Hofstee, Peter, Ontwerponderzoek, Wiskunde

ONTWERPONDERZOEK

ONTWERPNOTITIE

Naam auteur(s) Peter Hofstee-Schenk

Vakgebied Wiskunde

Titel Verbeteren algebraïsche vaardigheden jdens examentraining

Onderwerp Produc ef en geïntegreerd oefenen van algebraïsche basisvaardigheden en symbol sense jdens de examentraining om tot betere wiskunde presta es te komen.

Opleiding Interfacultaire Lerarenopleidingen, Universiteit van Amsterdam

Doelgroep Havo 5

Sleuteltermen Algebraïsche basisvaardigheden, produc ef oefenen, vmbo-t achtergrond, niveauverhoging, samenwerkend leren

Links

Bibliografische

referen e Hofstee, P. (2018). Verbeteren algebraïsche vaardigheden tijdens examentraining . Amsterdam: Interfacultaire Lerarenopleidingen UvA. Studentnummer 11412518

Begeleider(s) Sevinç Göksen

Beoordelaar(s) Derk Pik, Leonie van Uffelen-van de Vooren

Ontwerponderzoek

Verbeteren algebraïsche vaardigheden tijdens examentraining

Peter Hofstee-Schenk, 13-06-2018

Samenvatting

De leerlingen van de havo 5 wiskunde B klas zijn zwak met wiskunde en vanuit de school is gevraagd om daar tijdens de examentraining aan te werken. Gezien multiculturele en vmbo-t de achtergrond van de meeste leerlingen zijn taalvaardigheid, zwakke wiskundige basisvaardigheden en onvoldoende probleemoplossend vermogen mogelijke problemen.

Omdat parate kennis en vaardigheden een voorwaarde zijn om problemen aan te pakken en omdat er geen integratie is met andere vakken en de periode van interventie maar drie weken beslaat, is gekozen voor zes lessen in algebraïsche basisvaardigheden, naast de reguliere

examentraining. Tijdens deze lessenserie hebben de leerlingen productief en gevarieerd geoefend. Daarbij waren er zowel zelfstandige als samenwerkende opgaven op examenniveau.

Op basis van een kennistoets zien we een klein positief effect (d=0,273), maar door de lage betrouwbaarheid (α=0,51 en 0,42) en hoge p-waarde (p=0,161) kunnen we niet vaststellen dat er een effect is. Een hardop-denken onderzoek liet geen duidelijke verbetering zien. Op basis hiervan moeten we de ontwerphypothese verwerpen dat de zwakke wiskundige basisvaardigheden de oorzaak zijn van de lage prestaties van de leerlingen.

Kanttekeningen bij dit onderzoek zijn het lage aantal leerlingen dat voor- en natoets maakten en het beperkte aantal vragen in de natoets. Het ontbreken van een controle/parallel klas staat ook niet toe om uit die vergelijking nadere conclusies te trekken.

Inhoudsopgave

Verkenning van oplossingen 5

Taalvaardigheid als probleem 5

Zwakke wiskundige basisvaardigheden 6

Onvoldoende probleemoplossend vermogen 7

Kiezen voor wiskundige basisvaardigheden 8

Onderzoeksopzet 9 Didactische aanpak 9 Ontwerphypothese en ontwerpregels 11 Onderzoeksopzet en onderzoeksinstrumenten 11 Leerresultaten 11 Leergedrag 12 Planning 12

Uitwerking van lessen 12

Uitvoering, dataverzameling en rapportage 14

Uitvoering van de lessen en dataverzameling 14

Statistische analyse leerresultaten 15

Analyse hardop-denken 16

Conclusies 18

Literatuur 18

Bijlagen 22

Vier subsets bijlagen: A, B, C en D 22

Bijlage A1: Tabel met Informatie over de leerlingen 22

Bijlage A2: Tabel met indruk fouten bij toets domein A 23

Bijlage A3: Tabel met gemaakt/opgegeven bij toets domein B 24

Bijlage B1: Planning 25

Bijlage B2: Codering voor- en natoets 26

Bijlage B3: Codering hardop-denken 28

Bijlage B4: Voortoets met nakijkmodel 29

Bijlage B5: Natoets met nakijkmodel 36

Bijlage B6: Hardop-denken toets 38

Bijlage C1: Les 1 - Machten, wortelvormen en logaritmen 40

Leerlingmateriaal 43

Docentmateriaal 49

Verantwoording gebruikte opgaven 52

Bijlage C2: Les 2 - Bijzondere producten en haakjes 53

Leerlingmateriaal 56

Docentmateriaal 64

Verantwoording gebruikte opgaven 67

Bijlage C3: Les 3 - Breuken 68

Leerlingmateriaal 70

Docentmateriaal 76

Verantwoording gebruikte opgaven 78

Bijlage C4: Les 4 - Algemene vormen 79

Leerlingmateriaal 82

Docentmateriaal 86

Verantwoording gebruikte opgaven 88

Bijlage C5: Les 5 - Algoritmen en vormen 89

Leerlingmateriaal 90

Docentmateriaal 94

Verantwoording gebruikte opgaven 99

Bijlage C6: Les 6 - Formatieve toets 100

Leerlingmateriaal 101

Docentmateriaal 104

Bijlage D1: Lesevaluaties 105

Les 1 - Machten, wortelvormen en logaritmen 105

Les 2 - Bijzondere producten en haakjes 108

Les 3 - Breuken 111

Les 4 - Algemene vormen 113

Les 5 - Algoritmen en vormen 114

Les 6 - Formatieve toets 117

Bijlage D2: Data kennistoets voor- en nameting 118

Bijlage D3: Statistische gegevens kennistoets voor- en nameting 119

Cronbach’s alpha 119

Totaalscores, beschrijvende statistiek en Cohen’s d (effectgrootte) 119

t-Toets 120

Bijlage D4: Codering hardop-denken en transcripten 121

Codering volgens bijlage B3 121

Codering van aanpak 121

Voortoets: leerling 14, woensdag 11 april, 10:44 u, lengte 11:55 minuten 123

Voortoets: leerling 4, woensdag 11 april, 10:57 u, lengte 8:41 minuten 127

Voortoets: leerling 5, woensdag 11 april, 11:12 u, lengte 8:50 minuten 129

Probleembeschrijving

Op het Marcanti college in Amsterdam-West geef ik, samen met mijn stagebegeleidster, les aan havo 5 wiskunde B. Deze leerlingen zijn zwak met wiskundige basisvaardigheden en hebben problemen met de toepassing ervan in een context. De vraag vanuit de school is of daar tijdens de examentraining nog iets aan te doen is. De examentraining is gepland in drie weken vanaf 9 april (week 15, 16 en 17). Elke week wordt in een blokles van vier keer 50 minuten een van de domein B, C en D getraind. De algebraïsche vaardigheden (domein A) zijn geen doel op zichzelf, maar worden worden gebruikt in alle domeinen en worden in deze periode niet specifiek getraind. Mijn begeleidster gaf aan dat tijdens de examentraining eventueel extra uren ingeroosterd kunnen worden, maar dat examentraining zelf wel de focus is.

Er is maar één wiskunde B klas op het Marcanti College. Het gaat om een kleine klas van 15 leerlingen, waarvan meestal niet alle leerlingen aanwezig zijn. Een vergelijking met een parallelklas is dus niet mogelijk. Dat beperkt de opzet van dit ontwerponderzoek.

In mijn ervaring van de leerlingen in de klas en na het nakijken van twee toetsen van deze

leerlingen valt mij globaal op dat de leerlingen vaak de mist in gaan met de basisvaardigheden en dat ze de vaardigheden niet flexibel kunnen inzetten. Ook meen ik te zien dat de leerlingen geen of weinig inzicht hebben bij het direct toepassen van algoritmen. En als ze geen algoritme herkennen bij een opgave, lijken ze niet in staat om daar naar op zoek te gaan. Het puzzelt mij dat deze leerlingen in het examenjaar, na minimaal 5 jaar wiskundeonderwijs, hier nog onbekwaam in zijn.

Probleemanalyse

In bijlage A1 heb ik een inventarisatie gemaakt van de 15 leerlingen. Het blijkt dat 12 van de 15 leerlingen (80%) een vmbo-tl achtergrond heeft. Ook heeft de klas een gemiddelde van 5,5, met 9 onvoldoendes, bij de overgang vanuit het vorige leerjaar. De laatste toets van algemene

vaardigheden (domein A, afgenomen 21 februari en 7 maart) geeft een gemiddelde van 4,5 met 11 onvoldoendes van de 14 leerlingen die de toets gedaan hebben. Een snelle inventarisatie (zie

bijlage A2 ) van het type fouten van deze toets laat zien dat de leerlingen moeite hebben met haakjes wegwerken, rekenregels voor machten en wortels, rekenregels voor breuken. En dat de leerlingen de structuur van een formule niet herkennen (zoals A∙B = A∙C of A2= C ).

Multiculturele klas

De leerlingen van deze klas hebben een zeer diverse multiculturele achtergrond. Prenger (2007) constateert bij zowel autochtone als allochtone taalzwakke leerlingen met name moeite bij het construeren van een beeld bij een tekst. Alleen hebben de leerlingen dat zelf vaak niet door. Van den Boer (2003) deed onderzoek bij leerlingen waarvan beide ouders òf in Marokko, òf in Turkije, òf in Suriname, de Antillen of Aruba zijn geboren. Zij constateert dat deze leerlingen ervan uitgaan dat tekstproblemen niet belangrijk zijn en zich niet gestimuleerd voelen tot het stellen van vragen, zeker niet als ze het juiste antwoord hebben, waardoor ze moeilijker tot inzicht komen. Hierdoor blijven hun problemen onzichtbaar. Ook zijn ze niet geneigd om te formuleren wat ze gedaan

hebben.Ze leren wiskunde vooral door te memoriseren en te oefenen, wat komen tot inzicht belemmerd.

