Aanpassing van het optimale Kalman-Bucy filter aan versnellingsmetingen

Aanpassing van het optimale Kalman-Bucy filter aan

versnellingsmetingen

Citation for published version (APA):

van de Nobelen, M. Q. M. (1988). Aanpassing van het optimale Kalman-Bucy filter aan versnellingsmetingen. (DCT rapporten; Vol. 1988.007). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1988

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Afdeling der Werktuigbouwhmàe

Vakgroep F'undamentele Werktuigbouwkmäe

Dit verslag behandelt de resultaten van een theoretisch onderzoek dat als doel heeft het aanpassen van het optimale Kalman-Bucy filter zodanig dat gebruik gemaakt kan worden van versnellhgs- metingen. Het model van het te observeren systeem wordt opgesteld

en de bijbehorende reconstrueerbaarheidsvoorwaarde wordt afgeleid.

Wanneer het model van het systeem bekend is kan er een model voor

een volledige orde waarnemer opgesteld worden. Het probleem is nu het vinden van de optimale waarnemer, hetgeen neer blijkt te komen op het vinden van de optimale waarde van de versterkingsmatrix. Tenslotte wordt door middel van simulatie van een eenvoudig voorbeeld-systeem het gedrag van het gevonden optimale filter onderzocht.

Samenvatting 2

i. Inleiding 4

2. Model systeem 5

3. Reconstrueerbaarheid

3.1 Inleiding

3.2 Voorwaarden voor reconstrueerbaarheid

4. Model waarnemer

4.1 Inleiding

4.2 Volledige orde waarnemer

4.3 ik optimale waarnemer

T

4.3. i Minimalisatie van

pe

(t)pe (t)

4.3.2 Minimalisatie van tr[Q(t)] 11 11 12 15 18 18

5. Toestandsreconstructie van een eenvoudig voorbeeld-systeem 26

5.1 Inleiding 26 5.2 REGNOhJLJN 27 5.3 Uitwerking voorbeeld 27 5.4 Simulatie 29 5.4.1 Algemeen 29 5.4.2 Simulatieresultaten 30 5.4.3 Evaluatie resultaten 39 6. Conclusies en aanbevelingen 40

Appendix A Opmerkingen met betrekking tot het gebruik van de

1. INLEXDING

De toestandschatting van de optimale waarnemer (Kalman-Bucy

filter) is gebaseerd op meting van uitgangsgrootheden, die een

lineaire combinatie vormen van de toestandsvariabelen van het betreffende systeem. Bij mechanische systemen bevat de

toestandsvector in het algemeen verplaatsingen en snelheden

van de diverse onderdelen van het system, die in veel gevallen

moeilijk meetbaar zijn, bijvoorbeeld door elastische deformaties. Daarentegen is het vaak relatief eenvoudig om informatie over de optredende versnellingen te verkrijgen door toepassing van

krachtopnemerS. Het probleem is nu hoe het optimale filter moet

worden aangepast om ook gebruik te kunnen maken van versnellings-

metingen. Daarnaast moet door middel van simulatie van een

eenvoudig voorbeeld-systeem worden nagegaan inhoeverre het

gebruik van versnellingsmetingen het optimale filter heinvloedt.

2. MODEL SYSTEEM

Beschouw het model van een lineair constant systeem:

met : toestandsvector (dimensie n) I

uitgangsvector (dimensie i) I

ingangsvector (dimensie m) I

matrix (dimensie n*n) I

matrix (dimensie n*) I

matrices (dimensie 1*n)

~e uitgangsvergelijking is nu niet alleen een functie van

x(t)

maar ook een functie van x(t)

.

Bij een (2e orde) mechanisch

systeem wordt hierdmr de mogelijkheid geopad gebruik te maken

van versnellingsmetingen.

nu afgeleid: (2.1) in (2.2) levert: ofwel: m e t : = C

+

C2A 1

i k overgangsmatrix v w r een lineair constant systeem is gelijk aan:

Gebruik makend van (2.6) luiden de toestandsvergelijhg en de

3. RECONSrl7RUEERBAARHEID

3.1 Inleidinq

Het begrip reconstrueerbaarheid komt hier ter sprake. Een systeem

wordt reconstrueerbaar genoenti als het mqeiijk is om uit het

verloop in de tijd van het uitgangssignaal het verloop in de tijd

van de toestand te reconstrueren. In dit hoofdstuk zullen nood-

zakelijke en voldoende voorwaarden ten aanzien van de matrices

A, C _{1 2}

strueerbaar is.

