Hoofdstuk 7: De productregel

Hoofdstuk 7:

De productregel.

V_1. a. _x(x2_{5) x} 3_{5x d. k(k 3)(k 2) k(k  } 2_{ k 6) k} 3_k2_6k b. _{(q 1)(q} 2_{2q) q} 3_3q2 _{2q e. (x}2_2)(x2_{4x 4) x } 4_4x3_2x2_{8x 8} c. 2p(1 1) 2p 2 p    _f. y(y2 1)(1 1) (y2 1)(y 1) y3 y2 y 1 y          V_2. a. _{(2x 4)(x} 2_{4) 0 c. (x}3_2x2_x)(x3_{4x) 0} 2 2 2x 4 0 x 4 0 2x 4 x 4 x 2 x 2 x 2               3 2 3 2 2 2 x 2x x 0 x 4x 0 x(x 2x 1) 0 x(x 4) 0 x(x 1)(x 1) 0 x 0 x 4                    x 0  x 1  x 2  x 2 b. t 1 4 t 1    d. 2 2 4t t 1 t 1    t 1 4 t 3    2 2 t 1 4t t 4t 1 0      ABC formule 4 12 2 x 2 3 x 2 3         V_3. a. _{f'(x) 3x} 2_4x3 _c. 2 3 3 1 1 2 A(B) B B A'(B) 2B B 2 B 2 B         b. g'(x) 2x 3 3x4 2₃ 3₄ x x         _d. 1 2 2 3 2 3 1 4 h(t) t 2t h'(t) 1t 4t t t             e. m'(t) cost 2sint  _g. g(p) p 1 p2 p g'(p) 1p 2 2p 1 ₂1 2p 1 p              f. n'(x) 3sin3x 2x _h. p(r) 2r 1,5 4r2,5 p'(r) 3r 2,5 10r1,5 ₂3 10r r r r           V_4. a. u(x) 2x 3 en f(u) u   7 f'(x) 2 7u  6 14(2x 3) 6 b. g'(x) 4cos 4x 2sin2x 

c. u(x) sin x en h(u) u  4 h'(x) cosx 4u  3 4 sin x cosx3 

d. u(x) 2x2 1 en q(u) 3 3u 1 u      q'(x) 4x 3u 2 ₂12x ₂ (2x 1)       

e. p'(x) 2sin x cosx 2cosx sinx 2sin x cosx 2sin x cos x 0         

g. _{u(t) sin2t cos3t en n(u) u  } 5

4 4

n'(t) (2cos2t 3sin3t) 5u   5(2cos2t 3sin3t) (sin2t cos3t)   h. _{u(t) sint en r(u)} 1 _u 1

u     r'(t) cost 1u 2 cost₂ sin t       V_5. a. _{f(x) x 4x } 1 2 2 4 f'(x) 1 4x 1 x      b. f(2) 2  4₂ 4

c. f'(2) 1  4₄ 0 _{de raaklijn aan f in (2, 4) loopt horizontaal.}

d. y 4 e. f'( 1)  3 y 3x b 5 3 1 b 3 b b 8 y 3x 8                 V_6. a. b. x sin2x x  1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 sin2x 0 2x 0 2x x 0 x (periode : ) x 0, x , x , x 1 , x 2 , x 2 , x 3 , x 3 en x 4                            c. f'(x) 1 2cos2x  1 2 2 1 3 3 1 2 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 f'(x) 0 cos2x 2x 2x 1 x x (periode : ) x , x , x 1 , x 1 , x 2 , x 2 , x 3 , x 3                               d. ( ,₃1  ₃1 1), ( ,₃2  2₃ 1), (1 , 1₃1 ₃1 1), (1 , 1₃2 ₃2 1), (2 , 2₃1 ₃1 1), (2 , 2₃2 ₃2 1) 1 1 2 2 3 3 3 3 (3 , 3  1), (3 , 3  1) e. f'(x) 1 1 1 2 2 3 1 4 4 3 3 1 1 4 4 4 4 2cos2x 0 cos2x 0 2x 2x 1 x x (periode : ) ( , 1.79), ( , 1.36), (1 , 4.93), (1 , 4.50), ...                  x y 0,5  1,5 2 2,5 3 3,5 4 2 4 6 8 10 12 14 16 -2

