Hoofdstuk 5 Logaritmische functies

Hoofdstuk 5

Logaritmische functies

V-1. a. _{5 5}3_ 4 _57 _{b. (7 )}2 5 _710 _{c. 2}4_23 _21 V-2. a. 3 3 1 1 125 5 5   b. 1 2 7  7 V-3. a. 3 3 1 a a  _{ b.} 5 5 1 g g  c. 2 2 2 1 1 m m m    _{  }     V-4. a. _a3_a5_a12 _a4 _b. 2 3 5 w w w    c. 3 3 6 3 3 7 7 7 7 7 7 7 x x x x        V-5. a. 14762 5jaar 25000 0,59 g   1 5 0,59 0,9 jaar g   b. W(1) 25000 0,9 22500   en _{W(3) 25000 0,9 } 3 _18225 c. De dagwaarde neemt af met (1 0,9) 100 10%   per jaar. d. b25000 en g 0,90

e. g10jaar 0,910 0,349

f. Dat is een afname van (1 0,349) 100 65,1%   per 10 jaar.

V-6.

a. f, g en j zijn exponentiële functies.

b. Bij g en j is de grafiek stijgend omdat de groeifactor groter is dan 1. c. In (0, 4), (0, 2) en (0, 7)

V-7.

a. _{N }1720 1,057_ t _{met t de tijd in jaren.}

b. _{N }37980 0,995_ t _{met t de tijd in weken.}

c. De beginhoeveelheid is 2

12500

1,25 8000, dus N8000 1,25 t met t de tijd in dagen.

d. 37014 3 134780 0,27 g   en dus is de groeifactor 1 3 0,27 0,65 De beginhoeveelheid is 2 134780 0,65 319000 319000 0,65t N   V-8. a. N2feb 14800 1,063 115732 b. N29jan 14800 1,063 3 12321 c. _1,0637 _1,534 week

g   : een toename van 53,4% per week.

d. 248

8uur 1,063 1,021

e. 14800 1,063_ t _50000

Voer in: y114800 1,063 x en y2 50000 intersect: x 19,9 Na ongeveer 20 dagen is het aantal insecten gegroeid tot 50000.

V-9.

a. verdubbelt elk uur: g_uur 2 1000 2t N   b. 1000 2_ t _8000 3 8000 1000 2 8 2 3 t t     V-10. a. 3x _27 _{b. 4}2x _{64 c. 2}1 5 x _{8 d.} 2 8 1 25 5 t _ 3 3 3 3 x x   2 3 1 2 4 4 2 3 1 x x x    1 5 3 2 5 2 2 1 5 3 x x x  _    2 8 2 5 5 2 8 2 3 t t t  _      e. 3t _9 _{f. 8 4} p _{2 g.} 1 6 6 6_ x _{ h. 5}2t_53t _1 2 3 3 2 2 t t t  _     1 4 1 4 4 4 1 p p p      1 1 6 6 1 1 2 x x x  _       5 0 5 5 5 0 0 t t t   

1. a. ₂x _{ 4 2}2 _{b. 3}x _{27 3} 3 _c. 1 1 10 10x _{ }10 2 x x 3 x  1 d. 1 2 5x _ 5 _5 _{e. 2}x _{256 2} 8 _f. 1 2 9 3x _{ }3 1 2 x x 8 x  2 2.

a. Voor alle machten van 3; dus a1, a3 en a9. b. ₃5 _{243 en 3}6 _729

3.

a. Je kunt 7 niet als macht van 2 schrijven. b. ₂2,80 _{6,96 en 2}2,81_7,01

c. Voer in: y12x en y2 7 intersect: x 2,807

4.

a. ₃2 _{9 en 3}3 _{27. De oplossing ligt dus tussen 2 en 3.}

b. De oplossing van 3x _25 _{is de logaritme van 25 met grondtal 3.}

5.

