x x 2 3 3 ( 2) ( 2) 1 ( 2) 2 1 1 ( ) 1 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x f x x x x x x x x
2 '( ) 0 4 3 ( 1)( 3) 0 1 3 (1, 1) (3, 3) f x x x x x x x en
De grafiek heeft een verticale asymptoot: x2 en een scheve asymptoot: y x 1. e. 2 2 3 4 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 3 2 (3 3 ) 2 3 '( ) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x x x x f x x x x 4 2 2 2 1 1 2 2 '( ) 0 3 ( 3) 0 0 3 3 (0, 0) ( 3, 1 3) ( 3,1 3) f x x x x x x x x en en
De grafiek van f heeft twee verticale asymptoten: x 1 en x1 en een scheve asymptoot: y x . 3 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( ) 1 1 1 1 1 x x x x x x x x f x x x x x x x f. 2 2 2 2 2 2 2 ( 3) (2 3) ( 3 ) 1 (2 3 9) ( 3 ) 6 9 '( ) ( 3) ( 3) ( 3) x x x x x x x x x x f x x x x 2 '( ) 0 6 9 0 3 3 2 3 3 2 ABC formule f x x x x x
De grafiek van f heeft een verticale asymptoot: x 3 en een scheve asymptoot: y x 6
2 3 ( 3) 6( 3) 18 ( 3) 6( 3) 18 18 ( ) 6 3 3 3 3 3 3 x x x x x x x x f x x x x x x x x 21.
a. Op den duur betekent voor grote waarden van t: dan is 2 in de noemer verwaarloosbaar. Dus als t dan geldt: ( ) 6 6 2
3 2 3 t t C t t t mol. b. 2 2 2 (3 2) 6 6 3 18 12 18 12 '( ) (3 2) (3 2) (3 2) t t t t C t t t t
c. Als t dan wordt de noemer heel erg groot, dus C t'( )0
22. a. 1 1 1 5 v b 1 1 1 5 5 5 5 5 5 5 5 v v b v v v v v b v v b 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 -5 5 10 15 20 25 30 35 40 -5
b. Als de voorwerpafstand steeds dichter bij de lens komt (tot 5 cm voor de lens) dan wordt de beeldafstand heel erg groot.
c. 5 5(50 5 ) 250 25 50 5 5 50 5 5 45 5 9 v t t t b v t t t d. 2 2 2 2 (9 ) 5 (50 5 ) 1 ( 45 5 ) ( 50 5 ) 45 5 50 5 5 (9 ) (9 ) (9 ) (9 ) db t t t t t t dt t t t t
Naarmate t in de buurt van de 9 s komt, wordt de snelheid waarmee het beeld beweegt heel erg groot. Het voorwerp komt dan op 5 cm van de lens af te liggen. Bij een verdere
verplaatsing van het voorwerp krijg je een negatief beeld.
23. a. Ja.
b. Stroomopwaarts is de snelheid van de zwemmer ten opzichte van het vasteland v+1 m/s en stroomafwaarts is die snelheid 1-v m/s. De tijd die de zwemmer over zijn zwemtocht doet is
2 2 500 500 500(1 ) 500( 1) 500 500 500 500 1000 1 1 ( 1)(1 ) ( 1)(1 ) 1 1 v v v v t v v v v v v v v c. 2 2 2 2 2 (1 ) 0 1000 2 2000 ' (1 ) (1 ) v v v t v v ' 0 0 t v
t is minimaal (t’ is altijd positief, t is stijgend) als v0 (in stilstaand water!).
24.
a. f x'( ) 1 cos x x sinxcosx x sinx
b. f(2 ) 2 cos 2 2 1 2 en op de lijn y x lijkt me duidelijk. c. f '(2 ) cos 2 2sin 2 1 2 0 1
d. Nee, dan zou f '(2 ) gelijk aan 0 moeten zijn. e. Voer in: y1cosx x sinx zero: x6, 44
25.
a. Voer in: y1abs x(2 3) b. 1 2 1 2 2 3 1 ( ) 2 3 1 x voor x f x x voor x
c. Het minimum is 0 voor 1 2
1
x .
d. Nee, de afgeleide bestaat niet in dat punt.
