H3: Product- en quotiëntfuncties

Hoofdstuk 3:

Product- en quotiëntfuncties

V-1. a. _{f x( ) 11 6  x}11_11x7 10 8 10 8 77 '( ) 66 77 66 f x x x x x      b. 1 2 2 3 3 3 4 ( ) g x x  x  x 2 4 3 9 4 3 4 2 3 4 1 4 9 '( ) 3 4 g x x x x x x x            c. h x( ) 4x35 125 2 5 12 5 _{5 2} 12 '( ) 5 h x x x      d. _{k x( ) 3x}5_x4_{6x2 k x( ) 13x}4 _4x3 _6 e. 512 1 1 5 ( ) m x  x  x 1 412 1 2 1 4 2 5 2 2 1 '( ) 5 5 5 m x x x x x x      f. 3 1 2 3 ( ) n x x  x 2 2 3 '( ) 3 n x  x  x g. _{p x( ) x 4x}2_3x1_{16 4 x}3 2 4 2 4 3 12 '( ) 1 8 3 12 1 8 p x x x x x x x           h. 12 1 71 2 ( ) 7 q x  x  x 1 112 1 117 2 14 ₇ 7 1 ( ) 3 2 14 q x x x x x x x         V-2. f x( ) x x12 1 2 1 2 1 2 1 1 1 '( ) 2 2 f x x x x      1 1 ( ) f x x x    2 2 1 '( ) 1 f x x x       V-3. a. _{f x( )} x3 2 _x2 2 x x     b. '( ) 1 10 0 2 g x x    2 2 '( ) 2 '(1) 4 f x x x f    2 10 5 x x   25 x  In (25, -25) is de helling 0. V-4. a. _{f x'( ) 3(3 x5) 3 9(3}2_{  x5)}2 b. _{g x'( ) 5(1  x 2x}2_{3 ) ( 1 4x}3 4_{   x9 )x}2 c. 3 3 4 16 '( ) 2 2 (2 5) (2 5) h x x x         d. '( ) ₂ 1 (2 8) ₂2 8 2 8 20 2 8 20 x k x x x x x x          e. 14 3 4 3 3 4 _{4 4} 3(4 7) '( ) ( 7 ) (4 7) 7 x m x x x x x x         f. 9 9 10 2 10 2 24 72 '( ) 1 3 (0,3 200) (0,3 200) x n x x x x        

V-5. a. 1 2 1 4 '( ) ( 6 )a (2 6) a f x _ a x _ x  _ x_ 2 1 1 1 1 4 4 '(3) (3 6 3)a (2 3 6) ( 9)a 0 0 a f  a        a     b. f_a'(8) 4 1 1 1 1 4a 16 10 2 a 162 4 a a      Voer in: 1 1 1 22 16 x y  x  en y2 4 intersect: x 1,13 1. a. x 4 0 4 x  b. c. _(x2_{ 1) x 4 0} 2 2 1 0 4 0 1 4 0 1 1 4 x x x x x x x                 2. a. _{(2x 1) (x}3_{8) 0 b. (x}2 _{9x14)(x}2_{2x4) 0} 3 3 1 2 2 1 0 8 0 2 1 8 2 x x x x x x              2 _{9 14 0} 2 _{2 4 0} ( 2)( 7) 0 2 7 1 5 1 5 ABC formule x x x x x x x x x x                        x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 -4 -6

c. 2 5 ( x 3) 3x 8 0 d. _(x2_{ 3) 3x}2 _0 2 5 2 5 1 2 2 3 3 0 3 8 0 3 3 8 7 2 x x x x x x            2 2 2 2 3 0 3 0 3 3 3 3 x x x x x x              

3. Ze vergeet te kijken naar het domein: 2 x 0 2

2 x x   

 dus x 4 valt buiten het domein en is dus geen nulpunt.

4. a. _(x2_{ 9) 2x 4 0 b. (6) 0} p f  2 2 9 0 2 4 0 9 2 4 3 3 2 x x x x x x x                 (36 ) 16 4(36 ) 0 36 p p p       c. _(x2_{ 1) 2x 4 0 d. (x}2_{p) 2x 4 0} 2 2 1 0 2 4 0 1 2 4 1 1 2 x x x x x x x                 2 ₂ 2 2 4 0 x p x x p x p x p               2 4 p p  

Voor 0 x 4 zijn er drie oplossingen. Voor p0 en p4 zijn er twee oplossingen en voor p0 is er slechts één oplossing.

