The Black-Scholes Equation

The Black-Scholes Equation

Shavana Ramsaroep

13 juli 2020

Bachelorscriptie Wiskunde Begeleiding: prof. dr. Peter Spreij

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde

Samenvatting

Het doel van dit verslag is het afleiden en oplossen van een belangrijke parti¨ele diffe-rentiaalvergelijking in de financi¨ele wiskunde, de Black-Scholes vergelijking. Hiervoor verdiepen we ons eerst in de Brownse beweging en de stochastische calculus, de bouw-stenen voor het modelleren en analyseren van aandelenprijzen middels een geometrische Brownse beweging. E´en van de eigenschappen van een Brownse beweging, namelijk dat de kwadratische variatie ongelijk is aan nul, zorgt ervoor dat de standaard calculus niet toegepast kan worden. De stochastische calculus biedt hier een alternatief. Uiteindelijk kunnen met deze twee gereedschappen de Black-Scholes vergelijking afleiden. De stelling van Girsanov en de martingaal representatie stelling maken het mogelijk om een oplos-sing te vinden voor onze parti¨ele differentiaalvergelijking, de Black-Scholes formule. Met deze oplossing kunnen we de eerlijke prijs van een optie uitrekenen.

Titel: The Black-Scholes Equation

Auteur: Shavana Ramsaroep, shavana.ramsaroep@student.uva.nl, 10455930 Begeleiding: prof. dr. Peter Spreij,

Einddatum: 13 juli 2020

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam

Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.kdvi.uva.nl

Inhoudsopgave

Inleiding 4

1. Brownse beweging 6

1.1. Random walks . . . 6

1.1.1. Symmetrische random walk . . . 6

1.1.2. De incrementen van een symmetrische random walk . . . 6

1.1.3. Random walk is een martingaal . . . 8

1.1.4. Kwadratische variatie van een random walk . . . 10

1.1.5. Geschaalde random walk . . . 10

1.1.6. Limiet verdeling van geschaald random walk . . . 11

1.2. Brownse beweging . . . 13

1.2.1. Eigenschappen van een Brownse beweging . . . 13

1.2.2. Kwadratische variatie van een Brownse beweging . . . 14

2. Stochastische Calculus 18 2.1. Itˆo integraal voor simpele integrand . . . 18

2.1.1. Constructie van de Itˆo integraal . . . 18

2.1.2. Eigenschappen van de integraal . . . 19

2.2. Itˆo’s Integraal voor algemene integrand . . . 22

2.3. Itˆo-Doeblin Formule . . . 24

2.4. Formule voor Itˆo processen . . . 27

3. Black-Scholes vergelijking 30 3.1. Portefeuille en hedgingstrategie . . . 30

3.2. Eerste afleiding Black-Scholes vergelijking . . . 32

3.3. Verandering van kansmaat . . . 34

3.3.1. De stelling van Girsanov . . . 35

3.3.2. Martingaal representatie stelling . . . 36

3.4. Alternatieve afleiding Black-Scholes vergelijking . . . 37

3.4.1. Call optie . . . 39

3.4.2. Conclusie . . . 41

Bibliografie 42

Populaire samenvatting 43

Inleiding

In de financi¨ele wereld worden er continu aandelen verhandeld. Als je in bezit bent van een aandeel, dan maakt dat jou als het ware mede-eigenaar van een bedrijf en heb je dus bepaalde rechten. Vandaar dat een aandeel een bepaalde waarde heeft. Echter veran-dert deze waarde constant willekeurig met de tijd, waardoor aandelenprijzen zeer lastig te voorspellen zijn. De voornaamste reden waarom je aandelen zou kopen/verkopen is om er geld aan te verdienen, maar dat is lang niet altijd het geval. Risicoloos geld ver-dienen zit er helaas niet in, want anders waren we allemaal wel op de financi¨ele markt te vinden en rijk geweest. Maar wat als je in een aandeel investeert, waardoor je zo-maar een aanzienlijk bedrag zou kunnen verliezen in plaats van verdienen? Voor zulke situaties bestaan er financi¨ele producten, opties genaamd, die je kunnen indekken tegen zekere verliezen. Maar voor niets gaat de zon op.

Er bestaan allerlei verschillende opties die als een soort verzekering fungeren waar een prijskaartje aan hangt. Maar wat is dit prijskaartje? En hoe wordt dat bepaald? Dit is jarenlang geen simpele opgave geweest, totdat de drie economen Black, Scholes en Merton hier een formule voor hadden ontwikkeld waarvoor ze de Nobelprijs voor de Economie in 1997 hebben ontvangen. Het was het eerste model dat wereldwijd gebruikt werd voor het prijzen van opties en dat maakt het dus zeker de moeite waard om te bestuderen.

In dit verslag gaan we de Black-Scholes formule, de oplossing van een parti¨ele diffe-rentiaalvergelijking, op twee manieren afleiden. Omdat optieprijzen afhankelijk zijn van het onderliggend aandeel, moeten we eerst het model voor aandelenprijzen bekijken. Dit is een stochastisch model waarin de Brownse beweging aan te pas komt. Dus vandaar dat de Brownse beweging dan ook ons beginpunt wordt. Dit wordt ook vaak een Wiener proces genoemd, omdat de Amerikaanse wiskundige Norbert Wiener de persoon is aan wie we de eerste nauwkeurige wiskundige constructie van de Brownse beweging aan te danken hebben[6],[7]. Vanwege ´e´en eigenschap van de Brownse beweging, namelijk de niet triviale kwadratische variatie, zal dit ons leiden naar de stochastische calculus. Deze eerste twee hoofdstukken vormen onze basis voor de eerste afleiding van de Black-Scholes vergelijking.

Het doel is uiteindelijk om niet alleen de Black-Scholes vergelijking af te kunnen leiden, maar om ook daadwerkelijk de oplossing ervan, de Black-Scholes formule, te vinden. Dit vergt nog wel een uitbreiding van onze wiskundige gereedschapskist. Door middel van een maat transformatie uit te voeren, waarvan we het bestaan weten middels de stelling van Girsanov, zullen we zien dat de verdisconteerde aandelenprijs een martingaal wordt

onder de nieuwe maat en kunnen we vervolgens handig gebruik maken van de martingaal representatie stelling. Dit leidt tot een alternatieve afleiding van de Black-Scholes for-mule, waardoor we op ‘eenvoudige’ wijze de waarde van bijvoorbeeld een Europese call optie c(t, S(t)) kunnen berekenen. De Black-Scholes formule hiervoor ziet er als volgt uit c(t, S(t)) = S0Φ log[S0 K] + (r + 1 2σ 2_)T σ√T ! − Ke−rTΦ log[ S0 K] + (r − 1 2σ 2_)T σ√T ! , waarbij de risicovrije rente r, de volatiliteit σ van het aandeel, de vervaldatum T van de optie, de uitoefenprijs K van de optie en de aandelenprijs S0 op tijdstip 0 van tevoren

bekend zijn. De formule ziet er op het eerste gezicht complex uit, maar stap voor stap zullen we hier naartoe werken en zullen we merken dat het er ingewikkelder uitziet dan het daadwerkelijk is mits we over de juiste wiskunde gereedschappen beschikken.

1. Brownse beweging

In de financi¨ele wiskunde wordt de Brownse beweging vaak gebruikt als onderliggend proces in veel modellen voor koersschommelingen. Het is een continu stochastisch proces dat je intu¨ıtief kunt voorstellen als een random walk in de continue tijd. Onze eerste stap is dan ook het bestuderen van random walks en van daaruit langzaam de Brownse beweging te introduceren. De Brownse beweging en de eigenschappen ervan zoals die hieronder uiteindelijk zullen worden beschreven zijn gebaseerd op verschillende artikelen waaronder Einstein [10], Bachelier [11] en L´evy [8],[9]. De opzet in ”Stochastic Calculus for Finance II”[4] is daarvan een samenvatting en deze zullen we volgen.

1.1. Random walks

1.1.1. Symmetrische random walk

Stel dat je samen met een vriend een spelletje speelt waarbij je een zuiver muntje opgooit. Bij kop krijg je ´e´en euro van je vriend en bij munt krijgt hij ´e´en euro van jou. Laat Xi de uitkomst zijn jouw winst of verlies bij de i-de keer opgooien van het muntje met

P(Xi= 1) = P(Xi = −1) = 1₂. Verder zijn de Xi’s onafhankelijke stochasten. Dit is een

eenvoudige voorbeeld van een symmetrische random walk.

Definitie 1.1. Laat X1, X2, . . . onafhankelijke stochasten zijn zo dat

P(Xj = 1) = P(Xj = −1) = 1 2. Definieer M0:= 0, en Mk:= k X j=1 Xj, k = 1, 2, . . . . (1.1)

Het proces {Mk}k≥0 is een symmetrische random walk .

Een symmetrische random walk bezit een aantal eigenschappen die we nu zullen be-handelen.

1.1.2. De incrementen van een symmetrische random walk

E´en van de kenmerken van een random walk is dat de incrementen onafhankelijk zijn. Hoe we die incrementen precies defini¨eren, zien we in de volgende definitie.

Definitie 1.2. Laat 0 = k0 < k1< k2 < . . . < kmallemaal niet-negatieve gehele getallen

zijn, en laat {Mk}k≥0 een symmetrische random walk. Dan volgt dat de stochasten

(Mk1− Mk0), (Mk2 − Mk1), . . . , (Mkm− Mkm−1)

onafhankelijk zijn. Deze stochasten worden de incrementen van de random walk ge-noemd en we schrijven ze in algemene vorm als volgt op

Mki+1− Mki =

ki+1

X

j=ki+1

Xj.

Een increment is dus te beschouwen als de verandering in positie van de random walk tussen de tijdstippen kien ki+1. Het is niet verrassend dat de incrementen onafhankelijk

van elkaar zijn aangezien de verschillende Xj’s waaruit ze bestaan onderling

onafhanke-lijk van elkaar zijn. Merk verder op dat

E[Mki+1− Mki] = E   ki+1 X j=ki+1 Xj   = ki+1 X j=ki+1 E[Xj] = ki+1 X j=ki+1  1 · P(Xj = 1) + (−1) · P(Xj = −1)  = ki+1 X j=ki+1  1 · 1 2 − 1 · 1 2  = 0

en

Var[Mki+1− Mki] = Var

  ki+1 X j=ki+1 Xj   = ki+1 X j=ki+1

Var[Xj] (wegens onafhankelijkheid van Xj’s)

= ki+1 X j=ki+1  E[Xj2] − (E[Xj])2  = ki+1 X j=ki+1  E[Xj2] − 0  = ki+1 X j=ki+1  12· P(Xj = 1) + (−1)2· P(Xj = −1)  = ki+1 X j=ki+1  1 · 1 2+ 1 · 1 2  = ki+1 X j=ki+1 1 = ki+1− ki.

We zien dus dat de verwachting altijd gelijk is aan nul en hoe groter het tijdsinterval is, des te groter de variantie wordt.

1.1.3. Random walk is een martingaal

Een ander kenmerk van een random walk is dat het een martingaal is. Voordat dit aangetoond kan worden, moeten we eerst behandelen wat een σ-algebra, filtratie en martingaal zijn.