en C worden afgeleid waaronder een lineair systeem recon-

3.2 Voorwaarden voor reconstrueerbaarheid

Definitie: het systeem beschreven door (2.1) en (2.2) is volledig

reconstrueerbaar onder de noodzakelijke en voldoende voorwaarde

dat voor elke te er een to bestaat met

gelijkheid:

-Wto<te, zcdanig dat de

voor willekeurige g(t:tO,t) impliceert dat

x

=x

Voor een lineair constant systeem kan ook een eenvoudigere

voorwaarde gesteld worden, nl:

-1 -2'

Voor elke te moet er een to bestaan met -@&,<te zodanig dat

de gelijkheid:

voorwaarden indit geval identiek aan elkaar zijn.

Er zullen nu noodzakelijke en voldoende voorwaarden ten aanzien

van de matrices A, C en C worden afgeleid waaronder een lineair

1 2

constant system volledig reconstrueerbaar is.

Substitutie van (2.8) in (3.2) levert:

A(t-tO) Met de Taylorreeksontwikkelbg voor e

e = I

+

A(t-tO)

+

A 2 (t-to) 2 /2!

+

A 3 (t-to) 3 /3!

+

...

A(t-tO)

(3.4)

kan betrekking (3.3) als volgt worden herschreven:

{E

+

&(t-tO)

+

G2(t-t0) 2 /2!

+

. . .

}x(t,) = Q

(3.5)

Er kan nu gebruik gesnaakt worden van het Caley-Hamilton theorema

om de hogere machten An, A n+l

,..

.

uit te drukken in lineaire

combinaties van de lagere machten A o

,

A 1

,

. . .

,

An-', zodat de

betrekking (3.5) geschreven kan worden als:

-

n-1

CA }x(to) = Q

-1

bepaalde constanten zijn.

Q (3.7)

De dimensie van de matrix Q is (nl*n). M e r k op dat wanneer C2

gelijk is aan de nulmatrix de r e c o n s t r u e e r b a a r h e i d r i x Q

overgaat inde oude vorm ( z i e [l.]). Stel nu dat de rang van

de matrix Q lager is dan n, dan bestaat er dus een vector x(tO)#Q

zodanig dat:

N

Cx(t,)=Q, CI a X ( t o ) = Q , .

.

,

?in-1x(tO)=2

waardoor het mogelijk is aan betrekking (3.6) t e voldoen zonder

datx(tO)=Q. Hiermee is bewezen dat de rang van de recomtrueer-

baarheidsmatrk Q noodzakelijkerwijs gelijk aan n m o e t z i j n voor

het reconstrueerbaar z i j n van het systeem

(2.1)

en

(2.2).

Neem nu

aan dat de rang van Q gelijk is aan n en veronderstel dat:

Na s u b s t i t u t i e van teo en herhaaldelijke d i f f e r e n t i a t i e van y(t)

P

volgt: _y(to) =

cx(to)

= Q ;

-

n-1

M e t behuïp van (3.7) kan d i t stelsel als volgt geschreven worden:

M e t matrix Q van rang n volgt uit

(3.10)

dat ~ ( t , ) = 0. Hiermee

is bewezen dat de voorwaarde dat de r e c o n s t r u e e r b a a r h e i d i x (z

van rang n m o e t z i j n tevens een voldoende voorwaarde is voor het

4. MODEL WAARNEMER

4.1 Inleiding

In dit hoofdstuk wordt allereerst het model voor een volledige

orde waarnemer opgesteld (paragraaf 4.2)

.

Deze waarnemer wordt

verbonden met het systeem zoals dat beschreven wordt in hoofd-

stuk 2. Met behulp van deze waarnemer kan uit de uitgang y(t)

van het systeem de toestand x(t) van het systeem gereconstrueerd worden. Voorwaarde hiervoor is dat het systeemvoldoet aan de

reconstrueerbaarheidsvoorwaarden zoals deze inhoofdstuk 3 be-

schreven zijn. De waarnemer levert een schatting g(t) van de

toestand g(t)

.

De schatting wordt beinvloed door de waarde van

de in het model van de waarnemer aanwezige versterkingsmatrix

K(t)

.

