Orgaan van
de Nederlandse
Vereniging van
Wiskundeleraren
Maandblad voor
de didactiek
van de wiskunde
53e jaargang
1977/1978
no7
maart
EUCLIDES
Redactie: B. Zwaneveld, voorzitter'- Drs. S. A. Muller, secretaris - Dr. W. A. M. Burgers - Drs. F. Goifree - Dr. P. M. van Hiele - Drs. W. E. de Jong - W. Kleijne - Drs. D. P. M. Krins - Drs. J. van Lint - L. A. G. M. Muskens - P. Th. Sanders - Dr. P. G. J. Vredenduin.
Euclides is het orgaan van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren. Het blad verschijnt 10 maal per cursusjaar.
Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren
Secretaris: Drs. J. W. Maassen, Traviatastraat 132, Den Haag.
Penningmeester en ledenadministratie: Drs. J. van Dormolen, Lange Voort 207, Oegstgeest. Postrekening nr. 143917 t.n.v. Ver. v.
Wiskundeleraren, te Amsterdam.
De contributie bedraagt f 35,— per verenigingsjaar; studentleden en Belgische leden, die ook lid zijn van de V.V.W.L. f 21,—; contributie zonder Euclides 115,—.
Adreswijziging en opgave van nieuwe leden (met vermelding van evt. gironummer) aan de penningmeester. Opzeggingen vé5r 1 augustus. - Artikelen ter opname worden ingewacht bij Drs. G. Zwaneveld, Haringvlietstraat 9 11,
Amsterdam, tel. 020-7389 12. Zij dienen met de machine geschreven ie zijn.
Boeken ter recensie aan Dr. W. A. M. Burgers, Prins van Wiedlaan 4, Wassenaar, tel. 01751-13367.
Mededelingen, enz. voor de redactie aan Drs. S. A. Muller, Van Lynden van Sandenburglaan 63, Utrecht, tel. 030-71 0965.
Opgave voor deelname aan de leesportefeuille (buitenlandse tijdschriften) aan Dr. A. J. E. M. Smeur, Dennenlaan 17, Dorst (N.B.).
Abonnementsprijs voor niet-leden / 32,–. Een kollectief abonnement (6 exx. of meer) is per abonnement /18,50. Niet-leden kunnen zich abonneren bij: Wolters-Noordhoff bv, afd. periodieken, Postbus 58,9700MB Groningen. Tel. 050-16 21 89. Giro: 1308949.
Abonnees wordt dringend verzocht te wachten met betalen tot zij een acceptgirokaart hebben ontvangen.
Âbonnementen gelden telkens vanaf het eerst volgend nummer. Reeds verschenen nummers zijn op aanvraag leverbaar na vooruitbetaling van het verschuldigde bedrag.
Annuleringen dienen minstens één maand voor het einde van de jaargang te worden doorgegeven.
Losse nummers / 5,50 (alleen verkrijgbaar na vooruitbetaling). Advertenties zenden aan:
Intermedia bv, Prinses Margrietlaan 1, Postbus 371, 2404 HAAIphen a/d Rijn. Tel. 01720-6 20 78/6 20 79. Telex 33014.
Vakdidaktische notities
FRED GOFFREE
9 De eerste les
Regelmatig komen er op het IOWO mensen bijeen om problemen aangaande het wiskundeonderwijs te bespreken. Het zijn soms studenten, die nadere in-spiratie zoeken voor didaktische werkstukken, soms docenten aan heroriën-teringskursussen, die ter kadervorming komen, nu eens schoolboekenauteurs, die hun materiaal willen verrjken, dan weer schoolboekgebruikers, die hun mening erover willen toetsen, vandaag medewerkers van schoolbegeleidings-diensten en morgen een groep atheneum-leerlingen met hun docent, op zoek naar het 'onderwijs computercentrum'.
De groep, die mij inspireerde tot deze notitie, bestaat uit docenten aan de Nieuwe Leraren Opleidingen. Ubbo Emmius (Groningen, Leeuwarden), D' Witte Lelie (Amsterdam), Het Moller instituut (Tilburg), De V.L.V.U. (Am-sterdam), De ZUIDWEST Nederland (Delft), De S.O.L. (Utrecht) en De Gel-derse Leergangen (Nijmegen) zijn vertegenwoordigd. Men heeft zich geduren-de geduren-de laatste bijeenkomsten bezig gehougeduren-den met het basisongeduren-derwijs. Hoe zit dat nu eigenlijk precies met het rekenonderwijs van tegenwoordig, wat doet Wiskobas momenteel, is het mogelijk om een standpunt in te nemen ten op-zichte van beide aanpakken, en zou het gewenst zijn de studenten van de
NLO - toekomstige wiskundeleraren in LBO, MAVO, e.d. - ook in de gelegen-heid te stellen om tot een eigen standpuntbepaling te komen? De kennis van het basisonderwijs, hiervoor nodig, kan bovendien uitgangspunt zijn voor kollegiale diskussies over dit vakgebied geïnitieerd door toekomstige leraren met onderwijzers.
Wat is nu het verschil tussen die wiskundeleraar en de onderwijzer, die op basis-schoolnivo wiskunde onderwijzen? Deze vraag komt als vanzelfsprekend in zo'n diskussie naar voren. Tenslotte onderwijzen beiden aan kinderen, die - denk aan zesde klas en brugklas - in vele opzichten nauwelijks te onderscheiden zijn. Niettemin hebben wiskundeleraren, vooral zij die van de NLO komen, een totaal verschillende kennis van de wiskunde als de onderwijzer, die binnen zijn P.A.-opleiding een zeer klein gedeeltevan de tijd aan dit vakgebied heeft kunnen besteden.
Hoe dat laatste momenteel gebeurt, is voor een deel beschreven in het artikel 'Johan doet wiskunde & did a kti e k . *) . De kollega's van de NLO hebben dit
bestudeerd. Met enige bezorgdheid over de ongunstige situatie, waarin docenten en studenten moeten werken, hebben ze kennis genomen van de matematisch didaktische aktiviteiten van Johan, in het eerste jaar van zijn studie. Tot op zekere hoogte is ook duidelijk geworden wat kan worden verwacht van een onderwijzer, die aldus in zijn opleidingstijd is bezig geweest.
Dan richten we onze aandacht op de NLO-student. Wat willen we nu van hem verwachten, als hij na het beëindigen van zijn studie het (wiskundè)onderwijs ingaat? Een konkrete situatie kan misschien opheldering geven. We nemen de eerste pagina uit Moderne Wiskunde*) en stellen ons voor dat de jonge leraar zijn eerste les in de brugklas van een LBO-school gaat voorbereiden.
Wat verwacht je dan?
1 .1ti(uurIijle ett,Ib'n
1. 1 lr,Ii',,i,vIrs.r,,iI,frrs
I)eeoi:,IIon (1,1.2.3.4.3. ir,l,. eneesoert noemen stede Canon. getallen in(seo,alle,,.
We eten nu cern, tests rekenen niet dc eerste zes getallen ten deze rit. des it,O. 1. 2. 3.4 en 3.
Old deze itelallon kiin,,on ie 30 erinolsigs lilgi snee ernken. bij.
t 0 t heclJ 1
2-0=_0 2-1-3 2-4.9 2- 1-2 2 3 Is 2.5=10
loot kinitiol ton de (sioreneiiigsi Ilisinze md je in Je onder. sonde rOet 1 2 3 4 S 0 0 II II 0 (1 0. 1 2 3 4 3 2 0 2 4 Is S 10 3 1 0 3 Is 9 12 Ii 4 0 4 0 2 is 20 5 0 3 0 3 25) 20
l)ess,',kgnssss t, do roresoeine 14deC 2 - 4 md je in de tabel in rij nmn, een eis te 2 trant es in de senrhs;l kolen, int, ee, node 4 erbises. .
De eerste opmerkingen worden wat aarzelend naar voren gebracht:
Hij moet weten wat 'enzovoort' betekent. Hij moet de verzameling N in groter verband kennen. Eigenlijk moet hij de aksioma's van Peano eveneens kennen. Een globaal overzicht van de betekenis van rkIJ in het hele programma is zeer wenselijk.
Je moet je afvragen of de leraar alleen maar naar die eerste pagina's zou kijken. Een analyse van de hele leergang vooraf is zeer nodig. Misschien wil hij dit boek wel helemaal niet gebruiken. Of wil hij alleen maar heel anders beginnen dan op pagina 1 is aangegeven.
We realiseren ons dan ineens de grote afstand die we nu kreëren tot de bedoelde konkrete situatie. Met een herformulering van de gestelde vraag blijken we deze
afstand wat kleiner te kunnen maken: 'Hoe gaat de leraar zich nu voorbereiden. Morgen moet die eerste les, met dit boek, gegeven worden'. Opmerkingen over te gebruiken didaktische werkvormen, uitleg, ofening, kunnen ze deze tekst lezen, zal ik ze die bladzijde wel laten lezen ed. worden naar voren gebracht. Dan opeens komt er een stem uit de LBO-praktijk: 'eigenlijk interesseert dit de leerlingen in 't geheel niet'. Ze zullen het niet lezen, ze zullen niet echt luiste-ren als je het vertelt... Met het woord motivatie, dat begrijpen we allemaal wel, is slechts het didaktische probleem geïdentificeerd. Een oplossing zal nu nog gevonden moeten worden.
Hoe komen we aan een instap, die de leerlingen wèl motiveert en aktief laat worden? Iemand heeft een suggestie: begin met een honderdveld en laat de kinderen een begin maken met de invulling. Dat er 100 getallen op kunnen, is in een eerste gesprekje naar voren gekomen. Op het bord staat ook een 10 x 10 rooster. Dit wordt ook voor een deel ingevuld. Dan komen een aantal gerichte vragen, zoals: waar komt straks 100? En waar 50? En waar 65? En hoe weet je dat? Wat staat er boven 34? En eronder? En rechts ervan? Na het vèlledig in-vullen gaan we eens met kleur een aantal patronen ontdekken. De tafel van 4, hoe ziet die eruit op het veld? En hoe komt dat? Wie begrijpt dat de tafel van negen juist dit patroon geeft? Negenvouden, viervouden, zesvouden + 1 ed. komen ook aan de orde .