Nu hebben de leerlingen van de havo 5 klas niet allemaal de achtergrond van de leerlingen die Prenger onderzocht, maar ook bij deze leerlingen spelen waarschijnlijk de taalproblemen die Prenger noemt.

Welie (2013) heeft onderzoek gedaan in het kader van project OTAW (Opbrengst Taalonderwijs Amsterdam West) en stelt vast dat voor leerlingen “op havo-, havo/vwo- en vwo-niveau is de groei in begrijpend lezen aanzienlijk in de brugklas, maar is het verschil in begrijpend leesniveau tussen het eind van de brugklas en het eind van de tweede klas verwaarloosbaar, evenals het verschil tussen de tweede en derde klas.” (p.51). Ze concludeert “dat de taalvaardigheid van leerlingen in Amsterdam-West over het algemeen tekortschiet” (p.51).

De leraar Nederlands heeft vorig jaar een logopedisch onderzoek gedaan in de havo klassen. Hij constateert dat veel leerlingen een zogenaamde receptieve-expressieve taalstoornis hebben. Dit betekend dat ze moeite hebben met taalbegrip. Uit dit onderzoek blijkt dat ze stukken van een tekst die ze niet begrijpen overslaan en dat zelf niet doorhebben. Deze copingstrategie maakt de taalproblemen onzichtbaar voor zichzelf, maar ook voor de docent. De docent Nederlands gebruikt de Singapore test (ontwikkeld door de VU) om dit ook voor de leerlingen zelf zichtbaar te maken. 1

Onderzoeken bevestigen een relatie tussen woordkennis en tekstbegrip (Henriksen et.al.(2004), Proctor et.al. (2005)). Voor algemene niet literaire teksten geldt dat de lezer 95%-98% van de woorden moet begrijpen om te tekst te kunnen begrijpen (Hazenberg & Hulstijn (1992), Hu & Nation (2000)). Hazenberg & Hulstijn (1992) geven aan dat daarvoor een minimale woordenschat van 5000 meest frequente woorden nodig is.

Vmbo-tl achtergrond

Het merendeel van de leerlingen kom van het vmbo-tl af. Schmidt (2015) geeft een overzicht van de verschillen in de curriculum tussen vmbo-tl en havo. TL-wiskunde is gericht op relatief

elementaire wiskunde in praktische situaties. “Leerlingen die goed zijn in tl-wiskunde, zijn vooral toegerust om wiskunde te gebruiken in functionele situaties. Hun wiskundig denk- en

handelingsniveau is meestal beperkt” (Schmidt, 2015, p.8). In de vmbo-tl ligt de nadruk op het gebruiken van vooral rekenkundige vaardigheden. Zo wordt in tl-wiskunde een kwadratische vergelijking opgelost met inklemmen. Wat ook ontbreekt is formele vaktaal en worden termen gebruikt die meer recht doet aan wat bedoeld wordt. Bijvoorbeeld richtingscoëfficiënt wordt

hellingsgetal of stapgrootte genoemd. En lettervariabelen hebben een relatie met de grootheid die beschreven wordt. Bijvoorbeeld voor hoogte en voor aantal.h a

1 _{Geraadpleegd op 22 maart 2018, van http://www.leerenmeerwerkt.nl/wp-content/uploads/2017/01/}

Singapore-test.pdf . Hoewel er veel naar de Singapore test verwezen wordt op internet en in presentaties (o.a. van CPS en CINOP) kon ik geen referenties vinden waarin specifiek deze onderbouwd wordt. Op de website van de VU is niets te vinden over deze test die door hen ontwikkeld zou zijn en mijn email naar hen is niet beantwoord. Ellis Eerdmans van CINOP gaf aan dat zij ook geen referentie voor de Singapore test specifiek had, maar ze gaf mij wel de literatuur waar ik naar verwijs in de volgende paragraaf en waarin het percentage van 95%-98% onderbouwd wordt.

Probleemoplossend vermogen

Volgens Schmidt (2015) zijn een deel van de aansluitingsproblemen vmbo-tl - havo te wijten aan het probleemoplossend vermogen. Bij wiskunde op havo niveau zijn de problemen complexer dan op vmbo-tl niveau. Om die op te lossen is meer nodig dan alleen reproductie van een algoritme en moet de leerling meer dan één wiskundige structuur of concept in samenhang gebruiken.

Een klein onderzoek op basis van een toets voor domein B (afgenomen 14 maart), over functies en verbanden, laat zien dat veel leerlingen het opgeven als ze niet direct zien hoe een opgave opgelost moet worden. Zie bijlage A3 voor dit onderzoek. De opgaven zijn ingedeeld in RTTI. Er zijn in deze toets geen R opgaven. Bij de T1 opgaven geeft 14% het op of slaat de opgave over. Bij de T2 opgaven is dat 24% en bij de I opgaven is dat 33%. Deze toets is nog slechter gemaakt dan de toets voor domein A: het gemiddelde is 3,6 met 3 voldoendes van de 11 leerlingen die hem op moment van schrijven gemaakt hebben. Het zou dus kunnen dat het probleemoplossend

vermogen van deze leerlingen onvoldoende is.

Verkenning van oplossingen

Als ik voorgaande samenvat, dan zijn zie ik drie mogelijke oorzaken van de lage wiskunde prestaties van de leerlingen. De ene neemt taalvaardigheid als probleem, zowel vanwege de multiculturele achtergrond van de meeste leerlingen en vanwege de vmbo-tl achtergrond. Een ander uitgangspunt is de beperkte wiskundige basisvaardigheden, zowel vanwege vmbo-tl achtergrond als vanwege de multiculturele achtergrond met een nadruk op berekeningen en antwoorden. De laatste mogelijke oorzaak hangt samen met de vmbo-tl achtergrond en dan wel met een onvoldoende probleemoplossend vermogen.

Taalvaardigheid als probleem

Als taal een probleem is, dan is TVO (taalgericht vakonderwijs) een mogelijk oplossing. Hajer en Meestringa (2015) stellen dat alle leerlingen geholpen moeten worden om zich de taal van het vak eigen te maken, omdat het “ … in meer of mindere mate een nieuwe taal is die zij zich ook met het oog op een goed aansluiting op het meer academisch taalgebruik in het beroeps- en hoger

onderwijs moeten eigen maken” (Hajer & Meestringa, 2015, p.14, cursief in origineel). TVO heeft volgens Hajer en Meestringa drie hoofdkenmerken, namelijk leren in context, interactie en met taalsteun (p.57). Het gaat bij TVO niet alleen om het leren van de vaktermen, maar ook om ook om de vakspecifieke cognitieve strategieën.

Van den Boer (2003, p.242) stelt “… dat het bij het achterblijven van wiskundeprestaties van allochtone leerlingen in de kern om een taalprobleem gaat”. Maar het probleem is niet dat ze bepaalde woorden niet kennen, het probleem ligt dieper, namelijk “… dat docenten en allochtone leerlingen zich niet realiseren dat taalproblemen en leerstrategieën van allochtone leerlingen een barrière vormen voor het leren van wiskunde” (Van den Boer, 2003, p.242). Zij stelt voor om allochtone leerlingen bewust te maken van hun passieve opstelling, beperkte leerstrategieën en gebrek aan taalvaardigheid. Volgens haar is daarvoor een intensieve vorm van interactie tussen leerlingen onderling en de docent onontbeerlijk.

Welie (2013) adviseert om interactieve werkvormen te gebruiken waarin leerlingen in tweetallen of groepjes lezen, waarbij ze kunnen leren van elkaars strategieën om tot beter tekstbegrip te komen en waardoor ze ook meer gemotiveerd worden. Ze adviseert om “leerlingen in tweetallen of

groepjes te laten oefenen met leesstrategieën zoals voorspellen, vragen stellen (voor, tijdens en na het lezen), samenvatten, etc.” (p. 48).

Dit sluit goed aan bij de TVO aanpak. Hajer en Meestringa (2015) geven als globale richtlijn dat leerlingen minimaal de helft van de tijd samenwerkend leren. Dit “… is voldoende om door de leerlingen als ‘gewoon’ te worden ervaren, maar zo blijft er ook voldoende individuele werktijd over.” (Hajer & Meestringa, 2015, p.65). Ook Prenger (2007) stelt dat TVO zich goed leent voor

zowel autochtone als allochtone taalzwakke leerlingen . Zij stelt voor om leerlingen met actief te stimuleren met samenwerkende opdrachten om taal te gebruiken door hun mening te geven of argumenten te onderbouwen.

Een mogelijke aanpak wordt gegeven door Welie (2017). In haar promotieonderzoek laat ze zien “dat instructie op het gebied van kennis van connectieven en vaardigheid in het infereren van tekststructuur voordelig lijkt te zijn voor tweedeklassers ongeacht hun taalachtergrond of hun niveaus van leesvloeiendheid, algemene woordenschat en leesvaardigheid.” (p.242).

Connectieven zijn verbindingswoorden in een tekst die de relatie aangeven tussen de tekstdelen. Voorbeelden zijn: hoewel, vanwege, kortom, indien, want, daarnaast (van pp. 219-221).

