1. o.1. m= SV . o,3gSxLoex
ssxv*x(zb-tV): SZgx*9 = c r7, x rdzkg,,
2, aU+ = ,^qal,, = o,Z3 x r.otz
xg,8x (zb+V 1 =(r * vot^
l)Ar,juf
s
t ? = ' + = ' 9 " ï ï
= g , o x r o e w = i ^ r u r , u ,
o
(
. t
Q r r v z ( o À l - - , '
t 2
L
^
e ^
2 . W=*v*f== à r7,7 ^ 6,oz: l3g = ott4 x*" 1 -o;4l"J
'
3. l[*wt$e^
V,$2=-V3 _>
U,le
: 23 xorl\
-"'l,l Vl^.
"
. $oor r*u\tx=--lÈ,t
""..^^,
rr.r.r. de, pa*...ire
Sp..t'-!rrt-rt7 lr*
J.SFrrrntn^.U[cr,L]<-iw
-[.c.
+t--]i". g"ràl"W
^Y^Pt".#L*"t",^.
"-*
.I" 'rir,,-es.t
tt*^^.o3en^À\tl^^€À
'
C. S - hJ,-^r\e*^Je-- H*m -
le+{"t^r^'[c - 40 v"'zL rg83
* =ftVf = ,#;-;t= o,og kX-
,3ro"It
- arc4 e,'t
T=i=
i
1-\16or
be-spr"-kin
X
'\.Fa-n
eru kslti-<,k op Je.a<a *l
(ex- opwr*rhCruXe^n"
êu.(,r r,r11d):
, :cte- ..},r{ect
o- ole- ore,t-olfaJcll,^6 urctnr.,
o"rttk<,Íev1- ,Lr tUUoN- [tr\r\ - apnt tlgÁ
t*uvvr*
J**
Sr^<,t,
3
o + ,
' t , ' - - M à * r = o
- - à F a . o , 6 t - z,6x1x2, 4,9 = o -, ' " F2=orzoN
- > v n = 1 o 7 '
C , ,,^[l.1 =
^g
aL'r
c otozo x g8 x (9.xt,a-xr,o*t)
= 4,7xÊ3t
,rrl
c)4,' Na" cnt2car-<-er tez sli',rfff,tfif^^.-
Da-a'rna, bq&
T csruJ-,-rt.
t. Opt.orrde,r L'o,--.-c- 4I
.ll.{r{**{Jria"[
.+ Lti.l
l.{,4r"^.
-t
!^r'-Í.r&.*(";e
hi"^"--"è) lclr,,""^. =+\.*Af,
4'15
^ fl.."*r,r'=
zs,s,
2 .
A r .b 1 ,
2 .
e ,
à .
e .
n
ï '
o t 9
4 , a. Da b*áx2+aN\Á\^^te^^t*.
^{
u .bn +6r^"^r'*"^Ác- )u)p.r@à^t^r.
\ J p . . _ . . r Ig.
^rx-..d*ew,,/r,'
tn^^rJ;
^-[
b\a
+er^"^"*rté€-lrslf#9.13"#ft\**.*9
o{)
4 o 1a,79
l r , s g
bo lo,TS lz,fl
f,o lo,ry | z,ln
íIo
lo,ra | ',3.
*?
"rlr-t'tl4r*',>
BijÈ=rfc ie Vep =4,+ V
v g a = 4,ol
{ls *At*.}'-^^'u','
dp- ,+et
{ " V
3,o
V
l , B
v
o,kv
j u^o=
+o,qY
e-)
b-""Á
c 1 .
2 .
, 8oÀ-*- ze'qat.^L L^
ot-Vr--V"=
.n'1,=n.to,o
= 6,oV
\8"= iË;"È tëto- é,o:+,oV
__> t =. lg 'L
va&r li.-t-,^^Á o.)rJ+x-2 *tL,{-*r*^st-^
^
+ A"l--s{-r".'"
(J*
^i.ts1Cu7",,{
v-, e{l}lt)
{')?t",te,.
n'a-Ë"r
}^-,^àà
* &*;frÍ*,_,+
NVonJ- "-pci(, 1986
J A A P S M I T
H unze Col lege Groningen
Actie en reactie
(II)
Een tweede voorbeeld van het gebruik van de kausale redenering is de wet
van Lenz. Deze wet maakt het mogelijk om de richting van een
inductie-stroom te bepalen. Helaas wordt de wet door veel leerlingen en ook door
leraren gebruikt om inductieverschijnselen
te verklaren. De kans op
vel-keerde conclusies
is dan groot. Ook hier een subtiel taalgebruik: de conclusie
- wat er gebeurt - hoeft niet verkeerd te zijn, maar de conclusie wordt op
verkeerde
gronden getrokken. In dit nummer een voorbeeld uit een
vroege-re examenopgave
van de HAVO.
tegenwerken en is de stroom in de verbin-dingsdraden AC en BD nul. In het andere geval loopt er wel stroom door die draden en is de frequentie van de magneten iets groters en is er - door de ohmse weerstand - ook demping.
