Lineaire algebra

Lineaire algebra

Citation for published version (APA):

Bruijn, de, N. G. (1958). Lineaire algebra. Stichting Mathematisch Centrum.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1958

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

LINE.AIRE .ALGEBRA.

=====================~=====~====

Syllabus van het coliege van Prof. Dr N.G. de Bruijn

in

1957- 1958.

Hoofdstuk I. ~aire verge_lijkingen

em

determinanten.

§ 1.

Combinatoriek.

Tot de combinatoriek rekent men allerlei problemen over eindige verzamelingen7 en.meer in het bijzonder het bepalen van het aantal

moge-lijke situaties van een gegeven soort. Een eenvoudig voorbeeld:

Hoeveel verschillende dobbelstenen zijn er mogelijk (we maken een dobbel-steen door de zijvlakken van een kubus met 1 t.e.m.

6

te nummeren;

twee dobbelstenen heten "gelijk" als ze, inclusief nummering, gelijk-vormig zijn). (.Antwoord:30.)

In het volgende zullen we enkele eenvoudige combinatorische

be-grippen bespreken, t.w. permutaties5 variaties, c~mbinaties en

herhalings-combinaties. Voor de determiiantentheorie zijn hiervan slechts ,de permutaties van belang.

Permutaties.

---

Di t v;oord wordt in drie betekenissen gebruikt:

10. Een eeneenduidige afbeelding P van een eindige verzameling

op zichzelf. Bestaa t die eindige verzameling ui t de getallen 1, 2, •.. 9 n ,

dan zijn de beelden daarvan resp~ P(

1),

P(2), ••• , P(n) • Ter onderschei-ding van de tweede betekenis van het woord permutatie zullen we P even een "permutatieafbeelding" noemen.

2°. Is een eindige verzameling V in een zekere volgorde gerang-schikt, bijv. (c, d, b, a, e) , en is P een permutatieafbeelding, dan is (P(.::.

L

P( dL P(b), P( a), P( e)) weer emrtrangschikking van dezelfde

verzameling. Deze rangschikking wordt een permutatie van de oude genoemd. Zo is bijv. (3, 2,

5, 4, 6,

1)

een permutatie van

(1,

2,

3, 4, 5, 6).

3°. Vaak noemt men elke rangschikking van een eindige

verzamelin~

V een permuta tie, zonder da-t er van een "oorspronkelijke ~angschi~:}"in ··" sprake is• Zo is bijv. (U~, Gld, Gr. ,N

.B.,

N.H.,

z.,

Z.H., Ov., Dr.,; o ,Fr.)

eim permutatie van de provincies van Nederland. Meesta1 zal men de On, der 2° en· 3° _{genoem e} d b _{egrl.ppen nauwe lJ s} · 1' ·k k _{unnen onderschel en,} · d c '· 2 t

'1

onze eerste kennismaking met V Cioorgaans in een zekere volgorde geschiedt. In de volgende stelling is het onverbchillig welk van de drie

begrippen meri gebruikt o

~!~!!!~~-! o Het aantal permutaties van n objecten bedraagt

n! ( = 1. 2.

3·

• • o . n).

~~!~;:i~·

We gebruiken het onder

3°

genoemde begrip. Voor de eerste plaats heeft men n mogelijkhede:". Heeft men de eerste plaats eenmaal

2

bezet, dan heeft men voor de tweede :plaats n-1 mogelijkheden. Heeft

men de eerste twee :plaatsen bezet9 dan zijn er voor de derde plaats

n- 2 mogelijkheden. Enzo ("Enz. 11 _{betekent hier} ~ _{voer het bewijs}

zelf maar met volledige inductie uit.)

Combinatieso Zij V

geheel getal, 0

<

k

<

n o

een verzameling van n objecten, en k een

Onder een combinatie van k objecten ui t V

verstaat men een deelverzameling

v

1 van V 9 die k elementen bevat.

Anders gezegd g zo'n combinatie is een groe:p van k elementen uit cen

gegeven verzameling van n elementen, waarbij met de volgorde van deze

k elementen geen rekening wordt gehouden.

Voorbeeld< n = 3 9 k = 29 V = {a 9 b 9 c

l

o De mogelijke combinaties zijn

(a,

b1

9

{a, c}

9

{b, c}

o

Variaties. Een varia tie van k elementen ui t een verzameling V

van n elementen is een eeneenduidige afbeelding van de verzameling

{ 1 9 2, o • • ₉ k} in V o Is de afbeelding f 9 dan is f weer volledig

beschreven door de volgorde f( 1) 9 f(

2)

7 • o o, f(k) aan te geven, en met

een kleine betekenisverschuiving kunnen we dus zeggen ~ zo'n variatie

is een gree:p van k ui t n elementen met inachtneming van de volgorde

van de k elementen.

Voorbeeld g n= 3, k= 2, V= {a, b₉ c}. De mogelijke variaties zij:::J

(a, b), (b, a), (a, c), (c9 a), (b, c), (c, b).

~~~~~~~~~~;:~~~~!~~ o Di t is eon afbeelding van { 1 9 • • • 9 k J in V , zonder dat de eis der eeneenduidigheid wordt gesteld.

Voorbeeld~ n=39 k=29 V={a9 b 9 c}o

Demogelijkeherhalings-variaties zijn (a, a), (a, b), (a,

c)

9 (b9 a) 9 (b, b) 9 (b, c) 9 (c, a) 9 (c7

o)

9

(c,c),

~~~~~~~~~~~~~£~~~!~~~· Deze ontstaan uit de herhalingsvariaties

door identificatie7 n.l. door twee herhalingsvariaties als gelijk te

beschouwen wanneer ze slechts in de volgorde der k elementen verschillen.

Voorbeeld : n = 3 9 k = 2 9 V = {a 9 b 9 c } • De herhalingscombina ties

zijn aa9 ab 9 ac ₉ bb 9 be, cc , VJaar het bij een herhalingscombinatie o:p

aan komt is het aantal b's 9 etc., waaruit een greep is opgebouwd.

Zo is bijvoorbeeld in een homogene 4-de graadsveelterm in de vera~der­

lijken

x,

Y9 z elke term (afgezien van de coefficient) te beschouwen

als een herhalingscombL1atie van 4 ui t

x

9 y, z. Het zijn X

4

9 X

3

y7

3 22 2 22~_3_2 ~2 3 4

3

22

3

·X Z 9 X Y 9 X yz 9 X Z , -"-Y ₉ xy Z 9 X"J Z 9 XZ y y 9 y Z 9 y Z 9 yz 9 z4

( aan tal: 15).

~!~~~!~~-~0 Het aantal varie. · 5 es Van k elementen ui t n bedr::::_.,,,-:

nl/(n- k)! (Men inter:pretere 0! = i , )

~~:_~;).~· Elk dezer-variaties kan op (n- k) l manieren worden anr,· ·

vuld tot een :permutatie van de n elementen9 en op deze manier ontstaan

§!~~~~~~L2· Het aantal combinaties van k ui t n elementen bed:::-rv1g+,

k!(n-k)!

~~~~~~· Elke eombinatie kan op k! manieren tot een variatie -crorden gerangschikt~ en op deze v!ijze ontstaat elke variatie precies een keer. Overtuig U afzonderlijk van de juistheid van de formule in de gevallen k =' 0 en k = n.

Stelling 4. Ret aantal herhalingsvariaties van k ult n elementen

---k--bedraagt n .

~~~~;i~· Op elk der k plaatsen heeft men9 onafhankelijk van elkaar~

n mogelijkheden.