5. Nee. _{h x( ) x x}3_ 5 _x8 _{is dalend voor x0 en stijgend voor x0.} 6. a. 1 1 3 5 2 2 8 (1 ) 8 (1 ) 4 f    b. y_P  8 p3 5 15 1 2 8 16 1 4 6 OPQR Opp    ₍₈ 3_{) 8} 4 OPQR Opp   p p  p p c. _{A p'( ) 8 4  p}3 _0 3 3 2 2 p p 

 De maximale oppervlakte is dan

3 3 3 8 2 2 2 6 2 A      7. a. f x( ) ( x1)(x2) 0 1 0 2 0 1 2 x x x x         

b. Het kan ook _{f x}( )_{ a x}( _1) (b_{ x}2)c _{zijn. Hierin zijn a, b en c willekeurige}

constanten en b en c positief.

c. Dan kan het functievoorschrift f x( ) a x( 1)(x2) zijn. En a hoeft geen 1 te zijn. d. f(0) a 1 2     2a3 1 2 1 a  1 2 ( ) 1 ( 1)( 2) f x   x x

8. a. f x( ) a x( 12)(x3) b. g x( ) a x( 4)(x2)(x5) 1 2 1 2 (0) 12 3 36 8 4 ( ) 4 ( 12)( 3) f a a a f x x x              3 10 3 10 (1) 5 1 4 20 6 ( ) ( 4)( 2)( 5) g a a a g x x x x              c. h x( ) 48( x1)(x2)(x 3)(x 4)(x 5)   9. a. b. x 4 0 4 : 4 f x D x   De verticale asymptoot: x4

c. Voor grote positieve/negatieve waarden van x nadert de functiewaarde naar 3.

d. horizontale asymptoot: y 3

10.

Nulpunt: Vert. asymptoot: Hor. asymptoot:

a. 7x 3 0 3 6 x 0 voor grote waarden van x geldt:

3 7 7x 3 x   1 2 6x 3 x   7 1 6 6 1 6 ( ) 1 1 x x f x y       b. 3x 2 0 _9x2 _0 2 3 3x 2 x     2 ₉ 3 3 x x en x     2 3 3 ( ) 0 x x x g x y      c. _x2_{6x 0 x}2_{ 1 0} ( 6) 0 0 6 x x x en x  

  geen vert. asymptoot

2 2 ( ) 1 1 x x h x y    d. _x3_{ 8 0 x 2 0} 3 ₂ ( ) x x k x   x 3 ₈ 2 x x   2 x 

geen hor. asymptoot

11.

a. Als x  en x  nadert f(x) naar 5 7.

b. Teller en noemer door x delen.

c. Voor grote positieve/negatieve waarden van x gaat 7

x  en 8 x beide naar 0. d. Ja. e. 2 2 2 2 2 2 5 2 5 2 6 6 2 2 5 ( ) 6 1 x x x x x x x x x g x x       

  . Voor grote waarden van x gaan de breuken in de teller en noemer naar 0. Je houdt dan 2

1 over. x y 2 4 6 8 10 12 14 -2 -4 2 4 6 8 10 -2 -4 -6

12. a. 6 2 11 11 6 ( ) 5 2 5 x x x f x x       Horizontale asymptoot: y  115 251 b. 5 3 6 5 6 ( ) 5 3 5 x x x g x x       Horizontale asymptoot: y  56  151 c. 2 2 4 2 2 2 10 3 3 4 2 ( ) 4 10 4 x x x x x h x x         Horizontale asymptoot: y  34 13. ( ) 4 1 4( 2) 4 8 3 8 2 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) x x x x x f x x x x x x x x x x x                nulpunt: 2 3 (2 , 0) verticale asymptoten: x 0 en x 2 horizontale asymptoot: y 0 14. a. ( ) 1 1 ₂ 1 2₂ 1 ₂ 2₂ 1 1 1 1 x x f x x x x x           

b. Het tweede functievoorschrift is handiger

2

1x 0 voor grote waarden van x is f x( ) _x_x22 1

2 ₁ 1 1 x x x     

Verticale asymptoten: x 1 en x 1 en horizontale asymptoot: y 1 Domein:    , 1 1, 1  1,

c. Ook de tweede: _x2 _{0, dus x 0.} 15.