Het antwoord dat met de redenering met de wet vanLenz wordt verkregenl'2 (mag-neet II heeft aan de onderkant een zuid-pool) komt overeen met het eerste geval, dus zonder stroom in de
koppelingsdra-D e t r i l l e n d e m a g n e t e n
Het bewuste deel van de examenopgave (1983 I, opgave 2) is opnieuw afgedrukt. Het gaat dan om de vragen d. enf. De leerlingen begrijpen bij vraag d. daï er een stroom gaat lopen (dat levert volgens de norm I van de 3 punten op). In de kring treedt nu een warmteontwikkeling op, hetgeen ten koste gaat van de bewe-gingsenergie van de trillende magneet. Op die magneet moet dus (af en toe) een ,,remmende" kracht werken. Maar wat le-zen we nu in een veel gekochte uitwer-kingt van examenvraagstukken: d. Na het sluiten van de schakelaar op
hel tijdstip tt oftstAil in spoel I een inductiestroom. Deze inductiestroom veroorzaakt volgens de wet van Lenz in spoel I steeds een magneetveld dat de oorzaak van zijn ontstaan - dat is de trilling van de mqgneet - tegen-werkt. De trillíng van de magneet is na het tijdstip t, dus gedempt.
Daarna wordt vermeld dat de hierboven gegeven redenering met de omzetting van energie ,,ook goed" is.
Tja, maar de redenering met de wet van Lenz is wel fout. De wet van Lenz leidt niet tot demping, maar mogelijk tot een iets grotere frequentiel, die op de foto niet meetbaar is.
De opbouw van de rest van het vraagstuk suggereert om op kausale wijze verder te gaan. Door de trilling van de ene magneet gaat - via de inductiekoppeling - de ande-re magneet trillen.
Bij vraag I wordt een redenering ver-langd om te bepalen wat de polen zijn van magneet II. In feite kunnen allebei de mogelijkheden voorkomen. In het ene ge-val zullen de inductiespanningen elkaar
Uit: HAVO-examen 1983 - I opgave 2.
De spoel (spoel I) wordt nu via een schakelaar S tevens verbonden met een identieke spoel II. Zie fignr 6.
Op een bepaald tijdstip (t,) sluiten we de schakelaar. De lichtstip doorloopt op het oscilloscoopscherm de baàn, zoals weergegeven is op de foto van figuur 7.
figuur 6
In figuur 7 is te zien dat na het tijdstip Ír de amplitude van de verticale trilling van de lichtstip plotseling kleiner wordt en vervolgens geleidelijk afneemt. Het laatste betekent dat de trilling van de magneet na tr ggdempt wordt.
d. Leg uit waarom de trilling van de magneet na het tijdstip /, Bedempt wordt.
Vervolgens hangen we aan een tweede veer een tweede magneet gedeeltelijk in spoel II. Zie figuur 8. Beide veren en beide magneten zijn identiek.
We brengen magneet I in trilling, waarbij de onderkant van de magneet weer niet onder de s p o e l u i t k o m t .
Schakelaar S is geopend, magneet I trilt nagenoeg ongedempt.
We sluiten vervolgens de schakelaar en zien dan dat magneet II ook gaat trillen. De frequenties van beide trillingen zijn gelijk. De amplitude van de trilling van magneet I neemt eerst af, terwijl die van magneet II toeneemt.
spel I s@l tr
figuur 8
e. Waarom volgt uit het feit dat de amplitude van de trilling van magneet II eerst toe-neemt dat de amplitude van de trilling van magneet I eerst aftoe-neemt?
De magneten trillen precies in fase.
In figuur 8 is aangegeven op welke manier de spoelen gewikkeld zijn en hoe ze met elkaar zijn verbonden. De bovenkant van magneet I is een zuidpool.
