Hoofdstuk 4:
Kansen.
V_1.a. Bij 100 keer gooien verwacht je 50 keer kop: verschil is 8.
b. Bij 500 keer gooien is het verschil 262 250 12 ; bij 5000 keer gooien is het verschil 2576 2500 76
c. 58% 262
500100 52, 4% 25765000100 51,52%
d. Naarmate je vaker gooit, komt het percentage steeds dichter bij het te verwachten percentage (=50%) te liggen.
V_2.
a. Hij heeft geoefend, dus de kans op slagen zal groter zijn.
b. Nee, om geen 6 te gooien zijn er vijf mogelijkheden. De kans op een 6 is dus veel kleiner. V_3.
a. Eén van de zes uitkomsten is een 4.
b. Twee van de zes uitkomsten is een 1 of een 2. Twee op de zes is gelijk aan 1 op de 3. c. Minstens twee ogen is: 2, 3, 4, 5 of 6. De kans is 5 op de 6.
d. Even aantal ogen: 2, 4 of 6. De kans is 3 op de 6 ofwel 1 op de 2. V_4.
a. eindigt op een 5: 5, 15, 25, 35 en 45: kans is 5 1 45 9
b. even: 2, 4, 6, …, 42 en 44: kans is 22 45
c. lager dan 50: 1, 2, …, 44 en 45: kans is 45 45 1
V_5. De vraagstelling is erg onduidelijk. Ik ga er maar van uit dat alle katten die aan de test meededen van te voren geen vlooien hadden. Het middel wordt al dan niet toegediend en men kijkt na enige tijd of de katten vlooien hebben of niet.
a. 209 256100 81, 6% b. 136 183100 74,3% c. 136 4540,30 d. 318 527 0,60
e. Niet zo’n goed middel. V_6.
a. de kans op een harten is 13 1 52 4
b. de kans op een vrouw is 4 1 52 13
c. de kans op een heer of een boer is 8 2 52 13
d. de kans op harten heer is 1 52
e. de kans op een harten of een vrouw is 16 4 52 13
V_7.
a. Elke uitkomst is even waarschijnlijk. b. De kans op dubbel 1 is 1
36 .
c. Bij twee van de 36 uitkomsten is de som 11 ((5, 6) en (6, 5)).
d. 2 1
36 18
f. de kans op ‘som is minder dan 5’ is 36 6 ((1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) en (3,1))
g. de kans op ‘dezelfde ogenaantallen’ is 6 1
36 6 ((1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) en (6,6)) V_8. De kans op ‘product is 12’ is 4 1 36 9 ((2,6) (3,4) (4,3) en (6,2)) 1. a. ja b. nee c. ja d. nee. 2. a.
b. Er zijn vier volgorden.
c. De kans op kop is even groot als de kans op munt. d. kans op eerst kop en dan munt is 1
4.
e. kans op eerst kop en dan weer kop is 1 4.
f. De kans op één keer kop en één keer munt is de kans op eerst kop en dan munt plus de kans op eerst munt en dan kop. Die kans is 1 2. 3. a. Er zijn 3 3 9 volgorden. b. 1 9 ( 3) (33)
P twee keer een P
c. 3 1
9 3
( int 2) (21, 22 23)
4.
a. 4 meisjes is 1 van de 16 volgorden: 1 16 (4 ) 0,0625 P meisjes b. jjjm jjmj jmjj mjjj c. 1 16 ( ) 0,0625 P jjjm d. 1 1 16 4 (3 1 ) 4 P jongens en meisje
e. Er zijn 4 volgorden (zie b) met drie jongens en een meisje en elk met een kans van 0,0625. f. ja
g. 1 1
16 4
(1 3 ) 4
P jongen en meisjes
h. Er zijn 6 volgorden met twee jongens en 2 meisjes: jjmm jmjm jmmj mjjm mjmj mmjj en elke volgorde heeft dezelfde kans van 1
16. De kans op twee jongens en twee meisjes is dus 166 .
5.
a. Bij elke tak in de kansboom moet een kans staan van 1 3.
b. Er zijn 3 3 3 27 uitkomsten.