Na een dergelijke verkenning van de natuurlijke getallen onder de 100 zou je kunnen proberen verder te komen, voor sommige leerlingen helemaal op mentaal nivo, anderen zullen wellicht willen blijven tekenen: 'Neem eens een rooster van 1000 x 1000. Hoeveel getallen erop? Waar staat 1 miljoen? Waar de tafel van 999? Zie je iets bizonders aan die 999-vouden? Hoe zou dat komen?' Bij een toelichting op het woordje 'enzovoort', dat hiervoor een der kollega's naar Peano deed wijzen, wordt het 'miljoenveld' uitgebreid tot 'het hotel met oneindig veel kamers'*). U kent dat wel; het hotel is vol en toch kunnen u, alle leerlingen van de school, zelfs oneindig veel vertegenwoordigers van alle moge-lijke zonnestelsels nog een kamer krijgen. Een karakteristiek onderscheid tussen de steeds groter wordende 'x-velden' en de oneindigheid van M.
De voorgaande honderdveldenkontekst inspireert een kollega tot een andere aanpak. Neem de plattegrond van een autobus en kijk naar de nummers van de zitplaatsen. Welke nummers, hoe is genummerd? Op welke nummers zitten de *) Zie: N. Ya. Vilenkin, Stones about sets, Ac. Press 1968.
met een kruisje aangegeven personen? Als de plaatsen op 'die' manier genum-merd zouden zijn, welke plaatsen zijn dan aan het raam. En wie ziet direkt of nr. 17 een plaats aan het raam is? Hoe zie je dat? .
1
I!IIIIi11 II I(JJ
iiiîI!II1!IU!
De autobus kan een trein worden (zoals het honderdveld een miljoenenveld werd), de trein steeds langer. Huisnummers in een (straks oneindig) lange straat laten ook nogal wat mogelijkheden toe. Het onderscheid tussen even en oneven, het feit dat alle viervouden even zijn en alle viervouden + 1 aan de overkant liggen zijn nu konkrete zaken, die wellicht in een probleemsituatie naar voren kunnen komen. Overigens kan de eerder genoemde 'hotelproblematiek' gevisu-aliseerd worden in de oneindig lange straat: 'alle mensen aan de "oneven kant" verhuizen naar de overkant (n -+ 2n) en de mensen aan de "even kant" schuiven op (n - 2n), waardoor oneindig veel woningen Vrij komen'. Maar dat kan alleen in die oneindig lange straat!
De stroom van ideetjes moet onderbroken worden, we wilden tenslotte iets op-merken over het kunnen van de jonge brugklasleraar.
Het laatste stukje wiskundig didaktïsche fantasie zou je ieder leraar willen toe-dichten, maar wie durft dat? En wie besteedt in de opleiding aandacht aan dit soort didaktiek op de vierkante meter?
Achteraf, in mijn geval bij het uitwerken van deze notitie, wordt pas duidelijk dat er met de fantasie rond 'de eerste les' een essentieel onderscheid tussen wis-kundeleraren en onderwijzer (die wiskunde geeft) naar voren is gekomen. En tevens dat dit verschil duidelijkheid verschaft over de mogelijke samenwer -king tussen beiden. De onderwijzer is meester op het gebied van de konteksten en instapproblemen, de leraar is deskundig op het terrein van de belangrijke wiskundige leerstofgebieden en strukturen. Anders gezegd: 'de onderwijzer vindt de "kontekst van de autobus" uit en de leraar voegt er een oneindig lange straat aan toe.
Relaties tussen computer en voortgezet
onderwijs
GUUS VONK
Het 'waarom niet' van dit artikel
Zaterdag 12 maart 1977 organiseerden de Nederlandse en Vlaamse verenigin-gen van wiskundeleraren een gemeenschappelijke studiedag over 'zakreken-machientjes en computer met betrekking tot het onderwijs'.
In de ochtenduren onderhield de Vlaamse spreker Frank Laforce de aanwezigen op zijn zo eigen wijze over het gebruik van het 'rekendoosje' in de wiskundeles. Na aperitief en lunch vervolgde schrijver dezes met een verkenning op de ver-schillende terreinen waar computers en onderwijs elkaar ontmoeten.
Na afloop werd hem gevraagd schriftelijk verslag te geven van de middagzitting en, opgelucht als hij was na twee uur achtereen in touw geweest te zijn, zei hij 'ja' tegen degene die hem op zo'n zwak moment de hand schudde. Achteraf pas realiserend dat er helemaal geen lezing op papier stond. Geen betoog waarin het hoe en waarom van enige zaken haarscherp wordt uiteengezet. Het was een demonstratie van verschillende toepassingen van computers in het onderwijs en voor velen van de aanwezigen was het een eerste kennismaking.
Juist de gevoelens en de reacties die een dergelijke confrontatie oproept zouden in dit verslag naar voren moeten komen. Maar die zijn de schrijver niet met zeker-heid bekend. Hij was te druk met het starten van apparatuur en het verwisselen van overhead-transparanten. De demonstraties zijn bovendien moeilijk op papier te krijgen. Het komt overeen met het geven van een paar foto's, waar alleen een film de beweging tot zijn recht kan laten komen.
Tenslotte kan het beschrijven van de ontspannen sfeer in de zaal gemakkelijk de indruk geven dat er sprake was van een briljant redenaar. Het was daarentegen juist het publiek dat de voorstelling maakte: spontane opmerkingen uit de zaal op het juiste moment, welwillend stappen in uitgezette valkuiltjes en wat gespeelde verbazing als men er zelf weer uitgeklommen was.
Kortom, een aantal redenen waarom dit verslag beter niet geschreven had kunnen worden, vooral niet door de inleider.. Toch verschijnt het nu op papier. Vat u het bij voorkeur op als eerbewijs aan het gemengd Vlaams-Nederlands gehoor, dat in het getal van rond de honderd in een te kleine zaal zijn vrije zaterdag opofferde.
Hulpmiddelen in het onderwijs
als hulpmiddel in ons onderwijs. Een van de vele hulpmiddelen, want we kennen er zoveel: cijferboekje, rekenliniaal, lesrooster, klaslokaal, schoolbibliotheek, krijt, schooladministratie, logaritmetafel, leerboeken, schooltelevisie, pen, pa-pier, woordenboeken, schoolbord, schoolgebouw, enzovoort. In deze sfeer wordt de laatste jaren de computer ook veelvuldig genoemd. We realiseren ons dat soms plotseling bij het ontmoeten in sommige leerboeken van pagina's als in de figuren
1 en 2.
LrI ,(
-\ flIIIIlI' 1111101.110 IT h'llrilll'fl III hIld IS lOL OOIIIliOflR III i 21 -0 II, .- 4 II. 4 110111 IslIl III 0 lhecflEpUIEIlO hnd
1
1
1+ 1 d
SPRINT SOMS SOLUTIONS OF 2*003T+4 -Moor 0 FOR T S TOTO SOEP
20 LET Vl-2*O4ll0 00 PRINT "8 , 0".' T
Ex
1 11111 111,1111 .111 IIIiIIIII 11111 IIflI;I•,IIII 8 li1117 1;; III 11111
2 (© Scott, Foresman and company Glenview, lilinois 60025)
1 en 4 (© J. M. Meulenhoff NV., Postbus 100, Amsterdam. ISBN 90 280 22821) 3 (© Gerrit de Jager, Nic. Beetslaan 17, Amstetveen)
4
Spotprenten als de plaatjes 3 en 4 geven toch iets weer van de verborgen angst die ook leerlingen en leraren voelen als machines bepaalde taken gaan over-nemen.
En over welke machines hebben we het'? Miljoenen kostende en grote zalen vullende configuraties of mini-computers van rond def 100.000?
Het voorvoegsel 'mini' wordt hierbij duidelijk anders bedoeld dan in de mini-programmering van de Vlaamse voordracht van vanmorgen. Hollanders zijn blijkbaar wat preutser.
Het valt buiten de orde van deze lezing om de verschillende soorten apparatuur hier te definiëren. Wel zal ik trachten het terrein van de onderwijshulpmiddelen te structureren, volgens de ideeën van de praxeologie van Kotarbinski, om daarna computertoepassingen en automatiseringsaspecten in deze structuur te plaat-sen. We nemen de minst agressieve leerling van plaatje 3 en willen hem zekere parate kennis, vaardigheden, inzichten en gedragslijnen bijbrengen. Dit laatste samen te vatten in één woord 'leerstof'.
Jeer
stof
(
ffllt
1
, 9
Er is in plaatje 5 geen poging gedaan om dit abstracte begrip teconcretiseren, maar u kunt het zich wel voorstellen: de leerling en zijn leerstof. Maar moeilijker is het in te denken dat er iets gebeurt tussen die twee als er op het plaatje niet meer aanwezig was. Met andere woorden, een leerproces is slechts mogelijk als er hulpmiddelen zijn. Deze hulpmiddelen kan men onderscheiden in media door middel waarvan de leerstof zich 'vertoont' aan de leerling en de zaken die de leerling gebruikt om van zijn kant greep te krijgen op de leerstof of die greep te versterken. In de eerstë categorie kunt u zich indenken: het leerboek, de leraar in de rol van overbrenger van leerstof, schoolbord en krijt, werkboeken. werk-kaarten, schooltelevisie en talenpracticurn. Van de tweede soort zijn hulpmidde-len als: pen en papier, logaritmetafel, rekenliniaal, woordenboeken en zakreken-machine.
En hiermee komt, als alles goed gaat, het leerproces op gang. Het leerproces van de individuele leerling; het microniveau (plaatje 5).