a. Hij heeft de afgeleide van _x3 _{met de afgeleide van 2x vermenigvuldigd.}

b. De grafiek is dalend op , 0 en stijgend op 0 , .

c. De afgeleide van Floris is overal groter of gelijk aan 0, dus zou de grafiek overal stijgend moeten zijn.

d. _{f x( )x}3_{2x 2x}4 3 '( ) 8 f x  x 16. a. -b. O l b l b l b l b l b l b l b l b x l b x x x x x x x x x  _      _  _  _  _{      }  V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V c. f x( ) O l b l b l b p x( ) q x( ) p x( ) q x( ) x p x( ) q x( ) x x x x x x x  _  _      _{      }   V V V V V V _V V V V V V V V

d. De noemer gaat kwadratisch naar 0 en de teller lineair. e. f x'( )p x q x'( ) ( ) p x q x( ) '( ) 17. a. _{f x'( ) 12 x}2_(x5_{5) (4 x}3_{ 3) 5x}4 _12x7_60x2_20x7_15x4 _ 7 4 2 32x 15x 60x   

b. _{g x'( ) (1 2  x4 )(x}3 _x3_{ x 7) (1  x x}2_x4_)(3x2_{ 1)} 3 4 2 6 2 3 4 6 6 3 ( 27 15 7 2 2 4 ) (2 1 3 2 3 ) 7 24 16 8 x x x x x x x x x x x x x                   c. _{h x'( ) (3 x}2_{1)(3 2 x6x}2_{9 ) (x}4 _{ x}3_{ x 1)(2 12 x36 )x}3 _ 2 3 4 6 3 4 6 2 6 4 3 2 (3 6 27 27 3 2 ) ( 34 48 36 x 10 12 2) 63 x 75 28 9 8 x 5 x x x x x x x x x x x x                      d. _{k x'( ) 7(2 x3) 2 (2}6_{  x)}4_{(2x3) 4(2}7_{ x)}3 _ 6 4 7 3 14(2x 3) (2 x) 4(2x 3) (2 x)       18. a. 2 2 2 2 2 1 '( ) 2 1 2 2 2 2 2 x f x x x x x x x x x            b. c. 0 ( ( )) |1 x x d y y x dx 

 ; te vinden bij: math - nDeriv

d. _{g x'( ) 3(3 x1) 3 (5}2_{  x}2_{8) (3 x1) 10}3_{ x 9(3x1) (5}2 _x2_{8) 10 (3 x x1)}3

Dit ga je toch niet uitwerken!

19. Wat een leerlingpesterij!!

a. 2 2 2 2 2 5 15 20 '( ) (3 4) 3 5 8 3 5 8 5 8 5 8 x x x f x x x x x x            b. _{g x'( ) 3(4 x}5_{x) (20}2 _x4_{ 1) (x3 )x}2 2_(4x5_{x) 2(}3_{ x3 )(1 6 x)x}2 _ c. 4 5 1 1 4 '(x) (4 ) 2 6 2 6 h x x x x        d. '( ) 2(1 3 ) 3 (6 2 ) (1 3 )2 1 2 2 k x x x x x x           2 3(1 3 ) (6 2 ) (1 3 ) 2 x x x x x     _  20. a. x 4 0 4 x  b. '( ) 1 4 2 4 f x x x x      1 2 1 2 '( 3) f y x b       1 1 2 2 1 2 3 3 1 4 b b b           y  12x412 c. Voor x 0 is x 4 0 en ook 0 2 4 x x  . Dus f x'( ) 0 en daarmee is f stijgend. x y 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 -10 2 4 6 8 10 12 14 -2