I Beredeneer of de onderkant van magneet II een noordpool dan wel een zuidpool is.
figuur 7
* ry*fir^*x.*f*fm" *,Jm&,Y"
iffiq"
ffi**&"
,.**" .e-e. ;À$*J*.';
t ^-*:f^:Ï*[ffi ffiffi"
iffi*r-"*
"1"*"-{-"e".t-n,sfvo*.*
. l-le-h
c,oto'
\{d'r^. d* lcJt*rSd,f is 1.J*-[dt"F$re"kpÍt
'S,r,* *rodi,é*lF. Ae. nca& a"C br'"f$
#&,,
20
den. Dat lijkt nu extra vreemd, omdat de redenering met de wet van Lenz juist uit-gaat van het lopen van een (gemeenschap-pelijke) stroom.De fout is dat ten onrechte de inductie-stroom als oorzaak voor de beweging van de tweede magneet is genomen' De mag-neten trillen doordat ze aan een veer han-gen. In het geval dat er een inductie-stroom loopt (magneet II heeft dan aan de onderkant de ,,verkeerde" pool) is er een kleine extra terugdrijvende kracht naar de evenwichtsstand. Hierdoor ont-staat de iets hogere trillingsfrequentie:, die bij het bespreken van onderdeel d. al is genoemd.
Voetnotsn
l. R. Slooten en O. G. Krant, IIAVO-exa-menbundel natuulkunde i,980/1984' uitgave Onderwijspers.
2. F. J. Engelhard, Natuurkunde IIAVO uitwerkingen 1980 t/m 1983, uitgave van Walraven.
3. Een analogon wordt besproken in een ander arti[el in dit blad onder de titel ,,Gekoppelde trillingen". In het kort komt het hier op neer:
De kracht die de inductiestroom op de
magneet uitoefent is te vergelijken met
het aanbrengen van een extra veer onder
aan de magneet. De veerkracht bij een bepaalde uitwijking is nu groter. De
veèrconstante ..C" in de formule
r = I t f l
t 2 n Y m
is groter, dus is de frequentie groter.
Alleen als de inductiestroom arbeid
ver-richt (bijvoorbeeld in een ohmse
weer-stand warmte opwekt) ontstaat een
fase-verandering van de inductiestroom waardoor de trilling van de magneet , wordt afgeremd.
JAAP SMIT
Hunze College Groningen
Gekoppelde
trillingen
De frequentie van een trilling is af te leiden uit de oplossing
yan de
krachten-vergelijking. Ook bij gekoppelde
slingers vinden we zo een oplossing. Het
faseverschil
tussen de slingers hangt af van de 'begin'-voorwaarde: wat is de
fase van de bewegende
slinger als de andere slinger helemaal stil hangt. Het
trillingsverloop van die slingers is namelijk identiek, afgezien van het
fase-verschil. Bij de meeste
uitvoeringen van de proef is het faseverschil
f.
tvten
trekt dan één slinger opzij en laat die los.
z\. )
| r
-F - - X
Figuur I.I: De slinger.
Figuur 1.2: De slinger mel eenveer.Eén slinger
met een veer
Twee gekoppeldo
slingers
De situatie van figuur 1.1 is in ieder leer-boek terug te vinden. De 'terugdrijvende' kracht Fwordt beschreven met de formule
- m g
F: -ï'* = - C{x; C, is de'veerconstan-te'vanie slinger.
Combinatie met F:ma en a:x"(t) (de tweede afgeleide naar de tijd), levert de dif-ferentiaalvergelij kin g
f o
x"(t) : -=.x(t) : -l'x(t) m t
Op de universiteit voeren studenten de praktikumproef uit van twee gelijke slin-gers die door een veer gekoppeld zijn. Elke eigen beweging is te analyseren door deze op te vatten als een superpositie van twee eigen trillingen: in figuur 2.1 trillen de slingers in fase en in figuur 2.2 trillen ze in tegenfase.
In figuur 2.1 heeft de veer geen invloed, dus cu is gelijk aan @t zoals in figuur 1.1. In flgtur 2.2 staat het midden M van de veer stil, dus a; is gelijk aan a2 zoals in fi-guur L.2.
In figuur 2.I tÍilt het gemeenschappelijk zwaartepunt M, in figuur 2.2het blokje ten opzichte van dat zwaartepunt.
De beweging van het punt M wordt be-schreven door
x*: APosí'l0l
Een oplossing hiervan is
x: Á cos a)jt met ,F18 v m : In figuur 1..2 werkt een extra veerkracht F , : - C ; u : - C ; p . x . De vergelijking wordt nu -(C" + C.,o\ x " ( t ) : r i " ' ' x t t t en de oplossing x : A c o s a z t m e t a 2 :
De frequentie met veer is groter dan de fre-quentie zonder veer.