26. a. f x( ) 0 1 2 1 2 3 3 1 2cos 0 2cos 1 cos 1 x x x x x x y 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 x y 0,5 1,5 2 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2
b. 1 cos x0
cosx 1 x
Voor x is de teller 1 2cos 3, dus x is de verticale asymptoot.
c. 2 2
(1 cos ) 2sin (1 2cos ) sin (2sin 2sin cos ) ( sin 2sin cos )
'( ) (1 cos ) (1 cos ) x x x x x x x x x x f x x x 2 2
2sin 2sin cos sin 2sin cos ) 3sin
(1 cos ) (1 cos ) '( ) 0 3sin 0 sin 0 0 2 x x x x x x x x x f x x x x x x Het minimum is 1 2 (0) (2 ) h h 27. b. x2 9 0 2 9 3 3 x x x 2 3 2 3 ( 9) 9 3 3 ( ) ( 9) 9 3 3 x x x x voor x en x f x x x x x voor x a. 2 2 3 9 '( ) 3 9 x f x x 2 2 '( ) 0 3 9 3 3 3 f x x x x x
Plot de grafiek van f: 2
1 ( 9) y x abs x Toppen: ( 3, 0); ( 3, 6 3); ( 3, 6 3) en (3, 0) c. "( ) 6 6 x f x x "( ) 0 0 f x x Buigpunt: (0, 0) 28. a. 3 2 ( ) x f x x x
mits x0; de grafiek is een parabool met een perforatie in (0, 0).
b. 2 3 3 2 3 3 2 2 2 2 ( ) 3 1 3 3 2 3 '( ) ( ) ( ) ( ) x a x x x ax x x ax f x x a x a x a 3 2 2 2 1 2 '( ) 0 2 3 (2 3 ) 0 0 2 3 0 0 1 f x x ax x x a x x a x x a
Het teken van de afgeleide verandert bij 1 2
1
x a; de functie gaat over van dalend naar stijgend, dus heeft de grafiek van f een minimum voor 1
2 1 x a. c. 3 3 27 1 2 8 2 27 1 2 1 1 4 2 2 ( 1 ) ( 1 ) 1 a a f a a a a a
. De coördinaten van de toppen zijn dus
2 27 1 2 4 ( 1 a, a ). d. 2 1 2 1 2 27 2 2 4 4 3x 3 ( 1 a) 3 2 a a y. 29.
a. De afstand die dan afgelegd is, is 1 2 8
4 r 4 v De tijd die nodig is om deze afstand af te leggen is:
2 2 1 8 4 32 8 v v T v v
b. Eén auto per T seconde, betekent dus 1
T auto's per seconde.
c. 2 8 32 v f v 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (32 ) 8 8 2 (256 8 ) 16 256 8 (32 ) (32 ) (32 ) 0 256 8 0 32 32 32 / df v v v v v v dv v v v df dv v v v v m s 30. a. VBRQ~VQPA 2 2 1 1 ( 1)( 2) 2 2 2 1 2 2 1 BR PQ RQ AP y x x y y x y x
b. Als x1 dan y ; x1 is de verticale asymptoot: Als A het punt P nadert, gaat het punt B heel erg naar boven. Als x dan y2; y2 is de horizontale asymptoot: Als A heel ver naar rechts komt te liggen, nadert punt B naar R.
c. 2 1 1 2 2 2 1 1 (2 ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 OAB x x x Opp x y x x x x x x x x V d. 2 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x S x x x x x x x x
e. Als A in de buurt ligt van punt P is de oppervlakte heel erg groot (B ligt dan hoog op de y-as), en als punt A heel ver naar rechts ligt, is de oppervlakte ook weer heel erg groot. f. 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 1 (2 2 ) 2 '( ) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x x x S x x x x 2 '( ) 0 2 ( 2) 0 0 2 S x x x x x x x
Oppervlakte is minimaal als A(2, 0) en B(0, 4).