a. _x 7_{log(4) b. x} 7_{log(10) c. x } 5_{log(14) d. x} 5_{log(125) 3}

6. a. 3x _5 _b. 1 2 7x _ c. 3x _81 7. a. 3_{log(27) 3 want 3}3 _27 b. 2_{log(32) 5 want 2}5 _32 c. 5_{log(5) 1 want 5}1_5 d. 13log(1) 0 want 1 0 3 ( ) 1 8. a. ₃2 _{9 en 3}3 _{27, dus 2} 3_{log(12) 3} b. ₅4 _{625 en 5}5 _{3125, dus 4} 5_{log(1000) 5} c. ₁₀3 _{1000 en 10}4 _{10000, dus 3} 10_{log(3790) 4} d. 1 1 5 ( ) 5 en 1 2 5 ( ) 25, dus  2 15log(20) 1 9. a. 2_{log(128) 7 c.} 10_{log(1000000) 6 e.} 3 1 9 log( ) 2 b. 7_{log(1) 0 d.} 1 4 1 64 log( ) 3 f. 25 1 2 log(5) 10. a. _{B }5000 1,047_ t

c. _{t }1,047_log(2) d. Voer in: 1 1,047

x

y  en y2 2 intersect: x 15,09 jaar Dat is na ongeveer 15 jaar en 1 maand.

e. Na weer 15 jaar en 1 maand is de hoeveelheid weer verdubbeld (en dus

verviervoudigd). En na nog eens 15 jaar en 1 maand (in totaal dus na 45 jaar en 3 maanden) is de hoeveelheid weer verdubbeld (en bij elkaar 8 keer zo groot

geworden). 11. a. 20 100 1 0,80 g    b. _{Z(0) 50 0,80 } 0 _{50 mg} c. 50 0,80_ t _25 d. 0,80t _0,50 e. _{t } 0,80_log(0,50) f. Voer in: 1 0,80 x y  en y2 0,50 intersect: x 3,11 12.

a. log(5) 0,70 , log(10) 1 , log(50) 1,70 , log(100) 2 en log(1000) 3 b. De logaritme van de machten van 10 zijn geheel.

c. _x105 _100000

d. log(1000000) 6 en log(0,0001) 4 want ₁₀6 _{1000000 en 10}4 _0,0001

13. a. log(0,1) 1 b. log(1) 0 c. 1 2 log( 10) 14. a. 10t _7 _{b. 10}t3 _{8 c. 10}1,2 0,6t _6,7 log(7) 0,85 t   3 log(8) t log(8) 3 2,10 t      1,2 0,6 log(6,7) 0,83 1,19 t t     15. a. 2000 10_ t _4000 10t _2 b. t log(2) 0,30 jaar c. 15t _2 d. ₁₅0,2650 _2,05 16. a. plog(15) b. 10 10 log(2) 0,256 log(15) t  

17. a. 9_{log(35) 1,62 c.} 5_{log(10) 1,43} b. 13log(128) 4,42 d. 4 1 13 log( ) 1,85 18. a. 15x _2 _{b. 10}x _{5 c. 4}2x _6 15_{log(2) 0,26} x  x log(5) 0,70 4 4 1 2 2 log(6) x log(6) 0,65 x     d. 3x _ 5 3_{log( 5) 0,73} x  19. a. 600 0,8_ t _300 0,8 0,8 0,5 log(0,5) 3,11 uur t t   

b. Dan is het ook 3,11 uur. Het komt elke keer uit op de vergelijking 0,8t _0,5 c. _b0,8t _0,5_b

links en rechts delen door b: 0,8t _0,5

20.

a. 1,05t _2

b. _{t }1,05_{log(2) 14 jaar}

c. weer 14 jaar later is de hoeveelheid verdubbeld, dus na 28 jaar is de hoeveelheid verviervoudigd. d. met factor 8. 21. a. b. c. Spiegelen in de lijn y x.

d. De lijn y 0 is de horizontale asymptoot van de grafiek van f en x0 is de

verticale asymptoot van de grafiek van g.