Definitie 1.3. Laat X een niet-lege verzameling zijn. Een σ-algebra A is een familie van deelverzamelingen van X die aan de volgende eigenschappen voldoet

X ∈ A, A ∈ A =⇒ Ac∈ A, (Aj)j∈N⊂ A =⇒ [ j∈N Aj ∈ A.

Definitie 1.4. Laat Ω een niet-lege verzameling zijn. Laat T een vastgekozen positief getal zijn. Stel dat voor iedere t ∈ [0, T ] er een σ-algebra Ft bestaat en neem ook aan

dat als s ≤ t, dan geldt dat Fs ⊆ Ft. De collectie van σ-algebra’s Ft, 0 ≤ t ≤ T , wordt

dan een filtratie genoemd.

Hoe je over een filtratie kunt denken is als volgt: het bevat alle informatie die mogelijk gevraagd en beantwoord kan worden tot en met tijdstip t. Naarmate de tijd voortschrijdt, groeit de hoeveelheid informatie. Als voorbeeld kunnen we een proces observeren tot en met een tijdstip t. Deze observatie geeft ons informatie, die we vertalen in een σ-algebra Ft.

Dan nu als laatste de definitie van een martingaal, een term die door Ville [16] werd ge¨ıntroduceerd voor een gok strategie.

Definitie 1.5. Laat (Ω, F , P) een kansruimte zijn. Laat T een vastgekozen positief getal zijn en Ft, 0 ≤ t ≤ T , een filtratie zijn. Bekijk een stochastisch proces Mtmet t ∈ [0, T ].

Als

E[Mt| Fs] = Ms voor alle 0 ≤ s ≤ t ≤ T, (1.2)

dan noemen we dit proces een martingaal .

Merk op: {M }0≤t≤T is een martingaal ⇐⇒ E[MT | Ft] = Mt voor alle 0 ≤ t ≤ T .

Bewijs. Laat 0 ≤ s ≤ t ≤ T en Fs en Ftfiltraties zijn.

(⇒) Als {M }0≤t≤T een martingaal is, dan

E[MT | Ft] = Mt

per definitie.

(⇐) Als E[MT | Ft] = Mt voor alle 0 ≤ t ≤ T , dan

E[Mt| Fs] = E  E[MT | Ft] | Fs  = E[MT | Fs] = Ms.

Hierbij hebben we voor de tweede gelijkheid gebruik gemaakt van iteratieve conditione-ring (zie (A.1)).

Nu we de benodigde definities op een rijtje hebben, kunnen we aantonen dat een random walk een martingaal is. Laat Fk = σ(X1, X2, . . . , Xk), de kleinste σ-algebra

voortgebracht door X1, . . . , Xk, oftewel de informatie uit de eerste k worpen, en {Mk}k≥0

een symmetrische random walk. Laat k, l ∈ Z≥0 met k < l, dan

E[Ml|Fk] = E[(Ml− Mk) + Mk|Fk] (1.3)

= E[Ml− Mk|Fk] + E[Mk|Fk]

= E[Ml− Mk] + Mk

= 0 + Mk

Hierbij hebben we gebruik gemaakt van eigenschappen van conditionele verwachtingen (zie A.1). De tweede gelijkheid geldt vanwege lineariteit van conditionele verwachtingen. De derde gelijkheid geldt, omdat Ml− Mk niet meer afhangt van Fk, oftewel het hangt

niet af van alle informatie waar over we beschikken tot en met tijdstip k. Eerder hebben we gezien dat de verwachting van iedere increment altijd gelijk is aan nul. En verder is E[Mk|Fk] gelijk aan Mk, omdat we alle informatie hebben van Mk die alleen afhangt

van de eerste k keren opgooien van een muntje.

1.1.4. Kwadratische variatie van een random walk

Het laatste kenmerk dat we behandelen is de kwadratische variatie van een random walk. Deze formuleren we tot tijdstip k als volgt

[M, M ]k:= k

X

j=1

(Mj− Mj−1)2 = k. (1.4)

Wat we dus eigenlijk aan het doen zijn, is een pad bekijken tot een bepaald tijdstip k waarbij we de ´e´enstaps incrementen Mj− Mj−1langs dat pad kwadrateren en bij elkaar

optellen. Merk op dat deze ´e´enstaps incrementen gelijk zijn aan Xj en die zijn weer

gelijk aan 1 of −1, dus vandaar dat we uitkomen op k.

1.1.5. Geschaalde random walk

Met de random walk willen we uiteindelijk de Brownse beweging benaderen. Daarvoor hebben de geschaalde variant ervan nodig, waarbij de tijd wordt versneld en de stap-grootte wordt verkleind. Zo’n geschaalde random walk defini¨eren we als

W(n)(t) := √1

nMnt, (1.5)

waarbij nt ∈ Z≥0. Als nt geen geheel getal is, dan wordt W(n)(t) gedefinieerd middels

lineaire interpolatie. De eigenschappen die we eerder hebben besproken voor een random walk blijven nog steeds van toepassing voor de geschaalde random walk. Zo zijn de incrementen voor 0 = t0 < t1< . . . , < tm

(W(n)(t1) − W(n)(t0)), (W(n)(t2) − W(n)(t1)), . . . , (W(n)(tm) − W(n)(tm−1)) (1.6)

onafhankelijk, omdat een ieder afhankelijk is van verschillende Xj’s (zie (1.1)). Voor

0 ≤ s ≤ t is het gemakkelijk om na te gaan dat de verwachting voor iedere increment E[W(n)(t) − W(n)(s)] gelijk blijft aan nul en de variantie Var[W(n)(t) − W(n)(s)] aan t − s waarbij nt, ns ∈ Z≥0. Op dezelfde wijze als in (1.3) is de martingaal eigenschap

geschaalde random walk weergegeven als [W(n), W(n)](t) = nt X j=1 h W(n) j n  − W(n) j − 1 n  i2 = nt X j=1 h 1 √ nMj− 1 √ nMj−1 i2 = nt X j=1 h 1 √ nXj i2 = nt X j=1 1 n = t.

Wat de geschaalde random walk zo interessant maakt, is dat als n → ∞ gaat, dat we dan uiteindelijk een Brownse beweging krijgen, doordat al die stukjes met lineaire interpolaties overgaan in iets van een continu hobbelend proces. Later zullen we zien dat voor een Brownse beweging alle bovengenoemde eigenschappen nog steeds van toepassing zijn.

1.1.6. Limiet verdeling van geschaald random walk

Tot zover zijn we telkens uitgegaan van een vastgekozen rij van mogelijke uitkomsten en daarbij het pad van het resulterende proces bekeken op verschillende tijdstippen t. Maar wat nou als we dit andersom doen, waarbij het tijdstip t wordt vastgekozen en de rij van mogelijke uitkomsten vari¨eren voor de gekozen t? Dan zullen we iets kunnen zeggen over de verdeling van de geschaalde random walk W(n)(t). Bekijk Figuur 1.1. Daar zien we de histogram van een simulatie in R, waar 1000 keer de waarden van W(100)(0.25) is gesimuleerd. Hierin herkennen we de normale verdeling. Dit leidt ons naar de belangrijke Centrale Limietstelling.

Stelling 1.6. (Centrale Limietstelling) Kies t ≥ 0 vast. Als n → ∞, dan convergeert de verdeling van de geschaalde random walk W(n)(t) voor het vastgekozen tijdstip t naar de normale verdeling met verwachting nul en variantie t.

Bewijs. Als we kunnen aantonen dat de momentgenererende functie ϕnvan W(n)(t) voor

n → ∞ naar de momentgenererende functie ϕ van de normale verdeling met verwachting nul en variantie t convergeert, dan zijn we klaar. Dus laten we eerst beginnen met het vinden van de momentgenererende functie ϕ van deze normale verdeling.

ϕ(u) = E[eux] = Z ∞ −∞ euxf (x) dx = √1 2πt Z ∞ −∞ expnux −x 2 2t o dx = e12u 2_t 1 √ 2πt Z ∞ −∞ expn−(x − ut) 2 2t o dx = e12u 2_t , omdat √1 2πte

−(x−ut)2_{2t de dichtheidsfunctie is van de normale verdeling met verwachting}

ut en variantie t, en deze integreert naar 1. Bekijk nu de momentgenererende functie van W(n)(t). Deze is gelijk aan

ϕn(u) = E h euW(n)(t)i = E h exp n u √ nMnt oi = Ehexpn√u n nt X j=1 Xj oi = Eh nt Y j=1 expn√u nXj oi = nt Y j=1 E h expn√u nXj oi

(vanwege onafhankelijkheid van Xj’s)

= nt Y j=1  expn√u n· −1 o P(Xj = −1) + exp n u √ n· 1 o P(Xj = 1)  = nt Y j=1 1 2e −√u n ₊ 1 2e u √ n  =1 2e −_√u n ₊1 2e u √ n nt .

Wat we nu willen laten zien is dat als n → ∞, dan convergeert de momentgenerende functie van W(n)(t) naar de momentgenerende functie van de normale verdeling met

verwachting nul en variantie t. Een handige manier om dit te doen, is om log ϕn(u) = nt log  1 2e −_√u n ₊1 2e u √ n  te bekijken en de substitutie x = √1

n er op toe te passen. Dan

krijgen we het volgende lim

n→∞log ϕn(u) = t limx↓0

log(1₂e−ux+1₂eux) x2 .

Gebruik tweemaal de regel van l’Hˆopital met de afgeleide naar x, dan komen we uit op lim n→∞log ϕn(u) = t 2limx↓0 u2 2 e −ux +u 2 2 e ux₌ 1 2u 2_t.

Dus ϕ(u) = limn→∞ϕn(u).

Daarmee zijn we aan het einde gekomen wat betreft onze observaties voor de random walk en is de basis gelegd om nu de Brownse beweging te bestuderen.

1.2. Brownse beweging

1.2.1. Eigenschappen van een Brownse beweging

Een Brownse beweging is een continu stochastisch proces. Dit proces kunnen we be-schouwen als het nemen van de limiet van de geschaalde random walk W(n)(t) voor n → ∞.

Definitie 1.7. Laat (Ω, F , P) een kansruimte zijn. Voor iedere ω ∈ Ω, stel dat er een continue functie W (t) met t ≥ 0 bestaat die aan W (0) = 0 voldoet en van ω afhangt. Dan is W (t), t ≥ 0, een Brownse beweging als voor alle 0 = t0 < t1, . . . < tm de incrementen

W (t1) = W (t1) − W (t0), W (t1) − W (t0), W (t2) − W (t1), . . . , W (tm) − W (tm−1) (1.7)

onafhankelijk zijn en als ieder increment normaal verdeeld is met

E[W (ti+1) − W (ti)] = 0, (1.8)

Var[W (ti+1) − W (ti)] = ti+1− ti. (1.9)

We zien dus uit de formele definitie van de Brownse beweging W (t) dat hij dezelfde eigenschappen bezit als de geschaalde random walk W(n)(t). Het verschil zit hem in dat de geschaalde random walk W(n)(t) lineaire stukjes heeft en de Brownse beweging W (t) oscilleert infinitisimaal hard, zoals een beetje te zien is in Figuur 1.2-1.4. Hierin zijn paden van een realisatie getekend. Herhalen we deze simulaties, dan kunnen de paden er anders uitzien. Een ander verschil; waar de verdeling van de geschaalde random walk W(n)_{(t) te benaderen is met een normale verdeling, is die van de Brownse beweging W (t)}

exact de normale verdeling met verwachting nul en variantie t.