Een andere aanpak is mogelijk die van Beck, McKeown & Kucan (2013). Zij hebben een effectieve aanpak voor het leren van taal met twee kenmerken. Namelijk het frequent gebruik van het woord in verschillende contexten en nuances. En robuustheid : gebruiken van het woord, uitleg van facetten van het woordgebruik, relaties met andere woorden onderzoeken. (Beck, McKeown & Kucan, 2013, pp. 98-99). Ze geven ook een aanpak geschikt voor de bovenbouw. Het is de moeite waard om dit in te zetten in de wiskunde les.

Zwakke wiskundige basisvaardigheden

Uit de beschrijvingen van zowel allochtone leerlingen (van den Boer, 2003), als voor leerlingen die van het vmbo-tl afkomen (Schmidt, 2015) blijkt dat deze leerlingen een instrumenteel begrip hebben van wiskunde. Ze zijn gericht op berekeningen. Op de havo worden de wiskundige bewerkingen echter veel abstracter geformuleerd. Ook de algoritmen zijn veel abstracter en daardoor ook krachtiger, maar voor de leerlingen lastiger te begrijpen. Volgens Schmidt (2015) heeft bij tl-wiskunde de stelling van Pythagoras de vorm van een werkschema en niet in de vorm van a2 ₊ b2_{= c}2. Lettervariabelen hebben een relatie met de grootheid die beschreven wordt. Bijvoorbeeld voor hoogte en voor aantal. Een lineair verband wordt in woorden omschrevenh a als "verband met een startgetal en een hellinggetal". Dus niet als formule y = a + bx . Op de havo is letterrekenen veel uitgebreider en abstracter.

Van Dormolen (1981) geeft een overzicht van oorzaken voor het gebrek aan vaardigheden van leerlingen. Hij betoogt dat een leerling die niet voldoende inzicht heeft in wat hij doet, zich vooral gaat bedienen van regeltjes zonder te weten waarom en wat het antwoord betekent. Dat geeft aanleiding tot zogenaamde signaalfouten zoals het schrappen van de in a _a+ca+b (van Dormolen, 1981, p.22). Ook noemt hij het effect van klontering, waarbij leerlingen niet in staat zijn om

verschillende regels en begrippen te onderscheiden en ze door elkaar en in verkeerde situaties gaan gebruiken.

Drijvers & Kop (2015) geven een aantal elementen om tot een cognitief schema te komen voor variabelen en vergelijkingen. Zij noemen o.a. de rol van variabelen, proces-object dualiteit, visuele kenmerken van expressies, basisvaardigheden en symbol sense, en betekenis van algebraïsche expressies in context. De voorgestelde didactische methode is die van productief oefenen, zoals leerlingen zelf opgaven laten bedenken en uitwisselen.

Onvoldoende probleemoplossend vermogen

Als probleemoplossend vermogen een probleem is dan is de aanpak van Pólya (1971) zinvol. Pólya geeft een aantal fasen voor het oplossen van wiskundige vergelijkingen. Kort samengevat gaat het om (1) het probleem te begrijpen, (2) een plan bedenken, (3) een ander plan bedenken, (4) het plan uitvoeren en (5) terugkijken en reflecteren. In elke fase wordt de leerling gevraagd om met enige afstand naar het probleem te kijken en niet te snel tot handelen over te gaan.

Schoenfeld (1985) voegt aan deze aanpak nog het belang van controle houden tijdens het hele traject van probleemoplossen. De leerling wordt gevraagd om stil te staan bij wat hij aan het doen is en zijn aanpak en het waarom te verwoorden. En om analyse, planning en uitvoering af te wisselen om niet in een bepaalde aanpak vast te komen zitten.

Probleemoplossen is een onderdeel van de wiskundige denkactiviteiten. Van Streun & Kop (2015) geven drie mogelijke aanpakken om dit te onderwijzen, namelijk onderzoekend wiskunde leren, denklessen en via het Primasproject . In een recentere publicatie geven Van Streun & Kop (2016) 2

verder invulling aan de didactiek voor wiskundige denkactiviteiten. Zij geven veel voorbeelden over hoe je wiskundige denkactiviteiten bij leerlingen kunt ontwikkelen. Zij stellen:

Met onderwijs, leerboeken en computerlessen die gebaseerd zijn op de directe

VNO-instructie (Voordoen – Nadoen – Oefenen), kunnen de leerlingen op korte termijn succes boeken in verwerven van parate vaardigheden. Voor het verwerven van productieve vaardigheden op de lange termijn zal de docent naast doceren, uitleggen en controleren ook andere activiteiten moeten gebruiken. (Van Streun & Kop, 2016, p. 9)

Zij geven een aantal productieve werkvormen en stellen het modelleren van de aanpak centraal. Dit door eerste het probleem te analyseren, na te denken over het plan van aanpak en dit te verwoorden (of in een tekening te vatten). Oftewel “Eerst even op je handen zitten en nadenken” (p.10).

2 _{Zie http://primas-project.eu/modules/modules-nederlands/}

Kiezen voor wiskundige basisvaardigheden

Alle drie de voorgestelde oplossingen lijken mij zinvol een aspect van het probleem aan te pakken. Van Streun & Kop (2016) beargumenteren “De parate kennis en vaardigheden zijn dus een

essentieel onderdeel van het denkgereedschap waarmee leerlingen niet op routine opgaven kunnen aanpakken en oplossen” (p.7). En in een andere publicatie stelt Van Streun dat

Leerlingen die over te weinig parate kennis en vaardigheden beschikken, moeten die op dat moment ‘heruitvinden’. Nu heeft het werkgeheugen maar een beperkte capaciteit, met als gevolg dat die leerlingen al snel in een oplossingsproces vastlopen, omdat ze zoek raken in het aantal elementen dat ze in de gaten moeten houden. Een stevig repertoire aan parate kennis en vaardigheden is dus een noodzakelijke voorwaarde om ook

niet-standaard opgaven te kunnen aanpakken. (Van Streun, 2014, pp.10-11) Omdat ik constateer dat de leerlingen problemen hebben juist op het gebied van de basisvaardigheden is het van belang om die eerst te verstevigen. Om die reden laat ik de wiskundige denkactiviteit probleemoplossen verder liggen.

Moeken, Kuiken & Welie (2015) hebben onderzoek gedaan naar de effecten van het programma Samenwerkend Lezen in het VO (SALEVO). Onderzoeksgroep waren 186 leerlingen van drie middelbare scholen in Amsterdam-West in de tweede klas vmbo-t, havo en vwo. SALEVO is een geïntegreerde methode en beslaat acht weken met in totaal 32 lesuren. 24 Lesuren in de vakken biologie, aardrijkskunde en geschiedenis, in combinatie met acht lessen tekststructuur en

tekstverbanden tijdens het vak Nederlands. De onderzoeksvraag – of een kortdurende interventie van acht weken zinvol is voor deze doelgroep – kunnen de onderzoekers niet volmondig

bevestigen. Ze constateren dat meisjes en de sterkere lezers vooruit gingen in tekstbegrip. Juist “de zwakke lezers bleken daarentegen als groep geen baat te hebben gehad bij de interventie, hoewel ook hier geldt dat de meisjes onder hen wel degelijk beter gingen lezen” (Moeken, Kuiken & Welie, 2015, p.42)

Gezien de korte periode van drie weken die voor het onderzoek staat en dat er geen integratie is met andere vakken oordeel ik dat een interventie op gebied van taalvaardigheid niet voldoende zinvol is.

De leerlingen zijn gefocussed op de examentraining en zoeken op korte termijn resultaat. Hoewel dit niet goed is voor de ontwikkeling van inzicht – van Dormolen (1981) noemt dit juist als een van de oorzaken van trucmatige routine – vind ik dat ik het serieus moet nemen dat de leerlingen op korte termijn resultaat willen ervaren van de interventie. Ik ga ze eigenlijk een extra inzet vragen, buiten de normale ingeplande examentraining.

Daarmee kies ik voor het aanpakken van de wiskundige basisvaardigheden. Om me te beperken richt ik me op de ‘specifieke basisvaardigheden’ conform bijlage 4 van CvTE (2016) voor havo wiskunde B. Bij de specifieke algebraïsche vaardigheden gaat het om parate kennis van de voorkomende algebraïsche expressies en om algoritmisch werken en algebraïsch rekenen (CvTE (2016, p.39). Ik kies ervoor om goniometrie (E) over te slaan en richt me dan op de breukvormen

(A), wortelvormen (B), bijzondere producten (C), machten (D1-6) en logaritmen (D7-10), herleidingen (F), algemene vormen (G), algoritmen (H) en vergelijkingen oplossen met standaardfuncties (I). Zie ook bijlage B2 .

Onderzoeksopzet

Didactische aanpak

Drijvers en Kop (2015) splitsen algebraïsche vaardigheden op in basisvaardigheden en symbol sense. Als basisvaardigheden onderscheiden ze procedureel werken, lokaal kijken en algebraïsch rekenen. Symbol sense kun je indelen in strategisch werken, globaal kijken en algebraïsch

redeneren (Drijvers en Kop, 2015, p.66). Basisvaardigheden en symbol sense kunnen niet zonder elkaar en je hebt het een nodig om het andere te beheersen. (p.66). Dus in de didactische

interventie zullen zowel de basisvaardigheden als de symbol sense aandacht moeten krijgen.