22.

a. die grafieken zijn vergelijkbaar met de grafieken van f en g uit opgave 21. b. _{f(0) 5} 0 _{1: (0,1) en k(1)} 5_{log(1) 0 : (1, 0)}

c. D_f :¡ en B_f : 0 , . En voor g is dat net andersom.

d. f heeft een horizontale asymptoot: y 0 en g een verticale: x 0

x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5 f(x) g(x) x -2 -1 0 1 2 3 f(x ) 14 12 1 2 4 8 x 1 4 12 1 2 4 8 g(x ) -2 -1 0 1 2 3

23.

a. Punt (1, 0) ligt op beide grafiek. b. _{h x}( ) 1,2_ x _{en k x( ) 0,8} x

c. De grafiek van _{k x}( )_ glog( )_{x is stijgend voor g 1. Voor 0 g 1 is de grafiek van} k dalend.

24.

a.

b. Beide grafieken hebben een verticale asymptoot: 0

x  .

c. Beide grafieken gaan door (1, 0). d. domein: 0 , en bereik: ¡ e. spiegelen in de lijn y 0.

f. spiegelen in de x-as komt neer op een

vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met factor -1.

25.

a. _{P  }1 0,885h

b. _h 0,885_{log( )P}

c. _h 0,885_{log(0,51) 5,512 . Dat is dus maximaal op 5512 meter.} d. _{P }1013 0,885_ h _en 0,885 1 1013 log( ) h P 26. a. _gt _2 _{dus t } g_log(2) b.

c. Als g in de buurt van de 1 komt wordt de verdubbelingstijd heel erg groot. d. _{t }1,06_{log(2) 12 jaar.} 27. a. 2_log(3) 2 3, 0,3_log(4) 0,3 4 en alog(3) ₃ a  b. 2_log(7) 7 2 , 12_log(7) 7 12 en ₇ plog(7) p  28. a. 21 3 7 2 2_{  } p_ q _2p q b. _{p q } 2_log(21)

c. omdat _p 2_{log(3) en q } 2_log(7) d. 5_log(7)5_log(70) 5_log(490) e. 5_log(70)5_log(7) 5_{log( )b}

5_log(70) 5_{log( )} 5_log(7) 5_{log(7 )}

7 70 10 b b b b     

f. _43_log(2) 3_log(2)3_log(2) 3_log(2) 3_log(2) 3_{log(2 2 2 2)   } 3_{log(2 )}4

g b log a b a g   x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 f(x) g(x) groeifactor verdubbelingstijd 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 5 10 15 20

29.

a. 2_log(7)2_log(3) 2_{log(7 3) } 2_log(21)

b. 7 7 7 7 42 7

3

log(42) log(3) log( )x  log( x) log(14 x)

c. 13

3

7 7 7 7 3 7 1 7 7 2

3

3 log( ) ( log( ) log(3)) log( ) log( ) log( )k log(3 )

k

k k k k k

      

d. _{2 3 }5_{log( )a } 5_{log(5 )}2 _5_{log( )a}3 _ 5_{log(25 )a}3

e. _67_{log( )a }7_{log( ) 1 5a   }7_{log( )a }7_log(7) 7_{log(7 )a}5

f. 3_log(p2_{) 4 }3_{log( ) 1p  } 3_{log( )p}2 _3_log(p4_)3_log(3) 3_{log(3 )p}6

30.

a. 2 2 2 1 2 2 1 2

9

log(9) log(18) log(9 ) log(18) log( 18) log(2) 1

       

b. 2 2 2 2 2 18 2

9

log(9) log(18) log(18) log(9) log( ) log(2) 1

       31. a. 35,9 log( ) 4,1 75 v   1,97 35,9 log( ) 70,9 log( ) 1,97 10 94,4 v v v     

b. D_nieuw 35,9 log(2 ) 4,1 35,9 (log(2) log( )) 4,1 v     v  

35,9 log(2) 35,9 log( )) 4,1 35,9 log(2)v D_oud 10,8 D_oud

          32. a. _x 3_log(15) b. _a blog(3) c. _{( )a x ax 15} blog(15) b b  b d. _{ax } blog(15) e. log(15) log(15) log(3) b b b x a