Figuur 1.2.: Random walk W(10)(1) Figuur 1.3.: Random walk W(100)(1)

Figuur 1.4.: Random walk W(1000)(1)

Definitie 1.8. Laat (Ω, F , P) een kansruimte zijn waar op een Brownse beweging W (t), t ≥ 0, is gedefinieerd. Een filtratie voor de Brownse beweging is een collectie van σ-algebra’s Ft, t ≥ 0, die voldoet aan:

1. (Ophoping van informatie) Voor alle 0 ≤ s < t geldt Fs⊂ Ft. Met andere woorden,

er is minstens net zoveel informatie beschikbaar op een latere tijdstip als daarvoor. 2. (Adaptiviteit) Voor iedere t ≥ 0 is W (t) Ft-meetbaar op tijdstip t. Oftewel, de

informatie die beschikbaar is op tijdstip t is voldoende om de Brownse beweging te evalueren op datzelfde tijdstip.

3. (Onafhankelijkheid van toekomstige incrementen) Voor 0 ≤ t < u is het increment W (u) − W (t) onafhankelijk van Ft. Dus ieder increment van de Brownse beweging

na tijdstip t is onafhankelijk van de informatie die beschikbaar is op t.

Laat X(t), t ≥ 0, een stochastich proces zijn. We zeggen dat X(t) is aangepast aan de filtratie Ft als voor elke t ≥ 0 de stochast X(t) Ft-meetbaar is.

Nu valt op dezelfde manier als in (1.3) aan te tonen dat ook de Brownse beweging W (t) een martingaal is ten opzichte van een filtratie van de Brownse beweging.

1.2.2. Kwadratische variatie van een Brownse beweging

In tegenstelling tot de geschaalde random walk W(n)(t) waar de stapgrootte van de incrementen natuurlijk zijn, is dat niet het geval bij de Brownse beweging W (t). Om

voor W (t) de kwadratische variatie te berekenen, bekijken we de limiet van n−1 X j=0 h W(j + 1)T n  − WjT n i2

voor n → ∞. De details van wat deze limiet precies betekent, gezien dit een stochastische uitdrukking is, laten we nog even onduidelijk. Wat zo bijzonder is aan de kwadratische variatie van de Brownse beweging is dat deze niet gelijk is aan nul. Dit leidt tot de bron van de volatiliteit in de Black-Scholes-Merton parti¨ele differentiaalvergelijking waar we uiteindelijk naartoe willen werken.

Laten we eerst de kwadratische variatie in het algemeen bekijken.

Definitie 1.9. Laat f (t) een functie zijn die gedefinieerd is op 0 ≤ t ≤ T . De kwadra-tische variatie van f tot tijdstip T is

[f, f ](T ) := lim kΠk→0 n−1 X j=0 [f (tj+t) − f (tj)]2, (1.10) waar Π = {t0, t1, . . . , tn}, k Π k= maxj=0,...,n−1(tj+1− tj) en 0 = t0< t1< . . . < tn= T .

De limiet in (1.10) kun je zodanig beschouwen, dat als het aantal partities n van het interval [0, T ] naar oneindig gaat, dat dan de lengte van het grootste deelinterval (tj+1− tj) naar nul gaat.

Merk op: als f een continue afgeleide heeft, dan volgt met gebruik van de Middel-waardestelling dat n−1 X j=0 [f (tj+t) − f (tj)]2 = n−1 X j=0 |f0(t∗_j)|2(tj+1− tj)2 ≤k Π k n−1 X j=0 |f0(t∗_j)|2(tj+1− tj)

met tj ≤ t∗j ≤ tj+1. Dus kunnen we nu zeggen dat

[f, f ](T ) ≤ lim kΠk→0 h k Π k n−1 X j=0 |f0(t∗_j)|2(tj+1− tj) i = lim kΠk→0k Π k limkΠk→0 n−1 X j=0 |f0(t∗_j)|2(tj+1− tj) = lim kΠk→0k Π k Z T 0 |f0(t)|2dt = 0.

In de laatste regel hebben we gebruik gemaakt van de Riemann integraal en dat continue functies op een gesloten interval begrensd zijn, dus moetR₀T |f0(t)|2dt eindig zijn.

Moraal van het verhaal is dat als een functie f een continue afgeleide heeft, dan is de kwadratische variatie gelijk is aan nul. Maar de paden van een Brownse beweging zijn erg puntig, waardoor W (t) niet differentieerbaar is. Dus wat als een functie niet differentieerbaar is? Dan weten we dat de Middelwaardestelling voor zo’n functie niet per se opgaat en kunnen we geen gebruik maken van de bovenstaande opmerking.

Stelling 1.10. Laat W een Brownse beweging zijn. Dan [W, W ](T ) = T voor alle T ≥ 0 bijna zeker.

De werkelijke convergentie die we zullen bewijzen is L2-convergentie. Dit betekent dat de variantie in de limiet naar nul gaat, waardoor hetgeen waarvan we de limiet nemen convergeert naar de limiet van de verwachtingswaarde. Dit type convergentie impliceert dat er een deelrij bestaat waarover de convergentie almost surely plaatsvindt, zie [4, p. 103]. Echter laten we dit detail achterwege. Ter herinnering, de term almost surely betekent dat als er paden in de Brownse beweging zijn waarvoor [W, W ](T ) = T niet geldt, dan is de kans op de verzameling van deze paden gelijk aan nul. De kans op de verzameling van paden waar de vergelijking wel geldt, is gelijk aan ´e´en.

Bewijs. Laat Π = {t0, t1, . . . , tn} een partitie zijn van [0, T ]. Definieer de sampled

kwa-dratische variatie corresponderend met Π als QΠ=

n−1

X

j=0

(W (tj+1) − W (tj))2.

We willen laten zien dat de stochast QΠnaar T convergeert als k Π k→ 0. Dit zullen we

doen door te laten zien dat de verwachting ervan gelijk is aan T en dat de variantie naar nul convergeert. Omdat de kwadratische variatie QΠeen sommatie is van onafhankelijke

variabelen, is de verwachting en de variantie gelijk aan de som van de verwachtingen en varianties, respectievelijk. E h (W (tj+1) − W (tj))2 i = Var[(W (tj+1) − W (tj)] +  E[(W (tj+1) − W (tj)] 2 = (tj+1− tj) + 02 = tj+1− tj.

Dit impliceert dat E[QΠ] = n−1 X j=0 E h (W (tj+1) − W (tj))2 i = n−1 X j=0 (tj+1− tj) = T.

Nu nog aantonen dat de variantie van QΠnaar nul convergeert:

Var[(W (tj+1) − W (tj))2] = E h (W (tj+1) − W (tj))2− E[(W (tj+1) − W (tj))2] 2i = Eh(W (tj+1) − W (tj))2− (tj+1− tj) 2i = E h (W (tj+1) − W (tj))4 i − 2(t_j+1− t_j)Eh(W (tj+1) − W (tj))2 i + (tj+1− tj)2 = E h (W (tj+1) − W (tj))4 i − 2(tj+1− tj)2+ (tj+1− tj)2 = 3Var[(W (tj+1) − W (tj)] 2 − (t_j+1− t_j)2 = 2(tj+1− tj)2

Dan volgt nu dat Var[QΠ] = n−1 X j=0 Var[(W (tj+1) − W (tj))2] = n−1 X j=0 2(tj+1− tj)2 ≤ n−1 X j=0 2 k Π k (tj+1− tj) = 2 k Π k T.

Omdat limkΠk→0Var[QΠ] = 0, kunnen we concluderen dat limkΠk→0QΠ = E[QΠ] = T

en is daarmee de stelling bewezen.

De Brownse beweging hoopt de kwadratische variatie dus met rate ´e´en per tijdseenheid op. We schrijven dit resultaat ook wel informeel op als dW (t) dW (t) = dt.

Opmerking 1.11. Naast het berekenen van de kwadratische variatie van de Brownse beweging, kunnen we ook nog kijken wat de kruislingse variatie van W (t) met t is en de kwadratische variatie van t met zichzelf. Laat Π = {t0, t1, . . . , tn} een partitie zijn van

[0, T ] met 0 = t0 < t1, . . . , tn= T . Bekijk nu lim kΠk→0 n−1 X j=0 (W (tj+1) − W (tj))(tj+1− tj) (1.11) en lim kΠk→0 n−1 X j=0 (tj+1− tj)2. (1.12)

Zowel (1.11) als (1.12) zal naar nul convergeren. Om dat in te zien, observeer dat |(W (tj+1) − W (tj))(tj+1− tj)| ≤ max

0≤k≤n−1|W (tk+1) − W (tk)|(tj+1− tj).

Dan geldt dat

n−1

X

j=0

|(W (tj+1) − W (tj))(tj+1− tj)| ≤ max

0≤k≤n−1|W (tk+1) − W (tk)| · T.

Omdat W uniform continue paden heeft op [0, T ], geldt nu dat limkΠk→0max0≤k≤n−1|W (tk+1)−

W (tk)| gelijk is aan nul. Voor (1.12) observeer dat n−1 X j=0 (tj+1− tj)2≤ max 0≤k≤n−1(tk+1− tk) · n−1 X j=0 (tj+1− tj) =k Π k ·T.

Hieruit volgt overduidelijk dat (1.12) naar nul convergeert voor k Π k→ 0. We schrijven dit resultaat ook wel informeel als

2. Stochastische Calculus

De waarde van aandelen verandert constant willekeurig met de tijd en gedraagt zich dus als een continu stochastisch proces. Om de waarde te kunnen beschrijven in de tijd zullen we gebruik moeten maken van stochastische calculus. Een belangrijk begrip dat daarbij komt kijken, is de Itˆo integraal. Dit hoofdstuk is gebaseerd op het werk van Itˆo[12]. De constructie en eigenschappen ervan zullen we nu behandelen.

2.1. Itˆ

o integraal voor simpele integrand

Stel dat we een Brownse beweging W (t), t ≥ 0, hebben samen met een filtratie Ft, t ≥ 0,

voor deze Brownse beweging. Laat x(t) een adapted stochastisch proces zijn dat ook F (t)-meetbaar is voor iedere t ≥ 0. Wat we willen proberen te begrijpen, is de volgende integraal

Z T

0

x(t) dW (t),

waarbij T een vastgekozen positief getal is. Een na¨ıeve gedachte zou zijn om deze integraal te schrijven als

Z T

0

x(t)W0(t)dt.

Echter lopen we hier tegen een probleem aan. Eerder hebben we gezien dat de kwadra-tische variatie van een Brownse beweging W (t) ongelijk is aan nul, waaruit we konden concluderen dat W (t) niet differentieerbaar is. Dus is er een andere aanpak nodig om betekenis te geven aan dit soort integralen.

