Over het bepalen van de hoeksnelheden in een
gegeneraliseerde Cardan koppeling
Citation for published version (APA):
Esmeijer, W. L. (1975). Over het bepalen van de hoeksnelheden in een gegeneraliseerde Cardan koppeling. (DCT rapporten; Vol. 1975.008). Technische Hogeschool Eindhoven.
Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1975
Document Version:
Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record
Please check the document version of this publication:
• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.
• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.
• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.
Link to publication
General rights
Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain
• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.
If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:
www.tue.nl/taverne Take down policy
If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl
providing details and we will investigate your claim.
Cardan koppeling
W.L. Esmeijer
T.H. Eindhoven
augustus 1975
Samenvatting:
In een gegeneraliseerde Cardan koppeling maken de armen van het verbindingskruis een willekeurige gegeven hoek met elkaar. Een methode wordt ontwikkeld om de verhouding van de hoeksnel- heden van ingaande- en uitgaande as te analyseren.
Met behulp van vectoranalyse wordt deze verhouding uitgedrukt in coördinaatvrije meetkundige formulering. Vervolgens wordt een rekenprogramma beschreven dat het mogelijk maakt om bijvoor- beeld met behulp van een moderne programmeerbare tafelcalculator en plotter eemvoudig en snel een rzauwkeuïig beeld te krijger, van de hoeksnelheidsverhouding a l s functie van de ruimtelijke stand van de koppeling.
Als toelichting worden enige resultaten in grafieken weergegeven.
1 .
Inleiding; coördinaten en vectorenIn een normale Cardan koppeling (Hooke-joint)
-
die bekend wordt ver- ondersteld-
staan de armen van het verbindingskruis loodrecht op el- kaar; in figuur1
betekent dit: y =-
Tr2 '
In een gegeneraliseerde Cardan koppeling maken deze armen een wille- keurige gegeven hoek y met elkaar.
Nagegaan zal worden hoe de verhouding van de hoeksnelheden van in- gaande as en uitgaande as afhangt van constructieve parameters en van de hoekverdraaiing van de ingaande as.
Aan de hand van fig.
1
worden coördinaten en vectoren ingevoerd. De hartlijnen van "ingaande"- en ''uitgaande" as liggen in het x -x vlak van een orthogonaal rechtsdraaiend assenkruis; het snijpunt van beide hartlijnen ligt in de oorsprong van het assenkruis.-3-
n en n zijn eenheidsvectoren langs de hartlijnen van ingaande-
-1 -2
respectievelijk uitgaande as en wel
Voor de gegeven vaste hoek 6 tussen de assen zal gelden:
Tr IT
- -
< o
< -2 2
De hoeksnelheidsvectoren van ingaande- respectievelijk uitgaande as zijn:
w n e n w n
1 -1 2 -2
De hoeksnelheidcverhouding van uitgaande- en ingaande as is
w2 A = -
1
w
(Algemeen bekend is ondermeer dat in het geval
en
161
<<1
geldt:A01
Tr
De arm CD van het kruis is scharnierend verbonden met de ingaande as en blijft loodrecht op deze as; de arm AB van het kruis is scharnierend verbonden met de uitgaande as en blijft loodrecht op deze as. AB en CD blijven elkaar snijden In de oorsprong van het x ,x2 ,x3 assenkruis ;
hieruit volgt dat de snelheid van het kruis kan worden beschreven door een hoeksnelheidsvector
-
Q,.i is een eenheidsvector langs CD.
-1
Met invoering van de hoekverdraaiingscoördinaat 0 uit fig. 1 en onder inachtname van het feit dat i loodrecht staat op
-1
n kunnen we nemen:-1
sim 8
-1
i is een eenheidsvector langs AB.
-2
Teneinde de richting van i
de stand
e
= O. Daar i loodrecht staat op n kunnen we nemen:in het kruis vast te leggen beschouwen we
-2
-
cos6 sinysine siny ( 1 . 4 )
Vooralsnog zal voor de hoek y gelden O < y < T ; y is een door de
constructie bepaalde constante.