21. a. _(x2_4)(x2 _{8x12) 0} 2 2 2 4 0 8 12 0 4 ( 2)( 6) 0 2 2 6 x x x x x x x x x                  b. _{f x( ) ( x}2 _4)(x2_{8x12)x}4_8x3_8x2_32x48 3 2 '( ) 4 24 16 32 f x  x  x  x c. _{f x'( ) 4( x2)(x}2 _{4x4) (4 x8)(x}2_{4x4) 4 x}3_24x2_16x32 d. f x'( ) 0 2 2 0 4 4 0 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x              22. f x'( )p x( ) ( ( ) ( ))' q x r x p x q x r x'( ) ( ) ( )   ( ) ( '( ) ( ) ( ) '( )) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) p x q x r x q x r x p x q x r x p x q x r x p x q x r x p x q x r x                   23. a./b. 2 2 2 1 2 2( 2) 2 '( ) ( 2) 1(1 2 ) 2 2 (1 2 ) (1 2 ) 1 2 x x f x x x x x x x                   2 2 2 2 2 2 (1 2 ) 2( 2) 2 (1 2 ) 2 ( 2) (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) x x x x x x x x x                24. a./b. 1 2 2 2 2 2 ' ' ' ' ' ' ' ' 1 ' t t n t n t n t n t n f t n t n n n n n n n                    c. Ja! 25. a. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 1 2 1 2 1 '( ) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x f x x x x               b. 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 ( 4) 2 (2 2 ) (2 8 ) 6 '( ) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x x x x f x x x x               c. 2 2 3 4 2 4 2 2 2 2 2 (4 ) (3 5) ( 5 ) 2 ( 3 7 20) ( 2 10 ) '( ) (4 ) (4 ) x x x x x x x x x f x x x                   4 2 2 2 17 20 (4 ) x x x      d. 2 2 2 2 (1 2 ) (2 3) ( 3 ) (1 4 ) '( ) (1 2 ) x x x x x x f x x x             2 3 3 2 2 2 2 2 2 ( x 3 8 4 ) ( 4 13 3 x) 5 2 x 3 (1 2 ) (1 2 ) x x x x x x x x x                 

26. 2 2 2 ( 2) 4 (4 3) 1 (4 8) (4 3) 11 '( ) ( 2) ( 2) ( 2) x x x x f x x x x                '( ) 0

f x  voor alle waarden van x.

27. a. _x2_{3x x x( 3) 0} 0 3 x  x  b. verticale asymptoot is x 1 c. 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) (2 3) ( 3 ) 1 (2 3) ( 3 ) 2 3 '( ) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x x x x x f x x x x                   d. f'(0) 3 e. f x'( ) 0 2 _{2 3 ( 3)( 1) 0} 3 1 ( 3, 9) (1, 1) x x x x x x en              28. a. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) 1 2 1 2 1 '( ) 0 (1 ) (1 ) (1 ) x x x x x x f x x x x               2 2 1 1 2 2 1 0 1 1 1 ( 1, ) (1, ) x x x x en          b. 2 2 2 2 2 2 2 4 2 3 (1 ) 2 (1 ) 2(1 ) 2 2 x(1 ) 4 (1 ) "( ) (1 ) (1 ) x x x x x x x x f x x x                  3 3 3 2 3 2 3 2 x 2 (4 4 ) 2 6 (1 ) (1 ) x x x x x x x          c. f x"( ) 0 3 2 1 1 4 4 2 6 2 ( 3) 0 0 3 3 (0, 0) ( 3, 3) ( 3, 3) x x x x x x x en en             29. a. b. x 1 0 en x 0 1 0 x  en x  D_f : 1, 0



  0 , c./d. 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 '( ) x x x x x x f x x x            2( 1) 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 ₂ 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x                    

e. Voor x 1 is   x 2 0 en de noemer is altijd positief. De afgeleide is altijd negatief, dus de functie is dalend.

x y 1 2 3 4 5 -1 -2 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5

30. a. _{f x'( ) 12 x}3 _24x2 2 12 ( 2) 0 0 2 x x x x     

b. Bij x0 is er geen uiterste waarde. Bij x2 is er een minimum van -18.