Het leerproces behoeft in het algemeen begeleiding. Hier treedt de leraar op in een andere rol: de bestuurder van enkele tientallen leerprocessen; het mesoniveau van de klas of de groep. Ook de interactie tussen leerprocessen en bestuurder zou slecht op gang komen als er geen hulpmiddelen waren. De leraar neemt schriftelijke of mondelinge vorderingentoetsen af. Hij noteert resultaten in een cijferboekje. Hij beschikt over aanwijzingen en materialen om geconstateerde gebreken van het proces op te heffen. Ook het leerproces, dat wil zeggen de leerling als bestuurder van zijn eigen leren, heeft hulpmiddelen als: zeifdiagnos-tische toetsen, aanwijzingen voor herhalingsstof, e.d. Plaatje 6 hoopt dit onder-wijsproces symbolisch weer te geven.
44
De onderwijsprocessen die wij hier op het oog hebben komen tot stand binnen een onderwijsorganisatie. Voor het huidige betoog is het niet nodig om het begrip onderwijsorganisatie nader uit te splitsen. School, bevoegd gezag en ministerie van onderwijs beschquwen we nu maar als één laag: het macroniveau. Het onder-wijsproces staan 'hulpmiddelen' ter beschikking om greep op de organisatie te te houden: verslaggeving, schriftelijk of mondeling, bijvoorbeeld in de leraars-vergadering, rapportcijfers, e.d. De onderwijsorganisatie heeft weer hulpmidde-len om het onderwijsproces te ondersteunen: lesrooster, groeps- of klasse-indelingen, schoolwerkpian, lokalen en andere ruimten, salarissen, enzovoort (plaatje 7).
, Q5
U
Ja
dl 4De bovengeschetste structuur zal niet een ieder treffen als het einde der wijsheid. Zo is het ook niet bedoeld. Door dit eenvoudige schema te hanteren bij ons onder-zoek naar computers in het onderwijs, zal het gemakkelijker zijn verschillende toepassingen te onderscheiden en te plaatsen in het onderwijsgebeuren. Waar mogelijk zullen de voorbeelden gekozen worden uit het wiskunde-onderwijs, ten gerieve van de aanwezigen.
Computers in de onderwijsorganisatie
We lopen nog een keer door het schema, voor de verandering nu in omgekeerde •richting; van onderwijsorganisatie naar leerling.
Geautomatiseerde salarisadministratie kennen wij als leraren al.
Verder zien velen van hen die kostbare zomerdagen besteden aan het opstellen van lesroosters uit naar de dag waarop computers dit werk op perfecte wijze kunnen overnemen. Die perfectie is helaas nog niet bereikt, maar de ontwikke-lingen zijn hoopvol.
Wel al volledig ontwikkeld en op sommige scholen in gebruik, zijn programma's voor het samenstellen van leerlingengroepen, lessenclusters, zoeken van blok-uren, reproduceren van rooster- of leerlinggegevens. In de volgende voorbeelden zien we achtereenvolgens: een persoonlijk lesrooster voor een leerling, een groeps-lijst voor het leervak wiskunde 1 (WE) en een opgave aan een basisschool van de resultaten na een jaar van de door die school geleverde leerlingen met het oor-spronkelijke advies (hoeveel scholen van voortgezet onderwijs verlenen zo'n dienst?). (Plaatjes 8, 9 en 10.)
De computer en het onderwijsproces
- S.Ç.S LL:US 1976177 0 6 0.5. SIELLIV
92141190 yF.A20rpn
1 100ALD VAN AALST 2 3€RRY AAl
04 004
62 T
2 'IE 54 OOR130ER 2 30 60 LOO 4A9 3.. JATISSEN 1 ME 30 40V 610 1 SNIKRENNUNG 6 10 t SN1 II TIN 1281 64 8 2 VRIJ 4 VI 01 t_Uh_jA.. 8161 :p1ç..eAç II 41 1.1 2 EM 74 HELLIORERERS 2 VE 43 0.0 6 0 VRIJ 4 MA 52 lIK - NA 96. SIKKOS 6, 0 4 8 t VRIJ 8 0 4 68€AS 8
S. 81. NELL1US I97677 8 6 S.G.SIELLIUI 4E 5 OETEP.O 1 600.1575 VE33ETEAO t
14 JANSSEN 00010 0 ME JANSSEN t t ROIVLO VAN *0151 S 7 NELlE 2 2 IESI.Y AAVTS 2 00 P101 3 1 PEEP. AP.115E 3 tO 491,0 0 t, 4 HAlS BLOEMEN 4 12 56791 5 S 1019 DV SLOK 5 14 RUUS 6 S 0(991 VAIIRMIVER 6 15 OOIEN. 7 11 2EHVP CR001 7 16 20*9 8 t] PETOP. i RNsTING 9 17 JAN 61 S IN MDIIE 21 ROT
9
S. lt.S'iEL t $ A.STBLVBEN. 0126(05 PIM AAS (ERSTE RAPPORT ,JVOA(NSLN 1974
141 1100VAOG JIT0A.N AANTAL LEERLINGEN! 18
0406 66 LINSLINI, l*T0CiI 11€ LA A Mi LA -*201(1 9AUG66»5 ADVIES OASISSCMOOL 21 05 CMIII! A.O.., i( 1600 IJPIETEUII! MAAT
* zz,sAoJp.or-- A 8'%, T T P. IOT,LTOLU,iI.l 60 *22 66 RONALD t.C..öa *N'IS LIII e 1, 8 6 650 IIIOLCOUnI 7 T 1t 0*60 OUT-POlO 11100 1121 iN 64006$ •.04.SJ 9820 IN 80119 _.__ 8 8 00V-HAlT 5 lOO.I!210 MAVO 1.010 9120 S A'0ITMT 8 5 1480 PA l0-'AlO .12 ::: : 11423 08 MON Xlii 4 T ML 7 ONnO 0e 0 26 09 MARIO! V 101 .5
seerd wordën. Tot nu toe blijkt dit alleen 'lonend' bij een groot aantal leerlingen met een grote overeenkomst in studiepakket. Bijvoorbeeld eerste- en tweede-jaars studenten van colleges en universiteiten in Noord Amerika. Men spreekt daar van Computer Managed Instruction (CMI) wat vertaald zou kunnen worden in 'computer gestuurd onderwijs'. Hierbij wordt de computer ingeschakeld voor - selectie van het meest geschikte cursusprogramma
- meten van dc voortgang van het Icerproces - selectie van herhalingsstof en extra oefeningen:
Als voorbeeld kan helaas hier slechts getoond worden het aspect van de vorde-ringen - vierkeuzentoets. U ziet een kaart waarop leerlingen per vraag hun keuze kunnen aangeven met nog de mogelijkheid een keer van gedachten te ver-anderen. Het computercentrum verwerkt deze kaarten en geeft
- opgave per leerling van resultaten (onjuiste antwoorden, versie-aanduiding en aantal juiste antwoorden)
- overzicht per klas van de antwoorden per vraag (item) en het percentage goede antwoorden
- overzicht per toets (mogelijk meer dan één klas) waarbij bovendien per item een aanduiding voor de discriminerende waarde: de mate waarin de resultaten van een item overeenkomen met die van de gehele toets
- een frequentieverdeling van de aantallen goede antwoorden.
PROJEIT - NATLEREUNOK 11 020 r7±!
NAAM Stto&fI k.+,.. LERAAR
LERRLINGNUMMER. TOETRVNRSIR• jL1±17!1.0 SPS!Ol 203.27 GEN 19-EI
..=1==2==3==4=- ..-6==1=E-4==8= = 2 3 4 t. 'l '8 9 N4202000 10601 3UKSLSEMK 1936/1977 roerSvERslÉ 81 :81, =0= 0 50 S 40 0 8 DLEEG 05 01 0 64.1 .478 NIET 01066651 RICO 66fl VETO DR ANT000ROE'O Door Us VEN DR •OV(NSTEVAOIJRS ANDeR TE MAKEN WIL IR 1181 ANTWOORD VERANOEROS. MAAK DAS RON -
2 3 3 0 02F 0 3 228 4 1 0 95.8 96.3 .302 '.315
VEN DE ONDERSTE 406265 DOODT 4 216
• 0 4 : ! 5 0 91.1 '.289 • 8 37 4 88' 70 3 51.6 IE 3 06 IS 99 2 80.0 +390 • • 13 75 67 RA 19' : : 1 0 1 11 • 22 1' I7 9F 7 8 4.0 339 212 : 11 •2. 30 88' 11 12
We zijn inmiddels weer afgedaald tot het microniveau van de leerling en zijn leer-
stof.
- •M •
ke
r- -.4—.-1 13
Computer en automatisering zullen in dit plaatje op drie plaatsen worden inge-vuld:
- computer en automatisering als onderwerp van het leren - computer als hulpmiddel van de leerstof
- computer als hulpmiddel voor de leerling.
De vierde mogelijkheid, 'de computer als leerling', laten we in dit verhaal buiten beschouwing. Aan de drie invullingen wijden we evenzovele paragrafen. Computers als 'leerstof'
Eerst een voorbeeld om aan de hand daarvan enkele begrippen te kunnen toe-lichten. Een opgave uit het boek 'Computerkunde', Görts c.s.
Iemand wil een uitkijktoren bouwen. Een liften-fabrikant raadt hem een bepaald type lift aan, met een kooi die 20 mensen kan bevatten. De snelheid is zo, dat bij de voorgenomen hoogte van de toren de lift per minuut precies één maal op en neer kan. De vraag van de bouwer is nu hoe groot de bovenetage gebouwd moet worden. M.a.w. is er enig inzicht te krijgen in de aantallen kijkers boven in de toren bij een wisselende bezetting van de lift.
Omdat de toren nog niet bestaat, kunnen we niet in de werkelijkheid gaan kijken. We simu-leren nu de situatie met behulp van een com-puter, in de verwachting dat de lift bij elke op-of neergang een willekeurig aantal, maar niet 14 meer dan twintig, personen bevat.