De waarde van K(t) is niet vastgelegd. De schatting g(t)

van de toestand x(t) kan geoptimaliseerd worden door K(t) zo te

kiezen dat rekening gehouden wordt met de in het systeem aanwe-

zige onzekerheden, voorgesteld door de vectoren y(t) en y(t)

.

De

vectoren w(t) en y(t) stellen een witte ruis voor met intensi-

teitsmatrices Vw(t) en Vv(t)

.

Onder een optimale schatting wordt

hier een minhum variantie schatting verstaan. Het probleem is nu

het vinden van de optimale waarde K*(t) van de versterkingsmatrix

K(t) zodanig dat de daarmee verkregen schatting g(t) een minimum

variantie schatting is. Dit probleem vormt het onderwerp in

paragraaf 4.3.

A

A

4.2 Model van een volledicre orde waarnemer

Beschouw het systeem beschreven door de vergelijkingen:

De vector y(t) is een lineaire combinatie van de toestand

x(t)

en

de afgeleide van de toestand

x(t)

en representeert de meetresul-

taten op tijdstip t. U i t d i t signaal w o r d t de toestand van het

systeem gereconstrueerd met behulp van een waarnemer. Er zal nu

het model van een volledige orde waarnemer bepaald worden. De

waarnemer gegeven door:

A

is een volledige orde waarnemer als

x(t,)i(t,)

impliceert dat

- x ( t ) i ( t ) voor alle g(t)

,

t>tO.

(4.3)-(4.1) levert:

A

Substitutie van (4.5) i n (4.4) levert:

ofwel :

Om aan de voorwaarden voor een

m o e t gelden: arnemer t e voldoen F(t) = A ( t )

-

K(t)C(t) H ( t ) = B ( t )

-

K(t)C2 ( t ) B ( t ) (4

-

9 ) (4.10)

w a a r h K ( t ) een willekeurige matrix is. De waarnemer komt er nu als volgt u i t t e zien:

ofwel :

- $(t) = A ( t ) g ( t )

+

B(t)u(t)

+

(4.11)

I t

fig 4 . 1 m d e l systeem m e t volledige orde w a a r n e m e r

4 . 3 De oDtimale waarnemer

De structuur van de optimale waarnemer wordt gelijk gekozen aan

die van de volledige orde waarnemer beschreven door ( 4 . 1 2 ) . De

stabiliteit van de waarnemer wordtbepaald door de systeemmatrix

[A(t)

-

K(t)C(t)

1.

De matrix K(t)

,

de versterkingmatrix van de

waarnemer, is m e d e bepalend voor de stabiliteit van de waar-

nemer. H e t ontwerpen van een waarnemer komt dus neer op het

doen van een geschikte keuze vmr de versterkingmatrix K(t)

.

Als optimale waarde van de versterkingmatrix K ( t ) wordt die

waarde Ko(t) gekozen, z d a n i g dat de daarmee v e r b e g e n schatting

- x(t) een minimum v a r i a n t i e schatting is. De waarnemer wordt ver-

bonden m e t het systeem dat door de volgende vergelijkingen wordt

beschreven:

A

(4.13) (4.14)

waarin

w(t)

voor de systeemruis staat en y(t) voor de observatie-

ruis. Beide worden verondersteld w i t t e z i j n m e t gemiddelde nul.

De minimum v a r i a n t i e schatting wordt gedefinieerd als die schat- A

ting

x(t)

van de toestand

x(t)

waarvoor geldt:

T

J = tr[E{g(t)e (t)}] : minimaal ( 4 . 1 5 )

waarin ~ ( t ) de schattingsfout is:

Beschouwd wordt een zuivere schatting, zodat geldt:

( 4 . 1 7 )

D i f f e r e n t i ë r e n van (4.16) levert:

( 4 . 1 8 ) !

Substitutie van (4.14) in (4.19) levert m e t gebruikmaking van

(4.18) :

- e(t) = A ( t ) e ( t )

+ B(t)g(t)

+

w(t)

-

B(t)u(t)

+

o f w e l :

De b i j differentiaalvergelijking (4.21) horende randvmmaarde l u i d t :

De variantiematrix van

e

(t) I Q (t) I wordt nu geintroduceerd:

m e t :

(4.24)

Vergelijking ( 4 . 2 3 ) wordt herschreven:

M e t behulp van (4.26) kan het criterium (4.14) nu als volgt geschreven worden:

Minimalisatie van (4.27) kan nu gebeuren door

be

T (t)/ue(t) en

t r [ Q ( t ) ] afzonderlijk van elkaar t e rninhnaliseren. D i t is moge- l i j k onflat Q (t) geen functie van

pe

(t) is.