31.

a. _{f x'( ) (6 x) 2( x3) 1 (  x3)}2 _{(x3)(12 2 x x 3) ( x3)(9 3 ) 0 x }

3 3

x   x

De grafiek van f heeft een maximum 108 (bij x3) en een minimum 0 (bij x 3) b. 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 (2 ) (2 4) ( 4 ) 2 2 4 4 8 (2 8 ) '( ) (2 ) (2 ) x x x x x x x x x x g x x x                 2 2 2 4 4 8 0 (2 ) x x x      2 2 4 4 8 4( 2) 4( 2)( 1) 0 2 1 x x x x x x x x             

De grafiek van g heeft een maximum 2 (bij x 2) en een minimum -1 (bij x 1).

32. a. 2 3 3 2 4 2 2 ( 4) 3 1 2 12 '( ) 0 ( 4) ( 4) x x x x x f x x x           3 2 2 2 12 2 ( 6) 0 0 6 x x x x x x        

De grafiek heeft een minimum 108 bij x 6. b. 2 3 3 2 2 2 ( ) 3 1 2 3 '( ) 0 ( ) ( ) a x a x x x ax f x x a x a           3 3 3 1 8 2 1 1 2 2 3 2 2 1 2 3 ( 1 ) 3 2 4 1 2 3 (2 3 ) 0 0 1 6 a a a a a x ax x x a x x a y _ _ _ a            c. 3 2 1 2 1 2 2 4 4 2 6 3 (2 ) 3 (1 ) 3 ( ) top top y  a   a   a   x 33. a. 3 3 1 2 2 '( ) 3 2 3 2 2 2 2 2 x f x x x x x x x x           b. 3 2 3 2 2 2 x x x x    3 2 3 2 2 5 12 7 7 6 ( 2) 7 12 (7 12) 0 0 1 x x x x x x x x x             

c. Plot de grafiek van f’. Rond x0 is de afgeleide positief en dus de functie stijgend. Bij x0 is er geen uiterste waarde.

34. a. Domein: Nulpunten: 2 2 8 0 8 2 2 2 2 x x x       2 2 8 0 0 8 0 0 2 2 2 2 x x x x x x x             b. 2 2 2 2 2 1 '( ) 2 1 8 8 0 2 8 8 x f x x x x x x x               2 2 2 2 2 2 2 8 8 8 2 8 4 2 2 x x x x x x x x x           

f heeft een randmaximum 0 (bij x 2 2), een minimum -4 (bij x 2), een

maximum 4 (bij x2) en een randminimum 0 (bij x2 2).

35.

a. De afstand die dan is afgelegd, is 1 2 8

4  r 4 v meter. De tijd die nodig is om deze afstand af te leggen is:

2 2 1 8 4 32 8 v v T v v     .

b. Eén auto per T seconde, betekent dus 1

T auto's per seconde.

c. 8 ₂ 32 v A v   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (32 ) 8 8 2 (256 8 ) 16 256 8 ' 0 (32 ) (32 ) (32 ) 256 8 0 32 32 32 v v v v v v A v v v v v v v                      36. a. 2 2 2 4 2 2 ( ) | 4 | 4 2 2 x voor x en x f x x x voor x         _{ }      

De grafiek van f heef twee minima 0 bij x 2 en x 2 en een maximum 4 bij 0 x  . b. 4 7 7 4 ( ) 3 14 3 14 g x    x    x 3 7 '( ) 8 0

g x  x  heeft geen oplossingen.

37.

a. Stroomopwaarts is de snelheid van Kjell ten opzichte van het vasteland 1 v m/s en stroomafwaarts is die snelheid 1 v m/s. De tijd die de zwemmer over zijn zwemtocht doet is: 500 500

1 1 t v v     b. 2 2 500 500 500(1 ) 500(1 ) 500 500 500 500 1000 1 1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) 1 1 v v v v t v v v v v v v v                    2 2 2 2 2 (1 ) 0 1000 2 2000 ' 0 (1 ) (1 ) 0 v v v t v v v           

t is minimaal (t’ is altijd positief, t is stijgend) als v 0 (in stilstaand water!).