  (_ 3_{log(15): zie vraag a)}

33. a. 2 2 7 8 7 1 3 3 2 2 3 log(128) log(2 ) log(128) 2 log(8) log(2 )     b. 2 2 5 4 1 2 2 2 2 log(32) log(2 ) log(32) 2 log(4) log(2 )    c. 3 3 2 27 2 3 3 3 3 log(9) log(3 ) log(9) log(27) log(3 )    d. 1 1 2 2 1 1 2 2 3 1 0,25 2 1 2 2 1 2 log( ) log(0,125) log(0,125) 1 log(0,25) log( )    34. a. _{N t( ) 2} 3t _{2 2}3_ t _{ 8 2}t b. _{N t( ) 15 2 } t4 _{15 2 2 }t 4 _{240 2} t c. 2 3 2 3 2 3 1 9 ( ) 3 t 3 3 t 3 (3 )t 27t N t _   _  _{ }  _{  }

d. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) t ( ) ( ) t (( ) )t 2t N t _  _{ }  _{ }  _{ } e. 21 2 12 2 1 12 1 16 16 ( ) 4 t 4 t 4 (4 )t 2t N t _  _{ }  _{   } 35. a. _{P t}( ) 100 0,96_{ } t b. P t( ) 20 0,96 100 0,96 20 0,96 0,20 log(0,20) 39,43 t t t     

De batterij is zo'n 39 uur te gebruiken.

c. P t( ) 50 P t( ) 30 d. _{P }100 0,96_ t 0,96 0,96 0,50 log(0,50) 17 t t    0,96 0,96 0,30 log(0,30) 29 t t    0,96 0,96 100 log 100 t P P t     _{ }   36. a. _{N  }3 4t _{b. N  16 4 5 } t _{c. N } 6_{log( ) 2t } 1 3 4 1 3 4 log( ) t _N t N   1 4 5 1 4 4 5 16 5 4 log( 4) t t N N t N        6 2 log( ) 2 6N t N t     d. 1 12 3_{N  }2 4t e. 5 1 2 4 2 log( ) N    t f. _{7 N} 3_{log( )t} 4 4 36 24 log(36 24) t _N t N     12 1 2 5 1 1 2 2 2 1 2 2 log( ) 2 5 2 5 N N t N t t        7 3_{log( )} 7 3N N t t   g. 4_N6t _5 _{h. 7}t N _{10 i. 3}t _9N 5 4 6 5 4 6 log( ) t N N t   7 7 log(10) log(10) N t N t    2 2 3 (3 ) 3 2 t N N t N    37. a. _{T } 4_{log(2 )a} 1 2 2 4 4 T T a a    b. _a21_{(2 )}2 T _21_22T _22T1 38.

a. _{N }600 2_ t _{met t de tijd in dagen.}

b. 1 600 2t _{ N} 2 1 600 log( ) t  N c. 2 30000 600 log( ) 5,64

t   . Na ruim 5,5 dagen zijn er 30000 bacteriën.

d. 1

600N40 24000

39.

a. _{f x( ) 2 } 3_{log(x5)} 3_{log(3 )}2 _ 3_{log(x5)} 3_log(9x45)

b. 2 2 2 2 2 1 1

2 4 ( ) 2 log(10 ) log(2 ) log(10 ) log(2 )

g x _{   }x _  _{ }x _{ } x 40. 2_{log( ) 4,45 2,31R   S} 2_{log( ) 4,45 2,31 4,45 2,31 4,45 2,31} 2 R 2 S 2 2 S 2 (2 )S 21,86 0,20S R _{ }  _{ }  _{ }  _{ } 41. a. _{T(0) 21 66 0,9  } 0 _87o_C