Stelling 5. Ret aantal herhalingscombinatie~ van k ui t n elementen

---r-bedraagt \ n +

~

- 1 ) •

~~~~;!~· We zullen de verzameling der ·genoemde herhalingscombinatiGs eeneenduidig afbeelden op de combinaties van k ui t n

+

k - 1 elerr>:.<i: .en. Duidelijkheidshalve laten ;ro het. zion ·aan de hand van een bijzondor

geval g n= 4~ k=

9.

De 4 elementen zijn de letters a9 b, 69 d. "' ·o

herhalingscombinatie R is nu als volgt te rangschikken ; eerst allc a's, dan alle_ b1 _{s~ etc. Bijv. aabbbbddd.}

_We

_{gaan nu elke reeds}

eerder voorgekomen letter vervangen door het rangnummer dat di~ letter in het totale rijtje heeft g a2b456d89. Noem dit rijtje H'.

Omgekeerd kan ui t de symbol en a, b 9 d, 2, 49 59

6

9 8,

9

slechts op e•5n

marrier een R' worden gevormd (de plaatsen van 2~ 49 5, 89

9

liggen

vast, en op de

3

overgebleven plaatsen moeten a, b, d in alfabetische volgorde worden ingevuld). Verder ziet men gemakkelijk, dat elke combinatie van

9

symbolen uit de verzameling

fa, b, c, d, 2,

3, 4

1 59 6,

7,

8, 9} (die 4+

9-1

symbolen bevat) tot een

H' kan worden gerangschikt.

S t 11 .

6

(

,__ )

n = " n ( n \1 n-kbk

--~--~~~--. a+ u L.k=o \ k) a

(n

= 1 , 2, ••• )

(Binomiaalformule van Neuton). ~~!~~~, Ret is voldoende het geval a= 1 te beschouwen. We voeren nu n veranderlijken b

1, ••• ~ bn in, en bekijken ( 1 + b1) ••• ( 1 +

1:-\,)

n

Als we di t volledig ui twerken, ontstaan er 2 termen; elke terL ~s

het product van een ccmbinatie van een aantal b' s • van de graad k bedraagt

(~J

(st.

3).

Door nu b

1, door b te vervangen vinden we de formule van Newton.

Ret aantal

tr

0 0 0 ~ b n

Even en oneven permutatieso We zullen de n! permutaties van de

---~---~--getallen 11 2, , o

o,

n indelen in even en oneven permutatieso Ook

spreken we wel over de siKDatuu~ van een permutatie g de even

permuta-ties hebben de signatuur + 1 en de oneven hebben de signatuur - 1 o De signatuur van de permutatie (a

1, a

2

~ oo.1 an) stellen we voor door

E( a 1, o o o 9 an) , en we definieren 0 0 c 9

a )

n == sgn

(a.-a.),

J J. (~.-a

))

n n-1'

Eierbij is sgn x gedefinieerd als

+

1 of - 1 naargelang x ) 0 of x

<

0 9 terwijl sgn 0 = 0 word t genomen. In het product treed t een

negatieve factor op als in de permutatie een hoger nummer v66r een lager verschijnt. Zoiets noemen we een inversie, en een permutatie is dus even of oneven -naargelang het aantal inversies even of oneven is.

Voorbeeld g de permutatie (51 3 2 4) is oneven, want er zijn

5

inversie;o9 te weten (51) 9 (53) 9 (52), (54) 9 (3 2) o Ook is

sgn((i-5)(3-5)(2-5)(4-5)(3-1)(2-1)(4-1)(2-3)(4-3)(4-2)) == +1 o §~~!!~~~-Z· Verwisselt men in een permutatie twee getallen, dan komt er een nieuwe permutatie, waarvan de signatuur tegengesteld is aan die van de oudeo Bijvo (8 1 3 2

9

57 4

6)

is oneven9

(8 1 7 2

9

53 4

6)

is even 9

3

en 7 zijn verwisseldo

~~!:!::~~0 We geven dit aan de hand van het voorbeeld~ De enige mogelijke inversies die door de verwisseling worden be:invloed zijnr Ci:I.e van 3 en 7 zelf en die V&'l 3 en 7 met de tussengelegen getallen 2

9 5

o

Wat de 29

9,

5 betreft, behoeven we slechts 5 te bekijken9 want een 2

ziet geen verschil tussen een 3 en een 79 evenmin als een

9.

En

(5-3)(7-5) gaat over in (5-7)(3-5) 9 waarbij dus niets veran.dert,

De enige factor die we nog moeten bekijken is 7-

3

9 deze gaat over

in

3 - 7

9 dus verandert van tekeno

Soms is het voordelig het symbool E( a

1, o. o 9 an) ook te ge-bruiken

in het geval dat er onder de getallen a

1 9 • • • 9 an gelijke voflrkomGn)

Stelsel;fvan lineaire vergeli.jkingen.

Een stelsel van m lineaire vergelijkingen met n onbekenden kan

worden genoteerd als

a11x1 + a12x2 +

a21x1

+

+

a x

mn n

b m

Hierin heten x

1

9 ••• , xn

of de bekende termen

7

en

de onbekenden 9 de b.

1

_{s heten de rechterleden,}

l

de a. ; Is heten de coefficienten.

Men kan de

lJ

a .. 1 _s

lJ

afzonderlijk in een rechthoekig schema zetten

g

Zo1

_{n schema heet een matrix; hier is het een matrix met m rijen en}

n kolommen 9 een zog.

(m x n)- ma tri:x:.

De notatie is

z6~

dat

a ..

l J

het

getal voorstelt dat in de i-de rij en de j-de kolom staat.

De a;.

1

s

_{en b.'s stellen getallen voor}

₉

_{x 19 • .; • , xn daarentegen}

l J .l

zijn zonder meer letters.

Voor die letters kunnen we wel getallen

invullen

9

maar dan is het geen stelsel vergelijkingen meer.

(Daar vfe

uitsluitend~

lineaire vergelijkingen beschouwen, laten we in het

ver-volg de toevoeging "lineaire

n

weg.)

Een rijtje ( c

1

9 o

o o, en)

van n getallen heet een oplossing van

het stelsel, als de substi tuti e

x_

1

=

c 19

o

o o, xn =en alle vergelijkingen

in gelijkheden overvoert.

(Gemakshalve zegt men vaak

g 11 _x:

1

=

c

1

, • o.

9

xn =en is een oplossing",

Deze nota tie heeft voordelon

in het geval dater niet zo'n duidelijke volgorde der onbekenden is,)

Het stelsel heet oplosbaar, eenduidig oplosbaar,

strijdi~

als

het respo minstens een oplossing, precies een oplossing, geen enkelo

oplossing heeft.

Het stelsel heet

homo~ee~

als b

=

o o o

=

b = 0 • In da t geval is

·J m

(o, ... ,

0)

steeds een oplossing, de Zog. nuloplossingo

Een vergelijking heet een

nulvergelijkin~ als alle coefficienter

zowel als de bekende term nul zijn.

Een vergelijking hoet een strijdige vergelijking als alle

co~ffi­

cienten nul zijn, doch de bekende term niet.

Een vergelijking heet een echte vergelijking als niet alle

coefficienten nul zijno

Twee stelsels heten equivalent als ze dezelfde oplossingen hebben

9

cLwozo als elke oplossing van het eerste stelsel ook aan het twecde

voldoet en omgekeerdo

6s

Voorbeeld •

r

X 0

₍

X 1

t

X + y 1

en

i

X 2

-X+ y 0 y 0

zijn equi vc;,l en te stelsels, want beide zijn strijdig.

Herhaaldelijk zullen de volgende operaties op

~telsels

vergelijkin-gen worden toegepast.

1°.

"De i-de vergelijking met een getal p f

0

vermenigvuldigen.

11

Hiermee wordt

bedoeld~

dat we ui t een steisei een nieuw· stelsel maken9

waarvan in de i-de vergelijking de

co~ffici~nten

en de

~ekende_ierlli

alle

p

keer zo groat zijn als de overeenkomstige getalleh in. de i-de

vergelijkin~

van hat

oude

stelse1

1

terwijl alle andere 'vergelijkingen

hetzelfde zijn

gebleven~

' '

)

if

J .

2°.

"De

i-d~

vergebjking q keer

b:j_j

de j-de optellen

11

~ctis

Hier is

in

ho-G

hlteu~e

stels61

hoog:H~ns

de

j;..de

vergelijking

verschillend van de overeenkomstige in het oude.

Een

co~ffic±~nt

uit

de nieuwe j;.;de vergel:ijki..ng is gelijk aan d.e overeenkbmstige

co~fficient

ui

t

de oude j-de vergelijking plus q maal de overeenkomstige

coeffi-cient uit de i-de vergelijking? analoog voor de bekende term.

3°.

WViJegschrappen van een nulvergelijking

11

,

hetgeen natuurlijk

slechts mogelijk is als er een dergelijke vergelijking in het stelsel

voorkomt.

Ret nieuwe stelsel heeft nu minder vergelijkingen dan het

oude.

~!~!~~~§-~·

Door een van de boven genoemde operaties op een stelsel

toe te passen ontstaat een

nieu~

stelsel dat equivalent is met het oude.

!!~!!j~·

Elke oplossing van het oude stelsel voldoet aan het nieuwe

( ook nog als

p = 0 ~

en ook nog al s er een willekeurige

vergelijkin,g-wordt geschrapt).

Gaat men omgekeerd van een oplossing van het nieuwe

stelsel uit, dan voldoet die aan het oude.

De inverse operaties zijn

n

.1.

resps :

1° o

vermenigvuldig.

i.~de vergelijking

2° .. tel i-de vergelijking -q keer bij j -de

op ;

nulvergelijking bij"

met

p -1

3

°-

_ p 1

aa s e:r' een

t

Gereduceerde stelselso

Een stelsel van m vergelijkingen met n

onbekenden heet een gereduceerd stelsel als er bij elke echte

vergelij-king van het stelsel een onbekende is aan te wijzen die in die vergr::;,

lijking een COefficient

f

0 heeft doch in alle andere vergelijking·E',J:

van het stelsel de coefficient

0 0

Voorbeelden

g ₊ w +

t

= 0

Bijbehorende

-

Yf

-

2t

4

onbekenden

X+ y + .!- _{0 Bijbehorende onbekendc·1} u

X -z 1 resp. y~ z~w of

3w

2 'resp. t~ z, w 0

O·x

₊

o.y ₊ O·z + Oow + O·t 0

Oox ₊ 0·~ + o.z + o.w

+

o.t 2

"