2.1.1. Constructie van de Itˆo integraal

Allereerst beginnen we met het bestuderen van de Itˆo integaal voor een simpele integrand en breiden dit vervolgens uit voor een algemene integrand.

Definitie 2.1. Laat Π = {t0, t1. . . , tn} een partitie zijn van [0, T ] met 0 = t0 < t1 <

. . . < tn = T . Een stochastisch proces x(t) heet een simpel proces als x(t) op iedere

deelinterval [tj, tj+1) constant is.

Nu willen we dit simpele proces aan een Brownse beweging linken, zodat de Itˆo inte-graal voor een simpele integrand tot stand komt.

Stel dat de prijs per aandeel in een asset op tijdstip t beschouwd kan worden als een Brownse beweging W (t). Negeer voor het gemak even dat deze negatief kan worden. Laat t0, t1, . . . , tn−1de handelsdata zijn en x(t0), x(t1), . . . , x(tn−1) het aantal aandelen

van de asset in je portfolio op iedere handelsdatum tot aan de volgende handelsdatum. Merk op dat het aantal aandelen x(t) dan een simpel proces is, gezien dit aantal niet verandert tussen twee handelstijden. De waardeverandering van de portfolio op iedere tijdstip t kan dan als volgt geschreven worden:

I(t) = x(t0)[W (t) − W (t0)] = x(0)W (t), 0 ≤ t ≤ t1,

I(t) = x(0)W (t1) + x(t1)[W (t) − W (t1)], t1 ≤ t ≤ t2,

I(t) = x(0)W (t1) + x(t1)[W (t2) − W (t1)] + x(t2)[W (t) − W (t2)], t2 ≤ t ≤ t3,

en dit gaat zo door. Veralgemeniseer het bovenstaande tot I(t) =

k−1

X

j=0

x(tj)[W (tj+1− W (tj)] + x(tk)[W (t) − W (tk)], (2.1)

met tk ≤ t ≤ tk+1. Het proces I(t) is de Itˆo integraal van een simpel proces x(t) en

schrijven we als

I(t) = Z t

0

x(u) dW (u).

Nu we de Itˆo integraal voor een simpel proces hebben gedefinieerd, kunnen we enkele eigenschappen ervan bestuderen.

2.1.2. Eigenschappen van de integraal

De integraal I(t) in (2.1) stelde de waardeverandering voor tijdens het verhandelen van de martingaal W (t). Met de volgende stelling zullen we zien dat het proces I(t) ook een martingaal is.

Stelling 2.2. De Itˆo integraal I(t) =R₀tx(t) dW (u), waarbij x(t) een simpel proces, is een martingaal ten opzichte van de Brownse filtratie Ft.

Bewijs. Laat 0 ≤ s ≤ t ≤ T gegeven zijn. Dan onderscheiden we twee gevallen. Neem aan dat s en t in verschillende deelintervallen zitten van de partitie Π. Met andere woorden, als er partitiepunten tlen tkzijn zodat tl< tk en s ∈ [tl, tl+1) en t ∈ [tk, tk+1).

Mochten s en t in hetzelfde deelinterval zitten, dan versimpeld dit het bewijs. Herschrijf nu (2.1) als I(t) = l−1 X j=0 x(tj)[W (tj+1) − W (tj)] + x(tl)[W (tl+1) − W (tl)] + k−1 X j=l+1 x(tj)[W (tj+1) − W (tj)] + x(tk)[W (t) − W (tk)]

Het doel is om te laten zien dat E[I(t) | Fs] = I(s). Dit zullen we doen door van iedere

term krijgen we E hXl−1 j=0 x(tj)[W (tj+1) − W (tj)]   Fs i = l−1 X j=0 x(tj)[W (tj+1) − W (tj)]

want x(tj) en W (tj) zijn Fs-meetbaar voor 0 ≤ j ≤ l. Voor de tweede term geldt met

behulp van (A.1 (ii)) en gebruikmakend van de martingaal eigenschap van W dat E[x(tl)[W (tl+1) − W (tl)] | Fs] = x(tl)(E[W (tl+1) | Fs] − W (tl))

= x(tl)(W (s) − W (tl)).

Als we nu nog kunnen aantonen dat de conditionele verwachting van de laatste twee termen gelijk is aan nul dan is het bewijs geleverd. Merk op dat voor deze termen tj, tk≥ tl+1> s. Met behulp van (A.1 (ii) en (iii)) geldt

E h x(tj)(W (tj+1) − W (tj)) | Fs i = EhE[x(tj)(W (tj+1) − W (tj)) | Ftj]   Fs i = E h x(tj)(W (tj) − W (tj)) | Fs i = 0. En dus volgt met lineariteit van de verwachting dat

E " _k−1 X j=l+1 x(tj)(W (tj+1) − W (tj)) | Fs # = k−1 X j=l+1 E h x(tj)(W (tj+1) − W (tj)) | Fs i = 0. Voor de laatste term zien we net zo dat

E h x(tk)(W (t) − W (tk)) | Fs i = E h E[x(tk)(W (t) − W (tk)) | Ftk]   Fs i = Ehx(tk)(W (tk) − W (tk)) | Fs i = 0.

Omdat I(t) dus een martingaal is en I(0) = 0, volgt er dat E[I(t)] = EE[I(t) | F0] = E[I(0)] = 0.

Gezien I(t) de prijsverandering van een aandeel voorstelt, zouden we dit resultaat ook kunnen interpreteren door te zeggen dat je gemiddeld genomen geen winst of verlies maakt. Verder volgt dat Var[I(t)] = E[I2(t)]. Dit brengt ons tot de Itˆo isometrie stelling.

Stelling 2.3. (Itˆo isometrie) De Itˆo integraal I(t) =R₀tx(t) dW (u), waarbij x(t) een simpel proces, voldoet aan

E[I2(t)] = E " Z t 0 x2(t) dW (u). # (2.2)

Bewijs. Om het ons zelf wat makkelijker te maken noteren we Dj = W (tj+1) − W (tj)

voor j = 0, . . . , k − 1 en Dk = W (t) − W (tk) zodat de integraal geschreven kan worden

als I(t) =Pk j=0x(tj)Dj en I2(t) = k X j=0 x2(tj)D2j + 2 X 0≤i<j≤k x(ti)x(tj)DiDj.

Merk op dat de term x(ti)x(tj)Di, voor i < j, Ftj-meetbaar is en dat Dj onafhankelijk

van Ftj. Oftewel x(ti)x(tj)Di en Dj zijn onafhankelijk van elkaar. Verder weten we dat

de verwachting van het Brownse increment Dj gelijk aan nul is. Dus

E[x(ti)x(tj)DiDj] = E[x(ti)x(tj)Di] · E[Dj] = E[x(ti)x(tj)Di] · 0 = 0.

Nu rest ons nog de kwadratische termen te bestuderen. Voor deze term geldt dat x2(tj)

Ftj-meetbaar is en D

2

j onafhankelijk is van Ftj. Met stelling (1.10) zien we dat E[D

2 j] =

tj+1− tj voor j = 0, 1, . . . , k − 1 en E[D_k2] = t − tk. Dus

E[I2(t)] = k X j=0 E[x2(tj)Dj2] = k X j=0 E[x2(tj)] · E[D2j] = k−1 X j=0 E[x2(tj)] · (tj+1− tj) + E[x2(tk)] · (t − tk) Nu geldt dat x2(tj) · (tj+1− tj) = Rtj+1 tj x

2_{(u) du, omdat x}2_(t

j) constant is op het interval

[tj, tj+1). Hetzelfde argument gaat op voor x2(tk) · (t − tk) =

Rt

tkx

2_{(u) du. Dus}

E[I2(t)] = k−1 X j=0 E hZ tj+1 tj x2(u) du i + E hZ t tk x2(u) du i = E hk−1_X j=0 Z tj+1 tj x2(u) du + Z t tk x2(u) du i = Eh Z t 0 x2(u) dui. Hiermee is de stelling bewezen.

Tot slot gaan we als laatste eigenschap naar de kwadratische variatie van de Itˆo inte-graal kijken.

Stelling 2.4. Laat x(t) een simpel proces zijn. De kwadratische variatie opgehoopt tot tijdstip t van de Itˆo integraal I(t) =R₀tx(t) dW (u) is gelijk aan

[I, I](t) = Z t

0

Bewijs. Bekijk het deelinterval [tj, tj+1), waarop x2(u) constant is, en bepaal de

op-gehoopte kwadratische variatie ervan. Kies voor dit deelinterval een partitie zodanig dat tj = s0 < s1< . . . < sm = tj+1 en beschouw m−1 X i=0

[I(si+1) − I(si)]2 = m−1 X i=0 [x(tj)(W (si+1) − W (si))]2 = x2(tj) m−1 X i=0 (W (si+1) − W (si))2. (2.4)

Als m → ∞, dan gaat de stapgrootte van maxi=0,...,m(si+1− si) richting nul en zien we

dat de term Pm−1

i=0 (W (si+1) − W (si))2 naar de opgehoopte kwadratische variatie van

een Brownse beweging tussen tj en tj+1 convergeert. Deze is gelijk aan tj+1− tj. Dus

de limiet van (2.4) geeft dat de opgehoopte kwadratische variatie van de Itˆo integraal tussen tijdstippen tj en tj+1 gelijk is aan

x2(tj)(tj+1− tj) =

Z tj+1

tj

x2(u) du,

omdat x(u) constant is voor tj < u < tj+1. Met hetzelfde argument is de opgehoopte

kwadratische variatie van de Itˆo integraal tussen tk en t gelijk aan

Rt

tkx

2_{(u) du. Alle}

stukjes bij elkaar optellen levert ons een kwadratische variatie vanRt

0x

2_{(u) du.}

Aan het eind van stelling (1.10) hadden we informeel dW (t) dW (t) = dt geschreven met als interpretatie dat de Brownse beweging de kwadratische variatie ophoopt met rate ´e´en per tijdseenheid. Als we nu de Itˆo integraal in differentiaal vorm dI(t) = x(t)dW (t) schrijven dan zien we dat

dI(t) dI(t) = x2(t) dW (t) dW (t) = x2(t) dt.

Dit is in overeenstemming met de exacte betekenis zoals gegeven in (2.4). Dus de Itˆo integraal hoopt de kwadratische variatie op met rate x2(t) per tijdseenheid. Deze rate van ophoping is zowel tijd- als pad-afhankelijk, gezien x(t) een stochastisch proces is.

2.2. Itˆ

o’s Integraal voor algemene integrand

In deze paragraaf zullen we de Itˆo integraal voor een algemene integrand x(t) bestuderen. Hierbij is x(t) weer een adapted stochastisch proces dat Ft-meetbaar is voor iedere t ≥ 0.