V_7.

a.

b. f'(x) 1 sinx 

Voor iedere waarde van x geldt  1 sinx 1

1 sinx 1 0 1 sinx 2    

  

c. De grafiek van f is toenemend stijgend voor x_1₂,11₂ en afnemend stijgend voor x_0,1₂ en 11₂ ,2 _

d. In ( ,1₂ 1₂ ) _{is de raaklijn horizontaal.}

V_8.

a.

b. f ( 1) (1 c) 0 0c      voor alle waarden van c.

c. f (2) (4 c) 3 0c     4 c 0 c 4     d. f (x) (x_c  2c) (x 1) x   3x2cx c 2 c f '(x) 3x 2x c e. f '(x) 0c  c

f '(x) is een dalparabool en is groter dan als hij geen nulpunten heeft. De discriminant moet

dan kleiner zijn dan 0:

1 3 4 4 3 c 0 4 12c 0 12c 4 c           x y 0,5  1,5 2 1 2 3 4 5 6 7 8 x y 1 2 -1 -2 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 c=1 c=0 c=-1

1.

a. Neem x 1 : I (40 2) (20 2) 1 38 18 1 684         

Neem x 2 : I (40 4) (20 4) 2 36 16 2 1152         

b. x (de hoogte) moet natuurlijk groter zijn dan 0. De breedte (20 2x ) moet ook groter zijn dan 0. Dat betekent dat x kleiner moet zijn dan 10.

c. l 40 2x  , b 20 2x en h x  

I l b h (40 2x)(20 2x) x      

d. Voer in: y1x(20 2x)(40 2x)  maximum: x 4,23

e. _{I(x) x(20 2x)(40 2x) x(800 120x 4x ) 4x     } 2 _ 3_120x2_800x 2 I'(x) 12x 240x 800 f. _{I'(4,23) 4,5 10 } 4 _0 2. a. _{f(x) (2x 4)(5x 1) 10x   } 2_{18x 4 f'(x) 20x 18 } b. _{g(x) (x} 2_6)(x3 _{2) x} 5_6x3_2x2_{12 g'(x) 5x} 4 _18x2_4x c. _k(x) 1_{(x 2)}2 1_(x2 _{2x 4) x 2} 4 x x x         k'(x) 1 4₂ x   d. _{j(x) (3x 4)(3x 4) 9x   } 2_{24x 16 j'(x) 18x 24 } e. _{h(x) 3x} 3_17x2_{14x 20 h'(x) 9x} 2_{34x 14} f. _{l(x) (x x 5)( x 5) x   } 2_{5x x 5 x 25  l'(x) 2x 7,5 x} 5 2 x    3. a. _{f(1) 3 1 (1 2) 3 1 1   }2 _{     3, g(1) 3 1 (1 2) 3 1 1   }3 _{     3 en ook} 4 h(1) 3 1 (1 2) 3 1 1         3 b. Door (0, 0) en (2, 0) c. _{f(x) 3x (x 2) 3x} 2 _{ } 3_6x2 _{f'(x) 9x} 2_{12x en f'(0) 0} 3 4 3 4 5 4 g(x) 3x (x 2) 3x 6x h(x) 3x (x 2) 3x 6x         3 2 4 3 g'(x) 12x 18x en g'(0) 0 h'(x) 15x 24x en h'(0) 0       d. f'(x) 0 g'(x) 0 h'(x) 0 2 1 3 9x 12x 3x(3x 4) 0 x 0 x 1        3 2 2 1 2 12x 18x 6x (2x 3) 0 x 0 x 1        4 3 3 3 5 15x 24x 3x (5x 8) 0 x 0 x 1        4. a. f(x) 0 _{b. f(x) (x} 2_{4)(3 6x)  6x}3_3x2_{24x 12} 2 2 1 2 (x 4)(3 6x) 0 x 4 6x 3 x 2 x 2 x             2 2 f'(x) 18x 6x 24 0 6(3x x 4) 6(3x 4)(x 1) 0 3x 4 0 x 1 0                   1 3 x 1  x 1 c. f'(0) 24