Vaardigheden moeten geoefend worden, maar “aan oefenen, zeker als het gaat om algebraïsche basisvaardigheden, kleeft echter ook het risico dat de betekenis van de algebraïsche activiteit ondersneeuwt in het automatisme” (Drijvers en Kop, 2015, p.67). Dit is het nadeel van wat van Dormolen (1981) de trucmatige routine noemt.

Drijvers en Kop (2015) pleiten voor “gevarieerde en geïntegreerde oefening, waarin automatisme hand-in-hand gaan en waarin basisvaardigheden en symbol sense simultaan worden

aangesproken” (p.68). Een goede aanpak daarvoor is productief oefenen. Daarbij ligt de nadruk meer op produceren dan op reproduceren (p.68). Voorbeelden zijn werkvormen waarin de leerlingen zelf opgaven maken of oefeningen waarin veel voorkomende fouten expliciet aan bod komen of waarin leerlingen zelfs uitgedaagd worden om zelf een overtuigende foute aanpak te bedenken en te analyseren.

Ze stellen ook: “Het is verstandig met leerlingen stil te staan bij een vergelijking zonder enige actie te ondernemen, om hen te laten formuleren wat het verwachte effect van een actie zal zijn en waarom dat al dan niet wenselijk is.” (Drijvers en Kop, 2015, p.70).

Drijvers (2012) stelt voor om als docent vooral procesvragen te stellen: ● Waar wil je op uitkomen, waar moeten we heen?

● Kun je het probleem in verband brengen met iets waar we wel raad mee weten? ● Welk idee maakte dat je hiermee verder kon? (Drijvers, 2012, p.41)

Volgens Ebbens & Ettekoven (2015) is samenwerkend leren een effectieve manier van

kennisoverdracht en effectiever dan stil voor jezelf werken. Samenwerkend leren laat de leerlingen actief de stof bewerken, beargumenteren, samenvatten, herformuleren en toepassen.

Sleutelbegrippen om samenwerkend leren succesvol te laten zijn zijn: positieve wederzijdse afhankelijkheid, individuele aanspreekbaarheid en direct interactie.

Er is nog een argument dat voor samenwerkend leren pleit. Dekker & Elshout-Mohr (2007) geven een uitwerking voor samenwerkend leren voor niveauverhoging. Zij geven een aantal criteria voor opgaven die goed geschikt zijn voor groepswerk en de verhoging van het niveau van inzicht van leerlingen:

● Realistisch: leerlingen moeten er zich een voorstelling van kunnen maken. Ze moet ook betekenisvol zijn om de leerlingen op gang te krijgen.

● Complex: er moeten verschillende vaardigheden nodig zijn. de leerlingen zijn niet allemaal even goed in deze vaardigheden en hebben elkaar dus nodig in de opdracht.

● Constructief: er moet iets gemaakt worden: een verhaaltje, een grafiek, een model. Het denkwerk wordt dan zichtbaar en gemakkelijker onderwerp van discussie doordat de verschillen tussen het werk van de leerlingen opvalt..

● Niveauverhogend: dwz dat ze op een laag niveau benaderd tot verkeerde oplossingen leiden.

In het procesmodel dat zij voorstellen zijn er vier kernactiviteiten van de leerlingen die niveau verhogend werken:

● (vertellen of) tonen : het maakt je bewust wordt van je eigen (denk) werk. ● uitleggen: maakt dat je er dieper over gaat nadenken

● verantwoorden: maakt dat je het toetst aan bestaande (wiskundige) normen, dat je bewijst dat het klopt wat je hebt.

● reconstrueren: het werkelijk beter maken van je werk doe je als je beseft dat je werk echt tekortkomingen heeft die je niet kunt verantwoorden.

De rol van docent in groepswerk is die van procesbegeleider. Juist producthulp of kritiek (inclusief goed/fout reacties) van de docent leidt meestal tot verwerping van eigen denkwerk en niet tot niveauverhoging (Dekker & Elshout-Mohr, 2007) .

Schendel (2017a, 2017b) heeft de aanpak van Dekker & Elshout-Mohr (2007) uitgewerkt voor het aanleren van symbol sense en plaats specifiek wat kanttekeningen. Namelijk dat je de positieve wederzijdse afhankelijkheid goed moet borgen, omdat leerlingen anders in hun eentje de opgaven gaan maken. Verder is voor niveauverhoging belangrijk dat opgaven complex zijn en niet tot een oplossing leiden als je het op een laag niveau benaderd. Opgaven gericht op symbol sense kunnen soms wel op een lager niveau opgelost worden. Tegelijk vraagt symbol sense om werk waarbij iets geconstrueerd moet worden met symbolen en daarvoor is deze aanpak wel heel geschikt (Schendel, 2017a, p.13).

Als ik dit allemaal samenneem, dan kom ik tot de volgende aanpak:

● oefenen van algebraïsche basisvaardigheden om tot automatismen te komen; ● gecombineerd met productief oefenen voor ontwikkelen van symbol sense;

● met gevarieerde en geïntegreerde oefeningen waarin basisvaardigheden en symbol sense tegelijkertijd geoefend worden;

● afgewisseld met samenwerkend leren via een procesmodel voor complexere opgaven die benaderd op een laag niveau tot verkeerde oplossingen leiden.

Ontwerphypothese en ontwerpregels

Mijn ontwerphypothese is de volgende:

“Als het zo is dat de zwakke wiskundige basisvaardigheden de oorzaak is van de lage prestaties van de leerlingen van de havo 5 wiskunde B klas, dan zal een aanpak van productief en

geïntegreerd oefenen de prestaties van de leerlingen verhogen op zowel deze basisvaardigheden als op het toepassen ervan in een context.”

Ik kom tot vier didactische ontwerpregels:

1. oefenen van algebraïsche basisvaardigheden om tot automatismen te komen; 2. gecombineerd met productief oefenen voor ontwikkelen van symbol sense;

3. met gevarieerde en geïntegreerde oefeningen waarin basisvaardigheden en symbol sense tegelijkertijd geoefend worden;

4. afgewisseld met samenwerkend leren via een procesmodel voor complexere opgaven die benaderd op een laag niveau tot verkeerde oplossingen leiden.

Er zijn twee beperkende randvoorwaarden voor het ontwerponderzoek:

● De interventie vindt plaats tijdens de drie weken van de examentraining en moet daar goed inpassen.

● Er is geen parallel klas.

Onderzoeksopzet en onderzoeksinstrumenten

Wat betreft de onderzoeksopzet kies ik voor twee meetinstrumenten, inhoudsanalyse en score (cijfer) voor het leerresultaat en hardop-denken voor het leergedrag.

Leerresultaten

De leerresultaten wordt gemeten met een kennistoets in combinatie met tekstanalyse. Ik kies ervoor om de toets voor domein A te gebruiken als nulmeting voor deze klas en de ingeleverde toetsen te analyseren volgens de codering van bijlage B2 . Deze toets voor algebraïsche

vaardigheden is bij het schrijven van vooronderzoek al afgenomen. Sindsdien zijn de algebraïsche vaardigheden niet meer specifiek aandacht gegeven en gezien de krappe tijd - 2 weken voor de examentraining - was het belangrijker om op dat moment de didactische interventie uit te werken, dan om nog weer een toets te maken voor een nulmeting. Op 21 februari hebben 7 leerlingen de toets afgenomen en op 7 maart nogmaals 7 leerlingen die de eerste toets gemist hadden. Een leerling heeft de toets niet gedaan. Zie ook de planning in bijlage B1 .

Voor de natoets is er een toets gericht op dezelfde onderwerpen, alleen wat korter. De basis zijn de algebra opgaven uit de voortoets, die slecht gemaakt zijn. De opgaven zijn aangepast en gekozen zodat deze toets in 20 minuten te maken is. Dit gezien de noodzakelijke inspanning van de leerlingen en omdat de leerlingen er geen cijfer voor krijgen. Als de hypothese klopt dan verwachten we de gemiddelde score over de codes van de leerlingen omhoog gaat. De natoets wordt afgenomen voor alle leerlingen in de klas. Zie bijlage B5 voor de natoets.

Voor beide toetsen wordt per opgave gekeken naar welke specifieke basisvaardigheid nodig is om de opgave uit te voeren en elke basisvaardigheid levert 1 punt op. Daarbij zijn rekenfouten of kommagetal gebruiken als exact wordt gevraagd niet aangerekend, dus geen punt eraf. Dit is namelijk niet waar de interventie op gericht is. Verder is er voor gekozen om als de eerste, cruciale stap, fout gaat, er geen punten meer worden gegeven voor de volgende stappen. Bijvoorbeeld als

de breukvorm A1, A , al niet goed uitgevoerd wordt, dan heeft de rest van de

B + CD = AD+BCBD

berekening geen zin. Als het antwoord goed is, maar een andere oplossingsroute gekozen is, dan is de maximale score gegeven.

De voortoets wordt opnieuw nagekeken op basis van dit nieuwe nakijkmodel. Zie bijlage B4 voor de voortoets en het aangepaste nakijkmodel volgens de nieuwe codering. Zie bijlage B5 voor de natoets en codering.