b. Als t heel groot wordt, neemt de thee de temperatuur aan van de omgeving. Voor grote waarden van t, wordt 0,9t _{bijna gelijk aan 0 en wordt T 21}o_C c. _{T }21 66 0,9_{ } t 1 66 0,9 1 0,9 1 0,9 0,9 66 66 66 0,9 21 0,9 ( 21)

log( ( 21)) log( ) log( 21) 39,8 log( 21)

t t T T t T T T             

d. 14,75 5,03 9,7  minuten is de thee goed drinkbaar.

42. a. 100 a log(18 1)  a log(19) 100 log(19) 78,201 a  b. P 78 log( x1) 1 78 1 78 1 78 log( 1) 1 10 10 1 P P x P x x       dus 1 78 0,013 n  en m 1 43.

a. De concentratie is 10 op de tijdstippen 10 en 15 en 25; 100 op het tijdstip 30 en 1000 op de tijdstippen 35 en 48.

b. 25-30: 100

10 10 30-35: 1000100 10 35-40: 100001000 10 c. Er is sprake van exponentiële groei.

d. Horizontaal is de schaalverdeling lineair en verticaal niet. e. De machten van 10 zijn lineair.

44. a. a3,5 en b0,25 b. I: _{0,01 10} 2 _{0,1 10} 1 _{1 10} 0 _{... 10000 10} 4 II: _{0,25 2} 2 _{0,5 2} 1 _{1 2} 0 _{... 16 2} 4 c/d. a3,5 _a103,5 _{3162 a2}3,5 _11,31 0,25 b _b100,25 _{1,78 b2}0,25 _1,19 45. a. _b52,4 _47,59 b. _{c 5}4,2 _862

46.

a./c.

b. xlog(35) 1,54

d. log(0,4) 0,4 log(7) 0,85

47.

a. De verticale schaal is logaritmisch en de grafiek is een rechte lijn. b. _b102,5 _{316 en} 3 12 2,5 10 10 ( ) 1,78 g   c. 1,78t _2 2_{log(1,78) 0,83} t   dagen

d. Een rechte lijn door _{(0, 10 )}2,5 _{en (10, 10 )}7

e. 7 101 2,5 10 10 ( ) 2,82 g   ₆o 316 2,82 t C B   48.

a. De stappen tussen elke 50 dollarcent zijn niet even groot en de verdubbeling van het aantal dollarcent wel.

b. De grafiek is vrijwel een rechte lijn. c. 150 60 90 100 400 g  _g _ 1 90 1 4 ( ) 0,9847 g   49. a. 1962 – 1963. b. 20000 3jaar 3 6667 g   1 3 6667 18,82 jaar g   c. De groei is exponentieel. 50. a. _{16 2} x6 _{ 2 b. 15 3} x _{75 c. 1}2_{log(4x  1) 4} 1 2 4 6 1 2 1 2 2 2 2 2 2 x x x       3 3 5 log(5) x x   2 5 3 4 log(4 1) 5 4 1 2 32 7 x x x      

d. 4_{log(2 )x }4_{log(7) 3 e. 2}5_log(3)5_{log(6x4) 2}

4 4 3 4 7 log(14 ) log(4 ) 14 x 64 4 x x    5 2 5 5 2 7 54

log(3 ) log(6 4) log(5 ) 9(6 x 4) 54 x 36 25 x 1 x         51. a. 47126 45843 1,028 4844647126 1,028 4980248446 1,028 5119749802 1,028 5263051197 1,028. De

groeifactor per jaar is vrijwel constant 1,028 en dus is er sprake van exponentiële groei. b. _{E }45843 1,028_ t c. 1,028t _2 _{t } 2_{log(1,028) 0,04 jaar} d. _{jaar 2002 2003 2004 2005 2006 2007} log(E ) 4,661 4,673 4,685 4,697 4,709 4,721