De vergelijking van de raaklijn aan f in Q is: y 24x 12 

5. a. x 4 0  x 4 b. c. _{f(x) x x 4   x}2 _{ x 4  x (x 4)}2 _{  x}3_4x2 d. _{u(x) x} 3_{4x en f(u)}2 _{ u} 2 2 3 2 1 3x 8x f'(x) (3x 8x) 2 u 2 x 4x       e. f'(5) 3,5 y 3,5x b 5 3,5 5 b 17,5 b b 12,5 l : y 3,5x 12,5           

Lijn l snijdt de y-as in (0, -12).

6

a. f'(x) 1 cosx 

b. g'(0) 1 cos0 1   _{. De helling in het punt (0, 0) van de grafiek}

zou dan 1 moeten zijn; en de helling is 0. c. y , 0,001 g( 0,001) g( ) x 0,001              

d. Plot de grafiek van y0 nDeriv(y , x, x)1

e.

-7.

a. l'(t) 2t 3 l'(1) 1

b'(t) 2t 4 b'(1) 2 _{Dus zowel de lengte als de breedte neemt op tijdstip} t 1 toe.

b.  l l(1,1) l(1) 0,09  _en  b b(1,1) b(1) 0,19 

c.  O O(1,1) O(1) l(1,1) b(1,1) l(1) b(1) 3,8471     

d.  O strook boven + strook rechts + rechthoek rechtsboven l(t) b b(t) l        l b e.  O 0,09 b(1) l(1) 0,19 0,09 0,19 0,09 13 14 0,19 0,09 0,19 3,8471            f. O(1,1) O(1) 3,8471_0,1 38,47 1,1 1  _{ }  cm2/s.

g. De oppervlakte van de rechthoek rechtsboven is klein ten opzichte van de beide stroken. h. O'(t) O l b l b l b l b l b l b l'(t) b(t) l(t) b'(t) t t t t t t                               i. _{O'(t) ( 2t 3)( t    }2 _{4t 10) ( t   }2 _{3t 12)( 2t 4)  } O'(1) 1 13 14 2 41     _cm2_/s. 8. a. p'(x)  3( 2x 4) ( 3x 6) 2 6x 12 6x 12 12x           b. _{p(x) 6x} 2_{24 p'(x) 12x} c. ja. x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -1 5 10 15 20 25 30 35 40 x y  2 3 4 5 - -2 -3 5 10 -5 -10

d. productregel: _{A'(t) 8t (t}3 2_{2) 2t 2t}4_{  8t}5_16t3_4t5 _{ 12t}5_16t3

eerst uitwerken: _{A(t) 2t (t}4 2_{2) 2t}6_4t4 _{A'(t) 12t}5_16t3

9.

a. _{f'(x) (4x 1)(2x } 3_{3) (2x} 2_{x) 6x} 2_8x4_2x3_{12x 3 12x } 4_6x3_20x4_8x3_{12x 3}

b. _{K' 2q (3 5q q ) (q   } 3 _ 2_{1)( 5 3q ) 6q 10q } 2 _{ } 2_2q4_3q4_2q2_{  5 5q}4_12q2_{6q 5}

c. _{P'(t) cost cost sint sin t cos t sin t     } 2 _ 2

d. _{m'(s) (3s} 2_2)(s2_{4s 1) (s } 3_{2s)(2s 4) 3s } 4_12s3_s2_{8s 2 2s } 4_4s3_4s2_8s

_5s4 _16s3_3s2_{16s 2}

e. g'(x) cosx (cosx x sin x) cosx (cosx xsinx) xsinx        

f. _{k'(x) 3x sinx x cosx (2x cosx x} 2_{ } 3_{   } 2_{ sinx) 3x sinx x cosx 2x cosx x sinx} 2_{ } 3_{   } 2_{ }

