Wiskunde algebra analyse en meetkunde 1e zit 2011 2012

Vrije Universiteit Brussel Academiejaar 2011-2012 Oefeningenexamen 16 januari 2012

Wiskunde: algebra, analyse en meetkunde

Eerste Bachelor Bio-ingenieurswetenschappen en Ingenieurswetenschappen: architectuur Geef je antwoorden ten laatste om 12u30 uur af. Los elke vraag op een apart blad op, schrijf op elk blad je naam en je rolnummer en het nummer van de vraag. Schrijf op het opgavenblad uit hoeveel beschreven pagina’s je antwoorden bestaan, reken kladbladen en opgavenblad niet mee. Geef duidelijk aan welke pagina’s kladbladen zijn. Zorg ervoor dat je oplossing duidelijk leesbaar is, verklaar elke stap in je oplossing. Geef alle kladbladen en het opgavenblad ook af.

1. (a) (2p) Diagonaliseer de volgende matrix.

A= 1 −6 2 −6



(b) (1p) Toon aan dat, voor alle _{n ∈ N,}

An= −3(−3)

n_{+ 4(−2)}n ₆₍₋₃₎n₋₆₍₋₂₎n

−2(−3)n_{+ 2(−2)}n ₄₍₋₃₎n₋₃₍₋₂₎n

 .

2. (1p) Bepaal alle _{p ∈ R, waarvoor de rang van de matrix}     1 2 0 0 3 4 0 0 0 0 4 3 0 0 2 p     gelijk is aan 3. 3. (2p) Bepaal de limiet (a >0). lim n→+∞(n.a 1/n_{− n)}

4. (2p) Vind de afmetingen van de grootste rechthoek die kan worden ingeschreven in een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 3cm en 4cm, zodat twee zijden van de rechthoek op de rechthoekszijden van de driehoek liggen.

5. Los volgende differentiaalvergelijkingen op. (a) (2p) x2_y0_{+ 2xy = y}3 _{(x > 0)}

6. (3p) Beschouw het onbegrensd gebied in het eerste kwadrant dat ligt tussen de y -as en de grafiek van de functie met voorschrift f(x ) = − ln x . Bepaal het volume van het omwentelingslichaam als een oneigenlijke integraal.

7. (a) (1p) Bereken de lengte van de kromme met poolvergelijking r = eθ_{,0 ≤ θ ≤ π.}

(b) (2p) Bepaal de hoekα die de kromme maakt met de y -as (zie figuur).

y

x

r

= e

↵

8. (1p) Koppel de voorschriften (a)−(c) telkens aan de bijhorende figuren (1) − (3).

(a) 2x2_{+ 6y}2_−3z2 _{= 16 (b) (x + y )}2_{= 3z (c) z}2_{− y}2_{= 4}