c. P twee witte en een rode( )
3 1
27 9
( , )
P WWR WRW of RWW
d. Voor twee rode en één witte knikker zijn er ook drie volgorden: RRW RWR en WRR. 6. a. 3 4 12 volgorden. b. 1 12 ( 1) P twee keer c. 1 1 12 6 (2 3) 2 P en ((2, 3) en (3, 2)) d. 6 12 (min 3) 100 50% P stens een ((1, 3) (2, 3) (3, 3) (3, 1) (3, 2) en (3, 4)) 7. a. 35 1001000 350 auto’s langs B. b. 1 4350 88 auto’s naar D. 65 4
100 5 1000 520 auto’s gaan van A via C naar F. De
rest 1000 88 520 392 auto’s gaan naar E. c. d. 157 400 ( ) P AE e. 65 1 13 100 5 100 ( ) P ACE 8. a. WW WR RW RR b. 1 4 4 5 5 25 ( ) ( ) P WR P RW 9. a. 1 5 ( ) P wit en 4 5 ( ) P rood b. wit: 1 51000 200 rood: 451000 800 D E F totaal aantal auto’s 88 392 520 1000 gedeelte 35 1 7 100 4 80 7 13 157 80 25 400 1 65 4 13 100 5 25 1
c. wit: 0, 2 200 40 rood: 0,8 200 160 wit: 0, 2 800 160 rood: 0,8 800 640
d. 40
1000
( ) 0,04
P twee keer wit
e. 160 1000 ( ) 0,16 P WR 160 1000 ( ) 0,16 P RW 640 1000 ( ) 0,64 P RR f. P WW( ) 0, 2 0, 2 0,04 P WR( ) 0, 2 0,8 0,16 P RW( ) 0,8 0, 2 0,16 en ( ) 0,8 0,8 0, 64 P RR 10. a. P LL( ) 0, 28 0, 28 0,0784 b. P LR( ) 0, 28 0, 72 0, 2016 c. P RL( ) 0,72 0, 28 0, 2016 d. P RR( ) 0,72 0, 72 0,5184 e. Dat zijn alle mogelijke uitkomsten.
f. P LLL( ) 0,28 0, 28 0, 28 0,0220
g. P RLL LRL of LLR( , ) 3 0, 72 0, 28 0, 28 0,1693
11. a.
b. P OO( ) 0, 45 0, 45 0, 2025
c. De kans dat iemand bloedgroep A heeft is kleiner dan de kans dat iemand bloedgroep O heeft. Voor twee mensen met dezelfde bloedgroep (beide A of beide O) geldt dan
natuurlijk hetzelfde.
d. P AA( ) 0, 43 0, 43 0,1849 . Het scheelt 1,76%. 12.
a. zie de boom in je boek. Bij elke tak met een N komt een kans van 1
3 en bij een tak met I komt de kans 23.
b. 2 2 4 3 3 9 ( ) P II c. 1 1 1 3 3 9 ( ) P NN d. 1 2 1 2 3 3 3 27 ( ) ( )
P NIN P INN : de kans dat Nicolette in 3 sets wint is 4
27.
1 2 2 4
3 3 3 27
( ) ( )
P NII P INI : de kans dat Iris in 3 sets wint is 8
27 . e. 4 1 2 4 4 9 9 27 27 27 1 13. a. 0,6 0,65 0,39 langs D en 0, 4 0,3 0,12 langs E. b. 0,39 0,12 0,51 in het meer. 14. a.
b. Er zitten nog maar 7 batterijen in de doos.
c. 5 4 20 5 8 7 56 14 ( ) P VV d. 3 2 6 3 8 7 56 28 ( ) P LL 3 5 15 8 7 56 ( ) P LV en 5 3 15 8 7 56 ( ) P VL e. 5 3 15 15 14 28 56 56 1 f. 15 15 30 15 56 56 56 28 ( )
P een vol en een leeg 58
2 7 5 7 4 7 3 8
15. a. 3 2 6 1 10 9 90 15 ( ) P RR b. 2 3 3 2 12 2 10 9 10 9 90 15 ( ) ( ) ( )
P een witte en een rode P WR P RW
c. 3 3 9 10 10 100 ( ) P RR en 2 3 3 2 12 3 10 10 10 10 100 25 ( ) ( ) ( )
P een witte en een rode P WR P RW
16.