31.
a. acosx0 cos x a
Deze vergelijking heeft geen oplossingen als a 1 of als a1. Voor deze waarden van a wordt de noemer niet 0 en zijn er dus geen verticale asymptoten.
b. Wanneer je in de noemer ook een factor 1 2cos x kunt krijgen. Dit gebeurt wanneer 1 2 a . 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2cos 1 2cos 1 ( ) 2 cos (1 2cos ) x x f x x x
c. '( ) ( cos ) 2sin (1 2cos )2 sin (2 sin 2sin cos ) ( sin2 2sin cos )
( cos ) ( cos ) a x x x x a x x x x x x fa x a x a x 2 2 1 2
2 sin 2sin cos sin 2sin cos (2 1)sin
( cos ) ( cos ) '( ) 0 2 1 0 sin 0 0 2 a a x x x x x x a x a x a x f x a x a x x x
f heeft een minimum 1 1
a voor x0 en x2 . f heeft een maximum a31 voor x .
d. 1 1 1 a of a311 1 1 2 a a 1 3 4 a a 32.
a. Als de grafiek voor x een horizontale asymptoot heeft, komt de grafiek van f voor grote waarden van x heel dicht in de buurt van de lijn y c . De grafiek van f gaat dan ook vrijwel horizontaal lopen. Dat wil zeggen: f x'( )0.
b. Als de grafiek voor x een scheve asymptoot heeft, komt de grafiek van f voor grote waarden van x heel dicht in de buurt van de lijn y ax b . De grafiek van f gaat dan vrijwel over deze lijn lopen. De helling van f wordt vrijwel gelijk aan de helling van de asymptoot. Dus f x'( )a. c. ( ) 2 2( 1) 2 2 2 1 1 1 x x f x x x x
y2 is de horizontale asymptoot van f.
2 3 ( 1) 2( 1) 2 2 ( ) 2 1 1 1 x x x x x g x x x x x y x 2 is de scheve asymptoot van g.
d. '( ) 1 2 h x
x
Als x , dan gaat h x'( )0, maar de grafiek van h heeft geen horizontale asymptoot. 3 '( ) 2 2 k x x
Als x , dan gaat k x'( )2. Een mogelijke scheve asymptoot is dan y2x b . Het verschil tussen k(x) en y2x moet voor grote waarden van x naar b gaan. Echter
( ) 2 1 3
k x x x wordt voor grote waarden van x nog steeds heel groot. k(x) heeft geen scheve asymptoot. 33. a. 3 3 2 1 1 1 ( ) x x f x x x x x x 2 1 '( ) 2 f x x x f x"( ) 2 23 x 3 "( ) 0 1 1 f x x x Buigpunt: (-1, 0) b. 3 3 1 3 1 1 0 1 ( ) 1 0 x x x x voor x en x x g x x voor x
Er ontstaat een top in (-1, 0) en als f x'( ) 0
2 3 3 1 2 1 3 2 1 2 2 1 x x x x x Top: 12 1 3 2 1 1 3 2 ( , )
Nee, in (-1, 0) bestaat de afgeleide niet.
34.
a. De lijn U 0 is een horizontale asymptoot. b. Als t0 wordt 1
t heel erg groot, maar sin 2 t
gaat naar 0 toe. De grafiek lijkt in de buurt van
2 te komen als x in de buurt van 0 is.
c. Voor kleine waarden van t geldt: sin 2t 2t
d. Eerste wel, maar tweede niet. t
U 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3
T_1. a. dO 10 (t t2 20) (5t2 20) 2t 10t3 200 10t t3 40t 20t3 160t dt b. O(5t220)( t2 20) 5t480t2400 3 20 160 dO t t dt T_2. a. 1 1 13 3 33 3 3 S x x R x x x x 3 3 S x R x b. 3 3( 3) 9 3( 3) 9 3 9 3 3 3 3 3 S x x x R x x x x x
Voor alle waarden van x is de laatste term groter dan 0 en wordt er altijd een positief getal van 3
afgetrokken. c. 1 2 3 1 3 x x 1 1 2 2 1 1 2 2 1 4 3 1 4 3 x x x x
Voor x3 wordt de substitutieweerstand groter of gelijk aan 1,5.