Neem de verwachtingswaarde van (4.21) en maak gebruik van het

f e i t dat

w(t)

en y(t) gemiddeld nul zijn:

T

Minimalisatie van (t (t) wordt bereikt door

kiezen want dan is (t)

=o

en dus ook _{(tpe(t)=Q voor t>to.}

Eerst w o r d t de differentiaalvergelijking voor Q(t) _afgeleid.

Er wordt uitgegaan van vergelijking (4.21) die als volgt wordt

herschreven:

e(t)

= A(t)g(t)

+

T(t)G(t)

m e t :

A(t)

= A ( t )

-

K ( t ) C ( t ) (4.29) (4.30) ( 4 . 3 1 ) (4.32)

DS vector @(t) is een witte ruis met intensiteitsmatrix:

Voor de oplossing 9 (t) van (4.29) geldt:

(4.33)

(4.34)

(tlto) de overgangmatrix van het systeem (4.29) is.

De correlatiematrix Re(t,t) is gelijk aan:

G(t) is een witte ruis zodat geldt:

(4.35)

(4.36)

Substitutie van (4.34) in (4.35) levert met gebruikmakin gvan

(4.36) :

(4.37)

De differentiaalvergelijking voor Re(t,t) wordt verkregen na

(t

,

t)

I

(t)

vw

(t)

TT

(t) (4.38)

ie(t,t) = A(t)Re(tlt)

+

Re(t,t)AT(t) + I(t)vw(t)IT(t) (4.39)

De bij differentiaalvergelijking (4.39) horende randvoorwaarde

volgt door in (4.37) t e o te substitueren:

Voor Q (t) de variantiematrix van (t) geldt:

Differentiëren van (4.41) naar t levert:

met : O (4.40) (4.41) (4.42) (4.43)

Door substitutie van (4.41), (4.42) en (4.43) in (4.39) volgt de

differentiaalvergelijking voor de variantiematrix Q (t) :

met ranävmmarde :

Q(to> = Q,

(4.44)

(4.45)

iedifferentiaalvergelijking (4.44) wordt wat veräer uitgeschre-

ven door substitutie van (4.30)

,

(4.31) en (4.32). Dit levert:

+

[I-K(t)C2(t) -K(t)] Vw(t) O I-C2T(t)KT(t)

[

0 VVJ

[

-W)

(4.46)

De beginvoorwaarde blijft onveranderü:

Q(to) = Qo (4.45)

De vergelijkingen (4.47) en (4.45) beschrijven het gedrag van de

versterkingmatrix K(t) zodanig dat voor elk tijdstip t het

criterium J = tr[Q(t)] een minimale waarde aanneemt. Het optimale

verloop van de variantiematrix, Qo(t), wordt gevonden door in de

differentiaalvergelijking (4.47) de optimale waarde van de

versterkhgmatrix Ko(t) te substitueren en vervolgens vanaf de

gegeven beginvoorwaarde (4.45) te integreren naar het eindtijd-

stip te, resulterend inde waarde Qo(te). Het vaststellen van de

optimale waaräe van K(t) vormt een meerstapsbeslissingsprobleem.

Bij elk opeenvolgend tijdstip t moet een keuze v w r K(t) gedaan

worden. Bij voortdurend de juiste keuze K(t) = Ko(t) wordt de

optimale trajectorie Qo(t) doorlopen. Bij het vaststellen van de juiste keuze wordt gebruik gemaakt van het optimaliteits-

beginsel :

Een optimale trajectorie is optimaal over elk

deelinterval van de trajectorie.