~~~!!~£.~-~. Elk stelsel van m vergelijkingen met n onbekenden is equi vale:n t met een gereduceerd stelsel van k vergelijkingen, waarbi j k~m o

~~!~~~0

.

We mogen aannemen, dat het gegeven stelsel (noem dat S) minstens g~n echte vergelijking bevat. Zoek bij de eerste echte vers?-lijking ee:n onbekende die een coefficient

I=

0 heeft. Noem de vergG-lijking v

1 en de genoemde onbekende y 1 o Trek nu v 1 van elke andere vergelijking van het stelsel zo vaak af? dat de coefficient van y1 in al die vergelijkingen nul wordto Dan komen we tot een stelsel 8

2 d.at met het gegeven stelsel equivalent is, en waarbij de y₁ slechts in

v

1 voorkomL Al s in

s

2 ~ehal ve v 1 geen e:nkele echte vergelijking voorkomt 9

zijn we reeds klae.r. Onderstel nu, ·dat v

2 een tweede echte vergelij-king in 82 is.

!n

v2 heeft y1 de coefficient 0 ~ er is dus een tweede onbekende (noem die y2) die daar een coefficient

f:

0 heeft, Nu trekken we weer v

2 van alle andere vergelijkingen ( ook van v 1 ) zo vaak af, dat de y

2 uit al die vergelijkingen verdwijnt. Zo ontstaat het stelsel 8

3

•

We gaan zo door, en komen tenslotte tot een stelsel

8k dat k echte yergelijkingen bevat en verder eventueel nog nulver-gelijkingen of strij dige vergelijkingen~ terwijl_ er k onbekenden y

1, ••• , yk zijn, z6dat yi slechts in de i-de echte vergelijking voorkomt (i

=

1, .•• 7 k) • Het is duidelijk9 dat k

<

n en k~m is,

· Eigenlijk zouden we het bovenstaande bewijs door middel van volledige inductie (bijv. naar m ) moeten voeren, maar dan zou iets minder duidelijk uitkomen hoe we de reductie in de practijk uitvoeren.

Merk op? dat het hier beschreven reductieproces vaak op verschil-lende manieren kan worden ui tgevoerd en niet al tijd tot eenzelfde

[0'-reduceerd stelsel leid.t.

· We kunnen nu van elk otelsel alle oplossingen aangeven door een daarmee equivalent gereduceerd stelsel te bestuderen.

~!~!!~~~-!Qo Als een gereduceerd stelsel een strijdige vergel2~~~ng tev:at1 dan heeft het goen enkele oplossingo ·Als een gereduceerd stelsel

(met n onbekenden) k echte vergelijkingen oevat en geen enkele strij-dige vergeli jking9 dan is het stel sel oplosbaar (en dan is k

i.

n ) o

bi j":pass:ende waarde van

y.

bepalen o:p grond. van de i,-de vergelijking.

J.

Elke zo verkregen stel waarden is een

oplossing~

en elke o:plossing kan zo

worden verkregen.

Voorbeeld

.

_'

(X

+

w

-

t

1

...

_-

_y

_-

_{TJ\t 0}

}

1..

2z

+ \fl ₊

t

₃

0

Als

A~

!l

getallen zijn$ dan is

X=1-A.+!l

1 z

.

= 2-, ~(3 -

t

=

!l

een

o:plossing~

en elke

o:plo~sing

wordt door geschikte

keuz~

van

A

en

!l

zo verkregen.

We noemen

A

en

!l

parameters, en het stel formules

noemen we een algemene

2Rlo~siriR.

§~~!!!!!:\3'_!!·

Als

m < n

9

dim he eft een stel sel van m hombRene

vergelijkingen met n onbekenden minstens een oplossing die van de

nuloplossing verschilto

~~!!~~0

Het stelsel is equivalent met een gereduceerd stelsel met

hoogstens m echte vergelijkingen.

9trijdige vergeiijkingen kunnen in

het gereduceerde stelsel niet voorkomen

7

omdat het oude stelsel de

nul-o:plossing heefi;, dus het nieuwe ooko

(Bij de in st.

9

aangegeven

re-ductie-methode blijven trouwens alle vergelijkingen homogeeno)

Volgens st. 10 kunnen we, daar m<n is, een :positief aantal der

onbekende willeketirige waarden geven en daaruft een o:plossing vormeL.o

Door minstens een van die willekeurige waarden

fO

te nemen krijgen '"

een o:plossing die van de huloplossing verschilt.

212~~E~!!!;~_!

o Voor verschillende doeleinden kan men het rekemrc-;·

beperken door met een onvolledige reductie te volstaan, bijv. tot

stelsels van het

vo~gende

type

rx

-

y

+

2z ₊ w

...

t

=

₃

i

<

y

-

z

₊

w

-

3t

5

i \ _z

_-

_2Vi

₊

_5t

₀ 0

Hieraan kan men reeds zonder enig rekenwerk zien, dat er o:plossingen

bestaan, en wel oplossingen waarbij de waarden van w en t willekeurig

voorgeschreven kunnei,J. woTden.

Uit de onderste vergelijking is, dan n.J.

z o:p te lossen, vervolgens y ui t de middelste en tenslotte x uj_

t

de

bovenstea

Dit is in te zien zonder het werkelijk uit te voeren, zodat

de o:plosbaarheid van het stelsel met minder moeite is aangetoond dan

bij volledige reductio.

212~~E~!!!:§_g.

De volgende vraag

lG

nog onbeantwoord.

Als het stelsel

S equivalent is met Lat gereduceerde stelsel

R

1

en ook met het

go.rufu-ceerde s"telsel

~

₂

~

b8vatten

R.

1

en

R2

dan evenveel echte vergelijk:l '":

?

§

3.

Determinanten.

Een stelsel van n homogene vergelijkingen met n onbekenden

ver-keert steeds in ~~n der volgende gevallen.

I. Bet heeft slechts ~e nuloplossing. Dit is het geval als

het equivalent is met eon gereduceerd stelsel dat n echte vergelijkingen

bevat ; dat gereduceerde stelsel is dan c x

1 = 0~ •.. 1 c x = 0

1 n n

met c

1

/= 0

1 • • • , en

f

0 •

II. Het heeft mecr dan e~n oplossing.

Dit

treedt op als het

equivalent is met een gereduceerd stelsel met minder dan n echte

ver-gelijkingen.