T_3. a. 4 3 2 16 ( ) 0 3 x f x x b. 2 3 0 x 4 16 2 2 x x x 2 3 3 3 x x x c. 4 2 2 2 2 16 ( 4)( 4) ( ) p x x x f x x p x p
Voor p 4 en p4 zijn er geen verticale asymptoten maar is de grafiek van fp een
parabool met een perforatie. Voor p0 wordt de noemer nooit 0, dus zijn er geen verticale asymptoten. d. 2 3 4 5 3 5 5 3 2 2 2 2 2 2 ( ) 4 ( 16) 2 (4 4 ) (2 32 ) 2 4 32 '( ) ( ) ( ) ( ) p x p x x x x px x x x px x f x x p x p x p '(0) 0 p
f , dus fp heeft een top op de y-as.
Als p0 dan is 4 4 2 0 2 2 2 2 16 16 16 ( ) x x f x x x x x x
en deze heeft de y-as als verticale asymptoot. x R 5 10 15 20 25 1 2 3 4 -1
T_4. a. 2 2 2 2 ( 1) 4( 1) 4 4 ( ) 2 4 1 1 1 a x x a x x x a a f x x x x x b. Df :x1
c. Voor a 4 valt de laatste term weg. De grafiek is dan de lijn y 2x 4 met een perforatie (1, -6). d. 2 4 '( ) 2 ( 1) a a f x x 2 2 1 2 '( ) 0 4 2 ( 1) ( 1) 2 a f x a x x a
Deze vergelijking heeft geen oplossingen als 1
2a 2 0. Ofwel: 12a 2 a 4; Eén oplossing als a 4. De oplossing is dan x1, maar voor deze x-waarde is er een asymptoot, dus geen top; En twee oplossingen als a 4.
T_5. a. 2 ( 1)( 4) 5 4 ( 5) 4 4 ( ) 5 5 5 5 x x x x x x f x x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 ( 5)(2 5) ( 5 4) 1 (2 15 25) ( 5 4) 10 21 '( ) ( 5) ( 5) ( 5) x x x x x x x x x x f x x x x b. f x'( ) 0 2 10 21 ( 3)( 7) 0 3 7 x x x x x x
De grafiek van f heeft een maximum 1 voor x3 en een minimum 9 voor x7. c. Verticale asymptoot: x5 en een scheve asymptoot: y x .
d. De uiterste waarden van g liggen ook bij x3 en x7. De aard van de uiterste waarden is veranderd: minimum 1 en maximum 1
9. T_6. a. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 3 (3 4) 2 (3 3) (6 8 ) 3 8 3 '( ) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x x x f x x x x b. 2 1 1 2 2 1 '( ) (2 2) ( 2 ) 2 2 2 3 2 g x x x x x x x x x x x x x x x c. ( ) 3 5 1 3 5 3 5 x h x x x 1 2 3 2 3 5 1 1 3 '( ) 3 5 2(3 5) x h x x x d. 2 cos sin '( ) x x x f x x
T_7. a. V I R( inwRuitw) 12 (5 ) 12 5 I x I x b. 2 2 2 12 144 ( ) 5 ( 5) uitw x P I R x x x c. 2 2 2 4 4 ( 5) 144 144 (2 10) (144 1440 3600) (288 1440 ) ( 5) ( 5) dP x x x x x x x dx x x 2 4 144 3600 ( 5) x x 2 2 0 144 3600 25 5 5 dP dx x x x x
Het maximale vermogen is 7,2 Watt bij een uitwendige weerstand van 5 Ohm.
R P 5 10 15 20 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1