(© Woltefs Noordhoff bv, Postbus 58, Groningen. ISBN 9001 341527)
Leerlingen geven in eerste instantie een oplossing die er ongeveer als volgt uitziet: START
boven =0
r
tijd IT.E.M.60op GOK (0,20)
neer GOK (0,20) boven boven + op - neer
SCHRIJF tijd, op, neer, boven
HERHAAL KLAAR
bruikte taal. Oninteressante details zijn weggelaten. Variabelen zijn aangeduid met woorden in kleine letters.
Een hoofdletterwoord heeft een vaste betekenis die bekend is aan de automaat. Voor degenen onder u die iets dergelijks voor het eerst onder ogen krijgen een korte verklaring. De variabele boven begint met de waarde nul, de variabele tijd doorloopt de gehele waarden 1, 2... 60. Voor elk van deze tijdstippen wordt
het aantal op- en neergaande mensen bepaald door een toevalsgetal (GOK) uit
10, 1...20} en daaruit het aantal kijkers boven. Dit lijkt een redelijke weergave
van de situatie totdat de leerling de resultaten ziet van zijn denkarbeid.
1 :i. :: 0 :1. 2 17 19 :10 3 15 15 10 4 :10 14 6 5 :10 0 :16 6 4 19 1 7 .15 2 4 8 :1.4 :15 13 9 :1 1:1 3 10 9 :13 -1 :1.1 19 .i::' 12 20 3 :18 13 :16 9 25 14 J. 7 16 26 15 3 19 10
Natuurlijk bedoelt de leerling het niet zo en hij verbetert het programma bijvoor-beeld als volgt:
START
boven 0
r-
tj(I IT.E.M.60op
=
GOK(0,20)neer GOK (0,20)
boven boven + op
-
neerALS boven <0 DAN boven 0 SCHRIJF tijd, op neer, boven
HERHAAL KLAAR
De toegevoegde regel zal ALS boven negatief mocht uitvallen daaraan de waarde 0 geven. Het resultaat is:
Ld o nepr bovr 1 :12 0 12 2 17 19 :10 3 :15 15 10 4 10 14 6 S 10 0 16 6 4 :1.9 :1 7 15 2 14 8 14 :15 13 9 :1 :11 3 10 9 13 0 :11 19 :17 2 12 20 3 :1.9 :13 :16 9 26 14 .17 .1.6 2 7' is :i 19 :1:1 16 0 20 0 17 12 15 0
Als onzeopdrachtgever erg oplettend is, zal hij ontdekken dat de rekenkundige relatie tussen de kolommen niet meer klopt, bijvoorbeeld op tijdstip 10. Maar dat is gemakkelijk in orde te krijgen door bijvoorbeeld de kolom neer hier en daar aan te passen. Maar onze opdrachtgever kan meer fundamentele bezwaren aanvoeren. Ziet u het ook?
(Uit de zaal kwam al snel de oplossing:) Op tijdstip 2 gaan er 19 mensen naar naar beneden terwijl er even te voren maar 12 boven waren. Dat betekent dat er 7 bezoekers direkt na aankomst boven weer naar beneden zijn gegaan. (Uit de zaal: die waren in het verkeerde gebouw!; Ze hebben hun portemonnaies naar beneden laten vallen!) En dat geldt niet alleen voor tijdstip 2 maar voor vrijwel de totale lijst. En zoveel portemonnaies is wel erg onwaarschijnlijk. Ook leerlin-gen zien dit in en verbeteren het programma door nooit meer mensen naar be-neden te laten dan er even te voren aanwezig waren.
op = GOK (0,20)
neer GOK (0,20)
ALS neer > boven DAN neer boven boven hoven + op - neer
SCHRIJF tijd, op, neer, hoven
11'
trJ or neer hoven 1 12 0 12 2 17 12 17 3 15 15 17 4 10 14 13 5 10 0 23 6 4 :L9 8 7 15 2 21 8 14 15 20 9 1 :11 10 10 9 10 9 11 19 9 19 12 20 3 36 13 16 9 43 14 :17 :16 44 15 3 19 28 1.6 o 20 :1.6 17 :12 :15 13 17 ll
(© Wolters Noordhoff bv, Postbus 58, Groningen. ISBN 9001 341527)
We zien nu dat het grootste aantal kijkers door deze ingrepen is gestegen van 26, naar 27, naar 44. Als de opdrachtgever op dit resultaat afgaat, en een toren bouwt voor zeg 50 bezoekers is het resultaat waarschijnlijk plaatje 18.
Ons programma mag dan de uitkijktoren simuleren, maar beslist niet voor een heldere zonnige tweede Pinksterdag. Effecten van het weer, of van reclame zijn
nog helemaal niet in de beschouwing betrokken. Bovendien komt het ook in de laatste oplossing nog voor dat bezoekers maar één minuut boven blijven. Dat is een onwaarschijnlijk kort bezoek. Dat komt omdat we alleen rekening hebben gehouden met het bevattingsvermogen van de lift en niet met de tijd die een bezoeker gemiddeld van het uitzicht wil genieten.
Het verschijnsel automatisering speelt een grote rol in onze maatschappij. Of wij daarvan nu voor- of tegenstander zijn, het is een noodzakelijk deel van de maat-schappijvoorbereiding van onze leerlingen om enig gevoel op te doen voor een zo'n belangrijk verschijnsel. Brengen we de leerstof met de praktische aanpak die uit ons voorbeeld blijkt, dan is de vormende waarde nog veel groter.
Er ontstond een negatief aantal kijkers in de eerste oplossing.
De leerling reageert met: Dat bedoel ik natuurlijk niet'. Maar bij deze leerstof kan jij niet met een breedsprakig betoog verduidelijken of versluieren wat dan wèl de bedoeling was. Hij zal zijn gedachten moeten uitdrukken in ondubbel-zinnige werkbare eenheden. Men spreekt wel van operationele instelling. Het 60-maal achtereen uitvoeren van het afhandelen van op- en neergang van de lift is een kwestie van routine, maar het opstellen van zo'n oplossing allerminst. Het streven om routineaspecten te ontdekken en deze weer te geven in een-duidige voorschriften (algoritmen) noemen we een algoritmische instelling. Deze algoritmiek is waarschijnlijk de belangrijkste algemene vorming die van com-puterkunde uitgaat.
Het aanpakken van problemen zoals hier geschetst, taakverdeling onder leer-lingen, afspraken onderling over de contactvlakken van de deeloplossingen, alle mogelijke gevallen onderscheiden en het kiezen van beschikbare middelen, dit alles kweekt organisatievermo gen bij de leerlingen aan.
Uit het voorbeeld bleek ook hoe leerlingen in programma's een soort afbeelding van de werkelijkheid maken, een rekenkundige representatie die voor herhaalde verbetering vatbaar was, maar waarvan ook de beste versie nog resultaten op-leverde die met veel voorzichtigheid naar de werkelijkheid terugvertaald moeten worden. Men spreekt van een. model van de werkelijkheid.
De leerstof geeft algoritmisch inzicht en inzicht in het modelbegrip, kweekt organisatievermogen aan en stimuleert een operationele instelling.
(Naar aanleiding van opmerkingen uit de zaal:) De hier getoonde oplossingen van het torenprobleem zijn echt gecreëerd door 15-jarige leerlingen en niet door een leraar voorgeschoteld. Het is een genot om te zien hoede resultaten verkregen door middel van de computer de kritische zin van jonge leerlingen tegenover hun eigen werk stimuleert.
De computer als hulpmiddel van de leerstof
In de groep van leerboek, schoolbord en krijt, schooltelevisie en talenprakticum, wordt ook de computer gebruikt als medium om leerstof toegankelijk te maken voor de leerling.
In het algemeen ziet men deze toepassing als - vervangend klassikaal onderwijs
- herhalingsonderwijs voor leerlingen die de reeds behandelde stof zijn vergeten - gedeeltelijk als toetsing.
Als Nederlandstalig voorbeeld uit het wiskunde-onderwijs heeft Professor dr. L. de Klerk van het Pedagogisch Instituut van de Rijksuniversiteit Leiden een werkstuk ter beschikking gesteld.
Het gaat hier uitdrukkelijk om door leraren geschreven ontwerp-lessen voor hun leerlingen van het lager technisch onderwijs. Dit voorbeeld van Computer Assisted Instruction (CAI) pretendeert dus zeker niet volmaakt te zijn maar geeft ons wel een aardige indruk van de toepassingsmogelijkheden.
1 n bi ii na
Dit is Je eerste les wiskunde.
Het onderwerp dat we behandeber, is ' 'oriaineei er, hee:Ld' Denk er om, dat Je steeds doed leest wat er staat. KiJk ook aoed naar wat aevraaad wordt.
Vul antwoorden in anhter de dubhelpunt. Druk na het antwoord op de toets 'return'
7 10 S 8 11 4 6 10 16 23 3
Lie 8etallen i n ,te linker- kolom noemer, we het o T' i 8 i r1 e e 1,
De 9etaller, in de rechter kolom noemer, we het b e e 1 d. Op de eerste re8el is 2 het ori8ir,eel er, 5 het beeld. Het beeld is hier dus 3 meer dan het oriaineel. [lat is ook 20 OP de tweede re8el.
Het beeld van 7 is 7+3 = 10.
Wat is het beeld var, 5 op de deT'de ,e8el?
(Het apparaat wacht nu totdat het antwoord is ingetikt)
Juist. Het beeld van 5 is 8.
19
Het televisiescherm houdt het bovenstaande beeld enkele seconden vast, waarna het wordt uitgewist. Een nieuw beeld verschijnt:
2 5 7 10 5 8 11 4 6 10 16 23 3
Wat is het beeld van 11? 13
Fout, Het beeld is 3 meer, dus ... 14 In orde.
Wat is het beeld ver, 4 T 7 Goed Sedaar,,
Wat is het beeld van 6 in bovei'istaand overzicht? 9 rat is ,,med.
We slaan nu een stukje van de les over.