'iVe zullen zien9 dat er een zekere functie van de coefficienten lE

aan te geven, de z 0 g. C.eterminant van de coefficienten- matrix, zodanig

dat we in het geval I verke~en als ~e determinant

/=0

_is, en in het

geval II al s de determinant = 0 l s.. Deze functie zullen we aangeve:::-1

met ( a!-\

,.,

.\ a11 a1n j • I

~In\

det \

~n1

of met } a nn i a n1 • 0 Q a nn

We bekijken eerst de gevallen n=\5 29

3

0 Als n=1 is het stelsel

ax= 0, 'I've verkeren in geval I als in geval II als a= 0.

We definieren de determi:na!l-~ door det(a) =a. Inderdaad heeft deze d·3

gewenste eigenschap.

Zij nu n = 2 ₉ en het stolsel

r

a1x + a2:' (\ ·J

1.

b

1x + 11 v 0 0

2u

Als

_{a1 =a = 0} dan -r;rerkeren vve in geval IL

2 Ala a1

/=

0 , dan

red-c:.ce-ren we door x ui t de twesc~:;; vergcli~1d ng

te

verwijderen ~

~ a~x + a₂y t ( -1 \ l b 2 - a2a.1 1;~ )Y 0 0 e

We zijn dus slecht2 t~ geval I d.w.z.

a

1b2 - a2b1

f

0.

Is a

1 = O, a2

/=

0 9 dE•.CJ. kom.en v:e gc:mokkelijk tot hetzelfde resul taat"

Vi!e defini~ren nu

en weer heeft de detersin2~t de gewenste eigenschap.

Neem nu · n =

3

g ~-\- E'll.: ~t _1.. L .. -:, ~~ :..:;:.=::: 0 ~ _./ b

_'2-:.r

-:- iJ 7

c

7 ._, ) ·'- r.

,.

-~ .. .(~ 0 v ~-: 7 0 :::. ) Als

..

I

We onderstellen nu a

1 t 0 o We reduceren tot

{

+

ay + az=O

a1x (a1 b2- a2b11Y + (a1 b3- a3b2Jz = 0

(a

1c2 - a2c1

)y

+

(a1c

₃

-

a

₃

c·1)z == 0 o

Ret stelsel verkeert dan en slechts dan in geval II1 ·Lals het stel sel gevormd door de onderste twee vergelijkingen in g~val II verkeeri, dus als a1b2 - a2b1 a1c2 - a2c1 a1b3 - a3b2 a1c3 - a3c1 :::: 0 0

Na ui twerking en deling door a

1 zien we, dat di t neerkomt op D

=

0 ,

waarbij

D = a

₁

b

₂

c

₃

-a

₁

b

₃

c

₂

-a

₂

b

₁

c

₃

+a

₂

b

3

c

₁

+a

₃

b

₁

c

₂

~a

₃

b

₂

c

₁

•

Ook ars a

1 = 09 a₂

-f

0 komen we tot di t resul taat ( verwisseiirig van de

indices 1 en 2 doet D in -D overgaan) o Ook als a₁ =

a

₂

=

0 , a 3

-f

0 en als a =a =a =0

1 2

3

zien we, dat

D

f

0

<==>

stelsel eenduidig oplosbaar.

Per defini tie is D weer determinant van de coefficiehtenmatrixo

Ret is te ingewikkeld om op de aangegeven weg verder te gaa:ri naar We zullen anders te werk gaan. We bekijken de uitdrukkirg D (bij n =

3)

wat nauwkeuriger en bouwen naar analogie de determin~·rt voor n =

4, 5, •

o. op; achteraf bewijzen we pas, dat deze de gewonsto eigenschap heefto

In de ui tdrukking voor D staan 6 termen, elk van de vorm +a. lJ. ck .

- l J

Hier is (i9 j, k) steeds een permutatie van

(1,

2, 3) het teken is +

als die permutatie even is, en - als die oneven is. Definitie. Onder

0

ani

~nn

I

verstaat men de som van de nJ termen van de gedaante j ) a

1 . a2. • • • a . •

n J1 J2 11_Jn

In elk der termen is een permutatie van (1, o o o ,

n)

bij elke permutatie behoort precies een term.

In de gevallen n:::: '1, 2 9

3

stemt di t met de eerder gegeven defini tie

overeen. Merk op 9 da t we det A alleen gedefinieerd hebben voor een

vierkante matrix A (d.io een matrix met evenveel rijen als kolommen) ...

Laat oplossing van j

=

19 X

(

.

\ E j 1, .•• 9 J } a . :;:, 1 J 1

een permutatie zijn van ( 1 9 • • • ,

n) • ·

Zi j i ₁

a .

nJ~

cie van j

=

2 9 enz . Dan is X

• o o , j ) a .

1 o • o al. . . n

11 0

(j

1, •• o, jn) ~ dus j p ) j q 9 p(q. Stellen we nu j p =r9 j q =s, dan is

;i.r=p9 i

8 =q en (is'

i)

is eeninversievan (i1

,o ••

9 in)o Om.gekeerd

hoort bij iedere inversie (is, ir) van (i

1, • o. 9 in) door middel van i =p, i =q een inversie

( j , j )

van

(j

1, ••o 9

j )

o De aantallen

r s p q n

inversies van

(j

1,

.0.,

jn) en (i1, ••• ,in) zijn dus gelijko

Voorbeeld ~ Als (j 1,

o o.,

j

6

)

=(53

14

6

2) dari is (i_ 1, o o o 9 i

6

)

= (3

6

2

4

1 5) • De inversie (53) op 1e en 2 8 plaats bij de jis correspondeert met de inversie

(2 1)

op 3e en 58 plaats bij de iiso We hebben dus

j )a

1. ~·0 a . =E(i1; o••> i )a. 1 •o• a . . ,

n Ji nJn n _{1 1} 1nn

Doorloopt alle perm.utaties, dan doorloopt (i

1, o • • ; in)

alle perm.utaties. Hieruit volgt nu

a n1

• I

ann

I

m.a.wo een determinant verandert niet hoofddiagonaal (d.i. de diagonaal van

I

a11 a21 1

~12

I

~1n

=

a

nn

I

als men de matrix wentelt om (le

a ₁₁ naar ann ) .

In de volgende stellingen wordt gesproken over zekere bewerklngen die met de rijen van een matrix worden uitgevoerd.

Op

grond van st. 12

zal het duidelijk zijn, dat de overeenkomstige stellingen gelden wann8er men overal het woord "rij" door "kolom.11 _{vervangt en omgekeerd.}

~!~~!!~~L1~o Zij i een der getallen 1, o

o.,

n. Is elk element van de i-de rij van een vierkante matrix

:1n)

nn

\

-~11 o o o

A

=

o

an

1 0 0 •

als som van twee termen geschreven a .• =b .. +c .• (j=1 9 . • • • ,n),

lJ lJ lJ

dan

is

det A= det B + dmt C. Hierin is B de matrix die ui t A onts"t2 -;-!; door de i-de rij a.

1, o o ,.~·, a. te vervangen do0r b. 1, •• , 9 b. 9

1 1n 1 1n

terwijl C analoog is gedefinieerd.