a. 1 1 1 3 1
3 3 3 27 9
( 2 3) (223 232 322) 3
P twee keer en een keer P of of
b. 1 1 1 7 3 3 3 27 ( ) (123, 132, 213, 231, 312, 321 222) 7 P som is zes P of 17. a. 2 1 2 1 4 1 5 4 3 2 120 30 ( ) P even b. 2 2 2 1 8 5 5 5 5 625 ( ) P even 18.
a. Twee appels tegelijk trekken is hetzelfde als één voor één de appels trekken zonder terugleggen. 3 2 6 1 10 9 90 15 ( ) P RR b. 7 6 42 7 10 9 90 15 ( ) P GG
19. De derde trekking moet prijs zijn voor Thea, dus de derde trekking moet één van de twee loten zijn: 2 200 ( ) 0,01 P dvd . 198 197 2 198 2 1 2 198 1 200 199 198 200 199 198 200 199 198 ( ) ( , , ) 0, 01 P dvd P nnp npp pnp 20.
a. De kans op die tak.
b. 7 6 5 7
10 9 8 24
(3 )
P keer rood . Klopt.
c. 7 6 3 7 3 6 3 7 6 7 7 7 21 10 9 8 10 9 8 10 9 8 40 40 40 40 (2 , 1 ) ( , ) P rood groen P RRG RGR of GRR d. 4 3 6 3 10 9 8 10 (2 ,1 ) 3 P groen rood 21. a. b. P SZ( ) 0, 40 0,80 0,32 c. P SSS( ) 0, 40 0, 20 0,05 0,004 22. a. 1 4 2 ( ) ( ) 0,0625 P AAAA b. c. 1 4 2 ( ) ( ) 0,0625 P ABAB
d. Er zijn zes routes naar (2, 2); zie de driehoek van Pascal. e. Omdat bij elke wedstrijd geldt: 1
2 ( ) ( ) P A P B f. 1 4 2 (2 2) 6 ( ) 0,375 P g. 1 4 2 (3 1) 4 ( ) 0, 25 P
NB: Het aantal routes naar (2, 2) is ook te berekenen met 4 (in totaal 4 stappen) nCr 2 (naar rechts). De nCr is te vinden onder math prb optie 3.
Noteer: 4 6 2
23. a. ABBAA b. P ABBAA( ) 0,3 0,7 0,7 0,3 0,3 0,3 0, 7 3 2 0, 01332 c. Op 5 10 3 manieren. d. zie hierboven e. 3 2 (3 2) 10 0,3 0,7 0,1332 P 24.
a. 1. Elke serie van 5 winstpartijen en 3 niet is een route naar punt (5, 3) 2. De kans op één zo’n route is 0,8 0, 25 3
3. Het aantal routes naar (5, 3) is 8 56 5 4. P keer winst(5 ) 56 0,8 0, 2 5 3 0,1468
b. 1. Elke serie van 7 winstpartijen en 1 niet is een route naar punt (7, 1) 2. De kans op één zo’n route is 7 1
0,8 0, 2 3. Het aantal routes naar (7, 1) is 8 8 1 4. P(7keer winst) 8 0,8 0, 2 7 10,3355
25. Maak weer gebruik van het stappenplan in het voorbeeld.
6 2 6 2 8 (6 2) 0, 4 0,6 28 0,4 0,6 0,0413 6 P 26.
a. Naar rechts is: het antwoord is goed; kans 1
4 en naar boven is: het antwoord is fout; kans
daarop is 3 4.
b. 4 goed en 3 fout: (4, 3). Het aantal routes naar dit punt is 7 35 4 . c. 1 4 3 3 4 4 (4 ) 35 ( ) ( ) 0,0577 P goed d. 3 1 1 6 4 4 7 (1 ) ( ) ( ) 0,0013 1 P fout 27. a. P(2defect) 3 0,1 0,9 0, 0270 2 b. P goed(3 ) 0,9 3 0, 729 c. P(4goed) 5 0,9 0,1 0,3281 4 28. a. 4 4 5 16 ( ) 1 0,5 4 0,5 P A b. 4 4 7 16 ( ) 6 0,5 1 0,5 P K
c. P eindigt op A( )P eindigt op K( )P eindigt op S( ) 1
5 7 4 1
16 16 16 4
( ) 1 ( ) ( ) 1
P eindigt op S P eindigt op A P eindigt op K
d. 7 5 5 1
16 16 16 4
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 0107
29.
a. Het gaat om het punt (3, 3) in het rooster: P(3 jaar blessurevrij) 20 0,85 0,15 3 3 0, 0415
b. P(4 jaar blessurevrij) 15 0,85 0,15 4 2 0,1762
en
2 4
(2 ) 15 0,85 0,15 0,0055
P jaar blessurevrij . Verschil is ongeveer 0,1706.
c. Kan wel, maar het is niet zo overzichtelijk. Er zijn dan 26 64 takken.