_{4x sin x (x}2_{ } 3_{2x) cosx} 10. a. p(x) xcosx p'(x) cosx x sinx p'(0) 1    b. 1 1 2 2 p'( )    1 2

y   x b _{en deze lijn gaat door het punt (}1

2, 0) 1 1 2 2 2 1 4 2 1 1 2 4 0 b b y x              

Controle met behulp van de TI'83: Voer in y1 xcosx

En vervolgens: graph 2nd _{prgm (draw) optie 5 (Tangent)} 1 2 11. a. _{k(t) 2t(t} 1_{3t) 2 6t } 2 _{k'(t) 12t} b. _{A(p) (p} 2_{3p)(5p 4) 5p } 3_11p2_{12p A'(p) 15p} 2_{22p 12} c. 2 2 2 2q(q 5) TK(q) 2(q 5) 2q 12 q       TK'(q) 4q d. _{S(t) (t 1)(t 1) t   } 2_{1 S'(t) 2t} 12. a. _{PT 2 dan ST 19 en PS   19}2_22 _{ 357} 1 PST 2 Opp   2 357  357 b. _{ST 21 x en PS   (21 x)} 2_x2 _{ 441 42x x } 2_x2 _{ 441 42x} c. 1 PST 2 Opp   x 441 42x d. productregel: O'(x) ₂1 441 42x ₂1x 42 ₂1 441 42x 21x 2 441 42x 2 441 42x            

e. O'(x) 0 1 2 21x _{441 42x} 2 441 42x 21x 441 42x 63x 441 x 7        f. De oppervlakte is minimaal 1 1 2 7 147 3 2 147 als x 7 . 13. a. 3 1 21 1 2 3 2 2 p'(x) 2x 1 x 1 x x        b. f(x) 2 2x 1 x    f'(x) 2x 2 ₂2 x      c. p(x) cosx₂ 1₂ cosx x x    3 2 3 2 3

2 1 2cosx sinx 2cosx xsinx

p'(x) cosx sinx

x x x x x

   

       

d. _{u(t) sint en h(u) u } 3 _{h'(t) cost 3u } 2 _{3sin t cost}2 _

e. 5 5 3 2 2 2 t 3t t 3t 3 b(t) t t t t t       b'(t) 3t2 3₂ t   f. 112 2 x w(x) 2 x x 2 x x      12 1 2 2 1 2 2 2 1 3 1 3 1 w'(x) 1 x 2 2 x 2x x 2x x x           

14. Bah, wat een pesterij!

a. H(q) (2q q )2 4 1 (q(2 q))4 q (2 q)4 4 q (2 q)3 4 q q q            2 4 3 3 2 4 3 3 H'(q) 3q (2 q)   q   1 4(2 q) 3q (2 q)  4q (2 q)  b. K'(t) 11,25t 0,25 69t 4 11,25 69_{0,25 4} t t       c. _{f(x) (x} 2_1)(x4 _2x2_{1) x} 6_x4_x2_{1 f'(x) 6x} 5 _4x3_2x

d. _{u(p) 6 0,5p en y(u) u  } 2 _{y'(u) 0,5 2u   (6 0,5p) 0,5p 6 }

u(p) 2p en y(u)  u y'(u) 2 1 1

2 u 2p    2 0,5p 6 O'(p) (6 0,5p) 2p 2 2p      e. 1 7 2 u(g) 1  g en y(u) u 1 6 1 1 6 2 2 2 y'(g) 7u 3 (1 g) 7 6 7 6 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 M'(g) 2 (1   g) 2g 3 (1  g)   2 (1 g) 7g(1 g) f. h(x) 1₂ x x 2 x x      h'(x) 2x 3 1 2₃ 1 x 2 x 2 x       

g. g'(x) 2cos2x cosx sin2x sin x 2cosx cos2x sin x sin2x        

h. _{u(x) 1 x en y(u) u  } 1 2 2 1 y'(x) 1 1u (1 x)        3 4 3 4 2 2 1 1 12x 3x k'(x) 12x 3x 1 x 1 x (1 x) (1 x)          

i. _{u(t) t} 2_{1, v(u) sinu en l(v) v } 3

2 2 2 2 2 2

l'(t) (t  1) cosu 3v 3(t  1) cos(t  1) sin (t 1)

j. p'(t) 2cos2t cos(   3t) sin2t 3sin(    3t) 2cos2t cos(   3t) 3sin2t sin(   3t)

15.