Met invoering van een
-
niet in de figuur getekende-
hoekverdraaings- coördinaat U, van de uitgaande as kunnen we voor -2 i schrijven:i =
-2
5 )
Merk op dat ( u , ) ~ = ~ =
2
-
y2. De hoeksnelheidsverhouding in coördinaatvrije formulering
Bekend worden verondersteld de definities en elementaire eigenschappen van het inwendige product (a,b)
- -
en het uitwendige-of vectorproduct- -
axb van twee vectoren-
a en-
b.Voor het vector tripelproduct geldt met name:
-
a x-
=<a,c)b
-
<a,b>g
Uit l e volgen de relaties:
(2.2)
n )=COC@ (constant); O < cos@ 6
1
( 2 4 ) (El '-2(i,
,i2)
= cosy(constant) ; - 1 < cosy < 1 (2.5)We- kunnen twee kinematische relaties neerschrijven door de snelheden van punt D ( o f C ) respectievelijk van punt B ( o f A) elk op twee ma- nieren vast te stellen.
-5- V o o r D : w n x i = n x i -1 1
-1
-1
-
x i = n x i Voor B: w2E2
-2-
-2 U i t .(2.6)] en (2.6)2 z a l d e v e c t o r-
n
worden geelimineerd,(2.6)] uitwendig vermenigvuldigd met -2 i r e s p e c t i e v e l i j k
-1
i en gebruikmakend van
(2.1)
...
(2.5) l e v e r t :( 2 . 7 ) ] en (2.8) gecombineerd g e e f t :
1
Een g e h e e l i d e n t i e k e bewerking u i t g e v o e r d op (2.6) 2 l e v e r t analoog
aan ( 2 . 9 ) 1 :
Analoog aan ( 2 . 8 ) ] g e l d t :
Deze vergelijking inwendig vermenigvuldigd met n n
-2
enig rangschikken:
respectievelijk en gebruik makend van (2.3), (2.4),(2.10)1 en (2.10)2 levert na
-1
’
geldt:
w2
We zullen ons nu beperken tot constructies waarbij voor A =
-
~
o
< A (2.13)Een constructieve voorwaarde ~ hiervoor-zal onder 3 . worden aangegeven.
Uit (2.12)1 en (2.12) volgt dan:
2
3 . Numerieke berekening van de hoeksnelheidcverhouding We ontlenen aan 1.: n = -1 I i = -1
’
-2 n = s in$ COS$ OI
-
cos$ cosa sin$ cosa s ina (2.14) a voldoet aan:-7
-
i i ) = cosy = s i n a cose
-
coca s i n 8 c o s @(-1 '-2
( 2 . 1 4 ) wordt nu:
s i n 2 y
-
s i n 2 6 cos2, s i n + s i n 2 6 s i n 2 e( 3 . 3 )
Alvorens over t e gaan op h e t rekenprogramma geven w e a a n d a c h t aan d e door middel van ( 2 . 1 3 ) gegeven beperking.
U i t ( 2 . 1 2 ) 2 l e i d e n w e af: I n d i e n dan is s i n 2 y
-
sin2B s i n 2 û > , O T o e l i c h t i n g op h e t rekenprogramma: Ingevoerd worden d e c o n s t r u c t i e v e c o n s t a n t e n Y v e r a n d e r t s t a p s g e w i j s van o t o t 2 ~ .Wanneer a berekend i s v o l g t
stappen d i e geen t o e l i c h t i n g behoeven.
D e hoek a kunnen w e a l s v o l g t berekenen u i t (3.2)
u i t (3.3) met behulp van e l e m e n t a i r e
*
Bepaal p ( p >.,O) en 8 u i t*
p eie = CoSe + i sine cos6 (i2 =
-1)
(3.5) Deze berekening v e r g t b i j v o o r b e e l d i n d e Hewlgtt Packard Model 9100 Bi n e s s e n t i e i programmastap. U i t (3.2) v o l g t dan: c o s y sin(a-û ) =
-
D . Merk op d a t en j c o s y j < cosB das U i t (3.6):*
c o s y a =e
+ a r c s i n (-) P ( 3 . 7 )-9-
4 . Enige resultaten
In figuur 2 is een karakteristiek voorbeeld gegeven van een door de plotter getekende serie grafieken. Vertikaal is uitgezet
In figuur 3 is voor een verzameling waarden van y en f3 d e grootste relatieve afwijking van ten opzichte van w