Het verband tussen Qo(t) en Qo(t+At) met At voldoende klein

luidt :

Qo(t+.&t) = Qo(t)

+

$(t)&t

Voor Qo(t+&) geldt:

tr[Qo(t+at)

3

= tr[Qo(t)

3

+

tr[$(t) ]at

(4.48)

(4.49)

Volgens het optimaliteitsbeghel moet de resulterende waarde

tr[Qo(t+At) ] weer optimaal zijn ten opzichte van elke andere

Q(t) gezocht die in (4.49) gesubstitueerd kan worden. U i t g e g a a n

w o r d t van dif fermtiaalvergelijking (4.47) die herschreven wordt:

m e t :

( 4 . 5 1 )

Er w o r d t geprobeerd om (4.50) in de volgende vorm t e gieten:

U i t s c h r i j v e n van (4.52) levert:

-

K(t)?(t) Z T ( t )

-

Z (t)?(t)KT(t)

V e r g e l i j k h g (4.53) is equivalent m e t (4.50) als geldt:

Z ( t ) = Q ( t ) E T ( t ) V

--1

(t)

+

Vw(t)C:(t)V --1 (t)

(4.52)

(4.53)

(4.54)

De uitdnikkin ' g v a r Q(t) (4.52) is nu geschikt voor substitutie

in (4.49). Dit levert met gebruilanakin ' g van (4.55):

+

dt.tr[A(t)Q(t)+Q(t)AT(t)+Vw(t)-Z(t)V(t) ZT(t)

3

+

+

At.tr[ [K(t)-Z(t) ]V(t) [K(t)-%(t)

IT]

(4.56)

Uit (4.56) blijkt dat de keuze van versterkhgsmatrix K(t) alleen invloed heeft op de bijdrage van de laatste term. Deze term is

een kwadratische uitdrukkin ' g van de vorm X RX waarvmr voor

willekeurige X geldt:

T

xTRX2

o

als R > O (4.57)

zodat de som van de eigenwaarden altijd groter of gelijk aan nul

is :

tr[xTm]

2

O (4.58)

De optimale waarde van K(t) is de waarde Ko(t)

dat de bijdrage van de laatste term minimaal, dus nul, is.

Hieruit volgt v m r Ko (t) :

waarvoor geldt

Ko(t) = Z(t) = Q0(t)ET(t)v1(t)

+

Vw(t)C:(t)f?-l(t) (4.59)

De waarde van de optbale versterkingmatrix KO (t) is nu

gevonden. Substitutie van de optimale versterkhgsmatrix (4.59)

van (4.54) en (4.55) de matrix riccativergelijking voor Qo(t) : $(t) = A(t)Q"(t)

+

Qo(t)AT(t)

+

Vw(t)

+

-

[Qo(t)ET(t)V --1 (t)+Vw(t)C:(t)V --1 ] .?(t). met : Q(to) = Q, (4.60) (4.45)

5.1 Inleidkq

Het optimale filter zoals dat is beschreven in hoofdstuk 4 zal

nu gebruikt worden v m r de toestandsreconstructie van een

eenvoudig voorbeeldsysteem. Voor het simuleren van het gedrag

van het filter wordt het p r ~ a m n a REGNONLIN gebruikt dat op

een AP0L;Lc) DPE 3300 draait. Meer informatie met betrekking tot

REmONLïN wordt in paragraaf 5.2 gegeven. Het voorbeeld-systeem

waarvan de toestand gereconstrueerd moet worden is met opzet heel eenvoudig gehouden om een goed overzicht te kunnen behouden.

Het systeem wordt beschreven in paragraaf 5.3. De simulatie van

het systeem met filter komt aan de orde in paragraaf 5.4. Er

worden verschillende instellingen van het filter bekeken en het optimale filter met versnellingsmethg wordt vergeleken met het optimale filter met verplaatsingsmeting. Uit de resultaten kunnen conclusies worden verbonden met betrekking tot de toepasbaarheid van het optimale filter met versnellingmeting. Evaluatie van de

5.2 REGNONLTN

Het simuleren van het optimale filter gebeurt met het programma

REGNONLïN. Met de bestaande versie van het programma was het

het niet mogelijk om het nieuwe optimale filter uit hoofdstuk 4

te simuleren. Het was daarom noodzakelijk het prcgramna wat uit te breiden zodanig dat ook het nieuwe optimale filter gesimuleerd

kan worden. Een van de mogelijkheden die REGNONïDJ biedt is het

grafisch weergeven van de responsie van diverse grootheden van

het systeem op een bepaald ingangssignaal. Doordat het in

REGNONLTN mogelijk is meerdere respnsies tegelijkertijd weer te

geven is het dus heel gemakkelijk om verschillende filters met

elkaar te vergelijken. Verdere informatie met betrekking tot het

gebruik van de aangepaste versie van REGNONLïN wordt gegeven in

appendix A.