a. _f(x) sin x _sinx 1 _{sinx (cosx)} 1

cosx cosx 

    

b. Eerst de kettingregel: _{u(x) cosx en y(u) u } 1 2 2 sin x y'(x) sinx 1u cos x       En dan de productregel: cosx 1 sinx sinx₂ cosx sin x2₂ 1 sin x2₂

cosx _{cos x} cosx _{cos x cos x}

       16. a. f(x) x 3 (x 3) 1 (x 3) (x 1) 1 x 1 x 1             2 2 1 1 x 3 f'(x) 1 (x 3) 1(x 1) x 1  _{x 1 (x 1)}              b. g(x) 2x₂ 2 2x (x2 2 1) 1 (x 1)       3 2 2 2 2 2 2 2 1 4x 4x g'(x) 4x 2x 2x(x 1) x 1 x 1 (x 1)             c. _p(t) t2 _{t (2t 1)}2 1 2t 1       2 2 2 2 1 2t 2t p'(t) 2t t 2(2t 1) 2t 1  _{2t 1 (2t 1)}            d. q(x) sinx sinx x 1 x 

   q'(x) cosx 1 sin x 1x 2 cosx sinx₂

x  x _x        17. a. 1 1 1 x 3 x 3 R 3 x 3x 3x 3x       dus R 3x x 3   . b. c. _{R(x) 3x (x 3)  } 1 2 2 3 5 4 9 1 3 3x R'(x) 3 3x 1(x 3) x 3 _{x 3 (x 3)} R'(3) en R'(6)            _  

d. Als x heel erg groot wordt dan wordt de 3 in de noemer verwaarloosbaar: R 3x 3x 3

x 3 x

  

 . R

komt steeds dichter bij 3.

18.

a. Eerst de kettingregel: u(x) 1 x en y(u)   u y'(x) 1 1 1 2 u 2 1 x       Dan de productregel: f '(x) a 1 x axa 1 a 1 x ax 2 1 x 2 1 x             a 0 a _{1 0} f '(0) a 1 0  a 1 0 a      _{    .} x y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 0 0,5 1 1,5 2 2,5

b. 2 1 2 2 3 3 3 3 2 2 1 1 1 1 a 3 3 ₂ 3 ₁ 3 _{1 1} 3 3 3 3 3 3 a a a f '( ) a 1 a a a a 0 2 1 2 2                    c. f ( ) 1_{a 3}2  _{d. 2x 1 x 3x  e. ax 1 x 3x } 2 1 3 3 3 3 1 2 2 a 1 2a ₁ 3 3 a 1 3      1 2 2x 1 x 3x 0 x(2 1 x 3) 0 x 0 2 1 x 3 1 x 1             3 a ax 1 x 3x 0 x(a 1 x 3) 0 x 0 a 1 x 3 1 x             1 4 1 4 3 1 4 4 1 x 2 x 1 ( 1 , 3 )       2 2 2 2 9 a 9 a 9 27 a a 1 x x 1 (1 , 3 )       19.

a. De grafieken gaan allemaal door (0, 0) en hebben daar ook een top. Ze hebben allemaal dezelfde vorm. b. De grafieken voor deze a waarden zijn gespiegeld in

(0, 0). Ze gaan weer allemaal door (0, 0) en hebben daar weer een top, maar nu een maximum.

c. -d. f '(x) 2x (x a) x 1 2x (x a) x_a     2     2 2 2 2 2 2 3 2x (x a) x 2x 2ax x 3x 2ax 0 x(3x 2a) 0 x 0 3x 2a x 0 x a                    20. a. f '(x) xp  22px 0 3 2 3 2 3 1 1 1 p 3 3 3 3 1 3 x(x 2p) 0 x 0 x 2p f ( 2p) ( 2p) p ( 2p) 8p p 4p 1 p (0, 0) en ( 2p, 1 p )                   

b. f '(x)p is een dalparabool met nulpunten 0 en -2p. Als f (0)p een maximum moet zijn, moet de

afgeleide bij x 0 van positief naar negatief gaan. Het andere nulpunt moet positief zijn.