Een extra aanname is dat x(t) aan de kwadratische integratie eis voldoet: E hZ T 0 x2(t) dt i < ∞. (2.5)

De manier waarop we deze Itˆo integraal R₀Tx2(t) dW (t) zullen defini¨eren is door x2(t) te benaderen met simpele processen. Hoe we dat gaan doen is door voor de benaderende simpele integrand een partitie te kiezen, zeg 0 = t0 < t1 < t2 < . . . < tn= T , zo dat het

benaderende simpele proces xngelijk is aan x(tj) voor iedere tj. Het simpele proces xnis

verder constant op ieder interval [tj, tj+1). Als vervolgens de maximale stapgrootte van

de partitie naar 0 convergeert, dan wordt de algemene integrand steeds beter benaderd. In het algemeen bestaat er een rij simpele processen xn(t) zo dat xn(t) naar x(t)

convergeert als n → ∞. Hiermee wordt de volgende L2-convergentie bedoeld: lim n→∞E hZ T 0 | xn(t) − x(t) |2 dt i = 0. (2.6)

Omdat voor iedere xn(t) de Itˆo integraal al gedefinieerd is voor 0 ≤ t ≤ T , zullen we de

Itˆo integraal voor de algemene integrand defini¨eren als volgt: I(t) =

Z t 0

x(u) dW (u) := lim

n→∞

Z t 0

xn(u) dW (u), (2.7)

met 0 ≤ t ≤ T . Merk hierbij op dat voor iedere t de limiet in (2.7) bestaat, want In(t) =

Rt

0 xn(u) dW (u) is een Cauchy rij in L2(Ω, F , P). Dit komt vanwege de Itˆo

isometrie stelling 2.3 wat inhoudt dat E[In(t) − Im(t)]2 = E

Rt

0 |xn(u) − xm(u)|2du. Als

gevolg van (2.6) gaat de rechterkant in de limiet naar 0 voor n, m → ∞. Verder heeft deze algemene Itˆo integraal dezelfde eigenschappen als de Itˆo integraal voor een simpele integrand. Deze worden weergegeven in de volgende stelling, waarvan we het bewijs niet zullen geven.

Stelling 2.5. Laat T een positief getal zijn en laat x(t), 0 ≤ t ≤ T , een adapted stochastisch proces zijn dat voldoet aan de kwadratische integratie eis. Dan bezit de Itˆo integraal in (2.7) de volgende eigenschappen:

(i) (Continu¨ıteit) Als functie van de integratie-bovengrens t zijn de paden van I(t) continu.

(ii) (Adaptiviteit) I(t) is Ft-meetbaar voor iedere t.

(iii) (Lineariteit) Als I(t) = R₀tx(u) dW (u) en J (t) = R₀ty(u) dW (u), dan I(t) ± J (t) = R₀t(x(u) ± y(u)) dW (u); verder geldt voor iedere constante c dat cI(t) = Rt

0cx(u) dW (u).

(iv) (Martingaal) I(t) is een martingaal. (v) (Itˆo isometrie) E[I2(t)] = E

h Rt

0x2(u) du

i . (vi) (Kwadratische variatie) [I, I](t) =R₀tx2(u) du.

2.3. Itˆ

o-Doeblin Formule

Stel dat we een proces hebben van de vorm f (W (t)), waarbij f (x) een differentieerbare functie is en W (t) een Brownse beweging. Dan zou de afgeleide ervan met de standaard calculus gelijk zijn aan

d

dtf (W (t)) = f

0

(W (t)) W0(t). In differentiaalvorm wordt dat

df (W (t)) = f0(W (t)) W0(t) dt.

Maar eerder hebben we gezien dat de kwadratische variatie van een Brownse beweging ongelijk is aan nul, waardoor deze niet differentieerbaar is. De correcte vergelijking wordt gegeven door de Itˆo-Doeblin formule. Deze wordt in differentiaalvorm geschreven als df (W (t)) = f0(W (t)) dW (t) + 1 2f 00_{(W (t)) dt, (2.8)} en in integraalvorm f (W (t)) − f (W (0)) = Z t 0 f0(W (u)) dW (u) +1 2 Z t 0 f00(W (u)) du. (2.9) De intu¨ıtieve gedachte hierachter is dat je df (W (t)) kunt zien als f (W (t) + dW (t)) − f (W (t)). Net zo zou je dW (t) kunnen zien als W (t+dt)−W (t). Het is dus de verandering wanneer t een klein beetje verandert met dt in zowel df (W (t)) als in dW (t). Met de Taylorontwikkeling krijg je f (W (t) + dW (t)) ≈ f (W (t)) + f0(W (t)) dW (t) +1 2f 00 (W (t)) (dW (t))2+ . . . ≈ f (W (t)) + f0(W (t)) dW (t) +1 2f 00_{(W (t)) dt,}

want dW (t)dW (t) = dt. Als de verandering dt infinitesimaal is, dan krijgen we de Itˆ o-Doeblin formule. Dit komt allemaal samen in de volgende stelling in een iets algemenere vorm.

Stelling 2.6. (Itˆo-Doeblin formule voor een Brownse beweging) Laat f (t, x) een functie zijn waarvoor de parti¨ele afgeleiden ft(t, x), fx(t, x) en fxx(t, x) gedefinieerd en

continu zijn. Laat W (t) een Brownse beweging zijn. Dan geldt voor iedere T ≥ 0 f (T, W (T )) = f (0,W (0)) + Z T 0 ft(t, W (t)) dt + Z T 0 fx(t, W (t)) dW (t) + 1 2 Z T 0 fxx(t, W (t)) dt. (2.10)

Bewijs. Als eerste laten we zien dat voor f (x) = 1₂x2de Itˆo-Doeblin-formule (2.10) geldt. In dit geval is f0(x) = x en f00(x) = 1. Laat xj en xj+1 getallen zijn. Dan impliceert de

Taylorontwikkeling f (xj+1) − f (xj) = f0(xj)(xj+1− xj) + 1 2f 00_(x j)(xj+1− xj)2.

Omdat alle hogere afgeleiden van f gelijk aan nul zijn, is de Taylor’s formule van tweede orde exact. Kies een vastgekozen T en laat Π = {t0, t1, . . . , tn} een partitie zijn van [0, T ]

met 0 = t0 < t1 < . . . < tn= T . We zijn ge¨ınteresseerd in het verschil tussen f (W (0))

en f (W (T )). De verandering van f (W (t)) tussen tijdstip t = 0 en t = T kan geschreven worden als de sommatie van veranderingen van f (W (t)) over ieder deelinterval [tj, tj+1].

Vervang xj en xj+1door W (tj) en W (tj+1), respectievelijk en pas vervolgens de Taylor’s

formule er op toe f (W (T )) − f (W (0)) = n−1 X j=0 h f (W (tj+1)) − f (W (tj)) i = n−1 X j=0 f0(W (tj))W (tj+) − W (tj)  +1 2 n−1 X j=0 f00(W (tj))W (tj+1) − W (tj) 2 . (2.11) Voor de functie f (x) = 1₂x2 is de rechterkant van (2.11) gelijk aan

n−1 X j=0 W (tj)W (tj+1) − W (tj) + 1 2 n−1 X j=0 W (tj+1) − W (tj) 2 .

Laat nu k Π k→ 0. Dan gebeurt er met de linkerkant van (2.11) niks, maar de termen van de rechterkant convergeren naar een Itˆo integraal en een halve kwadratische variatie van een Brownse beweging, respectievelijk. Dus

f (W (T )) − f (W (0)) = lim kΠk→0 n−1 X j=0 W (tj)W (tj+1) − W (tj) + lim kΠk→0 1 2 n−1 X j=0 W (tj+1) − W (tj) 2 = Z T 0 W (t) dW (t) +1 2T = Z T 0 f0(W (t)) dW (t) +1 2 Z T 0 f00(W (t)) dt.

Dit komt precies overeen met de Itˆo-Doeblin formule in integraalvorm voor de functie f (x) = 1₂x2. Voor een algemene functie f (x) zou je in (2.11) ook de sommatie krijgen van termen waarinW (tj+1) − W (tj)

3

(1.11) informeel aangenomen dat dW (t)[dW (t)dW (t)] = dW (t)dt = 0. Dus al die termen metW (tj+1) − W (tj)

3

erin gaan niks bijdragen aan het eindantwoord. Laat nu f (t, x) een functie zijn van t en x, dan volgt met de stelling van Taylor

f (tj+1, xj+1) − f (tj, xj) = ft(tj, xj)(tj+1− tj) + fx(tj, xj)(xj+1− xj) +1 2fxx(tj, xj)(xj+1− xj) 2_{+ f} tx(tj, xj)(tj+1− tj)(xj+1− xj) +1 2ftt(tj, xj)(tj+1− tj)

2_{+ hogere orde termen. (2.12)}

Vervang xj door W (tj) en xj+1 door W (tj+1) en sommeer

f (W (T )) − f (W (0)) = n−1 X j=0 h f (tj+1,W (tj+1)) − f (tj, W (tj)) i = n−1 X j=0 ft(tj, W (tj)) (tj+1− tj) + n−1 X j=0 fx(tj, W (tj)) (W (tj+1) − W (tj)) +1 2 n−1 X j=0 fxx(tj, W (tj)) (W (tj+1) − W (tj))2 + n−1 X j=0 ftx(tj, W (tj)) (tj+1− tj) (W (tj+1) − W (tj)) +1 2 n−1 X j=0

ftt(tj, W (tj)) (tj+1− tj)2+ hogere orde termen. (2.13)

Neem de limiet van k Π k→ 0, en merk op dat er met de linkerkant van (2.13) niks gebeurt. Dus we bekijken nu wat er allemaal met de termen aan de recherkant gebeurt. In het eindantwoord is de eerste term gelijk aan de integraal

lim kΠk→0 n−1 X j=0 ft(tj, W (tj)) (tj+1− tj) = Z T 0 ft(t, W (t)) dt.

Voor k Π k→ 0 komt de tweede term overeen met de Itˆo integraalRT

0 fx(t, W (t)) dW (t).

Vanwege de informele uitspraak dat dW (t) dW (t) = dt, kunnen we voor de derde term (W (tj+1) − W (tj))2 vervangen door dt, waardoor deze term weer een Lebesgue integraal

RT

het eindantwoord. Zo geldt voor de vierde term dat lim kΠk→0      n−1 X j=0 ftx(tj, W (tj)) (tj+1− tj) (W (tj+1) − W (tj))      ≤ lim kΠk→0 n−1 X j=0 |f_tx(tj, W (tj))| · (tj+1− tj) · |(W (tj+1) − W (tj))| ≤ lim kΠk→0 0≤k≤n−1max |(W (tj+1) − W (tj))| · limkΠk→0 n−1 X j=0 |ftx(tj, W (tj))| · (tj+1− tj) = 0 · Z T 0 |f_tx(t, W (t))| dt = 0.

Op dezelfde wijze zijn de vijfde en hogere orde termen ook gelijk aan nul.