Leergedrag

Voor het leergedrag wil ik twee zwakke leerlingen een opgaven laten maken met hardop-denken, zowel voor de interventie als na de interventie. Zowel de voor- als nameting wordt gedaan bij dezelfde leerlingen. Daarbij wil ik nagaan of ze daadwerkelijk in staat zijn om na de interventie de verschillende basisvaardigheden flexibel in te zetten. Ik wil hierin een gedragsrepertoire

observeren van lokaal dan wel globaal kijken en algebraïsch redeneren. De leerlingen worden gefilmd bij het maken van de opgaven. Deze opnamen worden uitgeschreven en gecodeerd volgens de codering in bijlage B3 . De voormeting moet plaatshebben voor de eerste les en de nameting in de laatste week van de examentraining na de laatste les.

De hardop-denken opgaven zijn gemaakt op basis het eindexamen wiskunde B1 havo 2007-I, opgaven 17-20. Deze opgaven zijn met grafiek, maar zijn voor het hardop-denken teruggebracht tot het algebraïsche deel dat herleid of opgelost moet worden. Zie bijlage B6 .

Planning

Na de examentraining komen de leerlingen alleen nog op school voor de examens, dus alles moet in die drie weken uitgevoerd worden. De planning staat in bijlage B1 .

Uitwerking van lessen

Oorspronkelijk was de idee om lessen van een half uur te maken, maar in die tijd productief oefenen en nabespreken is niet realistisch. Dus is er in overleg met de docent van deze klas (mijn stagebegeleidster) gekozen om zes keer een lesuur (50 minuten) aandacht te schenken aan de algebraïsche vaardigheden. Elke les komen een of meerdere onderdeel aan bod en wordt daarmee productief geoefend op verschillende manieren. Bij de laatste twee lessen worden alle vaardigheden meegenomen.

Deze lessen vinden plaats als extra lessen tijdens de drie weken van de examentraining. Elke week wordt vier lesuren geoefende in een domein:

● Week 15: Domein B Functies, grafieken en vergelijkingen ● Week 16: Domein C Meetkundige berekeningen

De onderwerpen per les zijn gekozen uit de overzicht van de algebraïsche vaardigheden volgens bijlage 4 van CvTE (2016) voor havo wiskunde B (in bijlage B2 ). De lesplannen met leerling- en docentmaterialen staan in de bijlagen C1 t/m C6 :

1. machten, wortelvormen en logaritmen ( bijlage C1 ); 2. bijzondere producten en haakjes ( bijlage C2 ); 3. breuken (ook met expressies) ( bijlage C3 );

4. algemene vormen van vergelijkingen ( bijlage C4 );

5. algoritmen voor oplossen vergelijkingen (classificeren) ( bijlage C5 ); 6. Formatieve toets en afsluiting ( bijlage C6 ).

Hoewel dit alle onderdelen van bijlage B2 dekt, is er helaas maar tijd om alles een keer aan te stippen. Er zijn twee lessen om te classificeren. Volgens van Streun & Kop (2015, 2016) is ordenen en structureren een van de wiskundige denkactiviteiten die leidt tot niveauverhoging. Drijvers, Dekker & Weijers (2011) benadrukken het zoeken naar structuren en het liefst dat er meerdere mogelijke structuren mogelijk zijn. Dit wordt ook genoemd door Friedlander & Arcavi (2012). De classificatie opgaven (in de lessen 4 en 5) bieden de leerlingen de mogelijkheid om zelf tot een classificatie te komen, die prima kan verschillen van die van de anderen en daarover kunnen ze dan een gesprek hebben.

In deze lessen ontbreken de fase van instructie, omdat de leerlingen alle stof al behandeld hebben en in principe ook beheersen, zij het dat ze onzeker zijn en veel fouten maken. De lessen starten met een paar opgaven waarin geoefend wordt met de basisvaardigheden voor die les. Er wordt veel productief geoefende waarbij de leerlingen zelf voorbeelden moeten geven. Daarna zijn er samenwerkende opgaven. De feedback naar de leerlingen zit in het klassikaal nabespreken van de inleidende opgaven en de samenwerkende opgaven.

Arcavi, Drijvers, & Stacey (2017) pleiten ervoor om leerlingen bewust te maken van de fouten die ze maken. Ook Drijvers, Goddijn & Kindt (2006) pleiten daarvoor, want “Het vervelende met dergelijke fouten is dat ze zich vaak op ongelegen momenten voordoen, waarop het over iets anders gaat dan de uit te voeren algebraïsche bewerking” (pp.16-17). Zij stellen voor om van de nood een deugd te maken en fouten expliciet aan de orde te stellen. Dit is ook een mooie manier om vervolgens de algebraïsche vaardigheden zelf langs te laten komen (klassikaal of in een samenwerkende werkvorm).

Bij bijna elke les zit een opgave met door de leerlingen gemaakt fouten uit de voortoets. Deze zijn zo bewerkt dat de leerling niet te achterhalen is. De leerlingen moeten op zoek naar de logica achter de fout: “Wat dacht deze leerling vermoedelijk bij het maken van deze opgave?”. Ook gaan ze productief oefenen door de opgaven zo te veranderen dat het niet fout is, of door fouten

bedenken die ze zelf gemakkelijk maken en daar uitleg bij te geven. Naast de voorbeelden van de leerlingen zelf is gebruik gemaakt van de voorbeelden van Drijvers, Goddijn & Kindt (2006, p.17), de voorbeelden van Arcavi, Drijvers & Stacey (2017, p.100, lineariteits illusie) en van visueel saillante formules (Drijvers & Kop, 2015, p.65).

Er zijn examenopgaven uitgezocht voor de complexere opgave omdat daarvoor niet alleen de basisvaardigheden, maar ook symbol sense nodig is om ze op te lossen. Deze opgaven vragen

een hoger niveau van begrip om ze goed op te lossen. Het selectiecriterium voor deze opgaven was dat de opgave primair gericht moet zijn op de algebraïsche vaardigheden.

Voor alle lessen geldt: De rol van docent in groepswerk is die van procesbegeleider. Juist

producthulp of kritiek (inclusief goed/fout reacties) van de docent leidt meestal tot verwerping van eigen denkwerk en niet tot niveauverhoging (Dekker & Elshout-Mohr, 2007). Het gaat namelijk niet om het juiste antwoord, maar dat leerlingen aan het nadenken gezet worden en zo tot

niveauverhoging en conceptueel begrip komen. Dat is de niveauverhogende leeractiviteit waar het om gaat.

De gekozen opgaven voor de lessen komen van of zijn bewerkingen van Arcavi (2012), Arcavi, Drijvers & Stacey (2017), Drijvers (2006b), Drijvers, Goddijn & Kindt (2006), Drijvers & Kop (2015), Friedlander & Kindt (2003), Kindt (2006), Streun & Kop (2015) en de eindexamens wiskunde B havo. In de bijlagen C staan het lesplan, presentatie, docentmateriaal en leerlingmateriaal van alle lessen. Per les is er een verantwoording opgenomen van de gebruikte opgaven.

Uitvoering, dataverzameling en rapportage

Uitvoering van de lessen en dataverzameling

De voortoets is afgenomen in week 8 en 9, op 21 februari (7 leerlingen) en op 7 maart (7 leerling) voor de leerlingen die er de eerste keer niet waren. In totaal zijn er nu 14 leerlingen. Leerling nummer 15 is na het vooronderzoek afgevallen. De lessenserie is uitgevoerd in de weken 15 t/m 17 in drie series van twee lessen op de donderdagen 12, 19 en 26 april. Daarnaast hadden de leerlingen nog op woensdag en op vrijdag twee lesuren examentraining. Dus zes uur wiskunde per week gedurende deze drie weken.

Per les is er een lesevaluatie gemaakt. Die staan in bijlage D1 . Samengevat is de conclusie dat de opgaven van Kindt (2003) vanuit de leerlingen gezien te gemakkelijk waren, hoewel ze ook de wiskundige diepte niet doorhadden. Het nadenken over fouten sloeg erg aan en leverde de meest levendige gesprekken op. Het materiaal in de les was uitgebreid genoeg zodat de extra bonus opgaven niet gebruikt zijn. Er was geen tijd gepland om expliciet theorie uit te leggen, maar daar bleek eigenlijk toch wel behoefte aan. In de tweede week (lessen 3 en 4) hadden de leerlingen de idee opgevat dat het als een soort bijles bedoeld was en optioneel. Er waren maar zes leerlingen. De leerlingen die er waren, waren wel de zwakke leerlingen en daarvoor was nu meer tijd. Het viel op hoeveel moeite deze leerlingen hadden met globaal naar een vergelijking kijken en hoe snel ze zich laten verleiden door de visuele vorm. Bij de vijfde les bleek het maken van een indelingen in categorieën eigenlijk te moeilijk. Zie ook de resultaten op de foto’s in bijlage D1 bij les 6 . De bezoekende vakdidacticus stelt vast dat de leerlingen echt kijken naar alle vergelijkingen en daardoor overzicht verwerven. Hij stelt voor om als aanvulling de leerlingen voor alle stapeltjes vergelijkingen ook de prototypes te laten opschrijven om te laten zien hoe je ze oplost.

De laatste les (op 26 april) is gebruikt voor de formatieve toets en het door de leerlingen laten nakijken van hun eigen toets en elkaar feedback laten geven. Wat opviel is dat niet alle leerlingen deze toets even serieus namen. Er kwam voor de leerlingen niet een cijfer uit dat meetelde, zoals wel bij de voortoets het geval was. En alleen de feedback was kennelijk niet motiverend genoeg.