2p 0 en dus p 0    21. a. f '(x) 2x 8p   p p f '(4) 0 en f (4) 16 32 2p 6 2p 10       b. g (4) 2p 10p   8 4p 2p 10 6p 18 p 3      x y 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 8 10 12 -2 -4

c. g (x) 0p  d. f (x) g (x) 0p  p  2x 4p x 2p (2p, 0)   2 2 p f (2p) (2p) 8 2p 2p 6 4p 14p 6 0 (4p 2)(p 3) 0 4p 2 0 p 3 0                  1 2 p  p 3 e. f '(x) 2x 8p   en g '(x) 2p  f. f '(x) g '(x) én f (x) g (x)p  p p  p 2x 8 2 2x 10 x 5     p p 1 6 f (5) 25 40 2p 6 2p 9 10 4p g (5) 6p 19 p 3            22. a. n n f (0) 0 (0 4) 0 4 0       en n n n f (4) 4 (4 4) 4 0 0      en n n f (1) 1 (1 4) 1 3       3 b. n even: _{x (x 4) x (x 4)}2 _{ } 4 _{ n oneven: x(x 4) x (x 4) } 3 _ 2 4 2 4 2 2 2 2 x x x x x (1 x ) 0 x 0 x 1 x 0 x 1 x 1               3 3 2 2 x x x x x(1 x ) 0 x 0 x 1 x 0 x 1 x 1              

Als n even is gaan alle grafieken van Als n oneven is gaan alle grafieken van

n

f (x) ook nog door (-1, -5). f (x)n ook nog door (-1, 5).

c. f '(x) nx (x 4) x 1_{n } n 1 _{ } n_ n 1 n n 1 n n n f '(4) n 4 (4 4) 4 n 4 0 4 4 16 n 2              d. f '(3) n 3 (3 4) 3_{n  } n 1 _{ } n _{  }n 3n 1 _3n _0 n 1 n 1 3 ( n 3) 0 3 0 n 3 0 n 3              23. a. 2 2 ABCD x 2 : h  10 2  96 4 6 en Opp (10 2) 4 6 48 6   2 2 ABCD x 6 : h  10 6  64 8 en Opp (10 6) 8 128   b. _{h 10}2 _x2 _{ 100 x} 2

c. De driehoek met BC als schuine zijde en driehoek AED vormen een rechthoek van x bij h.

2 ABCD Opp (DC x) h (10 x) 100 x      d. O'(x) 1 100 x2 (10 x) 2x ₂ 100 x2 (10 x) x₂ 2 100 x 100 x               en 75 75 O'(5) 75 0 e. De maximale oppervlakte is O(5) 15 75 75 3   .

24.

a. sin h dus h 10sin 10

    en cos x dus x 10cos 10

    .

b. OppABCD (10 x) h (10 10cos ) 10sin       100sin 100sin cos 

c. cos ₂1

1 3   

d. _{O'( ) 100cos   (100sin  sin 100cos cos ) 100cos     100cos}2_{ 100sin}2_

2 3 1 1 3 2 4 O'( ) 50 25 100 ( 3)     75 100  0 25. a. b. 2 2 2 2 2 2x x f'(x) 1 8 x x 8 x 2 8 x 8 x            c. f'(x) 0 2 2 2 2 2 2 2 x 8 x 8 x 8 x x 2x 8 x 4 x 2 x 2 ( 2, 4) en (2, 4)              26. a. f (x) 5x(x 5) 5x₅    225x f '(x) 10x 25₅   5 f (x) 0 5x 0 x 5 0 x 0 x 5 O(0, 0) en A(5, 0)         5 5 f '(0) 25 en f '(5) 25 y 25x en y 25x b 0 25 5 b b 125             y 25x 125  1 1 2 2 1 1 1 OAB 2 2 4 25x 25x 125 50x 125 x 2 en y 62 Opp 5 62 156            b. f (x) ax(x a) 0a    f '(x) 2ax aa   2 a x a x a2  2  3 ax 0 x a 0 x 0 x a O(0, 0) en A(a, 0)        2 2 a a 2 2 2 f '(0) a en f '(a) a y a x en y a x b 0 a a b           3 2 2 3 a 1 2 2a 3 1 1 2 2 2a x a x a B( a, a )     _{b a}3 3 4 1 1 1 OAB 2 2 4 4 Opp a a a 4 a 16 a 2        x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 x y 1 2 3 4 5 6 7 -1 5 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50 -55 -60 -65 -70 A B f₅(x)

27.

a. Voer in: 2

1

y  { 2, 1, 3}x 8 x . De grafieken gaan allemaal door ( 8, 0) , (0, 0) en ( 8, 0).