~~!~j~ o Gemakshal ve nomen we i = 1 ₁ doch het algemene geval gaa t

evenzc. Elk8 in de dofini tie va::1. det A voork,omende term kan worden gespli tst ? T.1 ( • .r!; J 9 0 0 0 9 E

(j

1' +E(j1, 0 0 0 9 a . nJn a . nJn +

Door di t voor elke permutatio op te schrijven en te somm.eren blijkt det A = det B + det C •

Analocig bewijst men·

~!~~~~~~-14. Laat de matrix B ontstai:J,n ui t de ( vierkante) ina trix A door de e~rste rij van A met :p₁ te vermenigvuldigen9 de tweede mot p

2 9

enz. Dus b .. =:p.a .. (i=1 9 o o . 9 n9 j=1 9 • • • ,n). Dan is

lJ l lJ

det B = p

1p2 ••• :pn det A.

~~~~~~~~~22·

Laat de matrix :B ontstaan uit de (vierkante) matrix A door twee rijen te verwisscleh. Dan is det B =- det A.

£~!:~:1~· Terwille van de notatie nemen we gemakshalve aan, dat de verwisseling de eerste twee rijen betreft. Dan is een term uit detB

E(j1, •••9 j )b .. b2 . • . • b .

=

E(j1, o o q j )a2. a1. a3. c o o a .

n :r. J 1 .· J 1 llJn n J 1 J 2 J

3

nan E(j

1, ••o9 j )a

1. a2. a

₃

.•••

a .

n J 2 J 1 J

3

nJn =-E(j2' j1, j39 •.. , jn)a1j2a2j1 •o• anjn (de laatste stap berust o:p st.

7)o

Als (j

1, ••• 9 jn) alle permutaties doorloopt, dan doet

(j

2, ,j1, j₃, ••• 9 jn) dat ook. Sommatie van het

eerste lid levert det B op, en van het laatste - det A o

~!~~1!~8'_2§· Als A twee gelljke rijen heeft dan is de"i A= 0 •

~~!~j~· Verwisseling van deze rijen doet det A in zi;jn tegengestelde overgaan9 terwijl A door deze verwisseling niet veranderto Dus

det A= - det A •

~!~~!!~8'-2I· Laat p en i gegeven indices zijn9 :pfi 9 1~p~n,

1i_i~n en c een gegeven getal. Laat de matrix E ontstaan uit de vierkante matrix A door in de i-de ri_j R-. -~

te

vervangen door

lJ .

(j = 19 • • • , n) . (We zeggen dan dat B ui t A ontstaat door

a ..

+

c a .

lJ PJ

de p-de rij c maal bij de i-de rij op te tellen.) Dan is det B = det A.

£~!:~~~· We spli tsen det B volgens st. 13 en passen nog st.

14

toe. We vinden dan9 ·dat det B = det A+ c det A' 9 waarin A' twee gelijke rij1:n

heeft. Nu st.

16.

We kunnen nu reeds bewijzen9 dat de determinant van een matrix d:

eigenschap heeft die we reeds bij n = 1 ~ 2,

3

hadden vastgesteld.

~!~~~~~~L2~

·

a11 a1n 0

<=>

) a11x1

+

• • 0

+

a X 0 nn n

.

.

he eft slechts

~nn

j

la n1x1

+

+

annxn 0 de nulo:plossing. 0

1 • Onderstel, dat het stelsel een oplossing

z

1 = c1, o • • 1 xn = dn heef't waari:h c19 .... 9 c:n niet alle :hul zijn.

Bijv. c

1

f

0 o Tel nu achteree:nvolgens de 2e koiom van de matrix c1- \2

e -1

keor bij de eerste op9 de 3 kolom c

1 o₃ keer~ enz. Dan ontstaat een matrix waarvan de determinant nog steeds gelijk is aan det A (blijkens st.

17;

9 doch waarvan de gehele eerste kolom uit nullen

bc-staat. Een dergelijke matrix heeft ochter de determinant 0 9 zodat

2°o Onderstel9 dat het stelsel slechts de nuloplossing

heeft. Dat betekont, dat het met de in hot bewijs van st.

9

gegeven methode te herleiden is tot oen gereduceerd stelsol van de vorm

· ( p 1 x1

<)

i

\.

:= 0 0 p X

=

0 , n n met p

1

f

O, •. o , pn

f

0 o Deze herleiding geschiedt dan door herhaaldo1ijk

vergelijkingen van het stelsel zekcre malen af te trekken van anderr:: •:n af en toe de volgorde van de vergelijkingen te veranderen. Door al o.~zo

oporaties verandert de determinant van de coefficientenmatrix hoogstons wat het teken.betreft, zodat

I

p1 0 0 Q Q 0 0 Q 0

I

0 _p2 0 • • 0 0

+

det

A

-

i 0

0

I

I

0 0 OQ0~0.¢0 0 Pn

I

I

De determinant in het rechterlid is p

1 •o• pn ( bij toopassing van de defini tie is di t de enige van de n! termen die niet verdwijnt) o

Daar de P-: 's alle /-0 zijn, is dus ook det A

f

0 •

.L an1 a _nn I ₀

r

( _a11x1 I

<=>

) 0 •

C

an1x1

+

+

_{a1n X n}

+

+·

a X

nn

n b1 eenduidig b oplosbaeT, n

~~!~Q.~· Het stelsel vergelijkingen noemen we S , en het stelsel d t daarui t on tstaat door de bekende termen door null en te vervangen :n:Jc r ·:1.

we S.

0 Blijkens st. 18 is het voldoende te bewijzen, dat

s

eenduidig oplosbaar

<=>

S heeft slechts de nuloplossing.

0

Merk op, dat di t niet meer geldt voor m vergelijkingen met n onbd·,m--den als m

>

n o

vfe reduceren S met de methode van het bewijs van st.

9

tot een geredu-ceerd stelsel R o Met precies dezelfde stappen word t S gereduceerd

0

tot een gereduceerd stelsel R , v-raarbij ook weer R ui t R ontstaa-t

0 0

door de bekende termen n1::.l te maken. .Als S

0 slechts de nuloplossin;?,·

heeft, dan heeft R

0 de vorm p1x1 = 0, ••• ~ pnxn = 0 ~ met

.cj

1/=09 oooypnfO. Nu is R van de vorm p1x1 =q1,

•o·~PnXn=~

(or kunnen geen strijdige -;-ergelijkingen bijkomen, want S bevat niet :meor dan n vergelijkingen). !lus R is eenduidig oplosbaar, zodat hetzelfde voor S geldt.

Zij omgekeerd S eenduidig oplosbaar, en x

1 = c1 9 o. o y xn =en do

oplossing van S o Is x

is x

1

=

c 1

+

d1, ••• , xn

=

en+ dn slechts 66n oplossing heeft, is de nuloplossing.

ook een oplossing van S o Daar S

d = o o o = d = 0. S heeft dus slc,;11·:s

1 n o

Onderdeterminanten. Laat mon uit de mc.trix

---u11

~1n)

an1 a _nn

kolom weg, dan ontstaat er weer een de i-de rij on de j-de

matrix die we met A ..

lJ

aanduiden. De determinant van • • A .• J_ J

onderdeterminant van

a ..•

J.J

minor van a. . genoemdo

lJ

(

)

l+J

Ret getal -1 det A ..

=

m . .

. :LJ 2J

~~~!!~~~-g20 Is i een der getallen

1, ... ,

n, dan is +a. m.

J.n

2n

vierkanto hoet de

wordt d8

(ontwikkeling van de. determinant van een matrix naar de elementen van een rij). De overeenkomstige stalling geldt voor ontwikkeling naar een kolom.

·

~~!~j~.

1°. Zij B een n x n matrix met

bnj = 0 voor j = 1, ••• , n - 1 o

Dan zijn in de .som, waarin det :B volgens de defini tie geschreven kan worden, alleen die termen mogelijk ongelijk nul, die de gedaante

E(j

1, ••• , j )b4 • 1₂ . • • • bnJ··n, met j =n,

n ;.J 1 J2 n

hebben, waarbij (j

1_. , o.,, j.) _n een permutatie van

(1, .•• ,

n)

is.

Di t ,betekent, dat

(j

1, ••• , jn_1) een permutatie van ( 1, ••• , n- 1) is. Daar E(j

1, • • q jn_1, n) = E(j1, ••• , jn_1) stellen we nu vast, dat

det B = b det B

nn nn

waarbij det :B, de onderd.eterminant is van b

nn nn

2°. We keren nu terug tot onze matrix A • Volgens st. 13 is

det A = det P

1

+ •

o .

+

det Pn ,

waarbij de matrix P. ontstaat door in de i-de rij van A (voor de e:r:e

J .

bepaalde i van de s·telling) alle ol~'>nenten"!

B."{k

met k ~ j door 0 te vervangen, Door in J.eder der P.: s de i-de rij n- i plaatsen

J

naar bene den te schui ven en de j -do kolom n- j plaatsen naar recb".,-komen we tot detP.

=

(..,.1)(n-i).J..(n-j)det J / I

\

I!

.

Aij ···-···· 0 • 0. 0

*

*

a ..

lJ

.

_/

.

Passen we nu 1° toe, dan zien we

9

dat

(

)

i+j

det P. = -1

a .. det A ..

J

J.J

J.J

a •• m ..

J.J J.J

waaruit het gestelde volgt.