De voormeting voor de hardop-denken opgave is gedaan door drie zwakke leerlingen (no. 4, 5 en 14) op de dag voor de eerste les. De natoets is de middag voor de laatste twee lessen gedaan. Dit omdat de laatste lessen ook op de laatste dag voor de meivakantie viel en de leerlingen dan geen vrij uur meer hadden. Bij de natoets is alleen leerling 4 op komen dagen. Bij het uitwerken van de hardop-denken opgaven voor de verslaglegging bleek dat er een schrijffout is gemaakt van de aantekeningen en handmatige uitwerking naar papier. Door deze fout is de uitgevoerde natoets anders dan de voortoets en komt niet zo mooi uit. Zie bijlage B6 voor de natoets zoals bedoeld en zoals uitgevoerd.

Statistische analyse leerresultaten

De scores van de opnieuw nagekeken voortoets (toets algebraïsche vaardigheden) en van de natoets staan in bijlage D2 . De natoets is gemaakt door 11 van de 14 leerlingen. De statistische gegevens staan in bijlage D3 en de scores per leerling staan ook in tabel 1.

Lln Voormeting Nameting 1 2 3 2 0 4 4 2 4 5 1 5 6 1 0 8 6 6 9 4 6 10 10 8 12 2 0 13 3 0 14 4 8

Tabel 1 Scores voor- en nameting.

Cronbach’s alpha voor de voormeting is 0,86. Dus de toets als geheel is voldoende betrouwbaar voor individuele beoordeling volgens de vuistregels van COTAN. Omdat de natoets een subset van vier opgaven is van de voortoets en omdat de natoets maar door 11 leerlingen is gemaakt, is ook de Cronbach’s alpha bepaalt voor alleen die vier opgaven uit de voortoets minus deze 3 leerlingen. Dan is dez 0,51, dus onvoldoende. Voor de natoets is alpha gelijk aan 0,42.

Cohen’s d (effectgrootte) is 0,273. Dus op basis hiervan is spreken we van een klein positief effect. (Cohen’s d is uitgerekend voor paired datasets: verschil gemiddelden voor en na gedeeld door de

3

grootste standaarddeviatie).

3 _{Sawilowsky, S (2009). "New effect size rules of thumb". Journal of Modern Applied Statistical Methods . 8 (2): 467–474.}

http://digitalcommons.wayne.edu/jmasm/vol8/iss2/26/

De T-toets voor afhankelijke groepen geeft een t-waarde van -1,043 en een eenzijdige p-waarde van 0,161. Dat wil zeggen dat de kans op een type I fout 16% is. Dat is meer dan de 5% die we minimaal willen hebben. Dus op basis hiervan kunnen we niet claimen dat er een effect is. In figuur 1 staat de puntenwolk voor de scores op voor- en natoets. Deze suggereert een licht positief effect, maar laat ook zien dat een aantal leerlingen tijdens de natoets slechts 0 punten gescoord hebben. Dit zijn de leerlingen 6, 12 en 13 (zie tabel 1). Nu zijn dit niet alle leerlingen die de natoets mogelijk niet serieus namen op basis van hun gedrag tijdens de. Dat zijn namelijk leerlingen 2, 5 en 6 (zie de lesevaluatie van les 6 in bijlage D1 ). De puntenwolk laat ook zien dat er een grote spreiding in de scores zit. Dat blijkt ook uit de standaarddeviatie. Voor de voormeting is die 2,82 op een gemiddelde van 3,18 en voor de natoets is de standaarddeviatie 3,00 op een gemiddelde van 4,00.

Fig. 1 Puntenwolk voor- en nameting.

Analyse hardop-denken

De codering en transcripten van de hardop-denken opgaven staan in bijlage D4 . Er zijn drie leerlingen in de voortoets en een leerling in de natoets. De kwalitatieve analyse met behulp van de codering zoals ontworpen in bijlage B3 levert weinig inzichten op. Daarom is besloten om per leerling en per vraag een korte beschrijving te maken van de aanpak en wat daarin de thema’s zijn. De thema’s uit het hardop-denken zijn de volgenden:

A. Lijkt op A · B = 0, maar dan anders: x · A = c → x = c ⋁ A = 0 of de variant x = c ⋁ A = c . Voorbeelden zijn x(x2_{− 7 =− 6 → x =− 7 ⋁ x}) 2_{= 7} of _{x − 1 = 5 → x = 5 ⋁ x = 1(x )} of de variant

.

(x )

x 2_{− 7 =− 6 → x =− 7 ⋁ x}2_{− 7 =− 6}

B. Herkennen dat vraag b dezelfde formule is als bij a.

C. ap interpreteren als _{a · p}, bijvoorbeeld ₆p_{= 4 → p = 4 : 6 = 8 8 8} .

D. Vastlopen met x = gb en inzien dat het niet klopt, bijvoorbeeld 2p= 17 en dan niet verder kunnen.

Lln Opg Opgave Antwoord A B C D E Voortoets 14 a herleid x( − 2)(x2_{+ 2 − 3} x ) _goed b ( − 2x )(x2_{+ 2 − 3 = 0} x ) _{fout A B} c hp(6)= 6p− 7 · p + 6 = 0 goed 4 a herleid x( − 2)(x2_{+ 2 − 3} x ) _goed b ( − 2x )(x2_{+ 2 − 3 = 0} x ) _{fout A B} c hp(6)= 6p− 7 · p + 6 = 0 fout D 5 a herleid x( − 2)(x2_{+ 2 − 3} x ) _goed b ( − 2x )(x2_{+ 2 − 3 = 0} x ) _{fout A B} c hp(6)= 6p− 7 · 6 + 6 = 0 fout C Natoets 4 a herleid x( + 1)(x2_{− x − 5} ) _{fout A E} b ( − 2x )(x2_{− x − 5 = 0} ) _{fout A B} c hp(2)= 2p− 6 · 2 − 5 = 0 fout D

Tabel 2 Thema’s hardop-denken.

We zien in tabel 2 dat bij de voortoets de leerlingen de eerste vraag goed doen (op een rekenfout van leerling 4 na). Niemand doet opgave b goed en alleen leerling 14 maakt de laatste opgave correct. Bij de natoets slaagt leerling 4 voor geen enkele van de opgaven, waar de leerling nu zelfs de eerste opgave niet goed uitvoert door na de correcte herleiding door te gaan met oplossen op is gelijk aan nul.

Door de gemaakte fout in de opgaven van de natoets komt onderdeel c niet mooi, namelijk op , wat geen macht van 2 is. Omdat leerling 4 wel op deze vergelijking uitkwam, had hij 7

2p= 1

anders misschien wel het antwoord gezien. Blijft dat deze leerling niet kwam op p = log (17) ₂ , wat hij/zij had moeten beheersen. We kunnen op basis van deze gegevens niet concluderen dat de aanpak van leerling 4 is verbeterd. Bij de kennistoets is deze leerling wel van 2 naar 4 punten gegaan.

Thema’s B en D kun je zien als een stap terug zetten en globaal kijken, maar worden in de voortoets en de natoets even vaak toegepast, dus hier zien we geen verandering. Wat verder opvalt is dat geen van de leerlingen het gevonden antwoord checkt door in te vullen in de

vergelijking. Tijdens de lessenserie is daar geen aandacht aan geschonken, dus dat had mogelijk nog een positief effect kunnen hebben.

Conclusies

Voor de leerresultaten zien we een klein positief effect (d=0,273). De natoets besloeg slechts een deel van de stof van de voortoets en de betrouwbaarheid van voor en natoets voor alleen deze opgaven is te laag (alpha=0,51 en 0,42 respectievelijk). De eenzijdige p-waarde voor de gepaarde t-toets is 0,161. Dus op basis hiervan kunnen we niet claimen dat er een effect is.

De hardop-denken opgaven voor het onderzoeken van het leergedrag laat geen effect zien voor de enige leerling die zowel voor- als natoets heeft gemaakt. Wel zat er een fout in de natoets,

waardoor deze iets moeilijker was dan de voortoets.

Op basis hiervan moeten we de ontwerphypothese verwerpen dat de zwakke wiskundige basisvaardigheden de oorzaak zijn van de lage prestaties van de leerlingen in deze havo 5 wiskunde B klas.

Kanttekeningen die we hierbij kunnen plaatsen zijn dat het aantal leerlingen laag is en het beperkte aantal vragen in de natoets. Dat heeft de betrouwbaarheid en de p-waarde mogelijk negatief beïnvloed. De betrouwbaarheid van de voortoets als geheel is 0,86, dus die is voldoende betrouwbaar. Een kwalitatief vergelijkbare natoets was echter in de gestelde tijd niet haalbaar. Verder is de natoets niet door alle leerlingen serieus genomen en is de natoets door slechts 11 van de 14 leerlingen gemaakt.

Het ontbreken van een controle/parallel klas, met voldoende leerlingen, staat ook niet toe om uit die vergelijking nog conclusies te trekken.

Literatuur

Arcavi, A. (2005). Developing and Using Symbol Sense in Mathematics. For the Learning of Mathematics, 25(2), 42-47.

Arcavi, A., Drijvers, P., & Stacey, K. (2017). The learning and teaching of algebra: Ideas, insights, and activities . [EPub], London: Routledge.

Beck, I. L., Mkeown, M. G. & Kucan, L. (2013). Bringing Words to Life: Robust Vocabulary Instruction (2nd ed.). New York, NY: Guilford Press.

Boer, C. van den. (2003). Als je begrijpt wat ik bedoel. Een zoektocht naar verklaringen voor achterblijvende prestaties van allochtone leerlingen in het wiskundeonderwijs (Proefschrift Universiteit Utrecht). Utrecht: CD-ß Press. Geraadpleegd op 1 maart 2018, van

http://www.fi.uu.nl/publicaties/literatuur/5074.pdf .