e. log( ) 0,012E   t 4,661 met t de tijd in jaren vanaf 2002. f. log( ) 0,012 18 4,661 4,877E     _{E 10}4,877 _75336 g. _{E 10}log( )E _100,012 t 4,661_100,012t_104,661_104,661_(100,012₎t _{45814 1,028} t 52. a. _{P 10}2 1t _{b. P  3} 7_{log( )t c. P 7(1 2 )} t 1 1 2 2 2 1 log( ) log( ) t P t P     1 3 7 1 3 log( ) 7 P t P t   1 7 2 1 7 2 1 log(1 ) t _P t P     d. 2 3 log( ) 5 t P    2 2 3 3 2 2 3 3 1 2 3 log( ) 5 log( ) 1 10 P t P t P t        53. a. Boog EW is het 100 1

40000  400-ste deel van de omtrek. Hoek D is dan ook het 4001 -ste deel van de volle hoek, dus 1

400360 0,9

o o

log(0,001) 1,66 log(0,9) 3,08 0,00404

R      : bijna 0.

b. log(10 ) log(10) log( ) 1 log( )U   U   U : dan neemt R met 1 toe. c. 9,0 log( ) 1,66 log(84) 3,08 U    log( ) 2,73 532 U U mm   d. 9,0 log( ) 1,66 log( ) 3,08 U   D  1 1 1 1 1,66 1,66 1,66 1,66 1 1,66

log( ) 3,57 log( ) 3,57 3,57 log( ) 3,57

3,57 1 1,66 1,66 log( ) log( ) 5,92 log( ) log( ) 3,57 10 10 10 10 (10 ) 10 10 3683,54 en 0,60 U U U D U D U D U p q                         

T-1.

a. _{t }1,7_log(8,3)

b. 1

2log(2) 1, 2 1

3

log( ) is wel negatief maar niet geheel, 2 1 4 log( ) 2 c. 3 3 12 1 2 log( 3) log(3 ) , 2 1 2 3 8 log( ) log(2 )  3, 15 15 1 3 5 log(125)_ log(( ) ) _{ }3 1 3log(1) 0 T-2. a. _{t } 3_{log(8) 1,89 d.} 1 2log(17) 4,09 t    b. t  12log(256) 8 e. 1 3 4 log(5) 0,37 t    c. _{t } 7_{log(4) 0,71 f.} 6 0,504 1,05 log( ) 0,41 t    T-3. a. 0,8t _0,5 _{t } 0,8_{log(0,5) 3,11 jaar}

b. Het duurt ongeveer 3,11 jaar voordat een hoeveelheid is gehalveerd.

T-4. a. 2x 1 0 1 2 x 0 1 2 2x 1 x   1 2 2x 1 x    

De verticale asymptoot van de drie functies is 1 2

x .

b. De functies g en h hebben hetzelfde domein. De grafiek van B hoort bij f (zie domein).

3

( 1) log(3) 1

g    dus die hoort bij grafiek A; h( 1)  13log(3) 1: grafiek C. T-5.

a. 24_log(14)24_log(41) 24_{log(14 41) } 24_log(574)

b. 2 1

12 3

log(2) log(12) log(8) log(   8) log(1 )

c. 5 5 1 5 5 5 1 5

12 24

log(6) ( log( )  log(2)) log(6) log( ) log(144)

d. 2 2 2 1

3 log( )b  log(3) log( b)

e. 12 12 1 21 12 1

4 4 4

log( ) log( ) log( )p log( ) 2

p p p     T-6. a. _27x2 _0 0 x

b. _{f x( )} 3_{log(27 )x}2 _ 3_log(27) 3_{log( )x}2 _ 3_{log(3 ) 2}3 _{ }3_{log( ) 3 2x   }3_{log( )x}