5 . 3 Uitwerkhm voorbeeld

Als voorbeeld wordt een eenvoudig massaveersysteem genomen met

1 graad van vrijheid:

I

/ / / / / / / / /

beweghgsvergelijking luidt:

$(t)

+

kx(t) = F ( t )

De toestandsvergelijkhg wordt:

Stel dat alleen de v e r s n e l l h g x ( t ) wordt gemeten. I n dat geval

wordt de Uitgangsvergelijking:

Voor d i t systeem geldt dat n=2, m=l, 1=1.

H e t systeem moet w e l aan de eis van reconstrueerbaarheid

voldoen. D i t betekent dat de reconstrueerbaarheidsmatrix Q

de rang n(=2) moet hdben:

-

C Q =

CA

o

1

-k/m O

,

C1 = [ O O ] , C2 = [ O 1 3 , = C

+

C A 1 2 m e t A =

gaat (5.5) over in:

U i t (5.6) b l i j k t dat de reconstrueerbaarheidsmatrix Q inderdaad

rang

2

heeft. Het meten van alleen de versnelling

x(t)

is dus

hier voldoende vmr het reconstrueerbaar z i j n van het systeem

(5.3) en (5.4). B i j de simulatie is het interessant om een

vergelijking t e maken met het geval waarin alleen de verplaatsing

gemeten wordt. De uitgangsvergelijking wordt dan:

De matrix Q is nu gelijk aan:

O

1

k/m O Q =

De matrix Q is van de rang n zodat het systeem ook in d i t geval

reconstrueerbaar is.

5 . 4 simulatie

5 . 4 . 1 Alqemeen

Het optimale f i l t e r w o r d t verbonden met het massaveersysteem

u i t paragraaf 5.3. Het filter moet de vrije responsie van het

systeem reconstrueren. Als nominale trajectorie wordt gekozen:

2

x (t) = a 2 * t + a l * t + a o

-n (5.9)

waarin a =a =a

=1

gesteld wordt. De beginwaarde wordt gelijk aan

de nominale beginwaarde gekozen:

O

LI

- 0

De beginvoorwaarde van de waarnemer echter wordt sterk afwijkend

gekozen van de beginvoorWaarde van het systeem:

Als beginwaarde v m r de variantiematrix wordt gekozen:

(5.11)

(5.12)

Op tijdstip t=to blijkt dat de schattingsfout g(t) een relatief

grote waaräe heeft. Het optimale filter zal trachten om de schat-

tingsfout naar nul te laten naderen. Hoe goed dit gebeurt hangt

af van de instelling van het filter. Er zullen verschillende

stellingen van het filter bekeken worden die zodanig gekozen zijn

dat het effect van de verschillende elementen van de matrices

Vw en Vv zo goed mogelijk naar voren komt. Ook zal het filter

met versnellingsmeting vergeleken worden met het filter met verplaatsingsmeting.

5.4.2 Simulatieresultaten

De resultaten van de simulaties zijn te zien in fig 5.2 tot en

met fig 5.8. Er is gekozen v m r een massa van 1 kg en een veer-

stijfheid van 1 N/m. Het tijdsinterval dat bekeken wordt loopt

van t=O tot t=10 s. De meest optimale instelling in het geval van

versnellingmeting is vastgelegd in filter 3. In fig 5.2 tot en

een iets andere instelling die vastgelqd is in filter 4.

is &n element van een weegmatrix afwijkend gekozen zodat

invloed van het betreffende element goed zichtbaar is. De

ste grafiek geeft telkens het verloop in de tijd weer van

Telkens de boven- de

A

geschatte toestand x(t) terwijl de onderste grafiek het verloop

in de tijd van de geschatte snelheid x(t) weergeeft. Tenslotte is

in fig 5.8 de meest optimale instelling in het geval van versnel-

-?

lingmeting vergeleken met de meest optimale instelling in het

RESPONSE 12.0. 100. 80. x !A e

n

60. 40. u). O. 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 TIME 5 . 2 . a 25.0 20.0 15.0 x 10.0 5.0 0.0 -5.0 RESPONSE 0.00 2.00 4.m 6.00 TIME 8.03 10.00 MASSAVEERSYSTEEM W3(1,1): W3(1.2): w3tZ2): Y3 : Wq1,l): W4(1,2): w q m : v4 : T E : N P : ROW : 5. O.