30. Stel je gooit: kkm kmk mmm mkk kmk mkm kkm kmk mmk kmm
Dan is de experimentele kans op een gezin met één meisje en twee jongens gelijk aan 6 3 10 5
31. Toevalsgetallen: kies een cijfer sto math prb rand enter
en vervolgens math prb rand enter enter … enter.
of: math prb randInt 0 , 1 , 25 genereert willekeurig 25 getallen, gekozen uit 0 t/m 1. a. randInt( 1, 999, 16); een even cijfer stelt een meisje voor en een oneven cijfer een jongen.
{276, 933, 877, 136, 013, 664, 280, 986, 508, 002, 369, 994, 217, 532, 154, 975} {mjm, jjj, mjj, jjm, mjj, mmm, mmm, jmm, jmm, mmm, jjj, jjm, mjj, jjm, jjm, jjj}
b. 7
16
( , )
P een meisje twee jongens
c. Ja, het zijn kansen gebaseerd op experimenten. 32.
a. randInt(1, 6, 30)
b. Hij zal elk getal 5 keer verwachten.
c. In mijn simulatie kwam de 6 acht keer voor. 33.
a. De hamster komt in B uit.
b./c. randInt(1, 999, 20): {067 361 614 200 973 662 386 427 053 186 416 490 233 001 682 852 726 188 819 458} ofwel: {llr rlr lrl lll rrr lll rll llr lrr rll lrl lrl lrr llr lll lrl rll rll lrr lrl} ofwel: {C B C D A D C C B C C C B C D C C C B C} d. 1 20 ( ) 100 5% P A 4 20 ( ) 100 20% P B 11 20 ( ) 100 55% P C en 3 20 ( ) 100 15% P D e. 7 90 ( ) 100 7,8% P A 22 90 ( ) 100 24, 4% P B 41 90 ( ) 100 45,6% P C en 20 90 ( ) 100 22, 2% P D
f. Je zou kunnen concluderen dat de hamsters een voorkeur voor links hebben. 34.
a. randInt(0, 9, 25). In deze serie stellen de getallen 0 t/m 3 voor dat Kramnik wint; 4, 5 of 6 betekent dat Ponomariov wint en de getallen 7, 8 en 9 stelt een remise voor.
{6, 9, 9, 4, 0, 1, 5, 3, 5, 1, 6, 2, 0, 7, 7, 7, 6, 6, 5, 2, 7, 3, 6, 8, 7} b. Kramnik wint 8 keer.
c. {5, 8, 3, 9, 8, 9, 8, 2, 8, 1, 5, 4, 3, 7, 8, 8, 1, 2, 6, 0, 0, 6, 0, 3, 0}: Nu wint Kramnik 11 keer. d. Kramnik wint 19 van de 50 keer: 19
50100 38%
35.
a. Nee.
b. randInt(0, 2, 40). Bekijk steeds tweetallen. De 0 stelt een jongen voor en 1 of 2 een meisje. {01, 02, 22, 12, 22, 02, 20, 00, 20, 00, 00, 00, 11, 22, 11, 02, 01, 02, 11, 10}; 4 1 20 5 ( ) P jj c. 2 1 2 1 6 5 30 15 ( ) P jj
36.
a. randInt(1, 6, 150). Neem steeds de som van een drietal. b. Som is 10 kwam 3 keer voor: 3
50
( 10)
P som is
c. Minstens 10 ogen kwam 28 keer voor: 28 14 50 25 (min 10 ) P stens ogen 37. a. P EC( ) 0,3 0,5 0,15 b. P twee dezelfde( )P EE( )P HH( )P CC( ) 0,3 0,3 0, 2 0, 2 0,5 0,5 0,38 c. P EHC( ) 0,3 0, 2 0,5 0,03
d. P drie typen( )P EHC ECH CHE CEH HEC of HCE( , , , , ) 6 0,03 0,18
38.