Die ten opzichte van M wordt beschreven ) att door
xt-xu = A2costt)2t (linkerslinger)
x2-xs :-1rss"rt1 (rechterslinger)
( 1 )
GtÁtaf,
Figuur 2.1: Infase trillen.
( \
- t t , , ' ) Figuur 2.2: In tegedase trillen.
De samengestelde trilling
Uit de vergelijkingen (1) en (2) volgt: x, : Arcosat,t + A2cosa2t í?) x2 = Aposalt - Azcosc,2t \'/ AlsÁ, = Az: lzA zijn de formules (3) vol-gens de goniometrie als volgt te schrijven:
\ = A cos @Í' cos Á@t
xz: Asin ,,l ' sin aat (4)
n r . 1 t t t ^
H i e r b i j is o o : = 3 - e n
, A > - 0 ) r
a o : - 2
-In figuur 3.1 en3.2 zijn de grafieken van x1 en x2 getek^end voor de waarden <ot : áo en to2 : átll , dus Aat : ,to.
Alle slingerenergie (kinetische èn potentië-le energie) wordt periodiek van de ene op de andere slinger overgedragen. In dit voorbeeld is gekozen voor een beginsitua-tie met x1 : A, xz: 0 en beginsnelheden 0. Bij een andere beginsituatie wordt niet alle energie overgedragen: bij de situaties van de figuren 2.t en2.2 wordt helemaal geen energie overgedragen.
Als de beweging vooral door de veer wordt gedempt, zal de trilling van figuur 2.2wor-den gedempt en die van flguur 2.1 niet, zo' dat al gauw geen energie wordt overgedra-gen.
/ - l
y ' - - - - _ _ i _ _--"'u.
F__x2 _______J
(
, -)
Het is dan onzinnig om de 'later begonnen' trilling nog steeds als gevolg van de eerst gestarte trilling te zien.
A n d e r e t r i l l i n g e n
Dit verhaal over mechanische trillingen loopt direct parallel met het vraagstuk van de trillende magneten uit het havo-examen 19831. Daar bleek de aanpak met een kau-sale redeneerketen tot fouten te leiden bij het onderdeel /. Een goede aanpak is de
Figuur 3.1: De trilling van de linkerslinger.
Figuur 3.2: De trilling van de rechterslinger.
vergelijking met een geschikt model dat overzichtelijker is.
Dat kan een mechanisch analogon zijn zoals in dit artikel is weergegeven. Fi-guur 2.1 is te vergelijken met de trillende magneten waarbij er geen inductiestroom loopt. Men kan dan gerust de verbindings-snoertjes onderbreken: de trillingen gaan gewoon door. Maakt men dan weer verbin-ding waarbij de aansluitpunten van één van de spoelen worden verwisseld, dan ontstaat de situatie van figuur 2.2. Dan loopt er wel een inductiestroom, dus is er extra koppe-ling tussen de magneten, dus een grotere frequentie. Bovendien is er demping die hier vooral in 'de veer' optreedt: de induc-tiestroom gaat door ohmse weerstand.
Het model kan ook een wiskundig model zijn, zoals zo vaak in de natuurkunde het opstellen en oplossen van een differentiaal-vergelijking. In beide gevallen wordt het hele systeem overzichtelijk beschreven. Een redeneerfout, waarbij afzondelijke as-pecten ten onrechte met elkaar in kausaal verband gebracht worden is dan niet moge-lijk. Helaas valt zo'n correcte aanpak wel buiten de havo-stof.
Voetnoot
I. Ziehet artikel'Actie en Reactie (II)'in
dit zelfde nummeÍ van het NVON-maandblad.
/---_--_L
_
_
l--- -X1 ---{
í
HAVO I
Naam:
EXAMEN HOGER ALGEMEEN VOORTGEZET ONDERWIJS
IN 1983
D i n s d a g
l 0 m e i , 9 . 0 0 - 1 2 . 0 0
u u r
NATUURKUNDE
Antwoordpapier
behorende
bij de vraagstukken
3 en 4.
li bo
É,
uJ(,
I
UJ tlJz
o
NÉ.
o
r
ti à0 t Ê 2 7 9 2 3 3 F - 1 1 AHORIZONTALE
LEGGER
l Í
lfiggur C
,
l i. r
F-*,*---*---;
,i,os
t
C-r^ii4,3 c^n^
o\
,'
I
V/r-' l - = 2,6q$
v u
r2r6.t tn-?N
p{ . t,i tro,t
2 1 9 2 3 3 F - 1 1 Ar l . , ï J