T-7. a. _{R } 7_{log(2 )t b.} 5 3t R  c. 1 2 4 3t R    d. _{R  2} 3_{log( )t}2 1 2 2 7 7 R R t t    1 5 3 1 5 3 log( ) t _R t R   1 2 3 4 3 8 2 t t R R      3 2 2 2 log( ) 2 3 R t R t     3_{log(8 2 )} t   R _{t  3}2R _{  t 3}2R

T-8. niet goed af te lezen a. b. 11,26,3 1,78, 20,0 11,2 1,79, 34,7 20,0 1,74, 60,3 34,7 1,74, 125,9 60,3 2,09. In het begin is de groeifactor vrijwel gelijk (exponentiële groei).

c. De grafiek is een rechte lijn en de verticale schaal is logaritmisch. d. _O6,3 1,75_ t _{met t in jaren en O in km}2_.

e. De grootte van het meer is ongeveer ₁₀2,5 _{316 km}2_.

T-9.

a. _{t 5730}0,5_{log(10 8 10 ) 5730}6_{ } 7 _{ }0,5_{log(8 10 ) 1845} 1 _{ jaar} b. _{t 5730}0,5_log(106_{C) 5730 ( log(10 ) } 0,5 6 _0,5_{log( ))C }

_57300,5_{log(10 ) 5730}6 _{ }0,5_{log( )C  114208 5730 }0,5_{log( )C} c. _{t  114208 5730 }0,5_{log( )C} 1 1 1 1 5730 5730 5730 5730 0,5 0,5 1 5730 19,93 19,93 19,93 6 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 5730 log( ) 114208 log( ) 19,93 ( ) t ( ) t ( ) ( ) ( ) t 1 10 ( ) t C t C t C                t in jaren 0 1 2 3 4 5 6 7 8 O in km2 _{6,3 11,2 20,0 34,7 60,3 125,9 166,0 281,8 302,0}

Extra oefening – Basis

B-1. a. ₂4 _{16 17 32 2  } 5_{, dus 4} 2_{log(17) 5} b. 1 3 1 1 1 1 2 2 8 6 4 2 ( )    ( ) , dus 12 1 6 2 log( ) 3 c. 1 2 1 1 4 4 ( ) 0,0625 0,1 0,25 ( )   , dus 1 41log(0,1) 2 d. ₁₀₀4 _108 _{ 8 10}9 _1010 _1005_{, dus 4} 100_{log(8 10 ) 5} 9 _ B-2. a. 5t _12 _b. 1 4 ( )t _15 _c. 1 2 5 t 6 d. _0,32t _81 5_log(12) 1,54 t t   1 4log(15) 1,95 t t    5 1 2 5 log(6) 2 log(6) 2,23 t t t     0,3 0,3 1 2 2 log(81) log(81) 1,82 t t t      B-3. a. D_f : 0 , D_g : 4 , b. x0 x4

c. Het grondtal van f is kleiner dan 1, dus de grafiek van f is dalend. Het grondtal van g is groter dan 1, dus de grafiek van g is stijgend.

B-4.

a. 2 3 121

64 2 log(11) 3 log(4) log(11 ) log(4 ) log( )     

b. _{2 ( log(15)} 4 _4_log(5)) 4_{log(3) 2 }4_log(3) 4_log(3) 4_log(9) 4_log(3) 4_log(27) c. _35_{log( ) 1x  } 5_{log( )x}3 _5_log(5) 5_{log(5 )x}3

d. 14 41 14 1 2 14 1

4 16

log( ) 2x   log( )x  log(( ) ) log( x)

B-5. a. _{P }4t _3 _{b. 2P  4 3}2t _{c. log( ) log( ) 1P}  _t  _d. 1 3 4 log(2 ) P   t 4 4 3 log( 3) t _P t P     2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 2 log( ) log( ) t _P t P t P     log( ) 1 log( ) 1 1 10 log( ) log( ) 1 10 10 10 P P t P t t P         1 3 1 4 1 4 1 4 1 3 1 1 2 3 log(2 ) 2 ( ) ( ) P P t P t t     B-6.