(&

5. O. O. 10. 128 1 FILTER3 MASSAVEERSYSTEEM W3(1,1): W3(1,2): W3(2,2): v3 : W4(1,1): W4(1,2): W4(ZZ): Y4 : T E : N P : ROW : 5. O. O. 5. O. O. 10. 128 2 FILTER3

120. 100. 80. X

e

60. 40. 20. O. 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 TIME 5.3. 25.0 20.0 x d fii 15.0 2 10.0 5.0 0.0 RESPONSE 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 TIME W3(1,1): 5. W3(1,2): O. W3(22): O. v3 :

0

W41.1): 5. W41.2): O. W 4 W : O. v4 : m : 10. N P : 128 ROW : 1 mTER3 mm4 ~ -- MASSAVEERSYSTEEM W3(1,1): W3( 1.2): W3(2,2): !I3 : TJ41,l): W4(1,2): Wq2.2): v4 : E : w : *ow : mm3 5. O. O. 5. O. O. 10. 128 2

RESPCINSE

/

I

0.00 2.00 4.03 6.00 Y.OO 10.00 TIME I d, RESPONSE 25.0

F

20.0 15.0 x a:

e

z

10.0 5.0 0.0 -5.0 O.C-3 2.00 4.00 6.00 mm 8.00 iO.00 5.4.b MASSAYEERSYSTEEFA 5. 1.5 O. 1.5 10. 128 1 hiASSAYEERSYSTEEM 5 ”. . O. 1.5 5. O. 1.5 io. 128 2

120. 100. SO. x E 60. 40. 20. s. 0.00 2.00 4.00 6.00 0.m 10.00 mm RESPONSE 25.0 x 10.0 5 .O 0.0 0.00 2.00 4.00 6.00 TIME 8.00 10.00

fig

5 . 5 .

b

W3(1,1): W(1.2): W3(2,2): 533 : W41.1): W4(1.2): W4(2,2): v4 : I E : ? m : ROW : FILTER3 5. u. i.5 5. i.5 10. 128 1 ~ MASSAVEERSYSTEEM W3(1,*): W3(1,2): W3(2,2): v3 : ~41.1): 5. O. 1.5 5. O. 'J4 : T E : N P : ROW : FILTER3 1.5 13. 128 2

100. 80. x E

m

60. 40. u). O. r 0.m 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 TIME RESPONSE 30.0 5 . 0 20.0 x Lu 2 % 15.0 10.0 5.0 0.0 0.00 2.00 4.m 6.00 8.00 10.00 TIME W3(1,2): W3(2J): v3 : W4(1,1): W4(1,2): W 4 W : I74 : T E : N P : ROW : FILTER3 3. O. 1.5 O. 3. 1.5 10. 1% 1 MASSAVEERSYSTEEM W(22): O. 7 3 : 1.5 W41.1): W41.2): O. Wq2.2): O. v4 : 1.5 TE : 10. N P : li8 ROW : 2 FILTER?

120. 100. 80. X E

m

60. 40. 20. O. 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 TIME RESPONSE 25.0 20.0 15.0 X E a 10.0 t; 5.0 0.0 -5.0 -10.0 0.00 2.00 4.00 6.M) 8.00 10.00 TIME W3(1,1): W3(1,2): W3(22): v 3 : ~ 4 1 . 1 ) : ~ 4 1 . 2 ) : W42.2): VA : I E : N P : ROW : m m 3 O. O. 1.5

0

O. O. 1.5 10. 128 1 MASSAVEERSYSTEEM W3(1,1): W3(1,2): O. W(2.2): O. v3 : 1.5 wq1.1):

@

wq1.2): O. W42.2): O. Y 4 : 1.5 T E : 10. N P : 128 R O W : 2 FILTER3

100. 80. x ei ci 60. 40. 20. o. 0.00 2.00 6.00 2.00 10.00 ? -4.00 -ria3 W P O N S E 25.0 20.0 x i 15.0 6 10.0 5.0 0.0 0.00 2.00 4.00 6.00 8 M 10.00 TIME Wl(l.2): Wl(z.2): V! : W3(1,1): W3(1.2): W3(2,2): v3 : m : W " ROW : O. 10. S. o. c. 1.5 10. 128 1 Wl(l.1): IO. Wl(l.2): F. Wla.2): 10. Y 1 ; 1. W3(1,1): 5. W3(1,2): O. W3(2,2): O. v3 : 1.5 T E : 10. N P : 128 R O W ; L m m 1

5.4.3 Evaluatie resultaten

Uit de grafieken blijkt dat bij een goede instelling met het aangepaste filter met versneiiingmeting (zie grafieken v m r

filter 3) goede resultaten geboekt kunnen worden. Het filter

reageert redelijk snel en de schatthgsfout nadert naar nul.