Als a 0 gaat de grafiek eerst omhoog naar een maximum, dan door (0, 0) naar beneden naar een minimum en weer omhoog naar het rechter nulpunt. Als A 0 dan gaat de grafiek precies andersom. Naarmate a groter wordt worden de uiterste waarden ook groter.

b. Voer in: 2

1

y x { 2, 1, 4} x  . Als b 0 dan bestaat g(x) niet. Bij groter wordende waarden van b wordt de grafiek ook vergroot.

c. Voer in: 2

1

y x 8 { 2, 1, 4}x  . Voor negatieve waarden van c is de grafiek stijgend. Als

c 0 _{is de grafiek S-vormig (liggende) die steeds groter wordt.}

28. a. b. u(x) x a en f (u)_a u a x    2 2 1 a a 2 x a 2 x a a x a x a 2 2 a 1 x a f '(x) ( ) x 2 2ax f '(x) 0 x a x a x a              c. a a a a a

f (a)   2 voor alle waarden van a.

29.

a. 1 1 1 1

3 2 3 2

CE sin   3 en BE cos   . Vanwege de symmetrie is

CF CE en zijn de driehoeken BCE en CDF ook even groot.

2 3

1 1 1 1

ABCD 2 2 2 4 4

Opp ( 3)   3  3 1,183 En als   ₂1 _{dan is} Opp_ABCD   1 1 1_.

b. CE sin x en BE cosx  _.

2 ABCD

Opp sin x sin x cosx 

c. O(x) 1,15

Voer in: y₁sin x sin x cosx en y2   ₂ 1,15 intersect: x 0,98  x 1,38

Voor 0,98 x 1,38  _{is de oppervlakte van de zandbak groter dan 1,15 m}2_. d. maximum: x 1,178

e. _{O'(x) 2sin x cosx (cosx cosx sin x sin x) 2sin x cos x cos x sin x         } 2 _ 2

O'(1,178) 0 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 a=1 a=2 a=3

T_1. a. b. _{f(x) (x 4)(x } 2_{5) x} 3_4x2_{5x 20} 2 f'(x) 3x 8x 5 c. f'(x) 0 2 2 3 3x 8x 5 (3x 5)(x 1) 0 3x 5 x 1 0 x 1 x 1             

d. f heeft een maximum f(1) 18 _{en een minimum} 2 4

3 27 f(1 ) 18 e. _{g(x) x (x 3)}2 _{  x}3_3x2 2 3 2 3x 6x g'(x) 2 x 3x    f. g'(1) 2 ₄1 1 4 1 1 4 4 1 4 1 1 4 4 y 2 x b 2 2 1 b 2 b b y 2 x            T_2.

a. f'(x) 3x cosx x 2  3 sinx 3x cosx x sin x 2  3

b. g'(x) 2x sin x (x   24) cosx

c. k(x) (4 7x)(x  4x38) 7x511x4 4x356x 32 k'(x) 35x444x312x256

d. h'(x) 2x(cosx sin x) x ( sinx cosx) (2x x )sin x (2x x )cosx   2     2   2

e. _{l(x) (1 2 x)(3 4x x)    8x}2_{4x x 6 x 3  l'(x) 16x 6 x} 3 x     f. j(s) s (12 1) s2 s s     j'(s) 2s 1  T_3.