38. a. b. _{f x( )} x3 1 x3 1 _x2 1 x x x x       2 1 '( ) 2 f x x x   en f x"( ) 2 2₃ x   3 "( ) 0 1 1 f x x x      Buigpunt: (-1, 0) 39. a. 2 2 2 3 27 3( 9) 3( 3)( 3) 3 9 9 ( ) 3 ( ) 3 ( 3) ( 3) x x x x x f x g x x x x x x x x x               

b. Je mag f(x) alleen zo schrijven zolang x 3 0. De grafiek van f(x) is gelijk aan de grafiek van g(x) behalve voor x 3. Daar bestaat de grafiek van f niet. De grafiek van f heeft een perforatie (gaatje) in (-3, 6)

40. a. _{2 (x x2) 7 x 2x}2_{4x7x 2x}2_3x b. ( ) 2 2 3 2 ( 2) 7 2 ( 2) 7 2 7 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x f x x x x x x x               

c. Voor grote waarden van x geldt: 7 7 7 2 x x x  x  d. y 2x7 41. a. VBRQ: VQPA

Dan passen de overeenkomstige zijden in een verhoudingstabel: BR PQ

RQ  AP 2 2 1 1 2 2 1 y x y x       x y 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6

b. x1 is de verticale asymptoot: Als A het punt P nadert, gaat het punt B heel erg naar boven.

2

y  is de horizontale asymptoot: Als A heel ver naar rechts komt te liggen, nadert punt B naar R. c. 1 1 2 2 2 2 ( 1) ( ) (2 ) 1 1 1 1 1 x x x x x S x x y x x x x x x x                  d. 2 _{( 1) (x 1) 1 ( 1) x 1 1 1} ( ) 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x S x x x x x x x x                    

De scheve asymptoot is dus y  x 1.

e. Als A in de buurt ligt van punt P is de oppervlakte heel erg groot (B ligt dan hoog op de y-as), en als punt A heel ver naar rechts ligt, is de oppervlakte ook weer heel erg groot. f. zie e. g. 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 1 (2 2 ) 2 '( ) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x x x S x x x x              2 '( ) 0 2 ( 2) 0 0 2 S x x x x x x x        

Oppervlakte is minimaal als A(2, 0) en B(0, 4).

42. a. sin x r   en _{r  x}2_32 _{ x}2_9 2 2 1 1 650 650 650 sin 650 9 x x x V r  r r r x          b. V 100 2 2 2 650 100 ( 9) 100 650 900 100( 6,5 9) 100( 2)( 4,5) 0 2 4,5 x x x x x x x x x               c. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (9 ) 650 650 2 5850 650 1300 5850 650 ' 0 (9 ) (9 ) (9 ) x x x x x x V x x x               2 2 2 5850 650 0 650 5850 9 3 3 x x x x x        

T-1. a. b. _{(2x5) 12x x} 2 _0 2 2 1 2 2 5 0 12 0 2 5 12 (12 ) 0 2 0 12 x x x x x x x x x x x                 c. g x( ) 48 (2 x x5)(x12) T-2.

nulpunten: vert. asymptoot hor. asymptoot

a. 3x 6 0 2 5 x 0 3 6 3 3 2 5 5 5 ( ) x x x x f x        3 6 2 x x     2 5 5x 2 x   3 5 y   b. _x2_{4x 3 0 x 6 0} 2 _{4 3} 2 6 ( ) x x x x x g x   x     ( 3)( 1) 0 3 1 x x x x       6 x  

geen hor. asymptoot

c. _8x3x2 _{0 x}3_{ 8 0} 2 2 3 3 8 3 3 3 8 ( ) x x x x x x h x      2 3 (8 3 ) 0 0 2 x x x x       3 ₈ 2 x x   0 y  d. 2 3 2 5 (x 1) 3 2( 1) 5 4 2 ( ) 5 1 (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) x x x x x k x x x x x x x                 2 5x 4x 2 0 x x(  1) 0 2 2 2 2 5 4 2 5 ( ) x x x 5 x x x k x       geen oplossingen x 0  x 1 y 5 T-3. a. _{f x'( ) (12 8  x4 )(3x}2 _x2 _{5) ( 8 8 )(   x x}3_{5 )x} b. _{g x'( ) 2( x2) (}2_{ x5) 2( x2)(x5)}2 c. '( ) (2 9 ) 1 9 7 2 9 9 7 2 7 2 7 x h x x x x x x            d. 2 1 1 1 '( ) (6 2 ) (1 ) k x x x x x      T-4. a. _p2_OQ2 _322 _{b. 1024p}2 _0 2 2 2 1024 1024 OQ p OQ p     2 ₁₀₂₄ 0 32 p p    c. 1 2 2 ( ) 1024 A p  p p d. 2 2 2 1 1 1 2 ₂ 2 ₂ 2 1 '( ) 2 1024 1024 0 2 1024 2 1024 p A p p p p p p p              x y 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 10 20 30 40 50 60 70 -10 -20