Het beeld is 3 meer
Hel oriej.,,eei is diii 3 sinds,', Or,t,houd d.L 1 5od
Wat is t,et oritirieel van 16 7 13 Jij! st 7 10 1 8 4 to 16 23 3
Wat is het oridir,eel van 8 -? : ii
Nee. Het beeld is 8. Het or'idin,eel is 3 minder. intwoo rd osni euw • 3
Toe nou, 83 5.
Wat 'is het onidirieel ver, 23? 20 Juist.
Wat is het ori8ineel ver, 3 ce de laatste re8el? :1 Hee toch. Het ori8ir,eel is 3 minder.
dus 3 - 3 -,,. 0
21 (N.B. Dit is een hoofdietter 0 i.p.v. een nul)
Nee, lie 0 zit oe de bovenste rij van je toetsenbord.
Ër volgt nu een gedeelte waarin de gegeven antwoorden met de juiste worden
- - '- vergeleken. Er wordt een waardering voor het werk gegeven en bij een lage waar-
- dering moet de oefening worden herhaald. Dan volgt een toets. - 20
Het is voldoer,de. Je krijdt de vol8er,de oefer,in8. Hiernaast staar, twee kolommer. • ori9ineel beeld Ir, de eerste kolomde orieir,eler,, 8 15
Ir, de tweede kolom de beelden. 41 Het beeld is telkens 7 Croter der, 19
het ori8ir,eel. 8,5
Vul de ontbrekende beelden en .., 67 oridirelen hieronder in achter
de dubbele punt, ... 26,5
Het heelri ver, 41 is 48 Het beeld ven 19 is : 25
Het beeld ver, 85 is 16,5 Het oriCir,eel von 67 is 60 Het oridineel ver, 51 is : 44
I-et orirlir,eel ver, 26,5 is : 20,5
Hieronder vind Je ir, de eerste kolom de antwoorden iie J9 zelf hebt Cedeve r,. Liaarneast sLaan de doede entwourder, op de vrader,,
48 48 25 26 16,5 15.5 60 60 44 44 20,5 19,5 HeL aer,Lel is 3
@i :i.ifer vru r deze 00 frn ,,ol is een S
22
De computer als hulpmiddel voor de leerling
Twee voorbeelden van opgaven waarin computergebruik de leerling helpt bij het vinden van oplossingen.
Opgave.
In een klas blijkt 57% van de jongens en 41',Ç van de meisjes een muziekinstrument te bespelen. Hoeveel procent van de leerlingen in die klas speelt muziek
(Helaas kan de lezer nu niet gedwongen worden om het tijdschrift te sluiten en eerst eens zelf te worstelen met het vraagstuk, zoals de toehoorders in de zaal wel een denkpauze opgedrongen kregen.)
Wat betekent 57% van de jongens? Ja,
57
van de 100, maar een klas met .100 leerlingen hebben we niet. En de breuk --- is niet te vereenvoudigen tot een breuk met een kleinere noemer, dus kleinere klas. Wat nu? We realiseren ons dat de uitdrukking57%
wordt gebruikt voor elk getal uit[0,565
; 0,575>. Het probleem is dus nu: welke breuken met noemers niet groter dan bijvoorbeeld 32 geven na afronding de waarde 57%. Een computer kan het vervelende zoekwerk voor ons verrichten volgens het volgende programma.START
o noemer 1 T.E.M. 32
i r
tel/ei' 1 T.E.M. noemerbreuk
=
te/Ier/noemer1
ALS 0,565 ~ breuk < 0,575 DAN SCHRIJF te//er, noemer, breuk1 1
HERHAAL1
"—HERHAAL KLAARHet resultaat ziet u, met het analogon voor 41%, in plaatje 23.
:57 4 / •/ 0 , 428 8/14 0,57:1428 12/21 = 0,571479 = 0,565217 16,28 = 1> • 57:1.4211 1 7/30 = 0 • 566667 41 F' rcn 1 7./:1.7 = 0,4:11765 9/22 = 0.409091 11.127 = 0 • 407407 12729 =. ö.413793 13/32 = 0,406250 23
Aangenomen dat de klas uit niet meer dan 32 leerlingen (van gemengde kunne) bestaat, komen we tot de volgende oplossingen.
4+ 7 11 - 46% 7 + 17 24 4+ 9 13 -__ --- 45% 7 + 22 29 8 + 7 15 - 48% 14 + 17 31
Enkele didactische aantekeningen in telegramstijl.
— Let u eens op de operatie met de breuken en --. Leuk tegenvoorbeeld van de
normale optelling.
— Gelukkig zijn we zo langzamerhand de stijl ontgroeid waarin
wiskundevraag-stukken altijd precies één oplossing hebben.
— Hoeveel breuken worden er 'bekeken' in de algoritme van het laatste
program-.ma? Kan er een zuiniger algoritme ontworpen worden, d.w.z. een algoritme dat veel minder breuken berekent en vergelijkt met 57?
Een antwoord op deze vragen kan bijvoorbeeld gevonden worden door de breu-ken af te beelden op het cartesisch vlak door -+ (b, a) (figuur 24).
24
Gezocht worden alleen de roosterpunten in het vlakdeel y ~ 0,565 x A
v < 0,575 x (voor 57).
Een algoritme die niet alle punten van het octant bekijkt maar uitsluitend punten in de buurt van of in het vlakdeel (zie stippellijn) is bijvoorbeeld de volgende:
START
te/Ier noemer 1 3 breuk = tel/er/noemer
4 ALS 0,565 ~ breuk <0,575 DAN SCHRIJF =te/ler, noemer, breuk
5 ALS breuk <0,565 DAN te/Ier te//er + 1 ANDERS noemer noemer + 1
6 ALS noemer ~ 32 DAN NAAR 3 KLAAR
Deze algoritme is onjuist als we breuken met grotere noemers willen bekijken, ook als we regel 6 navenant wijzigen. Ziet u waarom?
Deze oplossing geeft overigens goede aansluitingen bij wiskundige onderwerpen als: richtingscoëfficiënt van een lijn, afbeeldingen, irrationale getallen, e.d. Tweede opgave.
Bij een afvalcompetitie, die begonnen wordt met 47 ploegen, spelen in elke ronde zoveel mogelijk ploegen tegen elkaar.
Is hèt aantal ploegen oneven, dan wordt één ploeg uitgeloot die zondermeer naar de volgende ronde mag. Wie een wedstrijd verliest valt af en de winnaar gaat naar de volgende ronde. Zo blijft er tenslotte één winnaar over. Hoeveel wedstrijden
zijn er dan in het totaal gespeeld? Oplossing 47 23wedstr. + 1 uitgeloot 12 wedstr. 6 wedstr. 3 wedstr. 1 wedstr. + 1 uitgeloot 1 wedstr. 46 wedstrijden
(Er valt een stilte in de zaal, totdat iemand roept: Maar hoe is dat nu in het algemeen?) Hebt u een idee hoe dat is in het algemeen? Een leerling die gewend is over een computer te kunnen beschikken zal snel besluiten eerst een experiment op te zetten. Hierin wordt 47 vervangen door de variable bap (beginnend aantal ploegen), die bijvoorbeeld de gehele waarden 1 tot en met 50 doorloopt. We be- palen het totaal aantal wedstrijden (taw) voor elk van deze waarden. Het aantal wedstrijden van een zekere ronde (awr) wordt bepaald op de entier van het aan-tal overgebleven ploegen gedeeld door twee (aop12). Het enige denkprobleem is: hoe bepalen we of er een ploeg is uitgeloot. Wij kijken nog even naar ons voor-beeld:
47
23 wedstr. 1 uitgeloot 24 overgebleven ploegen
Het aantal uitgelote ploegen kan bepaald worden op 47 - 2 x 23 ofwel
aop - 2 x aw,. Het nieuwe aantal overblijvende ploegen op airr + (aap -
2 x awr) = aop - ciwr.
START -ur--bcip 1 T.E.M:50 aop = bap taw 0
5 ALS aop = 1 DAN NAAR 10
6 awr = ENTIER (aop12) 7 taw ww + awr 8 aop = aop - awr 9 NAAR 5
10 SCHRIJF bap, taw - HERHAAL KLAAR clubs wedstrijden 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 10 9 11 10 12 11 13 12 14 13 15 14
De leerling ontdekt aan de hand van de computerresultaten zijn stelling: bij n-ploegen zijn n - t wedstrijden nodig om op de voorgeschreven wijze een win-naar te krijgen.
Maar bewezen hebben we dat nog niet.
Ik wijs in dit verband nog even op regel 7 uit het programma taw taw + ai'r. Wat u kunt lezen als het nieuwe totaal aantal wedstrijden wordt gelijk genomen aan het totaal aantal wedstrijden dat we al hadden plus het aantal wedstrijden van deze ronde'.
In de wiskunde zijn we gewend om iets te noteren als:
taw1 + = taw, + awr
Evenzo aop + = aop1 - awr (regel 8) +
aop 1 + taw +1 = aop + taw1
Dus de som van het aantal overgebleven ploegen en het totaal aantal wedstrijden is constant. Vergelijken we de begin- en eindsituatie dan krijgen we
n + 0 = 1 + taw => taw = n - 1.
Een leerling zal zich daarna misschien afvragen hoe het komt dat steeds het totaal aantal wedstrijden plus het aantal overgebleven ploegen gelijk is aan n. Totdat hij zich realiseert dat in iedere wedstrijd er één ploeg afvalt en dat het verschijn-sel ook geformuleerd kan worden als 'aantal afgevallen ploegen + aantal over -gebleven ploegen = beginnend aantal ploegen'. En dat is een trivialiteit. Ook de
stelling is nu in één zin te bewijzen: om van n-ploegen 1 winnaar over te houden moeten er n - 1 afvallen in n - 1 wedstrijden.
Slot
Het is de bedoeling geweest van deze lezing om u kennis te laten maken met computergebruik in het onderwijs. Voorbeelden in een bepaalde structuur, maar zonder commentaar of aanbevelingen.
Het is de spreker niet altijd gelukt zijn enthousiasme te onderdrukken. Vooral hoopt hij in de laatste voorbeelden het 'wiskunde leren door wiskunde doen' een nieuwe dimensie te hebben gegeven: het experimentele aspect. Deze dynamische kant komt in ons onderwijs te weinig aan bod.