Opmerking 2.7. Het feit dat de termen met het product (tj+1− tj) (W (tj+1) − W (tj)

en (tj+1 − tj)2 in de limiet voor k Π k→ 0 naar nul gaan, kunnen de producten in

deze termen informeel weergegeven worden door de formules dt dW (t) = 0 en dt dt = 0, respectievelijk. Dus de Itˆo-Doeblin formule in differentiaalvorm met die termen erin is

df (t, W (t)) = ft(t, W (t)) dt + fx(t, W (t)) dW (t) + 1 2fxx(t, W (t)) dW (t) dW (t) + ftx(t, W (t)) dt dW (t) + 1 2ftt(t, W (t)) dt dt,

maar omdat dW (t) dW (t) = dt, dt dW (t) = dW (t) dt = 0 en dt dt = 0, versimpeld het de Itˆo integraal in differentiaalvorm tot

df (t, W (t)) = ft(t, W (t)) dt + fx(t, W (t)) dW (t) +

1

2fxx(t, W (t)) dt. (2.14)

2.4. Formule voor Itˆ

o processen

Om ons niet te beperken tot processen waarin alleen de Brownse beweging aan te pas komt, kunnen we de Itˆo-Doeblin formule uitbreiden voor processen in het algemeen. De processen waarvoor de stochastische calculus is ontwikkeld heten Itˆo processen. De precieze definitie volgt hieronder.

Definitie 2.8. Laat W (t), t ≥ 0, een Brownse beweging zijn, en Ft, t ≥ 0, de

bijbeho-rende filtratie. Een stochastisch proces van de vorm X(t) = X(0) + Z t 0 x(u) dW (u) + Z t 0 v(u) du (2.15) waarbij X(0) niet willekeurig is en x(u) en v(u) adapted stochastische processen, heet een Itˆo proces.

Merk op: om te zorgen dat de integralen aan de rechterkant van (2.15) zijn ge-definieerd en de Itˆo integraal een martingaal is, nemen we aan dat E R0tx2(u) du en

Rt

0|v(u)| du eindig zijn voor iedere t > 0.

Bijna alle stochastische processen zijn Itˆo processen, behalve degenen die sprongen hebben. Om de volatiliteit te kunnen begrijpen die gepaard gaat met Itˆo processen, moeten we de rate bepalen waarop deze processen de kwadratische variatie ophopen. Lemma 2.9. De kwadratische variatie van het Itˆo proces in (2.15) is

[X, X](t) = Z t

0

x2(u) du. (2.16) Het exacte bewijs hiervan kun je vinden in ([4], p.143). Waar het op neerkomt is dat je begint met (2.15) in differentiaalvorm te schrijven

dX(t) = x(t) dW (t) + v(t) dt, en deze vervolgens kwadrateert waardoor

dX(t) dX(t) = x2(t) dW (t) dW (t) + 2x(t)v(t) dW (t) dt + v2(t) dt dt = x2(t) dt.

Hierbij hebben we weer gebruikgemaakt van de informele uitspraken als in opmerking (2.7). Wat we zien is dat voor iedere t het proces X(t) de kwadratische variatie ophoopt met rate x2(t) per tijdseenheid. Dus de totale kwadratische variatie op het tijdsinterval [0, T ] is [X, X](t) = R₀tx2(u) du, en wat opvalt is dat deze alleen afkomstig is van de kwadratische variatie van de Itˆo integraal I(t) = R₀tx(u) dW (u). Dit betekent dat de kwadratische variatie van de Lebesgue integraal R(t) =R₀tv(u) du gelijk is aan nul, wat niet verrassend is gezien R(t) differentieerbaar is wegens de hoofdstelling van de calculus. Om dit hoofdstuk af te sluiten hebben we tot slot nog de integralen met betrekking tot Itˆo processen nodig. Oftewel integralen van de vorm Rt

0z(u)dX(u), waarbij z een

zekere stochastisch proces is. En ook de Itˆo-Doeblin formule die hierbij hoort.

Definitie 2.10. Laat X(t), t ≥ 0, een Itˆo process zijn, en laat z(t), t ≥ 0, een adapted proces zijn. Dan defini¨eren we de integraal met betrekking tot een Itˆo process als

Z t 0 z(u) dX(u) = Z t 0 z(u)x(u) dW (u) + Z t 0 z(u)v(u) du. (2.17) Merk op: de aanname hier is dat E R₀tz2(u)x2(u) du en R₀t|z(u)v(u)| du eindig zijn voor iedere t > 0, zodat de integralen aan de rechterkant van (2.17) gedefinieerd zijn.

Stelling 2.11. (Itˆo-Doeblin formule voor een Itˆo proces) Laat X(t), t ≥ 0, een Itˆo proces zijn, en laat f (t, x) een functie zijn waarvoor de parti¨ele afgeleiden ft(t, x),

fx(t, x) en fxx(t, x) gedefinieerd en continu zijn. Dan geldt voor iedere T ≥ 0

f (T, X(T )) = f (0, X(0)) + Z T 0 ft(t, X(t)) dt + Z T 0 fx(t, X(t)) dX(t) +1 2 Z T 0 fxx(t, X(t)) d[X, X](t) = f (0, X(0)) + Z T 0 ft(t, X(t)) dt + Z T 0 fx(t, X(t))x(t) dW (t) + Z T 0 fx(t, X(t)) v(t) dt + 1 2 Z T 0 fxx(t, X(t)) x2(t) dt. (2.18)

Deze stelling is wiskundig heel precies. Iedere term aan de rechterkant van (2.18) heeft een solide definitie. De Itˆo-Doeblin formule van een Itˆo proces bestaat dus uit een niet-willekeurige kwantiteit f (0, X(0), drie Lebesgue integralen met betrekking tot de tijd en een Itˆo integraal. Over het algemeen is het handiger om met de differentiaalvorm van de Itˆo-Doeblin formule van een Itˆo proces te werken. Daarvoor transformeren we (2.18) in df (t, X(t)) = ft(t, X(t)) dt + fx(t, X(t)) dX(t) + 1 2fxx(t, X(t)) dX(t) dX(t) = ft(t, X(t)) dt + fx(t, X(t))x(t) dW (t) + fx(t, X(t))v(t) dt +1 2fxx(t, X(t))x 2_{(t) dt. (2.19)}

3. Black-Scholes vergelijking

Door het bestuderen van de Brownse beweging en Itˆo integralen, kunnen we nu eindelijk aan de slag met de Black-Scholes vergelijking. Dit is een parti¨ele differentiaalvergelijking, waarvan de oplossing, de Black-Scholes formule, ons de prijs van een optie zal geven. Om te beginnen beschouw het volgende Black-Scholes model waarmee we zullen werken. Laat r, µ, σ bestaan zo dat de obligatiekoers B(t) en de aandelenprijs S(t) gegeven worden door

B(t) = exp(rt),

S(t) = S0exp(σW (t) + (µ −1₂σ2)t)

waarbij r de risicovrije rente is, σ de volatiliteit van het aandeel en µ de drift van het aandeel. Er zijn geen transactiekosten en zowel de obligatiekoers als de aandelenprijs kunnen vrij en onmiddelijk verhandeld worden, positief of negatief, tegen een bepaalde prijs. Merk op dat de aanname hierbij is dat de aandelenprijs gemodelleerd wordt door een geometrische Brownse beweging

dS(t) = µS(t) dt + σS(t) dW (t). (3.1) Samuelson [14],[15] was degene die met deze aanname kwam.

In de volgende sectie zullen we portefeuilles bestuderen en wordt er uitgelegd wat een hedgingstrategie is. Daarna bepalen we de evolutie van een hedgeportefeuille en geven we een eerste afleiding van de Black-Scholes vergelijking. Vervolgens leggen we maat transformaties uit en komen de stelling van Girsanov en de martingaal representatie stelling ter sprake om een alternatieve afleiding van de waarde van een hedgeportefeuille te vinden. Tot slot wordt de Black-Scholes formule afgeleid in het geval van een call optie.

3.1. Portefeuille en hedgingstrategie

Om te kunnen spreken over een portefeuille hebben we de definitie ervan nodig. Deze luidt als volgt:

Definitie 3.1. (Portefeuille (φ,ψ)) Een portefeuille is een tweetal processen φ(t) en ψ(t) die respectievelijk het aantal effecten en de hoeveelheid aan obligatie beschrijven dat we op tijdstip t in bezit hebben. Deze processen kunnen zowel positieve als negatieve waarden aannemen. De component van effecten van de portfolio φ moet Ft-voorspelbaar

zijn, oftewel het moet alleen afhangen van informatie die beschikbaar is tot (en niet tot en met) tijdstip t.

Merk op: iets is Ft-voorspelbaar als het een stochastisch proces is dat adapted is

aan de filtratie Ft en of continu is, of links-continu is met rechter-limieten, of een limiet

is van zulke processen.

Stel dat we een portefeuille hebben bestaande uit een aantal aandelen, φ(t), ieder met een waarde S(t), en een bepaalde hoeveelheid aan obligatie, met waarde ψ(t)B(t), dat we op de bank hebben staan tegen een vaste rente r. Verder voldoen de aandelen aan de aanname in (3.1) en is φ(t) adapted aan de filtratie van de Brownse beweging W (t), t ≥ 0. Dan geldt dat de waarde van onze portefeuille V (t) gelijk is aan

V (t) = ψ(t)B(t) + φ(t)S(t).

Hieruit volgt dat we de hoeveelheid aan obligatie ψ(t)B(t) ook kunnen uitdrukken als V (t) − φ(t)S(t). Doordat de waarde van onze aandelen constant met de tijd verandert en evenzo de obligatiekoers dat we op de bank hebben staan tegen een vaste rente r, verandert dus telkens de waarde van onze portefeuille. In differentiaalvorm ziet dat er als volgt uit

dV (t) = φ(t) dS(t) + r(V (t) − φ(t)S(t)) dt

= φ(t)(µS(t) dt + σS(t) dW (t)) + r(V (t) − φ(t)S(t)) dt

= rV (t) dt + φ(t)(µ − r)S(t) dt + φ(t)σS(t) dW (t). (3.2) De interpretatie die we aan iedere term in (3.2) kunnen geven, is:

• de term rV (t) dt geeft een gemiddeld onderliggend rendement r op de portefeuille weer,

• de term φ(t)(µ − r)S(t) dt geeft een risicopremie µ − r voor het investeren in de aandelen weer,

• de term φ(t)σS(t) dW (t) geeft een volatiliteitsterm proportioneel aan de grootte van de investering in de aandelen weer.

Om de rente r in te calculeren bij het bepalen van de huidige waarde van de aande-lenprijs en de portefeuille, bekijken we vaak de verdisconteerde aandeaande-lenprijs ¯S(t) := e−rtS(t) en de verdisconteerde portefeuille waarde ¯V (t) := e−rtV (t). Met gebruik van (3.1), (3.2) en de Itˆo-Doeblin formule (2.14) wordt de differentiaalvorm van de verdis-conteerde aandelenprijs gegeven door

d( ¯S(t)) = −re−rtS(t) dt + e−rtdS(t)

= −re−rtS(t) dt + e−rt(µS(t) dt + σS(t) dW (t))

en de verdisconteerde portfolio waarde door

d( ¯V (t)) = −re−rtV (t) dt + e−rtdV (t)

= φ(t)(µ − r)e−rtS(t) dt + φ(t)σe−rtS(t) dW (t)

= φ(t)d( ¯S(t)). (3.4)

We zien dat bij de verdisconteerde aandelenprijs het gemiddelde rendement verminderd wordt met µ − r en bij de verdisconteerde portefeuille waarde verdwijnt het onderliggend rendement r op de portefeuille en dus hangt de verandering in waarde van de verdis-conteerde portefeuille alleen af van de verandering in waarde van de verdisverdis-conteerde aandelenprijs.