2 2 1 2 ₂ 2 2 2 2 1024 2 1024 1024 2 1024 512 512 22,6 p p p p p p p p          De oppervlakte is maximaal 256. T-5. a. 2 2 2 (5 ) 8 (8 3) 1 (40 8 ) ( 8 3) 37 '( ) (5 ) (5 ) (5 ) x x x x f x x x x                 b. 2 2 2 2 2 2 2 (2 4)(2 1) ( ) 2 (4 6 4) (2 2 ) 2 8 4 '( ) (2 4) (2 4) (2 4) x x x x x x x x x x g x x x x                  c. 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 ( )(1 2 ) (4 )(1 2 x) ( 2 ) ( 2 7 x 4) '( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x x h x x x x x                    2 2 2 2 8 4 ( ) x x x x     d. 3 1 2 1 2 1 2 3 3 2 2 2 3 2 3 2 3 2 ( 1) 3 3 _{1 6} '( ) ( 1) ( 1) 2 ( 1) x x x x x x x x x _{x x} k x x x x x       _{ }         3 3 2 5 1 2 ( 1) x x x      T-6. a. 2 2 2 2 2 2 2 ( 5)(2 15) ( 15 ) 1 (2 5 x 75) ( 15 ) 10 x 75 '( ) ( 5) ( 5) ( 5) x x x x x x x x f x x x x                  2 _{10 75 ( 15)( 5) 0} 15 5 ( 15, 45) (5, 5) x x x x x x en              b. f x( ) 0 3 4 '(15) f  2 _{15 ( 15) 0} 0 15 (15, 0) x x x x x x A        3 1 4 4 1 4 3 1 4 4 0 15 11 11 11 b b b y x          T-7. a. _{f x( ) ( x1)(x 3)} 2 _(x1)(x2_{6x9) x}3_7x2_15x9 2 2 3 '( ) 3 14 15 (3 5)( 3) 0 1 3 f x x x x x x x          

Een maximum van 5 27

1 (bij 2 3

1

b. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 5) 4 (4 8) 2 (4 20) (8 16 ) 4 16 20 '( ) ( 5) ( 5) ( 5) x x x x x x x x g x x x x                  2 2 4 16 20 4( 4 5) 4( 5)( 1) 0 5 1 x x x x x x x x                

De grafiek van g is minimaal -2 (bij x 1) en maximaal 2

5 (bij x 5). c. '( ) 1 1 6 6 2 6 2 6 x h x x x x x x           6 2 6 2( 6) 2 12 3 12 4 x x x x x x x x              

h(x) heeft een randmaximum 0 (bij x 6) en een minimum 4 2 (bij x 4).

d. 2 3 2 3 ( ) 2 ( 4) 2 ( 4) k x   x   x 1 3 2 3 ₃ 2 '( ) ( 4) 3 4 k x x x       

De afgeleide wordt nooit 0, maar de grafiek heeft wel een uiterste waarde (maximum) van 2 bij x4.

T-8.

a. Voor grote waarden van t (op den duur) geldt: 6 6 2 3 2 3 t t C t t     mol b. 2 2 2 (3 2) 6 6 3 (18 12) 18 12 ' (3 2) (3 2) (3 2) t t t t C t t t            

c. Voor grote waarden van t gaat de reactiesnelheid naar 0 mol/minuut

T-9. a. 12  I (5 x) 12 5 I x   b. 2 2 2 12 144 5 ( 5) uitw x P I R x x x     _{ }       c. 2 4 3 3 ( 5) 144 144 (2 10) ( 5) 144 144 2 144 720 ' ( 5) ( 5) ( 5) x x x x x x P x x x                  144 720 0 144 720 5 x x x     