Dit is in de loop van de tijd zo gegroeid omdat het bijbehorende reken- en vaak ook tekenwerk te veel tijd vergde. Er is immers altijd dat eindexamen dat wacht. Nu hebben we de hulpmiddelen om onze leerlingen nog meer zelf wiskunde te laten ontdekken. Er is voor een leerling een grote stimulans in het zelf, aan de hand van resultaten, formuleren van stellingen om daarna in de bewijsvoering nog weer gesteund te worden door zijn experiment.
Natuurlijk schudt u de problemen die hiertoe aanleiding geven niet uit uw mouw, misschien omdat we in het wiskunde-onderwijs juist onze ogen voor deze moge-lijkheden hebben leren sluiten.
Tot slot wenst uw inleider dat het laatste plaatje nu door u allen als volmaakt onjuist wordt ervaren: computers zijn niet gevaarlijk voor uw onderwijs, ze behoeven niet achter slot en grendel en de leraar slaapt niet, maar zijn interesse is gewekt voor zoveel mogelijkheden in zijn onderwijs.
26
(© Wim Stevenhagen, Vrijheidsiaan 19 (1V-hoog), Amsterdam)
(Op vragen uit de zaal over realiseerbaarheid in het algemeen en leermiddelen in het bijzonder werd nogal uitvoerig ingegaan. Kortheidshalve verwijzen we hier naar het adres war u dergelijke informatie kunt inwinnen:
Onderwijs Computercentrum van het IOWO, Tiberdreef 4,
3561 GG Utrecht).
Over de auteur
Guus Vonk vatte na zijn HBS-B examen in 1952 een architectuurstudie aan, maar schakelde over op wiskunde, ondermeer in 1961 resulterend in een MO-B akte.
Van 1958 tot 1972 leraar wiskunde in Den Haag.
Vanaf 1967 mederedakteur van Pythagoras, het jeugdt(jdschrfl voor wiskunde. Vanaf de. begin zestiger jaren gefascineerd door computers en automatisering en in 1967 een van de twee eersten die over dit onderwerp onderwezen in het voort-gezet onderwijs.
Vanaf 1970 medewerker van de CML W en later van het 10 WO.
(Mede) auteur van een zestal boeken voor het onderwijs en sinds 197.5 hoofd van het Onderwijs Computercentrum, de afdeling van het 10 WO, die aan rond 6000 leerlingen in 160 scholen computerdiensten verleent, ondermeer met behulp van terminals.
Leerdoelgerichte toetsen wiskunde
GERT BAKKER en JOS VAN BERGEN
Voor de onderbouw van het gehele voortgezet onderwijs is het CITO gestart met een project dat tot doel heeft het ontwikkelen van leerdoelgerichte toetsen. Deze toetsen worden reeds ontwikkeld voor de vakken Nederlands, Engels, Frans, biologie, wiskunde en natuurkunde. Binnenkort hoopt men ook te beginnen met aardrijkskunde en Duits.
Leerdoelgerichte toetsen sluiten nauw aan bij de doelstellingen die impliciet of expliciet in de onderwijspraktijk worden nagestreefd. Deze leerdoelgerichte toets-series kunnen derhalve beschouwd worden als hulpmiddelen om na te gaan in hoeverre nagestreefde doelen bereikt worden.
De öp te nemen doelstellingen worden vastgesteld na grondige bestudering van de thans in de onderwijspraktijk nagestreefde doelstellingen en na adviezen te hebben ingewonnen bij ter zake kundige personen en instanties.
In deze leerdoelgerichte toetsseries worden zowel gemeenschappelijke, voor (praktisch) alle leerlingen geldende als differentiële, slechts voor een bepaalde (beperkte) groep leerlingen geldende doelen opgenomen.
Leerdoelgerichte toetsen zijn vooral bedoeld om aan docent en leerling tijdig informatie te verstrekken of bepaalde leerdoelen al dan niet bereikt zijn zodat - indien noodzakelijk - in een vroegtijdig stadium hulpmaatregelen genomen kunnen worden. Leerdoelgerichte toetsen zijn, in tegenstelling tot de traditionele toetsen, niet zozeer gericht op het differentiëren tussen leerlingen of het nemen van selectieve beslissingen over leerlingen.
Het doel van dit artikel is om informatie te geven over leerdoelgerichte toetsen wiskunde.
Leerdoelen
Doelstellingen die in het onderwijs worden nagestreefd kunnen beschreven wor-den in meer of minder abstracte uitspraken.
Een voorbeeld van een meer abstracte, algemene formulering is de volgende omschrijving van een algemeen doel van het wiskundeonderwijs: een logisch systeem van kwantitatieve aspecten en ruimtelijke structuren kunnen hanteren en formele operaties kunnen uitvoeren met kwantitatieve gegevens, ten dienste
van deelname aan het maatschappelijk verkeer en het technisch handelen"). Zo'n algemene doelstelling heeft een functie in zoverre ze een referentiekader vormt voor (de ontwikkeling van) leerplannen en het daarop aansluitende didac-tisch handelen.
Een dergelijke algemene doelstelling biedt echter geen eenduidig aanknopings-punt voor de opstelling van een konkreet leerplan, evaluatieinstrument of lesplan men kan er veel kanten mee uit2 ).
Voor het construeren van toetsen hebben dergelijke algemene doelen slechts een beperkte waarde. Concrete doelstellingen oftewel 'leerdoelen' zijn hiervoor meer geschikt. Leerdoelen worden expliciet geformuleerd in termen van gewenst leer-lingengedrag3).
Voorbeelden van dergelijke leerdoelen voor wiskunde:
- de leerling kan in een scherphoekige driehoek met behulp van zijn geodriehoek de hoogtelijnen tekenen;
- de leerling kan rationale getallen in volgorde van grootte plaatsen en tussen twee rationale getallen het teken < of > plaatsen zodat een juiste orde-relatie ontstaat;
- de leerling kan bij een eerstegraads functie* die door de pijltjesnotatie gegeven is bij elk origineel het beeld berekenen en bij elk beeld het origineel berekenen
(*inxav + bmoetaEenbe7L);
- de leerling kan bij gegeven waarden van de veranderljken de waarde bereke-nen van tweetermen**, waarin ten hoogste 3 veranderlijken voorkomen. (** voor beeld en 2ab + b 2 , ab - 2, a 2 b - a2 c).
De leerdoelen waarop de vragen in de toets gebaseerd worden zijn meestal geen einddoelstellingen vân een bepaald leerjaar. Het zijn doelen die na een betrekke-lijk korte periode (één of enkele lessen) door een leerling bereikt kunnen worden. De konsekwentie hiervan is dat voor een bepaald vak en leerjaar grotere aan-tallen leerdoelen - en daarbij behorend toetsmateriaal - geformuleerd resp. ge-construeerd moeten worden.
De docent kiest hieruit zelf het materiaal dat naar zijn mening het best past bij de door zijn leerlingen nagestreefde leerdoelen4).
Nederlands Genootschap tot opleiding van.leraren in het beroepsonderwijs.
Opzet van een onderwijsleerplan voor gedifferentieerd onderwijs voor een aantal algemene vakken en de op het beroep gerichte vakken van de afdelingen mechanische techniek en bouw-techniek in het LBO Ede 1975, pag. 145.
Zie bijvoorbeeld E. de Corte, e.a., Beknopte didaxologie. Groningen 1974 3, pag. 38 e.v. De Corte e.a. definiëren een leerdoelstelling als volgt: 'een waardevol en wenselijk geachte, real iseerbare, duurzame en in specifieke termen omschreven verandering in de gedragingen van de leerlingen, die hoofdzakelijk het resultaat is van het onderwijs in de school en waarvan verwacht wordt dat ze bijdraagt tot het realiseren bij deze leerlingen van de meer algemene onderwijsdoelen. De verandering kan zowel bestaan in het verwerven van nieuwe gedragingen als in het verbeteren van reeds aanwezige gedragingen.'
De leerdoelgerichte toetsen waarover het artikel handelt hebben betrekking op het cognitie-ve gebied (herinneren, kennen, weten en andere intellectuele processen). Met betrekking tot het affectieve gebied (plezier in wiskunde, angst voor wiskunde, interesse in wiskunde, enz.) wordt een literatuurstudie verricht. In het kader van deze voorstudie wordt tevens gewerkt aan de ontwikkeling van een toets op dit gebied.
Leerdoelgerichte toetsen
Bij leerdoelen, zoals hierboven genoemd, worden ongeveer 10 vragen gecon-strueerd. Deze vragen moeten, zoals eerder vermeld, goed bij het leerdoel aan-sluiten. Elk moet een belangrijk aspect van het leerdoel vertegenwoordigen en met elkaar moeten ze een representatief geheel vormen.
Hier volgen een paar voorbeelden van leerdoelgerichte toetsen 5
)
(bij de leerdoelenzijn hier slechts twee of drie van de ongeveer tien items opgenomen):
De leerling kan machten van termen als 53, 2 , b3 , 2a, 3c2 , 5d3e, xz herleiden.
(a)4 =a64
(33)2 = (abc)3 = Op de open plaats kan staan
A 35 A 3abc A 3
B 36 B abc3 B 6
C 95 C a3b 3c3 C 16
D 96 D 3a3b 3 c 3 D 60
De leerling kan de verdeeleigenschap (distributieve eigenschap) herkennen, in een produkt van een éénterm en een tweeterm de haakjes wegwerken en bij een twee-term gemeenschappelijke factoren buiten haakjes halen.
(2x+3)2= 5pq-2qr=
A 5a+ 3 A 4x+5 A 2q(3p—r)
B 8 a B 4x + 6 B 5q(p - 7r)
C 5 a + 15 C 2x + 6 C q(5p - 2r)
D ISa D 2x+5 D q(4p—r)
De leerling kan optellen en aftrekken in Q.