CvTE (2016). WISKUNDE B HAVO. Syllabus centraal examen 2018 (versie 2, april 2016). Utrecht: College voor Toetsen en Examens vwo, havo, vmbo.

Dekker, R., Elshout-Mohr, M. (2007). Niveauverhoging door samenwerkend leren . Amsterdam: Vossiuspers UvA

van Dijk, G., Hajer, M., Scharten, R. & de Vos, B. (2013). Werken aan vaktaal bij de exacte vakken . Enschede: SLO. Geraadpleegt op 1 juni 2018, van

http://www.slo.nl/organisatie/recentepublicaties/vaktaalexactevakken .

van Dormolen, J., & Nederlandse Vereniging van wiskundeleraren Didactiekcommissie. (1981). Vaardigheden: 1001 redenen waarom leerlingen geen (goede) routine hebben (2e dr ed.). Utrecht: Rijksuniversiteit Utrecht.

Drijvers, P. (2006a). Algebra in de onderbouw van havo en vwo. In P. Drijvers (Red.) (2006), Wat a is, dat kun je niet weten. Een pleidooi voor betekenisvolle wiskunde op school (pp.55-68). Utrecht: Freudenthal Instituut

Drijvers, P. (2006b). Algebra tweede fase van havo en vwo. In P. Drijvers (Red.) (2006), Wat a is, dat kun je niet weten. Een pleidooi voor betekenisvolle wiskunde op school (pp.69-83). Utrecht: Freudenthal Instituut

Drijvers, P., Goddijn, A., & Kindt, M. (2006). Oriëntatie op schoolalgebra. In P. Drijvers (Red.) (2006), Wat a is, dat kun je niet weten. Een pleidooi voor betekenisvolle wiskunde op school (pp.7-23). Utrecht: Freudenthal Instituut

Drijvers, P., Goddijn, A., & Kindt, M. (2011). Algebra Education: Exploring Topics And Themes. In P. Drijvers (Red.) (2011), Secondary Algebra Education. Revisiting Topics and Themes and Exploring the Unknown (pp. 5-26). Rotterdam: Sense Publishers.

Drijvers, P., Dekker, T., & Weijers, M. (2011). Patterns and formulas. In P. Drijvers (Red.) (2011), Secondary Algebra Education. Revisiting Topics and Themes and Exploring the Unknown (pp. 89-100). Rotterdam: Sense Publishers.

Drijvers, P. (2012). Wat bedoelen ze toch met... symbol sense? Nieuwe Wiskrant, 31(3) , 39-42. Drijvers, P. & Kop, P (2015). Variabelen en vergelijkingen. In P. Drijvers, A. van Streun & G.

Zwaneveld (Reds.) (2015), Handboek wiskundedidactiek (Epsilon uitgaven 72) (4e ed.) (pp. 53-81). Amsterdam: Epsilon Uitgaven.

Ebbens, S., & Ettekoven, S. (2015). Effectief leren. Basisboek. Groningen: Wolters-Noordhoff. Friedlander, A., & Arcavi, A. (2012). Practicing Algebraic Skills: A Conceptual Approach.

Mathematics Teacher, 105 (8), 608-614

Hajer, M., & Meestringa, T. (2015). Handboek taalgericht vakonderwijs (3e, herziene druk ) . Bussum: Coutinho

Hazenberg, S., & Hulstijn, J. H. (1992). Woorden op zicht: Woordselectie ten behoeve van het NT2-onderwijs. Levende Talen, 467 , 2-7 .

Henriksen, B., Albrechtsen, D., & Haastrup, K. (2004). The relationship between vocabulary size and reading comprehension in the L2. In B. Henriksen, D. Albrechtsen, & K. Haastrup (2004), Writing and vocabulary in foreign language acquisition. Serie: Angles on the

English-speaking world (pp. 129-140). Copenhagen: Museum Tusculanum Press.

Hu, M., & Nation, P. & (2000). Unknown vocabulary density and reading comprehension. Reading in a Foreign Language, 13 (1), 403-430.

Kindt, M. (2003). Oefeningen in Algebra . Utrecht: Freudenthal Instituut. 4

Kindt, M. (2004). Positive Algebra: A collection of productive exercises . Utrecht: Freudenthal Instituut. Geraadpleegt op 28 maart 2018, van

http://www.fi.uu.nl/en/summerschool/docs2017/PositiveAlgebra_metkaft.pdf

Kindt, M. (2006). Oefening baart kunst. In P. Drijvers (Red.) (2006), Wat a is, dat kun je niet weten. Een pleidooi voor betekenisvolle wiskunde op school (pp.105-136). Utrecht: Freudenthal Instituut

Kindt, M. (2011). Principles of Practice. In P. Drijvers (Red.) (2011), Secondary Algebra Education. Revisiting Topics and Themes and Exploring the Unknown (pp. 137-178). Rotterdam: Sense Publishers.

Moeken, N., Kuiken, F., & Welie, C. (2015). SALEVO: Samenwerkend lezen in het voortgezet onderwijs . Amsterdam: Universiteit van Amsterdam. Geraadpleegd op 2 juni 2018, van https://www.nro.nl/wp-content/uploads/2014/09/eindrapport_salevo.pdf .

Pólya, G. (1971). How to solve it: A new aspect of mathematical method (2nd ed.). Princeton, N.J: Princeton University Press. (Expanded Princeton Science Library Edition, with a new

foreword by John H. Conway, 2004)

Prenger, J. (2007). Uitgerekend taal! Een onderzoek naar begripsproblemen bij wiskundeopgaven. Levende Talen Tijdschrift, 8(2) , 10-16. Geraadpleegd op 1 maart 2018, van

http://www.lt-tijdschriften.nl/ojs/index.php/ltt/article/download/211/206 .

Proctor, C., Carlo, M., August, D., Snow, C., & Harris, K. (2005). Native Spanish-Speaking Children Reading in English: Toward a Model of Comprehension. Journal of Educational Psychology, 97 (2), 246-256.

van Schendel, C. (2017a). Samen meer Symbol Sense. Leidt groepswerk tot dieper begrip bij algebra? Universiteit Utrecht. Bachelorscriptie wiskunde onder begeleiding van prof. dr. Paul Drijvers. Geraadpleegd op 16 januari 2018, van http://vakbladeuclides.nl/932schendel . van Schendel, C. (2017b). Samen meer Symbol Sense. Groepswerk en algebraïsch inzicht.

Euclides, 93(2) , 13-15.

Schmidt, V. (2015). Goed voorbereid verder met wiskunde: Verrijking van het leerplan wiskunde voor een betere aansluiting vmbo-tl - vervolgonderwijs . Enschede: SLO (nationaal

expertisecentrum leerplanontwikkeling). Geraadpleegd op 6 maart 2018, van

http://www.slo.nl/organisatie/recentepublicaties/verrijkingwiskunde .

Schoenfeld, A. (1985). Mathematical problem solving . San Diego [etc.]: Academic Press. Stokking, K. (2016). Bouwstenen voor onderzoek in onderwijs en opleiding. Antwerpen –

Apeldoorn: Garant.

van Streun, A. (2014). Onderwijzen en toetsen van wiskundige denkactiviteiten: implementatie examenprogramma’s havo-vwo 2014-2015 . Enschede: SLO. Geraadpleegd op 1 maart 2018, van http://www.slo.nl/downloads/2014/onderwijzen-en-toetsen-van-wiskundige- denkactiviteiten.pdf .

van Streun, A. & Kop, P (2015). Wiskundige denkactiviteiten. In P. Drijvers, A. van Streun & G. Zwaneveld (Reds.) (2015), Handboek wiskundedidactiek (Epsilon uitgaven 72) (4e ed.) (pp. 339-368). Amsterdam: Epsilon Uitgaven.

van Streun, A. & Kop, P. (2016). Ontwerpen van wiskundige denkactiviteiten bovenbouw havo-vwo: implementatie examenprogramma havo-vwo 2015. Enschede: SLO. Geraadpleegd op 1 maart, van http://downloads.slo.nl/Repository/ontwerpen-van-wiskundige-denkactiviteiten- bovenbouw-havo-vwo.pdf .

Welie, C. (2013). Onderzoeksrapportage Project OTAW: Taalvaardigheid in Amsterdam-West. Een Analyse Van Leerlingachtergrond, Taalonderwijs En Lessen Nederlands . Amsterdam:

Universiteit Van Amsterdam. Geraadpleegd op 2 juni 2018, van

http://hdl.handle.net/11245/1.410753 .

Welie, C. J. M. (2017). Individual differences in reading comprehension: A componential approach to eighth graders’ expository text comprehension. Utrecht: LOT. Geraadpleegd op 2 juni 2018, van http://hdl.handle.net/11245.1/66b677f2-6b84-4262-80de-44792194a46b .

Bijlagen

Vier subsets bijlagen: A, B, C en D

De bijlagen zijn in 4 subsets verdeeld:

● Bijlagen A: de bijlagen bij het vooronderzoek;

● Bijlagen B: de bijlagen voor het onderzoek en onderzoeksinstrumenten;

● Bijlagen C: de zes lesontwerpen met alle materialen voor docenten en leerlingen; ● Bijlagen D: de volledige set met relevante verzamelde gegevens (‘ruwe data’).