Naast het hebben van een portefeuille, is er ook een hedgingstrategie nodig. Daar hebben we een zelffinancierende portefeuille voor nodig.

Definitie 3.2. (Zelffinancierende eigenschap) Als (φ(t), ψ(t)) een portefeuille is met aandelenprijs S(t) en obligatiekoers B(t), dan

(φ(t), ψ(t)) is zelffinancierend ⇐⇒ dV (t) = φ(t) dS(t) + ψ(t) dB(t).

Waar het op neerkomt is dat de verandering van de waarde van een zelffinancierende portefeuille enkel komt door je obligatie om te zetten naar aandelen en andersom. Er wordt van buitenaf geen extra geld in de portefeuille gestopt en opname van geld is ook niet toegestaan. Informeel kan er gezegd worden dat zo’n portefeuille de eigenschap heeft dat voor een infinitesimale stapgrootte in de tijd de waardeverandering van de portefeuille alleen komt door veranderingen in de aandelenprijs S(t) en obligatiekoers B(t).

De strategie die we zullen gebruiken wordt de replicating strategie genoemd.

Definitie 3.3. (Replicating strategie) Stel dat we ons bevinden in een markt met een risicovrije obligatie B en een risicovolle effect S met volatiliteit σ(t), en een claim X voor gebeurtenissen tot tijdtip T . Een replicating strategie voor X is een zelffinancierende portefeuille (φ, ψ) zo datRT

0 σ(t)

2_φ(t)2_{dt < ∞ en V (T ) = φ(T )S(T ) + ψ(T )B(T ) = X}

Als er zo’n portefeuille bestaat, dan laat een arbitrage argument zien dat de eerlijke prijs van de claim X op tijdstip t ∈ [0, T ] gelijk is aan de waarde van de portefeuille V (t). Anders zou er risicoloos winst gemaakt kunnen worden.

3.2. Eerste afleiding Black-Scholes vergelijking

Stel dat we de waarde van een optie willen bepalen. Omdat er allerlei verschillende opties bestaan, nemen we voor het gemak de Europese call optie. Met deze optie heeft de koper het recht, maar niet de verplichting, om een aandeel te kopen op een afgesproken tijdstip T tegen een vooraf besproken uitoefenprijs K ≥ 0. De vraag is: hoe kunnen we de waarde van deze optie op ieder tijdstip t bepalen zodat het enkel afhangt van de tijd tot aan de vervaldatum en de waarde van de aandelenprijs op tijdstip t? Uiteraard

spelen de overige parameters in het model, zoals de rente r, de drift µ, de volatiliteit σ en de uitoefenprijs K, ook een rol, maar beschouw je alleen de tijd en de aandelenprijs als de variabelen.

Laat het stochastische proces c(t, S(t)) de waarde van de call optie weergeven. Op tijdstip t = 0 weten we niet wat de waarde van de aandelenprijs op een latere tijdstip zal zijn en dus ook niet wat de waarde van de optie in de toekomst zal zijn. Het doel is het vinden van een formule c(t, S(t)) die de toekomstige waarden van de optie geeft in termen van de toekomstige aandelenprijzen. Met behulp van (3.1) en de Itˆo-Doeblin-formule in (2.14) is de differentiaalvorm van de optie waarde c(t, S(t))

dc(t, S(t)) = ct(t, S(t)) dt + cx(t, S(t)) dS(t) + 1 2cxx(t, S(t)) dS(t) dS(t) = ct(t, S(t)) dt + cx(t, S(t))(µS(t) dt + σS(t) dW (t)) +1 2cxx(t, S(t))σ 2_S2_{(t) dt} = h ct(t, S(t)) + µS(t)cx(t, S(t)) + 1 2σ 2_S2_(t)c xx(t, S(t)) i dt + σS(t)cx(t, S(t)) dW (t). (3.5)

En voor de verdisconteerde optie waarde ¯c(t, S(t)) := e−rtc(t, S(t)) geldt met behulp van (3.5) en de Itˆo-Doeblin formule in (2.14)

d(¯c(t, S(t))) = −re−rtc(t, S(t)) dt + e−rtdc(t, S(t)) = −re−rtc(t, S(t)) dt + e−rt h ct(t, S(t)) + µS(t)cx(t, S(t)) +1 2σ 2_S2_(t)c xx(t, S(t)) i dt + e−rtσS(t)cx(t, S(t)) dW (t) = e−rt h − rc(t, S(t)) + ct(t, S(t)) + µS(t)cx(t, S(t)) +1 2σ 2_S2_(t)c xx(t, S(t)) i dt + e−rtσS(t)cx(t, S(t)) dW (t). (3.6)

Een replicating portefeuille is een zelffinancierende portefeuille waarmee precies een claim kan worden afgedekt. Aan de hand van een replicating portefeuille gaan we de optie waarde bepalen. Dit wordt gedaan door ze aan elkaar gelijk te stellen, oftewel

d( ¯V (t)) = d(¯c(t, S(t))) (3.7) voor alle t ∈ [0, T ). Als de integraal van 0 tot t aan beide kanten wordt genomen van (3.7), dan geldt dat

¯

V (t) − ¯V (0) = ¯c(t, S(t)) − ¯c(0, S(0))

voor alle t ∈ [0, T ). De gewenste gelijkheid van optie en portfeuille waarde volgt uit de gelijkheid van de beginwaarden: ¯V (0) = ¯c(0, S(0)).

Laten we de gelijkheid in (3.7) nader bestuderen en analyseren. Dus φ(t)(µ − r)S(t) dt + φ(t)σS(t) dW (t) =h− rc(t, S(t)) + c_t(t, S(t)) + µS(t)cx(t, S(t)) +1 2σ 2_S2_(t)c xx(t, S(t)) i dt + σS(t)cx(t, S(t)) dW (t). (3.8)

Hieruit volgt voor de laatste term van (3.8)

φ(t)σS(t) dW (t) = σS(t)cx(t, S(t)) dW (t) ⇐⇒ φ(t) = cx(t, S(t))

voor alle t ∈ [0, T ). Het gelijkstellen van φ(t) aan cx(t, S(t)) wordt de delta-afdekkingsregel

genoemd en de kwantiteit cx(t, S(t)) heet de delta van de optie. Nu φ(t) = cx(t, S(t))

geldt voor de overige termen in (3.8) φ(t)(µ − r)S(t) dt =h− rc(t, S(t)) + ct(t, S(t)) + µS(t)cx(t, S(t)) + 1 2σ 2_S2_(t)c xx(t, S(t)) i dt ⇐⇒ rc(t, S(t)) = ct(t, S(t)) + rS(t)cx(t, S(t)) + 1 2σ 2_S2_(t)c xx(t, S(t)) (3.9)

voor alle t ∈ [0, T ). Wat opvalt, is de afwezigheid van de drift term. Later zul je zien dat dit te koppelen is aan martingalen onder de risico-neutrale maat Q. Maar voor nu volgt uit (3.9) de bekende parti¨ele differentiaalvergelijking, die de Black-Scholes vergelijking wordt genoemd. Waar we naar op zoek zijn, is een continue functie c(t, x) die de oplossing is van de Black-Scholes vergelijking

ct(t, x) + rxcx(t, x) +

1 2σ

2_x2_c

xx(t, x) = rc(t, x) (3.10)

voor alle t ∈ [0, T ), x ≥ 0, en die ook nog eens in ons geval voldoet aan de eindconditie van een call optie c(T, x) = (x − K)+ _{met K ≥ 0 de uitoefenprijs.}

Kort samengevat: hetgeen wat we wilden bereiken voor het bepalen van de op-tie waarde was dat de waarde van de replicating portfolio V (t) gelijk moest zijn aan de waarde van de call optie c(t, S(t)). Daarbij zagen we met de genomen aanna-mes dat V (t) = c(t, S(t)) voor iedere t ∈ [0, T ). Zowel V (t) als c(t, S(t)) zijn con-tinue functies, dus door het nemen van de limiet t ↑ T kunnen we concluderen dat V (T ) = c(T, S(T )) = (S(T ) − K)+. Op die manier hebben we succesvol een hedging-strategie gebruikt, zodat de eindwaarde van de replicating portefeuille overeenkomt met de eindwaarde van de Europese call optie. Zie appendix lemma (A.4). Daar wordt aan-getoond dat een Europese call optie inderdaad voldoet aan de Black-Scholes vergelijking onder bepaalde voorwaarden.

3.3. Verandering van kansmaat

Hoewel parti¨ele differentiaalvergelijkingen over het algemeen lastig exact oplosbaar zijn, is er in het geval van de Black-Scholes vergelijking wel een expliciete oplossing te vinden. Om tot die oplossing te komen, hebben we een aantal andere bouwstenen nodig.

Eerder zagen we in (3.1) de aanname dat aandelen gemodelleerd worden middels een geometrische Brownse beweging. Hierbij werd er niet expliciet vermeld dat dit onder de kansmaat P is. Als we deze kansmaat veranderen in een andere kansmaat Q, ook wel de risico-neutrale maat genoemd, dan verandert ons model voor de aandelen op een gunstige manier voor ons. Deze verandering zal het namelijk makkelijker maken om tot de oplossing te komen van de Black-Scholes vergelijking.

Definitie 3.4. Een kansmaat Q wordt risico-neutraal genoemd als

(i) P en Q equivalent zijn (d.w.z. voor iedere A ∈ F, P(A) = 0 ⇐⇒ Q(A) = 0), en (ii) onder Q is de verdisconteerde aandelenprijs een martingaal.

Deze nieuwe kansmaat Q zullen we nodig hebben om hieronder verwachtingen uit te rekenen. Deze verwachtingen gaan de prijzen van derivaten opleveren, zoals bijvoorbeeld de call optie.

3.3.1. De stelling van Girsanov

Als je een andere kansmaat gebruikt, dan zullen er andere regels gelden voor het stochas-tisch model van de aandeelprijzen in (3.1). Onder de nieuwe, kunstmatige kansmaat Q wordt de aandelenprijs gemodelleerd middels een net iets andere geometrische Brownse beweging. De exacte verandering wordt geformuleerd in de volgende stelling waarvan we het bewijs achterwege laten.

Stelling 3.5. (Stelling van Girsanov) Als W (t) een P-Brownse beweging is en γ(t) een Ft-voorspelbaar proces dat voldoet aan de voorwaarde EP

h exp  1 2 RT 0 γ 2_{(t) dt}i_{< ∞,}

dan bestaat er een kansmaat Q zo dat (i) Q equivalent is aan P;

(ii) dQ_dP = exp−RT 0 γ(t) dW (t) − 1 2 RT 0 γ 2_{(t) dt}_; (iii) ˜W (t) = W (t) +Rt

0 γ(s) ds is een Q-Brownse beweging.