a. aantal transistoren is ongeveer ₁₀7,6 _{39,8 miljoen.}

b. g_36jaar  730 000 000₂₅₀₀ 292 000 c. 2500 1,4185_ t _5000 1 36 292 000 1,4185 2500 1,4185 jaar t g T     1,4185 1,4185 2 log(2) 1,98 jaar t t    d. _{2500 1,4185}38 _1,47 model T    miljard

Extra oefening – Gemengd

G-1.

a. De groeifactor van 6,6 jaar is 1 2 :

6,6 1 2

g  . Met andere woorden: 1 2 log( ) 6,6 g _ b. 6,6 6,61 1 6,61 2 ( ) ( ) 0,90 g  g  

c. Daar hoort een afname percentage van 10% bij.

G-2.

a. b.

c. Het verband tussen N en t is dan exponentieel. d. 9300 15 2500 ( ) 1,30 g   1 3 20400 9300 ( ) 1,30 g   1 2 34500 20400 ( ) 1,30 g   en 98400 14 34500 ( ) 1,30 g  

De groeifactoren zijn vrijwel gelijk aan1,30 en de beginwaarde is 2500. e. 2500 1,3_ t _25000 1,3 1,3 10 log(10) 8,78 t t    f. 2500 1,3_ t _N 1 2500 1,3 1 2500 1,3 log( ) t _N t N   controle: 1,3 1 2500 log( 25000) 8,78 t    G-3. a. log( )I  0,009t 1 0,009 1 0,009 1 0,009 10 t 10 t 10 10 (10 )t 10 0,979t I _   _  _{  }  _{ } b. 0,979t _0,5 0,979_{log(0,5) 33,4} t   dagen G-4. a. 4,9 105 5 10 log( 25 ) 42,9 D _{ }  _{ dB 4,9 10}5 7 10 log( 49 ) 40 D _{ }  _{ dB} 5 4,9 10 10 10 log( 100 ) 36,9 D _{ }  _{ dB 4,9 10}5 20 10 log( 400 ) 30,9 D _{ }  _{ dB} b. 2 5 5 2 5 4,9 10

10 log( _r ) 10 (log(4,9 10 ) log( )) 10 log(4,9 10 ) 10 2log( )

D_{ }  _{   } r _{    } r _ 56,9 20 log( ) D   r c. 56,9 20 log( ) 0  r  2,85 20 log( ) 56,9 log( ) 2,85 10 700 meter r r r       t 0 5 8 10 14 N 2500 9300 20400 34500 98400 log(N) 3,40 3,97 4,31 4,54 4,99

Uitdagende opdrachten

U-1. a. f2  2 f1, dus 11 2 2 2 1200 log( ) 1200f log(2) 1200 f T       b. 2 1 2 1200 log( ) 386f f   2 1 2 1 2 0,3217 log( ) 0,3217 2 1,25 f f f f   

Als f1440 dan is f2 1,25 440 550  en als f2 440 dan is f11,25440 352.

c. 2 1 2 1200 log( ) 702f f   2 1 2 1 2 3 2 log( ) 0,585 1,5 f f f f    U-2. a. 2,175 1,762 0 0,620 0,67    2,358 2,1750,274 0 0,67    2,891 2,3581,074 0,274 0,67    3,155 2,8911,469 1,074 0,67    en ook 3,653 3,1552,217 1,469 0,67    : de grafiek is lineair. log( ) 0,67 log( ) 2,175A   t  b. _A100,67 log( ) 2,175 t _(10log( ) 0,67t _{) 10}2,175 _150t0,67

U-3. ( ) 1log( ) log( )₁ log( ) 1 log( ) log( ) 1 a a a a a a x x f x  x      x 

Mercurius Aarde Mars Jupiter Saturnus Neptunus

t 0,24 1,00 1,88 11,86 29,46 164,80

log(t) -0,620 0 0,274 1,074 1,469 2,217

A 57,8 149,6 228 778 1430 4500