Hiermee is de bruikbaarheid van het aangepaste filter in feite

al aangetmnd. Een nadeel van dit filter echter is de langere

benodigde rekentijd. De oorzaak hiervan ligt in het feit dat bij

het aangepaste filter wat meer matrixvermenigvuldigingen

uitgevoerd mceten worden. Uit fig 5.8 blijkt dat wanneer alleen

gebruik wordt gemaakt van verplaatsingmeting (Fl) het filter

iets sneller reageert dan wanneer alleen gebruik wordt gemaakt

van versnellirìgmeting (F3). Hierbij staan zowel F1 als F3 zo

Het blijkt mogelijk te zijn het optimale filter zodanig aan te

passen dat ookvan versnellingsmetingen gebruik gemaakt kan worden.

Daartoe is er een nieuwe reconstrueerharheidsvoorwaarde afgeleid

en is er een nieuwe uitdrukking ' voor de optimale versterkings-

matrix bepaald.

Uit de resultaten van de sirmilatie van het aangepaste filter

blijkt dat het doen van versnellingsmetingen waardevolle

informatie aan het filter kan geven. omdat er door tijdgebrek

slechts een gering aantaï sirmilaties kon worden Uitgevcerd is

het moeilijk verdere conclusies te trekken omtrent het geürag

van het aangepaste optimale filter. Eenvolgend onderzoek zou

[l.] J.J. Kok Werktuigkundige regeltechniek I1 C o l l e g d c t a a t 4594, T.U. Eindhoven 1985 [2.] T. Heeren REGNONïZN gebruikershandleidhg T.U. Eindhoven 1986

Opmerkinqen m.b.t. het qebruik van de aanqepaste REGNONLIN-versie

In de aangepaste REGNoNL7N versie is het nu mogelijk om met 5

verschillende filters te werken. De filters 1 en 2 zijn Kalman-Bucy

filters en zijn niet veranderd ten opzichte van de oorspronkelijke

versie. Filter 1 en 2 zijn niet geschikt om gebruik te maken van

versnellingsmetingen. Filter 3 en 4 zijn aangepaste Kalman-Bucy

filters zoals beschreven in hoofdstuk 4 en zijn wel geschikt om

gebruik te maken van versnellingsmetingen. Filter 5 is een zogenad

gebruikersfilter en kan door de gebruiker zelf gedefinieerd worden.

Het gebruikersfilter is niet veranderd ten opzichte van de oorspron-

kelijke versie van het programma. Filter 1 en 2 werken met de volgende

uitgangsvergel ij king:

De dimensies van de uitgangsvector y(t) en de toestandsvector x(t)

zijn respectievelijk 1 en n. De dimensie van C(t) is gelijk aan 1*n.

Filter 3 en 4 werken met een uitgebreidere uitgangsvergeiijking:

Het systeem word tbinnen REGNONLCN vastgelegd in een aantal door de gebruiker toe te voegen routines. De systeemnatrices worden vastgelegd in de routine SYSMAT. De matrices C1 (t) en C2 (t) moeten worden samen- gevoegd tot een matrix op de volgende manier:

De dimensie van C(t) is gelijk aan 1*2n. iet hierop bij de declaratie!

De uitgangsvergeiijkhg wordt vastgelegd in de routine SYSüIT. De

routine SYSUIT zou er bijvoorbeeld als volgt uit kunnen zien:

C

C

suF;RDuTINE SYSUIT(G,X,T)

C De toestanäsvector X en het tijdstip T zijn hvcerparameters. C De uitvOerparameter G is het array waar G(X,T) afgeleverd moet

c worden.

C C

C

c

M a t er alleen T en X bekend zijn zal ook X berekend moeten worden

C C C C CALL SYSTRA(XN,UN,T) CALL SYSDIF(XP,X,UN,T) G(1) = X(1) G(23 = X(2) G(3) = XP(2)

{bepaal nominaal ingangssignaal UN

{bereken Xpunt

{verplaatsingsmeting {versnellingsmeting

. _>

X P =