Bijlage A1: Tabel met Informatie over de leerlingen

LlnNo Leeftijd Profiel vmbo-tl Blijven zitten

SE 4e klas Rekentoets 3F Toets Alg.vaard 1 18 EM Ja 5,2 6,0 3,6 2 17 NG/NT Ja 4,6 7,0 2,7 3 19 NG Havo 4 (NT) 7,4 4,0 7,9 4 17 NG Ja 4,4 6,0 4,2 5 17 NG/NT Ja 4,7 6,0 4,2 6 16 EM Ja 5,0 7,0 2,9 7 17 EM 6,7 5,0 8,1 8 18 NG/NT Ja 5,1 6,0 3,1 9 17 NG/NT Ja 6,2 6,0 4,9 10 16 EM Ja 6,2 5,0 6,6 11 18 NG/NT Ja 5,7 5,0 1,4 12 17 NG/NT Ja 4,6 5,0 3,8 13 18 NG/NT Ja 4,9 5,0 3,8 14 16 NG/NT Ja 6,2 5,0 5,1 15 19 EM Ja Havo 5 (EM) 5,1 6,0 12 Gemiddeld: 5,5 5,6 4,5 Onvoldoendes: 9 7 11

Bijlage A2: Tabel met indruk fouten bij toets domein A

Bijlage A3: Tabel met gemaakt/opgegeven bij toets domein B

Hieronder de codering voor de toets domein B. De nummers in de eerste rij zijn de

leerlingnummers van de tabel uit bijlage A1. Per opgave heb ik gekeken naar of de opgaven gemaakt is (code 1), of de opgave helemaal niet gemaakt is (code 2) en of de leerling het opgegeven heeft (code 3), dat wil zeggen dat de er wel wat genoteerd is bij de opgave, maar de leerling niet tot enige een uitwerking is gekomen. Het onderscheid tussen code 2 en 3 op basis van wat de leerling genoteerd heeft, maar als de leerling niets heeft opgeschreven (code 2), kan dat natuurlijk ook betekenen dat de leerling het eigenlijk heeft opgegeven (code 3).

Vier leerlingen (no. 1, 6, 11 en 15) hebben de toets (nog) niet gemaakt en zijn niet meegenomen in de totalen en percentages. Vraa g Kenmerk RTT I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 A.b=0, kwadr.vgl T1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 afgeleide, max T2 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 begrip samengest.functie, raken I 1 2 2 2 1 2 1 1 3 1 1 4 extremen, afstand T2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 raaklijn, loodrecht, I 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 6 van tabel naar exp.verband T1 1 2 3 1 3 1 3 1 1 1 1 7 rekenen met log T1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1

8 log omwerken T2 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1

9 exp. groei T1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1

10 differentiequotiënt T1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 11 creatief inzicht logaritme I 1 2 2 1 1 3 1 2 1 3 1 12 formules combineren, machten T2 3 1 2 1 3 1 1 2 3 1 3 13 aflezen grafiek T1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 2 1 14 sinusoïde opstellen uit grafiek T1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15 begrip sinusoïde, translatie T2 2 1 1 2 3 1 1 1 2 1 1

Cijfer 2,1 6,1 1,8 3,9 3,3 5,5 3,9 3,0 2,7 2,8 6,0 1=gemaakt 79% 13 12 6 12 11 13 13 12 11 13 14 2=niet gemaakt 12% 1 3 7 2 0 1 0 2 2 1 0 3=opgegeven 10% 1 0 2 1 4 1 2 1 2 1 1 R T1 T2 I R T1 T2 I 1=gemaakt 86% 76% 67% 0 66 42 22 2=niet gemaakt 8% 11% 21% 0 6 6 7 3=opgegeven 6% 13% 12% 0 5 7 4 100% 100% 100%

Bijlage B1: Planning

week Taak/product Inleveren Afhankelijk van

6 ●Eerste voorstel Werkcollege 8-2 Go/no-go vakdocent

7 ●Uitwerking voorstel 8 ●Eerste globale uitwerking

ontwerpplan

●Toets domein A (input voormeting)

Werkcollege 15-2 Go/no-go vakdocent

9 ●Literatuuronderzoek Voorjaarsvakantie

10 ●Literatuuronderzoek

11 ●Meetinstrumenten kiezen Ontwerp carrousel

12 ●Ontwerpnotitie afmaken Ontwerpnotitie, vrijdag 22-3 Feedback Sevinç

13 ●Interventie ontwerpen Go/no-go

14 ●Interventie ontwerpen ●Hardop-denken voormeting ●Meetinstrumenten ontwerpen 15 ●Examentraining domein B ●Interventie uitvoeren

Evt. herkansing Ontwerpnotitie, donderdag 12-4 16 ●Examentraining domein C ●Interventie uitvoeren 17 ●Examentraining domein D ●Hardop-denken nameting ●Toets nameting 18 ●Data-analyse Meivakantie 19 ●Data-analyse Meivakantie

20 ●Conclusie schrijven Werkcollege 17-5 Feedback data-analyse

21 ●Conclusie schrijven

22 ●Schrijven eindverslag Werkcollege 31-5 Feedback conclusie

23 ●Schrijven eindverslag

24 ●Eindverslag Eindverslag, donderdag 14-6

(herkansing 12 juli)

Bijlage B2: Codering voor- en natoets

Codering conform ‘specifieke basisvaardigheden’ uit bijlage 4 van CvTE (2016). Opgenomen zijn de breukvormen (A), wortelvormen (B), bijzondere producten (C), machten (D1-6) en logaritmen (D7-10), herleidingen (F), algemene vormen (G), algoritmen (H) en vergelijkingen oplossen met standaardfuncties (I). Dus goniometrie (E) en ongelijkheden (J) zijn niet meegenomen.

Code Beschrijving Vormen

A Breukvormen 1. A B + CD = AD+BCBD 2. A B + C = A+BCB 3. A · _CB ₌ C AB ₌ A C · B = A · B · C1 4. A B · CD = BDAC 5. A ( )B C = B AC B Wortelvormen _1.

_√

_√

_√

√

beide kanten op (som-product-methode). 2. ( + BA )(C+ D = A + A + B + B ) C D C D

beide kanten op.

3. A2± 2AB+ B2 = ( ± BA ) 2 4. A2− B2= ( + BA )(A− B )

5. Kwadraat afsplitsen: x2_{+ p + q}x schrijven in de vorm x( + r)2+ s DM Machten 1. ap· aq= ap+q 2. a_aq p = ap q− 3. (a )p q_{= a}p·q 4. (ab)p= ap· aq 5. 1 ap = a−p 6. √p a = a1p

DL Logaritmen 7. glog(a)+ glog(b)= glog(a· b )

8. glog(a)− glog(b)= glog( )_ba

9. glog(a )p _{= p ·} glog(a) 10. log(a)g = _log(b) log(a)p

p

11. (idem voor ln, n.v.t voor havo wiskunde B)

F Herleiden (aan de hand van de

elementen genoemd bij A tot en met D)

1. via substitutie van getallen 2. via substitutie van expressies 3. via het omwerken van formules

G Vergelijkingen oplossen met

behulp van algemene vormen en formules herleiden 1. A · B = 0 ⇔ A = 0 ⋁ B = 0 2. A · B = A · C ⇔ A = 0 ⋁ B = C 3. A B = C ⇔ A = B · C 4. A B = CD ⇔ A · D = B · C

5. A2= B2⇔ A = B ⋁ A =− B 6.

√

H Algoritmen (oplossen

vergelijkingen, herleiden formules

1. Eerstegraads vergelijkingen x a + b = c ⇒ x = c b−_a 2. tweedegraadsvergelijkingen abc-formule met x x a 2_{+ b + c = 0 ⇒ x =} 2a b± − √D ac D = b2− 4 3. xn_{= c ⇒ x = cn}1 als oneven is n

als even is. xn_{= c ⇒ x = c}n1 ⋁ x =− cn1 n

(specifiek geval: x2= c ⇒ x = √c ⋁ x =− √c ) 4. gx= a ⇒ x = glog(a)

5. (idem voor ln, n.v.t voor havo wiskunde B) 6. glog(x)= b ⇔ x = gb

7. (idem voor ln, n.v.t voor havo wiskunde B) 8. (∣ ∣ = cx , n.v.t voor havo wiskunde B)

I Vergelijkingen oplossen met

standaardfuncties

1. f(A)= c

2. f(A)= f(B) . Hier vallen o.a. onder:

a. 1 A = B1 ⇒ A = B b. AB= AC ⇒ B = C c. Ap= Bp ⇒ A = B d.

√

√

Bijlage B3: Codering hardop-denken

De leerlingen worden gefilmd bij het maken van een aantal opgaven. Dit wordt verbatim uitgeschreven, waarbij ook genoteerd wordt wat de leerling op het papier schrijft.

Daarna de tekst coderen voor fouten en of de leerling in zijn overwegingen globaal kijkt. Verder noteren of de opgaven goed of fout opgelost is.

rf = rekenfout

af = algoritme fout / rekenregel fout sf = schrijffout *

cor = correctie eerdere fout * fout= overige fout

gk=globaal kijken

Bijlage B4: Voortoets met nakijkmodel

Bijlage B5: Natoets met nakijkmodel

Toets algebraïsche vaardigheden

Totale tijd: 20 minuten Aantal punten: 14

4p

1.

(

)

=

( )

.

2p

2.

_{x 2}

−

3x+1

₋

x 1

−

2(x 2)

₋

4p

3.

l =− 6 + ₂1 · l W L

Werk de formule om tot een formule van de vorm W = a · Lb.