Teneinde de stelling ook voor ontwikkeling'naar een kolom te

be-wijzen, gaan we op de gespiegelde matrix over (vergelijk st. 12).

Merk op, dat de minor van a. . in

A

gelijk is aan de minor van het

J.J

element in de j-de rij en i-de kolom in de gespiegelde matrix.

We kunnen st. 20 o.ao gebruiken om determinanten snel te berekenen.

We herleiden de matrix dan eerst door toepassing van st. 17 tot een

andere (met dezelfde determinant) die een rij heeft

~marin

nog maar

een element

f.

0

staat.

Vervolgens ontwikkelen we naar die rij, waartoe

we dan nog slechts een determinant van een matrix van n

---t

rij-en en

kolommen behoeven te berekenen.

Voor de laatstgenoemde kunnen we weer

hetzelfde precede toepassen.

+

a.

mk

= 0

J.n n

+

a .m k = 0.

nJ. n

(Als i=k,

~~!~~::!i>

ai1mk1

+

ai2mk2

+

a1im1k

+

a2im2k

+

dan zijn die sommen blijkens st. 20 gelijk aan

We vormen een matrix B di-e ui t

A

onstaat door de k-de rij

van

A

te vervangen door ai

₁, ••• ,

ain

(de i-de rij van B is echter

nog gelijk aan de i-de rij van

A).

Blijkens st. 20 is nu

ai

₁

mk

₁ + ••. +

ainmkn

=

detB.

Op B is echter st. 16 van toepassinr,.

dus det B

=

0 •

§!:::!!~~~-gg. Zij det

A

f.

0. Tian

is het stelsel

\a11x1

+

--

alnxn

"b 1

I o •

\

J ₊

₊

_{8. X}

_b

\ an_;x1

_{nn n}

_n

eenduidig oplosbaar; de op1ossing is x

1

=

d

1

/d, x

2

=

d

2

/d, ••• , xn

=

dn/d.

Hierin is d

=

det

A 9

en

<l~

is de dete:rm.inant van de matrix die ontsL;,at

....

door de getallen in de

j

-·de kolom van

A

opeenvolgcmd door

b

1

9 • • • ,

bn

te vervangen,

(Regel van Cramer).

~~!~j~·

Voor een gedeel te vo,n het bewijs kunnen we st.

19

gebruikcn;

we zullen.dat echter niet doen.

We merken op

9

dat uit st. 20 volgt

9

dat

+ b m . 9

n nJ

waarin de

m •. 1

_{s de minoren van de matrix}

_A

_zijn.

_{Neem vervolgens}

J.J

eerst aan

9

dat het stelsel oplosbaar is. Laat

(x

1

*

1 • • • ,

xn*)

een

-oplossing voorstellen (dit zijn

dus

nu geen onbekenden, doch getallcn).

Vermenigvuldig de gelijkheden die door substitutie van

ontstaan, opeenvolgend met

m ___ ,'

·iJ .., 0 0 9 m . 11J

en tel op ;

*

X ,,_ x 1 ' ••• ' ·-n.

dan komt er

d = d .x.

* '

dus

X:*=

d ./d '• Er is dus hoogstens een oplossing g als er

J J . J J

een oplossing is, dan is het (d1/d, • 0 . 9 dn/d) 0

Tenslotte laten we zien, dat dit inderdaad een oplossing is. Substitutie in de i-de vergelijking geeft in het linkerlid

n / -1 n n .:..1 n n

2: . a. . d . d = d I: . ₁ a. . I:k ₁ bk m.. • = d I:k _{1 bk I: . 1 a . . mk . .}

J

=

1 J. J J J

=

J. J

=

KJ

= J = J. J ~ J De binnenste somis altijd nul, tenzij k=j (st. 21) 9 want dan komt er

d uit (sto 20). De dubbele som levert dus bkd op, zodat d

1/d, ••• , dn/d inderdaad aan de i-de vergelijking voldoeto

~~~!!~~~-gz o Beschouw .n-- 1 homogene vergelijkingen met n onbekenden :

( a11x1 +

tan_;,1x;

+

.

\

+

a _{n-1 ,n n} x = 0.

Zij d. de determinant van de matrix die uit de coefficientenmatrix

J.

ontstaat door de i-de kolom weg te lateno Dan geldt: als d

1, .•• , dn niet alle tegelijk nul zijn, da~ is de algemene'oplossing van het stelsel

x

1 = A d 1 , x2 = - Ad , x 2

3

= A d , •• ., x

3

n = ( -1 ) n A d " r ' waarin A een parameter is.

~~!~~~· Is bijv. d₂

f

0 9 dan brengen we de termen met x₂ naar de

rechterkant, en we geven x

2 de waarde - Ad2 , waarin A. willekeurig is gekozen. Wanneer we nu dit stelsel volgens de regel van Cramer naar x

1, x

3

,

x

4

, .

o., xn oplossen, komen we tot het genoemde resul taat.

Elke oplossing wordt zo verkregen, omdat bij elke oplossing de waarde van x

2 in ·de vorm - A.d2 kan worden geschreven ( wegens d2

/=

0 ) •

Een (k x k)- onderdeterminant van een (m x n) -matrix A is

(als k~m, ki_n) de determinant van een (k x k) -matrix die ontstaat door m-k rJ.Jen en n-k kolommen van A te schrappen. (Het aant.'. manieren waarop dat kan gebeuren is

(~) (~)

o)

We zeggen, d'a t A de ran_g £. he eft 9 als r het grootste getal :;_ '

met de eigenschap dat er een (r x r)- onderdeterminant is met waard." ·1.

We spreken af, dat de nulmatrix (d.i. oen matrix die uitsluitend uit nullen bestaat) de rang 0 heeft.

Voorbeelden g

(:

\0

f) 1 2 0

2 -1

~)

1

J

heeft de rang 2 ; 1 1

3 3

4 4

5 5

~~

heeft de rang ·;

o

I

Als de rang van A r is, dan heet elke van nul verschillende (r xr)-. onderdeterminant een hoofddete-rmi nant van A • Bij de discussie van con

stelsel lineaire 'I'Tergelijkingen zullen we een hoofddeterminan t van (".~~'

links-boven in de hoek te vinden is~ dus door de eerste r rijen en de

eerste r kolommen word.t gevormd (di t is overigens steeds te bereikcn

door de volgorde der ~e~gelijkingen en de volgorde der ohbekenden

geschikt.te kiezen)o

b' 1

=

b

n

een stelsel van m vergelijkingen met n onbekenden~ en :rij r de rang

van de coefficientenmat:rix A ~

(~11

a '

I

_{a11 a1r}

.

~n)

A == • 0 Onderstel~ dat

I •

=)

0 •

\~m1

0

I

... a

I

a r1 a· ill-"11 rr

Nu geldt, dat nodig en voldoende voor ds oplosbaarheid van het stelsoJ

is~ da~.: de m- r kari'l-::CtJ3·risti elze deter._min..§:.~₉ die ontstaan door de

hoofddete:rminant met ecn rij a's e:1 een kolom b' s te randen:

a gq

alle gelijk aan nul zi~n.

(q

r + 1 ~ r

+

2, ••• 9 m)

(Q:r::?~:£'~~~~ z Als r

=

u ~ den zijn er geen karakteristieke

deter-m5_nanten5 dus dan zegt 0.8 stGlling-9 dai; het stelsel oplosbaar is.)

En als l1et s-telsel oplostsaT is9 d2.n is de algemene oplossing te ver~

:k.:ri ,j r;on C:o'J.c ,;: _-r~-1 , _° - ~~ -r:i1le:ts:euT.i.a-e waarden te g·even en vervoJ..g-ens

c;

0

> ... ~1 ._.

"-...::.. ·: 7 (> g 0 ₉ A uit de ee::cc-i.:e r -vergel5.jkingen op te los sen (di t gaat

p

£,~n£e:'ld:u.icJ.ig

₉

en kan l!ij",-~ net c~e regel \ran Cramer worden ui tgevoerd). en ale het stelsel d?losbaar is, dan is

het eenduidig opJosbsar.J

40.