Met andere woorden, W (t) is een Q-Brownse beweging met drift −γ(t) op tijdstip t. Dus als de maat verandert, dan verandert een Brownse beweging naar een Brownse beweging plus een bepaalde drift. De volatiliteit blijft hierbij onveranderd.

Ter verduidelijking, laat X(t) een geometrische Brownse beweging zijn met stochasti-sche differentiaalvergelijking

dX(t) = X(t)(σ dW (t) + µ dt),

waarbij W (t) een P-Brownse beweging is. Kies γ(t) = (µ − ν)/σ. Met gebruik van de stelling van Girsanov bestaat er een maat Q zo dat ˜W (t) = W (t) + ((µ − ν)/σ)t een

Q-Brownse beweging is. Dan wordt de stochastische differentiaalvergelijking van X(t) gegeven door dX(t) = X(t)(σ dW (t) + µ dt) = X(t)σd ˜W (t) −µ − ν σ dt  + µ dt = X(t)(σ d ˜W (t) + ν dt),

waarbij ˜W een Q-Brownse beweging is.

3.3.2. Martingaal representatie stelling

Met de introductie van de risico-neutrale maat Q weten we dat de verdisconteerde aande-lenprijs een martingaal is en hoe het stochastische model ervan uitziet onder deze maat met behulp van de stelling van Girsanov. Het volgende dat we nodig zullen hebben, is een manier om verschillende martingalen aan elkaar te relateren. Daar bestaat de volgende stelling voor.

Stelling 3.6. (Martingaal representatie stelling) Stel dat M (t) een Q-martingaal proces is met volatiliteit σ(t) die voor alle t ongelijk is aan nul. Als N (t) een ander Q-martingaal is, dan bestaat er een Ft-voorspelbaar proces φ zodanig dat

RT

0 φ(t) 2

σ(t)2dt < ∞ met kans ´e´en, en zo dat N kan geschreven worden als

N (t) = N (0) + Z t

0

φ(s) dM (s). Verder is deze φ uniek.

Opmerking: voor een continu proces moet de volatiliteitsterm van de Q-martingaal positief zijn.

Wat een stochastisch proces dat een martingaal is zo interessant maakt, is het feit dat de drift term komt weg te vallen. Deze eigenschap wordt weergegeven in de volgende stelling.

Stelling 3.7. (Een verzamelgids voor martingalen) Als X een stochastisch proces is met volatiliteit σ(t) (oftewel, dX(t) = σ(t) dW (t) + µ(t) dt) dat voldoet aan de conditie E h RT 0 σ(s) 2 ds 1 2i < ∞, dan

X is een martingaal ⇐⇒ X is driftloos (µ(t) ≡ 0).

Stel dat je de volgende stochastische differentiaalvergelijking hebt voor een exponen-tieel proces dX(t) = σ(t)X(t) dW (t). Om aan de conditie in stelling (3.7) te voldoen, moet er gelden dat EhRT

0 σ(s)

2_X(s)2_ds

1 2i

< ∞. Dit is nogal erg lastig om na te gaan. Gelukkig bestaat er voor zulke situaties de volgende stelling.

Stelling 3.8. (Een verzamelgids voor exponenti¨ele martingalen) Als dX(t) = σ(t)X(t) dW (t) voor een zekere Ft-voorspelbaar proces σ(t), dan

E h exp1 2 Z T 0

σ(s)2dsi< ∞ =⇒ X is een martingaal op tijdsinterval [0, T ]. Dit heet de voorwaarde van Novikov.

Merk op: de oplossing van de stochastische differentiaalvergelijking is X(t) = X0exp Z t 0 σ(s) dW (s) −1 2 Z t 0 σ(s)2ds  .

Uiteindelijk zal dit allemaal goed van te pas komen bij het vinden van de oplossing van de Black-Scholes vergelijking.

3.4. Alternatieve afleiding Black-Scholes vergelijking

Tot zo ver hebben we alle wiskundige gereedschappen bij elkaar verzameld die we nodig zullen hebben voor de alternatieve afleiding van de Black-Scholes vergelijking. Voor ons Black-Scholes model doen we de aanname dat de rente r 6= 0. De eerste reden hiervoor is dat r = 0 een versimpelde geval is. En de tweede reden is dat r 6= 0 meer overeenkomt met de werkelijkheid. Voor het vinden van een replicating strategie worden de volgende drie stappen ondernomen:

1. Het vinden van een maat Q waaronder de verdisconteerde aandelenprijs ¯S(t) een martingaal is.

2. Het vormen van het proces E(t) = EQ[B(T ) −1

X | Ft] zo dat dit een martingaal

wordt.

3. Het vinden van een voorspelbaar proces φ(t) zo dat dE(t) = φ(t) d ¯S(t).

Omdat we aan de slag gaan met de verdisconteerde aandelenprijs ¯S(t) = B(t)−1S(t), herhalen we even de stochastische differentiaalvergelijkingen ervan die we in (3.3) hadden gevonden:

d( ¯S(t)) = (µ − r) ¯S(t) dt + σ ¯S(t) dW (t).

Dit is dus de stochastische differentiaalvergelijking van de verdisconteerde aandelenprijs ¯

S(t) waarbij W (t) een P-Brownse beweging is.

Voor de eerste stap zijn we op zoek naar een maat Q waaronder de verdisconteerde aandelenprijs ¯S(t) een martingaal is. Laat γ(t) = (µ − r)/σ. Omdat γ(t) constant is, geldt er duidelijk dat EP

h

exp1₂RT

0 γ

2_{(t) dt}i _{< ∞. Vervolgens kunnen we met de}

stelling van Girsanov zeggen dat er een maat Q equivalent aan maat P bestaat zo dat de stochastische differentiaalvergelijking van de verdisconteerde aandelenprijs gelijk is aan

waarbij ˜W (t) een Q-Brownse beweging is. Dus de drift term is komen te vervallen en met gebruik van stelling (3.8) volgt dat ¯S(t) een martingaal is onder Q.

Voor stap twee zijn we op zoek naar een proces dat voldoet aan een verdisconteerde claim B(t)−1X en daarnaast ook een Q-martingaal is. Voor iedere verdisconteerde claim die alleen afhankelijk is van gebeurtenissen tot tijdstip T voldoet het proces E(t) = EQ[B(T )

−1_{X | F}

t], een voorwaardelijke verwachting, aan datgene waar we naar op zoek

zijn.

Onder maat Q is zowel de verdisconteerde aandelenprijs ¯S(t) en het proces van een verdisconteerde claim E(t) een martingaal. In deze derde en laatste stap kunnen we met behulp van de martingaal representatie stelling zeggen dat er een Ft-voorspelbaar proces

φ bestaat zo dat E(t) = EQ[B(T ) −1_{X | F} t] = E(0) + Z t 0 φ(s) d ¯S(s) = EQ[B(T ) −1_{X] +} Z t 0 φ(s) d ¯S(s).

In differentiaalvorm wordt dit dE(t) = φ(t) d ¯S(t). Wat nu nog ontbreekt, is de ver-disconteerde hoeveelheid aan obligatie. Stel dat deze weergegeven wordt als ψ(t) = E(t) − φ(t) ¯S(t). Op de vervaldatum T moet de portfolio waarde V (T ) gelijk zijn aan φ(T )S(T ) + ψ(T )B(T ) = B(T )E(T ) = X. Tot zo ver bestaat onze replicating strategie in het hebben van φ(t) aandelen en ψ(t) = E(t) − φ(t) ¯S(t) aan obligatie. Dus de waarde van de portefeuille is gelijk aan

V (t) = φ(t)S(t) + ψ(t)B(t)

= φ(t)S(t) + (E(t) − φ(t) ¯S(t))B(t) = φ(t)S(t) + (E(t) − φ(t)B(t)−1S(t))B(t) = B(t)E(t) = ertE(t).

Met behulp van de differentiaalvorm van de Itˆo-Doeblin formule in (2.19) met f (t, x) = ertx geldt

dV (t) = ft(t, E(t)) dt + fx(t, E(t)) dE(t) +

1

2fxx(t, E(t)) dE(t) dE(t) = rertE(t) dt + ertdE(t)

= E(t) dB(t) + B(t) dE(t).

Eerder hebben we met de martingaal representatie stelling laten zien dat dE(t) = φ(t) d ¯S(t). En met ψ(t) = E(t) − φ(t) ¯S(t) volgt dat E(t) = ψ(t) + φ(t) ¯S(t). Dus

als we dit nu invullen voor dV (t), dan komt hieruit

dV (t) = (ψ(t) + φ(t) ¯S(t)) dB(t) + B(t)φ(t) d ¯S(t) = φ(t)( ¯S(t) dB(t) + B(t) d ¯S(t)) + ψ(t)dB(t)

= φ(t) d(B(t) ¯S(t)) + ψ(t) dB(t) (met gebruik van (2.19)) = φ(t) d(B(t)B(t)−1S(t)) + ψ(t) dB(t)

= φ(t) dS(t) + ψ(t) dB(t).

Dus de portefeuille (φ(t), ψ(t)) voldoet aan de zelffinancierende eigenschap en zo hebben de replicating strategie gevonden waar we naar op zoek waren.

Conclusie: bij een Black-Scholes model wordt de prijs van een claim X gegeven door V (t) = B(t)EQ[B(T )

−1_{X | F}

t] = e−r(T −t)EQ[X | Ft], (3.11)

waarbij Q de martingaal maat is voor de verdisconteerde aandelenprijs B(t)−1S(t).

3.4.1. Call optie

Stel dat we ge¨ınteresseerd zijn in het bepalen van de prijs van een Europese call optie met uitoefenprijs K. Dan moeten we eerst de waarde van de replicating strategie bekijken op tijdstip 0 voor de claim (S(T ) − K)+, oftewel

V (0) = B(0)E(0) = er·0EQ[B(T ) −1_{(S(T ) − K)}+_{| F} 0] = EQ[B(T ) −1_{(S(T ) − K)}+_] = e−rTEQ[(S(T ) − K) +_{], (3.12)}

waarbij Q de martingaal maat is voor de verdisconteerde aandelenprijs B(t)−1S(t). Om-dat de waarde van de claim (S(T ) − K)+ alleen afhangt van de aandelenprijs op de vervaldatum T , hoeven we alleen de marginale verdeling van S(T ) te vinden onder maat Q.

We weten dat de aandelenprijs gegeven wordt door S(t) = B(t) ¯S(t). Dan geldt voor de stochastische differentiaalvergelijking van S(t) onder maat Q

dS(t) = B(t) d ¯S(t) + ¯S(t) dB(t)

= B(t)σ ¯S(t) d ˜W (t) + ¯S(t)rB(t) dt

= B(t)σB(t)−1S(t) d ˜W (t) + B(t)−1S(t)rB(t) dt = σS(t) d ˜W (t) + rS(t) dt.

Met gebruik van de Itˆo-Doeblin-formule is d(log S(t)) = 0 · dt + 1 S(t)σS(t) d ˜W (t) + 1 S(t)rS(t) dt + 1 2  − 1 S(t)2  σ2S(t)2dt = σ d ˜W (t) +r − 1 2σ 2_dt,