a. zie de driehoek van pascal: hoofdstuk 1. Het aantal routes naar b.v. (12, 3) is 15 455 3
b. Bij elke stap heb je keus uit twee mogelijkheden: goed of fout. Bij 12 stappen heb je in
totaal 12 2 4096 mogelijkheden. c. Er zijn 12 66 2 mogelijkheden naar (10, 2). 10 2 1 2 3 3 (10 ) 66 ( ) ( ) 0,000497 P goed d. 1 12 3 ( ) ( ) 0, 00000188 P eerste prijs 1 11 2 1 3 3 12 ( ) ( ) ( ) 0,0000452 11 P tweede prijs 10 2 1 2 3 3 12 ( ) ( ) ( ) 0,000497 10 P derde prijs e. (11 ) 12 0,75 0, 2511 1 0,1267 11 P goed 39.
a. 50% kans dat een gekleurde fles goed terecht komt.
b. De 50 witte flessen komen in de juiste bak. Van de 50 gekleurde flessen komt de helft in de juiste bak. Dus van de 100 flessen komen 75 flessen in de goede bak.
c. P goede gat( )P WW( )P GG( )P BB( ) 0,50 1 0, 40 0,80 0,10 0, 20 0,84
40.
a. P negatief( )P mannen negatief(5 ) 0,95 5 0, 7738
b. P positief( ) 1 P negatief( ) 0, 2262
c. Er worden 10000
5 2000 testen gedaan. Daarvan is 2000 0, 2262 452 positief.
d. Er worden in eerste instantie 10000
10 1000 testen gedaan. De kans dat zo’n test negatief is: 10
( ) 0,95 0,5987
P negatief . Ongeveer (1 0,5987) 1000 401 testen zijn positief, die
T_1.
a. Bij elke tak komt weer een kans van 1
3 bij te staan. b. Er zijn 3 3 3 27 volgorden. c. 1 1 1 1 3 3 3 27 ( ) P AAB
d. Er zijn 3 volgorden: AAB, ABA en BAA.
e. Er zijn zes volgorden met een A, B en C: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB en CBA.
f. 1 2
27 9
( ) 6
P drie verschillende letters
T_2. a. GGG, GGF, GFG, FGG, GFF, FGF, FFG en FFF En 1 4 ( ) P goed en 3 4 ( ) P fout . b. 3 1 1 2 9 4 4 64 (1 ) 3 ( ) ( ) P fout d. 1 3 1 4 64 (0 ) ( ) P fout 3 2 1 1 27 4 4 64 (2 ) 3 ( ) ( ) P fout en 3 3 27 4 64 (3 ) ( ) P fout T_3. a. ( ) 6 0,05 0,952 4 0,0305 2 P twee defecte b. P zes goed( ) 0,95 6 0,7351 T_4.
a. Gebruik 4 kolommen. Een 0 en een 1 betekent brildragend; 2 t/m 9 betekent niet bril dragend.
b. ( ) 10 0,80 0, 202 8 0, 000074 2
P twee geen bril
T_5.
a. zweetkans.
b. P een slaagt( ) 4 0, 75 0, 25 3 0,0469
c. Gooi met twee muntstukken. Alleen kop-kop betekent dat de kandidaat zakt. d. randInt(0, 99, 20): 00 t/m 24 betekent dat de kandidaat gezakt is.
T_6. a. 2 1 1 6 5 15 ( ) P Karsten wast af b. 1 1 15 5 ( ) ( , ) 3
P echtpaar wast af P Karsten Nagels of Spliet wast af
c. 1 4
5 5
( ) 1 ( ) 1
P niet getrouwd P echtpaar wast af
T_7.
a./b. Als ze zelf beginnen met kiezen is de kans dat de sleutel past 1
3. Als ze Ger en Grethe eerst
laten kiezen, is hun kans dat de sleutel past: 2 1 1
3 2 3
( , )
P past niet past wel . Het maakt dus
niets uit welke keuze ze maken.
1 3
1 3