~~~~:~~"

dat h~t stelsel oplo~baar is9 en

J?evv~j s (l

'!:."' .... - ... ..,,,,_ ••

laat x

1 = c1,

o. o,

::rn == c:n een op2.o,:;sing sijn. We willen bewijzen? c

alle ka:rakteristj_e~:e de-bs:cnina::.ten nul :ziij:n. J)aartoe vervangen v-!8 c} o

b. door o . c

+

o • < -l- a c •

J_ Jl! 1 . i l l IJ De d_eteTminant die daardoor ontstao. t

,.Yl L.J j=i c .. J "" ?~ . :r:r I'J 2, ..1 q_: aq_:r ~\lJ

I

In deze 8~m is elke t0~~ nul vc.·:>Jr ·1 i_ j ~ r op grond van het fei t

c1'at e:;~ can. t;-,~'88 ge}_:_~k8 k'llrnmr:n j_n A·caan (st.

·16)

~ voor j ) r o:mdat

18.

2°. Voldoende. Neem aan, dat alle karakteristieke cl·::-, .. T

-minanten nul zijn. Laat C c c nnllekeurige getallen zijn. r+1' r+2' 0

• · ' n "-'- - '

en beschouw het stelsel

( a11x1

+

(

:m1x~

+ + a _{mr r} x "= b I 1

b'

_m'

waa.rbij b.1 _{= b. -a.}

1c 1 - o • • -a. c • De eerste r vergelijkingen

l l 1,r+ r+ 1n n

hiervan vormen een eenduidig oplosbaar stelsel, daar de determinant van de coefficientenmatrix

I 0

is. Noem die oplossing x1 = p1 0 0 . 1 X

=

p .,

~ r

We laten zien, dat die oplossing ook aan de q-de vergelijking voldoet (als r

<

qi_m). Vfe merken eerst op, dat

0

(door de b .1 _{'s te spli tsen overeenkomstig hun defini tie}

1 spli tsen 1.70 l

de determinant in 1 + n- r determinanten die alle = 0 zijn, vergel ijk het 1e dee:::. van het bewijs). T::'Ok in deze matrix de eerste kolom p

1 keer van de laatste af, de tweede p

2 keer, ••• 1 de r-de pr keer.

Op de eerste r plaatse:h in de laatste kolom komen dan nullen. Daarui t volgt, dat bp de onderste plaats ook een nul komt (ontwikkel naar de laatste kolom en merk op, dat de hoofddeterminant

I

0 is). Uit dit feit lezen v;-e af, dat (p

1, ••• , pr) ook aan de q-de vergelijk~ng vcodoct. Dus (p

1, o o., p , c r r+ 1, o o o, c ) voldoet aan alle vergelijkingen van het m oorspronkelijk stelselo

Dat we zo alle oplossingen verkrijgen is duidelijk g olke oplossing-·"

van het stelsel van m vergelijkingen ic ook een oplossing v~n het stelsel bestaande uit de eerste r vergelijkingeno De waarden van

I

xr+i' oo•' xn kunnen we cr+i' o.o 9 en noemen, en daarbij zijn de

waarden voor x

1, o. o, xr eenduidj g bepaald.

Men overtuige zich ervan dat ::;';;lling en bewijs geldig blijven in de gevallen

Hoofdstuk II. Vectorruimten.

§

1. Jectoren in het platte vlak.

Kies in het platte vlak een vast punt 0 • .A.ls A een willekeurig

punt is5 verstaan we onder de _ve9to_JZ_

61

het gerichte lijnstuk met

te,-Ll-punt 0 en eindpunt A. (Veelal noemt men ook het gerichte lijnstuk ' )

...

_,

een vector,. en men zegt dat CD= OA als CD en OA gelijk zijn en

de-zelfde richting hebben (d.w.z. evenwijdig en gelijkgericht zijn). Wij

hebben daar echter geen behoefte aan, en we zullen uitsluitend vectoren ~

beschouwen die vanui t 0 zijn ui tgezet). De vector 00 heet nu;Lve<;.:t-<2...:-f.,

en word t ook door

0

voorgesteld.

De

~

van de vectoren

OA

en

oB

is gedefinieerd als

Oc

9 >marin

C z6 gekozen is, dat OACB een parallelogram

is.

Is A een reeel getal

-+ ...

dan is A. OA gedefinieerd als OB 9 waarin ] op de lijn OA ligt,

zodanig dat de afstand OB gelijk is aan A keer de afstand OA 9 en zo

dat A en B aan dezelfde kant van 0 liggen voor A

>

0 , aan

verschil-lende kant voor ·;,.

<

0.

Ter afkorting zullen we vectoren oak vaak-met een enkele letter

... ...

aangeven (met pijl) : a, b, enzo Men kan nu gemakkelijk meetkundig

be-wijzen :

§!~!!~~~-~· Ten opzichte van de optelling vormen de vectoren een abelse ( =·cammutatieve) groep (zie Syllabus Inleiding tot de Wiskunde,

...

§

10) 0 Ver0er ~eldt, voor alle vectoren a, b en voor alle getallen

fl '

( 1)

(2)

(3)

(4)

A(~

+b)

(A+~)~

(:A.

fl

)~

...

1 • a -+ ... /1. a

+

A b 9

...

...

/l.a+fla,

~~.c~ ~)

....

a

§!~!~~~~-g.

Kies pun ten E ( 1) en E( 2) die niet met 0 op een rechte

liggen. Noem

ciCi)

= -;;( 1)'

6E(

2 ) =

-;;C

2 ) 0 Dan is er bij elke vector

a~

-

-c

1)

--c

21

precieS een getallenpaar ( a

1 9 a 2) te Vinden met a 0:18 + a 2e I

Behoren bij dan behoren bij

; de getallen (

a

1, o: 2) , bij

b

de getallen (

P

1,

P

2}.,

~

+

b

de getallen (

a

1 +

~

1,

-~

2 +

B

2) 9 en bij A

1

-de getallen (A.a

1 Aa 2) o Bij 0 behoren de getallen (0, 0), bij

-c

1)

....

c

:2)

e : ( 1 , 0) , bi j e' g ( 0, 1 ) •

9EJE~E~~~~~~·

De aan -;; toegevoegde

re~allen

heten de

coorQ.inat_~'1,

van

; , behorende bij het door E(1) en E 2) vastgestelde

coordinaten~

systeem.

1\U:en kan het bewijs van stelling 1 bekorten door eerst stelli.ng 2 (meetkundig) te bewijzen, en met behulp daarvan een algebraisch bewi ·: :. te geven voor stelling !.

§

2. Vectoren in de ruimte.

We kiezen een vast punt 0 in de ruimte. Is A een willekeurig punt

....

dan is de vector

_--.-.-

OA weer het gerichte lijnstuk met beginpunt 0 en

eind-punt A. Ook optelling en scalaire vermenigvuldiging wordt geheel als

in

§

1 gedefinieerd.