2
*+4=
—44
-i- *=
—24
— ( - 3
*)= A2*B 3
*
B -*C 2* C -*
D3* D-4+
5) De opgenomen voorbeelden komen uit proeftoetsen die dit cursusjaar door het wiskunde-constructieteam ontwikkeld zijn. Het materiaal moet nog gepretest worden.
Er is een translatie over () uitgevoerd.
Het beeld van punt (3, 4) is A (1,7)
B (5,1) C (-1, —7)
D (5,7)
4 ABC is het origineel.
4 A'B'C' is het beeld.
1
Dit is de translatie over 8 ()c
() D ()De leerling kan bij een gegeven origineel en beeld de translatievector () geven; de leerling kan bij translatie over () het beeld van een origineel vinden en ook het origineel van een beeld vinden. (p en q geheel)
•••iuuuvi
•uuia
aal
5
WEPSP•••••.u..i
•LI•i•U•UU•I
GebruiksmogelijkhedenDoor z'n geringe omvang kan een leerdoelgerichte toets in veel gevallen in 10 â 15 minuten worden afgenomen.
Zo kan de leraar in betrekkelijk weinig tijd aan de weet komen welke leerlingen een leerdoel nog niet beheersen.
Ook kan de leraar als hij daar de voorkeur aan geeft een paar toetsen combineren. Met behulp van een overzicht van de score-resultaten krijgt hij inzicht welke fouten veel gemaakt zijn door een of meer leerlingen.
Zo'n score-overzicht, dat zowel informatie bevat over al dan niet beheersing als over de gemaakte fouten, kan er in geval van vierkeuze-vragen - als volgt uit-zien:
leerdoel leerdoel 1 - - leerdoel 2 leerdoel 3
opgavenr. 1 2 13
1
4 15 6 78 9 1011 1213 14 15 16 17 18 19 antw.sleutel ACDDACTCAADBACTCADDBAT Jan B 5 D 6 D 5 Piet 6 B B D AD 2 B A B A 2 Ellen 6 7 B5 Sonja 6 D 6 A B C A C 1 Karel A 5 D 6 B B B C2 Anja C 5 7 D AC 3 Joop 6 D 6D A C 3fouten per opg. - 1 2 - - - 1 1 1 - 5 1 - 3 5 4 3 4 2
= aantal goede antwoorden per leerdoel.
In het overzicht zijn alleen de foute antwoorden aangegeven.
Wat betreft toets 1 kan geconstateerd worden dat elke leerling in de groep leerdoel 1 beheerst. (In dit voorbeeld is aangenomen dat een leerdoel beheerst wordt als minstens 80% van de opgaven goed gemaakt wordt.)
Bij toets 2 blijkt dat Piet leerdoel 2 niet beheerst; hij heeft op korte termijn op een of andere wijze extra hulp nodig. Opvallend is bij toets 2 dat item 11 bij veel leerlingen moeilijkheden oplevert. Gewenst is dat de leraar dit item eens grondig bestudeert en nagaat waardoor dit hoge aantal fouten veroorzaakt wordt (item te moeilijk, niet goed geformuleerd, geen aandacht aan besteed,
...
) en het in z'n klas bespreekt.Toets 3 wordt door meer leerlingen slecht gemaakt. Hier is van belang dat de hele groep (eventueel minus Jan en Ellen) nogmaals tracht leerdoel 3 te bereiken. (Aannemend dat de docent dit leerdoel voldoende belangrijk vindt om door de gehele groep nagestreefd te worden.)
Wanneer bij één leerdoel twee parallelversies beschikbaar zijn, is het mogelijk om leerlingen die bij de eerste toetsafname het leerdoel nog niet bereikt hebben, na het doorwerken van steunstof de paralleltoets voor te leggen.
Voor de leraar kan een bij de toetsen ter beschikking gesteld overzicht van leer-gangen en leerdoelen een middel zijn om ideeën op te doen voor steunstof. Zo'n overzicht kan er als volgt uitzien:
boek
N
MW GR S AZleerdoet
N
leerd 11 dlii H12 § 1,2, 3 dli H5 § 1, 2, 3 dli 1-15 § 5, 7 dl IB H38, 39 leerd 12 dl t HIO § 4 dli H6 § 1, 4 dl! H 10§ 12 dl IB H36, 39 leerdl3 dl 11-1 3l,2 dlIH7l,2
Het overzicht wijst naar paragrafen in andere leergangen waar hetzelfde leerdoel behandeld wordt.
Naast gebruik van leerdoelgerichte toetsen in klassikaal onderwijs zijn er ook toepassingsmogelij kheden in meer individueel gericht onderwijs.
Samenvattend: de leerdoelgerichte toets iseen instrument dat erop is gericht om in verschillende onderwijsleersituaties na te gaan welke leerlingen zich het leer-doel eigen gemaakt hebben.
Van de leerlingen die het leerdoel nog niet beheersen bezit de leraar, wanneer hij een score-overzicht maakt belangrijke informatie over de aard van de tekorten. Deze leerlingen kan hij, al naar gelang hun tekorten, op efficiënte wijze steun geven (het overzicht van leerboeken en !eerdoelçn kan hier bij een hulpmiddel zijn).
Toetsontwikkeling
De leerdoelgerichte toetsen worden ontwikkeld door een constructieteam van vijf wiskundeleraren, begeleid door een CITO-medewerker. Deze ontwikkeling wordt hier globaal door een aantal fasen aangegeven (in de praktijk lopen de
eerste drie fasen wat door elkaar):
1 Het team selecteert een aantal leerdoelen. Hierbij wordt onder meer gebruik gemaakt van de gegevens van een door het CITO uitgevoerd onderzoek naar het gebruik van leerboeken6). Ook vindt overleg met externe deskundigen plaats. Na de keuze van leerdoelen wordt veel aandacht besteed aan een goede formulering hiervan.
2 Bij elk leerdoel worden door het constructieteam een aantal items gecon-strueerd. Deze items moeten aan een aantal eisen voldoen, zoals relevantie, objectiviteit, specificiteit en efficiëntie7).
3 Uit deze items kiest het constructieteam in onderling overleg ongeveer 10 items die samen goed aansluiten bij het leerdoel.
4 De leerdoelgerichte toets wordt in enkele klassen (liefst van verschillendé schooltypen) gepretest: de docent vult een enquêteformulier in, de leerlingen maken de opgaven.
5 De resultaten van de leerlingen en de meningen van de docenten stellen het
constructieteam in staat om de leerdoelgerichte toetsen te verbeteren (formu-lering, lay-out, moeilijkheidsgraad, relevantie, etc.).
6 Nogmaals pretesten, enquêteren en verbeteren.
7 Samenstelling van definitieve(re) versies, die door de scholen voor het voort-gezet onderwijs bij het CITO besteld kunnen worden.
Thans worden de leerdoelgerichte toetsen ontwikkeld voor het eerste leerjaar van het Voortgezet onderwijs. Over enige tijd zal ook het tweede en derde leerjaar erbij betrokken worden. Gezien de grote diversiteit van leerdoelen in het LEAO, LHNO, LLO en LMO hebben de activiteiten van dit project zich voor wiskunde in de eerste plaats gericht op AVO en VWO en ook wel op LTO. Toch zijn er ook reeds een aantal toetsen ontwikkeld die bruikbaar lijken voor het huidige onderwijs op veel scholen voor LBO.
Voor het eerste leerjaar zullen ongeveer 40 tot 60 leerdoelgerichte toetsen ont-wikkeld worden. Voor het tweede leerjaar en voor het derde leerjaar wordt ge-dacht aan eenzelfde aantal.
De tot nu toe ontwikkelde toetsen zijn in het algemeen te hanteren bij de meest gebruikte wiskundeboeken van AVO, VWO en incidenteel zijn de toetsen bruik-baar bij boeken die op 1B0-scholen gebruikt worden. (Zie voor de meest ge-bruikte boeken het artikel leerboeken wiskunde in de brugklas in 1976/1977' dat onlangs in dit tijdschrift verscheen.)
De leerdoelgerichte toetsen sluiten aan bij het feitelijk gegeven onderwijs. Onder- wijsveranderingen kunnen veroorzaken dat toetsen moeten worden herzien,
CITO-publikatie nr. 46: Inventarisatie van leerboeken. Verslag van een onderzoek naar het gebruik van leerboeken die gedurende het schooljaar 1976/1977 in de brugklas gebruikt wor-den.
Arnhem, 1976.
1-Jet gedeelte van deze publikatie dat betrekking heeft op wiskunde leerboeken is samengevat in: G. Bakker, leerboeken wiskunde in de brugklas in 1976/1977.
Euclides jrg. 52, nr. 9, pag. 327.
A. D. de Groot, R. F. van Naerssen e.a., Studietoetsen construeren, afnemen, analyseren. Den 1-laag 19691, pag. 69-84, pag. 126 e.v.
moeten vervallen of dat geheel nieuwe toetsen ontwikkeld dienen te worden. Gehoopt wordt in de komende jaren een göed inzicht te krijgen in de eisen die aan leerdoelgerichte toetsen gesteld moeten worden evenals in de bruikbaarheid van deze voor Nederland nieuwe soort toetsen.
Over de auteurs:
Drs. G. Bakker (1945), Wis- en Natuurkunde te Utrecht (doctoraal studie wis-kunde).
Was leraar wiskunde op een scholengemeenschap. Sinds 1975 werkzaam op het CITO te Arnhem bij de projecten leerdoelgerichte toetsen, onderwerp toetsen, vierkeuze-examens, begeleiding van examens in open-vraagvorm.
Drs. J. B. A. M. van Bergen (1939), Pedagogiekstudie te Nijmegen, (specialisa-tie onderzoeksmethoden).
Werkzaam geweest als medewerker aan het Instituut voor Onderwijskunde van de K. U. te Nijmegen en het Schoolpedagogisch Centrum 'Oostelijke Mijnstreek' c.a. te Heerlen.
Sinds 1976 verbonden aan het CITO als medewerker van het project leerdoel-gerichte toetsen.