a. u(x) 1 4x en y(u)   u y'(x) 4 1 2

2 u 1 4x       4x f'(x) 2 1 4x 1 4x    

b. g'(t) 2sin2 t 2t 2 cos2 t 2sin2 t 4 tcos2 t          

c. q'(x) 1 sin x x cos x sin x          xcos x

d. u(x) 2 xcosx en h(u)   u h'(x) (cosx xsinx) 1 cosx xsin x

2 u 2 2 xcosx 

   



e. _{g'(t) 3sin t cost cos2t sin t 2sin2t 3sin t cost cos2t 2sin t sin2t} 2 _{  } 3 _{  } 2 _{  } 3 _

f. q(x) 2x 2x (x 1) 1 x 1       1 2 2 2 2x q'(x) 2 (x 1) 2x 1(x 1) x 1 (x 1)             _ x y 1 2 3 4 -1 -5 -10 -15 -20 -25 -30

T-4. a. -b. f ( ) 0_{p 2}1  1 1 2 2 1 2 1 2 sin p 0 sin p 0 p k p 2k          

Dus voor alle even waarden van p gaat de grafiek door ( , 0)₂1 _.

c.

d. f (x) xsin2x2  f '(x) 1 sin2x x 2cos2x sin2x 2xcos2x2      

e. f (x) x én f '(x) 12  2  f (x)2  x én f '(x)2  1 1 2 1 4 1 1 2 2 4 2 1 1 2 4 2 xsin2x x 0 x(sin2x 1) 0 x 0 sin2x 1 2x x (periode : ) f '(0) 0, f '( ) 1 0 1, en f '(1 ) 1 2 0 1                          1 2 3 4 3 1 2 2 4 2 3 1 2 4 2 xsin2x x 0 x(sin2x 1) 0 x 0 sin2x 1 2x 1 x (periode : ) f '(0) 0, f '( ) 1 1 0 1, en f '(1 ) 1 3 0 1                               f. f '(x) sinpx pxcospxp   p f '(0) 0

De raaklijn in (0, 0) is y 0 _{voor alle waarden van p.}

T_5. a. _{OQ(x) x}2_{( 6 x)} 2 _{ x}2_{ x 6 c.} OPQR Opp x 6 x b. OQ'(x) 2x 1₂ 2 x x 6     d. x Opp'(x) 6 x 2 6 x     1 2 1 1 2 2 OQ'(x) 0 2x 1 x Q( , 5 )    Opp'(x) 0 x 2(6 x) 12 2x 3x 12 x 4        T_6. a. C ₂8t 8t (t2 4)1 t 4       2 2 1 2 2 2 2 2 8 16t C' 8(t 4) 8t 1(t 4) 2t t 4 (t 4)              b. C'(0) 2 _{mg/l per uur.} c. d. C'(t) 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 16t t 4 (t 4) 8(t 4) 16t (t 4) t 4 2t         x y 0,5  1,5 2 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 x y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0,5 1 1,5 2 2,5

2 t 4 t 2 t 2      e. C 1 ABC formule 2 2 2 8t ₁ t 4 t 4 8t t 8t 4 0 x 0,54 x 7,46           

Na 7, 46 uur ofwel 7 uur en 27 minuten moet er een nieuwe injectie gegeven worden.

T_7.

a. P samenvallend met M: l 2 5 10 20   

P in het midden van MN: _{l 2 5} 2_52 _{ 5 4 5 5 13,94 }

P samenvallend met N: _{l 2 5} 2_102 _{10 5 22,36} b. _{l(x) 2 5} 2 _x2 _{(10 x) 2 25 x  } 2 _{10 x} c. l'(x) 2 2x ₂ 1 2x ₂ 1 2 25 x 25 x        6 34 l'(3)  1 0,029 0

d. Omdat l'(3) 0 _{neemt de lengte bij} x 3 toe. Dus de lengte is voor x-waarden kleiner dan 3 kleiner.

e. Voer in: 2

1

y 2 25 x 10 x minimum: x 2,89 en y 18,66 

T_8.

a. Nee. Het product van bijvoorbeeld y x 1  _en y x 2  _{is een kwadratische vergelijking.}

Daarbij hoort een dalparabool (in dit geval) en die is zowel dalend als stijgend.

b. y g(x) h(x)  y' g'(x) h(x) g(x) h'(x)   

p(x) f(x) (g(x) h(x)) f'(x) g(x) h(x) f(x) (g'(x) h(x) g(x) h'(x)) f'(x) g(x) h(x) f(x) g'(x) h(x) f(x) g(x) h'(x)

           