Stelling 1 van§ 1 blijft woordelijk g:elden. In plaats van strl:iYJ.g

2 komt er nu ~

die niet met 0

~~~!!~~~-2·

Kies punten

E(i)

5

E(

2

), E(3)

vlak liggen. No em oE(i) = E:(i)

(i

= 1, 21

3) •

Dan is er bij elke vector

~

precies een getallentripel

(a1,

cr2,c'

3)

met

....

~(1)

-+(2)

-(3)

(

.

)

.. -;

a= ~

₁

e + o:

₂

e-~> + a.

3

e Behoort

a

1, ~ 2, o:

3

b~J a,

(

~

1 ?

~

2?

p

3)

bi j b ? dan behoort ( a.1 +

~

1? <X 2

+

13

2? ex.

3

+

~

3)

ci

5

~

+

b ,

en ( A. ex.

1 ,

{,ex.

2, A. a.

₃

)

bi j ;,

8: •

Verder behoort ( 0, 0, 0) bi j

-

0 ; ( 1 , 0 5 0) bi j

-(1)

e (0,1,0)

b ; J.

-c

2)

co

o

_,_ e ' ' ' 1 ) bi j

-;<

3) •

2E~~!~· Laat zien~ dat de vectoren

het vlak

E( 1)E(2)E(3J,

kunnen worden

c:

E;(i)

+

CJ.

~(

2

)

+a.

~3)

met a. +

1 2

3

1

§

3·

Vectorr~imten.

-OA, waarin A een punt is

voorgesteld door

0!.2+ a.3

=

1 •

Defini tie 1. Zij R een verzameling, waarvan de. elementen met

-

-van

a, b, • • • worden aangeduid. In R is een optellingsoperatie gegev:,.

ten opzichte waarvan R een abelse groep is. Dus er is een element

(

---.

en er is voor alle a, b, c) voldaan aan

( 1)

-

a+ (b +

-) -?)

c =

(~+b)

+

-

c 7

(2)

-. a + b = b + a , - -+

-(3)

- ..,-'l>

_,

a+ 0 _{a '}

(4)

bij a is er een vector d

-

- ) _{te vinden met} -7 _{a+ d} - ₌ -₀

Verder veronderstellen we, dat er een afbeelding (z.g. scalaire v: ..

r-menigvuldiging) is die a an elk paar ( ). , ~) ( A.

=

reeel getal ₅ ~· E ,. )

een element van R toevoegt

~

di t element wordt met

A.~

aangeduid. .Gn

-.rfe veronder:;;;tellen, dat ( voor alle

a:,

b,

J....,

t.t )

geldt

(5)

(6)

(7)

(8)

(- -7 A. a+

b)

(A.

++!l

)~

( )1.

!l)~

= -+ -> A.a+ 1-.b,

-;\.a.+ fl. a, /, ( !J.

a:)

?

-

a

Dan heet R een vectorruimte.

Uit stelling 1 volgt, dat de vectoren in het platte vlak een

vector-, ruimte vormenvector-, hetzelfdr:o geldt voor de vectoren in de ruimt.e. We ,g----c:n

nog enige voorbeelden g

Defini tie 2. Een ri j tj e van n reele getallen heet een numeri

(Merk o:p, dat een rijtje van n getallen iets anders is dan een ver-zameling van n getallen: in een rijtje mogen gelijke getallen voorkomen, en twee rijtjes die slechts in volgorde verschillen, worden als verschil·· lend beschouwd. Het begri:p "rijtje" kan worden gedefinieerd als :

afbEelding Van de Verzameling { 1 9 2 ~ • • e 9 n

J

in de Verzameling der reele

getallen).

O:ptelling en scalaire vermenigvuldiging definieren we met g

(a 1 9 o •• , an) + ( b 1 , o .• , b n) A. ( a 1 , o •• , an) (a1+b19

00.,

an+bn) ( A. a 1 9 • • o , A. an) •

~!:;~~~::~_1· De verzameling van alle numerieke n- vectoren is een. vectorruimte. Deze noemen we de numerieke n- dimensionale vectorruJ£Lte

(het woord st. 10) ;

n- dimensionaal wordt echter pas later gedefinieerd, zie nota tie

R •

_n

Een algemener voorbeeld krijgen we door uit te gaan van een wille-keurige verzameling V (die in :plaa ts treedt van de

(1, ...

9 n

J

van

zoeven) o Zij Rv de verzameling van alle afbeeldingen van V in de verzameling der reele getalleno Is _{f E}

Rv'

_{g E}

Rv'

dan schrijven we f + g = h als

f(v) + g(v) h(v) voor alle vEV, en A.f = k als

il.f(v) k(v) voor alle vEV. Ook

Rv

is een vectorruimteo

Een wat s:pecialer voorbeeld, dat we niet verder uitwerken, is g

de verzameling van alle functies die o:p het interval 0

S..

xs_

1 con tinu

2ijn.

Ui t de defini tie van het begri:p vectorruimte ( def o

1)

zullen we lL.;:;

enkele eenvoudige conclusies trekken. Uit

(1), (3)

en

(4)

volgt

(zio

syllabus Inl. Wisk.) :

~

(9)

Bij gegeven

~

en

b

is er :precies een X met

~ ~

a+x

.... -'>

-Nu voldoet x=d+b, want

.-.~

--

~

(Kies nl. een

d

met

~

+

ca

+

b)

=

ca:

+

<l)

+ ;; = 0

+

b = b

+

0 = _{b. Neem omgekeerd aan 9 dat or}

~ ... ~ ~ ... ~ - -T - ) ... ~ ...

een y is met a+ y b o Dan is <'!

+

b = d

+

(a+ y = (d +a)

+

y

(

~ ~) ~

...

-

--"

...

...

...

~

-

-

~

= a+ d + y

=

0 + y y + 0

=

y. Dus y

=

d + b , zodat d + b de enicc o:plossing van de vergelijking a:+

1

=

b

is).

-~

...

_,

In het bijzonder vinden we, dater slechts een X aan a+x 0

-voldoet. Deze wordt met -a aangeduido

Gebruiken we ook nog

(2)

en

(5)

t.e.m.

(8),

dan kunnen we afleiden ~ ( 10)

....

-( i · a + O • a (1 +0) • a

-

1 · a , zodat

-

0 o a

...

een oplossing is van de vergelijking

~ - ' ) - ) __,

(11)

~

...

a _, -a (want we gens 1 o -;; + ( -1), • -;; = ( i + (-i)

Y~

a an de vergeli jking

~

+

~

=

0 )

o -" 0 o a

0

voldoet

(-1)

o a

(12)

Ao -> 0 -'> 0

(want A.

0

A•

co

0

o)

we gens ( 10), dus

_,

• 0 0 0 -'> 0

( Jv •

0)

weer we gens

(1<W)).

(13)

Bij gegeven

~,

b

en A (At

0)

iS er preCies een

-

X met

•.

(er is precies een mogelijkheid voor dus preCJ.es een voor

.

, ;

-'> .... - (-'>a 1 _..o )

Merk echter op, dat er bij gegeven a, b,

c

F niet

noodzake-lijk een reeel getal~te vinden is met

§

4o Lineaire afhankelijkheid.

We beschouwen een vectorruimte R •

....

~:.:;f~~~!~~-2 o De vector b heet 1 i neair afhankelijk van de vectorcn

....

....

~ ~ --4

a

1, ••

o,

ak ~ als er getallen A 1, o. o, A k zijn met b - ' a + - /1.1 1 • 0 ' ' ,,;., • :~ ( 'k •

We zeggen ook wel, dat

b

een linec:,=l_r,_t:;_ combinatie is van ~ a -~

1 , • o • , ::; k o

Ret stel vectoren

als er een onder te vinden is die lineair afhanke1ijk is van de andere.

- ? ~ .

Is di t niet het geval, dan heten c

1, •

o.,

em lineair onafhanlkel::Li]fo

(Ret woord lineair zullen we gemakshalve vaai~ achterwege laten) o

-'> _.,

~!~!!~~~L~ o c

1, o •• i em zijn dan en slechts dan lineair afhankelijk

al s er getallen a , o. o 9 ex zijn, die niet allemaal 0 zijn, en

vol-_, 1 __, m_,

do en a an ex

1 c 1

+

_-~ o o o + a.

_$

c

_m

= 0 o

c

1,

o. o,

c zijn dan en slechts dan lineair ona:fhanJrelijk

-

_,

m

al s a 1 c 1 t .. o + am em

=

0 ~ a 1

=

o o o = a m

=

0 •

....

-~:.:;!~~~0 Zijn c 1, o • • , c afhankelijk dan

.

m

combinatie van de overige9 bijvo

( ) -

-1 • c

....

i

-1 + A. 2c2 + • o • + A c = 0 •

_,. mm

is ~en ervan een lineaire

-"

-

....

c

1 = A. 2 c 2 + o • o + A. m c m 0 Dus

Hierin is in elk geval de coefficient

van c

1 ongelijk nul.

....

-Is omgekeerd a

1c1 +ooo + a.mcm = 0, en ZlJn niet alle a.

1_{s nul.}

is bijY. _· a

1

f

0. Dan is

0'

1 lineai.r in de oyerige ui t te drukke::

( deel q.oor - a.

1 , en vermeerder beide leden met

0'

1 ) o

Ret tweede deei van st o

5

is ee:'l logi sch gevolg van het eerste (!r · '

Ter overdenking volgt hier een aantal uitspraken betreffende

af-hankelijkheid g

_,

I . s b a f·, nanKe_::;_,Jrc van 1 l . . , --? a - ) ~

2, a

₃

,

dan is b ook afhankelijk van

·n