Publiceerde op het gebied van onderwijsevaluatie en studietoetsen (samen met M. J. M. Voeten en B. Th. Brus).
Korrel
Grafieken op het eindexamen
Met een examen wil je toetsen of je leerlingen sommige doelstellingen van het wiskunde-onderwijs bereikt hebben. Is het kunnen tekenen van de grafiek van een funktie een doelstelling? Het lijkt wel zo, want het wordt op het eindexamen gevraagd.
In deze redenering klopt iets niet. Het kan niet waar zijn dat doelstellingen van wiskunde-onderwijs bepaald worden door datgene wat op een examen gevraagd kan worden.
We moeten dus eerst eens analyseren waar grafieken voor dienen. Ik denk dat het is om eigenschappen van een funktie op het spoor te komen, die op een ande-re manier niet of veel lastiger te ontdekken zijn.
Door naar de grafiek te kijken (of naar punten van die grafiek) kan ik beslis-singen nemen of vermoedens uiten over de funktie.
Het uiten van vermoedens of het nemen van beslissingen over de funktie op grond van het verloop van (delen van) de grafiek wordt op het eindexamen VWO en HAVO niet gevraagd. Op het MAVO-examen soms bij het meer-keuzegedeelte.
Wat wordt wel gevraagd?
De vraagstukken zijn steeds zo geconstrueerd, dat de leerling uit het funktie-voorschrift allerlei eigenschappen van de funktie moet afleiden door bereke-ningen: nulwaarden, maxima en minima, stijgen en dalen, asymptoten, symme-trie, buigpunten, etc. Deze worden dan tenslotte vertaald in een grafiek en daarmee is de kous af. Uit de grafiek zelf behoeven geen conclusies getrokken te worden er behoeven geen vermoedens te worden geuit.
Daarmee is het kunnen tekenen van de grafiek gepromoveerd tot examendoel. Het kan echter geen doel van wiskunde-onderwijs zijn, want er wordt met de grafiek niets gedaan.
Wel mag je zeggen dat, om echt goed grafieken te leren lezen, je goed eigen-schappen van de funktie moet kunnen vertalen in grafische beelden. Wat we op het examen dus vragen is een vaardigheid die helpen kan een bepaalde doel-stelling te bereiken. Die doeldoel-stelling zelf toetsen we niet.
Waarom eigenlijk niet? Joop van Dormolen.
Recreatie
Nieuwe opgaven met oplossingen en correspondentie over deze rubriek aan Dr. P. G. J. Vredenduin, Dillen-burg 148, Doorwerth.Op het 16e internationale jaarcongres van het Belgisch Centrum voor Metodiek van de Wiskunde te Lier (1977) heeft Burt Kaufman (U.S.A.) verslag uitgebracht van een spel dat hij met zijn leer-lingen doet.
Gegeven zijn een verzameling gehele getallen (U)
45 7 0 1 18 20 6 10 40 2 8 12 —10 50 —1 —80 —lOO 5 105 9 —5 99 4 60 3 —55 27 100 —15 24 en een verzameling eigenschappen (E) veelvoud van 2 kleiner dan 50 veelvoud van 3 groter dan —10 veelvoud van 4 kleiner dan —10 veelvoud van 5 positieve deler van 12 veelvoud van 10 positieve deler van 18 oneven positieve deler van 20 positief priem positieve deler van 24 groter dan 50 positieve deler van 27 De leraar tekent een venn-diagram op het bord
0 w
-27 . .4
Hij neemt in gedachten voor Ven W twee verzamelingen gehele getallen die door een van boven-genoemde eigenschappen gekarakteriseerd worden, bijv.
V = de verzameling van de veelvouden van 5
W = de verzameling van de gehele getallen groter dan 50.
Verder plaatst hij, om de start te versnellen, enkele getallen uit U op de juiste plaats in het venn-diagram, zoals hierboven gedaan is.
(In afwijking van onze schoolgewoonten is met deelbaarheid hier deelbaarheid in 1 bedoeld; - 100 is dus een veelvoud van 10 en —15 is oneven.)
Twee leerlingen komen voor het bord. De een begint. Hij kiest een van de getallen uit U, bijv. 99. Hij zegt in welk deel van het venn-diagram dit getal volgens hem moet staan. Hij kiest: binnen W en buiten V. De leraar zegt dat dit goed is. De leerling mag nu nog eens kiezen. Zodra hij een foute keus doet, mag de ander doorgaan. Bovendien heeft ieder het recht om, nadat zijn antwoord goed of fout bevonden is, te zeggen welke verzamelingen V en W voorstellen. Degeen die dit goed zegt, heeft gewonnen.
Een interessant spel, dat geschikt is voor een laatste les voor de vakantie (of zelfs voor een normale les), mits aangepast aan onze situatie, dus met uitsluitend positieve gehele getallen.
Op het bord staat
15 - 4D
Degeen die aan de beurt is, kan nu het spel winnen. Hoe? Gegeven is
64 L0
Het gearceerde deel is leeg.
Zet achter elk van de volgende uitspraken een w als de uitspraak waar is, een o als de uitspraak onwaar is, en een vraagteken als men niet kan beslissen of de uitspraak waar of onwaar is.
60 bevindt zich in A 6 bevindt zich in A 60 bevindt zich in B —100 bevindt zich in B 12 bevindt zich in C 0 bevindt zich in C 20 bevindt zich in A 20 bevindt zich in B 1 bevindt zich in A 27 bevindt zich in B Gegeven is
EI
Wat is het kleinste aantal keuzen dat men doen moet om in elk geval vast te leggen wat V en W
voorstellen? Gegeven is
—15
Oplossingen
A zet zijn koning op veld (1, 1) van een schaakbord, B op veld (8, 8). Om beurten mogen zij hun koning één veld verzetten. A mag zijn koning verzetten naar rechts, naar boven, naar rechts boven; B naar links, naar beneden, naar links beneden. Men mag zijn koning niet zo verzetten dat hij voor de ander onbereikbaar wordt. Wie de vijandelijke koning slaat, is win-naar. A begint. Wie wint bij optimale strategie?
• zet zijn koning op veld (2, 2). Wat B doet, is irrelevant. • houdt zich aan de volgende regel:
staat de koning van B op veld (r, s), dan zet A zijn koning op een veld (p, q) waarvoor geldt: r - p is even en S - q is even.
A zal dan winnen.
Het schaakbord is driedimensionaal met afmetingen a, b, c. De afmetingen zijn priem-getallen. A zet zijn koning in cel (1, 1, 1), B in cel (a, b, c). De reels zijn analoog. A begint en wint bij optimale strategie in minimaal 22 en maximaal 33 zetten. Hoeveel cellen bevat het schaakbord?
Onderstel dat a, b en c alle drie oneven zijn. Dan zijn a - 1, b 1 en c - 1 alle drie even. Doordat A begint, zal bij optimale strategie B winnen (vgl. de oplossing van de vorige opgave). Minstens één van de drie afmetingen is dus gelijk aan 2. Het is niet mogelijk dat meer dan één afmeting gelijk aan 2 is, want dan komen we in strijd met het gegeven dat de winst behaald wordt in minimaal 22 en maximaal 33 zetten.
Onderstel c = 2. A zet dan zijn koning in cel (1, 1, 2). Nu speelt het zetten zich verder af in de bovenste laag.
Als B zijn koning steeds parallel met een ribbe van het schaakbord verzet, dan zijn nog - 1 + b —1) zetten nodig voor A om de koning van B te slaan.
Als B zijn koning zo vaak mogelijk in schuine richting verzet, dan is dit aantal j-(a als a b.
Dus:
1 +(a — l +b—l)=33 1 ++(a— l)= 22
Waaruit volgt a = 43 enb = 23.
Het aantal cellen van het schaakbord bedraagt dus 2 23 43 = 1978. Waarmee ik u een goed jaar toewens.
Mijn puzzelvriend Kootstra heeft mij een groot aantal opgaven doen toekomen, waarin het getal 1978 een rol speelde, veel meer dan ik heb kunnen opnemen. In één van zijn brieven schreef hij nieuwsgierig te zijn, wanneer ik er ook eens een zou bedenken. Die uitdaging heb ik natuurlijk moeten aannemen. Maar ik zou hem toch wel willen doorspelen aan de lezers van deze rubriek. Ik ben op mijn beurt nieuwsgierig wie de lezers van Euclides een gelukkig
1979 zal toewensen. U heeft de tijd. Graag krijg ik uw goede wensen.
Ad 372 en 373. Deze beide fascinerende opgaven uit het nieuwe tijdschrift Pentamino hebben op velen inspirerend gewerkt. Ik heb dan ook veel brieven ontvangen. Inniiadels is me gebleken dat nog nooit iemand deze opgaven opgelost heeft.
Er werd gevraagd een natuurlijk getal van drie cijfers te nemen, de cijfervolgorde om te keren en het nieuwe getal op te tellen bij het oorspronkelijke, totdat een getal Ontstaat met symmetrische cijferopeenvolging. Soms wordt noeste vljt bekroond, zoals bij het getal 187, dat na 23 stappen 8813200023188 oplevert.
De getallen die totnogtoe verstek laten gaan, zijn:
196 en 691, 295 en 592, 394 en 493, 790 en 79, die twee aan twee als som 887 geven. Verder 887 en 788, 689 en 986, met als som 1675. En 879 en 978 met als som 1857. Vandaar dat het proces voort-gezet is met 1675 en 1857. Na 585 resp. 416 stappen is nog steeds geen resultaat verkregen. De uit-komsten hadden toen al 254 resp. 184 cijfers. -
Verdere literatuur: Martin Gardner, Scientific American, augustus 1970.
Het tweede probleem berustte op iteratie van de functief, gedefinieerd doorf(2n) = n,f(2n + 1) = 3n + 1. Dit probleem is afkomstig van Lothar Collatt die het vermoeden heeft uitgesproken dat Vnk : f"(n) = 1, een vermoeden dat nimmer bewaarheid of weerlegd is.
